---
title: "Magnétisme et champs magnétiques"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 15
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques
---

# Chapitre 15 — Magnétisme et champs magnétiques

Mille ans durant, les marins se sont guidés sur des aiguilles aimantées sans que personne sache pourquoi elles pointent le nord. La réponse est venue en 1820, lorsqu’un courant fit tiquer une boussole : le magnétisme est fait de charges en mouvement. Ce chapitre cartographie le [champ magnétique](#def-g11-magnetic-fields-bfield) — celui des [aimants](#def-g11-magnetic-fields-magnet), celui de la Terre, celui des courants — puis ferme la boucle. Car le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) exerce en retour une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur les courants : c’est ainsi que tourne tout moteur électrique.

## 15.1 Aimants et champ magnétique

**Définition 15.1 (Aimant et pôles).**

Un *aimant* attire le fer et, suspendu par un fil, s’oriente vers le nord. Son action se concentre en deux *pôles magnétiques*, *nord* (l’extrémité qui cherche le nord géographique) et *sud* : les pôles de même nom se repoussent, de noms opposés s’attirent. Scier un aimant en deux donne deux aimants complets — aucune expérience n’a jamais isolé un pôle.

**Définition 15.2 (Champ magnétique).**

Un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) modifie l’espace autour de lui ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#ch-g11-electric-gravitational-fields)) : il crée partout un *champ magnétique* $\vect B$. Une boussole lit sa direction (l’aiguille s’aligne sur $\vect B$, extrémité nord en avant) ; une *sonde de Hall* mesure sa grandeur, en *teslas* ($\mathrm{T}$).

**Définition 15.3 (Lignes de champ magnétique).**

Les *lignes de champ magnétique* sont des courbes tangentes à $\vect B$, se resserrant là où le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est fort. Hors d’un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) elles vont du pôle nord au pôle sud ; contrairement aux lignes de [champ électrique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) elles n’ont pas d’extrémités : chacune se ferme à travers le corps de l’ [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet).

![Lignes de champ d’un aimant droit : hors de N, vers S, fermées à travers le corps. Une boussole placée n’importe où s’aligne le long de la ligne qui la traverse.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-d47fec6b5b16.svg)

*[Lignes de champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) d’un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) droit : hors de N, vers S, fermées à travers le corps. Une boussole placée n’importe où s’aligne le long de la ligne qui la traverse.*

## 15.2 La Terre est un aimant

**Définition 15.4 (Le champ magnétique terrestre).**

Des courants dans le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de fer fondu de la Terre font de la planète un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) géant : en surface $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$, et une aiguille libre s’aligne sur la composante horizontale du [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — c’est la boussole. Les pôles géomagnétiques ne sont pas les géographiques ; l’angle entre le nord de la boussole et le nord vrai est la *déclinaison*, corrigée sur chaque relèvement.

**Exemple 15.5 (Corriger un relèvement).**

Là où la [déclinaison](#def-g11-magnetic-fields-earth) est de $7{}^{\circ}$ ouest, un navire gouvernant « nord boussole » sur $5.0\,\mathrm{km}$ dérive de $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ à l’ouest de sa route : pour naviguer plein nord vrai, gouverner $7{}^{\circ}$ *est* de l’aiguille.

## 15.3 Le champ magnétique d’un courant

**Remarque 15.6 (Ørsted, 1820).**

Pendant un cours en 1820, Hans Christian Ørsted vit une aiguille de boussole basculer lorsqu’il ferma un circuit à proximité : électricité et magnétisme n’étaient qu’un seul sujet — *les courants créent des [champs magnétiques](#def-g11-magnetic-fields-bfield)*.

**Proposition 15.7 (Champ d’un fil rectiligne).**

Un long fil rectiligne parcouru par une intensité $I$ crée un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dont les lignes sont des cercles centrés sur le fil, dans des plans perpendiculaires à lui. À la distance $d$ du fil,

$$
B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d},
\qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

![Lignes de champ circulaires autour d’un fil rectiligne, vu de face ( : courant sortant de la page ; : entrant). Saisir le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : les doigts s’enroulent dans le sens de B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-f5b27f6d7b5d.svg)

![Lignes de champ circulaires autour d’un fil rectiligne, vu de face ( : courant sortant de la page ; : entrant). Saisir le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : les doigts s’enroulent dans le sens de B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-f2c5ac0bd1fe.svg)

*[Lignes de champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) circulaires autour d’un fil rectiligne, vu de face ($\odot$ : courant sortant de la page ; $\otimes$ : entrant). Saisir le fil de la main droite, pouce dans le sens du courant : les doigts s’enroulent dans le sens de $\vect B$.*

**Exemple 15.8 (Un fil est un aimant faible).**

À $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ d’un fil portant $I = 15\,\mathrm{A}$ : $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — six [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, pour un courant qui ferait sauter un disjoncteur domestique. De forts [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) exigent une meilleure géométrie.

**Définition 15.9 (Bobine et solénoïde).**

Enrouler le fil concentre son [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Une *bobine plate* ($N$ spires en disque) se comporte comme un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) mince, une face nord, l’autre sud ; un *solénoïde* — un long enroulement cylindrique, $n$ spires par [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — comme un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) droit.

**Proposition 15.10 (Champ à l’intérieur d’un solénoïde).**

À l’intérieur d’un long [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), loin des extrémités, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est *uniforme* : parallèle à l’axe et le même en tout point intérieur, de grandeur $B = \mu_0\, n\, I$, indépendante de la largeur du tube. À l’extérieur, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est faible.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 15.11.**

Les deux formules sont dérivées honnêtement dans le volume de l’année 1, à partir de la loi reliant la circulation d’un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) au courant qu’elle enserre. Noter ce qui compte : $n$, spires *par [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit)* — enrouler plus serré, non plus long.

**Méthode 15.12 (La main droite, deux fois).**

- *Fil* : pouce $=$ courant ; doigts enroulés $=$ sens de rotation des lignes.
- *[Bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)* : doigts enroulés $=$ courant dans les spires ; pouce $=$ $\vect B$ à l’intérieur, pointant vers la face nord.

![Un solénoïde coupé dans la longueur (/ : les spires croisant la page) : à l’intérieur, un B = _0 n I uniforme le long de l’axe ; à l’extérieur, un champ de retour faible et étalé (en pointillés).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-006e5fb48b1e.svg)

*Un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) coupé dans la longueur ($\odot$/$\otimes$ : les spires croisant la page) : à l’intérieur, un $B = \mu_0 n I$ uniforme le long de l’axe ; à l’extérieur, un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de retour faible et étalé (en pointillés).*

**Exemple 15.13 (Nombres de solénoïde).**

À $10$ spires par centimètre ($n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$) et $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx
6.3\,\mathrm{mT}$ — cent [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, réglables d’un bouton.

## 15.4 Électroaimants

**Définition 15.14 (Électroaimant).**

Un *électroaimant* est un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) enroulé sur un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de fer doux : le fer s’aimante dans le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) et le multiplie, typiquement par $100$ à $1000$. Contrairement à un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanent, il s’éteint avec le courant.

**Remarque 15.15 (Trois machines).**

La grue de casse lève une voiture avec un [électroaimant](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) et — tout l’intérêt — la *lâche* en ouvrant un interrupteur. Le petit [électroaimant](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) d’un relais tire un contact fermé : un faible courant commute un fort ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power)). Un scanner IRM maintient un $1.5\,\mathrm{T}$ uniforme autour du patient avec un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) supraconducteur.

[Ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom), de la galaxie à une étoile morte :

| espace interstellaire | $\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$ |
| --- | --- |
| [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de surface de la Terre | $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ |
| [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de frigo | $\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ |
| [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) néodyme, à son pôle | $\sim 0.5\,\mathrm{T}$ |
| [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) d’IRM | $1.5\,\mathrm{T}$ |
| surface d’une étoile à neutrons | $\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$ |

## 15.5 La force de Laplace

**Proposition 15.16 (Force de Laplace).**

Un fil rectiligne de longueur $L$, parcouru par une intensité $I$ dans un [champ uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) $\vect B$ *perpendiculaire* au fil, ressent la *force de Laplace* de grandeur $F = I\,L\,B$, perpendiculaire au fil et à $\vect B$ : main droite à plat, pouce dans le sens du courant, doigts tendus le long de $\vect B$ — la paume pousse dans le sens de $\vect F$. Un fil *parallèle* au [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ne ressent aucune [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 15.17 (Le rail sauteur).**

Le volume de l’année 1 dérive cela de la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) magnétique sur chaque charge en mouvement. Au laboratoire : une tige de cuivre repose sur deux rails horizontaux entre les pôles d’un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) ([champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entrant dans la page sur la figure) ; fermez l’interrupteur, et la tige file le long des rails. Inversez le courant, ou retournez l’ [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) : elle file de l’autre côté.

![L’expérience des rails : courant le long de la tige, champ entrant dans la page () — la force de Laplace F = ILB pousse la tige le long des rails.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-4f0415657935.svg)

*L’expérience des rails : courant le long de la tige, [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entrant dans la page ($\otimes$) — la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) $F = ILB$ pousse la tige le long des rails.*

**Exemple 15.18 (Nombres de Laplace).**

Une tige de longueur $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ portant $I = 8.0\,\mathrm{A}$ dans $B = 0.50\,\mathrm{T}$ : $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 =
0.20\,\mathrm{N}$ — le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de $20\,\mathrm{g}$, sur un fil de quelques grammes.

**Remarque 15.19 (Le moteur à courant continu).**

Pliez le fil en une boucle dans le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) : les deux côtés perpendiculaires à $\vect B$ portent des courants opposés, donc leurs [forces de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) sont opposées — un couple qui fait tourner la boucle. Un demi-tour plus tard le couple la ferait revenir, donc un commutateur tournant (le *collecteur*) inverse le courant à chaque demi-tour. Chaque ventilateur et chaque perceuse est cette boucle, multipliée.

## 15.6 Exercices

**Exercice 15.1 ★.**

Un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) droit est scié en deux entre ses pôles. Quels pôles porte chaque morceau ? Remis ensemble, les faces fraîchement coupées s’attirent-elles ou se repoussent-elles ? Un schéma de découpe peut-il isoler le pôle nord ?

**Solution de Exercice 15.1.**

Chaque morceau est un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) complet avec un pôle nord et un pôle sud : un nouveau pôle apparaît sur chaque face de coupe. Les faces fraîches sont un N et un S, donc elles s’attirent — les morceaux tentent de se réassembler. Aucun schéma n’isole un pôle : chaque coupe crée une paire.

**Exercice 15.2 ★.**

Vrai ou faux, avec une raison chacune : (a) deux [lignes de champ magnétique](#def-g11-magnetic-fields-lines) se croisent là où le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est fort ; (b) hors d’un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet), les [lignes de champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) vont du pôle nord au pôle sud ; (c) chaque [ligne de champ magnétique](#def-g11-magnetic-fields-lines) est une boucle fermée ; (d) une aiguille se place perpendiculairement à la ligne qui la traverse.

**Solution de Exercice 15.2.**

(a) Faux : le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a une seule direction en chaque point. (b) Vrai. (c) Vrai : chaque ligne se ferme à travers le corps de l’[aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet). (d) Faux : l’aiguille se place *le long* de la ligne, tangente à elle.

**Exercice 15.3 ★.**

Calculer le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) à $2.0\,\mathrm{cm}$ d’un fil rectiligne portant $10\,\mathrm{A}$. Combien de fois le $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestre est-ce ?

**Solution de Exercice 15.3.**

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — deux fois le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre.

**Exercice 15.4 ★.**

Un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $800$ spires enroulées sur $40\,\mathrm{cm}$ porte $I = 1.5\,\mathrm{A}$. Calculer $n$, puis $B$ à l’intérieur ; que devient $B$ si le courant double ?

**Solution de Exercice 15.4.**

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$. $B \propto I$ : doubler le courant donne $7.5\,\mathrm{mT}$.

**Exercice 15.5 ★.**

Un segment de fil de longueur $10\,\mathrm{cm}$ porte $5.0\,\mathrm{A}$ perpendiculairement à un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $0.20\,\mathrm{T}$. Calculer la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) ; le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de quelle masse l’égale-t-il ?

**Solution de Exercice 15.5.**

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx
10\,\mathrm{g}$.

**Exercice 15.6 ★★.**

Là où une randonneuse se trouve, la [déclinaison](#def-g11-magnetic-fields-earth) est de $8{}^{\circ}$ ouest. Elle marche $2.0\,\mathrm{km}$ « nord à la boussole » : de combien, et de quel côté du nord vrai, dérive-t-elle ? Quel cap l’aurait menée plein nord vrai ?

**Solution de Exercice 15.6.**

*1.* Sa piste pointe $8{}^{\circ}$ ouest du nord vrai : $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ vers l’ouest.

*2.* Gouverner $8{}^{\circ}$ *est* du nord de l’aiguille.

**Exercice 15.7 ★★.**

À quelle distance d’un fil rectiligne portant $20\,\mathrm{A}$ son [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) égale-t-il le $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ terrestre ? Que dit cela de la confiance en une boussole près de câbles sous tension ?

**Solution de Exercice 15.7.**

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5}
= 8.0\,\mathrm{cm}$. Dans le décimètre d’un tel câble la boussole lit le fil, non la planète — la tenir loin des conducteurs sous tension.

**Exercice 15.8 ★★.**

Concevoir un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) produisant $B = 10\,\mathrm{mT}$ avec $I = 4.0\,\mathrm{A}$ : calculer le $n$ requis, puis le nombre de spires pour une [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $25\,\mathrm{cm}$.

**Solution de Exercice 15.8.**

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0)
\approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ ; sur $25\,\mathrm{cm}$, $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ spires.

**Exercice 15.9 ★★.**

Dans l’expérience des rails, la tige (masse $20\,\mathrm{g}$, longueur $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre les rails) porte $10\,\mathrm{A}$ dans un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) perpendiculaire de $0.50\,\mathrm{T}$. Calculer la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace), puis l’accélération initiale de la tige ; comparer avec $g$.

**Solution de Exercice 15.9.**

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$ ; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — environ $3g$ : la tige saute vraiment.

**Exercice 15.10 ★★.**

Un fil horizontal de masse $5.0\,\mathrm{g}$ et de longueur $20\,\mathrm{cm}$ repose dans un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendiculaire à lui. Quelle intensité fait équilibrer la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) du fil, de sorte qu’il lévite ? Dans quel sens la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) doit-elle pointer ?

**Solution de Exercice 15.10.**

Équilibre : $ILB = mg$, donc $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx
2.5\,\mathrm{A}$. La [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) doit pointer vers le haut ; avec $\vect B$ horizontal et perpendiculaire au fil, la main droite à plat (paume vers le haut) fixe le sens de courant requis.

**Exercice 15.11 ★★.**

Donner la direction de la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) (ou dire qu’elle s’annule) : (a) courant vers la droite de la page, $\vect B$ entrant dans la page ; (b) courant vers le haut de la page, $\vect B$ sortant de la page ; (c) courant parallèle à $\vect B$. Utiliser la main droite à plat.

**Solution de Exercice 15.11.**

Main droite à plat : (a) vers le haut de la page ; (b) vers la droite ; (c) aucune [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) — le fil est parallèle au [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Exercice 15.12 ★★★.**

Un fil horizontal court nord–sud géographique, à $3.0\,\mathrm{cm}$ au-dessus d’une boussole ; la composante horizontale terrestre y est $20\,\text{µ}\mathrm{T}$. Le fil porte $I = 5.0\,\mathrm{A}$ : calculer son [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) à la boussole, donner sa direction, puis la déviation de l’aiguille (les [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) s’ajoutent comme des vecteurs).

**Solution de Exercice 15.12.**

*1.* $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx
33\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; les lignes encerclent le fil, donc directement sous lui le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est horizontal, perpendiculaire au fil : est–ouest.

*2.* L’aiguille suit la somme vectorielle : $\tan\theta = 33/20 =
1.67$, donc $\theta \approx 59{}^{\circ}$ hors du nord.

**Exercice 15.13 ★★★.**

Un [électroaimant](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de casse est une [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $400$ spires sur $20\,\mathrm{cm}$, de [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$, sur une alimentation $12\,\mathrm{V}$ ; son [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de fer multiplie le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) nu par $100$. Calculer l’intensité, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nue, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) avec le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) que dissipe la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power)). Pourquoi la ferraille tombe-t-elle à l’instant où l’interrupteur s’ouvre ?

**Solution de Exercice 15.13.**

*1.* $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$ ; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$ ; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$ ; avec le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$.

*2.* $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$.

*3.* Pas de courant, pas de [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — et le fer doux ne reste pas aimanté : la charge se libère instantanément, par conception.

**Exercice 15.14 ★★★.**

La boucle rectangulaire d’un moteur a $N = 50$ spires portant $I = 2.0\,\mathrm{A}$ ; ses deux côtés de longueur $5.0\,\mathrm{cm}$ sont perpendiculaires à un [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.30\,\mathrm{T}$. Calculer la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur chacun de ces côtés ; pourquoi les deux [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sont-elles opposées, et que font-elles à la boucle ? Pourquoi les deux autres côtés ne ressentent-ils parfois aucune [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) ? Pourquoi le courant doit-il être inversé à chaque demi-tour ?

**Solution de Exercice 15.14.**

*1.* $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 =
1.5\,\mathrm{N}$ de chaque côté. Le courant court en sens opposés dans les deux côtés, donc les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sont opposées : un couple qui fait tourner la boucle.

*2.* Lorsqu’ils sont parallèles à $\vect B$, un fil ne ressent aucune [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

*3.* Après un demi-tour le couple s’inverserait et déferait la rotation ; le [collecteur](#rem-g11-magnetic-fields-motor) inverse le courant à chaque demi-tour pour que la boucle continue de tourner dans le même sens.

**Exercice 15.15 ★★★.**

À quelle distance d’un câble portant $100\,\mathrm{A}$ faudrait-il être pour que son [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) atteigne $1\,\mathrm{T}$ ? Comparer avec le rayon millimétrique du câble, et conclure pourquoi les [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de l’ordre du [tesla](#def-g11-magnetic-fields-bfield) sont construits avec des [solénoïdes](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), non des fils seuls. Puis : le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de surface d’une étoile à neutrons de $10^{8}\,\mathrm{T}$ est combien de [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) de dix au-dessus de celui de la Terre ?

**Solution de Exercice 15.15.**

*1.* $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — profondément *à l’intérieur* du cuivre millimétrique. Aucun point accessible près d’un fil seul n’atteint $1\,\mathrm{T}$ : les forts [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) empilent des milliers de spires (un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)), plus du fer ou des supraconducteurs.

*2.* $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$ : environ douze [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) de dix.

## 15.7 Problème : La boussole, la grue et l’IRM

**Problème 15.1.**

Problème du week-end — trois aimants au travail : une boussole traversant un océan, un électroaimant levant une voiture, et un solénoïde d’IRM — un seul champ, s’étalant sur dix puissances de dix, faisant trois métiers

Le même vecteur $\vect B$ gouverne un voilier avec $50\,\text{µ}\mathrm{T}$, lève de la ferraille avec $1\,\mathrm{T}$, et image un genou avec $1.5\,\mathrm{T}$ — trois machines pour les trois formules de ce chapitre.

**Partie I — La boussole.** À la position du navire, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre a une composante horizontale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ et une composante verticale $44\,\text{µ}\mathrm{T}$ ; la [déclinaison](#def-g11-magnetic-fields-earth) est de $6{}^{\circ}$ ouest.

1. Pourquoi une aiguille de boussole pointe-t-elle du tout le nord (magnétique) ?
2. Calculer la grandeur du [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total et son angle avec l’horizontale.
3. En gouvernant « nord boussole » sur $30\,\mathrm{km}$ , de combien à l’ouest de la route plein nord vrai le navire finit-il ?
4. Une cargaison d’acier dévie encore l’aiguille de $4{}^{\circ}$ ouest : même question.
5. Près du pôle géomagnétique une boussole est inutile : quelle composante est en cause, et pourquoi ?

**Partie II — La grue.** L’[électroaimant](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de casse est un [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $600$ spires enroulées sur $30\,\mathrm{cm}$, de [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) $1.5\,\Omega$, alimenté sous $12\,\mathrm{V}$ ; son [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de fer multiplie le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) nu par $50$.

6. Calculer $n$ , la densité de spires.
7. Calculer l’intensité dans la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ( [Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power) ).
8. Calculer le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nue $\mu_0 n I$ .
9. Calculer le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) avec le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ; comparer avec le $0.5\,\mathrm{T}$ du néodyme.
10. Calculer la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) dissipée dans la [bobine](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) , puis l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) pour un poste de levage de $10\,\mathrm{min}$ .
11. Un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanent aussi fort existe. Pourquoi un [électroaimant](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) quand même ?

**Partie III — Le moteur du treuil.** Le treuil de la grue est un moteur à courant continu : une boucle rectangulaire de $N = 100$ spires, côtés de longueur $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculaires à $B = 0.25\,\mathrm{T}$, portant $I = 3.0\,\mathrm{A}$.

12. Calculer la [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) sur chaque faisceau de côtés perpendiculaires à $\vect B$ .
13. Les deux [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sont égales et opposées, et pourtant leur effet ne s’annule pas. Que produisent-elles, et pourquoi doivent-elles être *opposées* ?
14. Quelle [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) agit sur les deux autres côtés, lorsqu’ils sont parallèles à $\vect B$ ?
15. Après un demi-tour, les mêmes [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) déferaient la rotation. Que fait le [collecteur](#rem-g11-magnetic-fields-motor) , et quand ?
16. Donner trois modifications de conception distinctes qui doublent chacune la paire de [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) .

**Partie IV — L’IRM.** Le [solénoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) du scanner maintient un $1.5\,\mathrm{T}$ uniforme avec une intensité $I = 500\,\mathrm{A}$.

17. Combien de fois le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre vaut $1.5\,\mathrm{T}$ ?
18. Calculer la densité de spires $n$ requise *sans* aucun [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de fer.
19. Si l’enroulement avait une [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) $0.20\,\Omega$ , quelle [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) dissiperait-il ? Quelle propriété de l’enroulement réel évite cela, au prix d’un froid extrême ?
20. Chute : placer les [champs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) du navire, de la grue et de l’IRM sur l’échelle des [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-power) de dix de l’espace interstellaire ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) à une étoile à neutrons ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ) ; qu’est-ce qui a changé entre les machines — la physique, ou les [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-current) ?

**Solution de Problème 15.1.**

**1.** L’aiguille est elle-même un petit [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) ; le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre l’aligne, extrémité nord le long de la composante horizontale de $\vect B$, c.-à-d. vers le nord magnétique.

**2.** $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx
48\,\text{µ}\mathrm{T}$, incliné de $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ sous l’horizontale.

**3.** La piste court $6{}^{\circ}$ ouest du nord vrai : $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ à l’ouest.

**4.** Les erreurs s’ajoutent : $10{}^{\circ}$, donc $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinq kilomètres pour dix degrés.

**5.** La composante horizontale : près du pôle le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) est presque vertical, la partie horizontale se contracte vers zéro, et l’aiguille n’a plus rien sur quoi s’aligner.

**6.** $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$.

**7.** $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$.

**8.** $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0
\approx 20\,\mathrm{mT}$.

**9.** $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — deux fois le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) à un pôle de néodyme, sur une face bien plus grande.

**10.** $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$ ; en $10\,\mathrm{min}$ : $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$.

**11.** Parce qu’il lâche : ouvrir l’interrupteur, le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) meurt, la voiture tombe exactement où l’on veut. Un [aimant](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanent saisit pour toujours.

**12.** $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 =
3.0\,\mathrm{N}$.

**13.** Un couple : appliquées de part et d’autre de l’axe, les deux [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) opposées font toutes deux tourner la boucle dans le même sens. Des [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) égales *parallèles* ne feraient que pousser la boucle de côté, non la faire tourner.

**14.** Aucune : un fil parallèle au [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ne ressent aucune [force de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

**15.** Il inverse le courant dans la boucle à chaque demi-tour, juste quand le couple changerait de signe — donc le couple entraîne toujours la même rotation.

**16.** Doubler $N$, ou doubler $I$, ou doubler $B$ : la paire de [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $F = NILB$ est proportionnelle à chacun.

**17.** $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$ : trente mille Terres.

**18.** $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500)
\approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — et chacune de ces spires porte $500\,\mathrm{A}$.

**19.** $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — la chauffe d’un quartier. L’enroulement réel est supraconducteur : zéro [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance), zéro dissipation, pourvu qu’il soit maintenu à quelques degrés au-dessus du zéro absolu.

**20.** Boussole $5 \times 10^{-5}$, grue $1$, IRM $1.5$ : le navire siège cinq échelons sous les deux machines, qui partagent une décade — entre l’interstellaire $10^{-10}$ et l’étoile à neutrons $10^{8}$. Rien n’a changé que les [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-current) (et les spires, le fer et le supraconducteur qui les multiplient) : un seul [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field), trois métiers.