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title: "Oscillations électriques libres : RLC"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/31-oscillations-electriques-libres-rlc
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# Chapitre 31 — Oscillations électriques libres : RLC

Tournez le gros cadran d’une radio de grenier et les stations défilent devant l’aiguille : une voix, des violons, du grésillement, une voix encore. Derrière le panneau il n’y a ni moteur ni ordinateur — une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) dont les plaques entrelacées le cadran fait tourner, et un bout de fil d’antenne. Ce chapitre relie tête-bêche les deux [réservoirs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-transfer) d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) du chapitre précédent ([Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#ch-g12-rc-rl-circuits)) et trouve le pendule le plus rapide jamais construit : de la charge qui bascule d’avant en arrière, jusqu’à des millions de fois par seconde, au tempo que le cadran choisit.

## 31.1 Un pendule électrique : le circuit LC

Chargez un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ à une tension $U_0$ — ses plaques tiennent alors $\pm Q_0$ avec $Q_0 = C U_0$ — et à $t = 0$ basculez-le sur une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *idéale* $L$, de [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) nulle. Aucune source nulle part dans la boucle : quoi qu’il arrive ensuite, le circuit le fait tout seul.

![Le circuit LC : un condensateur chargé à Q_0, un interrupteur, une bobine idéale. Fermer K laisse la charge se déverser à travers la bobine — et la bobine, qui déteste le changement, ne la laissera pas s’arrêter.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*Le [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) : un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) chargé à $Q_0$, un interrupteur, une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) idéale. Fermer $K$ laisse la charge se déverser à travers la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — et la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), qui déteste le changement, ne la laissera pas s’arrêter.*

**Proposition 31.1 (L’équation LC).**

Dans la boucle LC idéale la charge $q(t)$ de la plaque supérieure obéit à

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{c'est-à-dire}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**Démonstration.** Autour de la boucle les tensions se somment à zéro ([Proposition 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#prop-g11-circuits-and-power-laws)) : $u_L + u_C = 0$. Le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) donne $u_C = q/C$ et la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $u_L = L\,di/dt$ ([Définition 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)), avec $i = dq/dt$ comptant la charge arrivant sur la plaque supérieure ([Proposition 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)) ; substituer. ∎

**Théorème 31.2 (Oscillations libres du circuit LC).**

Lâché à $t = 0$ avec $q(0) = Q_0$ et $i(0) = 0$, le circuit oscille :

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

avec un courant de crête $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**Démonstration.** Vérifier par substitution. En dérivant, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — le $i(t)$ énoncé — et encore $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$, qui égale $-q/(LC)$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Et $q(0) = Q_0$, $i(0) = 0$. Qu’aucune *autre* fonction ne s’accorde à l’équation et au départ est admis, exactement comme pour le ressort ([Remarque 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**Définition 31.3 (Période et fréquence propres).**

La *période propre* d’un [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) est $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ ; sa *fréquence propre* est

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

Contrôle dimensionnel : $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ et $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, donc $LC$ porte $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ est un temps, comme il se doit.

**Exemple 31.4 (Premiers nombres).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ avec $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ : $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, donc $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ et $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — un ton audible. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ avec $C = 100\,\mathrm{pF}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — une [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) radio. Seul le *produit* $LC$ fixe le tempo.

**Remarque 31.5 (Un quart de période en décalage).**

Le courant est d’un quart de [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) en décalage de [phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-phase) avec la charge : $i = 0$ lorsque $q = \pm Q_0$ (plaques pleines, flux qui s’inverse) et $i = \pm I_0$ lorsque $q = 0$ (plaques vides, flux à pleine vitesse) — exactement le pendule, immobile aux extrêmes et le plus rapide en bas.

![Charge et courant du circuit LC libre : le courant culmine chaque fois que la charge traverse zéro, un quart de période en décalage.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*Charge et courant du [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) libre : le courant culmine chaque fois que la charge traverse zéro, un quart de [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) en décalage.*

## 31.2 La valse de l’énergie

**Proposition 31.6 (Conservation de l’énergie stockée).**

Dans le [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) idéal l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) totale stockée ([Proposition 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

est constante : entièrement dans le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) lorsque $q = \pm Q_0$, entièrement dans la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) lorsque $i = \pm I_0$.

**Démonstration.** Dériver : $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} +
Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ par la [Proposition 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). Sa valeur se lit à $t = 0$ (tout [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)), et encore à l’instant de tout-courant $q = 0$ — d’où $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$, retrouvant $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ par l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) seule. ∎

![Une période de la valse : l’énergie bascule des plaques à la bobine et retour deux fois par période, la somme fixée à Q_02/2C — la figure même de l’oscillateur masse–ressort, relabelisée.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-a0f70cee7cf4.svg)

*Une [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de la valse : l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) bascule des plaques à la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) et retour deux fois par [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), la somme fixée à $Q_0^2/2C$ — la figure même de l’[oscillateur masse–ressort](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period), relabelisée.*

**Exemple 31.7 (La valse, mesurée).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $U_0 = 10\,\mathrm{V}$, basculé sur $L = 10\,\mathrm{mH}$ : [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$, [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, et un courant de crête $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ atteint un quart de [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) après la fermeture de l’interrupteur.

## 31.3 Circuits réels : oscillations amorties

Toute [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) réelle est enroulée en fil résistif : la boucle honnête est un circuit *RLC* série, et la [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) taxe la valse.

**Définition 31.8 (Régimes pseudo-périodique et apériodique).**

Dans un circuit RLC série le résistor dissipe de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) par [effet Joule](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-joule) ([Chapitre 12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#ch-g11-circuits-and-power)) : les [oscillations libres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sont *[amorties](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-damping)*. Deux régimes, lus sur un [oscilloscope](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) :

- *[pseudo-périodique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-period)* (petit $R$ ) : le circuit oscille encore à l’intérieur d’une enveloppe qui se rétrécit, avec un temps de reprise — la *pseudo-période* — proche de $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ lorsque l’ [amortissement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-damping) est léger ;
- *apériodique* (grand $R$ ) : la charge rampe vers zéro sans jamais le dépasser — pas d’oscillation du tout.

Le miroir exact de l’[oscillateur mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) amorti ([Définition 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![Les deux destins d’un circuit RLC réel : oscillations mourant dans une enveloppe exponentielle (tireté), ou une rampe vers zéro sans oscillation. Faiblement amorti, la pseudo-période reste T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-c2bd4fb6634c.svg)

*Les deux destins d’un [circuit RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) réel : oscillations mourant dans une enveloppe exponentielle (tireté), ou une rampe vers zéro sans oscillation. Faiblement amorti, la [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) reste $\approx T_0$.*

**Remarque 31.9 (Entretenir les oscillations).**

Pour garder l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) vivante, alimenter le circuit exactement de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) que la [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) brûle, une fois par cycle et *[en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase)* avec le balancement : un amplificateur fait pour la boucle RLC ce que la [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) de l’échappement fait pour le pendule ([Chapitre 28](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#ch-g12-oscillators-and-time)). Toute montre à quartz et tout émetteur radio est un tel [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) entretenu, tournant à sa [fréquence propre](#def-g12-rlc-oscillations-period) $f_0$.

## 31.4 Le jumeau mécanique

**Proposition 31.10 (Le dictionnaire électrique–mécanique).**

L’équation LC est l’équation masse–ressort ([Proposition 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)) mot pour mot :

| [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | mobile masse–ressort |
| --- | --- | --- |
| [2pt] charge $q$ | $\longleftrightarrow$ | position $x$ |
| courant $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | vitesse $v = dx/dt$ |
| [inductance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | masse $m$ |
| inverse de la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [raideur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [frottement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

Même équation, mêmes solutions : tout résultat sur l’un ou l’autre [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) se traduit instantanément dans l’autre langue.

**Démonstration.** Comparer la [Proposition 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) avec $m\,d^2x/dt^2 = -kx$ : substituer $q \to x$, $L \to m$, $1/C \to k$ transforme l’une en l’autre, et $LC \to m/k$ transforme $2\pi\sqrt{LC}$ en $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**Exemple 31.11 (Accorder une radio).**

Une antenne envoie un murmure de *chaque* station dans une boucle LC, mais seule celle qui émet près de $f_0$ pousse [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase) et s’amplifie — la [résonance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([Définition 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). Le cadran fait tourner les plaques d’un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable : changer $C$ déplace $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, et l’aiguille tend à l’écouteur une station à la fois. Côté émission, un [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) entretenu ([Remarque 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) fixe la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) émise ; dans une montre, un cristal de quartz — un jumeau mécanique d’une [raideur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-spring) époustouflante — joue le même rôle.

## 31.5 Exercices

**Exercice 31.1 ★.**

Calculer $T_0$ et $f_0$ pour (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ ; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{pF}$. Par quel facteur les [fréquences](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) diffèrent-elles ?

**Solution de Exercice 31.1.**

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$ : $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — un facteur $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**Exercice 31.2 ★.**

En utilisant $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ et $1\,\mathrm{F} =
1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, montrer [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) par [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que $\sqrt{LC}$ est un temps. Pourquoi le $2\pi$ ne change-t-il rien ?

**Solution de Exercice 31.2.**

$LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$, donc $\sqrt{LC}$ est en secondes. $2\pi$ est un nombre pur — aucune dimension à changer.

**Exercice 31.3 ★.**

Un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) de $470\,\mathrm{nF}$ est chargé à $6.0\,\mathrm{V}$. Calculer $Q_0$ et l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée ; décrire, sans calcul, ce qui suit lorsqu’on le bascule sur une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) idéale.

**Solution de Exercice 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 =
\tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. La charge oscille à $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, le courant d’un quart de [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) en décalage de [phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-phase), l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) basculant entre plaques et [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), total constant.

**Exercice 31.4 ★.**

Un [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) suit $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ en microcoulombs, avec $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. Lire $Q_0$ ; calculer $f_0$, $q(T_0/2)$, $i(0)$, et le courant de crête $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**Solution de Exercice 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$ ; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$ ; $i(0) = 0$ (cosinus plat en $t=0$) ; $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx
3.1\,\mathrm{mA}$.

**Exercice 31.5 ★.**

À quels instants du cycle l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) est-elle entièrement dans le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ? Entièrement dans la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ? Quel est le pendant mécanique de chaque moment pour un pendule ?

**Solution de Exercice 31.5.**

Tout dans le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) lorsque $q = \pm Q_0$, $i = 0$ ($t = 0$, $T_0/2$, $T_0$, …) : les extrêmes du pendule. Tout dans la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) lorsque $q = 0$, $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$, $3T_0/4$, …) : le point le plus bas et le plus rapide du pendule.

**Exercice 31.6 ★★.**

Vérifier par substitution que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ satisfait $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ exactement lorsque $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Solution de Exercice 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$, donc $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ pour tout $t$ exactement lorsque $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, c’est-à-dire $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Exercice 31.7 ★★.**

Une station grandes [ondes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) émet à $198\,\mathrm{kHz}$. Avec $C = 220\,\mathrm{pF}$, quelle [inductance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) s’y accorde ?

**Solution de Exercice 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**Exercice 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ chargé à $10\,\mathrm{V}$ se décharge dans $L = 10\,\mathrm{mH}$. Calculer l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée, le courant de crête (par [conservation de l’énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation)), et l’instant où il est atteint pour la première fois.

**Solution de Exercice 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$ ; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ donne $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$, atteint pour la première fois à $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms}
\approx 0.16\,\mathrm{ms}$.

**Exercice 31.9 ★★.**

Expliquer pourquoi $E_C$ et $E_L$ oscillent à la [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$, pas $f_0$. Montrer qu’à $t = T_0/8$ (parti de $q = Q_0$) l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) est exactement partagée en deux.

**Solution de Exercice 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$, et $\cos^2$ se répète à chaque *demi*-tour : deux remplissages du [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) par [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), d’où $2f_0$. À $t = T_0/8$ la [phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-phase) est $\pi/4$ : $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$, donc $E_C = E_L = E/2$.

**Exercice 31.10 ★★.**

Sur un [oscillogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) d’un [circuit RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) faiblement amorti, les maxima successifs lisent $4.0\,\mathrm{V}$ puis $3.0\,\mathrm{V}$. En supposant le rapport constant, prédire le sixième maximum après celui de $4.0\,\mathrm{V}$. Quelle fraction de l’*[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)* survit à chaque [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) ? Que peut-on dire de la [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) elle-même ?

**Solution de Exercice 31.10.**

Rapport $3.0/4.0 = 0.75$ par [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) : sixième maximum $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. [Énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $\propto$ [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) au carré : $0.75^2 \approx 56\%$ survit à chaque [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). La [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) reste $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ : un [amortissement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-damping) léger rétrécit l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), à peine le tempo.

**Exercice 31.11 ★★.**

Un [circuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) a $L = 0.50\,\mathrm{H}$ et $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. Calculer $T_0$ ; puis, à l’aide du dictionnaire ([Proposition 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy)), trouver la [raideur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ donnant à un mobile de $0.50\,\mathrm{kg}$ la même [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), et vérifier.

**Solution de Exercice 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times
3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$. Dictionnaire : $k = m/(LC) =
0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ ; vérification $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — les mêmes $20\,\mathrm{ms}$.

**Exercice 31.12 ★★★.**

Un accord utilise $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ et un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable balayant $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$. Calculer les deux [fréquences](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) extrêmes. Montrer que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, donc un facteur dix en $C$ ne donne que $\sqrt{10} \approx 3.2$ en [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Solution de Exercice 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$ : $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$ ; $C = 50\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. À $L$ fixée, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ : $C$ multiplié par dix, seulement $\sqrt{10} \approx 3.2$ en $f_0$ — comme trouvé.

**Exercice 31.13 ★★★.**

Une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) réelle fait perdre au circuit $5.0\%$ de son [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) à chaque [pseudo-période](#def-g12-rlc-oscillations-regimes). Après combien de [périodes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) a-t-elle été divisée par deux ? Quelle est alors l’[amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), en fraction du départ ? À $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$, combien de temps cela fait-il en microsecondes ?

**Solution de Exercice 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$, donc environ $14$ [périodes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\propto \sqrt{E}$ : descend à $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ du départ. À $1.0\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : environ $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Exercice 31.14 ★★★.**

Un [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) de montre stocke $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ et en perd $2.0\%$ par cycle à $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. Quelle [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) moyenne le circuit d’entretien doit-il fournir ? Pourquoi la [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) doit-elle arriver [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase) avec l’oscillation ?

**Solution de Exercice 31.14.**

Perte par cycle $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$, à $32\,768$ cycles par seconde : $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11}
\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — moins d’un microwatt, des années sur une pile bouton. [En phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase), parce que seule une [poussée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) à la bonne [phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-phase) *ajoute* de l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ([résonance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-resonance)) ; hors [phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-phase) elle freinerait le balancement.

**Exercice 31.15 ★★★.**

Après chaque front d’un [signal](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-signal) carré, le câblage d’un expérimentateur « sonne » à $25\,\mathrm{MHz}$ ; l’[inductance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) parasite est d’environ $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. Estimer la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) parasite responsable. Dans quel régime un petit résistor série ajouté doit-il pousser le circuit, et pourquoi cela guérit-il le sonnement ?

**Solution de Exercice 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. Le résistor doit pousser la boucle dans le [régime apériodique](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) : la charge se fixe alors sans dépasser — pas d’oscillation, pas de sonnement.

## 31.6 Problème : Construire une radio à galène

**Problème 31.1.**

Problème du week-end — construire une radio à galène : une bobine, un condensateur variable, une diode et un écouteur — pas de pile, pas d’amplificateur, et les nouvelles du soir arrivent sur l’énergie de l’onde elle-même

Un kit du grenier d’un grand-parent : une [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ enroulée sur un tube de carton, un [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable dont les plaques tournent de $20\,\mathrm{pF}$ à $480\,\mathrm{pF}$, une diode à galène, un écouteur, et $20\,\mathrm{m}$ de fil d’antenne. Les stations à attraper émettent entre $530\,\mathrm{kHz}$ et $1700\,\mathrm{kHz}$.

**Partie I — La boucle d’accord.**

1. Le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , chargé, est laissé se décharger dans la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) : écrire la loi de maille et la transformer en équation différentielle pour $q(t)$ .
2. Vérifier par substitution que $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ la résout, pourvu que $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. Vérifier par analyse dimensionnelle que $\sqrt{LC}$ est un temps.
4. Cadran réglé à $C = 330\,\mathrm{pF}$ : calculer $T_0$ et $f_0$ . La boucle est-elle accordée dans la bande ?
5. Trouver la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) qui s’accorde exactement à $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

**Partie II — Le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variable.**

6. Calculer la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) nécessaire pour $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. Calculer la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) nécessaire pour $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. Calculer les deux [fréquences](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) que le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ du kit atteint réellement. Couvre-t-il toute la bande ?
9. Montrer que $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ à $L$ fixée ; par quel facteur $C$ doit-elle changer pour doubler $f_0$ ?
10. Les plaques s’ouvrent linéairement, donc $C$ chute régulièrement à mesure que le cadran tourne. Expliquer pourquoi les stations se serrent alors à une extrémité du cadran — et laquelle.

**Partie III — [Énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) et [amortissement](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-damping).** Accordé à $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$), l’antenne charge momentanément le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) à $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. Calculer la charge $Q_0$ et l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée $E$ .
12. Calculer le courant de crête $I_0$ , en utilisant la [conservation de l’énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. La [résistance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/12-circuits-electriques-et-puissance#def-g11-circuits-and-power-resistance) de la [bobine](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) dissipe $4.0\%$ de l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) stockée par cycle : après combien de cycles l’ [énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) a-t-elle été divisée par deux ?
14. Combien de temps cela fait-il en microsecondes ? Pourquoi ce « sonnement » seul ne peut-il pas jouer les nouvelles du soir ?
15. Expliquer pourquoi l’ [onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) qui arrive ne maintient le balancement de la boucle que lorsqu’elle est accordée sur cette station — et ce qui entretient l’oscillation à l’ *émetteur* ( [Remarque 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**Partie IV — Le jumeau mécanique.**

16. À l’aide du dictionnaire ( [Proposition 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) avec un mobile de masse $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , calculer la [raideur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ du ressort qui épouse le circuit accordé.
17. Un ressort de voiture raide a $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Commenter : un système masse–ressort de paillasse peut-il osciller à des mégahertz ?
18. Garder une $k$ raisonnable $100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ à la place : quelle masse oscille à $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
19. Quel objet réel est un tel [oscillateur mécanique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ultra-léger et ultra-raide, et où l’a-t-on rencontré plus tôt cette année ( [Chapitre 28](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#ch-g12-oscillators-and-time) ) ?
20. Fiche technique, une phrase : la bande que balaye votre radio, la [capacité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) qui choisit $1.00\,\mathrm{MHz}$ , combien dure un sonnement solitaire, et ce qui joue les nouvelles quand même.

**Solution de Problème 31.1.**

**1.** Loi de maille : $u_L + u_C = 0$, avec $u_C = q/C$, $u_L = L\,di/dt$, $i = dq/dt$ : $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$, donc l’équation se lit $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$, vrai pour tout $t$ exactement lorsque $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$ : $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ est un temps.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7}
\approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — dans $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** Même formule à $530\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** À $1700\,\mathrm{kHz}$ : $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$ ; $C = 20\,\mathrm{pF}$ : $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — toute la bande, avec de la marge aux deux extrémités.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$ ; doubler $f_0$ exige de diviser $C$ par $4$.

**10.** Puisque $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, des pas égaux de $C$ déplacent $f_0$ lentement aux grands $C$ et vite aux petits $C$ : un écart donné entre stations prend alors peu de course de cadran — elles se serrent à l’extrémité des hautes [fréquences](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (faible $C$).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$ ; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$ : $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$ : $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert
\approx 17$ cycles.

**14.** À $1.00\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$ : le sonnement est divisé par deux en environ $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. Un sonnement solitaire meurt en microsecondes ; la musique exige que la boucle soit alimentée en continu.

**15.** L’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) pousse des millions de fois par seconde ; seulement lorsque sa [fréquence](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) épouse $f_0$ les [poussées](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-inventory) arrivent [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase) et construisent le balancement — la [résonance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ; les stations désaccordées poussent aussi souvent contre qu’avec. À l’émetteur, un amplificateur renvoie l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) [dissipée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-dissipation) chaque cycle : un [oscillateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) entretenu.

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$ : $k = m/(LC) =
0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** Environ $10^8$ fois le ressort de voiture : aucun système masse–ressort de paillasse n’atteint les mégahertz — les [raideurs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-spring) et masses du quotidien sont désespérément lentes.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — quelques nanogrammes, une poussière.

**19.** Un cristal de quartz : un lambeau ultra-léger et ultra-raide chantant à sa [fréquence propre](#def-g12-rlc-oscillations-period) — le garde-temps rencontré plus tôt cette année.

**20.** Avec $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ et $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ la boucle balaie environ $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$, couvrant la bande ; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ choisit $1.00\,\mathrm{MHz}$ ; laissé seul le sonnement se divise par deux en $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$, mais l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) de la station, résonnant [en phase](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-phase), réalimente la boucle — les nouvelles jouent sur l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) de l’[onde](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/8-signaux-et-ondes#def-g10-signals-and-waves-wave) elle-même.