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title: "L’effet Doppler"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 23
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/23-leffet-doppler
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# Chapitre 23 — L’effet Doppler

Une ambulance s’approche, sirène hurlante, et passe — et à cet instant la note glisse audiblement vers le bas, bien que le conducteur n’ait rien touché. La sirène est honnête ; l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) ne l’est pas : le mouvement la comprime devant et l’étire derrière. Ce chapitre mesure cette [compression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-sound-wave), puis porte la même idée des sirènes aux pistolets [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo), au sang dans une artère, et jusqu’à une planète trahie par un tremblement dans la lumière stellaire.

## 23.1 L’effet

**Définition 23.1 (Effet Doppler).**

L’*effet Doppler* est le changement de la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) reçue d’une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) lorsque source et récepteur se déplacent l’un par rapport à l’autre : la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) reçue $f'$ est plus élevée que la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) émise $f$ tant qu’ils se rapprochent, plus basse tant qu’ils s’éloignent, et égale à $f$ seulement tant que leur distance cesse momentanément de changer.

**Remarque 23.2 (Hauteur, non intensité sonore).**

Deux choses changent au passage de l’ambulance. L’*[intensité sonore](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)* enfle et s’estompe parce que l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) s’étale avec la distance ([Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#ch-g12-sound-acoustics)) ; la *hauteur* se décale à cause de la vitesse de rapprochement ou d’éloignement, et chute abruptement au passage. L’[intensité sonore](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) dit « à quelle distance » ; la hauteur dit « à quelle vitesse ».

## 23.2 Une source en mouvement : fronts d’onde resserrés

L’image clé : une fois qu’une crête quitte la source, le milieu la possède. Chaque crête s’élargit en un cercle à la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) $v$ de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#ch-g12-mechanical-waves)), centré sur le point où elle a été *émise* — le milieu ne sait ni ne se soucie que la source ait poursuivi son chemin.

**Proposition 23.3 (Source en mouvement).**

Une source émet des crêtes de [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) $T$ ([fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f = 1/T$) tout en se déplaçant en ligne droite à la vitesse $v_s < v$ dans un milieu où l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) voyage à la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) $v$. Un observateur au repos dans le milieu reçoit

$$
\lambda' = (v \mp v_s)\,T, \qquad f' = f\,\frac{v}{v \mp v_s},
$$

les signes supérieurs pour une source qui s’approche, les inférieurs pour une qui s’éloigne.

**Démonstration.** Entre deux crêtes, la première avance de $vT$ tandis que la source avance de $v_s T$. Devant, la seconde crête est donc émise $v_s T$ *plus près* de la première, $\lambda' = (v - v_s)T$ ; derrière, le même $v_s T$ s’ajoute. Les crêtes balayent ensuite un observateur au repos à la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) $v$ du milieu, une toutes les $\lambda'/v$ secondes, d’où $f' = v/\lambda' = f v/(v \mp v_s)$. ∎

![Fronts d’onde d’une source se déplaçant vers la droite : chaque cercle est centré sur le point d’émission (points gris), donc les crêtes se resserrent devant, ' = (v - v_s)T, et s’étirent derrière, ' = (v + v_s)T.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-doppler-effect/fig-04e53f55b8da.svg)

*[Fronts d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavefront) d’une source se déplaçant vers la droite : chaque cercle est centré sur le point d’émission (points gris), donc les crêtes se resserrent devant, $\lambda' = (v - v_s)T$, et s’étirent derrière, $\lambda' = (v + v_s)T$.*

**Exemple 23.4 (L’ambulance, en chiffres).**

Une sirène à $f = 700\,\mathrm{Hz}$ s’approche à $v_s = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; prendre $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans l’air ([Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#ch-g12-sound-acoustics)). En approche : $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$ ; en éloignement : $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$. Le passage abaisse la hauteur de $104\,\mathrm{Hz}$ — un rapport $\approx 1.16$, environ deux demi-tons et demi, indubitable pour toute oreille.

**Remarque 23.5 (Ce que le mouvement ne change pas).**

L’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) voyage toujours à $v$ : le milieu seul fixe la [célérité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed) ([Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#ch-g12-mechanical-waves)). Le mouvement de la source comprime les *[longueurs d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength)*, jamais les [célérités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-speed). Et la [compression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) a une limite : lorsque $v_s \to v$ les crêtes devant s’empilent les unes sur les autres et $f' \to \infty$ — l’embouteillage de [fronts d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavefront) qu’un appareil supersonique traîne comme un choc.

## 23.3 Un observateur en mouvement, et le raccourci des petits mouvements

**Proposition 23.6 (Observateur en mouvement).**

Un observateur se déplace à la vitesse $v_o$ en ligne droite vers (ou loin d’) une source au repos dans le milieu. La [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) reçue est

$$
f' = f\left(1 \pm \frac{v_o}{v}\right) \quad (+\ \text{approche},\ -\ \text{éloignement}).
$$

**Démonstration.** Le motif d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) lui-même est inchangé : des crêtes d’écartement $\lambda = vT$ voyagent à $v$. Un observateur qui court vers elles rencontre les crêtes à la vitesse relative $v + v_o$, une toutes les $\lambda/(v + v_o)$ secondes : $f' = (v + v_o)/\lambda = f(1 + v_o/v)$. En s’enfuyant, $v - v_o$. ∎

**Définition 23.7 (Vitesse radiale).**

La *vitesse radiale* $v_r$ d’une source par rapport à un observateur est la composante de leur vitesse relative le long de la droite qui les joint — le taux auquel la distance diminue ou croît. Seule cette composante décale la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) ; un mouvement *en travers* de la ligne de visée ne donne aucun décalage à cet ordre.

**Proposition 23.8 (Petits mouvements : une formule pour tous).**

Lorsque la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) est petite, $v_r \ll v$, peu importe qui bouge :

$$
\frac{\Delta f}{f} = \frac{f' - f}{f} \approx +\frac{v_r}{v} \ \text{(approche)},
\qquad
\frac{\Delta f}{f} \approx -\frac{v_r}{v} \ \text{(éloignement)}.
$$

**Démonstration.** Les formules d’observateur sont déjà exactement $1 \pm v_o/v$. Pour la source, écrire $x = v_s/v$ : l’identité $\frac{1}{1 - x} = 1 + x + \frac{x^2}{1 - x}$ montre que $f'/f$ diffère de $1 + x$ d’un terme d’ordre $x^2$ — pour $x = 0.1$, une correction de $1\%$ sur un décalage de $10\%$. Au premier ordre, les quatre formules se réduisent à $1 \pm v_r/v$. ∎

![Fréquence entendue lorsqu’une sirène à 440\, Hz passe à 15\, m/ s, 8\, m du micro : plateaux à fv/(v v_s), et le vrai f (pointillé) croisé essentiellement à l’approche la plus proche, où le mouvement est purement transversal.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-doppler-effect/fig-8b4612d7a37a.svg)

*[Fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) entendue lorsqu’une sirène à $440\,\mathrm{Hz}$ passe à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $8\,\mathrm{m}$ du micro : plateaux à $fv/(v \mp v_s)$, et le vrai $f$ (pointillé) croisé essentiellement à l’approche la plus proche, où le mouvement est purement transversal.*

**Méthode 23.9 (Lire un passage).**

L’enregistrement d’une source qui passe montre deux plateaux : $f_1$ (approche) et $f_2$ (éloignement). Alors

$$
f = \frac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}, \qquad
v_s = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}.
$$

En effet $f_1 + f_2 = \frac{2fv^2}{v^2 - v_s^2}$ et $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,v_s}{v^2 - v_s^2}$ : diviser pour $v_s$, et calculer $2f_1 f_2/(f_1 + f_2)$ pour $f$. Deux lectures de [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) donnent à la fois la vraie hauteur et la vitesse — sans chronomètre ni règle.

## 23.4 Des échos qui mesurent la vitesse

Renvoyez une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sur une cible mobile et l’[effet Doppler](#def-g12-doppler-effect-doppler) frappe deux fois.

**Proposition 23.10 (La réflexion double le décalage).**

Une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) de [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f$ est envoyée sur un réflecteur qui s’approche de face à la vitesse $u \ll v$. L’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) revient avec

$$
f' = f\,\frac{v + u}{v - u}, \qquad \text{d'où} \qquad \Delta f \approx \frac{2u}{v}\,f .
$$

**Démonstration.** Deux décalages en série. Comme *observateur* mobile le réflecteur reçoit $f(1 + u/v)$ ; réémettant ce qu’il reçoit, il est maintenant une *source* mobile, donc l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) arrive à $f' = f(1 + u/v)/(1 - u/v) \approx f(1 + 2u/v)$ pour $u \ll v$. ∎

**Exemple 23.11 (Le pistolet radar).**

Un [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo) de circulation émet des [micro-ondes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) à $f = 24.15\,\mathrm{GHz}$ ($v = c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) et superpose l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) à l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sortante ; le battement ([Chapitre 21](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#ch-g12-sound-acoustics)) sonne directement $\Delta f = 2uf/c \approx 161\,\mathrm{Hz}$ par $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de vitesse de voiture — une [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) audio trivialement mesurable taillée dans une porteuse à $24\,\mathrm{GHz}$. Le facteur $2$ n’est pas optionnel : l’oublier flatte chaque conducteur de moitié.

**Exemple 23.12 (Échographie Doppler).**

Une sonde médicale envoie des [ultrasons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) à $f = 5.0\,\mathrm{MHz}$ dans une artère ($v \approx 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus) ; les globules rouges les réfléchissent. Du sang à $u = 0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ renvoie $\Delta f = 2 \times 0.50 \times 5.0 \times 10^{6}/1540 \approx
3.2\,\mathrm{kHz}$ — un battement *audible* : le cardiologue entend littéralement le sang accélérer à chaque battement, puis mesure $u$ à partir de $\Delta f$.

## 23.5 Doppler dans la lumière stellaire

La lumière est une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) ([Chapitre 22](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/22-la-lumiere-comme-onde-diffraction-et-interferences#ch-g12-light-as-wave)), son [spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) rayé de raies nettes à des [longueurs d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) fixées par chaque élément chimique ([Chapitre 2](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/2-spectres-de-la-lumiere-et-le-message-de-la-lumiere#ch-g10-light-spectra)) — une règle calibrée en laboratoire imprimée sur chaque étoile.

**Définition 23.13 (Décalage vers le rouge et vers le bleu).**

Lorsque les [raies spectrales](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/2-spectres-de-la-lumiere-et-le-message-de-la-lumiere#def-g10-light-spectra-emission) d’une source apparaissent à des [longueurs d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) *plus grandes* qu’en laboratoire, le [spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) est *décalé vers le rouge* ; lorsqu’elles apparaissent *plus courtes*, il est *décalé vers le bleu* — déplacé vers l’extrémité rouge ou bleue du [spectre visible](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/2-spectres-de-la-lumiere-et-le-message-de-la-lumiere#def-g10-light-spectra-wavelength).

**Proposition 23.14 (Décalage Doppler de la lumière).**

Pour une source s’éloignant à la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) $v_r \ll c$, chaque [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) est observée étirée de

$$
\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = \frac{\lambda' - \lambda}{\lambda} \approx \frac{v_r}{c} \quad \text{(décalage vers le rouge)},
$$

et comprimée de la même quantité, $\Delta\lambda/\lambda \approx -v_r/c$, pour une source qui s’approche ([décalage vers le bleu](#def-g12-doppler-effect-redshift)).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 23.15 (Où vit la formule honnête).**

La lumière n’a pas besoin de milieu, donc la dérivation du [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) ne peut être copiée — il n’y a pas de « au repos dans le milieu ». La formule exacte vient de la relativité restreinte, plus tard cette année ([Chapitre 35](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/35-relativite-restreinte-dilatation-du-temps#ch-g12-special-relativity)) ; les corrections sont d’ordre $(v_r/c)^2$, négligeables pour les avions, les étoiles et les galaxies proches. Ci-dessous on utilise la formule des petits mouvements en toute conscience.

![La même raie d’hydrogène dans trois spectres : à 656.30\, nm en laboratoire, décalée vers le bleu pour une étoile qui s’approche, décalée vers le rouge pour une qui s’éloigne. Le décalage, lu contre la référence en tirets, donne la vitesse radiale.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-doppler-effect/fig-f313febe196e.svg)

*La même raie d’hydrogène dans trois [spectres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) : à $656.30\,\mathrm{nm}$ en laboratoire, décalée vers le bleu pour une étoile qui s’approche, décalée vers le rouge pour une qui s’éloigne. Le décalage, lu contre la référence en tirets, donne la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial).*

**Exemple 23.16 (Peser la fuite d’une étoile).**

Dans le [spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) de la brillante étoile Véga, la raie d’hydrogène de [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de laboratoire $656.30\,\mathrm{nm}$ est mesurée à $656.27\,\mathrm{nm}$ : $\Delta\lambda = -0.03\,\mathrm{nm}$, un [décalage vers le bleu](#def-g12-doppler-effect-redshift), donc Véga s’approche à $v_r = c\,|\Delta\lambda|/\lambda \approx 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — $14\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, lus sur un décalage d’une partie sur vingt mille.

**Exemple 23.17 (Étoiles qui vacillent : binaires et exoplanètes).**

Lorsque deux étoiles orbitent l’une autour de l’autre, leurs raies oscillent périodiquement du bleu au rouge — une *binaire spectroscopique*, des [orbites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) mesurées sans jamais résoudre la paire. Une planète fait de même à son étoile, faiblement : toutes deux tournent autour de leur [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-com) commun, si bien que la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) de l’étoile oscille de quelques dizaines de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — un décalage $\Delta\lambda/\lambda \sim 10^{-7}$. Le détecter est la façon dont la première planète autour d’une étoile de type solaire a été trouvée ; le problème du week-end rejoue cette découverte, chiffres compris.

**Remarque 23.18 (Décalages vers le rouge des galaxies).**

Les [spectres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) des galaxies lointaines sont tous *[décalés vers le rouge](#def-g12-doppler-effect-redshift)*, et plus la galaxie est lointaine, plus le décalage est fort : les distances de l’univers s’étirent. Pour les galaxies proches $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$ lit la vitesse d’éloignement ; pour les plus lointaines, les décalages dépassent ce que la formule des petits mouvements peut honnêtement traiter, et le compte est repris à partir du [Chapitre 35](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/35-relativite-restreinte-dilatation-du-temps#ch-g12-special-relativity), puis dans les volumes universitaires.

## 23.6 Exercices

**Exercice 23.1 ★.**

La sirène d’un camion de pompiers émet à $700\,\mathrm{Hz}$ et roule à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). Calculer la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) entendue par un piéton (a) devant lui ; (b) derrière lui. (c) Que entend le conducteur ?

**Solution de Exercice 23.1.**

(a) $f' = 700 \times 340/315 \approx 756\,\mathrm{Hz}$. (b) $f' = 700 \times 340/365 \approx 652\,\mathrm{Hz}$. (c) $700\,\mathrm{Hz}$ : conducteur et sirène avancent ensemble, leur distance ne change jamais.

**Exercice 23.2 ★.**

Un ami affirme : « la hauteur chute quand l’ambulance s’en va parce que le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) s’affaiblit avec la distance. » Démêler les deux effets confondus, et dire de quoi dépend chacun.

**Solution de Exercice 23.2.**

L’*[intensité sonore](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)* s’estompe parce que l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) s’étale — elle dépend de la distance. La *hauteur* chute de l’approche à l’éloignement — l’[effet Doppler](#def-g12-doppler-effect-doppler), qui dépend de la vitesse à laquelle la distance change. Deux effets indépendants.

**Exercice 23.3 ★.**

Un cycliste roule à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ droit vers une sirène stationnaire émettant à $700\,\mathrm{Hz}$. Quelle [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) entend-il ? Et en s’éloignant droit ? Quelle formule s’applique, et pourquoi pas celle de la source en mouvement ?

**Solution de Exercice 23.3.**

Observateur mobile : $f' = 700\,(1 + 6.0/340) \approx 712\,\mathrm{Hz}$ ; en s’éloignant, $700\,(1 - 6.0/340) \approx 688\,\mathrm{Hz}$. La sirène est au repos dans l’air, donc le motif d’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) est intact ; seul l’observateur le traverse.

**Exercice 23.4 ★.**

Le klaxon d’un train émet à $400\,\mathrm{Hz}$ tandis que le train roule à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calculer la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) devant le train, derrière lui, et au repos. Quel observateur reçoit laquelle ?

**Solution de Exercice 23.4.**

Devant : $\lambda' = 310/400 = 0.775\,\mathrm{m}$ ; derrière : $370/400 = 0.925\,\mathrm{m}$ ; au repos : $340/400 = 0.85\,\mathrm{m}$. La [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) courte atteint qui le train approche, la longue qui il quitte.

**Exercice 23.5 ★.**

Un téléphone jouant un ton à $440\,\mathrm{Hz}$ est porté par un coureur à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Utiliser la formule des petits mouvements pour estimer le décalage entendu par quelqu’un que le coureur approche. Comparer à un demi-ton (environ $6\%$ en [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency)) : un musicien le remarquerait-il ?

**Solution de Exercice 23.5.**

$\Delta f/f \approx 5.0/340 \approx 1.5\%$ : $\Delta f \approx 6.5\,\mathrm{Hz}$, donc environ $446\,\mathrm{Hz}$ — un quart de demi-ton. Un musicien le remarquerait tout juste.

**Exercice 23.6 ★★.**

Une chauve-souris vole à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ droit vers un mur, émettant à $50.0\,\mathrm{kHz}$. Montrer que l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) qu’elle entend revient à $f' = f(v + v_b)/(v - v_b)$, puis calculer $f'$ et le décalage. Pourquoi est-ce la formule du pistolet [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo) déguisée ?

**Solution de Exercice 23.6.**

Le mur reçoit $f\,v/(v - v_b)$ (source mobile) ; la chauve-souris, observateur mobile se rapprochant de l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest), entend $(1 + v_b/v)$ fois cela : $f' = f(v + v_b)/(v - v_b) = 50.0 \times
346/334 \approx 51.8\,\mathrm{kHz}$, un décalage de $+1.8\,\mathrm{kHz}$. C’est le double décalage du pistolet [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo) avec les rôles émetteur et réflecteur échangés : seule la vitesse de rapprochement compte.

**Exercice 23.7 ★★.**

Un pistolet [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo) à $24.15\,\mathrm{GHz}$ mesure un battement de $4.0\,\mathrm{kHz}$ d’une voiture qui s’approche. Trouver la vitesse de la voiture en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Quel battement donnerait une voiture à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?

**Solution de Exercice 23.7.**

$u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 4000/(2 \times 24.15 \times 10^{9}) \approx
24.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. À $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) : $\Delta f = 2 \times 13.9 \times 24.15 \times 10^{9}/3.00 \times 10^{8} \approx 2.2\,\mathrm{kHz}$.

**Exercice 23.8 ★★.**

Une sonde Doppler à $5.0\,\mathrm{MHz}$ d’[ultrasons](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) dirigée le long d’une artère ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans les tissus) entend un battement de $2.6\,\mathrm{kHz}$. Trouver la vitesse du sang. Pourquoi la sonde doit-elle être orientée *le long* de l’écoulement plutôt que perpendiculairement ?

**Solution de Exercice 23.8.**

$u = v\,\Delta f/(2f) = 1540 \times 2600/1.0 \times 10^{7} \approx 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Un écoulement perpendiculaire a une [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) nulle, donc aucun décalage.

**Exercice 23.9 ★★.**

Prendre $f = 1000\,\mathrm{Hz}$, $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et une vitesse de rapprochement de $34\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calculer $f'$ exactement lorsque (a) la source bouge, (b) l’observateur bouge. Comparer les deux à la prédiction des petits mouvements $f(1 + v_r/v)$ et expliquer la taille du désaccord.

**Solution de Exercice 23.9.**

(a) Source : $f' = 1000 \times 340/306 \approx 1111\,\mathrm{Hz}$. (b) Observateur : $f' = 1000 \times 1.1 = 1100\,\mathrm{Hz}$. Les petits mouvements prédisent $1100\,\mathrm{Hz}$ : exact pour l’observateur, $11\,\mathrm{Hz}$ en dessous pour la source — la correction d’ordre $x^2$, $1\%$ de $f$ pour $x = 0.1$.

**Exercice 23.10 ★★.**

L’enregistrement d’un scooter passant un micro montre des plateaux à $465\,\mathrm{Hz}$ et $415\,\mathrm{Hz}$. En utilisant la [Méthode 23.9](#met-g12-doppler-effect-pass), trouver la vraie [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) du klaxon et la vitesse du scooter en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Pourquoi la vraie [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) n’est-elle *pas* leur moyenne ?

**Solution de Exercice 23.10.**

$f = 2 \times 465 \times 415/880 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ ; $v_s = 340 \times 50/880 \approx 19.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 70\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Le vrai $f$ est la moyenne [harmonique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-harmonics) : l’approche élève la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) plus que l’éloignement ne l’abaisse, donc $f$ se place sous la moyenne arithmétique ($440\,\mathrm{Hz}$).

**Exercice 23.11 ★★.**

Dans le [spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) d’une étoile, la raie d’hydrogène de [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de laboratoire $656.3\,\mathrm{nm}$ est observée à $656.5\,\mathrm{nm}$. [Décalage vers le rouge](#def-g12-doppler-effect-redshift) ou vers le bleu ? Calculer la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) de l’étoile et sa direction.

**Solution de Exercice 23.11.**

[Longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) plus grande : [décalage vers le rouge](#def-g12-doppler-effect-redshift), l’étoile s’éloigne. $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda =
3.00 \times 10^{8} \times 0.2/656.3 \approx 9.1 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 91\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Exercice 23.12 ★★★.**

Une étoile vacille à $55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à cause d’une planète invisible. Calculer l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) de l’oscillation en [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) d’une raie à $500\,\mathrm{nm}$, comme longueur et comme fraction de $\lambda$. [Ordre de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom) : pourquoi la chasse aux planètes a-t-elle dû attendre des spectrographes stables à une partie pour $10^{7}$ ?

**Solution de Exercice 23.12.**

$\Delta\lambda = \lambda K/c = 500 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 9.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{nm}$ ; $\Delta\lambda/\lambda = 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.8 \times 10^{-7}$. Tout le [signal](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-signal) est deux parties sur dix millions : un spectrographe dérivant de plus de $10^{-7}$ l’enfouit.

**Exercice 23.13 ★★★.**

Chaque raie du [spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre) d’une galaxie est trouvée étirée de $2.4\%$. Calculer sa vitesse d’éloignement. Les astronomes trouvent que de telles vitesses croissent proportionnellement à la distance, dans toutes les directions du ciel : quelle image cela suggère-t-il ? La formule des petits mouvements est-elle encore fiable ici ?

**Solution de Exercice 23.13.**

$v_r = 0.024\,c \approx 7.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Vitesses proportionnelles à la distance, les mêmes dans toutes les directions : toutes les distances s’étirent uniformément — un univers en expansion sans centre privilégié. À $2.4\%$ les corrections sont d’ordre $(v_r/c)^2 \approx 6 \times 10^{-4}$ : encore fiables.

**Exercice 23.14 ★★★.**

Le Soleil tourne : un bord de son disque s’approche de nous à environ $2.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tandis que l’autre s’éloigne aussi vite. Que fait cela à la raie à $656.3\,\mathrm{nm}$ dans la lumière du disque entier — la décale ou l’élargit ? Calculer l’effet en $\mathrm{nm}$.

**Solution de Exercice 23.14.**

Les deux bords se décalent en sens opposés, donc la raie moyennée sur le disque est *élargie*, non décalée : largeur totale $2\lambda v/c = 2 \times 656.3 \times
2.0 \times 10^{3}/3.00 \times 10^{8} \approx 8.8 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$ (environ $\pm4.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{nm}$).

**Exercice 23.15 ★★★.**

Une voiture de police à $40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, sirène à $700\,\mathrm{Hz}$, poursuit un camion roulant à $30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans la même direction. (a) Justifier $f' = f(v - v_o)/(v - v_s)$ pour le conducteur du camion. (b) Calculer $f'$. (c) Montrer que si le camion égalait la vitesse de la voiture le décalage s’annulerait, et dire pourquoi c’est comme il se doit.

**Solution de Exercice 23.15.**

(a) Devant la voiture les crêtes sont espacées de $(v - v_s)T$ ; le camion fuit à $v_o$ et les rencontre à la vitesse relative $v - v_o$ : $f' = (v - v_o)/\bigl((v - v_s)T\bigr) =
f(v - v_o)/(v - v_s)$. (b) $f' = 700 \times 310/300 \approx 723\,\mathrm{Hz}$. (c) $v_o = v_s$ donne $f' = f$ : la séparation est constante, et aucun changement de distance signifie aucun décalage Doppler, par définition.

## 23.7 Problème : La chasse à une exoplanète

**Problème 23.1.**

Problème du week-end — la chasse à une exoplanète : un klaxon de train calibre l’oreille, un pistolet radar répète le double décalage, et dimanche soir le spectre d’une étoile, vacillant d’une partie sur cinq millions, a pesé une planète que personne n’a jamais vue

Un club d’astronomie passe un week-end sur une seule idée — le décalage Doppler — répétée sur Terre, puis pointée vers une étoile de type solaire. Données : $v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pour le [son](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-sound) dans l’air, $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ ; l’étoile a pour masse $M = 2.0 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$. Admis, de la mécanique des [orbites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) circulaires ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler)) : une planète de masse $m$ sur une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) circulaire de rayon $r$ a pour [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) et vitesse $r^3 = \frac{G M P^2}{4\pi^2}$ et $V = \frac{2\pi r}{P}$, et l’étoile, tournant autour du [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-com) commun, vacille à la vitesse $K = \frac{m}{M}\,V$.

**Partie I — Vendredi : le passage à niveau.** Un train passe à vitesse constante, klaxon allumé ; un téléphone enregistre $f_1 = 471\,\mathrm{Hz}$ pendant l’approche, $f_2 = 411\,\mathrm{Hz}$ après le passage.

1. Expliquer, avec l’image des [fronts d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavefront) resserrés, pourquoi $f_1 > f_2$ bien que le klaxon ne change jamais.
2. Écrire les deux équations liant $f_1$ , $f_2$ à la vraie [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f$ et à la vitesse $u$ du train.
3. Montrer que $u = v\,\dfrac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2}$ et la calculer en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
4. Montrer que $f = \dfrac{2 f_1 f_2}{f_1 + f_2}$ et la calculer. Pourquoi $f$ est-elle légèrement *sous* la moyenne de $f_1$ et $f_2$ ?
5. Calculer les [longueurs d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) devant et derrière le train, et la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) au repos.

**Partie II — Samedi : le pistolet [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo).** Une patrouille de circulation démontre son [radar](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#met-g10-signals-and-waves-echo) : $f = 24.125\,\mathrm{GHz}$, et le pistolet lit le battement entre l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) sortante et l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest).

6. Expliquer pourquoi l’ [écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) d’une voiture en mouvement est décalé *deux fois* — nommer le rôle que joue la voiture dans chaque décalage.
7. Montrer que pour une voiture à la vitesse $u \ll c$ le battement est $\Delta f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$ .
8. Une voiture renvoie $\Delta f = 3.55\,\mathrm{kHz}$ : calculer $u$ .
9. Convertir en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et comparer à la limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ affichée là.
10. Combien d’ [hertz](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) de battement correspondent à $1\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ? Commenter : qu’est-ce qui rend un tel décalage relatif minuscule d’une [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) à $24\,\mathrm{GHz}$ facile à mesurer ?

**Partie III — Dimanche : l’étoile qui vacille.** Le club télécharge la [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) mesurée d’une étoile de type solaire, nuit après nuit, tracée ci-dessous.

![La vitesse radiale de l’étoile sur douze nuits : une sinusoïde propre — la signature d’un corps sur une orbite circulaire, vue de profil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-doppler-effect/fig-5ca9b1df268b.svg)

*La [vitesse radiale](#def-g12-doppler-effect-radial) de l’étoile sur douze nuits : une sinusoïde propre — la signature d’un corps sur une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) circulaire, vue de profil.*

11. Que mesure-t-on réellement, nuit après nuit, dans le *[spectre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-timbre)* de l’étoile ? Énoncer la relation utilisée pour en faire $v_r$ .
12. Lire l’ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $K$ et la [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) $P$ du vacillement sur la courbe.
13. Calculer l’oscillation correspondante $\Delta\lambda$ d’une raie à $550\,\mathrm{nm}$ , et $\Delta\lambda/\lambda$ . Comparer avec la partie I : de combien cette mesure est-elle plus difficile que celle du train ?
14. Pourquoi une planète invisible fait-elle vaciller l’étoile ? Que indique la forme sinusoïdale sur l’ [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) ?
15. Pourquoi cette méthode ne mesure-t-elle que la partie *radiale* du mouvement de l’étoile, et que verrait-on si l’ [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) était face à nous ?

**Partie IV — Dimanche soir : peser l’invisible.** Prendre l’[orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) circulaire et de profil, de sorte que $K$ est la pleine vitesse orbitale de l’étoile.

16. À partir de $P$ et de la relation admise $r^3 = G M P^2/(4\pi^2)$ , calculer le rayon orbital $r$ de la planète. Le comparer à la distance Terre–Soleil, $1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ .
17. Calculer la vitesse orbitale $V = 2\pi r/P$ de la planète.
18. À partir de $K = (m/M)\,V$ , calculer la masse $m$ de la planète.
19. Comparer $m$ à Jupiter ( $1.9 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ ) et à la Terre ( $6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ ), et $r$ à la distance Soleil–Mercure ( $5.8 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ ). Quel genre de monde est-ce ?
20. Si l’ [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) était inclinée plutôt que de profil, la vraie masse serait-elle plus grande ou plus petite que votre valeur ? Conclure en une phrase : qu’a livré un décalage [périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) d’une partie sur cinq millions ?

**Solution de Problème 23.1.**

**1.** Chaque crête s’élargit depuis le point où elle a été émise : les crêtes se resserrent devant le klaxon mobile et s’étirent derrière, donc le téléphone qui s’approche les rencontre plus vite ($f_1$) que celui qui s’éloigne ($f_2$).

**2.** $f_1 = f\,\dfrac{v}{v - u}$, $f_2 = f\,\dfrac{v}{v + u}$.

**3.** $f_1 - f_2 = \frac{2fv\,u}{v^2 - u^2}$ et $f_1 + f_2 =
\frac{2fv^2}{v^2 - u^2}$ ; en divisant, $u = v\,\frac{f_1 - f_2}{f_1 + f_2} =
340 \times 60/882 \approx 23\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**4.** $\dfrac{2f_1 f_2}{f_1 + f_2} = f$ (le facteur commun s’annule) : $f = 2 \times 471 \times 411/882 \approx 439\,\mathrm{Hz}$ — la moyenne [harmonique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/21-son-et-acoustique#def-g12-sound-acoustics-harmonics), sous la moyenne $441\,\mathrm{Hz}$ parce que l’approche élève $f$ plus que l’éloignement ne le coupe.

**5.** Devant : $(v - u)/f = 316.9/439 \approx 0.72\,\mathrm{m}$ ; derrière : $363.1/439 \approx 0.83\,\mathrm{m}$ ; au repos : $340/439 \approx 0.77\,\mathrm{m}$.

**6.** Une fois comme *observateur* mobile recevant l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave), une fois comme *source* mobile réémettant ce qu’elle a reçu.

**7.** $f' = f\,(1 + u/c)/(1 - u/c) \approx f(1 + 2u/c)$, donc $\Delta f = f' - f \approx \dfrac{2u}{c}\,f$.

**8.** $u = c\,\Delta f/(2f) = 3.00 \times 10^{8} \times 3550/(2 \times 24.125 \times 10^{9})
\approx 22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $22.1 \times 3.6 \approx 79\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : juste sous la limite de $80\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**10.** $\Delta f = 2f/(3.6\,c) \approx 45\,\mathrm{Hz}$ par $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Battre l’[écho](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#rem-g10-signals-and-waves-honest) contre l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) émise ne laisse que la *différence* : une [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-frequency) audio, trivialement comptée, bien qu’elle soit une fraction de $10^{-7}$ de la porteuse.

**11.** Les [longueurs d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de [raies spectrales](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/2-spectres-de-la-lumiere-et-le-message-de-la-lumiere#def-g10-light-spectra-emission) connues, nuit après nuit ; puis $v_r = c\,\Delta\lambda/\lambda$.

**12.** $K = 55\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $P = 4.2\,\mathrm{jours}$.

**13.** $\Delta\lambda = 550 \times 55/3.00 \times 10^{8} \approx 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{nm}$, $\Delta\lambda/\lambda \approx 1.8 \times 10^{-7}$ — une partie sur cinq millions, environ $4 \times 10^{5}$ fois plus petit que le décalage de $7\%$ du train.

**14.** Étoile et planète s’attirent mutuellement de façon égale, donc toutes deux orbitent autour de leur [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-com) commun : l’étoile ne peut rester immobile. Une $v_r$ sinusoïdale est un [mouvement circulaire uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-ucm) vu de profil — une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) circulaire.

**15.** Seule la composante le long de la ligne de visée change la distance étoile–Terre, donc la [longueur d’onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-wavelength). Face à nous, $v_r = 0$ à tout instant : aucun [signal](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-signal) du tout.

**16.** $P = 3.63 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ : $r^3 = 6.67 \times 10^{-11} \times 2.0 \times 10^{30} \times
(3.63 \times 10^{5})^2/(4\pi^2) \approx 4.4 \times 10^{29}$, donc $r \approx 7.6 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ — environ $1/20$ de la distance Terre–Soleil.

**17.** $V = 2\pi r/P = 2\pi \times 7.6 \times 10^{9}/3.63 \times 10^{5} \approx
1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**18.** $m = M K/V = 2.0 \times 10^{30} \times 55/1.3 \times 10^{5} \approx 8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$.

**19.** Environ $0.4$ masse de Jupiter ($\approx 140$ Terres), orbitant $8$ fois plus près que Mercure : une géante gazeuse qui grille contre son étoile — un « Jupiter chaud ».

**20.** Une inclinaison cache une partie du mouvement : le $K$ mesuré n’est que la part radiale, donc la vraie masse est *plus grande* — $8.3 \times 10^{26}\,\mathrm{kg}$ est un minimum. Un décalage [périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) d’une partie sur cinq millions vient de livrer l’[orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite), la vitesse et la masse minimale d’une planète que personne n’a jamais vue.