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title: "Champs électrique et gravitationnel"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 14
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel
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# Chapitre 14 — Champs électrique et gravitationnel

Comment la Terre attire-t-elle une pomme qu’elle ne touche jamais ? Newton lui-même appelait l’action à distance « une si grande absurdité » qu’il refusait de la défendre. La réponse moderne : une masse, ou une charge, modifie l’espace autour d’elle — elle crée un *[champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field)* — et tout ce qui y est placé répond au [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en son propre emplacement. Nous construisons les deux grands exemples côte à côte, jusqu’à ce que l’analogie devienne une identité de forme.

## 14.1 De l’action à distance au champ

**Définition 14.1 (Champ).**

Un *champ* assigne à chaque point de l’espace un vecteur. Une source (une charge, une masse) crée son champ partout autour d’elle, qu’il y ait ou non quelque chose pour le sentir ; un objet test ressent alors une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) déterminée par le champ *en son propre emplacement* seul. Cette image en deux étapes remplace l’action à distance.

**Remarque 14.2.**

Le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) n’est pas un tour de comptabilité : il transporte de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy), et les changements de la source s’y propagent à vitesse finie — la lumière elle-même est un tel [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en voyage ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/22-la-lumiere-comme-onde-diffraction-et-interferences#ch-g12-light-as-wave)). Ici nous étudions des [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) qui ne changent pas dans le temps.

## 14.2 Le champ électrique

**Définition 14.3 (Champ électrique).**

Si une petite charge test $q$ placée en un point $M$ ressent une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique $\vect F$, le *champ électrique* en $M$ est

$$
\vect E = \frac{\vect F}{q}
\qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, aussi écrit $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

$\vect E$ ne dépend que des sources et de $M$, non de la charge test : doubler $q$ double $\vect F$, laissant le quotient inchangé.

**Proposition 14.4 (Force sur une charge).**

Une charge $q$ placée là où le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est $\vect E$ ressent la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $\vect F = q \vect E$ : dans le sens de $\vect E$ si $q > 0$, opposé à $\vect E$ si $q < 0$, de grandeur $F = \abs{q}\,E$.

**Démonstration.** Réarranger la définition ; la règle de signe est l’algèbre d’un multiple négatif. ∎

**Exemple 14.5 (Lire un champ).**

Une charge test $q = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ en $M$ ressent une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de $6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ pointant vers l’est. Le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en $M$ est $E = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, pointant vers l’est ; $q' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ placée au même point ressent $F = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ — pointant vers l’ouest.

**Proposition 14.6 (Champ d’une charge ponctuelle).**

Une charge ponctuelle $Q$ crée, à la distance $d$, un [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) le long de la droite joignant la charge au point — s’éloignant de $Q$ si $Q > 0$, vers elle si $Q < 0$ — de grandeur

$$
E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2},
\qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.
$$

**Démonstration.** La loi de Coulomb ([Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#ch-g11-fundamental-interactions)) donne la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur une charge test $q$ à la distance $d$ : grandeur $k \abs{qQ} / d^2$, le long de la droite de jointure, répulsive pour des signes identiques. Diviser par $q$ et appliquer le [Proposition 14.4](#prop-g11-electric-gravitational-fields-force). ∎

**Exemple 14.7 (Une sphère chargée).**

Une sphère de Van de Graaff porte $Q = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ (une petite sphère chargée agit comme une charge ponctuelle en son centre). À $d = 0.50\,\mathrm{m}$ :

$$
E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},
$$

pointant radialement hors de la sphère. À $1.0\,\mathrm{m}$ elle est tombée au quart : le $1/d^2$ de la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) survit dans le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Définition 14.8 (Lignes de champ).**

Une *ligne de champ* est une courbe partout tangente au [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), une flèche donnant la direction du [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Trois règles :

- elles partent des charges positives et arrivent aux charges négatives ;
- là où les lignes se serrent le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est fort ; là où elles s’écartent, faible ;
- deux lignes ne se croisent jamais : le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a une seule direction en chaque point.

![Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radialement hors de +, vers - ; le resserrement près de la charge figure la croissance en 1/d2 du champ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-fb95c245904e.svg)

![Lignes de champ d’une charge ponctuelle : radialement hors de +, vers - ; le resserrement près de la charge figure la croissance en 1/d2 du champ.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-2f2b1844cddd.svg)

*[Lignes de champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) d’une charge ponctuelle : radialement hors de $+$, vers $-$ ; le resserrement près de la charge figure la croissance en $1/d^2$ du [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).*

## 14.3 Le champ uniforme d’un condensateur

**Définition 14.9 (Condensateur plan).**

Deux plaques métalliques parallèles face à face, proches et portant des charges opposées, forment un *condensateur*. Entre les plaques le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est *uniforme* : même grandeur et même direction partout — perpendiculaire aux plaques, de la plaque positive vers la négative.

**Proposition 14.10 (Champ entre les plaques).**

Si la tension entre les plaques ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power)) est $U$ et leur écartement est $d$, le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre elles a pour grandeur

$$
E = \frac{U}{d} \qquad \text{(en $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 14.11.**

L’uniformité et $E = U/d$ sont dérivés honnêtement dans le volume de l’année 1 ; la formule explique l’[unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Des écarts minces font des [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) forts : $100\,\mathrm{V}$ sur un millimètre font déjà $10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Exemple 14.12 (Diriger un faisceau d’électrons).**

Dans un [oscilloscope](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), le faisceau passe entre des plaques avec $U = 100\,\mathrm{V}$ et $d = 5.0\,\mathrm{mm}$ : $E = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, et chaque électron ressent $F = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ vers la plaque positive — $4 \times 10^{14}$ fois son [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de $8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$, donc le faisceau dévie visiblement (la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) courbe est l’affaire du [Chapitre 25](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

![Le champ uniforme d’un condensateur : lignes parallèles, également espacées, de la plaque + à la plaque -, E = U/d ; une charge positive est poussée le long du champ, une négative contre lui.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-aac0076074e6.svg)

*Le [champ uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) d’un [condensateur](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) : lignes parallèles, également espacées, de la plaque $+$ à la plaque $-$, $E = U/d$ ; une charge positive est poussée le long du [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), une négative contre lui.*

## 14.4 Le champ gravitationnel

**Définition 14.13 (Champ gravitationnel).**

Si une masse test $m$ placée en un point ressent une [force gravitationnelle](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-force) (un [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight)) $\vect P$, le *champ gravitationnel* y est

$$
\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},
$$

et inversement $\vect P = m \vect g$. Un chapitre antérieur a introduit le nombre $g$ ; $\vect g$ ajoute la direction dans laquelle une pierre lâchée commence à se déplacer.

**Proposition 14.14 (Champ de la Terre).**

À la distance $d$ du centre de la Terre (masse $M$), le [champ gravitationnel](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) pointe vers le centre et a pour grandeur

$$
g = G\,\frac{M}{d^2},
\qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

**Démonstration.** La [gravitation](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-four) universelle ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#ch-g10-universal-gravitation)) donne la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur une masse test $m$ : grandeur $G M m / d^2$, vers le centre ; diviser par $m$. À la surface, $d = R$ et c’est le $g = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ du chapitre antérieur. ∎

**Exemple 14.15 (Le champ là où vit la Lune).**

À la distance de la Lune $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

$$
g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2
\approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

Le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre ne s’arrête jamais — il ne fait que s’amincir en $1/d^2$ ; c’est le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) qui tient la Lune sur son [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Remarque 14.16 (Uniforme près de la surface).**

Sur un laboratoire ou même une montagne, $d$ change à peine par rapport à $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, donc $\vect g$ est [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) à haute précision : lignes verticales, $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ constant — le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre ressemble à celui du [condensateur](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), tout comme la Terre ronde paraît plate depuis un jardin.

![Le champ gravitationnel de la Terre : radial, pointant vers le centre, de grandeur GM/d2 — le portrait exact du champ d’une charge ponctuelle négative.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-ece6a52d6104.svg)

*Le [champ gravitationnel](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) de la Terre : radial, pointant vers le centre, de grandeur $GM/d^2$ — le portrait exact du [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) d’une charge ponctuelle négative.*

## 14.5 Une idée, deux forces

Les deux [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de ce chapitre sont la même mathématique sous deux costumes :

|  | **électrique** | **gravitationnel** |
| --- | --- | --- |
| source | charge $Q$ | masse $M$ |
| [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) | $\vect E = \vect F / q$ | $\vect g = \vect P / m$ |
| [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) | $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ = $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ | $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ |
| source ponctuelle | $E = k \abs{Q} / d^2$ | $g = G M / d^2$ |
| constante | $k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ | $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ |
| [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur un test | $\vect F = q \vect E$ | $\vect P = m \vect g$ |
| [lignes de champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) | hors de $+$, vers $-$ | toujours vers la masse |

Chaque formule de gauche devient celle de droite sous le dictionnaire $q \leftrightarrow m$, $\vect E \leftrightarrow \vect g$, $k \leftrightarrow G$.

**Remarque 14.17 (Où l’analogie se brise).**

La charge a deux signes ; la masse un seul. Donc les [champs électriques](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) peuvent s’annuler : les charges redistribuées d’une boîte métallique effacent tout [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) externe à l’intérieur (une *cage de Faraday* — pourquoi un ascenseur tue le [signal](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-signal) de votre téléphone), et la matière en volume, avec $+$ et $-$ équilibrés, est électriquement silencieuse. La gravité ne peut être ni écrantée ni neutralisée : chaque [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ajoute son attraction — ce qui explique pourquoi la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) plus faible d’un facteur $10^{39}$ ([Exercice 14.10](#exo-g11-electric-gravitational-fields-10)) gouverne l’univers aux grandes échelles.

## 14.6 Exercices

**Exercice 14.1 ★.**

Une charge test $q = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ en un point $M$ ressent une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ pointant vers le nord. Donner le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en $M$ (grandeur et direction), puis la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur $q' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ placée en $M$.

**Solution de Exercice 14.1.**

$E = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, pointant vers le nord. Sur $q'$ : $F = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, pointant vers le *sud* ($q' < 0$).

**Exercice 14.2 ★.**

Une charge ponctuelle $Q = 5.0\,\mathrm{nC}$ est en $O$.

1. Calculer le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) à $d = 30\,\mathrm{cm}$ : grandeur, direction.
2. À quelle distance le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est-il deux fois plus faible ?

**Solution de Exercice 14.2.**

*1.* $E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2
\approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, pointant hors de $O$ ($Q > 0$).

*2.* Diviser $k\abs{Q}/d^2$ par deux exige de doubler $d^2$ : $d' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}$.

**Exercice 14.3 ★.**

Un [condensateur](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) a $U = 600\,\mathrm{V}$ aux bornes de plaques distantes de $3.0\,\mathrm{mm}$. Calculer le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), puis la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur un électron y ($e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$).

**Solution de Exercice 14.3.**

$E = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; $F = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$.

**Exercice 14.4 ★.**

Sur Mars, une sonde de $250\,\mathrm{kg}$ pèse $930\,\mathrm{N}$. Calculer le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de surface martien $g_{\text{Mars}}$, puis le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un astronaute de $80\,\mathrm{kg}$ là-bas.

**Solution de Exercice 14.4.**

$g_{\text{Mars}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$. Astronaute : $P = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ (environ $780\,\mathrm{N}$ sur Terre).

**Exercice 14.5 ★.**

Vrai ou faux, avec une raison chacune : (a) deux [lignes de champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) peuvent se croiser là où le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est fort ; (b) les [lignes de champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) partent des charges négatives et arrivent aux positives ; (c) des [lignes de champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) resserrées signalent un [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) fort.

**Solution de Exercice 14.5.**

(a) Faux : le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a une seule direction en chaque point, donc les lignes ne se croisent jamais. (b) Faux : elles partent de $+$ et arrivent à $-$. (c) Vrai : le resserrement code la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force).

**Exercice 14.6 ★★.**

La Station spatiale internationale [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) à l’altitude $420\,\mathrm{km}$ ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$).

1. Calculer $g$ à la station ; quelle fraction de la valeur de surface ?
2. Les astronautes flottent. Réconcilier cela avec votre réponse en une phrase.

**Solution de Exercice 14.6.**

*1.* $d = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, donc $g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2
\approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — $88\,\%$ de la valeur de surface.

*2.* Ils flottent parce que station et astronaute tombent ensemble (chute libre), non parce que la gravité est absente.

**Exercice 14.7 ★★.**

Quelle grandeur de [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) équilibrerait le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un électron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$) ? Comparer avec les $2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ de l’[Exemple 14.12](#ex-g11-electric-gravitational-fields-beam) ; conclure sur la place de la gravité en physique des électrons.

**Solution de Exercice 14.7.**

$E = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19}
\approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ : quelque $4 \times 10^{14}$ fois plus faible que le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de l’ [oscilloscope](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope). La gravité est totalement négligeable en physique des électrons.

**Exercice 14.8 ★★.**

Un grain de poussière de masse $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ flotte au repos entre des plaques horizontales distantes de $2.0\,\mathrm{cm}$ avec $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ à leurs bornes.

1. Calculer le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) , puis la grandeur de la charge du grain.
2. La charge du grain est positive : laquelle des plaques est la positive ?
3. Combien de [charges élémentaires](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) le grain porte-t-il ?

**Solution de Exercice 14.8.**

*1.* $E = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ ; au repos $qE = mg$, donc $q = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}$.

*2.* La [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur le grain positif doit pointer vers le haut, donc $\vect E$ pointe vers le haut : la plaque *inférieure* est positive.

*3.* $n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8}$ [charges élémentaires](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary).

**Exercice 14.9 ★★.**

Des charges $+Q$ et $+4Q$ sont distantes de $30\,\mathrm{cm}$. Où sur le segment qui les joint le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total est-il nul ? Expliquer d’abord pourquoi le point doit se trouver entre les charges, plus près de la plus petite.

**Solution de Exercice 14.9.**

Hors du segment les deux [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) pointent dans le même sens ; entre, ils s’opposent — et l’équilibre exige le point plus près de la source plus faible $+Q$. Avec $x$ la distance à $+Q$ : $kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2$, donc $0.30 - x = 2x$ et $x = 0.10\,\mathrm{m}$ depuis $+Q$.

**Exercice 14.10 ★★.**

Dans un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’hydrogène, le proton ($m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, charge $+e$) et l’électron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, charge $-e$) sont distants de $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. Calculer les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique et gravitationnelle entre eux, et leur rapport.

**Solution de Exercice 14.10.**

$F_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 /
(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$ ; $F_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times
9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$. Rapport $F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}$.

**Exercice 14.11 ★★.**

En un point $M$, une source seule créerait un [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ pointant vers l’est ; une seconde, $400\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ pointant vers le nord. Les [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) s’ajoutent comme des vecteurs : donner le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total en $M$ (grandeur et direction), puis la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur $q = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ placée là.

**Solution de Exercice 14.11.**

$E = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, à $\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ}$ nord de l’est. Sur $q < 0$ : $F = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$, opposé au [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — $53{}^{\circ}$ sud de l’ouest.

**Exercice 14.12 ★★★.**

À quelle altitude le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre est-il tombé à la moitié de sa valeur de surface ? Et à l’altitude $h = R$, à quelle fraction ?

**Solution de Exercice 14.12.**

$GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2$ donne $R + h = R\sqrt{2}$, donc $h = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (environ $2600\,\mathrm{km}$). À $h = R$, $d = 2R$ : un quart de la valeur de surface.

**Exercice 14.13 ★★★.**

Des charges de $2.0\,\mathrm{nC}$ sont en $A$ et $B$, distantes de $6.0\,\mathrm{cm}$. $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, à $4.0\,\mathrm{cm}$ de son milieu.

1. Calculer la distance $AM$ , puis la grandeur du [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que chaque charge crée en $M$ .
2. Ajouter les deux [champs](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) comme vecteurs (utiliser la symétrie) et donner le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total en $M$ , grandeur et direction.

**Solution de Exercice 14.13.**

*1.* $AM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}$ ; chaque charge crée $E_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2
\approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$.

*2.* Les composantes le long de $AB$ s’annulent par symétrie ; chaque [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) contribue $E_1 \times 4/5$ le long de la médiatrice, hors du segment : $E = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx 1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, dirigé le long de la médiatrice, hors de $[AB]$.

**Exercice 14.14 ★★★.**

Expliquer, en utilisant les deux signes de la charge, comment les charges libres d’une boîte métallique annulent un [champ électrique](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) externe partout à l’intérieur — et pourquoi aucun arrangement de masses ne peut faire de même pour la gravité. Quel ingrédient impossible un bouclier gravitationnel exigerait-il ?

**Solution de Exercice 14.14.**

Les charges libres de la boîte se déplacent sous le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) externe : les $+$ s’accumulent sur une face, les $-$ sur l’autre, et ces charges déplacées créent un [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) interne opposé à l’externe. Elles continuent à se déplacer jusqu’à ce que le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total à l’intérieur soit exactement nul — alors équilibre. La gravité n’offre qu’un signe de source : chaque masse *ajoute* un [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) attractif, aucune ne peut s’y opposer. Un bouclier gravitationnel exigerait de la masse négative, qui n’existe pas.

**Exercice 14.15 ★★★.**

Une petite bille ($m = 0.50\,\mathrm{g}$, $q = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$) pend à un fil dans un [champ uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) horizontal $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Au repos, le fil fait un angle $\theta$ avec la verticale.

1. Lister les trois [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) ; expliquer pourquoi $\tan\theta = qE / (mg)$ .
2. Calculer $\theta$ , puis la tension du fil.

**Solution de Exercice 14.15.**

*1.* [Poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) $m\vect g$ (vers le bas), tension $\vect T$ (le long du fil), [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique $q\vect E$ (horizontale). Au repos, $T\sin\theta = qE$ et $T\cos\theta = mg$ ; diviser : $\tan\theta = qE/(mg)$.

*2.* $\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} /
(5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41$, donc $\theta \approx 22{}^{\circ}$ ; $T = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$.

## 14.7 Problème : La gouttelette de Millikan

**Problème 14.1.**

Problème du week-end — peser la charge de l’électron : une gouttelette d’huile stationnée en l’air entre deux plaques révèle que la charge vient par pas indivisibles de $1.60 \times 10^{-19}$ [coulombs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge)

En 1909, Robert Millikan pulvérisait des gouttelettes d’huile entre les plaques horizontales d’un [condensateur](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor). En réglant la tension jusqu’à ce qu’une gouttelette choisie reste immobile — la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique équilibrant exactement le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) — il pouvait peser sa charge. Notre gouttelette a une masse $m = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ (mesurée d’après sa chute lente [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) éteint ; nous la prenons comme donnée) ; les plaques sont distantes de $d = 8.0\,\mathrm{mm}$, la plaque *supérieure* est positive ; la charge de la gouttelette est négative.

**Partie I — La scène.**

1. Décrire le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre les plaques ; que gagne-t-on avec « [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) » ?
2. Pour $U = 800\,\mathrm{V}$ , calculer $E$ .
3. Dans quelle direction la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique sur la gouttelette ? Pourquoi la plaque *supérieure* devait-elle être la positive ?
4. Calculer le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de la gouttelette.
5. Écrire la condition de repos comme une égalité de deux grandeurs de [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) .

**Partie II — L’équilibre.**

6. À partir de là, exprimer $\abs{q}$ en fonction de $m$ , $g$ , $d$ et $U$ .
7. La gouttelette reste au repos pour $U = 800\,\mathrm{V}$ : calculer $\abs{q}$ .
8. Diviser par $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . Combien d’électrons en excès la gouttelette porte-t-elle ?
9. La tension est poussée à $900\,\mathrm{V}$ . Dans quelle direction la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) résultante pointe-t-elle maintenant ?
10. Montrer que la tension d’équilibre est $U = mgd/\abs{q}$ : plus la charge est grande, plus la tension est petite.

**Partie III — Les pas.** Une rafale de rayonnement peut arracher ou déposer des électrons sur la gouttelette ; après chaque changement, Millikan retombe la tension pour l’équilibre.

11. Après une rafale, l’équilibre exige $U = 1200\,\mathrm{V}$ . Calculer le nouveau $\abs{q}$ . La gouttelette a-t-elle gagné ou perdu un électron ?
12. Des équilibres successifs sont trouvés à $U = 1200$ , $800$ , $600$ , $480$ et $400\,\mathrm{V}$ . Calculer les cinq charges.
13. Montrer que les cinq sont des multiples entiers d’une seule quantité ; donner sa valeur.
14. Entre équilibres consécutifs, de combien la charge change-t-elle ? Interpréter.
15. Expliquer pourquoi cette gouttelette ne peut jamais rester au repos à $U = 700\,\mathrm{V}$ , si patiemment qu’on règle.
16. Millikan a répété cela sur des centaines de gouttelettes : chaque charge mesurée était un multiple entier de la même valeur. Énoncer la conclusion, et nommer la quantité mesurée.

**Partie IV — Pourquoi il n’y a pas de Millikan gravitationnel.**

17. Dans le dictionnaire de ce chapitre, que jouent les rôles de $q$ , $E$ et $qE$ dans l’équilibre de la partie II ?
18. Une masse au-dessus pourrait-elle soutenir la gouttelette à la place ? Calculer le [champ](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) d’une sphère de plomb de $1000\,\mathrm{kg}$ à $1.0\,\mathrm{m}$ au-dessus de la gouttelette, la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la gouttelette, et comparer avec son [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) .
19. L’équilibre exige une attraction vers le haut assez forte pour combattre toute la Terre. Pourquoi une plaque de charge peut-elle la fournir et aucun arrangement de masses ne le peut ?
20. La *masse* de la gouttelette change aussi par pas (une [molécule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’huile : environ $5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ). Comparer les sauts relatifs en $m$ et en $\abs{q}$ quand un électron se pose, et conclure : pourquoi cet équilibre voit-il les [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de l’électricité mais pas les [molécules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’huile ? Chute : la charge est quantifiée, et son [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) est $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

**Solution de Problème 14.1.**

**1.** [Uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), perpendiculaire aux plaques, pointant vers le bas (de la plaque $+$ supérieure vers la $-$ inférieure) ; l’uniformité signifie que la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la gouttelette est la même où qu’elle dérive. **2.** $E = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. **3.** La charge est négative, donc la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) est *opposée* à $\vect E$ : vers le haut. Seule avec la plaque $+$ en haut $\vect E$ pointe vers le bas et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) électrique combat le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight). **4.** $P = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx
4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$. **5.** $\abs{q}E = mg$. **6.** $\abs{q} = mg/E = mgd/U$. **7.** $\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800
\approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **8.** $n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3$ électrons en excès. **9.** $E$ croît, donc $\abs{q}E > mg$ : la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) résultante pointe vers le haut. **10.** De $\abs{q}\,U/d = mg$, $U = mgd/\abs{q}$ — inversement proportionnel à la charge. **11.** $\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx
3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e$ : en baisse depuis $3e$, la gouttelette a *perdu* un électron. **12.** $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U$ : $3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **13.** Ce sont $2e, 3e, 4e, 5e, 6e$ avec $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **14.** Chaque pas change $\abs{q}$ de exactement $1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ : un électron se pose à la fois. **15.** Il faudrait $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx
5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e$ — pas un nombre entier d’électrons, donc aucune rafale de rayonnement ne peut jamais le produire. **16.** La charge est *quantifiée* : elle vient par multiples entiers de la [charge élémentaire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — la quantité que Millikan a mesurée. **17.** $q \leftrightarrow m$, $E \leftrightarrow g$, et $\abs{q}E \leftrightarrow mg$ : le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) lui-même. **18.** $g_{\text{sphère}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 /
1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ; [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la gouttelette $4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx
3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N}$ — environ $1.5 \times 10^{8}$ fois plus petite que son [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight). Sans espoir. **19.** Parce que $G$ est si petit, seule une masse de taille planétaire au-dessus pourrait rivaliser avec l’attraction de la Terre — et aucune masse ne repousse. L’énorme $k$ et les deux signes de la charge laissent une plaque de table d’expérience surpasser la planète dans l’une ou l’autre direction. **20.** Un électron : $\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\,\%$ ; une [molécule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’huile : $\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}$. L’escalier de charge déplace la tension d’équilibre de centaines de [volts](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-voltage) ; l’escalier de masse est invisible à toute tension. L’équilibre résout donc l’[atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de l’électricité — $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — tandis que les [molécules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’huile se fondent en un continuum.