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title: "Cinématique à deux dimensions"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 24
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions
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# Chapitre 24 — Cinématique à deux dimensions

Regardez une voiture prendre un rond-point à un $30\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ constant : l’aiguille ne bouge pas, pourtant chaque passager se sent tiré de côté — le mouvement change, et ce n’est pas la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity). Un nombre par instant ne suffit plus : le mouvement dans le plan a besoin de flèches. Ce chapitre équipe un point mobile de trois — position, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity), accélération — enchaînées par la dérivée, et lit des familles entières de mouvements sur leur géométrie.

## 24.1 Le vecteur position

Le mouvement n’existe que par rapport à un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) déclaré — un corps rigide plus une horloge ([Chapitre 5](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#ch-g10-relative-motion)). Nouveau cette année : la précision. Attacher au [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) une origine $O$ et deux axes gradués perpendiculaires $Ox$, $Oy$, et enregistrer où se trouve le point à chaque instant, comme une paire de fonctions.

**Définition 24.1 (Vecteur position).**

Dans un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) muni d’une origine $O$ et d’axes $Ox$, $Oy$, le *vecteur position* d’un point mobile $M$ à l’instant $t$ est $\vect{OM}(t)$, de coordonnées $\bigl(x(t),\, y(t)\bigr)$ : deux fonctions du temps, une par axe. La courbe tracée par $M$ lorsque $t$ varie est sa [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory).

## 24.2 Le vecteur vitesse

**Définition 24.2 (Vecteur vitesse).**

Sur un court intervalle le point se déplace de $\vect{OM}(t+\Delta t) - \vect{OM}(t)$ ; diviser par $\Delta t$ et laisser l’intervalle se rétrécir : c’est la dérivée de votre cours de mathématiques, appliquée à chaque coordonnée. Le *vecteur vitesse* de $M$ est la dérivée de son [vecteur position](#def-g12-kinematics-2d-position), $\vect v(t) = \bigl(x'(t),\, y'(t)\bigr)$, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sa norme $v = \sqrt{x'^2 + y'^2}$ est la *vitesse* — le seul nombre que montre le compteur.

**Exemple 24.3 (Un drone en vol horizontal).**

Un drone vole avec $x(t) = 4.0\,t$ et $y(t) = 3.0\,t$ ([mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), secondes) : [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) la droite $y = \tfrac34 x$, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\vect v = (4.0, 3.0)$ à tout instant, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{4.0^2 + 3.0^2} = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, constante.

**Proposition 24.4 (Tangente à la trajectoire).**

À chaque instant, $\vect v(t)$ est tangent à la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) à la position actuelle de $M$, et pointe dans le sens du parcours.

**Démonstration.** Le déplacement est une corde de la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) ; lorsque $\Delta t$ se rétrécit, la direction de la corde devient celle de la tangente. ∎

## 24.3 Le vecteur accélération

**Définition 24.5 (Vecteur accélération).**

Le *vecteur accélération* de $M$ est la dérivée de son [vecteur vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity), $\vect a(t) = \bigl(v_x'(t),\, v_y'(t)\bigr) =
\bigl(x''(t),\, y''(t)\bigr)$, en $\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : à quelle [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity), et dans quelle direction, le [vecteur vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) change actuellement.

**Remarque 24.6 (Accélérer sans accélérer).**

$\vect a \neq \vect 0$ dès que le [vecteur vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) change — en longueur *ou en direction* : une voiture qui freine accélère (vers l’arrière) ; une voiture qui tourne à [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante accélère (latéralement). C’est la grandeur que contrôlent les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) (Chapitres [16](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#ch-g11-forces-and-motion) et [25](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

**Méthode 24.7 (Lire une chronophotographie).**

Une *chronophotographie* enregistre les positions $M_0, M_1, M_2, \dots$ d’un point mobile à intervalles de temps égaux $\Delta t$.

1. L’espacement des points lit la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) : espacements égaux, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante ; qui s’ouvrent, accélération ; qui se resserrent, ralentissement.
2. La [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) en $M_i$ est la corde symétrique, $\vect v_i \approx \vect{M_{i-1}M_{i+1}}/(2\,\Delta t)$ , tracée en $M_i$ , tangente au chemin pointillé.
3. Pour l’accélération en $M_i$ : reporter $\vect v_{i-1}$ et $\vect v_{i+1}$ en $M_i$ , tracer $\Delta\vect v = \vect v_{i+1} - \vect v_{i-1}$ bout à bout ; alors $\vect a_i \approx \Delta\vect v/(2\,\Delta t)$ .

![Chronophotographie d’une balle lancée : v_2 et v_4, construites à partir des cordes, sont reportées en M_3 ; leur différence v livre a — verticale, vers le bas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-294866202bd1.svg)

*[Chronophotographie](#met-g12-kinematics-2d-chrono) d’une balle lancée : $\vect v_2$ et $\vect v_4$, construites à partir des cordes, sont reportées en $M_3$ ; leur différence $\Delta\vect v$ livre $\vect a$ — verticale, vers le bas.*

## 24.4 Mouvements rectilignes

Le long d’une droite un seul axe suffit : $x(t)$, $v(t) = x'(t)$, $a(t) = v'(t)$, tous nombres signés.

**Définition 24.8 (Mouvement rectiligne uniforme).**

Un mouvement est *rectiligne uniforme* lorsque $\vect v$ est un vecteur constant : [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) droite, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante, $\vect a = \vect 0$. Alors $x(t) = v\,t + x_0$.

**Proposition 24.9 (Mouvement rectiligne uniformément accéléré).**

Si un point se déplace le long de $Ox$ avec une accélération $a$ *constante*, partant en $t = 0$ de la position $x_0$ avec la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$, alors

$$
v(t) = a\,t + v_0,
\qquad
x(t) = \tfrac12\,a\,t^2 + v_0\,t + x_0 .
$$

**Démonstration.** $v$ est une primitive de la constante $a$ : $v(t) = a t + C$, et $t = 0$ [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $C = v_0$. À son tour $x$ est une primitive de $a t + v_0$ : $x(t) = \tfrac12 a t^2 + v_0 t + C'$, avec $C' = x_0$. ∎

![Mouvement uniformément accéléré (a = 2.0\, m/ s2, v_0 = 1.0\, m/ s, x_0 = 0) : chaque graphique est la dérivée de celui du dessus — une parabole, sa pente, la pente de la pente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-ad4c6ed03948.svg)

*[Mouvement uniformément accéléré](#prop-g12-kinematics-2d-uarm) ($a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $v_0 = 1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $x_0 = 0$) : chaque graphique est la dérivée de celui du dessus — une parabole, sa pente, la pente de la pente.*

**Exemple 24.10 (Distance de freinage).**

Une voiture à la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ freine avec une décélération constante $a$ (accélération $-a$). Elle s’arrête lorsque $v(t) = -a t + v_0 = 0$, en $t_s = v_0/a$, ayant parcouru $d = -\tfrac12 a t_s^2 + v_0 t_s = v_0^2/(2a)$. Le carré est le titre de la sécurité routière : doubler la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) *quadruplé* la distance de freinage — avec $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $16\,\mathrm{m}$ depuis $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, $64\,\mathrm{m}$ depuis $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

## 24.5 Mouvement circulaire uniforme et repère de Frenet

**Définition 24.11 (Mouvement circulaire uniforme).**

Un mouvement est *circulaire uniforme* lorsque la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) est un cercle de rayon $R$ et la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$ est constante. La *période* $T$ est la durée d’un tour, et la *fréquence* $f = 1/T$ (en $\mathrm{Hz}$) le nombre de tours par seconde : $v = 2\pi R/T = 2\pi R f$.

[Vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante — pourtant la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) tourne : il *y a* une accélération. Dans quelle direction, et de quelle taille ?

**Théorème 24.12 (Accélération centripète).**

En [mouvement circulaire uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de rayon $R$ et de [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v$, l’accélération — dite *centripète* — pointe du point mobile vers le centre du cercle, de norme constante

$$
a = \frac{v^2}{R}.
$$

**Démonstration.** Centrer les axes au centre du cercle et poser $\omega = v/R$, de sorte que l’arc $v t$ sous-tend l’angle $\omega t$ : la position est $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$. En dérivant, $\vect v = (-R\omega\sin(\omega t),\, R\omega\cos(\omega t))$, de norme constante $R\omega = v$ ; en dérivant encore, $\vect a = -\omega^2\,\vect{OM}$ : opposé au [vecteur position](#def-g12-kinematics-2d-position) — vers le centre — de norme $\omega^2 R = v^2/R$. ∎

![Mouvement circulaire uniforme : v tangent, de longueur fixe ; a dirigé vers le centre, de longueur fixe v2/R — tournant pour toujours la vitesse sans jamais l’étirer.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-kinematics-2d/fig-213e819fb580.svg)

*[Mouvement circulaire uniforme](#def-g12-kinematics-2d-ucm) : $\vect v$ tangent, de longueur fixe ; $\vect a$ dirigé vers le centre, de longueur fixe $v^2/R$ — tournant pour toujours la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) sans jamais l’étirer.*

**Définition 24.13 (Repère de Frenet).**

Le *repère de Frenet* à la position actuelle d’un point sur un chemin courbe est le couple de vecteurs unitaires perpendiculaires $(\vect{u_t}, \vect{u_n})$ : $\vect{u_t}$ tangent, le long du mouvement ; $\vect{u_n}$ normal, vers le centre du cercle de rayon $R$ qui épouse le mieux la courbe là.

**Proposition 24.14 (Accélération dans le repère de Frenet).**

Le long de tout chemin plan de rayon local $R$, parcouru à la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v(t)$,

$$
\vect a = a_t\,\vect{u_t} + a_n\,\vect{u_n},
\qquad a_t = \frac{\dd v}{\dd t},
\qquad a_n = \frac{v^2}{R}:
$$

l’*accélération tangentielle* $a_t$ change la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) ; l’*accélération normale* $a_n$ tourne la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity).

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 24.15 (Où vit la preuve).**

Nous avons prouvé les extrêmes : $a_t$ pure sur une droite ([Proposition 24.9](#prop-g12-kinematics-2d-uarm)), $a_n$ pure sur un cercle ([Théorème 24.12](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)) ; la décomposition générale est établie dans le volume de Licence 1.

**Exemple 24.16 (Freiner dans un virage).**

Une voiture entre dans un virage de rayon $R = 50\,\mathrm{m}$ à $v = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en freinant à $\dd v/\dd t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $a_t = -3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $a_n = 15^2/50 = 4.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, donc $a = \sqrt{3.0^2 + 4.5^2} \approx 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, pointant vers l’arrière *et* vers l’intérieur du virage. Les pneus doivent fournir les deux à la fois — pourquoi les pilotes freinent *avant* le virage.

## 24.6 Exercices

**Exercice 24.1 ★.**

Pour $x(t) = 3.0\,t$, $y(t) = 4.0\,t$ ([mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), secondes), donner $\vect v$, la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity), la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) et la classe de mouvement.

**Solution de Exercice 24.1.**

$\vect v = (3.0, 4.0)$, constant ; [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $\sqrt{3.0^2 + 4.0^2} =
5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) : la droite $y = \tfrac43 x$. [Vecteur vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constant : [mouvement rectiligne uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**Exercice 24.2 ★.**

Sur une [chronophotographie](#met-g12-kinematics-2d-chrono) prise toutes les $0.10\,\mathrm{s}$, les points sont alignés, espacés régulièrement de $0.35\,\mathrm{m}$. Identifier le mouvement et calculer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity). Que indiqueraient des espacements qui s’ouvrent ?

**Solution de Exercice 24.2.**

Droite, espacements égaux : [rectiligne uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform) ; $v = 0.35/0.10 = 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Des espacements qui s’ouvrent signifieraient que la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) augmente.

**Exercice 24.3 ★.**

Pour $x(t) = 2.0\,t^2$ le long de $Ox$ ([mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), secondes), dériver $v(t)$ et $a(t)$, nommer la classe de mouvement, et calculer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) en $t = 3.0\,\mathrm{s}$.

**Solution de Exercice 24.3.**

$v(t) = 4.0\,t$, $a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : accélération constante, rectiligne uniformément accéléré. $v(3.0) = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 24.4 ★.**

Un cheval de manège parcourt un cercle de rayon $4.5\,\mathrm{m}$, un tour toutes les $8.0\,\mathrm{s}$ : calculer la [fréquence](#def-g12-kinematics-2d-ucm), la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) et l’accélération (norme et direction).

**Solution de Exercice 24.4.**

$f = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{Hz}$ ; $v = 2\pi \times 4.5/8.0 \approx 3.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a = v^2/R = 3.53^2/4.5 \approx 2.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, pointant vers l’axe du manège.

**Exercice 24.5 ★.**

Un graphique $v(t)$ grimpe en droite de $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 0$ à $10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $t = 4.0\,\mathrm{s}$. Lire l’accélération, puis la distance parcourue (aire sous le graphique).

**Solution de Exercice 24.5.**

Pente : $a = (10.0 - 2.0)/4.0 = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Aire (trapèze) : $d = \tfrac12 (2.0 + 10.0) \times 4.0 = 24\,\mathrm{m}$.

**Exercice 24.6 ★★.**

Un train à grande [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) prend une courbe de rayon $6.0\,\mathrm{km}$ à $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calculer $a_n$ et la comparer à $g$ ; pourquoi les lignes à grande [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) doivent-elles éviter les courbes serrées, même parfaitement déversées ?

**Solution de Exercice 24.6.**

$v = 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $a_n = 88.9^2/6000 \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}
\approx 0.13\,g$. Comme $a_n = v^2/R$, une $v$ élevée exige un $R$ énorme pour garder l’accélération latérale (et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la voie et les passagers) acceptable — le dévers change qui la fournit, non sa taille.

**Exercice 24.7 ★★.**

Un chariot sur un rail droit a $x(t) = -1.2\,t^2 + 8.0\,t + 3.0$ ([mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), secondes). Trouver $v(t)$ et $a$, l’instant et la position du retournement, et décrire le mouvement avant et après.

**Solution de Exercice 24.7.**

$v(t) = -2.4\,t + 8.0$ ; $a = -2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante. Retournement à $v = 0$ : $t = 8.0/2.4 \approx 3.3\,\mathrm{s}$, en $x \approx 16.3\,\mathrm{m}$. Avant : en avant, freinant ; après : en arrière, accélérant — uniformément accéléré tout du long.

**Exercice 24.8 ★★.**

Une [chronophotographie](#met-g12-kinematics-2d-chrono) le long d’une droite, toutes les $\Delta t = 0.20\,\mathrm{s}$, donne $x = 0$, $0.10$, $0.28$, $0.54$, $0.88\,\mathrm{m}$. Estimer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) aux trois points intérieurs ([Méthode 24.7](#met-g12-kinematics-2d-chrono)), puis l’accélération ; conclure.

**Solution de Exercice 24.8.**

$v_1 = 0.28/0.40 = 0.70\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_2 = (0.54 - 0.10)/0.40 = 1.10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $v_3 = (0.88 - 0.28)/0.40 = 1.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) gagne $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ toutes les $0.20\,\mathrm{s}$ : $a = 2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, constante — rectiligne uniformément accéléré.

**Exercice 24.9 ★★.**

La Lune [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) la Terre sur un quasi-cercle de rayon $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $27.3\,\mathrm{d}$. Calculer sa [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) et son [accélération centripète](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) ; comparer cette dernière à $g$, sachant que la Lune est à environ $60$ rayons terrestres ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#ch-g10-universal-gravitation)).

**Solution de Exercice 24.9.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$ : $v = 2\pi \times 3.84 \times 10^{8}/2.36 \times 10^{6}
\approx 1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Rapport : $g/a_n \approx 3600 = 60^2$ — la gravité, diluée comme l’inverse du carré de la distance ([Chapitre 4](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#ch-g10-universal-gravitation)), rend exactement compte du virage de la Lune.

**Exercice 24.10 ★★.**

Le tambour d’une machine à laver de rayon $25\,\mathrm{cm}$ tourne à $1200$ tours par minute. Calculer $f$, $T$, la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) au bord et l’accélération au bord en multiples de $g$. Pourquoi le linge reste-t-il plaqué tandis que l’eau part ?

**Solution de Exercice 24.10.**

$f = 1200/60 = 20\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.050\,\mathrm{s}$ ; $v = 2\pi R f = 2\pi \times 0.25 \times 20 \approx 31\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 400\,g$. La paroi du tambour fournit l’$a_n$ du linge ; à travers les trous rien ne pousse l’eau vers l’intérieur, donc elle s’envole le long de la tangente.

**Exercice 24.11 ★★.**

Une voiture à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ freine avec $a = 7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ constante : calculer le temps d’arrêt et la distance de freinage, et esquisser $v(t)$.

**Solution de Exercice 24.11.**

$v_0 = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t_s = 25/7.5 \approx 3.3\,\mathrm{s}$ ; $d = v_0^2/(2a) = 625/15 \approx 42\,\mathrm{m}$. Graphique : un segment droit de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ jusqu’à $0$ en $t_s$.

**Exercice 24.12 ★★★.**

Pour $x(t) = R\cos(\omega t)$, $y(t) = R\sin(\omega t)$ : calculer $\vect v$ ; vérifier que la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) est la constante $R\omega$ et $\vect v \perp \vect{OM}$ ; calculer $\vect a$, montrer qu’elle vaut $-\omega^2\,\vect{OM}$, et retrouver $a = v^2/R$.

**Solution de Exercice 24.12.**

$\vect v = (-R\omega\sin\omega t,\, R\omega\cos\omega t)$, de norme constante $R\omega$ ; son produit scalaire avec $\vect{OM}$ s’annule, donc il est perpendiculaire au rayon, d’où tangent. En dérivant encore, $\vect a = -\omega^2\vect{OM}$ : vers $O$, de norme $\omega^2 R = (v/R)^2 R = v^2/R$.

**Exercice 24.13 ★★★.**

Une moto entre dans un virage de rayon $80\,\mathrm{m}$ à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, en freinant à $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Calculer $a_t$, $a_n$, la norme de $\vect a$ et son angle avec la direction du mouvement. Les pneus tiennent jusqu’à $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en tout : le pilote est-il dans la limite ?

**Solution de Exercice 24.13.**

$a_t = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ (vers l’arrière), $a_n = 20^2/80 =
5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $a = \sqrt{2.5^2 + 5.0^2} \approx 5.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; angle avec la direction du mouvement : $\theta = 180^\circ - \arctan(5.0/2.5) \approx 117^\circ$ (c.-à-d. $63^\circ$ depuis l’arrière droit). $5.6 < 7.0$ : dans l’adhérence, avec peu de marge.

**Exercice 24.14 ★★★.**

Un métro accélère du repos à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ jusqu’à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, croisière pendant $40\,\mathrm{s}$, puis freine à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ jusqu’à l’arrêt. Calculer la durée et la longueur de chaque phase, la distance totale et la [vitesse moyenne](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-speed). Esquisser $v(t)$ et vérifier la distance comme une aire.

**Solution de Exercice 24.14.**

Lancement : $t_1 = 20/1.2 \approx 17\,\mathrm{s}$, $d_1 = 20^2/(2 \times 1.2) \approx 167\,\mathrm{m}$. Croisière : $40\,\mathrm{s}$, $800\,\mathrm{m}$. Freinage : $t_3 = 20/1.5 \approx
13\,\mathrm{s}$, $d_3 = 400/3.0 \approx 133\,\mathrm{m}$. Total : $1.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en $70\,\mathrm{s}$ ; moyenne $1100/70 \approx
16\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($57\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). $v(t)$ est un trapèze dont l’aire, $\tfrac12(70 + 40) \times 20 = 1100\,\mathrm{m}$, vérifie le total.

**Exercice 24.15 ★★★.**

Un [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) géostationnaire tourne à un rayon $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ du centre de la Terre avec une [période](#def-g12-kinematics-2d-ucm) $86\,164\,\mathrm{s}$. Calculer sa [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) et son [accélération centripète](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal). Qui la fournit, et pourquoi le [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) reste-t-il au-dessus d’un point équatorial fixe ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler)) ?

**Solution de Exercice 24.15.**

$v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx 3.1 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_n = v^2/R \approx 0.22\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. La gravité terrestre à cette distance la fournit ; la [période](#def-g12-kinematics-2d-ucm) égale la [période](#def-g12-kinematics-2d-ucm) de rotation de la Terre, donc [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) et sol tournent ensemble et il reste au-dessus d’un point équatorial ([Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler)).

## 24.7 Problème : Le rapport d’accident

**Problème 24.1.**

Problème du week-end — le rapport d’accident : un film de dashcam lu image par image, une loi de freinage reconstruite à partir des traces de freinage, un rond-point qui témoigne de l’adhérence, et un verdict en kilomètres par heure

Une voiture heurte une fourgonnette sortie d’une rue latérale ; personne n’est blessé, mais les assureurs ne sont pas d’accord. L’enquêteur dispose d’images de caméra aérienne (une image toutes les $0.50\,\mathrm{s}$), de traces de freinage mesurées, et de la dashcam de la voiture. La limite de [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) est $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Partie I — Lire le film.** Les images avant toute réaction donnent, le long de la route droite :

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.00 | 0.50 | 1.00 | 1.50 | 2.00 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $x$ ($\mathrm{m}$) | 0.0 | 9.0 | 18.0 | 27.0 | 36.0 |

1. Pourquoi le rapport doit-il d’abord nommer un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) et des axes ? Lesquels sont utilisés ici ?
2. Calculer la [vitesse moyenne](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-speed) sur chacun des quatre intervalles.
3. Quelle classe de mouvement est-ce ? Justifier à partir du tableau.
4. Donner la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) $v_0$ de la voiture en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
5. Quelle est l’accélération pendant ces deux secondes ?

**Partie II — Les traces de freinage.** Des tests de pneus sur cet asphalte sec donnent une décélération de freinage constante $a = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; les traces mesurent $d_b = 27\,\mathrm{m}$. Prendre $t = 0$, $x = 0$ au début du freinage, [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) inconnue $v_B$.

6. Par primitives, écrire $v(t)$ et $x(t)$ pendant le freinage.
7. Exprimer le temps d’arrêt $t_s$ ; montrer $d_b = v_B^2/(2a)$ .
8. En déduire $v_B$ à partir des traces. Cohérent avec la partie I ?
9. Le temps de réaction est $1.0\,\mathrm{s}$ : calculer la distance de réaction et la distance d’arrêt totale.
10. Expliquer, à partir de la question 7, pourquoi doubler la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) multiplie par quatre la distance de freinage ; calculer $d_b$ à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .

**Partie III — Le rond-point témoigne.** Plus tôt, la dashcam montre la voiture tournant dans une voie de rond-point de rayon $R = 12.5\,\mathrm{m}$ à [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) constante, un quart de tour en $2.5\,\mathrm{s}$. La route peut fournir au plus $a_n = \mu g$, avec $\mu = 0.70$.

11. La [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) est constante là — la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) vectorielle l’est-elle ? La voiture accélère-t-elle ? Expliquer.
12. Calculer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) de la voiture sur le rond-point.
13. Calculer son [accélération centripète](#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) (norme et direction).
14. Calculer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) maximale sans dérapage. La voiture y était-elle ?
15. Donner la [période](#def-g12-kinematics-2d-ucm) et la [fréquence](#def-g12-kinematics-2d-ucm) d’un tour complet à cette [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) .

**Partie IV — Le verdict.** La fourgonnette est apparue $D = 41\,\mathrm{m}$ devant la voiture à l’instant où le conducteur a commencé à réagir.

16. De combien, en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et en pour cent, la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) avant freinage dépassait-elle la limite ?
17. Calculer la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) de la voiture à l’impact.
18. Refaire le calcul d’arrêt à exactement $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ (même réaction, même freinage) : la voiture s’arrête-t-elle, avec quelle marge ?
19. Donner la formule générale de distance d’arrêt $d(v)$ ; pourquoi la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) entre-t-elle deux fois — une fois linéairement, une fois au carré ?
20. Le verdict, une phrase avec ses nombres : à quelle [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) roulait le conducteur, et l’accident se serait-il produit à la limite ?

**Solution de Problème 24.1.**

**1.** Le mouvement est relatif ([Chapitre 5](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#ch-g10-relative-motion)) : chaque position et [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) doit nommer son [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame). Ici : le [référentiel du sol](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frames) (route), $x$ le long de la route depuis la position de la première image.

**2.** Chaque intervalle : $9.0/0.50 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — quatre valeurs égales.

**3.** Route droite, déplacements égaux en temps égaux : [mouvement rectiligne uniforme](#def-g12-kinematics-2d-uniform).

**4.** $v_0 = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 64.8\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**5.** $\vect a = \vect 0$.

**6.** $v(t) = -a\,t + v_B$ ; $x(t) = -\tfrac12 a t^2 + v_B\,t$.

**7.** $v(t_s) = 0$ donne $t_s = v_B/a$ ; alors $d_b = -\tfrac12 a (v_B/a)^2 + v_B^2/a = v_B^2/(2a)$.

**8.** $v_B = \sqrt{2 a d_b} = \sqrt{2 \times 6.0 \times 27} =
\sqrt{324} = 18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — exactement la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) filmée : le conducteur n’a jamais ralenti avant de freiner.

**9.** Réaction : $18.0 \times 1.0 = 18\,\mathrm{m}$ ; total $18 + 27 = 45\,\mathrm{m}$.

**10.** $d_b = v_B^2/(2a) \propto v_B^2$ : doubler $v_B$ multiplie $d_b$ par $4$. À $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) : $d_b = 13.9^2/12.0 \approx 16\,\mathrm{m}$.

**11.** La [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) est constante mais la direction de la [vitesse](#def-g12-kinematics-2d-velocity) tourne : $\vect v$ n’est pas constant, donc la voiture accélère.

**12.** Quart de tour : $2\pi R/4 = 19.6\,\mathrm{m}$ ; $v = 19.6/2.5 \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($28\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**13.** $a_n = 7.85^2/12.5 \approx 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, vers le centre du rond-point.

**14.** $a_{\max} = \mu g = 0.70 \times 9.81 \approx
6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v_{\max} = \sqrt{\mu g R} =
\sqrt{6.87 \times 12.5} \approx 9.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($33\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). $7.9 < 9.3$ : dans l’adhérence — cohérent avec la voie propre, sans dérapage.

**15.** $T = 2\pi R/v = 78.5/7.85 \approx 10.0\,\mathrm{s}$ ; $f = 0.10\,\mathrm{Hz}$.

**16.** $64.8 - 50 \approx 15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de trop — environ $30\%$ au-dessus de la limite.

**17.** Le freinage agit sur $41 - 18 = 23\,\mathrm{m}$ : $v^2 = v_B^2 - 2ad = 324 - 2 \times 6.0 \times 23 = 48$, donc $v \approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à l’impact.

**18.** À $13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $13.9 \times 1.0 + 13.9^2/12.0 =
13.9 + 16.1 = 30.0\,\mathrm{m} < 41\,\mathrm{m}$ — la voiture s’arrête $11\,\mathrm{m}$ avant la fourgonnette.

**19.** $d(v) = v\,t_r + v^2/(2a)$ : une fois linéairement (la réaction couvre $v t_r$ avant que les freins n’agissent), une fois au carré (la partie cinétique $v^2/(2a)$) — d’où le coût disproportionné des excès modérés.

**20.** La dashcam et les traces s’accordent : $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dans une zone à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; à la limite légale la voiture se serait arrêtée $11\,\mathrm{m}$ avant la fourgonnette — l’accident, c’est les $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ de trop.