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title: "Son et acoustique"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 21
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique
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# Chapitre 21 — Son et acoustique

Pincez la corde grave d’une guitare : la pièce se remplit d’un la grave, pourtant rien n’a voyagé jusqu’à votre oreille que de l’air comprimé et dilaté. Ce chapitre suit ce motif — sa [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed), comment la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) devient [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) [intensité sonore](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness), et pourquoi une même note diffère d’un instrument à l’autre.

## 21.1 Le son est une onde de pression

**Définition 21.1 (Onde sonore).**

Une *onde sonore* est une [onde mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wave) de [pression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/7-pression-du-sport-a-la-plongee#def-g10-pressure-pressure) ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#ch-g12-mechanical-waves)) : une surface vibrante crée des *compressions* qui voyagent (légère surpression) et des *dilatations* ([sous-pression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/7-pression-du-sport-a-la-plongee#def-g10-pressure-pressure)). Les parcelles d’air oscillent *le long* de la direction de parcours (le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) est *longitudinal*), et un milieu est nécessaire : une cloche sous une cloche à vide tombe dans le silence ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#ch-g10-signals-and-waves)).

![Un haut-parleur engendre une onde longitudinale : les parcelles se regroupent en compressions distantes d’une longueur d’onde = v/f.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-edd66737b782.svg)

*Un haut-parleur engendre une [onde longitudinale](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) : les parcelles se regroupent en [compressions](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) distantes d’une [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$.*

**Proposition 21.2 (Célérité du son).**

Le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) se propage à environ $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air à $20{}^{\circ}\mathrm{C}$, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’eau et $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’acier : plus le milieu est rigide, plus c’est rapide.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 21.3 (L’air chaud est plus rapide).**

Ce sont des valeurs mesurées ; les prédire se fait dans le volume de Licence 1. Le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) accélère dans l’air plus chaud ($331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $0{}^{\circ}\mathrm{C}$) — pourquoi les instruments dérivent du diapason à mesure que la salle se réchauffe.

**Exemple 21.4 (Les tailles des sons).**

La relation $\lambda = v/f$ dimensionne tout son : dans l’air un grondement à $20\,\mathrm{Hz}$ s’étend sur $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ — un bâtiment — et un sifflement à $20\,\mathrm{kHz}$ tient dans $1.7\,\mathrm{cm}$ ; ceux de taille métrique contournent facilement portes et angles.

## 21.2 Hauteur, intensité sonore et l’oreille

**Définition 21.5 (Hauteur et intensité sonore).**

La *hauteur* est la [perception](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/11-couleur-et-sources-de-lumiere#def-g11-color-light-sources-perception) de la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) : plus $f$ est élevée, plus la note est aiguë ; le la du concert est à $440\,\mathrm{Hz}$, et doubler $f$ élève la note d’une octave. L’*intensité sonore* est la [perception](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/11-couleur-et-sources-de-lumiere#def-g11-color-light-sources-perception) de l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) : plus l’oscillation de [pression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/7-pression-du-sport-a-la-plongee#def-g10-pressure-pressure) est forte, plus c’est fort ; l’amplification change l’intensité sonore, non la hauteur.

**Remarque 21.6 (La fenêtre de l’oreille).**

L’audition s’étend d’environ $20\,\mathrm{Hz}$ à $20\,\mathrm{kHz}$ ([Chapitre 8](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#ch-g10-signals-and-waves)) ; en dessous se trouve l’[infrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), au-dessus l’[ultrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) — chauves-souris à $50\,\mathrm{kHz}$, sondes médicales en mégahertz. Un piano n’échantillonne que le milieu : $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$.

## 21.3 Intensité acoustique et échelle des décibels

**Définition 21.7 (Intensité acoustique).**

L’*intensité acoustique* $I$ est la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) acoustique traversant un [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) carré face à l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) : $I = P/S$, en $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. Le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) audible le plus faible est d’environ $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; la douleur commence près de $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**Proposition 21.8 (Atténuation en inverse du carré).**

Une petite source rayonnant une [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) $P$ également dans toutes les directions donne, à la distance $r$, $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ : doubler la distance divise l’intensité par quatre.

**Démonstration.** Toute la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) $P$ traverse la sphère d’aire $4\pi r^2$ ; diviser. ∎

**Définition 21.9 (Niveau sonore).**

L’oreille couvre douze [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de dix, aussi les intensités sont-elles rapportées logarithmiquement. Le *niveau sonore* de $I$ est

$$
L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
$$

en *décibels* ($\mathrm{dB}$) : seuil d’audition $0\,\mathrm{dB}$, douleur près de $120\,\mathrm{dB}$.

**Proposition 21.10 (Arithmétique des décibels).**

Multiplier $I$ par $k$ ajoute $10\log_{10}k$ [décibels](#def-g12-sound-acoustics-level). En particulier $\times 10$ ajoute $10\,\mathrm{dB}$ ; $\times 2$ ajoute $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ ; $N$ sources incohérentes identiques additionnent les *intensités*, jamais les niveaux, donnant $L_1 + 10\log_{10}N$ ; doubler la distance à une petite source ($I$ divisée par quatre) retire environ $6.0\,\mathrm{dB}$.

**Démonstration.** $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$ ; distance : [Proposition 21.8](#prop-g12-sound-acoustics-inverse-square), $k = 1/4$. ∎

**Méthode 21.11 (Travailler en décibels).**

1. $L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; retour : $I = I_0 \times 10^{L/10}$ .
2. Ne jamais additionner les niveaux : convertir en intensités, additionner, reconvertir — ou $+3\,\mathrm{dB}$ par doublement, $+10\,\mathrm{dB}$ par décuple.
3. Chaque doublement de distance à une petite source coûte $6\,\mathrm{dB}$ .

![Une échelle de niveaux quotidiens : chaque pas de 20\, dB est un saut d’intensité d’un facteur cent ; au-delà de 85\, dB (zone rouge) l’exposition abîme l’audition.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-b43f22e95861.svg)

*Une échelle de niveaux quotidiens : chaque pas de $20\,\mathrm{dB}$ est un saut d’intensité d’un facteur cent ; au-delà de $85\,\mathrm{dB}$ (zone rouge) l’exposition abîme l’audition.*

**Remarque 21.12 (Dommages auditifs).**

La perte auditive est une [dose](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) : $85\,\mathrm{dB}$ est sûr pendant huit heures, et chaque $3\,\mathrm{dB}$ de plus — un doublement d’intensité — divise le temps sûr par deux ; les cellules ciliées perdues ne repoussent pas.

## 21.4 Timbre et harmoniques

**Définition 21.13 (Harmoniques).**

Un [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) [périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) de [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_1$ — le *fondamental* — est en général une somme de sinus aux [fréquences](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f_n = n f_1$, $n = 1, 2, 3, \dots$, ses *harmoniques*. Un [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) réduit à son fondamental est un *son pur*, comme celui d’un diapason.

**Définition 21.14 (Spectre et timbre).**

Le *spectre* d’un [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) est le diagramme en barres de ses [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) : une barre par $f_n$, dont la longueur mesure l’intensité de cet [harmonique](#def-g12-sound-acoustics-harmonics). L’oreille entend $f_1$ comme la [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) et le *mélange* des intensités comme le *timbre* — la couleur du [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) : des instruments jouant la même note partagent $f_1$, ne différant que par leurs spectres.

![Le même la (220\, Hz) : formes d’onde (haut), spectres (bas) — même fondamental et même hauteur ; l’échelle d’harmoniques du violon est son timbre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-93d72626f1b8.svg)

*Le même la ($220\,\mathrm{Hz}$) : formes d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) (haut), [spectres](#def-g12-sound-acoustics-timbre) (bas) — même [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) et même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) ; l’échelle d’[harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) du violon est son [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).*

**Exemple 21.15 (Pourquoi vous reconnaissez l’appelant).**

Le la d’une flûte est presque un [son pur](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ; un violon frottant le même $220\,\mathrm{Hz}$ ajoute de forts [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) à $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$. Même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) et même [intensité sonore](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness), pourtant personne ne les confond : une voix, elle aussi, est un [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) que l’on connaît par cœur.

## 21.5 La corde vibrante

**Définition 21.16 (Onde stationnaire).**

Une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) confinée entre les extrémités fixes d’une corde peut se stabiliser en une *onde stationnaire* : une oscillation sur place, des points immobiles — les *nœuds* — alternant avec des points d’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) maximale — les *ventres*. Plus rien ne voyage ; la corde vibre selon un motif fixe.

**Proposition 21.17 (Modes d’une corde).**

Une corde de longueur $L$, fixe aux deux extrémités, portant des [ondes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) de [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) $v$, ne vibre de façon stable que dans des motifs logeant un nombre entier $n$ de demi-longueurs d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) entre les [nœuds](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) imposés aux extrémités :

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

Le mode le plus bas $f_1 = v/(2L)$ est le [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ; les autres sont exactement ses [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 21.18 (Où vit la preuve honnête).**

Que des [ondes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) confinées choisissent exactement ces modes suit de la superposition de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) avec ses réflexions, calcul mené dans le volume de Licence 1. La géométrie convainc : les deux extrémités doivent rester immobiles, donc un nombre entier de demi-longueurs d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) doit s’y loger.

![Les trois premiers modes d’une corde fixe aux deux extrémités : n demi-longueurs d’onde tiennent dans L, donc _n = 2L/n et f_n = nf_1.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-33861aabd8aa.svg)

*Les trois premiers modes d’une corde fixe aux deux extrémités : $n$ demi-longueurs d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) tiennent dans $L$, donc $\lambda_n = 2L/n$ et $f_n = nf_1$.*

**Exemple 21.19 (La corde de la d’un violon).**

La corde de la d’un violon a $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ et sonne $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ : les [ondes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) y courent à $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — fixée par la tension et la masse, accordée par la cheville. Appuyer un doigt raccourcit $L$ et élève chaque $f_n$ d’un coup : le [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) glisse vers le haut.

**Remarque 21.20 (Pourquoi les instruments diffèrent).**

La façon d’exciter la corde — pincée, frottée, frappée — fixe la part de chaque mode, et la caisse amplifie certains [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) plus que d’autres ; excitation plus caisse fixent le [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre), si bien qu’un même $f_1$ laisse une guitare, un violon et un piano sonner chacun comme lui-même.

## 21.6 Exercices

**Exercice 21.1 ★.**

Dans l’air ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), trouver la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de (a) une note de basse à $55\,\mathrm{Hz}$ ; (b) un bip à $1.0\,\mathrm{kHz}$ ; (c) un sifflement à $15\,\mathrm{kHz}$. Comparer la plus grande à la plus petite.

**Solution de Exercice 21.1.**

$\lambda = v/f$ : (a) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$ ; (b) $0.34\,\mathrm{m}$ ; (c) $2.3\,\mathrm{cm}$. Rapport $15000/55 \approx 270$.

**Exercice 21.2 ★.**

Classer comme [infrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), son audible ou [ultrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) : $8\,\mathrm{Hz}$ ; $100\,\mathrm{Hz}$ ; $15\,\mathrm{kHz}$ ; $40\,\mathrm{kHz}$ ; $3\,\mathrm{MHz}$. Parmi les audibles, lequel sonne plus bas en [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) ?

**Solution de Exercice 21.2.**

[Infrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) : $8\,\mathrm{Hz}$. Audible : $100\,\mathrm{Hz}$ et $15\,\mathrm{kHz}$. [Ultrason](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) : $40\,\mathrm{kHz}$ et $3\,\mathrm{MHz}$. Plus basse [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) : $100\,\mathrm{Hz}$ ([fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) plus basse).

**Exercice 21.3 ★.**

Un ouvrier frappe un rail à $1.0\,\mathrm{km}$. Calculer les temps de parcours dans l’acier et dans l’air. Qu’entend un auditeur une oreille pressée contre le rail ?

**Solution de Exercice 21.3.**

Acier : $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$ ; air : $1000/340 \approx
2.9\,\mathrm{s}$. Deux clics, distants de $2.7\,\mathrm{s}$ — le rail d’abord.

**Exercice 21.4 ★.**

(a) Le [niveau sonore](#def-g12-sound-acoustics-level) pour $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ? (b) L’intensité à $60\,\mathrm{dB}$ ? (c) Nommer un [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) du quotidien près de chaque niveau.

**Solution de Exercice 21.4.**

(a) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$. (b) $I = 10^{-12} \times
10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$. (c) $70\,\mathrm{dB}$ : un aspirateur ; $60\,\mathrm{dB}$ : une conversation.

**Exercice 21.5 ★.**

Une corde de sol de violon sonne $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ : donner ses trois prochains [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics). Pourquoi un sifflement à $12\,\mathrm{kHz}$, aussi riche soit-il à la source, parvient-il à l’oreille comme un [son pur](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ?

**Solution de Exercice 21.5.**

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$. Ses [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) supérieurs ($n \ge 2$) commencent à $24\,\mathrm{kHz}$, au-dessus du plafond audible : seul le [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) à $12\,\mathrm{kHz}$ est entendu.

**Exercice 21.6 ★★.**

Une sirène rayonne $P = 0.50\,\mathrm{W}$ également dans toutes les directions. Calculer l’intensité et le [niveau sonore](#def-g12-sound-acoustics-level) à $5.0\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 21.6.**

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ ; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$.

**Exercice 21.7 ★★.**

Un violon donne $68\,\mathrm{dB}$ à votre place. Quel niveau en donnent deux ? Quatre ? Combien de violons faudrait-il pour atteindre $78\,\mathrm{dB}$ ?

**Solution de Exercice 21.7.**

Deux : $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$ ; quatre : $74\,\mathrm{dB}$. $+10\,\mathrm{dB}$ demande $\times 10$ en intensité : $10$ violons.

**Exercice 21.8 ★★.**

Le niveau est $95\,\mathrm{dB}$ à $2.0\,\mathrm{m}$ d’un petit haut-parleur. Prédire le niveau à $8.0\,\mathrm{m}$ : sous le seuil de $85\,\mathrm{dB}$ ?

**Solution de Exercice 21.8.**

$r \times 4$ : $I \div 16$, donc $-12\,\mathrm{dB}$ : $83\,\mathrm{dB}$. Oui — juste sous le seuil de $85\,\mathrm{dB}$.

**Exercice 21.9 ★★.**

Une note à $440\,\mathrm{Hz}$ passe de l’air à l’eau. Calculer sa [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) dans chaque milieu. Le plongeur entend la même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) : quelle grandeur est fixée par la source, et laquelle s’ajuste ?

**Solution de Exercice 21.9.**

Air : $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$ ; eau : $1500/440 \approx
3.4\,\mathrm{m}$. La source fixe la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) ; la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$ s’ajuste au milieu.

**Exercice 21.10 ★★.**

Un [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) montre des pics à $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ de intensités décroissantes : quel est le [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ? Un autre instrument joue la même note à la même [intensité sonore](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) : qu’y a-t-il de même dans son [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre), qu’y a-t-il de différent ?

**Solution de Exercice 21.10.**

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (l’écart entre pics). Identique : les positions des barres $nf_1$ (même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)) et l’intensité totale ; différent : les [hauteurs](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) des barres — le mélange qui fait le [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).

**Exercice 21.11 ★★.**

Une corde de guitare de longueur $65.0\,\mathrm{cm}$ sonne $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Trouver la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave), puis les longueurs vibrantes donnant l’octave ($220\,\mathrm{Hz}$) et la quinte ($165\,\mathrm{Hz}$).

**Solution de Exercice 21.11.**

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Octave : $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ ; quinte : $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**Exercice 21.12 ★★★.**

Une sonde médicale envoie des [ultrasons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) à $5.0\,\mathrm{MHz}$ dans des tissus mous ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) : la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) ? Des [échos](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) reviennent après $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ et $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ des deux parois d’un organe : trouver leurs profondeurs et l’épaisseur de l’organe.

**Solution de Exercice 21.12.**

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$. Profondeur $= vt/2$ : $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ et $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$ ; épaisseur $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 21.13 ★★★.**

Une scène en plein air produit $110\,\mathrm{dB}$ à $3.0\,\mathrm{m}$. En la traitant comme une petite source, à quelle distance le niveau tombe-t-il à $85\,\mathrm{dB}$ ? Donner deux raisons pour lesquelles la distance réelle diffère.

**Solution de Exercice 21.13.**

$-25\,\mathrm{dB}$ signifie $I \div 10^{2.5} \approx 316$, donc $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$ : $r \approx 3.0 \times 17.8
\approx 53\,\mathrm{m}$. Les salles réelles diffèrent : les réflexions du sol et des murs ajoutent de l’intensité, tandis que l’air et la foule en absorbent (et la scène n’est pas une source ponctuelle isotrope).

**Exercice 21.14 ★★★.**

Trouver le rapport du seuil de douleur ($1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) à $I_0$. En prenant le tympan comme $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$, calculer la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) reçue à chaque seuil ; commenter l’oreille comme détecteur.

**Solution de Exercice 21.14.**

$1/10^{-12} = 10^{12}$. Tympan $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$ : [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) reçue $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ au seuil, $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ à la douleur — l’oreille détecte des dizaines d’attowatts et fonctionne encore à un billion de fois plus : un détecteur à dynamique de douze décades.

**Exercice 21.15 ★★★.**

Chaque haut-parleur de festival, seul, donne $80\,\mathrm{dB}$ à la table de mixage. Quel niveau en donnent $2$ ? $10$ ? $100$ ? Que coûte chaque $10\,\mathrm{dB}$ supplémentaire — que dit cela des courses à l’[intensité sonore](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) ?

**Solution de Exercice 21.15.**

$2$ : $83\,\mathrm{dB}$ ; $10$ : $90\,\mathrm{dB}$ ; $100$ : $100\,\mathrm{dB}$. Chaque $10\,\mathrm{dB}$ supplémentaire coûte un facteur dix en haut-parleurs : les courses à l’[intensité sonore](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) sont exponentiellement chères (et dangereuses bien avant d’être gagnées).

## 21.7 Problème : L’atelier du luthier

**Problème 21.1.**

Problème du week-end — l’atelier du luthier : une corde de guitare disposée case par case, ses harmoniques accordées en un timbre, un récital tenu sous le seuil de danger, et une chasse aux ultrasons pour un défaut dans le bois

Un luthier termine une guitare. Sa corde de la a pour longueur vibrante $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ et doit sonner $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$. Prendre $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) dans l’air, et admettre $f_1 = v/(2L)$ ([Proposition 21.17](#prop-g12-sound-acoustics-string-modes)), $v$ étant la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sur la corde.

**Partie I — Disposer la touche.**

1. Calculer la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) $v$ de l’ [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sur la corde.
2. Calculer la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) du [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) *sur la corde* , puis la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) du [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) à $110\,\mathrm{Hz}$ *dans l’air* . Pourquoi diffèrent-elles à la même [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) ?
3. L’octave ( $220\,\mathrm{Hz}$ ) : quelle longueur vibrante la donne ? Où doit se placer la douzième case, en fraction de $L$ ?
4. La quinte ( $165\,\mathrm{Hz}$ ) : quelle longueur vibrante la donne ?
5. Chaque case élève la note d’un demi-ton, un facteur $2^{1/12}$ . Vérifier par logarithmes combien de demi-tons séparent $110\,\mathrm{Hz}$ de $220\,\mathrm{Hz}$ ; longueur à la première case ?

**Partie II — [Harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) et [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre).**

6. Lister les cinq premiers [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la corde de la à vide.
7. Le la d’un violoniste sonne $440\,\mathrm{Hz}$ . Quel [harmonique](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la corde de guitare est-ce, et quel intervalle musical le sépare du [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ? Et $330\,\mathrm{Hz}$ ?
8. Le luthier pince près du chevalet, puis au-dessus de la touche : même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) , couleur différente. Expliquer avec les [spectres](#def-g12-sound-acoustics-timbre) .
9. Un léger toucher au milieu, pendant que l’on pince, impose un [nœud](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) là. Quels [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) survivent, et quelle [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) entend-on ?
10. Combien d’ [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) de la corde à vide se trouvent, en principe, dans le domaine audible ?

**Partie III — Le récital.** Au premier concert de la guitare, chaque instrument rayonne une [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) acoustique $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ comme une petite source, également dans toutes les directions.

11. Calculer l’intensité en $r = 3.0\,\mathrm{m}$ d’un instrument.
12. En déduire le [niveau sonore](#def-g12-sound-acoustics-level) là.
13. Un quatuor joue : quel niveau quatre tels instruments donnent-ils au même endroit ? Pourquoi n’est-ce pas quatre fois le niveau ?
14. Douze instruments jouent : quel est le niveau à $3.0\,\mathrm{m}$ ?
15. À quelle distance un auditeur doit-il s’asseoir pour que l’ensemble tombe à $85\,\mathrm{dB}$ ?
16. Règle de sécurité : $85\,\mathrm{dB}$ est sûr pendant huit heures, et chaque $3\,\mathrm{dB}$ divise le temps sûr par deux. Combien de temps l’auditeur du premier rang de la question 14 peut-il rester sans danger ?

**Partie IV — Le défaut dans le bois.** Avant le vernissage, le luthier sonde une ébauche de manche d’épaisseur $45\,\mathrm{mm}$ avec un testeur à $2.0\,\mathrm{MHz}$ ; dans ce bois prendre $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

17. Calculer la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) des [ultrasons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) dans le bois. Pourquoi une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) chassant les défauts doit-elle être ultrasonore plutôt qu’audible ?
18. Calculer le [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay) de l’ [écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) depuis la face arrière de l’ébauche.
19. Un [écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) arrive après $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ : à quelle profondeur est le défaut ?
20. Rédiger la carte d’atelier : [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) de l’ [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sur la corde, longueurs aux douzième et première cases, distance d’écoute sûre, profondeur du défaut.

**Solution de Problème 21.1.**

**1.** $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** Sur la corde $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$ ; dans l’air $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$. Même $f$, mais $\lambda = v/f$ et les [célérités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) diffèrent.

**3.** $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$ : la douzième case se place au milieu, à $L/2$ du chevalet.

**4.** $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$.

**5.** $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ demi-tons — douze cases jusqu’à l’octave. Première case : $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059
\approx 61.4\,\mathrm{cm}$.

**6.** $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$.

**7.** $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$ : le quatrième [harmonique](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), deux octaves au-dessus. $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$ : le troisième [harmonique](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), une octave plus une quinte.

**8.** La position du pincement fixe le mélange des modes : près du chevalet les [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) aigus sont forts ([spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) brillant), au-dessus de la touche le [fondamental](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) domine (doux). Même $f_1$, donc même [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) — [spectre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) différent, [timbre](#def-g12-sound-acoustics-timbre) différent.

**9.** Seuls les [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) avec un [nœud](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) au milieu survivent : les pairs, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$, …La [hauteur](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) saute d’une octave, à $220\,\mathrm{Hz}$.

**10.** $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$ : $n \le 20000/110 = 181.8$, donc $181$ [harmoniques](#def-g12-sound-acoustics-harmonics).

**11.** $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0)
\approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$.

**12.** $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$.

**13.** $I \times 4$ : $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$. Les niveaux sont des logarithmes : les intensités s’additionnent, pas les niveaux.

**14.** $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to
88\,\mathrm{dB}$.

**15.** Cible $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx
3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ avec $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ : $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$.

**16.** $88\,\mathrm{dB}$ est $+3\,\mathrm{dB}$ au-dessus de la limite de huit heures : le temps sûr est divisé une fois — quatre heures. Le récital tient.

**17.** $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$. Une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) ne se réfléchit que sur des défauts d’au moins environ une [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) : le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) audible dans le bois a $\lambda$ de dizaines de centimètres et diffracterait autour de tout petit défaut.

**18.** $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**19.** $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$.

**20.** La carte : $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sur la corde ; cases à $32.5\,\mathrm{cm}$ (douzième) et $61.4\,\mathrm{cm}$ (première) ; ensemble sûr au-delà de $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ ; défaut à $18\,\mathrm{mm}$ de profondeur — quatre nombres, un chapitre.