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title: "Ordres de grandeur : mesurer l’Univers"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers
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# Chapitre 1 — Ordres de grandeur : mesurer l’Univers

La physique commence là où l’opinion s’arrête : avec une mesure. Mais les grandeurs que la physique mesure couvrent un intervalle absurde — un noyau atomique mesure environ $10^{-15}\,\mathrm{m}$, l’univers observable environ $10^{27}\,\mathrm{m}$ : un facteur $10^{42}$, bien au-delà de ce qu’une image mentale peut contenir. Ce chapitre installe la boîte à outils qui dompte cet intervalle — [unités](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), puissances de dix, [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — et deux habitudes utilisées à chaque page qui suit : écrire l’[unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), et vérifier l’[ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 Unités : la grammaire de la mesure

**Définition 1.1 (Grandeurs physiques et unités SI).**

Une *grandeur physique* est une propriété du monde que l’on peut mesurer : une longueur, une durée, une masse. La mesurer, c’est compter combien de fois une grandeur de référence — l’*unité* — y tient. Le *Système international d’unités* (SI) fixe sept unités de base, dont trois parcourent tout ce volume : le *mètre* ($\mathrm{m}$) pour la longueur, le *kilogramme* ($\mathrm{kg}$) pour la masse et la *seconde* ($\mathrm{s}$) pour le temps. (Les quatre autres — ampère, kelvin, mole, candela — entreront en scène lorsque l’électricité, la chaleur et la chimie rejoindront l’histoire.)

**Remarque 1.2 (Un nombre sans unité n’est pas un résultat).**

« La distance est $384$ » ne veut rien dire : $384\,\mathrm{mm}$, $384\,\mathrm{km}$ et $384\,\mathrm{Mm}$ sont trois mondes différents (le dernier se trouve être la distance à la Lune). En 1999, la NASA a perdu la sonde *Mars Climate Orbiter*, d’une valeur de 327 millions de dollars, parce qu’un programme calculait les forces des propulseurs en livres-force tandis qu’un autre les lisait en newtons. Règle de la maison, de cette ligne jusqu’à la fin du livre : tout nombre mesuré ou calculé porte son [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), à chaque ligne du calcul.

**Définition 1.3 (Préfixes SI).**

Un *préfixe* collé à une [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) la multiplie par une puissance de dix fixe :

| femto | f | $10^{-15}$ | centi | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| pico | p | $10^{-12}$ | kilo | k | $10^{3}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ | méga | M | $10^{6}$ |
| micro | $\mu$ | $10^{-6}$ | giga | G | $10^{9}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ | téra | T | $10^{12}$ |

Ainsi $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ et $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**Exemple 1.4 (Lire les préfixes).**

La lumière verte a une longueur d’onde d’environ $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$ ; un cheveu humain mesure environ $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ d’épaisseur ; la Lune orbite à $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Une goutte de pluie a une masse d’environ $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — remarquez que l’[unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) SI de base de la masse, seule parmi les sept, porte déjà un [préfixe](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes).

## 1.2 Notation scientifique et chiffres significatifs

**Définition 1.5 (Notation scientifique).**

Un nombre est en *notation scientifique* lorsqu’il s’écrit

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ un entier.}
$$

Le facteur $a$ est la *mantisse*, l’entier $n$ l’*exposant*. Ainsi $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ et $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**Proposition 1.6 (Calculer avec les puissances de dix).**

Pour tous entiers $m$ et $n$ :

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**Démonstration partielle.** Pour des [exposants](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) positifs, on compte les facteurs : $10^{m}
\times 10^{n}$ est un produit de $m + n$ dix, et $(10^m)^n$ enchaîne $n$ groupes de $m$ dix. Écrire $10^{-n}$ pour $1/10^{n}$ est précisément la convention qui maintient la première règle vraie pour tous les entiers : elle force $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$. Le volume de mathématiques compagnon étudie les règles des [exposants](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) en détail. ∎

**Exemple 1.7 (Multiplier en notation scientifique).**

Combien de Terres tiendraient dans le Soleil, en masse ? Avec $m_{\text{Sun}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ et $m_{\text{Earth}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ :

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

Les [mantisses](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) et les [exposants](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) se traitent séparément ; la réponse finale est renormalisée pour que la [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) retombe dans $[1, 10)$.

**Définition 1.8 (Chiffres significatifs).**

Les *chiffres significatifs* d’un nombre mesuré sont les chiffres réellement garantis par la mesure : tous les chiffres écrits sauf les zéros de tête. Les zéros de queue comptent — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (trois chiffres significatifs) promet plus que $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (deux). La [notation scientifique](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) affiche le décompte d’un coup d’œil : la [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) porte exactement les chiffres significatifs.

**Méthode 1.9 (Combien de chiffres garder).**

Un résultat calculé ne peut pas être plus précis que ses ingrédients.

1. Dans un produit ou un quotient, garder autant de [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) que le facteur le *moins* précis.
2. N’arrondir que la réponse finale, jamais les étapes intermédiaires.
3. En cas de doute, trois [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) sont la précision de travail de ce livre.

**Exemple 1.10 (Circonférence de la Terre).**

Le diamètre de la Terre est $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (trois [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)), donc sa circonférence est $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — trois chiffres, pas les huit qu’affiche la calculatrice. Écrire $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ reviendrait à prétendre connaître la planète au [mètre](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) près.

![Une règle sur laquelle chaque pas égal multiplie par dix. Les petits traits sont 200, 300, …, 900 : toute une décade s’entasse dans chaque segment. Sur cette règle 300 penche vers 102 et 7000 vers 104 — leurs ordres de grandeur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*Une règle sur laquelle chaque pas égal *multiplie* par dix. Les petits traits sont $200, 300, \dots, 900$ : toute une décade s’entasse dans chaque segment. Sur cette règle $300$ penche vers $10^{2}$ et $7000$ vers $10^{4}$ — leurs [ordres de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).*

## 1.3 L’échelle de l’Univers

**Définition 1.11 (Ordre de grandeur).**

L’*ordre de grandeur* d’une grandeur est la puissance de dix la plus proche : écrire la grandeur sous la forme $a \times 10^{n}$ avec $1 \leq a < 10$ et prendre $10^{n}$ si $a < 5$, $10^{n+1}$ si $a \geq 5$. (La convention exacte de frontière n’a jamais d’importance : un énoncé d’ordre de grandeur n’est jamais censé valoir mieux qu’à un facteur dix près.)

**Exemple 1.12 (Ordres de grandeur).**

Une vie humaine dure environ $80$ ans, c’est-à-dire $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$ : [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — quelques milliards de secondes, à bien employer. Un humain mesure $1.7\,\mathrm{m}$ : ordre $10^{0}\,\mathrm{m}$. Le mont Everest, $8848\,\mathrm{m}$ : ordre $10^{4}\,\mathrm{m}$, puisque $8.848 \geq 5$.

Empiler de telles estimations par [exposant](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) produit le tableau maître de ce chapitre : une échelle dont chaque barreau est un monde dix fois plus large que celui d’en dessous.

![L’échelle de l’Univers, en mètres : 42 puissances de dix séparent le noyau atomique de l’univers observable, et un humain se tient à dix barreaux de l’atome mais à vingt-sept du sommet.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-4f43b11c7899.svg)

*L’échelle de l’Univers, en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : $42$ puissances de dix séparent le noyau atomique de l’univers observable, et un humain se tient à dix barreaux de l’atome mais à vingt-sept du sommet.*

Au-dessus du barreau Terre, les [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cessent d’être commodes ; l’astronomie garde ses propres [unités](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), toutes deux définies à partir de l’échelle elle-même.

**Définition 1.13 (Unité astronomique et année-lumière).**

L’*unité astronomique* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) est la distance moyenne Terre–Soleil. L’*année-lumière* ($\mathrm{ly}$) est la distance parcourue par la lumière en une année. La lumière se déplace dans le vide à

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

la plus grande vitesse que la nature autorise — donc l’année-lumière est une distance, pas un temps.

![Distances depuis la Terre sur la règle multiplicative, avec le temps de parcours de la lumière en rouge sous chaque repère : la Lune est à des secondes-lumière, les planètes à des heures-lumière, les étoiles à des années-lumière.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-d92e348f5caf.svg)

*Distances depuis la Terre sur la règle multiplicative, avec le temps de parcours de la lumière en rouge sous chaque repère : la Lune est à des secondes-lumière, les planètes à des heures-lumière, les étoiles à des années-lumière.*

**Exemple 1.14 (L’année-lumière en mètres).**

Une année compte $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (agréablement proche de $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). D’où

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

Proxima du Centaure, l’étoile la plus proche après le Soleil, se trouve à $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ : la lumière, qui traverse une distance Terre–Soleil en huit minutes, met plus de quatre ans pour arriver de là-bas.

**Méthode 1.15 (Contrôle de vraisemblance par ordre de grandeur).**

Avant de faire confiance à un résultat calculé :

1. arrondir chaque donnée d’entrée à son [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ;
2. refaire le calcul avec les seules puissances de dix, en utilisant le [Proposition 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — cela prend quelques secondes ;
3. comparer : la réponse précise doit s’accorder avec l’estimation à un facteur dix près environ, et son [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) doit être la bonne. Si l’un des deux contrôles échoue, traquer l’erreur avant de poursuivre.

**Remarque 1.16 (Pourquoi s’en soucier).**

Une calculatrice indiquera volontiers qu’une pomme a une masse $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ — elle ne peut pas savoir mieux. Aucune formule ne signale l’absurdité ; l’habitude le fait. Les physiciens estiment d’abord et calculent ensuite : l’estimation attrape les virgules mal placées, les [unités](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) échangées et les fractions inversées, les trois erreurs derrière la plupart des mauvaises réponses à tous les niveaux.

## 1.4 Mesure et incertitude

Aucun instrument ne lit la vraie valeur. Une mesure n’est honnête que lorsqu’elle indique aussi de combien elle peut s’en écarter.

**Définition 1.17 (Incertitude absolue et relative).**

Une mesure d’une grandeur $x$ s’énonce

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

où $x_{\text{m}}$ est la valeur mesurée et l’*incertitude absolue* $\Delta x > 0$, dans la même [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), borne l’erreur plausible : la vraie valeur est censée se trouver entre $x_{\text{m}} - \Delta x$ et $x_{\text{m}} + \Delta x$. L’*incertitude relative* est le rapport $\Delta x / x_{\text{m}}$, habituellement exprimée en pourcent ; c’est elle que le mot « précis » mesure.

**Méthode 1.18 (Lire un instrument gradué).**

Pour une règle, une éprouvette graduée, un cadran :

1. lire la graduation la plus proche de la marque, l’œil perpendiculaire à l’échelle (un œil de biais décale la lecture) ;
2. prendre au moins la moitié de la plus petite graduation comme [incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) — plus si le bord de l’objet ou la surface du liquide est flou ;
3. écrire le résultat sous la forme $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ avec son [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , et ne garder aucun chiffre au-delà de celui qui est incertain.

![Lecture d’une règle millimétrique : l’extrémité de la tige tombe le plus près de la graduation 127\, mm, et la bande ombrée d’une demi-graduation de chaque côté est l’énoncé honnête.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*Lecture d’une règle millimétrique : l’extrémité de la tige tombe le plus près de la graduation $127\,\mathrm{mm}$, et la bande ombrée d’une demi-graduation de chaque côté est l’énoncé honnête.*

**Exemple 1.19 (Précision relative).**

La lecture ci-dessus a une [incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$. La même règle mesurant une vis de $12\,\mathrm{mm}$ donne $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$ : l’instrument identique est dix fois moins précis sur le petit objet. La précision est une propriété de la *mesure*, non de l’outil.

**Remarque 1.20 (Petite absolue, énorme relative — et inversement).**

Des stations laser mesurent la distance Terre–Lune, $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, à environ $\pm3\,\mathrm{cm}$ : une [incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de $10^{-10}$, parmi les mesures les plus fines jamais réalisées — avec une erreur absolue dont aucune règle ne se vanterait. Toujours demander *par rapport à quoi* : le couple $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ raconte toute l’histoire, et chacun des deux nombres seul peut tromper.

## 1.5 Exercices

**Exercice 1.1 ★.**

Convertir en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), en [notation scientifique](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) :

1. $750\,\mathrm{nm}$ (longueur d’onde de la lumière rouge) ;
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ;
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (une bactérie du sol) ;
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (la distance Terre–Soleil, sous un costume inhabituel).

**Solution de Exercice 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — une [unité astronomique](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**Exercice 1.2 ★.**

Écrire en [notation scientifique](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) et indiquer le nombre de [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) :

1. la distance Terre–Soleil, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
2. le diamètre d’un atome d’hydrogène, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
3. la population mondiale, environ $8\,100\,000\,000$ ;
4. une durée de $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**Solution de Exercice 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ : $4$ [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ : $3$ [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (les zéros de tête ne comptent jamais). *3.* $8.1 \times 10^{9}$ : $2$ [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ : $3$ [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (le zéro de queue est une promesse).

**Exercice 1.3 ★.**

Calculer sans calculatrice, en donnant chaque résultat en [notation scientifique](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) :

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**Solution de Exercice 1.3.**

[Mantisses](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) et [exposants](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) séparément ([Proposition 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)) :

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**Exercice 1.4 ★.**

Donner l’[ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), avec son [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de : une taille humaine de $1.7\,\mathrm{m}$ ; le mont Everest, $8848\,\mathrm{m}$ ; une bactérie *E. coli*, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ ; la masse de la Terre, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Solution de Exercice 1.4.**

Humain : $1.7 < 5$, ordre $10^{0}\,\mathrm{m}$. Everest : $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ et $8.848 \geq 5$ : ordre $10^{4}\,\mathrm{m}$. Bactérie : ordre $10^{-6}\,\mathrm{m}$. Terre : $5.97 \geq 5$, ordre $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**Exercice 1.5 ★.**

Une règle est graduée en millimètres. Vous mesurez un crayon à $127\,\mathrm{mm}$.

1. Énoncer le résultat avec son [incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Calculer l’ [incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. La même règle mesure une gomme de $12\,\mathrm{mm}$ . Laquelle des deux mesures est la plus précise, et d’un facteur combien ?

**Solution de Exercice 1.5.**

*1.* Une demi-graduation : $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$. *3.* Gomme : $0.5/12 \approx 4\%$. La mesure du crayon est environ dix fois plus précise — même règle, même [incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty), objet dix fois plus long.

**Exercice 1.6 ★★.**

Avec $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ :

1. Exprimer en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) les distances à Proxima du Centaure ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) et à Sirius ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ).
2. La sonde *Voyager 1* se trouve à environ $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ de la Terre. Combien de temps son signal radio, voyageant à $c$ , met-il pour nous atteindre ? Exprimer la réponse en heures.

**Solution de Exercice 1.6.**

*1.* Proxima : $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. Sirius : $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (deux [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), comme l’entrée). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, c’est-à-dire $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$ : presque une journée entière pour chaque message de la sonde.

**Exercice 1.7 ★★.**

Combien de temps la lumière met-elle pour atteindre la Terre depuis la Lune ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$), depuis le Soleil ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) et depuis Neptune ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$) ? Donner chaque réponse dans une [unité](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sensée, et compléter la phrase : « Lorsque vous regardez Neptune, vous la voyez telle qu’elle était… »

**Solution de Exercice 1.7.**

$t = d/c$ à chaque fois. Lune : $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Soleil : $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. Neptune : $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. Lorsque vous regardez Neptune, vous la voyez telle qu’elle était il y a environ quatre heures — tout télescope est une machine à remonter le temps en douceur.

**Exercice 1.8 ★★.**

Une rame de $500$ feuilles de papier, mesurée avec une règle millimétrique, a une épaisseur de $52.0\,\mathrm{mm}$, avec une incertitude $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. En déduire l’épaisseur d’une feuille, avec son [incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Quelle est l’ [incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de cette épaisseur ?
3. Pourquoi mesurer la rame est-il énormément mieux que mesurer une seule feuille directement avec la même règle ? Quantifier.

**Solution de Exercice 1.8.**

*1.* Une feuille : $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. L’incertitude se divise aussi : $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$, donc $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\%$. *3.* Mesurer une feuille directement donnerait $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$ : une [incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) d’environ $500\%$ — la règle ne peut même pas prouver que la feuille existe. Empiler $500$ feuilles multiplie la longueur mesurée par $500$ tandis que l’[incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de la règle reste fixe : l’[incertitude relative](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) se réduit par ce même facteur $500$.

**Exercice 1.9 ★★.**

Prendre $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ comme diamètre d’un atome. Combien d’atomes, côte à côte, couvrent : une bactérie de $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un cheveu de $70\,\text{µ}\mathrm{m}$ ; un humain de $1.7\,\mathrm{m}$ ? Donner aussi la dernière réponse comme [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

**Solution de Exercice 1.9.**

Diviser chaque longueur par $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Bactérie : $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ atomes. Cheveu : $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. Humain : $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$, [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$ : dix milliards d’atomes de la tête aux pieds.

**Exercice 1.10 ★★.**

Une maquette représente le Soleil (diamètre $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) par un ballon de football de diamètre $22\,\mathrm{cm}$.

1. Calculer le facteur d’échelle de la maquette.
2. Trouver le diamètre modèle de la Terre ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) et sa distance modèle au ballon (distance réelle $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. À quelle distance de la Terre modèle se trouve la Lune modèle (distance réelle $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) ? Et à quelle distance se trouve Neptune modèle (distance réelle $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ ) ?

**Solution de Exercice 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* Terre : $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — un grain de poivre — orbitant à $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ du ballon. *3.* Lune : $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ du grain de poivre. Neptune : $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$ : la maquette ne tient pas dans la cour de l’école.

**Exercice 1.11 ★★.**

Les [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) au travail.

1. Une feuille A4 mesure $21.0\,\mathrm{cm}$ sur $29.7\,\mathrm{cm}$ . Donner son aire avec le nombre correct de [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) .
2. Un sprinter parcourt $100.0\,\mathrm{m}$ en $12.3\,\mathrm{s}$ . Donner la vitesse moyenne correctement arrondie.
3. Expliquer en une phrase ce qui serait malhonnête à annoncer l’aire comme $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Solution de Exercice 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$, arrondi aux trois [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) des entrées : $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (trois chiffres, fixés par le temps). *3.* Cinq [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) prétendraient l’aire à $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$, une précision que les entrées au millimètre n’ont jamais fournie — une décimale forgée reste un faux.

**Exercice 1.12 ★★★.**

Une goutte d’huile de volume $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ est déposée sur de l’eau calme et s’étale en un film circulaire de diamètre $1.1\,\mathrm{m}$ — un film dont des chapitres ultérieurs montreront qu’il a l’épaisseur d’une molécule.

1. Calculer l’aire du film, puis son épaisseur.
2. En déduire un [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) pour la taille d’une molécule, et le confronter au barreau atome de l’échelle.

(Cette expérience de coin de table, d’abord tentée par Benjamin Franklin sur un étang londonien, fut l’une des premières mesures honnêtes du monde moléculaire par l’humanité.)

**Solution de Exercice 1.12.**

*1.* Rayon $r = 0.55\,\mathrm{m}$, aire $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. Volume $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$, et un film est (aire) $\times$ (épaisseur), donc

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* Une molécule est d’ordre $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — un barreau au-dessus de l’atome à $10^{-10}\,\mathrm{m}$, cohérent avec une molécule comme petit amas d’atomes. La cuillerée d’huile de Franklin a calmé un demi-acre d’étang et, sans qu’il le sache, a mesuré le nanomètre.

**Exercice 1.13 ★★★.**

Estimer le nombre de battements de cœur dans une vie humaine. Énoncer vos hypothèses (fréquence cardiaque au repos, durée de vie), limiter l’arithmétique aux puissances de dix et un chiffre de [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot), et donner la réponse finale comme [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) seulement. Pourquoi la citer à quatre [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) n’aurait-elle aucun sens ?

**Solution de Exercice 1.13.**

Hypothèses : environ $70$ battements par minute au repos, une vie de $80$ ans. Par jour : $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ battements. Par an : $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. Par vie : $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}$, quelques milliards de battements. Quatre [chiffres significatifs](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) prétendraient connaître une fréquence cardiaque, minute par minute, pendant quatre-vingts ans : les entrées sont des estimations d’[ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), et aucune sortie ne peut surclasser ses entrées ([Méthode 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**Exercice 1.14 ★★★.**

Une feuille de papier a une épaisseur de $0.10\,\mathrm{mm}$, et chaque pli double l’épaisseur de la pile. En utilisant $2^{10} \approx
10^{3}$ :

1. Après combien de plis la pile dépasserait-elle le mont Everest ( $8848\,\mathrm{m}$ ) ?
2. Après combien de plis atteindrait-elle la Lune ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) ?
3. En pratique une feuille ne peut pas être pliée plus d’environ sept fois. Cela invalide-t-il l’arithmétique, ou seulement l’expérience ?

**Solution de Exercice 1.14.**

Après $n$ plis l’épaisseur est $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* Il faut $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. Comme $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ est insuffisant et $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ suffit : $27$ plis (pile $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* Il faut $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$ : $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ est court, $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ atteint — $42$ plis, pile $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, largement au-delà de la Lune. *3.* Seulement l’expérience : chaque pli divise l’aire par deux, et après sept plis la pile est plus épaisse que large. L’arithmétique du doublement n’est pas touchée — la croissance exponentielle dépasse simplement ce que le papier (et l’intuition) peuvent suivre.

**Exercice 1.15 ★★★.**

La télémétrie laser donne la distance Terre–Lune comme $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$ ; une bonne règle donne une table comme $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. Calculer les deux [incertitudes relatives](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) . Quelle mesure est la plus précise, et d’un facteur combien ?
2. Avec quelle [incertitude absolue](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) faudrait-il mesurer la table pour égaler la précision relative de la mesure lunaire ? Comparer cette longueur à la taille d’un atome, et conclure avec le respect dû.

**Solution de Exercice 1.15.**

*1.* Lune : $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. Table : $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. La mesure lunaire est plus précise d’un facteur $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — plus de dix millions. *2.* Égaler $7.8 \times 10^{-11}$ sur une table d’un [mètre](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) signifie $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$, plus petit qu’un atome ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$) : le bord de la table n’est même pas *défini* aussi finement. Relativement, la distance Terre–Lune par laser est l’une des plus belles mesures que notre espèce possède.

## 1.6 Problème : De l’atome à Andromède

**Problème 1.1.**

Problème du week-end — un seul grain de sable dimensionne l’atome, le Système solaire, la galaxie et l’univers observable, et vous place sur l’échelle entre eux

Un grain de sable est l’objet le plus humble de la physique, et ce week-end il travaille d’arrache-pied : d’abord on compte ses atomes, puis on réduit le Soleil à sa taille et on arpent le cosmos, puis on laisse la lumière faire le levé, et enfin on compte les atomes *en vous*. Données, utilisées tout au long : diamètre du grain $0.5\,\mathrm{mm}$ ; diamètre de l’atome $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ ; masse volumique du sable $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ ; diamètres : Soleil $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$, Terre $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, Voie lactée $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$, univers observable $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$ ; distances depuis nous : Lune $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, Soleil $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, Neptune $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$, Proxima du Centaure $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, galaxie d’Andromède $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$ ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une molécule d’eau a une masse $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ et contient trois atomes.

**Partie I — Anatomie du grain.**

1. Écrire le diamètre du grain et le diamètre de l’atome en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , en [notation scientifique](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) , et nommer le [préfixe](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) SI auquel chacun est le plus proche.
2. Combien d’atomes se placent côte à côte sur un diamètre de grain ?
3. Modéliser le grain comme un cube de côté $0.5\,\mathrm{mm}$ rempli d’atomes. Estimer le nombre d’atomes dans le grain, comme [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) .
4. Calculer le volume de ce cube, puis la masse du grain. Exprimer la masse en milligrammes.
5. Contrôle de vraisemblance du modèle : diviser la masse du grain par son nombre d’atomes et comparer à l’ [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) connu des masses atomiques (quelques $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). Verdict ?

**Partie II — Le Soleil comme grain de sable.** On construit une maquette du cosmos dans laquelle le Soleil est le grain : chaque taille modèle égale la taille réelle multipliée par un facteur $s$.

6. Calculer le facteur d’échelle $s$ .
7. Dans la maquette, trouver le diamètre de la Terre et sa distance au grain-Soleil. Quel objet du monde de la Partie I a à peu près la taille de la Terre modèle ?
8. À quelle distance du grain orbite Neptune modèle ? Quel meuble contiendrait le système planétaire tout entier ?
9. À quelle distance se trouve Proxima du Centaure modèle ?
10. Deux grains de sable, distants de $14\,\mathrm{km}$ , et presque rien entre eux : énoncer en une ou deux phrases ce que la maquette révèle sur le vide de la galaxie.

**Partie III — La lumière fait le levé.**

11. Combien de temps la lumière met-elle à traverser le vrai grain de sable ?
12. Combien de temps la lumière met-elle à nous atteindre depuis la Lune, et depuis le Soleil ?
13. Recalculer l’ [année-lumière](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) à partir de $c$ et de la durée de l’année, et vérifier que la distance de Proxima dans les données correspond à environ $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. Convertir la distance d’Andromède en années-lumière. Environ quand la lumière qui entre maintenant dans votre œil a-t-elle quitté Andromède, et qu’est-ce qui marchait sur la Terre à cette époque ?
15. Quelle distance la lumière parcourt-elle en une nanoseconde ? Un processeur cadencé à $3\,\mathrm{GHz}$ démarre une opération tous les tiers de nanoseconde : expliquer en une phrase pourquoi un ordinateur rapide doit être un ordinateur petit.

**Partie IV — Vous, entre atome et Andromède.**

16. Un humain est à peu près $70\,\mathrm{kg}$ d’eau. En utilisant les données, estimer la masse moyenne d’un atome dans l’eau, puis le nombre d’atomes dans un humain.
17. Comparer ce décompte aux atomes du grain (question 3) et aux environ $2\times10^{23}$ étoiles de l’univers observable. Donner les deux facteurs.
18. Sur l’échelle, êtes-vous plus près de l’atome ou de l’univers observable ? Comparer les rapports $\text{(vous)}/\text{(atome)}$ et $\text{(univers)}/\text{(vous)}$ , en prenant $1.7\,\mathrm{m}$ pour vous.
19. Trouver la taille $x$ située exactement à mi-chemin sur l’échelle entre le noyau ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) et l’univers observable : $x$ doit satisfaire $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (en utilisant $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). Quel objet du Système solaire a justement cette taille ?
20. La chute. Réduire l’univers observable par le facteur $s$ de la Partie II, de sorte que le Soleil soit un grain de sable. Donner le diamètre de l’univers modèle en [mètres](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , puis en [unités astronomiques](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) , et conclure en une phrase : même avec chaque étoile transformée en grain de sable, l’univers déborde de toute échelle humaine — seules les puissances de dix le contiennent.

**Solution de Problème 1.1.**

**1.** Grain : $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$, à l’échelle milli ; atome : $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$, à l’échelle nano.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$ : deux millions d’atomes en travers.

**3.** Un cube de $2 \times 10^{6}$ atomes par arête contient $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ atomes : [ordre de grandeur](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$, donc $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** Masse par atome : $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — parfaitement dans la fourchette « quelques $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ». Le cube naïf d’atomes reproduit les masses atomiques réelles : le modèle passe le contrôle de vraisemblance ([Méthode 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) avec les honneurs.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** Terre modèle : diamètre $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — la taille d’une bactérie — à une distance $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ du grain : la Terre est un microbe à cinq centimètres d’un grain de sable.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$ : le système planétaire tout entier orbite dans une table de salle à manger.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** L’étoile la plus proche de notre Système solaire de table est un autre grain de sable à quatorze kilomètres, avec essentiellement rien entre les deux : la galaxie est un vide écrasant, c’est pourquoi les collisions entre étoiles sont presque inconnues.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — moins de deux picosecondes.

**12.** Lune : $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
1.28\,\mathrm{s}$. Soleil : $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$ : la lumière du Soleil a toujours huit minutes d’âge.

**13.** Une année compte $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, donc $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$ ; alors $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$ : la distance des données est bien environ $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$ : deux millions et demi d’années-lumière. Cette lumière a quitté Andromède il y a environ $2.5$ millions d’années, lorsque les premiers membres du genre *Homo* apprenaient à tailler la pierre — et aucun *Homo sapiens* n’existait encore nulle part.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. En un tiers de nanoseconde un signal couvre au plus environ $10\,\mathrm{cm}$, donc deux parties de la machine qui doivent communiquer en un tic d’horloge doivent se trouver à moins de dix centimètres l’une de l’autre : la vitesse borne la taille.

**16.** Atome moyen dans l’eau : $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. Nombre d’atomes : $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** Face au grain : $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — vous contenez l’équivalent d’un milliard de grains en atomes. Face aux étoiles : $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — vos atomes surpassent toutes les étoiles de l’univers observable de trente-cinq mille à un.

**18.** $\text{(vous)}/\text{(atome)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$, tandis que $\text{(univers)}/\text{(vous)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. Sur l’échelle vous êtes à environ dix barreaux au-dessus de l’atome et près de vingt-sept sous l’univers : de façon multiplicative, les humains vivent très près de leurs atomes.

**19.** La condition donne $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$, donc $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — presque exactement le diamètre de Cérès, le plus grand astéroïde ($\approx 940\,\mathrm{km}$). À mi-chemin sur l’échelle entre un noyau et le cosmos se trouve une modeste planète naine.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$, c’est-à-dire $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ [unités astronomiques](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). Chute : réduire le cosmos jusqu’à ce que le Soleil soit un grain de sable, et l’univers observable s’étend encore sur deux mille fois la vraie distance Terre–Soleil — aucune maquette ne ramène l’univers à l’échelle humaine ; seules les puissances de dix peuvent le porter.