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title: "Circuits RC et RL"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl
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# Chapitre 30 — Circuits RC et RL

Appuyez à mi-course sur le déclencheur d’un appareil photo : un sifflement fin monte pendant deux secondes, une lumière passe au vert — seulement alors le flash se déclenchera, déversant en une milliseconde ce qu’il a passé deux secondes à rassembler. Ce chapitre rencontre les deux composants qui donnent aux circuits une mémoire et une horloge — [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) et [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — et les premières équations différentielles de la physique, vérifiables avec les dérivées de cette année.

## 30.1 Le condensateur

**Définition 30.1 (Condensateur et capacité).**

Un *condensateur* est une paire de plaques métalliques en regard séparées par un isolant mince. Branchées à une source, les plaques prennent des charges opposées $+q$ et $-q$ — un [champ électrique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) remplit l’intervalle ([Chapitre 14](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/14-champs-electrique-et-gravitationnel#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — et la tension $u$ entre les plaques est proportionnelle à la charge stockée :

$$
q = C\,u .
$$

La constante $C$ est la *capacité*, en *farads* ($\mathrm{F}$) : $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$.

**Exemple 30.2 (Ordres de grandeur).**

Un [farad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) est énorme — un [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge) garé par [volt](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-voltage). Céramiques des circuits radio : $\mathrm{pF}$ à $\mathrm{nF}$ ; électrolytiques des alimentations de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) et des flashs : $\text{µ}\mathrm{F}$ à $\mathrm{mF}$ ; supercondensateurs : des milliers de [farads](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor).

**Proposition 30.3 (Courant entrant dans un condensateur).**

Le courant qui arrive sur une plaque d’un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) est le taux auquel sa charge croît :

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

les minuscules marquant les grandeurs variables dans le temps ($U$, $I$ restent stationnaires, [Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power)).

**Démonstration.** Le courant est la charge livrée par seconde ([Définition 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-current)) : sur un intervalle qui se rétrécit, $i$ est la dérivée de $q$ ; et $q = Cu$ avec $C$ constant donne $C\,du/dt$. ∎

**Remarque 30.4 (Deux conséquences).**

Si $u$ est constant, $i = 0$ : un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) chargé ne laisse passer aucun courant permanent. Et $u$ ne peut jamais sauter — un échelon exigerait un courant infini : la tension du [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) est la mémoire du circuit.

## 30.2 Charger un condensateur : le circuit RC

Une seule boucle — source $\mathcal{E}$ ([Définition 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-emf)), interrupteur, résistor, [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) vide : fermer $K$ à $t = 0$.

![Le circuit de charge RC : fermer K laisse la source pousser de la charge à travers R sur les plaques de C.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*Le circuit de charge RC : fermer $K$ laisse la source pousser de la charge à travers $R$ sur les plaques de $C$.*

**Théorème 30.5 (Loi de charge du circuit RC).**

Après la fermeture de l’interrupteur, la tension du [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) obéit, puis suit de $u(0) = 0$ :

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**Démonstration.** Les tensions le long de la boucle s’ajoutent ([Proposition 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#prop-g11-circuits-and-power-laws)) : $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ à chaque instant ; substituer $i = C\,du/dt$ ([Proposition 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)). Maintenant *vérifier* la candidate : $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, donc $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) =
\mathcal{E}$, vrai pour tout $t$ ; et $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$. Qu’aucune *autre* courbe ne s’accorde à l’équation et au départ est prouvé dans le cours de mathématiques de cette année sur les équations différentielles. ∎

**Définition 30.6 (Constante de temps).**

La *constante de temps* d’un [circuit RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) est $\tau = RC$. [Unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : $\Omega \times \mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — le propre tempo du circuit.

**Méthode 30.7 (Lire τ\tauτ sur la courbe).**

Trois lectures équivalentes, directement sur un graphe :

1. *tangente à l’origine :* $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , donc la tangente initiale atteint l’asymptote en $t = \tau$ ;
2. *63% :* $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx  0.63\,\mathcal{E}$ ;
3. *95% :* $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — chargé, pour les besoins pratiques ( $5\tau$ : $99\%$ ).

**Proposition 30.8 (Décharge).**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) chargé à $U_0$ et fermé sur un résistor $R$ seul obéit à $RC\,du/dt + u = 0$ et suit

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— $37\%$ restants à $\tau$, $5\%$ à $3\tau$.

**Démonstration.** Même loi de maille, sans source ; substitution encore : $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$, avec $u(0) = U_0$. ∎

![Charge (bleu, de u = 0 vers E) et décharge (rouge, depuis U_0 = E). Les deux tangentes initiales rencontrent leur asymptote en t = ; 63\% faits à , 95\% à 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*Charge (bleu, de $u = 0$ vers $\mathcal{E}$) et décharge (rouge, depuis $U_0 = \mathcal{E}$). Les deux tangentes initiales rencontrent leur asymptote en $t = \tau$ ; $63\%$ faits à $\tau$, $95\%$ à $3\tau$.*

**Exemple 30.9 (Les nombres d’un flash photo).**

Un flash photo charge $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ à travers $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ : $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} =
0.80\,\mathrm{s}$, donc le voyant « prêt » — câblé pour se déclencher à $95\%$ — attend $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ : le sifflement de l’accroche. Déclenché à travers les maigres $0.50\,\Omega$ du tube éclair, le *même* [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) se vide avec $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ : deux mille fois plus vite en sortie qu’en entrée.

## 30.3 La bobine : inductance et circuit RL

**Définition 30.10 (Bobine et inductance).**

Une *bobine* est un [solénoïde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de fil : son courant enfile ses propres spires d’un [champ magnétique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques#def-g11-magnetic-fields-bfield) ([Chapitre 15](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/15-magnetisme-et-champs-magnetiques#ch-g11-magnetic-fields)) ; dès qu’il *change*, une tension apparaît aux bornes de la bobine :

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

La constante $L$ est l’*inductance*, en *henrys* ($\mathrm{H}$) : $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 30.11 (La bobine résiste au changement).**

Pourquoi un courant variable produit une tension — l’induction — se dérive dans les volumes universitaires ; ici on prend la loi et son caractère : la [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *s’oppose aux changements* de son courant. Jumeaux miroir : la $u$ d’un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ne peut pas sauter, le $i$ d’une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) non plus.

![Le circuit RL : après la fermeture de K, la bobine ne laisse le courant grimper qu’à son propre rythme = L/R.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*Le [circuit RL](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl) : après la fermeture de $K$, la [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ne laisse le courant grimper qu’à son propre rythme $\tau = L/R$.*

**Proposition 30.12 (Montée du courant dans un circuit RL).**

Fermer l’interrupteur sur une source $\mathcal{E}$, un résistor $R$ et une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ en série donne $\mathcal{E} = Ri +
L\,di/dt$, c’est-à-dire

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{résolu par}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**Démonstration.** La loi de maille encore ; et c’est la *même équation* qu’au [Théorème 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) avec $u \to i$, $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$, $RC \to L/R$ — la même substitution vérifie la solution, et chaque lecture de la [Méthode 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading) se transfère. ∎

**Exemple 30.13 (Un électroaimant se réveille).**

Une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de relais, $L = 0.30\,\mathrm{H}$ et $R = 6.0\,\Omega$, sur une alimentation de $12\,\mathrm{V}$ : courant final $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$, au rythme $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — éveillé en $3\tau \approx
0.15\,\mathrm{s}$.

**Remarque 30.14 (L’étincelle à l’ouverture).**

Ouvrir un interrupteur sur une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) sous tension et $i$ doit s’écraser à zéro en une fraction de milliseconde : $di/dt$ est énorme et $u = L\,di/dt$ atteint des centaines ou des milliers de [volts](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-voltage) — une étincelle saute le contact. La [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) d’allumage d’une voiture le fait exprès, des milliers de fois par minute.

## 30.4 Énergie stockée

**Proposition 30.15 (Énergie dans un condensateur, énergie dans une bobine).**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ chargé à la tension $u$ et une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ parcourue par un courant $i$ stockent

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2 .
$$

**Démonstration.** Déposer une petite charge $dq$ sur des plaques déjà à la tension $u$ coûte $u\,dq$ ([Définition 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-voltage)) ; en empilant les coûts, le total est l’aire sous la droite $u = q/C$ — le triangle ci-dessous — donc $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$. Le même triangle pour la [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) (élever $i$ de $di$ coûte $Li\,di$) donne $E_L = \tfrac12 Li^2$. ∎

![Chaque tranche dq coûte u\,dq ; la charge entière coûte l’aire du triangle E_C = 1/2 q_0 u_0 — les premiers coulombs montent à basse tension.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*Chaque tranche $dq$ coûte $u\,dq$ ; la charge entière coûte l’aire du triangle $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — les premiers [coulombs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-charge) montent à basse tension.*

**Exemple 30.16 (Ordres de grandeur d’énergie).**

Le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de flash de l’[Exemple 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc) : $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$. Un supercondensateur de $3000\,\mathrm{F}$ à $2.7\,\mathrm{V}$ : $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — l’équivalent d’une pile AA. Une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $10\,\mathrm{mH}$ à $10\,\mathrm{A}$ : $0.50\,\mathrm{J}$. Moins que ce que tiennent les piles — mais libérable en une milliseconde.

**Remarque 30.17 (À quoi servent les deux garde-temps).**

L’entrée lente, la sortie rapide alimente le flash photo et le défibrillateur. Le délai $\tau = RC$ fait tourner les [circuits de temporisation](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications) : essuie-glaces intermittents, balises clignotantes, lumières de cage d’escalier. Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) aux bornes d’une alimentation *lisse* la tension ($u$ ne peut pas sauter) ; une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) en série lisse le courant ($i$ ne peut pas sauter). Et [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) plus [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ensemble font un [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Chapitre 31](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/31-oscillations-electriques-libres-rlc#ch-g12-rlc-oscillations)).

## 30.5 Exercices

**Exercice 30.1 ★.**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ est chargé à $12\,\mathrm{V}$ : quelle charge tient-il ? Quelle tension mettrait $2.0\,\mathrm{mC}$ sur $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ ?

**Solution de Exercice 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$ ; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$.

**Exercice 30.2 ★.**

Attribuer $47\,\mathrm{pF}$, $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ et $10\,\mathrm{F}$ entre un lisseur d’alimentation, un accord radio et un supercondensateur ; calculer l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) du dernier à $2.7\,\mathrm{V}$.

**Solution de Exercice 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$ : accord radio ; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ : lisseur ; $10\,\mathrm{F}$ : supercondensateur. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2
\approx 36\,\mathrm{J}$.

**Exercice 30.3 ★.**

La tension aux bornes d’un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ monte régulièrement de $0$ à $5.0\,\mathrm{V}$ en $10\,\mathrm{ms}$ : quel courant entre ? Quel courant une fois la tension stabilisée, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$. Ensuite $i = C\,du/dt = 0$ : un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) chargé est un circuit ouvert — pas de courant permanent.

**Exercice 30.4 ★.**

Calculer $\tau$ pour $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$, puis pour $L = 0.10\,\mathrm{H}$, $R = 50\,\Omega$. Vérifier, [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) par [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), que les deux combinaisons sont des secondes.

**Solution de Exercice 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$ ; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$. $\Omega\,\mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ ; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$.

**Exercice 30.5 ★.**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) se charge vers $6.0\,\mathrm{V}$, passant par $3.8\,\mathrm{V}$ à $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Lire la [constante de temps](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) ; quand la charge est-elle faite à $95\%$ ?

**Solution de Exercice 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$, donc $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$ ; $95\%$ à $3\tau =
6.0\,\mathrm{s}$.

**Exercice 30.6 ★★.**

Un [circuit RC](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) : $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calculer $\tau$, $u(\tau)$, $u(3\tau)$, et le courant à l’instant où l’interrupteur se ferme.

**Solution de Exercice 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$ ; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$ ; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ ([condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) vide : tout $\mathcal{E}$ se trouve aux bornes de $R$).

**Exercice 30.7 ★★.**

Vérifier par substitution que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ satisfait $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ ; que codent physiquement sa valeur en $t = 0$ et sa limite aux grands $t$ ?

**Solution de Exercice 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$, donc $RC\,du/dt + u =
\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$. $u(0) = 0$ : le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) part vide ; $u \to \mathcal{E}$ : complètement chargé, le courant s’est arrêté.

**Exercice 30.8 ★★.**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $12\,\mathrm{V}$ se décharge à travers $47\,\mathrm{k}\Omega$ : calculer $\tau$, $u(\tau)$, et le temps pour que $u$ descende sous $0.60\,\mathrm{V}$.

**Solution de Exercice 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$ ; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$ ; $0.60\,\mathrm{V}$ est $5\%$, atteint à $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$.

**Exercice 30.9 ★★.**

Le courant dans une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $0.50\,\mathrm{H}$ monte régulièrement de $0$ à $2.0\,\mathrm{A}$ en $40\,\mathrm{ms}$ : quelle tension apparaît à ses bornes ? Avec $u = L\,di/dt$, pourquoi l’*ouverture* d’un interrupteur sur une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) produit-elle une étincelle, pas la fermeture ?

**Solution de Exercice 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$. À la fermeture, $i$ grimpe au rythme propre du circuit, $di/dt$ modeste ; à l’ouverture $i$ est *forcé* à zéro presque instantanément, $di/dt$ est énorme et $u$ atteint des valeurs d’étincelle.

**Exercice 30.10 ★★.**

Le relais de l’[Exemple 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl) : vérifier par substitution que $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ satisfait $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$, puis calculer $i(\tau)$ et $i(3\tau)$.

**Solution de Exercice 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$, donc $L\,di/dt + Ri =
\mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$. $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$ ; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$.

**Exercice 30.11 ★★.**

Montrer que $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$, et en déduire que la tangente à l’origine rencontre l’asymptote en $t = \tau$. Sur une courbe enregistrée qui donne $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$, avec $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ : trouver $C$.

**Solution de Exercice 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, donc $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ : la tangente $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ atteint $\mathcal{E}$ en $t = \tau$. $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**Exercice 30.12 ★★★.**

Classer par [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée, en calculant chacune : un supercondensateur de $3000\,\mathrm{F}$ à $2.7\,\mathrm{V}$ ; un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de flash, $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ à $300\,\mathrm{V}$ ; une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de $10\,\mathrm{mH}$ à $10\,\mathrm{A}$ ; une pile AA ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$). Que offrent les trois premiers que la pile ne peut pas ?

**Solution de Exercice 30.12.**

Supercondensateur $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx
1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ ; flash $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2
= 36\,\mathrm{J}$ ; [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2
= 0.50\,\mathrm{J}$. Pile ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ supercondensateur $\gg$ flash $\gg$ [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — mais les trois peuvent déverser leur [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) en millisecondes : la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power), pas l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy).

**Exercice 30.13 ★★★.**

Un minuteur de cage d’escalier allume tant que $u < 0.63\,\mathcal{E}$ aux bornes de son [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) en charge, s’éteignant à $t = \tau$. Concevoir la lumière pour durer $5.0\,\mathrm{s}$ avec $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ : quel $R$ ? Pour un seuil $0.50\,\mathcal{E}$, montrer que le délai est $\tau \ln 2$ et le calculer.

**Solution de Exercice 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$, donc $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$. $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ donne $e^{-t/\tau} = 0.50$, $t = \tau\ln 2
\approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$.

**Exercice 30.14 ★★★.**

Un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ lisse une alimentation : entre deux recharges, il alimente seul une charge puisant $0.50\,\mathrm{A}$ pendant $10\,\mathrm{ms}$. À partir de $i = C\,du/dt$, calculer la chute de tension, puis la [capacité](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) qui la maintient sous $0.50\,\mathrm{V}$.

**Solution de Exercice 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$. Il faut $C \geq i\,\Delta t/\Delta u =
5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$.

**Exercice 30.15 ★★★.**

Une [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) d’allumage, $L = 0.80\,\mathrm{H}$, porte $2.0\,\mathrm{A}$ lorsque le rupteur la coupe en environ $1.0\,\mathrm{ms}$. Estimer la tension de la [bobine](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) pendant la coupure et l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) de l’étincelle ; pourquoi une interruption lente ne donne-t-elle pas d’étincelle ?

**Solution de Exercice 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} =
1.6\,\mathrm{kV}$ ; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 =
1.6\,\mathrm{J}$. Coupée lentement, $di/dt$ reste petit, $u$ reste à quelques [volts](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-voltage) : pas d’étincelle.

## 30.6 Problème : Le flash photo

**Problème 30.1.**

Problème du week-end — le flash photo : un sifflement de deux secondes, une milliseconde de gloire, et le cousin mural qui redémarre les cœurs — une seule exponentielle les fait tous tourner

Un flash compact (une [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) stocke de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) dans un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$, chargé à travers $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ depuis un [convertisseur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-transfer) modélisé comme une source idéale $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ ; le voyant « prêt » se déclenche à $95\%$ de la tension pleine. Déclenché, le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ne voit que le tube éclair, $R_f = 0.50\,\Omega$. Données : une pile AA livre $1.5\,\mathrm{V}$ et $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ ; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

**Partie I — Le réservoir.**

1. Calculer la charge sur le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) à $300\,\mathrm{V}$ .
2. Combien de [charges élémentaires](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-elementary) est-ce ?
3. Calculer l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée $E_C$ .
4. La pile AA tient $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , donc environ $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Combien de fois l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) du [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) est-ce ?
5. Alors pourquoi s’embêter avec le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ? Une phrase, en utilisant « [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) ».

**Partie II — L’attente du vert.**

6. Écrire la loi de maille et la transformer en équation différentielle pour $u(t)$ .
7. Vérifier par substitution que $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ la résout, partant de $u(0) = 0$ .
8. Calculer la [constante de temps](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ .
9. Au bout de quel temps le voyant prêt passe-t-il au vert, et à quelle tension ? Reconnaître le sifflement de deux secondes.
10. Calculer le courant de charge initial ; pourquoi meurt-il ensuite ?

**Partie III — La milliseconde de gloire.**

11. Écrire la loi de décharge $u(t)$ à travers le tube et calculer la nouvelle [constante de temps](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau'$ .
12. Calculer le courant de crête à travers le tube.
13. Calculer la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de crête ; la comparer à une bouilloire de $2.2\,\mathrm{kW}$ .
14. Prenant le flash pour terminé à $3\tau'$ , donner sa durée et sa [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) moyenne.
15. Former le rapport du temps de charge au temps de flash : même [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , même charge — qu’est-ce qui a changé, et qu’est-ce que cela fait d’un [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) : un réservoir d’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) , ou un levier de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) ?

**Partie IV — Le cousin sur le mur.** Un défibrillateur doit livrer $E_C = 200\,\mathrm{J}$ à $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ ; poitrine et palettes présentent environ $50\,\Omega$.

16. Calculer la [capacité](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) requise.
17. Calculer la charge stockée.
18. Calculer la [constante de temps](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) du choc et sa durée ( $3\tau$ ) ; comparer au flash.
19. Calculer le courant de crête et la [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de crête dans le patient.
20. Le circuit de recharge doit rendre l’appareil prêt ( $95\%$ ) en $6.0\,\mathrm{s}$ : trouver la [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) de charge requise et le courant de charge initial — les nombres qu’un concepteur commanderait.

**Solution de Problème 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$.

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$.

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$.

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ fois.

**5.** La pile stocke beaucoup mais livre lentement ; le [condensateur](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) transforme une [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) modeste en *[puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power)* énorme.

**6.** $\mathcal{E} = Ri + u$ avec $i = C\,du/dt$ : $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$.

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$ : $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ pour tout $t$, et $u(0) = 0$.

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$.

**9.** À $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$, $u = 0.95 \times 300 =
285\,\mathrm{V}$ — le sifflement de deux secondes.

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$ ; à mesure que $u$ grimpe, le reste $\mathcal{E} - u$ aux bornes de $R$ se rétrécit, donc $i = (\mathcal{E}-u)/R$ meurt.

**11.** $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ avec $\tau' = R_f C =
0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$.

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$.

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — environ $80$ bouilloires à la fois.

**14.** Durée $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$ ; [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) moyenne $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$.

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$. Seule la [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) a changé ($1.0\,\mathrm{k}\Omega$ en entrée, $0.50\,\Omega$ en sortie) : un levier de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power).

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$.

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$, durée $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — quelque vingt fois le flash.

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$ ; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$.

**20.** $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ donne $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$, donc $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ et $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — prêt en six secondes, sur un dixième d’[ampère](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-current).