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title: "Circuits électriques et puissance"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 12
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance
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# Chapitre 12 — Circuits électriques et puissance

Actionnez un interrupteur : une lampe s’allume, parce qu’un générateur à des kilomètres pousse de la charge dans une boucle de cuivre à travers votre mur. Les années précédentes ont cartographié le circuit — intensité, [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage), [loi d’Ohm](#prop-g11-circuits-and-power-ohm). Ce chapitre le rouvre avec le livre de comptes du [Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation) : ce que compte le compteur, pourquoi les fils minces chauffent, pourquoi le réseau tourne à $400\,\mathrm{kV}$.

## 12.1 La charge en mouvement

**Définition 12.1 (Intensité et coulomb).**

Un *courant électrique* est un écoulement ordonné de charge (des électrons, dans un métal). Son intensité $I$, en *ampères* ($\mathrm{A}$), est la charge qui traverse une section du fil par seconde : un courant permanent $I$ pendant un temps $t$ transporte la charge

$$
q = I\,t ,
$$

en *coulombs* ($\mathrm{C}$), avec $1\,\mathrm{C} =
1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$. La charge élémentaire est $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. L’intensité se mesure avec un ampèremètre, inséré en série.

**Exemple 12.2 (Foudre contre téléphone).**

Un coup de foudre transporte quelque $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ pendant environ $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$. Votre téléphone, à $2.0\,\mathrm{A}$, déplace la même charge toutes les $1.5$ secondes.

**Définition 12.3 (Tension et volt).**

La *tension* $U$ entre deux points d’un circuit, en *volts* ($\mathrm{V}$), est l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) échangée par [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de charge qui voyage entre eux : $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$, donc une charge $q$ traversant un dipôle sous tension $U$ échange avec lui l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E = qU$. Un voltmètre, branché en dérivation, la mesure.

**Proposition 12.4 (Lois des circuits).**

Dans un circuit en régime permanent :

1. *loi des nœuds :* les intensités qui arrivent à un nœud s’ajoutent aux intensités qui en partent ;
2. *loi des mailles (série) :* les [tensions](#def-g11-circuits-and-power-voltage) le long d’un chemin s’ajoutent : $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
3. *loi des branches parallèles :* deux branches joignant les mêmes deux points portent la même [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) .

**Démonstration.** En régime permanent la charge ne s’accumule nulle part, donc ce qui entre dans un nœud en sort. L’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) par [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) est additive le long d’un chemin et ne dépend que de ses extrémités — pas de la branche prise entre elles. ∎

## 12.2 Loi d’Ohm et réseaux de résistances

**Définition 12.5 (Résistance).**

La *résistance* d’un conducteur est le rapport $R = U/I$ de la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) à ses bornes à l’intensité qui le traverse, mesurée en *ohms* ($\Omega$) : $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$.

**Proposition 12.6 (Loi d’Ohm).**

Pour un conducteur métallique maintenu à température fixe, $R$ est constante : [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) et intensité sont proportionnelles,

$$
U = R\,I .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 12.7.**

Une loi expérimentale, non universelle : une diode, un filament de lampe chauffante ou votre propre peau ne l’obéissent pas. Pourquoi les métaux l’obéissent est dérivé dans les volumes universitaires.

**Proposition 12.8 (Résistances en série et en parallèle).**

Deux [résistances](#def-g11-circuits-and-power-resistance) en série sont équivalentes à une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$ ; deux en parallèle, à une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R_{\text{p}}$ donnée par

$$
\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ,
\qquad\text{c.-à-d.}\quad
R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .
$$

**Démonstration.** Série : le même $I$ traverse les deux et les [tensions](#def-g11-circuits-and-power-voltage) s’ajoutent ([Proposition 12.4](#prop-g11-circuits-and-power-laws)), donc $U = (R_1 + R_2)\,I$. Parallèle : les deux sont sous la même $U$ et les intensités s’ajoutent, donc $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$. ∎

![Série (à gauche) : une intensité, les tensions s’ajoutent. Parallèle (à droite) : une tension, les intensités s’ajoutent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-d1c9f5a77cbc.svg)

![Série (à gauche) : une intensité, les tensions s’ajoutent. Parallèle (à droite) : une tension, les intensités s’ajoutent.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-cbe8d59b292d.svg)

*Série (à gauche) : une intensité, les [tensions](#def-g11-circuits-and-power-voltage) s’ajoutent. Parallèle (à droite) : une [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage), les intensités s’ajoutent.*

**Exemple 12.9 (Résistance équivalente).**

$R_1 = 100\,\Omega$ et $R_2 = 150\,\Omega$ : en série, $250\,\Omega$ ; en parallèle, $\frac{100 \times 150}{250} =
60\,\Omega$ — moins que chacune : le courant a une seconde route.

## 12.3 Énergie et puissance dans un circuit

**Proposition 12.10 (Puissance électrique).**

Un dipôle sous [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U$ traversé par une intensité $I$ reçoit de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) au taux

$$
P = U\,I , \qquad\text{c.-à-d.}\quad E = U\,I\,t \ \text{pendant un temps } t .
$$

**Démonstration.** Pendant un temps $t$ la charge $q = It$ traverse le dipôle ([Définition 12.1](#def-g11-circuits-and-power-current)) et chaque [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) cède $U$ [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ([Définition 12.3](#def-g11-circuits-and-power-voltage)) : $E = qU = UIt$. ∎

**Proposition 12.11 (Puissance dans une résistance).**

Une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ parcourue par une intensité $I$ dissipe

$$
P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .
$$

**Démonstration.** Substituer la [loi d’Ohm](#prop-g11-circuits-and-power-ohm) dans $P = UI$ : $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$. ∎

**Exemple 12.12 (Lire une plaque signalétique).**

Une bouilloire marquée « $230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$ » tire $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ et a une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = U^2/P = 230^2/2200 =
24\,\Omega$. Pendant $150\,\mathrm{s}$ elle consomme $E = 2200 \times 150
= 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — environ deux centimes.

**Remarque 12.13 (Joules et kilowatt-heures).**

Le compteur compte des [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) ([Définition 9.17](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh)) : $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} =
3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. Les [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) sont l’[unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) du physicien ; les [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) tarifent les factures.

![Puissances d’appareils sur un axe logarithmique : tout ce qui chauffe (rouge) vit un facteur dix au-dessus de tout ce qui calcule ou éclaire (bleu).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-8b3708ceffa9.svg)

*[Puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) d’appareils sur un axe logarithmique : tout ce qui chauffe (rouge) vit un facteur dix au-dessus de tout ce qui calcule ou éclaire (bleu).*

## 12.4 L’effet Joule : du grille-pain au pylône

**Définition 12.14 (Effet Joule).**

La dissipation $P = RI^2$ qui transforme l’[énergie électrique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) en chaleur dans chaque [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) est l’*effet Joule*. Radiateurs, bouilloires, grille-pain et ampoules à filament sont des [résistances](#def-g11-circuits-and-power-resistance) par conception ; un *fusible* est un fil mince calibré pour fondre — ouvrant le circuit — lorsque l’intensité dépasse son calibre.

**Exemple 12.15 (Pourquoi les pylônes tournent haut).**

Un village a besoin de $P = 100\,\mathrm{kW}$ à travers une ligne de [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R_\ell = 5.0\,\Omega$. Livré à $U = 500\,\mathrm{V}$ : $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ et la ligne gaspille $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — le double de la livraison : absurde. À $U = 20\,\mathrm{kV}$ : $I = 5.0\,\mathrm{A}$ et $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$. Quarante fois moins d’intensité, $1600$ fois moins de pertes.

![La livraison de l’ : élever U à P = UI fixé diminue I, et la perte chute avec I2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-d8d2e84fda0f.svg)

*La livraison de l’[Exemple 12.15](#ex-g11-circuits-and-power-transmission) : élever $U$ à $P = UI$ fixé diminue $I$, et la perte chute avec $I^2$.*

**Remarque 12.16 (La règle de fer du réseau).**

À [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) livrée fixe $P = UI$, la perte en ligne $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ chute comme le *carré* de la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) de transport. D’où : élever ($400\,\mathrm{kV}$) pour voyager, abaisser ($230\,\mathrm{V}$) pour vivre.

**Remarque 12.17 (Sécurité domestique).**

Une ligne à $230\,\mathrm{V}$ [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) à $16\,\mathrm{A}$ fournit au plus $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$ : deux bouilloires à la fois fondent le [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) — par conception le maillon le plus mince, le plus faible, bien moins cher qu’un incendie dans le mur.

## 12.5 Piles réelles : force électromotrice

**Définition 12.18 (f.é.m. et résistance interne).**

Une pile convertit l’[énergie chimique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) en [énergie électrique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms). Sa *force électromotrice* (f.é.m.) $\mathcal{E}$, en [volts](#def-g11-circuits-and-power-voltage), est l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) qu’elle cède à chaque [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) qui la traverse ; sa *résistance interne* $r$ rend compte de l’[effet Joule](#def-g11-circuits-and-power-joule) dans sa propre chimie. Modèle : une source idéale $\mathcal{E}$ en série avec $r$ (calligraphique $\mathcal{E}$ : $E$ est l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)).

**Proposition 12.19 (Tension aux bornes).**

Une pile délivrant une intensité $I$ présente à ses bornes

$$
U = \mathcal{E} - r\,I .
$$

**Démonstration.** La chimie fournit $\mathcal{E}I$, la [résistance interne](#def-g11-circuits-and-power-emf) mange $rI^2$, le circuit reçoit $UI$ : la [conservation de l’énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation) ([Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation)) donne $UI = \mathcal{E}I - rI^2$. ∎

**Exemple 12.20 (Une pile en charge).**

Une pile ($\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 1.0\,\Omega$) alimente une ampoule de [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = 8.0\,\Omega$. La boucle obéit à $\mathcal{E} = rI + RI$, donc $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ et $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 =
8.0\,\mathrm{V}$ : l’ampoule reçoit $8.0\,\mathrm{W}$ tandis que la pile gaspille $1.0\,\mathrm{W}$ en se chauffant.

![Caractéristique de décharge de la pile de l’ : les points mesurés s’alignent sur la droite U = E - rI, de pente -r = -1.0\, V/ A.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-2cf673105e68.svg)

*Caractéristique de décharge de la pile de l’[Exemple 12.20](#ex-g11-circuits-and-power-discharge) : les points mesurés s’alignent sur la droite $U = \mathcal{E} - rI$, de pente $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$.*

**Remarque 12.21 (Récepteurs).**

Un moteur ou une batterie en charge fait tourner la conversion à l’envers : il absorbe sous $U = \mathcal{E}' + r'I$, convertissant $\mathcal{E}'I$ en mouvement ou en chimie et perdant $r'I^2$. Les sources poussent, les récepteurs résistent.

**Exemple 12.22 (Rendement d’une pile).**

Le [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) ([Définition 9.12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency)) de la décharge ci-dessus : utile $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ sur $\mathcal{E}I =
9.0\,\mathrm{W}$, donc $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — qui chute quand l’intensité monte : les piles qui travaillent fort chauffent.

## 12.6 Exercices

**Exercice 12.1 ★.**

Une batterie de téléphone se charge à un régime permanent de $2.0\,\mathrm{A}$ pendant $90\,\mathrm{min}$. Quelle charge traverse le câble, en [coulombs](#def-g11-circuits-and-power-current) ? Combien de charges élémentaires est-ce ($e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$) ?

**Solution de Exercice 12.1.**

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$. Nombre de charges élémentaires : $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx
6.8 \times 10^{22}$.

**Exercice 12.2 ★.**

Une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) de $220\,\Omega$ sous $12\,\mathrm{V}$ : quelle intensité circule ? Un élément chauffant tire $0.50\,\mathrm{A}$ sous $230\,\mathrm{V}$ : quelle [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) ?

**Solution de Exercice 12.2.**

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$ ; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$.

**Exercice 12.3 ★.**

Calculer la [résistance équivalente](#prop-g11-circuits-and-power-networks) de $R_1 = 120\,\Omega$ et $R_2 = 60\,\Omega$ en série, puis en parallèle. Laquelle est plus petite que les deux, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 12.3.**

Série : $120 + 60 = 180\,\Omega$. Parallèle : $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — plus petite que les deux : même [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage), mais le courant a une seconde voie, donc plus d’intensité totale et moins de [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance).

**Exercice 12.4 ★.**

Un fer de voyage tire $8.7\,\mathrm{A}$ sous $230\,\mathrm{V}$. Calculer sa [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power), puis l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) qu’il consomme en $4.0\,\mathrm{min}$, en [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) et en [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh).

**Solution de Exercice 12.4.**

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$. En $t = 240\,\mathrm{s}$ : $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6
\times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

**Exercice 12.5 ★.**

Un chargeur d’ordinateur portable délivre $60\,\mathrm{W}$ pendant $5.0\,\mathrm{h}$ par jour : [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) quotidienne en [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) et [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy), et coût à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ?

**Solution de Exercice 12.5.**

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times
3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. Coût : $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euro par jour.

**Exercice 12.6 ★★.**

Un radiateur électrique est calibré à $1200\,\mathrm{W}$ sous $230\,\mathrm{V}$.

1. Calculer sa [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) et l’intensité qu’il tire.
2. Branché (même [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) ) sur une alimentation à $115\,\mathrm{V}$ , quelle [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) délivre-t-il ? Pourquoi pas la moitié ?

**Solution de Exercice 12.6.**

*1.* $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$ ; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$.

*2.* $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$ : un quart, pas la moitié, car diviser $U$ par deux divise aussi $I$ par deux, et $P = UI \propto U^2$.

**Exercice 12.7 ★★.**

$R_1 = 40\,\Omega$ et $R_2 = 20\,\Omega$ en série sous $12\,\mathrm{V}$. Calculer l’intensité, la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) aux bornes de chaque [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance), et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) dissipée dans chacune ; vérifier que les [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) s’ajoutent en $UI$.

**Solution de Exercice 12.7.**

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$, donc $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$. $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$, $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (somme $12\,\mathrm{V}$) ; $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$, $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$ : total $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$, comme il se doit.

**Exercice 12.8 ★★.**

$R_1 = 60\,\Omega$ et $R_2 = 30\,\Omega$ en parallèle sous $12\,\mathrm{V}$. Calculer l’intensité de chaque branche, l’intensité totale, et la [résistance équivalente](#prop-g11-circuits-and-power-networks) de deux manières.

**Solution de Exercice 12.8.**

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$, $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$, total $I = 0.60\,\mathrm{A}$. Équivalente : $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$, et en effet $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$.

**Exercice 12.9 ★★.**

Une pile délivre $U = 5.5\,\mathrm{V}$ à $I = 0.50\,\mathrm{A}$, et $U = 4.0\,\mathrm{V}$ à $I = 2.0\,\mathrm{A}$. Trouver sa f.é.m. $\mathcal{E}$ et sa [résistance interne](#def-g11-circuits-and-power-emf) $r$, puis l’intensité de court-circuit $\mathcal{E}/r$.

**Solution de Exercice 12.9.**

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ et $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$ ; en soustrayant, $1.5\,r = 1.5$, donc $r = 1.0\,\Omega$ et $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$. Court-circuit : $\mathcal{E}/r =
6.0\,\mathrm{A}$.

**Exercice 12.10 ★★.**

Une ligne de cuisine à $230\,\mathrm{V}$ est protégée par un [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) de $16\,\mathrm{A}$. Une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ et un grille-pain de $1.0\,\mathrm{kW}$ tournent ensemble : le [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) tient-il ? Quelqu’un ajoute un radiateur de $1.5\,\mathrm{kW}$ : montrer qu’il fond.

**Solution de Exercice 12.10.**

Bouilloire $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$, grille-pain $1000/230 =
4.3\,\mathrm{A}$ : total $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$, le [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) tient. Radiateur $1500/230 =
6.5\,\mathrm{A}$ : total $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$, il fond (équivalemment, $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$).

**Exercice 12.11 ★★.**

Un atelier a besoin de $10\,\mathrm{kW}$ à travers un câble d’alimentation de [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$. Calculer l’intensité et la perte Joule si la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) est livrée à $200\,\mathrm{V}$, puis à $4.0\,\mathrm{kV}$. Comparer les deux pertes et expliquer le rapport.

**Solution de Exercice 12.11.**

À $200\,\mathrm{V}$ : $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$, perte $RI^2 = 2.0 \times
50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — la moitié de la livraison. À $4.0\,\mathrm{kV}$ : $I = 2.5\,\mathrm{A}$, perte $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$. Rapport $400 = 20^2$ : vingt fois la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) signifie vingt fois moins d’intensité, et la perte va en $I^2$.

**Exercice 12.12 ★★★.**

Avec trois [résistances](#def-g11-circuits-and-power-resistance) identiques de $60\,\Omega$, lister chaque [résistance équivalente](#prop-g11-circuits-and-power-networks) distincte (série, parallèle, mixte) ; calculer chacune.

**Solution de Exercice 12.12.**

Quatre montages : tous en série, $3 \times 60 = 180\,\Omega$ ; tous en parallèle, $60/3 = 20\,\Omega$ ; un en série avec deux en parallèle, $60 + 30 = 90\,\Omega$ ; un en parallèle avec deux en série, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$.

**Exercice 12.13 ★★★.**

Une pile ($\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$, $r = 1.5\,\Omega$) alimente une [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = 6.0\,\Omega$.

1. Calculer $I$ , $U$ , la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) utile dans $R$ , la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) perdue dans $r$ , et le [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) .
2. Montrer que la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) reçue par un $R$ variable, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , est maximale lorsque $R = r$ (indication : $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), et calculer ce maximum.

**Solution de Exercice 12.13.**

*1.* $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$ ; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$ ; utile $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$ ; perdue $rI^2 =
1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$ ; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 =
0.80$.

*2.* Par l’indication, $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R +
4r\big]$ ; le crochet est minimal ($= 4r$) exactement lorsque $R = r$, donc $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$.

**Exercice 12.14 ★★★.**

Une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ de [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0{,}90$ amène $1.0\,\mathrm{kg}$ d’eau de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ à ébullition (chauffer l’eau demande $4180\,\mathrm{J}$ par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) et par degré). Calculer la chaleur requise, l’[énergie électrique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) tirée, le temps de chauffe, et le coût à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

**Solution de Exercice 12.14.**

Chaleur : $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Électrique : $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Temps : $t = E/P =
3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$, moins de trois minutes. Coût : $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$, environ $2{,}6$ centimes.

**Exercice 12.15 ★★★.**

Une batterie de voiture : $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$, $r = 0.020\,\Omega$, capacité $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$.

1. Convertir la capacité en [coulombs](#def-g11-circuits-and-power-current) , et estimer l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée ( $E \approx  \mathcal{E} q$ ) en [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) et en [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) .
2. Le démarreur tire $150\,\mathrm{A}$ : calculer la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) aux bornes, la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) délivrée, et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) perdue à l’intérieur.
3. Expliquer pourquoi les phares baissent pendant le démarrage.

**Solution de Exercice 12.15.**

*1.* $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$ ; $E \approx \mathcal{E}q
= 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J} \approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

*2.* $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$ ; délivrée $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$ ; perdue $rI^2 = 0.020 \times 150^2 = 450\,\mathrm{W}$.

*3.* Les phares sont aux bornes : pendant le démarrage, la [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) aux bornes chute de $12.7$ à $9.7\,\mathrm{V}$, donc ils reçoivent moins de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) et baissent.

## 12.7 Problème : Du barrage au grille-pain

**Problème 12.1.**

Problème du week-end — le voyage de mille kilomètres d’un kilowatt-heure, de l’eau qui tombe jusqu’au pain qui dore, avec la facture complète du trajet

Un barrage de montagne retient de l’eau à $200\,\mathrm{m}$ au-dessus de ses turbines, qui avalent $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — par seconde ; turbine et alternateur convertissent avec un [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0{,}90$. À travers une ligne de [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) totale $R_\ell = 32\,\Omega$ ($1000\,\mathrm{km}$ aller-retour) la centrale alimente une ville où votre grille-pain de $900\,\mathrm{W}$ attend sous $230\,\mathrm{V}$. L’alternateur sort $20\,\mathrm{kV}$ ; des transformateurs ([rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0{,}99$ chacun) convertissent les [tensions](#def-g11-circuits-and-power-voltage) à volonté. L’électricité se vend à $0{,}25$ euro par $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

**Partie I — Au barrage.**

1. Quelle [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) potentielle l’eau qui tombe libère-t-elle chaque seconde ? En déduire la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) disponible pour les turbines.
2. Quelle [puissance électrique](#prop-g11-circuits-and-power-power) quitte l’alternateur ?
3. À $20\,\mathrm{kV}$ directement depuis l’alternateur, quelle intensité circule ?
4. Calculer la perte Joule $R_\ell I^2$ à cette intensité et la comparer à la sortie de la centrale. Conclure.
5. La [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) $P = UI$ de la ville est fixée par la demande. Quelle est la seule façon de diminuer $I$ , et quel appareil la réalise ?

**Partie II — Sur la ligne.**

6. Un transformateur, traité comme sans pertes pour cette question, élève les $88\,\mathrm{MW}$ à $400\,\mathrm{kV}$ : quelle intensité circule maintenant ?
7. Calculer la nouvelle perte en ligne, en mégawatts.
8. Quelle fraction de la sortie de la centrale est perdue en ligne ?
9. Montrer que la fraction perdue vaut $R_\ell P/U^2$ , et vérifier que cela explique le facteur entre les questions 4 et 7.
10. Calculer la chute de [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $R_\ell I$ le long de la ligne à $400\,\mathrm{kV}$ . Est-elle cohérente avec la question 8 ?

**Partie III — Dans la cuisine.**

11. Convertir $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ en [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ; que multiplie le compteur ?
12. Calculer l’intensité et la [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) du grille-pain sous $230\,\mathrm{V}$ .
13. Trois minutes de toast : l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) en [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) et en [kilowatt-heures](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) , et son prix.
14. Le grille-pain dissipe $RI^2$ : expliquer en une phrase pourquoi la même formule est la perte sur la ligne, le produit dans la cuisine.
15. Le grille-pain partage un [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) de $16\,\mathrm{A}$ avec une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ : le [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) tient-il ? Un radiateur de $2.0\,\mathrm{kW}$ s’ajoute : et maintenant ?

**Partie IV — L’audit.**

16. Le câblage propre de la maison, [résistance](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $0.05\,\Omega$ , porte les $13.5\,\mathrm{A}$ de la question 15 : calculer la perte et sa fraction des environ $3.1\,\mathrm{kW}$ livrés.
17. Enchaîner les [rendements](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) (turbine–alternateur, élévation, ligne, abaissement, câblage de maison) en un [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) global du réseau.
18. Combien de [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) (et de [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cubes) d’eau du barrage doivent tomber pour qu’ *un* [kilowatt-heure](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) atteigne votre grille-pain ?
19. Évaluer la fraction perdue $R_\ell P/U^2$ de la question 9 à $U = 20\,\mathrm{kV}$ . Que signifie une valeur supérieure à $1$ ?
20. La chute — *le prix de la distance* : en deux phrases, que coûte un [kilowatt-heure](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) toasté à la montagne, quelle fraction meurt en route, et quel unique tour le rend possible ?

**Solution de Problème 12.1.**

**1.** Chaque seconde, $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81
\times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$ : [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) disponible $98\,\mathrm{MW}$.

**2.** $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$.

**3.** $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} = 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$.

**4.** $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx
6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — sept fois la sortie de la centrale : transmettre à $20\,\mathrm{kV}$ est impossible.

**5.** Avec $P = UI$ fixe, seule l’élévation de $U$ diminue $I$ : un transformateur.

**6.** $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$.

**7.** $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$.

**8.** $1.6/88 \approx 0.018$ : environ $1{,}8\,\%$.

**9.** Fraction $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2
\propto 1/U^2$ : de $20\,\mathrm{kV}$ à $400\,\mathrm{kV}$ elle chute d’un facteur $20^2 = 400$, et en effet $620\,\mathrm{MW}/400 \approx
1.6\,\mathrm{MW}$.

**10.** $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$ : $1{,}8\,\%$ de $400\,\mathrm{kV}$, la même fraction que la question 8, puisque $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$.

**11.** $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ : le compteur multiplie la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) tirée par le temps pendant lequel elle est tirée, et additionne.

**12.** $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$ ; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$.

**13.** $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ : environ $1{,}1$ centime.

**14.** La physique de $RI^2$ est identique ; seul le but diffère — sur la ligne la chaleur est indésirable, dans le grille-pain la chaleur *est* le produit.

**15.** $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$ : tient. Radiateur $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$ : total $22.2\,\mathrm{A} >
16\,\mathrm{A}$, le [fusible](#def-g11-circuits-and-power-joule) fond.

**16.** $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$ : $9.1/3100 \approx
0.3\,\%$ de la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) livrée — négligeable sur des fils courts.

**17.** $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times
0.997 \approx 0.86$.

**18.** Un [kilowatt-heure](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) toasté demande $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ en amont : $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, environ $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau.

**19.** $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times
10^{4})^2 \approx 7$. Une « fraction » supérieure à $1$ signifie que la ligne dissiperait plus qu’elle ne transporte : la livraison ne peut pas se faire du tout à cette [tension](#def-g11-circuits-and-power-voltage).

**20.** Un [kilowatt-heure](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-kwh) toasté coûte à la montagne environ deux tonnes — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — d’eau tombant de $200\,\mathrm{m}$, et quelque $14\,\%$ de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) meurt en route, surtout dans les turbines et transformateurs (moins de $2\,\%$ sur $1000\,\mathrm{km}$ de ligne). L’unique tour qui rend le voyage possible est le transformateur : élever à $400\,\mathrm{kV}$ divise l’intensité par $20$ et la perte Joule par $400$.