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title: "Énergie mécanique et sa conservation"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 18
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation
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# Chapitre 18 — Énergie mécanique et sa conservation

Un grand huit n’a plus de moteur passé la première colline : chaque boucle, chaque élan de vitesse ensuite se dépense depuis le compte ouvert à la montée. Ce chapitre transforme la comptabilité en deux nombres — [énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) et potentielle — et une règle : tant que seul le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) travaille, leur somme ne change pas. Le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est le péage ; nous apprendrons à le lire dans les livres.

## 18.1 Énergie cinétique

**Définition 18.1 (Énergie cinétique).**

Un corps de masse $m$ ($\mathrm{kg}$) se déplaçant à la vitesse $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) porte l’*énergie cinétique*

$$
E_k = \tfrac12\, m v^2 .
$$

Vérification des [unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — des [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work), comme toute [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ([Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation)).

**Exemple 18.2 (Ordres de grandeur).**

- un piéton, $70\,\mathrm{kg}$ à $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
- une voiture, $1300\,\mathrm{kg}$ à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
- un train à grande vitesse, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , à $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
- une balle de fusil, $8.0\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Sept [ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom) séparent la promenade du train. Et $E_k$ croît comme le *carré* de la vitesse : à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ la voiture porte $4$ fois l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) qu’elle a à $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — quatre fois ce que ses freins doivent retirer.

## 18.2 Le théorème de l’énergie cinétique

**Théorème 18.3 (Théorème de l’énergie cinétique).**

Pour un corps de masse $m$ se déplaçant en ligne droite de $A$ à $B$, la variation d’[énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) égale le [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) total ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#ch-g11-work-of-force)) reçu :

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

la somme portant sur toutes les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) agissant sur le corps. Il s’étend au mouvement le long de tout chemin, comme nous l’admettons aussi ici.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 18.4 (Chute libre, vérifiée image par image).**

Une balle de $0.200\,\mathrm{kg}$ est lâchée et filmée ; les images donnent :

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| hauteur tombée $h$ ($\mathrm{m}$) | 0.049 | 0.196 | 0.441 | 0.785 |
| vitesse $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) | 0.98 | 1.96 | 2.94 | 3.92 |
| $E_k = \tfrac12 mv^2$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.384 | 0.864 | 1.54 |
| $W = mgh$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.385 | 0.865 | 1.54 |

Partant de $E_k = 0$, à chaque image $E_k$ coïncide avec le [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) $mgh$ du [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) : $\Delta E_k = W(\vect P)$, c.-à-d. $v^2 = 2gh$ — le théorème, vérifié à la précision des lectures.

**Remarque 18.5 (Où vit la preuve).**

L’énoncé général — valide le long de tout chemin, non seulement une ligne droite — découle de la deuxième loi de Newton et d’un peu de calcul, tous deux plus tard dans ce livre (Chapitres [25](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton#ch-g12-newtons-laws) et [29](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/29-travail-et-energie-mecanique#ch-g12-work-and-energy)) ; d’ici là la vérification en chute libre est notre caution, et nous admettons la version en chemin courbe et l’utilisons librement.

## 18.3 Énergie potentielle de gravitation

**Définition 18.6 (Énergie potentielle de gravitation).**

Un corps de masse $m$ à l’altitude $z$, mesurée vers le haut depuis un *niveau de référence* choisi où $z = 0$, stocke l’*énergie potentielle de gravitation*

$$
E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

**Remarque 18.7 (Seules les différences comptent).**

Passer de $A$ à $B$ change $E_p$ de $mg(z_B - z_A) =
-W_{AB}(\vect P)$ : l’opposé du [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) du [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Chapitre 17](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#ch-g11-work-of-force)). Le [niveau de référence](#def-g11-mechanical-energy-potential) est un choix libre — sol, niveau de la mer, dessus de table — décalant $E_p$ partout d’une constante qui s’élimine de toute différence. Placez-le là où les nombres sont les plus simples, et ne le déplacez pas en cours de problème.

**Exemple 18.8 (Un livre sur une étagère).**

Un livre de $1.2\,\mathrm{kg}$ est à $1.8\,\mathrm{m}$ au-dessus du sol, lui-même à $9.0\,\mathrm{m}$ au-dessus de la rue. Référence au sol : $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$ ; dans la rue : $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$. Tomber au sol libère $21\,\mathrm{J}$ dans les deux comptes.

## 18.4 Énergie mécanique et sa conservation

**Définition 18.9 (Énergie mécanique).**

L’*énergie mécanique* d’un corps est

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .
$$

**Théorème 18.10 (Conservation de l’énergie mécanique).**

Si la seule [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) qui travaille sur un corps est son [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) (pas de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) ; d’autres [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force), comme la réaction d’une piste sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory), perpendiculaires au mouvement), $E_m$ est conservée : pour deux points quelconques $A$, $B$ du mouvement,

$$
\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .
$$

**Démonstration.** Par le théorème de l’[énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic), $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) =
E_p(A) - E_p(B)$ : ce que $E_k$ gagne, $E_p$ le perd. ∎

**Exemple 18.11 (Toboggan aquatique).**

Un enfant part du repos au sommet d’un toboggan sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de hauteur $h = 3.2\,\mathrm{m}$. Référence en bas : $mgh = \tfrac12 mv^2$, donc $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) — quelle que soit la masse *et quelle que soit la forme du toboggan* : droit, courbe ou spiralé, seule la descente de hauteur entre en jeu.

**Exemple 18.12 (Pendule).**

Un bob de pendule est écarté jusqu’à s’élever de $h = 12\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas, puis lâché. Aux extrêmes $v = 0$ ; en bas tout le $mgh$ est cinétique, $v = \sqrt{2gh} \approx
1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; de l’autre côté le bob remonte exactement à $12\,\mathrm{cm}$.

![Le pendule échange E_p contre E_k et inversement : tout potentiel aux extrêmes, tout cinétique en bas, la même montée h deux fois.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-8240e3c22564.svg)

*Le pendule échange $E_p$ contre $E_k$ et inversement : tout potentiel aux extrêmes, tout cinétique en bas, la même montée $h$ deux fois.*

![Diagramme en barres d’énergie d’un grand huit sans frottement : à chaque position les barres E_p et E_k s’empilent jusqu’au même total E_m (ligne en pointillés).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-e1246bdcf5fd.svg)

*Diagramme en barres d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) d’un grand huit sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : à chaque position les barres $E_p$ et $E_k$ s’empilent jusqu’au même total $E_m$ (ligne en pointillés).*

**Exemple 18.13 (Vitesse d’atterrissage au saut à ski).**

Un sauteur à ski quitte le tremplin à $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et atterrit $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ plus bas. En négligeant la résistance de l’air, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx
38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — aucune connaissance de la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) de vol n’est nécessaire.

![Saut à ski : quelle que soit la courbe volée de A à B, seule la descente z entre dans le bilan d’ énergie.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-77b4169c48e1.svg)

*Saut à ski : quelle que soit la courbe volée de $A$ à $B$, seule la descente $\Delta z$ entre dans le bilan d’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy).*

## 18.5 Dissipation par frottement

**Définition 18.14 (Dissipation).**

L’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) quittant le compte mécanique est dite *dissipée* : elle réapparaît comme [énergie thermique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) dans les surfaces qui frottent et l’air. L’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) totale est conservée ([Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation)) ; l’ [énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em) seule ne l’est pas.

**Proposition 18.15 (Le déficit mesure le frottement).**

Si une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ travaille aussi le long du mouvement,

$$
\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:
$$

la perte d’[énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em) égale le [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) du [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory).

**Démonstration.** Le théorème de l’[énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) se lit maintenant $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) +
W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$ ; faire passer $\Delta E_p$. Le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) s’oppose au mouvement, donc son [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) est négatif. ∎

**Exemple 18.16 (Audit de luge).**

Un enfant et sa luge ($m = 40\,\mathrm{kg}$) partent du repos, descendent $h = 5.0\,\mathrm{m}$ le long de $12\,\mathrm{m}$ de neige, et arrivent à $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au lieu du $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory). Référence en bas : $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times
7.0^2 - 40 \times 9.81 \times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$. Donc $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ sur $12\,\mathrm{m}$ : une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) moyenne $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$, et $982\,\mathrm{J}$ de chaleur dans les patins et la neige.

![E_m le long d’un mouvement : plat sans frottement, décroissant avec lui — la chute à chaque instant est la chaleur produite jusque-là.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-3be5d0f25b8b.svg)

*$E_m$ le long d’un mouvement : plat sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory), décroissant avec lui — la chute à chaque instant est la chaleur produite jusque-là.*

**Méthode 18.17 (Comptabilité de l’énergie).**

1. Choisir un [niveau de référence](#def-g11-mechanical-energy-potential) et le garder ; nommer $A$ (données), $B$ (question).
2. Écrire $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ en $A$ et en $B$ .
3. Pas de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(A) = E_m(B)$ ; résoudre — typiquement $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
4. [Frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = longueur du chemin) ; résoudre pour l’inconnue.
5. Vérifier : les barres $E_k$ / $E_p$ s’empilent jusqu’à $E_m$ , plates sauf [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) .

## 18.6 Exercices

**Exercice 18.1 ★.**

Calculer l’[énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de (a) un scooter et son conducteur de $90\,\mathrm{kg}$ à $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (b) une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) Par quel facteur $E_k$ change-t-elle lorsque la vitesse double ? Triple ?

**Solution de Exercice 18.1.**

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (c) $\times 4$ ; $\times 9$ — le carré.

**Exercice 18.2 ★.**

Un grimpeur de $75\,\mathrm{kg}$ gagne $850\,\mathrm{m}$ d’altitude. Calculer le gain d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) potentielle. Dépend-il du [niveau de référence](#def-g11-mechanical-energy-potential) ? De la route ?

**Solution de Exercice 18.2.**

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Non : la référence décale les deux valeurs également. Non : seule la différence de hauteur entre en jeu.

**Exercice 18.3 ★.**

Un pot de fleurs tombe de $20\,\mathrm{m}$ d’un balcon. En négligeant la résistance de l’air, trouver sa vitesse au sol en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Où est passée la masse ?

**Solution de Exercice 18.3.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. $mgh = \tfrac12 mv^2$ : la masse s’annule.

**Exercice 18.4 ★.**

Une voiture de $1200\,\mathrm{kg}$ freine de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à l’arrêt sur $50\,\mathrm{m}$. Utiliser le théorème de l’ [énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) pour trouver le [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) des freins, puis la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de freinage moyenne.

**Solution de Exercice 18.4.**

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 =
-3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**Exercice 18.5 ★.**

Un bob de pendule est lâché $8.0\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas. Trouver sa vitesse en bas et la hauteur atteinte de l’autre côté.

**Solution de Exercice 18.5.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; elle remonte à $8.0\,\mathrm{cm}$ (conservation).

**Exercice 18.6 ★★.**

En utilisant l’[Exemple 18.2](#ex-g11-mechanical-energy-orders) : par quel facteur l’[énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) du train dépasse-t-elle celle de la balle ? À quelle hauteur sa propre $E_k$ pourrait-elle soulever le train ($h = v^2/2g$) ?

**Solution de Exercice 18.6.**

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$ : environ six cent mille balles. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — sa propre vitesse pourrait soulever le train de $400$ [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Exercice 18.7 ★★.**

Deux toboggans sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) descendent de la même plate-forme de $3.0\,\mathrm{m}$, l’un droit et raide, l’autre long et sinueux. Comparer les vitesses d’arrivée (les calculer) et les temps d’arrivée (sans calcul).

**Solution de Exercice 18.7.**

Même vitesse $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (seule la descente entre en jeu). Le toboggan raide gagne sur le temps : il atteint vite une grande vitesse et son chemin est plus court.

**Exercice 18.8 ★★.**

Une balle est lancée verticalement vers le haut à $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Trouver la hauteur maximale atteinte, puis la vitesse à $4.0\,\mathrm{m}$ — à la montée et à la descente.

**Solution de Exercice 18.8.**

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. À $4.0\,\mathrm{m}$ : $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — la même dans les deux sens : $E_m$ dépend de la hauteur, non du sens de parcours.

**Exercice 18.9 ★★.**

Un sauteur à ski quitte le tremplin à $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et atterrit $35\,\mathrm{m}$ plus bas. Prédire la vitesse d’atterrissage sans résistance de l’air ; la valeur réelle est-elle plus grande ou plus petite, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 18.9.**

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx
35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Plus petite en réalité : la résistance de l’air dissipe une partie de $E_m$.

**Exercice 18.10 ★★.**

Une luge de $45\,\mathrm{kg}$ part du repos, descend $6.0\,\mathrm{m}$ le long de $15\,\mathrm{m}$ de pente, arrivant à $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Trouver l’ [énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em) perdue, puis la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) moyenne. Où est passée l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ?

**Solution de Exercice 18.10.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times
6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$ ; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. En chaleur, dans les skis et la neige.

**Exercice 18.11 ★★.**

Le crochet de Galilée : un pendule lâché $15\,\mathrm{cm}$ au-dessus de son point le plus bas rencontre un crochet bloquant la moitié supérieure du fil à la verticale. Trouver la vitesse en bas et la remontée au-delà du crochet ; que change le crochet, et que ne change-t-il pas ?

**Solution de Exercice 18.11.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; elle remonte à $15\,\mathrm{cm}$. Le crochet change le chemin (un cercle plus serré), non l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) : hauteurs et vitesses sont intactes.

**Exercice 18.12 ★★★.**

Un skateur plonge dans un half-pipe de $2.5\,\mathrm{m}$ ; chaque passage (d’un côté à l’autre) dissipe $10\,\%$ de l’ [énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em). Trouver la vitesse en bas de la première descente, puis — en calculant les hauteurs de remontée successives — le premier passage se terminant sous $1.0\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 18.12.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Les hauteurs de remontée scalent avec $E_m$, donc $\times 0.9$ à chaque passage : $2.25$, $2.03$, $1.82$, $1.64$, $1.48$, $1.33$, $1.20$, $1.08$, $0.97$ — première fois sous $1.0\,\mathrm{m}$ au $9$e passage.

**Exercice 18.13 ★★★.**

Depuis le sommet d’une falaise de $45\,\mathrm{m}$, une pierre est lancée à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — vers le haut, horizontalement, ou sous n’importe quel angle. Montrer que la vitesse d’atterrissage est la même dans tous les cas et la calculer. Qu’est-ce qui *dépend* de l’angle ?

**Solution de Exercice 18.13.**

Même $E_m$ initiale $= \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ quel que soit l’angle, donc la vitesse au sol est $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx
33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. L’angle fixe la *direction* de la vitesse d’atterrissage, le temps de vol et la [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-strong) — non la vitesse d’atterrissage.

**Exercice 18.14 ★★★.**

Un skieur de descente de $80\,\mathrm{kg}$ part du repos et descend $120\,\mathrm{m}$ de dénivelé le long d’une piste de $800\,\mathrm{m}$, contre une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) constante de $65\,\mathrm{N}$. Trouver la vitesse d’arrivée et la fraction de $E_m$ [dissipée](#def-g11-mechanical-energy-dissipation).

**Solution de Exercice 18.14.**

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times
800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$, donc $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Fraction [dissipée](#def-g11-mechanical-energy-dissipation) : $52000/94176 \approx 55\,\%$.

**Exercice 18.15 ★★★.**

Une centrale de pompage-turbinage élève $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ d’eau ($1000\,\mathrm{kg}$ par $\mathrm{m}^{3}$) de $300\,\mathrm{m}$. Calculer l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée en [joules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) et en $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ ; turbinée en retour à $85\,\%$ de [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) ([Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation)), combien de foyers tirant $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ par jour alimente-t-elle pour une journée ?

**Solution de Exercice 18.15.**

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$ : $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. Récupérée : $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — environ $1.4 \times 10^{5}$ foyers pour une journée.

## 18.7 Problème : Concevoir la boucle

**Problème 18.1.**

Problème du week-end — un audit d’énergie d’un grand huit : la hauteur de lancement qu’une boucle dicte, les vitesses qu’elle promet, le frottement avoué par deux capteurs, les freins qui ferment le compte — tout le parcours suspendu à un seul nombre

Un train de masse $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ est lâché du repos depuis une colline de lancement de hauteur $H$ et côtoie, sans moteur, une boucle circulaire verticale de rayon $R = 8.0\,\mathrm{m}$ dont le sommet est à la hauteur $2R$. L’analyse du mouvement circulaire (l’année suivante) fournit la seule donnée que nous empruntons : au sommet de la boucle le train n’appuie sur la piste que si $v_{\text{sommet}}^2 \geq gR$. Les parties I et II ignorent le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory).

**Partie I — La colline que dicte la boucle.**

1. Calculer la vitesse minimale de sécurité au sommet de la boucle.
2. Sol comme [niveau de référence](#def-g11-mechanical-energy-potential) : calculer l’ [énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em) du train au sommet de la boucle à cette vitesse minimale.
3. En déduire $H_{\min}$ et montrer $H_{\min} = 5R/2$ — ni masse, ni $g$ .
4. L’équipe prend $H = 24\,\mathrm{m}$ : calculer la vitesse réelle au sommet de la boucle et le rapport $v_{\text{sommet}}^2/(gR)$ .
5. Où est passée $m$ ? Pourquoi la conception convient-elle aux trains pleins et vides ?

**Partie II — Ce que la hauteur promet** ($H = 24\,\mathrm{m}$).

6. Vitesse en bas de la boucle ( $z = 0$ ), en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
7. Vitesse sur le côté de la boucle ( $z = R$ ) ?
8. Calculer $E_p$ et $E_k$ au lancement, en bas, sur le côté et au sommet de la boucle ; vérifier que chaque paire somme à $mgH$ .
9. Une bosse de chameau de $12\,\mathrm{m}$ suit la boucle : vitesse à sa crête ?
10. Donner la formule générale de $v(z)$ ; où le parcours est-il le plus rapide, et le plus lent ?

**Partie III — L’audit du [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory).** Deux capteurs à la même hauteur $z = 2.0\,\mathrm{m}$, distants de $60\,\mathrm{m}$ de piste, lisent $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ puis $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

11. Calculer la variation d’ [énergie mécanique](#def-g11-mechanical-energy-em) entre les capteurs. Qu’est-ce qui a rendu le placement à même hauteur astucieux ?
12. En déduire le [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) du [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) moyenne.
13. Où est passée l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) manquante ? Nommer la forme et les lieux.
14. Quelle fraction de l’ $E_m$ du train est perdue par $60\,\mathrm{m}$ ? Pourquoi le simple $H_{\min}$ serait-il dangereux dans le monde réel qui frotte ?
15. Environ $90\,\mathrm{m}$ de piste séparent le lancement et le sommet de la boucle : estimer $E_m$ là ; la marge de la question 4 sauve-t-elle encore la boucle ?

**Partie IV — Fermer le compte.** Le dernier capteur, à l’entrée de la ligne de freinage horizontale droite ($z = 0$), lit $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

16. Calculer l’ [énergie cinétique](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) du train là.
17. Les freins doivent l’arrêter en $d = 45\,\mathrm{m}$ : calculer la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de freinage (constante) requise.
18. Contrôle de confort : calculer la décélération $a = F/m$ ; comparer à $g$ .
19. Combien d’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de piste a-t-il [dissipée](#def-g11-mechanical-energy-dissipation) sur tout le parcours ? Vérifier que [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $+$ freins $= mgH$ , au [joule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) près.
20. Chute, une phrase : quel seul nombre a fixé la sécurité de la boucle, chaque vitesse, la facture de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de freinage — et quel était le prix d’ignorer le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) ?

**Solution de Problème 18.1.**

**1.** $v_{\text{sommet}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0}
\approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} +
7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**3.** $mgH_{\min} = E_m$ donne $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$ ; algébriquement $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$.

**4.** $v_{\text{sommet}} = \sqrt{2g(H - 2R)} =
\sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_{\text{sommet}}^2/(gR) = 2.0$ — deux fois le minimum.

**5.** Chaque [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) est proportionnelle à $m$, donc $m$ s’annule : mêmes vitesses et même sécurité, plein ou vide.

**6.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**7.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx
17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**8.** $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. $(E_p, E_k)$ : lancement $(4.71 \times 10^{5}, 0)$ ; bas $(0, 4.71 \times 10^{5})$ ; côté $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$ ; sommet $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — chaque paire somme à $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**9.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx
15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**10.** $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$ : le plus rapide au point le plus bas de la piste, le plus lent au sommet de la boucle.

**11.** Même hauteur, donc $\Delta E_p = 0$ et $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 -
20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ : le placement rend le déficit purement cinétique, lu sur deux compteurs de vitesse.

**12.** $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

**13.** [Énergie thermique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms), dans les roues, les rails et l’air.

**14.** $E_m$ au premier capteur : $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} =
4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ; perte $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\,\%$ par $60\,\mathrm{m}$. À $H_{\min}$ le sommet de la boucle est atteint *exactement* à $\sqrt{gR}$ ; toute perte le fait descendre sous la vitesse de sécurité.

**15.** En perdant $\approx 10\,\%$ par $60\,\mathrm{m}$, environ $15\,\%$ de $mgH$ ($\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) a disparu : $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$, encore au-dessus des $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ requis — sûr, avec seulement $2\,\%$ de marge. La marge n’était pas un luxe.

**16.** $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 =
3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**17.** $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**18.** $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$ : ferme mais confortable.

**19.** [Frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de piste : $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Audit : $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — chaque [joule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work) est comptabilisé.

**20.** La hauteur de lancement $H = 24\,\mathrm{m}$ a fixé la sécurité de la boucle, chaque vitesse $\sqrt{2g(H - z)}$, la facture de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de freinage ; le prix d’ignorer le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est la marge — les $4\,\mathrm{m}$ de colline que le monde frottant consomme silencieusement.