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title: "Señales y ondas"
book: "Física de secundaria"
subject: physics
language: es
chapter: 8
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/8-senales-y-ondas
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# Capítulo 8 — Señales y ondas

Todos los mensajes que has recibido en tu vida llegaron como una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal): una voz apretada contra tu tímpano, esta página que te alcanzó como un parpadeo de radio. Detrás de la variedad hay una sola idea — una [magnitud física](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que varía en el tiempo — y una sola caja de herramientas: [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period), [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency), [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) y el arte de cronometrar un retraso. Con ella, un barco mide el fondo del mar y un médico cuenta latidos.

## 8.1 Las señales transportan información

**Definición 8.1 (Señal).**

Una *señal* es una [magnitud física](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que varía en el tiempo para transportar información: la [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) del aire sobre tu tímpano, la tensión en los bornes de un micrófono, el brillo de la luz en una [fibra óptica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#def-g10-refraction-fiber). Para estudiar una señal se registra en función del tiempo y se lee la información en la curva.

En una llamada de teléfono, esa misma información cambia de portador varias veces: [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) en el aire, después tensión en el micrófono, después radio en la antena — y al revés en el otro extremo. Un solo vocabulario sirve para todos; este capítulo lo construye.

## 8.2 Las señales periódicas

**Definición 8.2 (Señal periódica, periodo).**

Una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) es *periódica* cuando se repite idéntica a intervalos regulares. El *periodo* $T$ es la duración de un ciclo completo, en segundos.

**Definición 8.3 (Frecuencia).**

La *frecuencia* de una [señal periódica](#def-g10-signals-and-waves-period) es el número de ciclos por segundo:

$$
f = \frac{1}{T} .
$$

Su [unidad](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/1-ordenes-de-magnitud-medir-el-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), un ciclo por segundo, es el *hercio* ($\mathrm{Hz}$), con los múltiplos habituales $\mathrm{kHz}$, $\mathrm{MHz}$ y $\mathrm{GHz}$.

**Definición 8.4 (Amplitud).**

La *amplitud* de una [señal periódica](#def-g10-signals-and-waves-period) es su desviación máxima respecto del valor de reposo. Para una tensión que oscila simétricamente en torno a cero, la amplitud es el valor de pico; de cresta a valle se mide el *doble* de la amplitud (el valor de pico a pico).

**Ejemplo 8.5 (La red eléctrica y el la del diapasón).**

La tensión de la red eléctrica oscila a $f = 50\,\mathrm{Hz}$: su [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) vale $T = 1/f = 0.020\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{ms}$. El la de afinación de una orquesta es una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) a $440\,\mathrm{Hz}$: un ciclo dura $T = 1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$. A mayor [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency), ciclo más corto: $f$ y $T$ son inversos el uno del otro.

![Una señal periódica: el patrón se repite cada T segundos, y la amplitud es la desviación máxima respecto del valor de reposo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-857ec5a33cee.svg)

*Una [señal periódica](#def-g10-signals-and-waves-period): el patrón se repite cada $T$ segundos, y la [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) es la desviación máxima respecto del valor de reposo.*

## 8.3 Leer un oscilograma

**Definición 8.6 (Osciloscopio).**

Un *osciloscopio* representa una tensión frente al tiempo; la curva sobre su pantalla cuadriculada es un *oscilograma*. Dos ajustes convierten las divisiones de la pantalla en valores físicos: la *base de tiempos* (segundos por división horizontal) y la *ganancia* vertical (voltios por división vertical).

**Método 8.7 (De la pantalla a los números).**

1. Contar las divisiones horizontales que abarca un ciclo completo (de cresta a cresta es lo más seguro); multiplicar por la [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) para obtener $T$ , y después $f = 1/T$ .
2. Contar las divisiones verticales desde la línea central hasta una cresta y multiplicar por la [ganancia](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) para obtener la [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) (de cresta a valle se obtiene el valor de pico a pico: hay que dividirlo entre dos).

**Ejemplo 8.8 (Una lectura completa).**

En el [oscilograma](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) siguiente, la [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) es de $5\,\mathrm{ms}$ por división y la [ganancia](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), de $2\,\mathrm{V}$ por división. Un ciclo abarca $4.0$ divisiones: $T = 4.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 20\,\mathrm{ms}$ y $f = 1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$ — otra vez la red eléctrica. Una cresta queda $3.0$ divisiones por encima del eje: la [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) vale $3.0 \times 2\,\mathrm{V} = 6.0\,\mathrm{V}$.

![Un oscilograma, con base de tiempos 5\, ms/div y ganancia 2\, V/div: un ciclo abarca 4.0 divisiones (T = 20\, ms, f = 50\, Hz) y la cresta queda 3.0 divisiones por encima (amplitud 6.0\, V).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-2cfd80c61a63.svg)

*Un [oscilograma](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), con [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) $5\,\mathrm{ms}$/div y [ganancia](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) $2\,\mathrm{V}$/div: un ciclo abarca $4.0$ divisiones ($T = 20\,\mathrm{ms}$, $f = 50\,\mathrm{Hz}$) y la cresta queda $3.0$ divisiones por encima ([amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $6.0\,\mathrm{V}$).*

## 8.4 Señales sonoras y electromagnéticas

**Definición 8.9 (Sonido).**

El *sonido* es una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure): un objeto que vibra — una cuerda, una membrana, las cuerdas vocales — empuja rítmicamente sobre el aire, y las compresiones se propagan hacia fuera a unos $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Un micrófono convierte la [presión](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/7-la-presion-del-deporte-al-buceo#def-g10-pressure-pressure) que llega en una tensión; el tímpano, en impulsos nerviosos. El sonido necesita un medio: una campana que suena bajo una campana de vacío enmudece a medida que se extrae el aire.

**Definición 8.10 (Onda).**

Una perturbación que se propaga — el patrón de compresiones de un [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound), la ondulación de un estanque, un pulso de radio — es una *onda*. El medio, cuando lo hay, se queda donde está: cada porción de agua cabecea en su sitio mientras la ondulación cruza el estanque. La geometría de las ondas — [longitud de onda](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/2-espectros-luminosos-y-el-mensaje-de-la-luz#def-g10-light-spectra-wavelength), interferencias, difracción — se retoma en un capítulo posterior; a este solo le hacen falta sus velocidades.

**Definición 8.11 (Ultrasonidos e infrasonidos).**

El oído humano escucha [sonidos](#def-g10-signals-and-waves-sound) entre unos $20\,\mathrm{Hz}$ y $20\,\mathrm{kHz}$ (el techo baja con la edad). El [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) por encima de $20\,\mathrm{kHz}$ son los *ultrasonidos* — los murciélagos cazan a $50\,\mathrm{kHz}$ y los ecógrafos médicos exploran el cuerpo con unos pocos megahercios. El [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) por debajo de $20\,\mathrm{Hz}$ son los *infrasonidos*, que perciben los elefantes y los sismómetros.

**Proposición 8.12 (Señales electromagnéticas).**

La radio, el wifi y la luz son *señales electromagnéticas*: una sola familia, que se propaga por el vacío — sin necesidad de medio — y toda ella a una misma velocidad, la de la luz del [Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#ch-g10-refraction),

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \quad \text{(casi la misma en el aire).}
$$

**Demostración.** *Admitido a este nivel.* ∎

**Observación 8.13.**

Aquí esto es un hecho experimental — la luz del Sol cruza $150$ millones de kilómetros de espacio vacío; se deduce honradamente en el volumen del segundo año a partir de las leyes de la electricidad y el magnetismo. Conviene retener el contraste: el [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) es una vibración *del* medio y muere sin él; una [señal electromagnética](#prop-g10-signals-and-waves-em) lleva consigo su propio campo a través del vacío, un millón de veces más deprisa.

![Frecuencias sonoras en escala logarítmica (cada paso × 10). El oído escucha de 20\, Hz a 20\, kHz; por debajo están los infrasonidos y por encima, los ultrasonidos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-c7b1387b1e1c.svg)

*[Frecuencias](#def-g10-signals-and-waves-frequency) sonoras en escala logarítmica (cada paso $\times 10$). El oído escucha de $20\,\mathrm{Hz}$ a $20\,\mathrm{kHz}$; por debajo están los [infrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) y por encima, los [ultrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound).*

## 8.5 Los ecos: distancias a partir de retrasos

Una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) que se mueve a la velocidad $v$ recorre $d = v\,t$ en un tiempo $t$: todo retraso es una distancia disfrazada. Mejor aún: se envía un pulso corto contra un obstáculo y se cronometra su *eco* — la ida y vuelta cubre $2d$.

**Método 8.14 (Medir distancias con ecos).**

1. Enviar un pulso corto y medir el tiempo $t$ de ida y vuelta del [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) .
2. Tomar la velocidad $v$ de la [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) *en el medio atravesado* .
3. El pulso ha recorrido $2d = v\,t$ , luego $d = \dfrac{v\,t}{2}$ .

Los pulsos de [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) en el agua dan el *sonar* ($v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$); los pulsos de radio en el aire dan el *radar* ($v = c$); y los pulsos de [ultrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) en el cuerpo dan el ecógrafo ($v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en tejido blando).

**Ejemplo 8.15 (El sonar).**

El [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de un barco emite un pulso y el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) del fondo vuelve al cabo de $t = 0.80\,\mathrm{s}$: la profundidad vale $d = \frac{1500 \times 0.80}{2} = 600\,\mathrm{m}$. Olvidarse del factor $2$ duplica el océano.

![Un pulso de sonar baja y vuelve: el retraso medido t cubre 2d, así que la profundidad vale d = v\,t/2 con v 1500\, m/ s en agua de mar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-signals-and-waves/fig-0cf7ed2ba2c3.svg)

*Un pulso de [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) baja y vuelve: el retraso medido $t$ cubre $2d$, así que la profundidad vale $d = v\,t/2$ con $v \approx 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en agua de mar.*

**Ejemplo 8.16 (El radar).**

Un [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de aeropuerto recibe el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de un avión $0.30\,\mathrm{ms}$ después del pulso: $d = \frac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}}{2} = 45\,\mathrm{km}$. Como $c$ es tan grande, el [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) vive con relojes de microsegundos: cronometrar la luz es trabajo de precisión.

**Ejemplo 8.17 (El corazón como señal).**

Cada latido envía un pequeño pulso de tensión a través del tórax; unos electrodos lo registran como el *electrocardiograma* (ECG), una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) casi [periódica](#def-g10-signals-and-waves-period). Si las espigas altas distan $T = 0.75\,\mathrm{s}$, el corazón late a $f = 1/0.75 = 1.33\,\mathrm{Hz}$, es decir $1.33 \times 60 = 80$ latidos por minuto: leer $T$ en un trazado es como te toma el pulso un cardiólogo.

## 8.6 Ejercicios

**Ejercicio 8.1 ★.**

Calcula la [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency) de la [señal periódica](#def-g10-signals-and-waves-period) de [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) (a) $T = 20\,\mathrm{ms}$; (b) $T = 4.0\,\mathrm{ms}$; (c) $T = 50\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Solución de Ejercicio 8.1.**

$f = 1/T$: (a) $1/0.020\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{Hz}$; (b) $1/4.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{s} = 250\,\mathrm{Hz}$; (c) $1/5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{s} = 20\,\mathrm{kHz}$.

**Ejercicio 8.2 ★.**

Calcula el [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) de (a) la red eléctrica de $50\,\mathrm{Hz}$; (b) un la de $440\,\mathrm{Hz}$; (c) una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de wifi de $2.4\,\mathrm{GHz}$.

**Solución de Ejercicio 8.2.**

$T = 1/f$: (a) $20\,\mathrm{ms}$; (b) $1/440 = 2.3\,\mathrm{ms}$; (c) $1/2.4 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz} = 0.42\,\mathrm{ns}$.

**Ejercicio 8.3 ★.**

Clasifica como infrasonido, [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) audible o ultrasonido: $12\,\mathrm{Hz}$; $440\,\mathrm{Hz}$; $18\,\mathrm{kHz}$; $40\,\mathrm{kHz}$ (un sensor de aparcamiento); $5\,\mathrm{MHz}$ (una sonda médica).

**Solución de Ejercicio 8.3.**

$12\,\mathrm{Hz}$: infrasonido. $440\,\mathrm{Hz}$ y $18\,\mathrm{kHz}$: audibles (el segundo, solo para oídos jóvenes). $40\,\mathrm{kHz}$ y $5\,\mathrm{MHz}$: [ultrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound).

**Ejercicio 8.4 ★.**

En un [osciloscopio](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) ajustado a $2\,\mathrm{ms}$ por división y $0.5\,\mathrm{V}$ por división, un ciclo abarca $5.0$ divisiones y una cresta queda $4.0$ divisiones por encima del eje. Halla $T$, $f$ y la [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude).

**Solución de Ejercicio 8.4.**

$T = 5.0 \times 2\,\mathrm{ms} = 10\,\mathrm{ms}$, luego $f = 100\,\mathrm{Hz}$; [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $4.0 \times 0.5\,\mathrm{V} = 2.0\,\mathrm{V}$.

**Ejercicio 8.5 ★.**

Ves el relámpago y oyes el trueno $6.0\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia cayó ($v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)? ¿Por qué se puede despreciar el tiempo de viaje de la luz?

**Solución de Ejercicio 8.5.**

$d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m} \approx 2.0\,\mathrm{km}$. La luz recorre esa distancia en $2040/(3.00\times10^{8}) \approx 7\,\text{µ}\mathrm{s}$, un millón de veces menos que $6.0\,\mathrm{s}$: el destello marca el instante del impacto.

**Ejercicio 8.6 ★★.**

Un [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) vuelve del fondo marino al cabo de $0.60\,\mathrm{s}$ ($v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en agua de mar). ¿Por qué hay que dividir entre dos el producto $v\,t$? Calcula la profundidad. ¿Cuánto tardaría el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) sobre una fosa de $1200\,\mathrm{m}$?

**Solución de Ejercicio 8.6.**

El [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) baja *y vuelve*, recorriendo $2d$: $d = \frac{1500 \times 0.60}{2} = 450\,\mathrm{m}$. Sobre la fosa: $t = 2d/v = 2 \times 1200/1500 = 1.6\,\mathrm{s}$.

**Ejercicio 8.7 ★★.**

Un [radar](#met-g10-signals-and-waves-echo) de aeropuerto recibe el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) de un avión al cabo de $0.24\,\mathrm{ms}$ y, exactamente $1.0\,\mathrm{s}$ después, un segundo [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) al cabo de $0.238\,\mathrm{ms}$. Calcula las dos distancias y después la velocidad del avión. ¿Se está acercando?

**Solución de Ejercicio 8.7.**

$d_1 = \frac{3.00\times10^{8} \times 2.4\times10^{-4}}{2} =
36.0\,\mathrm{km}$ y $d_2 = 35.7\,\mathrm{km}$: el avión recorrió $300\,\mathrm{m}$ en $1.0\,\mathrm{s}$, luego $v = 300\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, y se acerca.

**Ejercicio 8.8 ★★.**

Un ECG se imprime a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$; las espigas altas distan $20\,\mathrm{mm}$. Halla el [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) y la [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency) cardíaca en latidos por minuto. Hay taquicardia por encima de $100$ latidos por minuto: ¿por debajo de qué separación entre espigas aparece en este papel?

**Solución de Ejercicio 8.8.**

$T = 20\,\mathrm{mm}/25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s} = 0.80\,\mathrm{s}$, luego $f = 1.25\,\mathrm{Hz}$: $75$ latidos por minuto. Para $100$ latidos por minuto, $T = 0.60\,\mathrm{s}$, es decir $25 \times 0.60 = 15\,\mathrm{mm}$: la taquicardia aparece por debajo de $15\,\mathrm{mm}$.

**Ejercicio 8.9 ★★.**

Tienes que mostrar una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) de $200\,\mathrm{Hz}$ y [amplitud](#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $3.0\,\mathrm{V}$ en una pantalla de $10$ divisiones horizontales y $8$ verticales ($4$ por encima de la línea central). Elige una [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) que muestre unos dos ciclos completos y una [ganancia](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) que aproveche casi toda la pantalla sin recortar la [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal).

**Solución de Ejercicio 8.9.**

$T = 1/200 = 5.0\,\mathrm{ms}$; dos ciclos duran $10\,\mathrm{ms}$, repartidos en $10$ divisiones: [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de $1\,\mathrm{ms}$ por división. La cresta tiene que caber en $4$ divisiones: [ganancia](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) de al menos $3.0/4 = 0.75\,\mathrm{V}$ por división — se toma $1\,\mathrm{V}$ por división (cresta a $3.0$ divisiones).

**Ejercicio 8.10 ★★.**

Una sonda médica envía un pulso de [ultrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) al abdomen ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en tejido blando) y oye [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest) al cabo de $40\,\text{µ}\mathrm{s}$ (pared anterior de un órgano) y $60\,\text{µ}\mathrm{s}$ (pared posterior). Halla la profundidad de cada pared y el grosor del órgano.

**Solución de Ejercicio 8.10.**

$d = v\,t/2$: pared anterior, $\frac{1540 \times 4.0\times10^{-5}}{2} = 3.1\,\mathrm{cm}$; pared posterior, $\frac{1540 \times 6.0\times10^{-5}}{2} = 4.6\,\mathrm{cm}$; grosor, unos $1.5\,\mathrm{cm}$.

**Ejercicio 8.11 ★★.**

Un concierto se retransmite en directo. ¿Quién oye antes un golpe de tambor: un oyente a $30\,\mathrm{m}$ del escenario o un oyente de radio a $3000\,\mathrm{km}$? ¿Por cuánto?

**Solución de Ejercicio 8.11.**

[Sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound): $30/340 = 0.088\,\mathrm{s}$. Radio: $3.0\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) = 0.010\,\mathrm{s}$. El oyente de radio, que está lejísimos, oye antes el tambor, por unos $78\,\mathrm{ms}$.

**Ejercicio 8.12 ★★★.**

Un murciélago emite pulsos de [ultrasonidos](#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) de $3.0\,\mathrm{ms}$ de duración y no puede oír un [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) mientras sigue emitiendo. ¿Por debajo de qué distancia resulta indetectable una polilla? ¿Cuál es el retraso del [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) para una polilla situada a $1.7\,\mathrm{m}$? ¿Por qué tiene que acortar sus pulsos en la aproximación final?

**Solución de Ejercicio 8.12.**

Mientras emite durante $3.0\,\mathrm{ms}$, el murciélago está sordo a los [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest), es decir, a todo lo que esté a menos de $d = \frac{340 \times 3.0\times10^{-3}}{2} = 0.51\,\mathrm{m}$. Polilla a $1.7\,\mathrm{m}$: $t = 2 \times 1.7/340 = 10\,\mathrm{ms}$. Al acercarse, el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) vuelve cada vez antes; el pulso tiene que terminar antes de que llegue, así que hay que acortarlo.

**Ejercicio 8.13 ★★★.**

Das una palmada frente a un acantilado y oyes el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) $1.5\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia está el acantilado? Caminas $100\,\mathrm{m}$ derecho hacia él: ¿cuál es el nuevo retraso? El oído deja de separar la palmada del [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) por debajo de unos $0.1\,\mathrm{s}$: ¿a partir de qué distancia desaparece el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) dentro de la palmada?

**Solución de Ejercicio 8.13.**

$d = \frac{340 \times 1.5}{2} = 255\,\mathrm{m}$. A $155\,\mathrm{m}$: $t = 2 \times 155/340 = 0.91\,\mathrm{s}$. El [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) y la palmada se funden cuando $t < 0.1\,\mathrm{s}$, es decir a menos de $d < \frac{340 \times 0.1}{2} = 17\,\mathrm{m}$.

**Ejercicio 8.14 ★★★.**

Con $5\,\mathrm{ms}$ por división, un ciclo de una [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) abarca $3.0$ divisiones de una pantalla de $10$ divisiones.

1. Halla $T$ y $f$ .
2. Se cambia la [base de tiempos](#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) a $2\,\mathrm{ms}$ por división: ¿cuántas divisiones abarca ahora un ciclo?
3. ¿Cuántos ciclos *completos* caben en la pantalla con cada ajuste?

**Solución de Ejercicio 8.14.**

*1.* $T = 3.0 \times 5\,\mathrm{ms} = 15\,\mathrm{ms}$, $f = 1/0.015 \approx 67\,\mathrm{Hz}$. *2.* $15\,\mathrm{ms}/2\,\mathrm{ms} = 7.5$ divisiones. *3.* La pantalla muestra $50\,\mathrm{ms}$ y después $20\,\mathrm{ms}$: $3$ ciclos completos ($50/15 = 3.3$) y luego $1$ ($20/15 = 1.3$).

**Ejercicio 8.15 ★★★.**

Un “ping” mide el tiempo de ida y vuelta de un paquete de internet hasta un servidor situado a $1200\,\mathrm{km}$. ¿Cuál es el menor tiempo de ida y vuelta concebible (con [señales](#def-g10-signals-and-waves-signal) a $c$)? En una [fibra óptica](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/3-refraccion-de-la-luz#def-g10-refraction-fiber) la luz viaja a unos $2.0 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: recalcúlalo. El ping medido es de $40\,\mathrm{ms}$: da dos razones por las que supera a tus respuestas.

**Solución de Ejercicio 8.15.**

*1.* $t = 2 \times 1.2\times10^{6}/(3.00\times10^{8}) =
8.0\,\mathrm{ms}$. *2.* $2 \times 1.2\times10^{6}/(2.0\times10^{8}) = 12\,\mathrm{ms}$. *3.* La fibra no va en línea recta entre las dos máquinas, y cada enrutador y cada servidor del camino añaden retraso de procesamiento.

## 8.7 Problema: el sonar, la tormenta y el cardiograma

**Problema 8.1.**

Problema de fin de semana — leer las señales del mundo: una sola ley, $d = v\,t$, mide una tormenta, cartografía un fondo marino, cuenta un latido y deja entrever cómo funciona el GPS

Un barco de pesca trabaja en una noche de tormenta: relámpagos en el horizonte, el [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) barriendo el fondo, el corazón del patrón sobre la tira de papel del médico y un receptor GPS escuchando a los [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). Cuatro instrumentos, una ley. Toma $v_{\text{sound}} = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el aire, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en el agua de mar y $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Parte I — La tormenta.**

1. Un destello; el trueno llega $9.0\,\mathrm{s}$ después. ¿A qué distancia está?
2. Calcula el tiempo de viaje de la luz en esa distancia y justifica que se trate el destello como instantáneo.
3. Los marineros cuentan los segundos entre el destello y el trueno y los dividen entre tres para obtener kilómetros. Justifica la regla.
4. Cinco minutos después, un destello da $6.0\,\mathrm{s}$ . ¿A qué distancia está ahora? Halla la [velocidad media](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/5-movimiento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) de acercamiento de la tormenta en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ y en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. El trueno retumba en lugar de restallar: el canal del rayo mide kilómetros, así que sus partes están a distancias distintas. Si el canal se extiende de $2.0\,\mathrm{km}$ a $5.0\,\mathrm{km}$ del barco, ¿cuánto dura el retumbo?

**Parte II — El [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo).**

6. El [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) emite un pulso; el fondo responde en $0.90\,\mathrm{s}$ . ¿Profundidad?
7. Sobre la plataforma continental el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) se acorta a $0.20\,\mathrm{s}$ . ¿Profundidad?
8. Un pulso devuelve *dos* [ecos](#rem-g10-signals-and-waves-honest) , a $0.16\,\mathrm{s}$ y $0.20\,\mathrm{s}$ . Interprétalos; ¿a qué altura sobre el fondo nada el banco de peces?
9. El [sonar](#met-g10-signals-and-waves-echo) emite un pulso cada $0.50\,\mathrm{s}$ . ¿Cuál es la mayor profundidad que puede medir sin confusión, y qué falla más allá?
10. En el aire, ese mismo retraso de $0.60\,\mathrm{s}$ significaría qué distancia? Moraleja: ¿qué hay que saber antes de convertir un retraso en una distancia?

**Parte III — El cardiograma.**

11. Las espigas del ECG del patrón distan $0.86\,\mathrm{s}$ . ¿ [Frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency) ? ¿Latidos por minuto?
12. La tira avanza a $25\,\mathrm{mm}/\mathrm{s}$ . ¿Qué separación entre espigas midió el médico?
13. Después de izar las redes, la separación es de $15\,\mathrm{mm}$ . ¿Nueva [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency) cardíaca?
14. El joven marinero de cubierta, remero entrenado, descansa a $50$ latidos por minuto. ¿ [Periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) ? ¿Separación en la tira?
15. ¿Es un ECG estrictamente periódico? Entonces, ¿qué lee el médico en el trazado?

**Parte IV — De vuelta a casa con la luz.**

16. El barco llama por radio al puerto, a $50\,\mathrm{km}$ . ¿Cuánto tarda el mensaje? ¿Cuánto tardaría el [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) ?
17. Un [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS orbita a unos $20\,200\,\mathrm{km}$ de altura. ¿Cuánto tarda su [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) en llegar al barco?
18. El GPS convierte tiempo en posición. ¿Qué error de distancia provoca un error de reloj de $1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ ? ¿Qué precisión temporal exige una posición con $3.0\,\mathrm{m}$ de error?
19. ¿Por qué no podría existir un GPS basado en el [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) , ni siquiera en principio?
20. Final: enumera las tres velocidades usadas esta noche y la única ley que hay detrás de los cuatro instrumentos, y enuncia después en una frase la costumbre para medir distancias con retrasos.

**Solución de Problema 8.1.**

**1.** $d = 340 \times 9.0 = 3060\,\mathrm{m} \approx 3.1\,\mathrm{km}$.

**2.** $3060/(3.00\times10^{8}) \approx 10\,\text{µ}\mathrm{s}$, un millón de veces menos que $9.0\,\mathrm{s}$: el destello marca el instante del impacto.

**3.** En $3\,\mathrm{s}$ el [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) recorre $340 \times 3 = 1020\,\mathrm{m} \approx 1\,\mathrm{km}$: los segundos divididos entre tres dan kilómetros.

**4.** $d = 340 \times 6.0 = 2040\,\mathrm{m}$. La tormenta se ha acercado $1020\,\mathrm{m}$ en $300\,\mathrm{s}$: $v = 3.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 12\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, rumbo al barco.

**5.** El extremo cercano se oye al cabo de $2000/340 = 5.9\,\mathrm{s}$ y el lejano al cabo de $5000/340 = 14.7\,\mathrm{s}$: el retumbo dura unos $8.8\,\mathrm{s}$.

**6.** $d = 1500 \times 0.90/2 = 675\,\mathrm{m}$.

**7.** $d = 1500 \times 0.20/2 = 150\,\mathrm{m}$.

**8.** Dos obstáculos: un banco de peces a $1500 \times 0.16/2 = 120\,\mathrm{m}$ y el fondo a $150\,\mathrm{m}$. El banco nada $30\,\mathrm{m}$ por encima del fondo.

**9.** El [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) tiene que volver antes del pulso siguiente: $d_{\max} = 1500 \times 0.50/2 = 375\,\mathrm{m}$. Desde aguas más profundas, el [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest) llega *después* del siguiente pulso y se le atribuye a él: la pantalla muestra un fondo falso, mucho menos profundo de lo real.

**10.** En el aire, $340 \times 0.60/2 = 102\,\mathrm{m}$ en lugar de $450\,\mathrm{m}$. Un retraso se convierte en distancia solo cuando se sabe cuál es el portador y su velocidad en el medio atravesado.

**11.** $f = 1/0.86 = 1.16\,\mathrm{Hz}$, es decir $1.16 \times 60 \approx 70$ latidos por minuto.

**12.** $25 \times 0.86 = 21.5\,\mathrm{mm}$.

**13.** $T = 15/25 = 0.60\,\mathrm{s}$: $100$ latidos por minuto.

**14.** $T = 60/50 = 1.2\,\mathrm{s}$; separación $25 \times 1.2 = 30\,\mathrm{mm}$.

**15.** No: el [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) se desplaza de un latido a otro con el esfuerzo, la respiración y el estrés. El médico lee el [periodo](#def-g10-signals-and-waves-period) (la [frecuencia](#def-g10-signals-and-waves-frequency)), su regularidad y la forma de cada ciclo — el diagnóstico está en la [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal).

**16.** Radio: $5.0\times10^{4}/(3.00\times10^{8}) =
0.17\,\mathrm{ms}$ — instantáneo para los sentidos humanos. [Sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound): $50\,000/340 \approx 147\,\mathrm{s}$, dos minutos y medio.

**17.** $t = 2.02\times10^{7}/(3.00\times10^{8}) = 67\,\mathrm{ms}$.

**18.** $c \times 1.0\,\text{µ}\mathrm{s} = 300\,\mathrm{m}$. Para una posición con $3.0\,\mathrm{m}$ de error: $3.0/(3.00\times10^{8}) = 10\,\mathrm{ns}$ — y por eso los [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS llevan relojes atómicos.

**19.** Los [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite) están en el vacío y el [sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) necesita un medio: no saldría ninguna [señal](#def-g10-signals-and-waves-signal) del [satélite](https://one-course.com/books/physics/2/es/chapter/4-gravitacion-universal-y-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite). (Y aun concediendo aire en todo el trayecto, $20\,200\,\mathrm{km}$ a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ son más de $16\,\mathrm{h}$ — una posición con horas de retraso.)

**20.** $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ([sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) en el aire), $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ([sonido](#def-g10-signals-and-waves-sound) en agua de mar) y $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (radio y luz); la ley es $d = v\,t$, dividida entre dos para un [eco](#rem-g10-signals-and-waves-honest). La costumbre: saber cuál es el portador, saber su velocidad en el medio y cronometrar el retraso — un retraso es una distancia disfrazada.