--- title: "Le noyau et la radioactivité" book: "Physique du lycée" subject: physics language: fr chapter: 19 exercises: 15 source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite --- # Chapitre 19 — Le noyau et la radioactivité En ce moment même, quelque huit mille noyaux atomiques explosent dans votre corps chaque seconde. Rien ne les attaque : certains noyaux naissent instables, et chacun tôt ou tard se transforme lui-même, en projetant un fragment à une bonne fraction de la vitesse de la lumière. Ce chapitre revient à l’étage des $10^{-15}$ [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) du [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#ch-g11-fundamental-interactions) pour voir quels noyaux sont fragiles, comment ils se brisent, et comment leur impatience régulière date les grottes et surveille les plafonds. ## 19.1 Noyaux, nucléons et isotopes **Définition 19.1 (Notation nucléaire).** Un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) contient $Z$ protons (charge $+e$ chacun) et $N$ neutrons (sans charge), $A = Z + N$ [nucléons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en tout ; on l’écrit ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$, où $\mathrm X$ est le symbole chimique, $Z$ le *numéro atomique* et $A$ le *nombre de masse*. Une espèce spécifiée par $A$ et $Z$ est un *nucléide* ; des nucléides de même $Z$ mais de $A$ différents sont des *isotopes* d’un même élément : même chimie (le nuage électronique ne voit que $Ze$), noyaux et stabilité différents. **Exemple 19.2 (Hydrogène et carbone).** L’hydrogène a trois [isotopes](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) : ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (un proton seul), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deutérium : un proton, un neutron), ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ instable (tritium : deux neutrons). Carbone naturel : surtout ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ($6$ protons, $6$ neutrons), $1{,}1\,\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$, et un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sur $10^{12}$ de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ instable ($8$ neutrons), héros de l’[Exemple 19.17](#ex-g11-nucleus-radioactivity-dating). ## 19.2 Noyaux stables et instables **Proposition 19.3 (La vallée de stabilité).** Les [nucléides](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) stables occupent une bande étroite dans le plan $(Z, N)$ : $N \approx Z$ pour les noyaux légers, puis un excès de neutrons croissant, jusqu’à $N \approx 1.5\,Z$. Tout [nucléide](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) hors de la bande — trop de neutrons, trop de protons, ou trop gros (au-delà du plomb, $Z = 82$, aucun [nucléide](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) n’est vraiment stable) — se transforme tôt ou tard. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ **Remarque 19.4.** Localiser la bande exactement est de la mécanique quantique — les volumes universitaires. Le motif est le grand livre du [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#ch-g11-fundamental-interactions) : la colle forte ne lie que les voisins, la répulsion de Coulomb traverse tout le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), donc les noyaux lourds ont besoin de colle neutronique supplémentaire ; et pourtant un excès de neutrons est instable aussi (l’ [interaction faible](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-weak) s’en charge). ![Les nucléides stables serrent N = Z, puis dérivent riches en neutrons ; au-dessus de la bande un noyau se désintègre -, en dessous +, au-delà du bismuth .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-d613510b84a3.svg) *Les [nucléides](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) stables serrent $N = Z$, puis dérivent riches en neutrons ; au-dessus de la bande un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se désintègre $\beta^-$, en dessous $\beta^+$, au-delà du bismuth $\alpha$.* **Définition 19.5 (Radioactivité).** La *radioactivité* est la transformation spontanée d’un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) instable en un autre [nucléide](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), avec émission de rayonnement. Elle est *aléatoire* : rien n’annonce quel [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) se désintègre ensuite, et aucune [pression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/7-pression-du-sport-a-la-plongee#def-g10-pressure-pressure), température ou chimie ne peut la hâter ou la retarder ; seules les grandes populations sont prévisibles ([Définition 19.14](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)). **Remarque 19.6 (Becquerel et les Curie).** En 1896 Henri Becquerel trouva que des sels d’uranium voilent une plaque photographique à travers du papier noir, dans un tiroir fermé, sans [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) fournie. Marie et Pierre Curie montrèrent que l’effet est atomique, le mesurèrent, et isolèrent le polonium et le radium, un million de fois plus actifs. Le mot *[radioactivité](#def-g11-nucleus-radioactivity-radioactivity)* est de Marie Curie ; deux prix Nobel aussi. ## 19.3 Alpha, bêta, gamma **Définition 19.7 (Les trois rayonnements historiques).** Trois rayonnements, nommés avant que quiconque sache ce qu’ils étaient : - *alpha* ( $\alpha$ ) : un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’hélium ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ éjecté entier — lourd, doublement chargé, arrêté par une feuille de papier ou des centimètres d’air ; - *bêta* ( $\beta^-$ ) : un électron ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ créé dans le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) et éjecté — léger, rapide, arrêté par des millimètres d’aluminium ; - *gamma* ( $\gamma$ ) : rayonnement électromagnétique, bien plus énergétique que la lumière — jamais tout à fait arrêté, seulement *atténué* : un centimètre de plomb absorbe la moitié. ![meurt dans le papier, - dans des millimètres d’aluminium ; n’est qu’amincie, même par le plomb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-8d938d20e87c.svg) *$\alpha$ meurt dans le papier, $\beta^-$ dans des millimètres d’aluminium ; $\gamma$ n’est qu’amincie, même par le plomb.* **Proposition 19.8 (Conservation dans les équations nucléaires).** Dans toute transformation nucléaire, le [nombre de masse](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) total $A$ et la charge totale — la somme des indices inférieurs, en comptant $-1$ pour un électron émis — sont les mêmes avant et après. **Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎ **Remarque 19.9.** La conservation de la charge régnait déjà dans le [Chapitre 13](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#ch-g11-fundamental-interactions) ; la conservation de $A$ dit que les [nucléons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ne sont que convertis, jamais créés ni détruits — comptabilité honnête pour les volumes universitaires. **Méthode 19.10 (Équilibrer une équation de désintégration).** 1. Écrire chaque acteur avec les deux étiquettes : $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; un $\gamma$ porte $A = Z = 0$ . 2. Égaler les sommes des $A$ , puis des $Z$ ( [Proposition 19.8](#prop-g11-nucleus-radioactivity-soddy) ) ; résoudre, et lire l’élément fils sur son $Z$ dans le tableau [périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) . **Exemple 19.11 (Une désintégration alpha).** Le radium-226, le radium des Curie, est un émetteur $\alpha$ : ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ impose $A = 226 - 4 = 222$ et $Z = 88 - 2 = 86$ ; l’élément $86$ est le radon, donc ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — le gaz radioactif des caves mal ventilées. **Exemple 19.12 (Une désintégration bêta-moins).** Le carbone-14 siège au-dessus de la bande ($8$ neutrons contre $6$ protons) : ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$. Vérification : $14 = 14 + 0$, $6 = 7 - 1$ ; un neutron est devenu un proton plus l’électron éjecté — l’ [interaction faible](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-weak) au [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work). **Remarque 19.13 (Bêta-plus et gamma).** Sous la bande, la désintégration miroir $\beta^+$ transforme un proton en neutron plus un *positon* ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, l’antiparticule de l’électron : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, cheval de trait des scanners TEP. Et après la plupart des désintégrations le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) fils, né en vibration, se calme en émettant un $\gamma$ par-dessus. ![Les premières étapes de la chaîne de l’uranium-238 ; onze désintégrations de plus ( et -) aboutissent au 206_82 Pb stable.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-3099cf490378.svg) *Les premières étapes de la chaîne de l’uranium-238 ; onze désintégrations de plus ($\alpha$ et $\beta^-$) aboutissent au ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ stable.* ## 19.4 Demi-vie et activité **Définition 19.14 (Demi-vie).** La *demi-vie* $T_{1/2}$ d’un [nucléide](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) est le temps au bout duquel la moitié de tout grand échantillon s’est désintégrée. Chaque demi-vie supplémentaire divise par deux ce qui reste : sur $N_0$ noyaux, $N_0/2$ restent à $T_{1/2}$, $N_0/4$ à $2\,T_{1/2}$, $N_0/8$ à $3\,T_{1/2}$, $N_0/2^{\,n}$ après $n$ demi-vies. **Remarque 19.15.** Aléatoire pour un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), mécanique pour $10^{23}$ : une foule immense de joueurs de pile ou face, imprévisibles un par un, la moitié éliminée à chaque tour. Interpoler *entre* des [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) entières prend la fonction exponentielle — l’année suivante, avec le volume de mathématiques. **Exemple 19.16 (Vingt puissances de dix).** | polonium-214 | $\alpha$ | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | maillon de la chaîne du radium | | --- | --- | --- | --- | | technétium-99m | $\gamma$ | $6{,}0$ heures | imagerie médicale | | américium-241 | $\alpha$ | $432$ ans | détecteurs de fumée | | carbone-14 | $\beta^-$ | $5700$ ans | archéologie | | potassium-40 | $\beta$ | $1.25 \times 10^{9}$ ans | dans chaque banane | | uranium-238 | $\alpha$ | $4.5 \times 10^{9}$ ans | chaleur intérieure de la Terre | **Exemple 19.17 (Datation au carbone-14).** La matière vivante échange du carbone avec l’atmosphère, donc elle détient la proportion atmosphérique de carbone-14 ; à la mort l’apport s’arrête et la proportion se divise par deux tous les $5700$ ans. Du charbon d’une grotte peinte montre un quart de la proportion vivante : un quart est la moitié d’une moitié, donc le feu a brûlé deux [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife), $2 \times 5700 = 11\,400$ ans, auparavant. **Définition 19.18 (Activité).** L’*activité* $\mathcal A$ d’un échantillon est son nombre de désintégrations par seconde, mesurée en *becquerels* : $1\,\mathrm{Bq} = 1$ désintégration par seconde. Moins de noyaux survivants signifie moins de désintégrations, donc l’activité se divise aussi par deux à chaque [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). ![L’escalier de division par deux : après n demi-vies l’ activité est A_0/2\,n — un huitième après trois, un millième après dix.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-93b90daa3226.svg) *L’escalier de division par deux : après $n$ [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) l’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) est $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — un huitième après trois, un millième après dix.* **Exemple 19.19 (Ordres de grandeur).** Tout est légèrement radioactif. Une banane : environ $15\,\mathrm{Bq}$ (potassium-40). Un corps humain : environ $8000\,\mathrm{Bq}$ — le crochet de ce chapitre, quelque cinq cents bananes. Un [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cube de granite : autour de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (uranium et sa chaîne, d’où le radon des caves). Une injection de technétium : environ $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$, disparue en quelques jours. ## 19.5 Serviteurs et dangers **Exemple 19.20 (Trois carrières d’un noyau instable).** *Médecine* : le technétium-99m, émetteur $\gamma$ pur de $T_{1/2} = 6$ heures, est fixé à une [molécule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que l’organe cible absorbe ; une caméra filme les $\gamma$ de l’extérieur, et dès le lendemain le traceur a pour l’essentiel disparu — tandis que la radiothérapie inverse la logique, en focalisant des faisceaux pour détruire une tumeur. *Datation* : carbone-14 pour le bois, l’os et le tissu jusqu’à quelque $50\,000$ ans ; uranium-238 pour les roches — et la Terre, à $4.5 \times 10^{9}$ ans. *Détecteurs de fumée* : une pincée d’américium-241 ionise l’air d’une petite chambre, laissant passer un petit courant ; la fumée étouffe le courant et l’alarme sonne — les $\alpha$ meurent en centimètres d’air. **Remarque 19.21 (Dose et sievert).** Le rayonnement arrache des électrons aux [molécules](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) et peut endommager l’ADN. Le dommage biologique est suivi par la *dose*, en *sieverts* ($\mathrm{Sv}$), qui pèse l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) déposée par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tissu selon la nocivité de chaque rayonnement. Trois règles : distance, blindage ($\alpha$ : la peau suffit — sauf si l’émetteur est *inhalé*, le crime du radon ; $\beta$ : aluminium ; $\gamma$ : plomb), et temps. La dosimétrie proprement dite est matière universitaire. ## 19.6 Exercices **Exercice 19.1 ★.** Donner le nombre de protons et de neutrons dans ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$, ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$, ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ et ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$. **Solution de Exercice 19.1.** ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$ : $8$ p, $8$ n ; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$ : $13$ p, $14$ n ; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$ : $27$ p, $33$ n ; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ : $92$ p, $143$ n ; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ : $1$ p, $2$ n. ($N = A - Z$ chaque fois.) **Exercice 19.2 ★.** Parmi ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$, ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, lesquels sont des [isotopes](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) les uns des autres ? Pourquoi ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ ne sont-ils *pas* des [isotopes](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), malgré des [nombres de masse](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) égaux ? **Solution de Exercice 19.2.** Les trois carbones ($Z = 6$) sont des [isotopes](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) les uns des autres. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ partagent $A = 14$ mais non $Z$ : éléments différents (nuages électroniques différents), donc pas des [isotopes](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation). **Exercice 19.3 ★.** Le polonium-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$, est un émetteur $\alpha$. Écrire l’équation de désintégration et nommer le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) fils ($Z = 81$ : thallium, $82$ : plomb, $83$ : bismuth). **Solution de Exercice 19.3.** $A = 210 - 4 = 206$, $Z = 84 - 2 = 82$ : ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) fils est le plomb-206. **Exercice 19.4 ★.** Écrire les équations de désintégration $\beta^-$ du cobalt-60 (${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$) et de l’iode-131 (${}^{131}_{53}\mathrm{I}$) ; noyaux fils : $Z = 28$ nickel, $Z = 54$ xénon. **Solution de Exercice 19.4.** ${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ et ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : $A$ inchangé, $Z$ augmente d’un. **Exercice 19.5 ★.** Une source d’iode-131 ($T_{1/2} = 8{,}0$ jours) a une [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $800\,\mathrm{MBq}$ aujourd’hui. Quelle est son [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) après $16$ jours ? Après $32$ jours ? **Solution de Exercice 19.5.** $16$ jours $= 2\,T_{1/2}$ : $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$. $32$ jours $= 4\,T_{1/2}$ : $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$. **Exercice 19.6 ★★.** Quatre rayonnements traversent un fort [champ magnétique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques#def-g11-magnetic-fields-bfield), puis des écrans. Identifier chacun : (a) arrêté par le papier, à peine dévié par le [champ](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ; (b) traverse le papier, arrêté par $4\,\mathrm{mm}$ d’aluminium, fortement dévié ; (c) traverse les deux, seulement [atténué](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg) par le plomb, non dévié ; (d) comme (b), dévié de l’autre côté. **Solution de Exercice 19.6.** (a) $\alpha$ (lourde, donc à peine déviée) ; (b) $\beta^-$ ; (c) $\gamma$ (neutre, pénétrante) ; (d) $\beta^+$ ([positon](#rem-g11-nucleus-radioactivity-betaplus) : aussi léger que (b), charge opposée). **Exercice 19.7 ★★.** Le radon-222 (${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$) ouvre une chaîne rapide : une désintégration $\alpha$, puis une autre $\alpha$, puis une $\beta^-$. Écrire les trois équations ($Z = 82$ : plomb, $83$ : bismuth, $84$ : polonium). **Solution de Exercice 19.7.** ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$. **Exercice 19.8 ★★.** Le fluor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$, est le traceur des scanners TEP ; le fluor stable est ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$. De quel côté de la bande de stabilité est-il ? Prédire son mode de désintégration et écrire l’équation ($Z = 8$ : oxygène). **Solution de Exercice 19.8.** Le fluor-18 a $9$ neutrons là où le fluor-19 stable en a $10$ : pauvre en neutrons, sous la bande, donc $\beta^+$ : ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$. **Exercice 19.9 ★★.** Un patient reçoit $500\,\mathrm{MBq}$ de technétium-99m ($T_{1/2} = 6{,}0$ heures) à 08 h. Quelle est l’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) à 08 h le lendemain matin ? Après combien d’heures descend-elle pour la première fois sous $1\,\mathrm{MBq}$ ? **Solution de Exercice 19.9.** $24$ heures $= 4\,T_{1/2}$ : $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$. Comme $2^9 = 512$, neuf [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) amènent $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$ : après $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$. **Exercice 19.10 ★★.** Un os d’une tourbière montre une proportion de carbone-14 d’un huitième de celle d’un os vivant ($T_{1/2} = 5700$ ans). Quel âge a l’os ? Et pourquoi le carbone-14 est-il inutile pour dater des os de dinosaures (âge d’environ $10^{8}$ ans) ? **Solution de Exercice 19.10.** $\frac18 = \frac1{2^3}$ : trois [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife), $3 \times 5700 = 17\,100$ ans. Un os de dinosaure a environ $17\,500$ [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) d’âge : une fraction $1/2^{17500}$ reste — pas un seul [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbone-14 (un gramme de carbone n’en détient qu’environ $5 \times 10^{22}$ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder)). **Exercice 19.11 ★★.** En utilisant la vallée de stabilité, prédire le mode de désintégration ($\alpha$, $\beta^-$ ou $\beta^+$) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$, en justifiant chacun en une ligne (carbone stable : ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$). **Solution de Exercice 19.11.** ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $8$ neutrons contre $6$–$7$ dans le carbone stable, au-dessus de la bande, $\beta^-$. ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ : $5$ neutrons, pauvre en neutrons, $\beta^+$. ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ : $Z = 92 > 83$, trop lourd, $\alpha$. **Exercice 19.12 ★★★.** La chaîne de l’uranium-238 se termine, bien des étapes plus tard, au ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ stable ; chaque étape est une $\alpha$ ou une $\beta^-$. En utilisant la conservation de $A$ seule, trouver le nombre d’étapes $\alpha$ ; puis, avec la conservation de $Z$, le nombre d’étapes $\beta^-$. **Solution de Exercice 19.12.** Seule $\alpha$ change $A$ : $238 - 206 = 32 = 4x$, donc $x = 8$ [alphas](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg). Elles retirent $16$ de $Z$ : $92 - 16 + y = 82$ donne $y = 6$ désintégrations bêta-moins. **Exercice 19.13 ★★★.** La source de cobalt-60 d’un hôpital ($T_{1/2} = 5{,}3$ ans) a une [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $6.4\,\mathrm{TBq}$ ; la réglementation autorise l’élimination sous $0.1\,\mathrm{TBq}$. Après combien d’années peut-elle être éliminée ? **Solution de Exercice 19.13.** $6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$ : six [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife), $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ années en stockage blindé. **Exercice 19.14 ★★★.** L’[activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de votre corps est d’environ $8000\,\mathrm{Bq}$. Combien de vos noyaux se désintègrent par jour ? Sur une vie de $80$ ans ? Une banane ajoute environ $15\,\mathrm{Bq}$ pendant que vous la digérez : commenter, en une phrase, les titres qui craignent chaque [becquerel](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity). **Solution de Exercice 19.14.** Par jour : $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ désintégrations. Sur $80$ ans : $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$. La vie a toujours tourné sur ce fond — un [becquerel](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) est un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) par seconde sur les $\sim 10^{27}$ du corps ; l’[unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) est minuscule, et un décompte de [becquerels](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) qui sonne effrayant peut valoir quelques bananes. **Exercice 19.15 ★★★.** Un détecteur de fumée détient $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ d’américium-241 ($T_{1/2} = 432$ ans), d’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) d’environ $25\,\mathrm{kBq}$. Combien de désintégrations est-ce par jour ? Après dix ans de service, l’américium s’est-il désintégré de beaucoup moins de la moitié, d’environ la moitié, ou de beaucoup plus — et l’épuisement de la source est-il la raison pour laquelle on remplace les détecteurs ? Enfin, pourquoi cette source $\alpha$ est-elle inoffensive au plafond, mais dangereuse si la capsule est broyée et la poussière inhalée ? **Solution de Exercice 19.15.** $25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ désintégrations par jour. Dix ans sont $10/432 \approx 2\,\%$ d’une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : bien moins de la moitié a disparu, donc l’électronique et la poussière, non la source, imposent le remplacement. À l’extérieur, les $\alpha$ meurent dans l’air et le boîtier de la chambre ; la poussière inhalée gare l’émetteur dans les poumons, où chaque $\alpha$ déverse son [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) dans le tissu vivant — une grande [dose](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) ([sieverts](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose)) pour une [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) modeste. ## 19.7 Problème : La momie, le réacteur et le détecteur de fumée **Problème 19.1.** Problème du week-end — trois carrières d’un noyau instable : une momie datée par divisions par deux, l’arbre généalogique de l’uranium équilibré, un détecteur de fumée audité, et pourquoi les étoiles ont dû être mortelles Trois noyaux instables, trois métiers : le carbone-14 horodate chaque plante et animal morts, l’uranium-238 chauffe une planète de l’intérieur, l’américium-241 surveille les plafonds. Données : $T_{1/2} = 5700$ ans (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ ans (U-238), $432$ ans (Am-241) ; le carbone vivant montre $13{,}6$ désintégrations par minute par gramme ; [numéros atomiques](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) : N $7$, O $8$, Pb $82$, Bi $83$, Po $84$, Rn $86$, Ra $88$, Th $90$, Pa $91$, U $92$, Np $93$, Am $95$. **Partie I — La momie.** 1. Donner la composition (protons, neutrons) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ et ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . Pourquoi une chimie identique dans un corps ? 2. Pourquoi la proportion de carbone-14 est-elle constante dans un corps vivant, et pourquoi commence-t-elle à chuter à la mort ? 3. Écrire l’équation de désintégration du carbone-14. Son rayonnement s’échapperait-il à travers les bandelettes de lin de la momie ? 4. Un gramme de carbone du lin montre $6{,}8$ désintégrations par minute. Quelle fraction du taux vivant est-ce ? Dater la momie. 5. Une seconde « momie », prix d’une collection privée, montre $13{,}2$ désintégrations par minute par gramme. Verdict ? 6. Estimer le taux d’un échantillon de dix [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) , et expliquer pourquoi la datation au carbone s’estompe au-delà d’environ $57\,000$ ans. **Partie II — Le réacteur sous le pré.** 7. Donner la composition de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . Pourquoi les noyaux lourds ont-ils besoin d’un tel surplus de neutrons ? 8. Écrire son équation de désintégration $\alpha$ . 9. Le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) fils se désintègre ensuite $\beta^-$ , et la petite-fille $\beta^-$ encore. Écrire les deux équations. Quel élément réapparaît ? 10. La chaîne se termine à ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Compter ses étapes $\alpha$ , puis ses étapes $\beta^-$ . 11. La Terre s’est formée il y a $4.5 \times 10^{9}$ ans. Quelle fraction de son uranium-238 primordial reste aujourd’hui ? Et dans $5$ milliards d’années de plus ? 12. En une phrase : que alimente cette chaleur de désintégration enfouie à la surface ? (Penser volcans et continents dérivants.) **Partie III — Le détecteur de fumée.** 13. Écrire l’équation de désintégration $\alpha$ de ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ . 14. Son [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) est $33\,\mathrm{kBq}$ : combien de désintégrations par seconde ? Par jour ? 15. Expliquer le détecteur : que font les particules $\alpha$ à l’air de la chambre, et que change la fumée ? 16. Pourquoi un émetteur $\alpha$ est-il le bon choix ici — et un émetteur $\gamma$ d’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) égale le pire ? 17. Après une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ( $432$ ans !) l’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) serait $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; le manuel demande un remplacement après dix ans. La source est-elle le maillon faible ? **Partie IV — Pourquoi les étoiles ont dû être mortelles.** 18. Les étoiles mourantes ont forgé et dispersé chaque élément plus lourd que l’hélium. Quelle fraction de l’uranium-238 forgé il y a $9 \times 10^{9}$ ans survit aujourd’hui ? Pourquoi l’abondance restante de la Terre rend-elle la planète bien plus jeune que les plus vieilles étoiles ? 19. La chaleur radioactive intérieure de la Terre pilote le volcanisme et la tectonique des plaques, et maintient le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en brassage produisant le bouclier magnétique du [Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques#ch-g11-magnetic-fields) . À quoi ressemblerait une planète de seuls [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) stables ? 20. Une ligne, comme poésie et comme comptabilité : où vos [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) ont-ils été forgés, et qu’est-ce qui chauffe encore le sol sous vos pieds ? **Solution de Problème 19.1.** **1.** ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $6$ n ; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ : $6$ p, $8$ n. La chimie ne voit que le nuage électronique, fixé par $Z = 6$ : comportement identique. **2.** Manger et respirer renouvellent constamment le carbone d’un corps vivant à la proportion atmosphérique ; à la mort l’apport s’arrête et la désintégration court sans frein. **3.** ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ($\beta^-$). Ces $\beta$ sont mous : des [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de lin enveloppé les arrêtent, donc peu s’échappe de la momie — d’où la mesure sur un petit échantillon de carbone prélevé sur l’objet lui-même. **4.** $6.8/13.6 = \frac12$ : une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). La momie a environ $5700$ ans. **5.** $13.2/13.6 \approx 0.97$ : le lin est essentiellement moderne — au plus quelques siècles. Un faux. **6.** $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ désintégrations par minute — un coup toutes les $75$ minutes par gramme, noyé dans le fond naturel. Dix [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife), environ $57\,000$ ans, sont l’horizon pratique. **7.** $92$ protons, $146$ neutrons. La répulsion de Coulomb agit entre toutes les paires de protons à travers le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) tandis que la colle forte ne lie que les voisins : les noyaux lourds ne survivent qu’avec des neutrons en surplus, colle sans répulsion. **8.** ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$. **9.** ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$, puis ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ : l’uranium réapparaît, comme uranium-234. **10.** $A$ : $238 - 206 = 32$, donc $8$ étapes $\alpha$ ; $Z$ : $92 - 16 + y = 82$, donc $6$ étapes $\beta^-$. **11.** $4.5 \times 10^{9}$ ans est une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : $\frac12$ reste. Cinq milliards d’années de plus $\approx$ une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) de plus : environ $\frac14$. **12.** Elle pilote les volcans, la tectonique des plaques (continents dérivants, séismes) et la chaleur géothermique : la géologie de surface d’une planète chauffée de l’intérieur. **13.** ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$. **14.** $3.3 \times 10^{4}$ désintégrations par seconde ; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ par jour. **15.** Chaque $\alpha$ ionise l’air qu’elle traverse ; les ions portent un petit courant entre les électrodes de la chambre. Les particules de fumée capturent les ions, le courant chute, l’alarme sonne. **16.** Les $\alpha$ dépensent toute leur [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) dans la chambre et rien n’échappe du boîtier : ionisation maximale, zéro fuite. Une source $\gamma$ d’[activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) égale ioniserait à peine l’air de la chambre et irradierait toute la pièce à la place. **17.** Dix ans sont $10/432 \approx 2\,\%$ d’une [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : l’ [activité](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) est essentiellement inchangée. Les maillons faibles sont la poussière, les insectes et l’électronique — le [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) survit au gadget. **18.** $9 \times 10^{9}$ ans $= 2$ [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : $\frac14$ survit. L’uranium de la Terre est encore abondant, donc il a été forgé il y a au plus quelques [demi-vies](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) — la planète s’est condensée à partir de cendres d’étoiles fraîches, des milliards d’années après les premières étoiles. **19.** Géologiquement morte : un intérieur froid, pas de volcanisme ni de tectonique des plaques pour recycler l’air et la roche, et pas de [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) en brassage — d’où pas de bouclier magnétique contre le vent solaire. **20.** Chaque [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de vous au-delà de l’hélium a été forgé dans une étoile mourante, et les restes instables de cette forge chauffent encore le sol sous vos pieds : poussière d’étoiles, maintenue en vie par sa propre [demi-vie](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife).