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title: "Lentilles, images et l’œil"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 10
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/10-lentilles-images-et-lil
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# Chapitre 10 — Lentilles, images et l’œil

Toute image nette — sur le capteur d’un téléphone, un écran de cinéma, ou le fond de votre propre œil — repose sur le même tour : un milieu transparent courbe dévie les rayons par [réfraction](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/3-refraction-de-la-lumiere#def-g10-refraction-refraction) ([Chapitre 3](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/3-refraction-de-la-lumiere#ch-g10-refraction)) de sorte que tous les rayons issus d’un point se retrouvent en un autre. Ce chapitre dompte le tour : une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens), trois rayons, une formule — puis le pointe vers les appareils photo, les lunettes, et la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) vivante qui lit cette phrase.

## 10.1 Lentilles convergentes et divergentes

**Définition 10.1 (Lentille mince).**

Une *lentille* est un milieu transparent délimité par deux surfaces, dont l’une au moins est courbe. Plus épaisse au centre qu’au bord, elle est *convergente* : des rayons parallèles sont déviés l’un vers l’autre ; plus épaisse au bord, *divergente* : ils s’écartent. Une lentille *mince* a une épaisseur négligeable : on la dessine comme un segment munis de flèches vers l’extérieur (convergente) ou vers l’intérieur (divergente). Son centre $O$ est le *centre optique* ; la droite perpendiculaire passant par $O$, l’*axe principal* (ou axe optique).

**Définition 10.2 (Foyers et distance focale).**

Les rayons arrivant parallèles à l’axe d’une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) se croisent tous sur l’axe en un point derrière elle, le *foyer image* $F'$ ; symétriquement, les rayons issus du *foyer objet* $F$ (devant, avec $OF = OF'$) sortent parallèles à l’axe. La *distance focale* $f' = \overline{OF'}$ est positive pour une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ; à travers une [lentille divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), des rayons parallèles sortent comme s’ils venaient d’un point $F'$ *devant* la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) : $f' < 0$.

**Définition 10.3 (Vergence).**

La *vergence* d’une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$ (en [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) est $C = 1/f'$, mesurée en *dioptries* (symbole $\delta$ ou D) : $1~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}$ ; les [lentilles divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ont $C < 0$. Les opticiens prescrivent en dioptries : les vergences de [lentilles minces](#def-g11-lenses-and-eye-lens) en contact s’ajoutent simplement (admis ici ; dérivé dans le volume de l’année 1).

**Exemple 10.4 (Lire une ordonnance).**

Une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) avec $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ a $C = 1/0.50 = +2.0$ D : [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Une prescription de $-4.0$ D signifie $f' = -0.25\,\mathrm{m}$ : [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $25\,\mathrm{cm}$.

## 10.2 Construction de l’image

**Méthode 10.5 (Les trois rayons de construction).**

Soit $AB$ un objet perpendiculaire à l’axe en $A$. Parmi tous les rayons issus de l’extrémité $B$, trois ont des trajets connus :

1. le rayon passant par le [centre optique](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $O$ va tout droit ;
2. le rayon parallèle à l’axe sort en passant par $F'$ ;
3. le rayon passant par $F$ sort parallèle à l’axe.

Deux suffisent : leur intersection est le point image $B'$, et l’image $A'B'$ est perpendiculaire à l’axe en $A'$. Si les rayons émergents divergent, leurs prolongements *rétrogrades* (en pointillés) se rencontrent en un point d’[image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images).

![Les trois rayons de construction : objet AB au-delà de F, image A'B' réelle et renversée (ici OA = -2f' : grandeur nature, = -1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-46d807f5b378.svg)

*Les trois rayons de construction : objet $AB$ au-delà de $F$, image $A'B'$ [réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) et renversée (ici $\overline{OA} = -2f'$ : grandeur nature, $\gamma = -1$).*

**Définition 10.6 (Images réelles et virtuelles).**

Une image est *réelle* lorsque les rayons émergents y passent effectivement : un écran placé là la recueille ; *virtuelle* lorsque seuls leurs prolongements rétrogrades se rencontrent : aucun écran ne la recueille, mais un œil qui regarde dans la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) la voit parfaitement. Une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) donne une image réelle, renversée, de tout objet au-delà de $F$ ; glisser l’objet à l’intérieur de la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) et l’image devient virtuelle, droite, agrandie.

![Objet à l’intérieur de la distance focale (configuration de loupe) : les prolongements rétrogrades construisent une image virtuelle, droite, agrandie A'B'.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8ad9403171ff.svg)

*Objet à l’intérieur de la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (configuration de [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)) : les prolongements rétrogrades construisent une [image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, agrandie $A'B'$.*

## 10.3 Une formule : la relation de conjugaison

Les constructions montrent *où* est l’image ; une formule la calcule. On oriente l’axe dans le sens de la lumière et on utilise des *mesures algébriques* : $\overline{OA}$ est la coordonnée de $A$ par rapport à $O$ (négative pour un objet réel devant) ; les hauteurs $\overline{AB}$ comptent positives vers le haut.

**Théorème 10.7 (Relation de conjugaison des lentilles minces).**

À travers une [lentille mince](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$, un point objet $A$ sur l’axe a pour image le point $A'$ tel que

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 10.8.**

La relation découle de la loi de Snell appliquée aux rayons voisins de l’axe ; la dérivation — et les limites du modèle de la [lentille mince](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — sont traitées honnêtement dans le volume de l’année 1.

**Définition 10.9 (Grandissement).**

Le *grandissement* de l’image est

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
       = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .
$$

$\abs{\gamma}$ compare les tailles, son signe les orientations ($\gamma < 0$ : renversée) ; le signe de $\overline{OA'}$ lit la nature (positif : [réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ; négatif : [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), devant).

**Exemple 10.10 (La formule au travail).**

Un objet se trouve à $30\,\mathrm{cm}$ devant une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) avec $f' = 10\,\mathrm{cm}$ : $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$, donc

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15},
\qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm},
\qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :
$$

une [image réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) à $15\,\mathrm{cm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens), renversée, moitié de taille — exactement ce que dessinent les trois rayons.

## 10.4 L’œil

**Définition 10.11 (L’œil comme système optique).**

Optiquement, l’œil est une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) face à un écran : la *cornée* et le *cristallin* agissent comme une seule [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) réglable ; la *rétine*, à environ $17\,\mathrm{mm}$ derrière, est l’écran fixe. La mise au point se fait en déformant le cristallin, non en le déplaçant comme dans un appareil photo : l’*accommodation* est le changement de $f'$ produit par les muscles ciliaires. Le point le plus proche vu nettement à pleine accommodation est le *punctum proximum* — environ $25\,\mathrm{cm}$ pour l’*œil normal* — le plus lointain, au repos, le *punctum remotum* (l’infini pour l’œil normal).

![Accommodation : pour focaliser un objet proche sur la même rétine, le cristallin bombe — sa vergence augmente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-33ee4ed39fb7.svg)

![Accommodation : pour focaliser un objet proche sur la même rétine, le cristallin bombe — sa vergence augmente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-4b2a29636c8b.svg)

*[Accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) : pour focaliser un objet proche sur la même [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye), le [cristallin](#def-g11-lenses-and-eye-eye) bombe — sa [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) augmente.*

**Exemple 10.12 (La vergence de votre œil).**

La [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est à $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$. Objet lointain ($1/\overline{OA} \approx 0$) : $C = 1/0.017 \approx 59$ D. [Punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$) : $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Lire coûte environ $4$ D : l’œil est une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $59$ D avec un réglage fin intégré de $+4$ D.

## 10.5 Défauts, corrections et la loupe

**Définition 10.13 (Myopie et hypermétropie).**

Un œil *myope* (vue de près) est trop convergent pour sa longueur : les rayons parallèles se focalisent *devant* la [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye), les objets lointains sont flous, le [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est à distance finie ; une [lentille divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de lunette le corrige. Un œil *hypermétrope* (vue de loin) n’est pas assez convergent : les objets proches se focaliseraient derrière la [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye), le [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) s’éloigne ; une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) le corrige. Le vieillissement rigidifie le [cristallin](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (*presbytie*), réduisant l’[accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — même remède : des lunettes de lecture.

**Exemple 10.14 (Prescrire pour un myope).**

Un œil [myope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) a son [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) à $50\,\mathrm{cm}$ : la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) correctrice doit montrer les objets lointains *au [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye)* — objet à l’infini, image en $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ ([virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), devant). Alors $1/f' = 1/\overline{OA'}$ : $f' = -0.50\,\mathrm{m}$, $C = -2.0$ D ; l’œil détendu regarde cette [image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) et la voit nette.

![Un œil myope focalise les rayons parallèles avant la rétine (point rouge) ; une lentille divergente ramène le foyer sur la rétine.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-337726988832.svg)

![Un œil myope focalise les rayons parallèles avant la rétine (point rouge) ; une lentille divergente ramène le foyer sur la rétine.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-f3362d4479cf.svg)

*Un œil [myope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) focalise les rayons parallèles avant la [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (point rouge) ; une [lentille divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ramène le [foyer](#def-g11-lenses-and-eye-focal) sur la [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye).*

**Définition 10.15 (La loupe).**

Une *loupe* est une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de courte [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) utilisée avec l’objet *à l’intérieur* de la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) : l’image est [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, agrandie ([Définition 10.6](#def-g11-lenses-and-eye-images)), et l’œil la regarde confortablement de loin.

**Exemple 10.16 (La loupe d’un bijoutier).**

[Loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) avec $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$, pierre à $4.0\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$, donc $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ et $\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$ : une [image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, cinq fois plus grande, à un confortable $20\,\mathrm{cm}$ de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

## 10.6 Exercices

**Exercice 10.1 ★.**

Calculer les [vergences](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) pour $f' = 50\,\mathrm{cm}$, $-20\,\mathrm{cm}$ et $4.0\,\mathrm{mm}$, puis la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) d’une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D.

**Solution de Exercice 10.1.**

$C = 1/0.50 = +2.0$ D ; $1/(-0.20) = -5.0$ D ; $1/0.0040 = +250$ D. Une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D : $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 10.2 ★.**

Une [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) est plus épaisse aux bords qu’au centre. [Convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ou [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ? Peut-elle servir de [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) ? Que voit-on en la tenant au-dessus d’une page imprimée ?

**Solution de Exercice 10.2.**

[Divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($f' < 0$). Non : pour toute distance objet $d$, $\gamma = f'/(f' - d)$ (montré dans le [Exercice 10.15](#exo-g11-lenses-and-eye-15)) est entre $0$ et $1$ — l’image est toujours [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite et *réduite*. L’imprimé paraît droit et rétréci, jamais grossi.

**Exercice 10.3 ★.**

Une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) a $f' = 10\,\mathrm{cm}$ ; un objet est à $20\,\mathrm{cm}$ devant elle. Construire l’image avec deux des trois rayons, puis vérifier sa position et sa taille avec la relation de conjugaison.

**Solution de Exercice 10.3.**

L’objet est en $2f'$ ; les rayons central et parallèle se croisent à $20\,\mathrm{cm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Vérification : $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$, donc $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ et $\gamma = 20/(-20) = -1$ : [réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), renversée, grandeur nature — comme dessiné.

**Exercice 10.4 ★.**

Un objet est à $24\,\mathrm{cm}$ devant une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) avec $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$. Calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$, et décrire l’image (nature, orientation, taille).

**Solution de Exercice 10.4.**

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$ : $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 12/(-24) = -0.50$. [Image réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) à $12\,\mathrm{cm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens), renversée, moitié de taille.

**Exercice 10.5 ★.**

Dans l’œil : qu’est-ce qui forme la [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ? Qu’est-ce qui joue le rôle d’écran ? Qu’est-ce qui change pendant l’[accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — et qu’est-ce qui ne peut pas ? Définir le [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) de l’[œil normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Solution de Exercice 10.5.**

La [cornée](#def-g11-lenses-and-eye-eye) et le [cristallin](#def-g11-lenses-and-eye-eye) forment la [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ; la [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est l’écran. L’[accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) change la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) ([vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence)) du [cristallin](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ; la distance cristallin–rétine ne peut pas changer. [Punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) : point le plus proche vu nettement à pleine [accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — $25\,\mathrm{cm}$ pour l’[œil normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Exercice 10.6 ★★.**

Un objectif d’appareil photo a $f' = 50\,\mathrm{mm}$. Où est le capteur lorsqu’on met au point un paysage lointain ? Calculer la distance lentille–capteur pour un sujet à $3.0\,\mathrm{m}$, et le débattement entre les deux réglages.

**Solution de Exercice 10.6.**

Paysage : capteur dans le plan focal, à $50\,\mathrm{mm}$ de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens). À $3.0\,\mathrm{m}$ : $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$, donc $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$. Débattement : environ $0.8\,\mathrm{mm}$.

**Exercice 10.7 ★★.**

Une [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) a $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$ ; un timbre est à $5.0\,\mathrm{cm}$ dessous. Position, nature, orientation et [grandissement](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) de l’image ?

**Solution de Exercice 10.7.**

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$ : $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$ : six fois le timbre, à $30\,\mathrm{cm}$ au-dessus de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**Exercice 10.8 ★★.**

Un objet et un écran se font face ; une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) entre eux donne une image nette lorsqu’ils sont tous deux à $40\,\mathrm{cm}$ de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Calculer $f'$ et $\gamma$. Pourquoi cette image symétrique doit-elle être exactement grandeur nature ?

**Solution de Exercice 10.8.**

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$ : $f' = 20\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = 40/(-40) = -1$. La symétrie impose $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$, d’où $\abs{\gamma} = 1$ ; l’image est [réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) et renversée, donc $\gamma = -1$ : exactement grandeur nature.

**Exercice 10.9 ★★.**

Un objet est à $50\,\mathrm{cm}$ devant une [lentille divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) avec $f' = -25\,\mathrm{cm}$. Calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$ ; décrire l’image. Pourquoi les yeux d’un [myope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) paraissent-ils un peu plus petits à travers ses lunettes ?

**Solution de Exercice 10.9.**

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$ : $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$ : [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, un tiers de la taille. Les lunettes d’un [myope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) sont [divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) : tout ce qu’on voit à travers — y compris, de l’extérieur, les yeux du porteur — est réduit.

**Exercice 10.10 ★★.**

Un œil [myope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) a son [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) à $40\,\mathrm{cm}$. Quelle [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) doit avoir la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) correctrice, et où place-t-elle l’image d’une montagne lointaine ? Pourquoi la montagne est-elle alors vue sans effort ?

**Solution de Exercice 10.10.**

Image de l’infini au [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) : $f' = -0.40\,\mathrm{m}$, donc $C = -2.5$ D. L’image de la montagne se trouve à $40\,\mathrm{cm}$ devant la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — exactement le [punctum remotum](#def-g11-lenses-and-eye-eye), que l’œil détendu voit nettement avec zéro [accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Exercice 10.11 ★★.**

Un lecteur presbyte a son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) à $80\,\mathrm{cm}$ mais veut lire à $25\,\mathrm{cm}$ : les lunettes doivent imager la page à $25\,\mathrm{cm}$ en une page [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) à $80\,\mathrm{cm}$. Calculer la [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) requise.

**Solution de Exercice 10.11.**

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25)
= -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

**Exercice 10.12 ★★★.**

Un projecteur doit former l’image d’une diapositive, agrandie $\gamma = -50$, sur un écran à $5.1\,\mathrm{m}$ de la diapositive.

1. Trouver $\overline{OA}$ , $\overline{OA'}$ , sachant que $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
2. En déduire la [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de projection.
3. Quelle est la hauteur de l’image d’une diapositive de $24\,\mathrm{mm}$ de haut ?

**Solution de Exercice 10.12.**

*1.* $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ donne $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$ ; avec $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$, $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ : $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$, $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$ : $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$.

*3.* $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$, renversée — d’où l’habitude de charger les diapositives à l’envers.

**Exercice 10.13 ★★★.**

La [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est à $17\,\mathrm{mm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de l’œil.

1. Calculer la [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) de l’œil mis au point à l’infini, puis sur le [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) standard ( $25\,\mathrm{cm}$ ). En déduire l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) d’ [accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) de l’ [œil normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye) .
2. Un œil plus âgé a son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) à $1.0\,\mathrm{m}$ . Calculer son [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) et la fraction de l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) standard qui reste.

**Solution de Exercice 10.13.**

*1.* $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D ; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) : $1/0.25 = 4.0$ D.

*2.* [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $= 1/1.0 = 1.0$ D : un quart ($25\,\%$) des $4.0$ D de l’[œil normal](#def-g11-lenses-and-eye-eye) reste.

**Exercice 10.14 ★★★.**

Une [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) vendue « $\times 3$ » a sa [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) donnée par $3 = 0.25/f'$ ($f'$ en [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit)).

1. Calculer $f'$ .
2. Où doit se trouver un objet pour que son [image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) soit à $25\,\mathrm{cm}$ devant la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ? Calculer $\gamma$ ; comparer avec le $\times 3$ annoncé.

**Solution de Exercice 10.14.**

*1.* $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$.

*2.* $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$ : $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$, d’où $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ et $\gamma = +4.0$ — mieux que le $\times 3$ annoncé, qui suppose l’image à l’infini ; la ramener au [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) gagne une [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Exercice 10.15 ★★★.**

Un objet réel est à la distance $d > 0$ devant une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($\overline{OA} = -d$, $f' > 0$). Montrer que $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ et $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$. En déduire : [image réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) et renversée lorsque $d > f'$ ; [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, *agrandie* ($\gamma > 1$) lorsque $0 < d < f'$ — toute [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) est une [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier), utilisée assez près.

**Solution de Exercice 10.15.**

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$, donc $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ et $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$. Si $d > f'$ : $\overline{OA'} > 0$ ([réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images)) et $\gamma < 0$ (renversée). Si $0 < d < f'$ : $\overline{OA'} < 0$ ([virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images)) et $\gamma = f'/(f' - d) > 1$ : droite et agrandie — la configuration de [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier).

## 10.7 Problème : Une formule, trois instruments

**Problème 10.1.**

Problème du week-end — la même relation de conjugaison met au point un appareil photo, prescrit des lunettes de lecture, conçoit une loupe, et mesure le zoom intégré à votre propre œil

Un photographe manœuvre un objectif de $50\,\mathrm{mm}$, une grand-mère tient le journal à bout de bras, un bijoutier se penche sur un diamant : une ligne d’algèbre, $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ ([Théorème 10.7](#thm-g11-lenses-and-eye-conjugate)), traverse les trois métiers — puis l’œil lui-même.

**Partie I — Une formule.** Une [lentille convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) a $f' = 20\,\mathrm{cm}$.

1. Un objet à $60\,\mathrm{cm}$ : calculer $\overline{OA'}$ et $\gamma$ ; décrire l’image.
2. Déplacer l’objet à $30\,\mathrm{cm}$ ; recalculer. Qu’est-ce qui s’est échangé avec la question 1 ? (Les trajets lumineux sont réversibles.)
3. Le placer à $10\,\mathrm{cm}$ , à l’intérieur de $f'$ : recalculer et décrire.
4. Résumer : lorsque l’objet glisse de très loin vers $F$ , puis le dépasse, comment l’image se déplace-t-elle et change-t-elle de nature ?
5. Montrer qu’un objet très lointain ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) se forme toujours dans le plan focal : $\overline{OA'} = f'$ .

**Partie II — Le photographe.** Un objectif d’appareil photo a $f' = 50\,\mathrm{mm}$ ; le capteur, haut de $24\,\mathrm{mm}$, peut se déplacer par rapport à la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

6. Où est le capteur lorsqu’on met au point un paysage lointain ?
7. Maintenant un visage à $1.0\,\mathrm{m}$ : calculer la nouvelle distance lentille–capteur et le débattement depuis le réglage paysage.
8. Le mécanisme autorise au plus $55\,\mathrm{mm}$ de distance lentille–capteur. Calculer la distance minimale de mise au point.
9. À cette mise au point la plus proche, calculer $\gamma$ . L’image d’un visage de $20\,\mathrm{cm}$ tient-elle sur le capteur ?
10. « Macro » grandeur nature signifie $\gamma = -1$ : où doivent alors se trouver l’objet et le capteur, et pourquoi cela exige-t-il un objectif spécial ?

**Partie III — La grand-mère.** Avec l’âge, le [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) s’éloigne : celui de grand-mère est à $1.0\,\mathrm{m}$.

11. Expliquer le journal à bout de bras.
12. Pour lire à $25\,\mathrm{cm}$ , ses lunettes doivent transformer une page à $25\,\mathrm{cm}$ en une [image virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) à $1.0\,\mathrm{m}$ : calculer la [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) requise.
13. Calculer $\gamma$ . L’image est quatre fois plus grande, et pourtant ne paraît pas plus grande : expliquer, en comparant tailles *et* distances.
14. Montrer que l’imprimé n’est net qu’entre $25\,\mathrm{cm}$ et $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ . Qu’en est-il d’un objet *lointain* vu à travers les lunettes ?
15. En déduire en une phrase pourquoi les verres bifocaux existent.

**Partie IV — Le bijoutier, et le zoom propre de l’œil.** La [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) du bijoutier a $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$ ; son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est à $25\,\mathrm{cm}$ ; sa [rétine](#def-g11-lenses-and-eye-eye) est à $17\,\mathrm{mm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de son œil.

16. Une pierre à $4.0\,\mathrm{cm}$ sous la [loupe](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) : position, nature, [grandissement](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) ?
17. Où doit se trouver la pierre pour que son image tombe à son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) , et que vaut alors $\gamma$ ?
18. Pourquoi les bijoutiers expérimentés placent-ils la pierre exactement en $F$ (image à l’infini) ?
19. Maintenant l’œil seul : calculer sa [vergence](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) en regardant un objet lointain, puis un à $25\,\mathrm{cm}$ : combien de [dioptries](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) d’ [accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ?
20. Convertir les deux [vergences](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) en [distances focales](#def-g11-lenses-and-eye-focal) : de combien, en millimètres et en pour cent, l’œil change-t-il sa propre [distance focale](#def-g11-lenses-and-eye-focal) — le zoom que l’appareil photo faisait par débattement et grand-mère par $+3$ D ?

**Solution de Problème 10.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$ : $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -0.50$ — [réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), renversée, moitié de taille.

**2.** $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -2$ : les positions $30\,\mathrm{cm}$ et $60\,\mathrm{cm}$ ont échangé leurs rôles, les [grandissements](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) sont réciproques — la lumière inversée suit le même chemin.

**3.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$ : $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, $\gamma = +2$ — [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, doublée.

**4.** Depuis l’infini l’image commence dans le plan focal ; à mesure que l’objet approche $F$ l’[image réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), renversée, s’éloigne vers l’infini et grandit ; à l’intérieur de $f'$ elle devient [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, agrandie, devant la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**5.** $1/\overline{OA} \approx 0$ laisse $1/\overline{OA'} = 1/f'$ : $\overline{OA'} = f'$, le plan focal.

**6.** Dans le plan focal, à $50\,\mathrm{mm}$ derrière la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**7.** $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$ : $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$ ; débattement $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$.

**8.** $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$ : distance minimale de mise au point $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$.

**9.** $\gamma = 55/(-550) = -0.10$ : le visage se forme à $20\,\mathrm{mm}$, juste dans le capteur de $24\,\mathrm{mm}$.

**10.** $\gamma = -1$ impose $\overline{OA'} = -\overline{OA}$, donc $2/\overline{OA'} = 1/f'$ : objet à $100\,\mathrm{mm}$ ($= 2f'$) devant, capteur à $100\,\mathrm{mm}$ derrière — le double du tirage paysage, bien au-delà du mécanisme de $55\,\mathrm{mm}$ ; les objectifs macro fournissent le débattement supplémentaire.

**11.** Tout ce qui est plus près que son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($1.0\,\mathrm{m}$) est flou : les bras tendus amènent la page aussi près de $1.0\,\mathrm{m}$ que possible — nette, si petite.

**12.** $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

**13.** $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$ : quatre fois plus grande mais quatre fois plus loin — même taille angulaire ; le gain n’est pas la taille mais la *netteté*, puisque l’image se trouve désormais à son [punctum proximum](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**14.** La netteté exige l’image au-delà de $1.0\,\mathrm{m}$ : de la page à $25\,\mathrm{cm}$ (image à $1.0\,\mathrm{m}$) à la page en $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (image à l’infini). Un objet lointain se forme à $33\,\mathrm{cm}$ *derrière* les lunettes — une [image réelle](#def-g11-lenses-and-eye-images) que l’œil ne peut utiliser : le monde lointain est flou.

**15.** D’où les bifocaux : [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) de lecture ([puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power)) dans la moitié inférieure de la [lentille](#def-g11-lenses-and-eye-lens), aucune (ou la correction de loin) dans la moitié supérieure.

**16.** $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$ : $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, [virtuelle](#def-g11-lenses-and-eye-images), droite, $\gamma = +5.0$.

**17.** $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$ : $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$ ; $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$.

**18.** Pierre en $F$ : image à l’infini, vue avec zéro [accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — des heures d’inspection sans fatigue oculaire.

**19.** $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D ; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D : environ $4$ D d’[accommodation](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**20.** $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ contre $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$ : environ $1.1\,\mathrm{mm}$, quelque $6\,\%$ — le zoom intégré que l’appareil photo imitait avec $2.6\,\mathrm{mm}$ de débattement et que grand-mère compensait par $+3$ D.