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title: "Oscillateurs mécaniques et mesure du temps"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 28
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps
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# Chapitre 28 — Oscillateurs mécaniques et mesure du temps

Une horloge comtoise tic-tac : chaque tic est un balancier de laiton qui traverse la verticale, répété quinze millions de fois depuis le Nouvel An. Un lambeau de quartz dans votre montre fléchit $32\,768$ fois par seconde ; un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de césium vibre neuf milliards de fois plus vite. Tout ce qui oscille peut tenir le temps : ce chapitre suit le balancement, de Huygens aux [satellites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite).

## 28.1 Oscillations libres

**Définition 28.1 (Oscillateur, période, fréquence, amplitude).**

Un *oscillateur mécanique* est un système qui, écarté d’une *position d’équilibre* stable et lâché, oscille de part et d’autre autour d’elle : ce sont des *oscillations libres*. Le mouvement se répète après la *période* $T_0$ ($\mathrm{s}$) ; la *fréquence* $f_0 = 1/T_0$ ($\mathrm{Hz}$, [Chapitre 20](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#ch-g12-mechanical-waves)) ; l’*amplitude* est l’écart maximal.

**Exemple 28.2 (Un zoo d’oscillateurs).**

Une balançoire de parc : $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$. La corde de la d’une guitare : $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$. Un cristal de quartz : $32\,768\,\mathrm{Hz}$. L’oscillation du césium qui définit la seconde : environ $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$. Dix [ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom), une seule tâche : compter.

## 28.2 Le pendule simple

**Définition 28.3 (Pendule simple).**

Un *pendule simple* : une petite masse $m$ au bout d’un fil inextensible de longueur $L$ et de masse négligeable, qui oscille dans un plan vertical. Des deux [forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la masse ([Chapitre 25](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton#ch-g12-newtons-laws)), la tension est perpendiculaire au mouvement, tandis que la composante du [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) le long de la [trajectoire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) pointe vers le point le plus bas : le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) est la *[force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) de rappel*, opposée au déplacement.

![Forces sur la masse : la tension T est perpendiculaire au mouvement ; la partie tangentielle P_t du poids pointe toujours vers la verticale — la force de rappel.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-4439374d74c4.svg)

*[Forces](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) sur la masse : la tension $\vect T$ est perpendiculaire au mouvement ; la partie tangentielle $\vect{P_t}$ du [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) pointe toujours vers la verticale — la [force de rappel](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum).*

**Proposition 28.4 (Période du pendule simple).**

Pour de petites [amplitudes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (en dessous d’environ $15^\circ$), la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) est

$$
T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
$$

Elle ne dépend ni de la masse de la bille ni — tant que l’angle reste petit — de l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : les petites oscillations sont *isochrones*, toutes de même durée.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 28.5 (Analyse dimensionnelle, et où vit le 2π2\pi2π).**

La formule se devine. À partir de $m$ ($\mathrm{kg}$), $L$ ($\mathrm{m}$) et $g$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$), la seule combinaison ayant l’[unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) d’un temps est $\sqrt{L/g}$ — et la masse *ne peut pas* entrer, aucune autre donnée ne portant un [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) pour l’annuler. Les dimensions ne donnent pas le nombre pur devant : le $2\pi$ vient de la résolution de l’équation du mouvement, faite dans le volume de Licence 1. La condition de petit angle n’est pas optionnelle non plus : à $30^\circ$ la vraie [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) est plus longue de $2\%$, et l’isochronisme tombe.

**Exemple 28.6 (Le pendule à secondes).**

Quelle longueur bat la seconde, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$, un tic dans chaque sens ? En résolvant, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times
2.00^2/4\pi^2 \approx 0.994\,\mathrm{m}$. Presque un [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : les horloges à pendule sont hautes parce que les secondes sont longues.

## 28.3 L’oscillateur masse–ressort

**Définition 28.7 (Force de rappel d’un ressort).**

Un mobile de masse $m$ glisse sur un rail horizontal sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory), attaché à un ressort de *raideur* $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$). Soit $x$ son déplacement par rapport à l’équilibre. Étiré ou comprimé, le ressort tire ou pousse le mobile en arrière avec la [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) $F = -kx$ : proportionnelle au déplacement et opposée à celui-ci — une [force de rappel](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) encore, fournie cette fois par l’élasticité.

**Proposition 28.8 (Équation du mouvement et sa solution).**

La deuxième loi de Newton le long du rail ([Chapitre 25](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/25-les-lois-de-newton#ch-g12-newtons-laws)) donne $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$, c’est-à-dire $\frac{d^2x}{dt^2} = -\frac{k}{m}\,x$. Quelles que soient les constantes $A$ et $\varphi$,

$$
x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right),
\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},
$$

satisfait cette équation : oscillation de [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0$, indépendante de l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Démonstration.** En dérivant, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi
t}{T_0} + \varphi)$ ; encore une fois, $\frac{d^2x}{dt^2} =
-(\frac{2\pi}{T_0})^2 A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) =
-(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$, ce qui est $-(k/m)\,x$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = k/m$. ∎

**Remarque 28.9 (Tous les mouvements qui existent).**

Que *tout* mouvement du mobile soit l’une de ces fonctions est admis, prouvé dans le volume de Licence 1. Et pas de $g$ dans $2\pi\sqrt{m/k}$ : plus raide, plus vite ; plus lourd, plus lent ; pareil sur la Lune.

**Définition 28.10 (Amplitude et phase).**

Dans $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ la constante positive $A$ est l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — les extrêmes sont $x = \pm A$ — et $2\pi t/T_0 + \varphi$ est la *phase*, qui croît de $2\pi$ à chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ; la *phase initiale* $\varphi$ enregistre le départ : lâché au repos depuis $x = A$, $\varphi = 0$. Par exemple $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ sur $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ donne $T_0 = 2\pi\sqrt{0.20/20} =
0.63\,\mathrm{s}$ ; tiré à $5.0\,\mathrm{cm}$ et lâché, $x(t) =
5.0\cos(2\pi t/0.63)$ en centimètres.

## 28.4 Énergie, amortissement, résonance

**Proposition 28.11 (Énergie de l’oscillateur).**

Un ressort étiré de $x$ stocke l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) potentielle élastique $E_p = \tfrac12 kx^2$ (justifiée au [Chapitre 29](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/29-travail-et-energie-mecanique#ch-g12-work-and-energy)). Pendant l’oscillation sans [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory), l’[énergie mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-em)

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2
$$

est constante : toute élastique aux extrêmes, toute cinétique à l’équilibre. Le pendule joue le même duo entre $E_k$ et $E_p$ gravitationnelle ([Chapitre 18](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#ch-g11-mechanical-energy)).

**Démonstration.** Avec $v = \frac{dx}{dt}$, la dérivée de $E_m$ est $mv\frac{dv}{dt}
+ kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ par l’équation du mouvement ; la valeur $\tfrac12 kA^2$ se lit à un extrême. ∎

![Une période, lâché depuis x = A : l’énergie bascule deux fois de l’élastique au cinétique et retour, la somme fixée à 1/2 kA2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-dbe8ae66ca3d.svg)

*Une [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), lâché depuis $x = A$ : l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) bascule deux fois de l’élastique au cinétique et retour, la somme fixée à $\tfrac12 kA^2$.*

**Définition 28.12 (Oscillations amorties).**

Le [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) draine l’[énergie mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) de tout [oscillateur](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) réel : ses [oscillations libres](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sont *amorties*. Sous un amortissement léger le système oscille encore, avec une [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) qui meurt mais un temps de reprise presque inchangé, la *[pseudo-période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*, proche de $T_0$ ; sous un fort amortissement (du miel) il rampe vers l’équilibre sans jamais le dépasser ; l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy), proportionnelle au carré de l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), se dissipe en chaleur.

![Oscillations non amorties et faiblement amorties : presque la même période (2.0\, s ici), l’amplitude amortie mourant à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle qui se rétrécit (en tireté).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-60d618f40f4e.svg)

*Oscillations non [amorties](#def-g12-oscillators-and-time-damping) et faiblement [amorties](#def-g12-oscillators-and-time-damping) : presque la même [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($2.0\,\mathrm{s}$ ici), l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amortie mourant à l’intérieur d’une enveloppe exponentielle qui se rétrécit (en tireté).*

**Définition 28.13 (Oscillations forcées et résonance).**

Poussez un [oscillateur](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) périodiquement — *oscillations forcées* — et après un bref régime transitoire il oscille à la [fréquence](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) *d’excitation* $f$, pas à la sienne. Son [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) culmine lorsque $f$ se rapproche de la *fréquence propre* $f_0$ de l’[oscillateur](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) libre : c’est la *résonance*, chaque [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) arrivant [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase) avec le mouvement, injectant de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) à chaque cycle ; plus l’[amortissement](#def-g12-oscillators-and-time-damping) est léger, plus le pic est haut et pointu.

![Courbe de résonance : amplitude forcée en fonction de la fréquence d’excitation. Près de f = f_0 la réponse s’élève, plus haute que l’amortissement est léger.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-286ecaf7198a.svg)

*Courbe de [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) : [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) forcée en fonction de la [fréquence](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) d’excitation. Près de $f = f_0$ la réponse s’élève, plus haute que l’[amortissement](#def-g12-oscillators-and-time-damping) est léger.*

**Exemple 28.14 (La résonance pour le bien et pour le mal).**

Un parent qui pousse une balançoire pousse à sa propre [fréquence](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — la [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) mise au [travail](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-work). En $2000$, le nouveau Millennium Bridge à Londres a dangereusement oscillé lorsque les pas de la foule se sont calés sur une [fréquence propre](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) près de $1\,\mathrm{Hz}$ ; il a fermé deux ans pour des amortisseurs. Toute montre à quartz fait chanter son cristal en l’excitant à la [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance), $32\,768\,\mathrm{Hz}$.

## 28.5 Mesurer le temps

**Méthode 28.15 (Chronométrer une période).**

Ne chronométrez jamais une seule oscillation : démarrez le chronomètre au moment où la masse traverse la verticale (le plus vite, le plus facile à juger), comptez $N = 50$ oscillations, divisez par $N$ — une erreur de réaction de $0.2\,\mathrm{s}$ devient $4\,\mathrm{ms}$ sur $T_0$. Répétez, et comparez les séries.

**Exemple 28.16 (Trois siècles de tic-tac).**

Huygens a construit la première horloge à pendule en $1657$ : l’isochronisme a fait passer les horloges d’un quart d’heure de dérive par jour à des secondes, et les pendules compensés à des fractions de seconde par jour. La montre à quartz ($1969$) a échangé la tige contre un cristal fléchissant à $32\,768\,\mathrm{Hz}$ : des dixièmes de seconde par mois. Depuis $1967$ la seconde elle-même est *définie* par une oscillation atomique : la durée de $9\,192\,631\,770$ [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) du rayonnement [micro-onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) d’une transition interne du césium-133 ([Chapitre 34](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#ch-g12-quantum-world)). Les meilleures horloges à césium dérivent d’une seconde en cent millions d’années.

**Remarque 28.17 (Pourquoi chasser la nanoseconde).**

Un récepteur GPS trouve sa position en chronométrant des signaux radio issus de [satellites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) ; la lumière parcourt $30\,\mathrm{cm}$ par nanoseconde, donc une erreur d’horloge d’une microseconde vous déplace de $300\,\mathrm{m}$. Les [satellites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) portent donc des horloges atomiques — et à cette précision le rythme d’une horloge dépend de sa vitesse et de sa hauteur, un effet que l’on rencontre au [Chapitre 35](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/35-relativite-restreinte-dilatation-du-temps#ch-g12-special-relativity).

## 28.6 Exercices

**Exercice 28.1 ★.**

(a) Calculer la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) et la [fréquence](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) d’un [pendule simple](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) de $1.00\,\mathrm{m}$. (b) La longueur est quadruplée : que devient la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?

**Solution de Exercice 28.1.**

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$. (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$ : la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) double.

**Exercice 28.2 ★.**

Un cœur au repos bat $72$ fois par minute ; une aile de libellule à $30\,\mathrm{Hz}$. Donner la [fréquence](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) et la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) du cœur, la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de l’aile ; quel mot du chapitre nomme la montée maximale de la poitrine par battement ?

**Solution de Exercice 28.2.**

Cœur : $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.83\,\mathrm{s}$. Aile : $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$. La montée de la poitrine est l’*[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*.

**Exercice 28.3 ★.**

Un mobile de $0.10\,\mathrm{kg}$ monte un ressort de $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ : calculer $T_0$ et $f_0$. Que fait le doublement de la masse à la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?

**Solution de Exercice 28.3.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$, $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$. Doubler $m$ : $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$.

**Exercice 28.4 ★.**

Maxima successifs d’un [oscillateur](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amorti : $2.0$, $1.5$, $1.13$, $0.85\,\mathrm{cm}$ à $t = 0$, $2.0$, $4.0$, $6.0\,\mathrm{s}$. Lire la [pseudo-période](#def-g12-oscillators-and-time-damping) ; montrer que l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) chute d’un facteur fixe à chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ; prédire le prochain maximum.

**Solution de Exercice 28.4.**

[Pseudo-période](#def-g12-oscillators-and-time-damping) $2.0\,\mathrm{s}$. Rapports $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13
= 0.75$ chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ; prochain maximum $0.85 \times 0.75
\approx 0.64\,\mathrm{cm}$.

**Exercice 28.5 ★.**

Un astronaute emporte un pendule et un [oscillateur masse–ressort](#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) sur la Lune ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Par quel facteur chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) change-t-elle ? Expliquer.

**Solution de Exercice 28.5.**

Pendule : $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$, donc $\times\sqrt{9.81/1.62} =
2.46$ (plus lent). Masse–ressort : inchangé — pas de $g$ dans $2\pi\sqrt{m/k}$.

**Exercice 28.6 ★★.**

(a) Vérifier que $\sqrt{L/g}$ a la dimension d’un temps. (b) Pourquoi aucune formule pour $T_0$ construite à partir de $m$, $L$, $g$ ne peut-elle contenir la masse ? (c) Cet argument pourrait-il jamais produire le $2\pi$ ?

**Solution de Exercice 28.6.**

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$ ; sa racine carrée est un temps. (b) Le [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) n’apparaît que dans $m$ : rien d’autre ne pourrait l’annuler, donc $m$ ne peut pas entrer. (c) Jamais : les nombres purs comme $2\pi$ sont invisibles aux dimensions.

**Exercice 28.7 ★★.**

Vérifier en dérivant deux fois que $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 +
\varphi)$ satisfait $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ si et seulement si $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Solution de Exercice 28.7.**

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$, donc $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$. L’égalité avec $-(k/m)x$ pour tout $t$ vaut exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = k/m$, c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Exercice 28.8 ★★.**

Un ressort de [raideur](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ porte un mobile de $0.20\,\mathrm{kg}$ avec une [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de $3.0\,\mathrm{cm}$. Calculer l’[énergie mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-em) et la vitesse maximale. Où la vitesse est-elle maximale ? Nulle ?

**Solution de Exercice 28.8.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 =
1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$ ; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} =
0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — en $x = 0$ ; nulle aux extrêmes $x = \pm A$.

**Exercice 28.9 ★★.**

(a) Calculer la longueur du pendule à secondes ($T_0 =
2.00\,\mathrm{s}$). (b) Sa longueur croît de $1.0\%$ : avec $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$, trouver la variation relative de $T_0$ et l’erreur quotidienne.

**Solution de Exercice 28.9.**

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$. (b) $\Delta T_0/T_0 =
\tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$ : $86400 \times 0.005 \approx
4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — sept minutes de [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay) par jour.

**Exercice 28.10 ★★.**

Un [oscillateur](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) faiblement amorti perd $5.0\%$ de son [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) à chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (a) La chute d’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) par [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ? (b) Combien de [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) pour perdre la moitié de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ? (c) La [pseudo-période](#def-g12-oscillators-and-time-damping) est-elle loin de $T_0$ ?

**Solution de Exercice 28.10.**

(a) $A \propto \sqrt{E}$ : $\sqrt{0.95} \approx 0.975$, une chute de $2.5\%$. (b) $0.95^n = 0.5$ : $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (c) Non : pour un [amortissement](#def-g12-oscillators-and-time-damping) léger elle reste à une fraction de pour cent de $T_0$.

**Exercice 28.11 ★★.**

Expliquer avec la courbe de [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) : (a) pourquoi pousser une balançoire ne marche qu’à son propre rythme ; (b) pourquoi les soldats rompent le pas sur les passerelles ; (c) pourquoi une machine à laver frémit à une certaine vitesse en montant en régime.

**Solution de Exercice 28.11.**

(a) À $f_0$ chaque [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) arrive [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase) et ajoute de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ; hors du pic, les [poussées](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) aident et gênent alternativement. (b) Marcher au pas est une excitation [périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period) ; près de la $f_0$ du pont elle monterait le pic de [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance). (c) Le tambour balaie la [fréquence propre](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) du châssis pendant la montée en régime : [résonance](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) momentanée, puis au-delà du pic.

**Exercice 28.12 ★★★.**

Une horloge à pendule, exacte au niveau de la mer, est déplacée dans un observatoire où $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (a) Avance-t-elle ou retarde-t-elle ? De combien de secondes par jour ? (b) De combien doit-on raccourcir son pendule de $0.994\,\mathrm{m}$ ?

**Solution de Exercice 28.12.**

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$ : [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay), de $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12
\times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$, soit $\approx 132\,\mathrm{s}$ par jour. (b) $L \propto g$ à $T_0$ fixé : raccourcir de $0.994 \times
0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$.

**Exercice 28.13 ★★★.**

Un mobile de $0.20\,\mathrm{kg}$ obéit à $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$, avec $A = 4.0\,\mathrm{cm}$, $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$. Calculer la vitesse maximale, l’accélération maximale, la [raideur](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ et l’[énergie mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-em).

**Solution de Exercice 28.13.**

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ; $k = m(2\pi/T_0)^2
= 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$.

**Exercice 28.14 ★★★.**

Pour mesurer $g$ : un pendule avec $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ effectue $20$ oscillations en $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$. Calculer $g$ et son [incertitude relative](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) (ajouter celles de $L$ et de $T_0^2$) ; le résultat s’accorde-t-il avec $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

**Solution de Exercice 28.14.**

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$ ; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2
\times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Incertitude $\approx 0.2\%
+ 2 \times 0.5\% = 1.2\%$, soit $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ : l’intervalle contient $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — cohérent.

**Exercice 28.15 ★★★.**

Comparer les garde-temps par leur dérive relative (erreur sur le temps écoulé) : une horloge à pendule perdant $10\,\mathrm{s}$ par jour, une montre à quartz $0.5\,\mathrm{s}$ par mois, une horloge à césium $1\,\mathrm{s}$ par cent millions d’années : calculer les trois rapports. Une horloge GPS fausse de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ : erreur de position ? Quelle famille le GPS exige-t-il ?

**Solution de Exercice 28.15.**

Pendule $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$ ; quartz $0.5/2.6 \times 10^{6}
\approx 1.9 \times 10^{-7}$ ; césium $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$. Une erreur de $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ est $1000 \times 30\,\mathrm{cm}
= 300\,\mathrm{m}$ de position : le GPS exige la famille atomique.

## 28.7 Problème : L’établi de l’horloger

**Problème 28.1.**

Problème du week-end — l’établi de l’horloger : une horloge murale remise à l’heure — cinquante oscillations chronométrées, une tige de laiton qui s’allonge en été, la poussée chuchotée de l’échappement, un concurrent à quartz — le verdict rendu en secondes par mois

Une horloge murale à pendule arrive à l’établi « qui ne marche pas ». Traiter sa tige de laiton et sa lourde masse comme un [pendule simple](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) de longueur effective $L$, masse de la bille $m = 1.2\,\mathrm{kg}$ ; l’engrenage compte chaque oscillation complète comme exactement $2.000\,\mathrm{s}$.

**Partie I — Prendre le pouls de l’horloge.**

1. Pourquoi chronométrer $50$ oscillations plutôt qu’une ? Estimer l’erreur restante sur $T_0$ si votre temps de réaction est $0.2\,\mathrm{s}$ .
2. Le chronomètre indique $99.4\,\mathrm{s}$ pour $50$ oscillations : la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
3. En déduire la longueur effective actuelle du pendule.
4. Quelle longueur donnerait exactement $2.000\,\mathrm{s}$ ? L’écrou de réglage doit-il monter ou descendre la masse, et de combien ?
5. Sans réglage, l’horloge avance-t-elle ou retarde-t-elle, de combien de secondes par jour ?
6. Sensibilité à $g$ : la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sur la Lune ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ) ? L’erreur quotidienne dans un observatoire où $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

**Partie II — L’affaissement d’été.** Le laiton se dilate : un réchauffement $\Delta\theta$ allonge la tige en $L' = L\,(1 + \lambda\, \Delta\theta)$, $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ par [kelvin](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/2-spectres-de-la-lumiere-et-le-message-de-la-lumiere#def-g10-light-spectra-kelvin). L’horloge est réglée à $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

7. Calculer $\Delta L$ pour une pièce d’été à $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
8. En utilisant $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , montrer que $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
9. Calculer $\Delta T_0/T_0$ et l’erreur quotidienne d’été : avance ou [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay) ?
10. Mêmes questions pour un couloir d’hiver à $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
11. Les vieilles horloges de précision utilisaient des pendules « grille-pain » mélangeant des tiges de laiton et d’acier (qui se dilatent environ deux fois moins) en directions alternées. Expliquer comment cela peut tenir le rythme.

**Partie III — La [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) chuchotée.** Avec l’échappement désengagé, le balancement, démarré à l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\theta_m = 2.00^\circ$, divise par deux son [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) en $280\,\mathrm{s}$ ; en service, une petite [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de l’échappement à chaque [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) maintient $\theta_m$ constant.

12. Combien de [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dure le demi-affaiblissement ?
13. À l’extrême la masse a grimpé $h = L(1 - \cos\theta_m)  \approx L\,\theta_m^2/2$ (radians) : en déduire $E_m = \tfrac12 m g L\,\theta_m^2$ et la calculer ( [Chapitre 18](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#ch-g11-mechanical-energy) ).
14. L’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) est proportionnelle au carré de l’ [amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : quelle fraction de $E_m$ est perdue par [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
15. En déduire l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) de chaque [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) , et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) moyenne nécessaire.
16. Le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) moteur $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ descend de $h = 1.0\,\mathrm{m}$ par semaine : est-ce assez d’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) , à quel [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency) ?

**Partie IV — Le concurrent à quartz.** Un mouvement à quartz oscille à $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ et dérive d’environ $0.3\,\mathrm{s}$ par mois ; le pendule restauré dérive encore de $0.5\,\mathrm{s}$ par jour.

17. Calculer la [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) du quartz. Montrer $32\,768 = 2^{15}$ : pourquoi une [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de deux est-elle exactement ce qu’un circuit de montre veut ?
18. Calculer les dérives relatives du quartz et du pendule restauré, et chacune en secondes par mois. Qui gagne, par quel facteur ?
19. L’étalon de césium — $9\,192\,631\,770$ [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) font une seconde — dérive de $1\,\mathrm{s}$ par cent millions d’années : sa dérive relative ? Combien d’ [ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom) sous le quartz, et pourquoi le GPS l’exige-t-il ?
20. Le verdict, une phrase avec des nombres : que gagne l’horloge restaurée sur le mur, et à qui appartient désormais la seconde ?

**Solution de Problème 28.1.**

**1.** L’erreur de réaction $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ est divisée par $50$ : environ $4\,\mathrm{ms}$ sur $T_0$.

**2.** $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$.

**3.** $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx
0.982\,\mathrm{m}$.

**4.** $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (le pendule à secondes) : descendre la masse, allonger d’$\approx 1.2\,\mathrm{cm}$.

**5.** Trop court, donc trop rapide : avance, de $(2.000 -
1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ minutes par jour.

**6.** Lune : $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — inutilisable. Observatoire : $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 =
5.1 \times 10^{-4}$ : perd $\approx 44\,\mathrm{s}$ par jour.

**7.** $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times
1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx
0.1\,\mathrm{mm}$.

**8.** $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} =
T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12
\lambda\Delta\theta)$.

**9.** $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times
5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$ : $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx
4.1\,\mathrm{s}$ par jour, [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay) (tige plus longue, [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) plus longue).

**10.** $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$ : $\Delta T_0/T_0 =
-9.5 \times 10^{-5}$, gagne $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ par jour.

**11.** L’acier et le laiton se dilatent différemment ; montés en directions alternées, les tiges de laiton abaissent la masse tandis que celles d’acier la relèvent. Dimensionnées pour que les deux déplacements s’annulent, la longueur effective — et le rythme — survit aux saisons.

**12.** $280/2.000 = 140$ [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**13.** $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$ : $E_m =
\tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx
7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$.

**14.** Par [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) l’[amplitude](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) rétrécit de $2^{-1/140} \approx 0.9951$, l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) de $0.9951^2 \approx 0.990$ : environ $1.0\%$ de $E_m$ par [période](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**15.** [Poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} =
7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx
3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — des dizaines de microwatts.

**16.** Une semaine fait $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ [périodes](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), demandant $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5}
\approx 21\,\mathrm{J}$ ; le [poids](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-weight) fournit $Mgh = 2.5
\times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$ : assez, à $21/24.5 \approx
88\%$ de [rendement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-efficiency).

**17.** $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$. $32\,768
= 2^{15}$ : quinze étages de division par deux transforment le [signal](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-signal) du cristal en un tic exact à $1\,\mathrm{Hz}$.

**18.** Quartz : $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$. Pendule : $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$, soit $\approx
15\,\mathrm{s}$ par mois. Le quartz gagne d’un facteur $\approx 50$.

**19.** $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$ : neuf [ordres de grandeur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-oom) sous le quartz. Le GPS chronomètre les signaux à la nanoseconde — $30\,\mathrm{cm}$ de parcours de lumière chacun — donc seules les horloges atomiques conviennent.

**20.** Restaurée, l’horloge murale tient $\pm15\,\mathrm{s}$ par mois contre $\pm0.3\,\mathrm{s}$ pour le quartz : la garder pour le carillon, faire confiance au quartz pour le train — et la seconde elle-même appartient désormais à l’[atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de césium.