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title: "Les lois de Newton"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 25
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton
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# Chapitre 25 — Les lois de Newton

Faites passer une balance de salle de bain dans un ascenseur. Quand la cabine s’élance vers le haut, l’aiguille lit trois [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de trop ; près du sommet, elle en lit trop peu. Entre les deux, une vérité toute simple : rien à bord n’a changé, sinon le mouvement. Ce chapitre énonce les trois lois derrière cette aiguille et en tire la méthode qui mène toute la mécanique : choisir un système, dessiner ses [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force), projeter $\sum \vect F = m\vect a$.

## 25.1 Quantité de mouvement, et la première loi rendue exacte

**Définition 25.1 (Quantité de mouvement).**

La *quantité de mouvement* d’un corps de masse $m$ ($\mathrm{kg}$) se déplaçant à la vitesse $\vect v$ est le vecteur

$$
\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):
$$

la vitesse, pondérée par la masse ; pour un système, la somme vectorielle sur ses parties.

**Définition 25.2 (Référentiel galiléen).**

Un *référentiel galiléen* est un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) dans lequel tout corps isolé — sans [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force), ou des [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) qui se [compensent](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-compensate) — se déplace en ligne droite à vitesse constante ([Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#ch-g10-inertia)). Le sol en est un à excellente précision, et toute cabine en [mouvement rectiligne uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#def-g12-kinematics-2d-uniform) dessus ; un train qui freine ou un manège qui tourne ne l’est pas : là, des bagages lâches accélèrent sans être poussés.

**Théorème 25.3 (Première loi de Newton).**

Dans un [référentiel galiléen](#def-g12-newtons-laws-inertial), la [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) d’un système isolé ne change pas : $\vect p$ est constante, c.-à-d. $d\vect p/dt = \vect 0$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 25.4 (Inertie, affûtée deux fois).**

Le principe d’inertie du [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#ch-g10-inertia), mis à jour deux fois : il dit *où* il vaut — il définit les [référentiels galiléens](#def-g12-newtons-laws-inertial) comme ceux où il vaut — et il protège un vecteur, $m\vect v$, dont la comptabilité paie à la fin du chapitre.

## 25.2 Deuxième loi de Newton

**Théorème 25.5 (Deuxième loi de Newton).**

Dans un [référentiel galiléen](#def-g12-newtons-laws-inertial), la [force résultante](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-netforce) sur un corps égale le taux de variation de sa [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) ; pour une masse constante, comme $\vect p = m\vect v$,

$$
\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .
$$

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 25.6 (Une loi de la nature, et son unité).**

Il n’y a pas de preuve : c’est une loi de la nature, pesée contre l’expérience depuis trois siècles. L’année dernière ([Chapitre 16](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#ch-g11-forces-and-motion)) en a donné l’ombre, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$ ; la dérivée ([Chapitre 24](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#ch-g12-kinematics-2d)) la rend exacte à chaque instant — ses petits caractères attendent dans le volume de Licence 1. La [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) reçoit une [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; et un corps sous son seul [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) obéit à $m\vect a = m\vect g$ : toute masse tombe avec $\vect a = \vect g$, et $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — les deux lectures n’en font qu’une.

**Exemple 25.7 (Force moyenne, sans le détail).**

Une voiture de $1300\,\mathrm{kg}$ passe du repos à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) en $8.0\,\mathrm{s}$ : quelle que soit l’histoire instant par instant, la [force résultante](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-netforce) moyenne est $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — la [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) transforme une question de [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) en une comptabilité avant-après.

## 25.3 Troisième loi de Newton

**Théorème 25.8 (Troisième loi de Newton).**

Si un corps $A$ exerce une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $\vect F_{A \to B}$ sur un corps $B$, alors $B$ exerce sur $A$ la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ : même droite d’action, même norme, directions opposées — à chaque instant, quel que soit le mouvement, contact ou action à distance.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Exemple 25.9 (Le livre, la table et la Terre).**

Un livre repose sur une table : deux interactions, deux paires. Gravitationnelle : la Terre tire le livre vers le bas ($\vect P$), le livre tire la Terre vers le haut. Contact : la table pousse le livre vers le haut ($\vect N$), le livre appuie la table vers le bas. Marcher est le même marché : poussez le sol vers l’arrière ; sa réaction est la seule [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) qui vous entraîne vers l’avant.

![Un livre, deux interactions, quatre flèches : la paire gravitationnelle (la Terre tire le livre, le livre tire la Terre) et la paire de contact (la table pousse le livre, le livre appuie la table). P et N ne sont pas partenaires : elles agissent sur le même livre — et ne s’annulent que parce que son accélération est nulle.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-3337532896d1.svg)

*Un livre, deux interactions, quatre flèches : la paire gravitationnelle (la Terre tire le livre, le livre tire la Terre) et la paire de contact (la table pousse le livre, le livre appuie la table). $\vect P$ et $\vect N$ ne sont *pas* partenaires : elles agissent sur le même livre — et ne s’annulent que parce que son accélération est nulle.*

## 25.4 La méthode : choisir, dessiner, projeter

**Méthode 25.10 (Résoudre un problème de dynamique).**

1. *Système* : nommer le corps (ou l’ensemble de corps) étudié.
2. *[Référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame)* : choisir un [référentiel galiléen](#def-g12-newtons-laws-inertial) et des axes adaptés au mouvement — axes de pente, ou le [repère de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) pour une courbe ( [Chapitre 24](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#ch-g12-kinematics-2d) ).
3. *Inventaire* : lister chaque [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) — le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) , puis une [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) par contact, rien d’autre — et dessiner le [diagramme des forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-diagram) : un point, une flèche par [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) .
4. *Projeter* : écrire $\sum \vect F = m\vect a$ , projeter sur chaque axe.
5. *Résoudre et vérifier* : [unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , signes, cas limites ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

**Définition 25.11 (Force normale et frottement).**

Une surface agit sur un corps par deux composantes : la *force normale* $\vect N$, perpendiculaire à la surface, et le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$, tangentiel. L’expérience donne les lois de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : tant que le corps ne glisse pas, le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) s’ajuste jusqu’à un plafond, $f_s \leq \mu_s N$ ; une fois qu’il glisse, le [frottement cinétique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) est $f_k = \mu_k N$, contre le glissement. Les *coefficients de [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory)* $\mu_s$ et $\mu_k$ ($\mu_k \leq \mu_s$) ne dépendent que des deux matériaux.

**Exemple 25.12 (Le plan incliné, deux fois).**

Un bloc glisse le long d’une pente d’angle $\alpha$ ; axes : $x$ vers le bas de la pente, $y$ perpendiculaire. Sur $y$ : $N = mg\cos\alpha$. Sur $x$, sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : $ma = mg\sin\alpha$, donc $a = g\sin\alpha$ — pas de masse ; à $\alpha = 30^\circ$, $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Avec [frottement cinétique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) : $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$ ; pour $\mu_k = 0.20$, $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Et il restait d’abord immobile tant que le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) nécessaire tenait sous son plafond : $\tan\alpha \leq \mu_s$.

![Diagramme des forces sur le plan incliné : poids P, force normale N, frottement f vers le haut de la pente pour un bloc qui glisse vers le bas. Les axes le long et perpendiculairement à la pente découpent P en mg et mg (tirets).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-0b658db3e7ea.svg)

*[Diagramme des forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-diagram) sur le plan incliné : [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$, [force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$, [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ vers le haut de la pente pour un bloc qui glisse vers le bas. Les axes le long et perpendiculairement à la pente découpent $\vect P$ en $mg\sin\alpha$ et $mg\cos\alpha$ (tirets).*

**Définition 25.13 (Poids apparent).**

Le *poids apparent* d’un corps est la [force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) entre lui et son support — ce qu’une balance sous lui lit.

**Exemple 25.14 (L’ascenseur).**

Un passager de $70\,\mathrm{kg}$ se tient sur une balance dans un ascenseur d’accélération verticale $a_z$ (haut positif) : $N - mg = ma_z$, donc $N = m(g + a_z)$. En s’élançant vers le haut à $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : $792\,\mathrm{N}$, lourd ; freinage près du sommet : $582\,\mathrm{N}$, léger ; croisière régulière : $mg = 687\,\mathrm{N}$ — la première loi ; chute libre, $a_z = -g$ : $N = 0$, apesanteur sur une balance.

**Exemple 25.15 (Deux blocs et une poulie).**

Un bloc $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ sur une table sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est relié par une corde légère, sur une poulie idéale, à un bloc suspendu $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. La corde transmet la même tension $T$ aux deux bouts ; les blocs partagent une même norme d’accélération $a$. Une deuxième loi chacun, le long de chaque mouvement : $m_1 a = T$ et $m_2 a = m_2 g - T$, donc $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ et $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — plus petit que $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$, comme il se doit pour que $m_2$ accélère vers le bas.

![Deux blocs, une corde légère, une poulie idéale : la même tension T tire les deux bouts, les blocs partagent une même norme d’accélération — une deuxième loi chacun, deux équations, deux inconnues.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-2e421ec922ba.svg)

*Deux blocs, une corde légère, une poulie idéale : la même tension $T$ tire les deux bouts, les blocs partagent une même norme d’accélération — une deuxième loi chacun, deux équations, deux inconnues.*

**Exemple 25.16 (Le virage plat).**

Une voiture de masse $m$ prend un virage plat de rayon $R$ à vitesse constante $v$. Dans le [repère de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Chapitre 24](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#ch-g12-kinematics-2d)) l’accélération est purement normale, $a_N = v^2/R$, dirigée vers le centre. Verticalement, $N = mg$ ; horizontalement, la seule [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) centripète disponible est le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) de la route sur les pneus : $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$, donc $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$, quelle que soit la masse. Pour $R = 90\,\mathrm{m}$, route sèche ($\mu_s = 0.70$) : $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) ; sur glace le plafond s’effondre — l’[Exercice 25.13](#exo-g12-newtons-laws-13) déverse la route ; l’[Exercice 25.10](#exo-g12-newtons-laws-10) balance la même projection sur un fil.

![Une voiture dans un virage plat à vitesse constante : vue de dessus (gauche) la vitesse est tangente et la force résultante vise le centre ; de derrière (droite) N équilibre P, et le frottement statique latéral de la route est toute la force centripète.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-b4820a1e93a2.svg)

![Une voiture dans un virage plat à vitesse constante : vue de dessus (gauche) la vitesse est tangente et la force résultante vise le centre ; de derrière (droite) N équilibre P, et le frottement statique latéral de la route est toute la force centripète.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-87f7e9dcea4b.svg)

*Une voiture dans un virage plat à vitesse constante : vue de dessus (gauche) la vitesse est tangente et la [force résultante](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-netforce) vise le centre ; de derrière (droite) $\vect N$ équilibre $\vect P$, et le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) latéral de la route est toute la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) centripète.*

## 25.5 Systèmes isolés : la quantité de mouvement se conserve

**Proposition 25.17 (Conservation de la quantité de mouvement).**

Pour deux corps dont les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) extérieures s’annulent ou se [compensent](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-compensate), la [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) totale $\vect p_1 + \vect p_2$ est constante, quelles que soient les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) qu’ils exercent l’un sur l’autre.

**Démonstration.** Additionner les deux deuxièmes lois : $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} +
\vect F_{1 \to 2} + \vect F_{\text{ext}}$ : la paire interne s’annule par la troisième loi, et $\vect F_{\text{ext}} = \vect 0$ par hypothèse. ∎

**Exemple 25.18 (Recul).**

Une patineuse de $60\,\mathrm{kg}$ au repos sur de la glace lisse lance une balle médicinale de $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontalement à $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Avant : $\vect p = \vect 0$ ; après : $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$, donc $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — elle dérive vers l’arrière. Rien d’extérieur ne l’a poussée : la balle l’a fait (troisième loi), et les comptes restent à zéro.

**Remarque 25.19 (Comment une fusée pousse sur rien).**

Une fusée est une machine à jeter de la masse. Chaque seconde ses moteurs projettent un lot de gaz vers l’arrière ; les gaz emportent de la [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) vers l’arrière, donc la fusée gagne la même quantité vers l’avant — une [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) régulière, à peu près la masse éjectée par seconde fois la vitesse d’éjection. La fusée pousse sur ses propres gaz d’échappement, non sur l’air : elle fonctionne le mieux dans le vide.

## 25.6 Exercices

**Exercice 25.1 ★.**

Calculer la [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) de (a) un sprinteur de $70\,\mathrm{kg}$ à $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; (b) une voiture de $1300\,\mathrm{kg}$ à $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; (c) une balle de $8.0\,\mathrm{g}$ à $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Les classer. Pourquoi le plus rapide arrive-t-il en dernier ?

**Solution de Exercice 25.1.**

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Voiture $>$ sprinteur $>$ balle : cinq [ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom) de masse valent plus que la vitesse.

**Exercice 25.2 ★.**

Un passager de $70\,\mathrm{kg}$ se tient sur une balance dans un ascenseur. Que lit-elle lorsque la cabine (a) accélère vers le haut à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; (b) monte à une $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constante ; (c) accélère vers le bas à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ? Quelle loi tranche (b) ?

**Solution de Exercice 25.2.**

$N = m(g + a_z)$ : (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$ ; (b) $a_z = 0$, donc $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — la première loi : vitesse constante, les [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) se [compensent](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-compensate) ; (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$.

**Exercice 25.3 ★.**

Un bloc est lâché sur une pente sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) d’angle $30^\circ$. Calculer son accélération, puis sa vitesse après avoir glissé $3.0\,\mathrm{m}$. Où est passée la masse ?

**Solution de Exercice 25.3.**

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. La masse s’annule entre $ma$ et $mg\sin\alpha$.

**Exercice 25.4 ★.**

Une balle de tennis de $58\,\mathrm{g}$ arrive à $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et est renvoyée le long de la même ligne à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le contact dure $5.0\,\mathrm{ms}$. Calculer le changement de [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) et la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) moyenne des cordages ; comparer cette [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) au [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) de la balle.

**Solution de Exercice 25.4.**

Inversion : $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — environ $800$ fois le $0.57\,\mathrm{N}$ de [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight), d’où l’ignorance de la gravité pendant le contact.

**Exercice 25.5 ★.**

Un livre repose sur une table. Nommer les deux [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) agissant sur le livre et, pour chacune, son partenaire action–réaction (quel corps ? quelle direction ?). Pourquoi le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) du livre et la [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de la table ne sont-ils pas partenaires l’un de l’autre ?

**Solution de Exercice 25.5.**

[Poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) (Terre sur le livre, vers le bas) : partenaire = le livre attire la Terre, vers le haut. [Force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) (table sur le livre, vers le haut) : partenaire = le livre appuie sur la table, vers le bas. [Poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) et normale agissent sur le *même* corps et appartiennent à deux interactions différentes — égaux ici seulement parce que $\vect a = \vect 0$.

**Exercice 25.6 ★★.**

Une caisse de $50\,\mathrm{kg}$ repose sur un sol horizontal, $\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$. (a) Quelle [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) horizontale la met tout juste en marche ? (b) Si cette [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est maintenue, quelle est son accélération ? (c) Quelle [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) la maintient en mouvement à vitesse constante ?

**Solution de Exercice 25.6.**

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$. (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$. (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$.

**Exercice 25.7 ★★.**

La même caisse est placée sur une rampe réglable ($\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$). (a) À quel angle commence-t-elle à glisser ? (b) À $30^\circ$, calculer son accélération. (c) Une fois partie à l’angle de (a), continue-t-elle d’accélérer ? Pourquoi ?

**Solution de Exercice 25.7.**

(a) Glisse quand $\tan\alpha > \mu_s$ : $\alpha = \arctan 0.45 \approx
24^\circ$. (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) =
9.81 \times 0.197 = 1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Oui : une fois en glissement, le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) tombe à $\mu_k < \mu_s$, donc $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$.

**Exercice 25.8 ★★.**

Un bloc de $3.0\,\mathrm{kg}$ sur une table sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est relié par une poulie idéale à un bloc suspendu de $2.0\,\mathrm{kg}$. Calculer l’accélération et la tension. Pourquoi la tension a-t-elle dû sortir plus petite que le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) suspendu ?

**Solution de Exercice 25.8.**

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$. Le bloc suspendu accélère vers le bas, donc la [force résultante](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-netforce) sur lui pointe vers le bas : $T$ doit sous-coter $m_2 g$.

**Exercice 25.9 ★★.**

Un virage de rayon $50\,\mathrm{m}$ est plat. Calculer la vitesse maximale d’une voiture pour $\mu_s = 0.70$ (sec) et $0.40$ (humide), en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Pourquoi la réponse vaut-elle pour un scooter et un camion ?

**Solution de Exercice 25.9.**

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$ : sec $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; humide $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. $mv^2/R$ et $\mu_s mg$ portent tous deux $m$ : il s’annule.

**Exercice 25.10 ★★.**

Un pendule de $0.30\,\mathrm{kg}$ au bout d’un fil de $1.2\,\mathrm{m}$ trace un cercle horizontal, le fil maintenant un angle constant de $25^\circ$ avec la verticale (pendule conique). Projeter la deuxième loi verticalement, puis le long du rayon : calculer la tension et la vitesse.

**Solution de Exercice 25.10.**

Vertical : $T\cos\theta = mg$, donc $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$. Rayon $R = L\sin\theta =
0.507\,\mathrm{m}$ ; radial : $T\sin\theta = mv^2/R$, donc $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466}
= 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Exercice 25.11 ★★.**

Un colis de $5.0\,\mathrm{kg}$ voyage sur une balance dans un ascenseur de fret ; les lectures :

| phase | $0\text{ to }2\,\mathrm{s}$ | $2\text{ to }8\,\mathrm{s}$ | $8\text{ to }10\,\mathrm{s}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| balance ($\mathrm{N}$) | 54.0 | 49.0 | 44.1 |

Calculer l’accélération de chaque phase et décrire un trajet possible. L’ascenseur a-t-il pu se déplacer *vers le bas* tout le temps ?

**Solution de Exercice 25.11.**

$a_z = (N - mg)/m$ avec $mg = 49.05\,\mathrm{N}$ : $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0$, $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Ex. : un trajet vers le haut : accélérer, croisière, freiner. Oui : en entrant déjà en descente, les mêmes lectures signifient freiner, croisière, réaccélérer vers le bas — la balance lit l’accélération, non la vitesse.

**Exercice 25.12 ★★★.**

Une patineuse de $60\,\mathrm{kg}$ au repos sur de la glace lisse lance une balle de $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontalement. (a) La balle part à $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *par rapport au sol* : sa vitesse de recul ? (b) Les $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sont maintenant mesurés *par rapport à elle* : recalculer les deux vitesses. (c) Quelle [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) l’a poussée vers l’arrière ?

**Solution de Exercice 25.12.**

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$ : $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Balle à $8.0 + V$ par rapport au sol : $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$, donc $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et la balle vole à $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) La [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de la balle sur ses mains — le partenaire de la troisième loi de son lancer.

**Exercice 25.13 ★★★.**

Un virage d’autoroute de rayon $80\,\mathrm{m}$ est conçu pour $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sans aide du [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory). Montrer que la chaussée doit être déversée de l’angle $\theta$ donné par $\tan\theta = v^2/(gR)$ et le calculer. Que doit faire le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) pour une voiture prenant le virage plus lentement — ou plus vite ?

**Solution de Exercice 25.13.**

Sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) : $N\cos\theta = mg$ (vertical) et $N\sin\theta =
mv^2/R$ (radial) ; en divisant, $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$ : $\theta \approx 27^\circ$. Plus lent : la voiture tend à glisser vers le bas du dévers, le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) doit pointer vers le haut ; plus rapide : l’inverse.

**Exercice 25.14 ★★★.**

Les moteurs d’une fusée éjectent $250\,\mathrm{kg}$ de gaz par seconde à $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Quelle [quantité de mouvement](#def-g12-newtons-laws-momentum) part par seconde — quelle [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) les gaz renvoient-ils ? (b) La fusée pèse $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ à l’allumage : son [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) ? son accélération au décollage ? (c) Pourquoi le moteur fonctionne-t-il aussi bien dans le vide ?

**Solution de Exercice 25.14.**

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ chaque seconde : [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$. (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$ ; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Elle pousse sur ses propres gaz d’échappement (troisième loi), non sur l’air.

**Exercice 25.15 ★★★.**

Un bloc de $4.0\,\mathrm{kg}$ sur une table ($\mu_s = 0.35$, $\mu_k = 0.25$) est relié par une poulie idéale à une masse suspendue $m_2$. (a) Quel $m_2$ minimal démarre le mouvement ? (b) Pour $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$, calculer accélération et tension. (c) Vérifier que $\mu_k = 0$ retrouve la formule sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de l’[Exercice 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

**Solution de Exercice 25.15.**

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$ : $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$. (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 =
1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$. (c) $\mu_k = 0$ donne $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$ : la formule de l’[Exercice 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

## 25.7 Problème : Le téléphérique

**Problème 25.1.**

Problème du week-end — certifier le téléphérique : la tension que la pente exige au repos, la surtaxe du démarrage, le soulagement au-dessus de la tour, le prix d’un arrêt d’urgence — et le seul nombre que la plaque de la cabine peut promettre

Un téléphérique de montagne — cabine plus chariot, masse à vide $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — roule sur un câble porteur incliné à $\alpha = 30^\circ$, tiré par un câble tracteur parallèle à la pente avec la tension $\vect T$. Le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de roulement est négligeable ; le plancher de la cabine reste horizontal tout du long. La cabine accueille $25$ passagers de masse moyenne $80\,\mathrm{kg}$ ; vous êtes l’ingénieur certificateur. Sauf mention contraire, la cabine est pleine : $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$.

**Partie I — Au repos sur la pente.**

1. Choisir le système ; dire pourquoi le [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) de la montagne fera office de [référentiel galiléen](#def-g12-newtons-laws-inertial) ; inventaire des trois [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) , avec directions.
2. Quelle loi gouverne l’attente ? La projeter le long et perpendiculairement à la pente pour exprimer $T$ et la [force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) $N$ du câble porteur.
3. Calculer $T$ et $N$ .
4. Recalculer $T$ pour la cabine vide. Pourquoi $T$ est-elle proportionnelle à la masse totale ?
5. Le câble tracteur casse, freins ouverts : montrer que l’accélération de l’emballement est $g \sin\alpha$ , chargée ou vide, et la calculer.

**Partie II — Démarrage.** Le treuil accélère la cabine pleine à $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers le haut de la pente jusqu’à la croisière à $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

6. Exprimer et calculer la tension $T'$ pendant cette phase.
7. De quelle fraction le démarrage élève-t-il la tension au-dessus de sa valeur au repos ?
8. Combien dure la phase, et sur quelle distance ?
9. Un passager de $80\,\mathrm{kg}$ se tient sur le plancher horizontal. Projeter la deuxième loi verticalement pour exprimer et calculer son [poids apparent](#def-g12-newtons-laws-apparent) ; comparer à $mg$ .
10. Quelle [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) l’accélère horizontalement, et de quelle taille ? Pourquoi les passagers se penchent-ils ?

**Partie III — Au-dessus de la tour.** À une $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ constante, le câble porteur se courbe au-dessus d’une tour de support le long d’un arc circulaire vertical de rayon $R = 40\,\mathrm{m}$ ; au sommet la vitesse est horizontale.

11. Dans le [repère de Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#def-g12-kinematics-2d-frenet) au sommet ( [Chapitre 24](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#ch-g12-kinematics-2d) ), donner les deux composantes de l’accélération, avec leurs valeurs.
12. Projeter la deuxième loi le long de la normale pour exprimer et calculer la [force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) $N'$ du câble sur le chariot.
13. Même question pour le [poids apparent](#def-g12-newtons-laws-apparent) du passager au sommet : de quelle fraction est-il plus léger ?
14. À quelle vitesse $N'$ s’annulerait-elle ? Comparer à la vitesse de croisière et commenter.
15. Quelle [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) le chariot exerce-t-il sur le câble au-dessus de la tour — quelle loi le dit, avec quelle norme et direction ?

**Partie IV — Freinage, un saut, et la plaque.**

16. Sur la section d’arrivée horizontale, un arrêt d’urgence ramène la cabine pleine de $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ au repos en $1.5\,\mathrm{s}$ : lire $\sum \vect F = d\vect p/dt$ comme une moyenne sur l’arrêt pour calculer la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de freinage.
17. Quelle [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) horizontale doit arrêter un passager de $80\,\mathrm{kg}$ , et le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) chaussure–plancher ( $\mu_s = 0.40$ ) peut-il la fournir ? Conclure.
18. Sur le quai, freins ouverts, la cabine vide pend libre et immobile ; le dernier passager ( $80\,\mathrm{kg}$ ) saute horizontalement à $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *par rapport à la cabine* . Calculer la vitesse de recul de la cabine et la vitesse du passager par rapport au sol.
19. En une phrase : quel dispositif de propulsion vit de ce principe de recul, et qu’est-ce qui fixe sa [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) ?
20. *Certification.* Le câble tracteur casse à $100\,\mathrm{kN}$ ; les règles plafonnent la tension de service au cinquième de cela. Montrer que le pire cas rencontré ci-dessus est le démarrage, en déduire la masse totale maximale, et imprimer la plaque : combien de passagers de $80\,\mathrm{kg}$ peuvent monter ? Vérifier le facteur de sécurité.

**Solution de Problème 25.1.**

**1.** Système : cabine $+$ chariot ($+$ passagers). La montagne est fixée au sol, inertielle à excellente précision. [Forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) : [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) $M\vect g$ (vers le bas), [force normale](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ du câble porteur (perpendiculaire à lui), tension de traction $\vect T$ (vers le haut de la pente).

**2.** Au repos, la première loi : $\sum \vect F = \vect 0$. Le long de la pente : $T = Mg\sin\alpha$ ; perpendiculairement : $N = Mg\cos\alpha$.

**3.** $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$ ; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$.

**4.** Vide : $T = 9.8\,\mathrm{kN}$. Chaque [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de l’équilibre est proportionnelle à $M$, donc $T$ aussi.

**5.** Le long de la pente, $Ma = Mg\sin\alpha$ : $M$ s’annule, $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ vers le bas de la pente.

**6.** $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 =
22.0\,\mathrm{kN}$.

**7.** $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$.

**8.** $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$ ; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$.

**9.** Composante verticale de $\vect a$ : $a\sin\alpha =
0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, donc $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 =
809\,\mathrm{N}$ contre $mg = 785\,\mathrm{N}$ : $3\%$ plus lourd.

**10.** Le [frottement statique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-friction) du plancher, horizontal : $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$. Se pencher place la [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) combinée du plancher à travers son [centre de masse](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/16-forces-et-mouvement#def-g11-forces-and-motion-com), de sorte qu’elle ne bascule pas.

**11.** $a_T = dv/dt = 0$ (vitesse constante) ; $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dirigée vers le centre — tout droit vers le bas au sommet.

**12.** Axe normal (bas positif) : $Mg - N' = Mv^2/R$, donc $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$.

**13.** $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$ : plus légère de $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$.

**14.** $N' = 0$ à $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — plus du triple de la croisière : le chariot chevauche le câble avec une large marge.

**15.** Troisième loi de Newton : $35.6\,\mathrm{kN}$, pressant le câble vers le bas (donc la tour) — légèrement moins que le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) au repos, allégé par le vol courbe.

**16.** $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 =
16\,\mathrm{kN}$, opposée au mouvement ($a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**17.** $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$ ; le plafond est $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$ : les pieds seuls glissent — tenir la main courante.

**18.** $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$ : $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le passager se déplace à $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au sol.

**19.** La fusée : sa [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) est fixée par la masse éjectée par seconde fois la vitesse d’éjection par rapport à elle.

**20.** La plus grande tension rencontrée est le démarrage $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (le repos donne $Mg\sin\alpha$, le sommet encore moins). Plafond : $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$, donc $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ : charge utile $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, c.-à-d. $20$ passagers de $80\,\mathrm{kg}$ (pas $25$). Plaque : *20 personnes* ; alors $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$, facteur de sécurité $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$.