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title: "Décroissance radioactive"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 32
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/32-decroissance-radioactive
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# Chapitre 32 — Décroissance radioactive

Dans le sous-sol d’un musée, un compteur Geiger cliquette au-dessus d’un lambeau de bois d’un sarcophage de pharaon. Chaque clic est sans loi : rien ne l’annonçait, rien ne prédit le suivant. Pourtant vendredi le laboratoire imprimera une date bonne à un siècle près. Ce chapitre résout le paradoxe — comment des événements parfaitement aléatoires un par un s’additionnent, par milliers de milliards, pour devenir les horloges les plus régulières que l’on possède.

## 32.1 Sans loi un par un, mécaniques par la mole

L’an dernier ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#ch-g11-nucleus-radioactivity)) on a rencontré les noyaux instables, équilibré leurs équations $\alpha$ et $\beta$, et vu la moitié de tout grand échantillon disparaître par [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) $T_{1/2}$. Ce qu’on ne pouvait pas dire, c’est *quand entre les marches* — ni pourquoi un processus aléatoire tient un emploi du temps. Les deux questions n’ont qu’une réponse.

**Définition 32.1 (Constante de désintégration).**

Pour chaque [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) instable il existe une constante $\lambda$, sa *constante de désintégration* ([unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{s}^{-1}$), telle que pendant tout court intervalle $\dd t$ chaque [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) a la probabilité $p = \lambda\,\dd t$ de se désintégrer — la même pour tout [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de l’espèce, quel que soit son âge, et intouchée par la température, la [pression](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/7-pression-du-sport-a-la-plongee#def-g10-pressure-pressure) ou la chimie.

**Remarque 32.2 (Sans loi un à un, exact en foule).**

Un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) qui a attendu dix mille ans a exactement la même chance de se désintégrer cette seconde qu’un fabriqué ce matin : pas d’usure, pas d’avertissement — lequel part ensuite est vraiment imprévisible. Les foules sont une autre affaire. Lancez $100$ pièces : attendez $50$ faces, mais ne soyez pas surpris par $43$ — des fluctuations d’ordre $\sqrt n$, ici $10\%$. Lancez $10^{20}$ : la fluctuation relative $1/\sqrt n$ est $10^{-10}$, le résultat certain à dix décimales. Un gramme de matière tient quelque $10^{22}$ noyaux : le sans-loi se lisse en mécanique d’horloge, une loi exacte pour $N(t)$, le nombre de noyaux encore intacts à l’instant $t$.

![Deux vrais échantillons de 20 noyaux descendent en chancelant de façon imprévisible autour de la courbe attendue ; une mole de noyaux s’y collerait à dix décimales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-01607ddb512e.svg)

*Deux vrais échantillons de $20$ noyaux descendent en chancelant de façon imprévisible autour de la courbe attendue ; une mole de noyaux s’y collerait à dix décimales.*

## 32.2 La loi de décroissance

**Proposition 32.3 (L’équation d’évolution).**

Dans un grand échantillon de $N$ noyaux, pendant $\dd t$ le nombre change de

$$
\dd N = -\lambda N\,\dd t, \qquad\text{c'est-à-dire}\qquad \frac{\dd N}{\dd t} = -\lambda N :
$$

la population se rétrécit à un rythme proportionnel à elle-même.

**Démonstration.** Chacun des $N$ noyaux se désintègre pendant $\dd t$ avec la probabilité $\lambda\,\dd t$ : désintégrations attendues $N\lambda\,\dd t$, et pour $N$ grand le décompte réel s’accroche à l’attendu ([Remarque 32.2](#rem-g12-radioactive-decay-crowds)) ; chaque désintégration retire un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder). ∎

**Théorème 32.4 (Loi de décroissance radioactive).**

Un échantillon tenant $N_0$ noyaux à $t = 0$ en tient, à l’instant $t$,

$$
N(t) = N_0 \, e^{-\lambda t}.
$$

**Démonstration.** Vérifier par substitution : $\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)\,e^{-\lambda t} = -\lambda N(t)$, et $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ : équation et départ tous deux justes. (Qu’aucune *autre* fonction ne s’accorde est prouvé, avec des intégrales, dans le volume universitaire.) ∎

**Définition 32.5 (Décroissance exponentielle).**

Une quantité suivant $N_0\,e^{-\lambda t}$ subit une *décroissance exponentielle* : en des temps égaux, des *fractions* égales sont perdues. C’est exactement le [condensateur](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) qui se décharge du [Chapitre 30](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/30-circuits-rc-et-rl#ch-g12-rc-rl-circuits), avec $\lambda$ jouant $1/(RC)$ : une équation différentielle, apprise une fois, fait tourner circuits et noyaux pareillement.

**Proposition 32.6 (Demi-vie).**

La [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ([Définition 19.14](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)) d’un [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) est fixée par sa [constante de désintégration](#def-g12-radioactive-decay-lambda) : $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$, et après $n$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) $N = N_0/2^{\,n}$, $n$ entier ou non.

**Démonstration.** $N(T_{1/2}) = N_0/2$ exige $e^{-\lambda T_{1/2}} = \tfrac12$, c’est-à-dire $\lambda T_{1/2} = \ln 2$ ; et $N(n\,T_{1/2}) = N_0\,e^{-n\ln 2} = N_0/2^{\,n}$ pour tout $n$ : l’exponentielle enfile l’escalier et remplit entre les marches. ∎

![N(t) = N_0\,e- t passe par chaque marche de l’escalier — et dit maintenant ce qui se passe entre-temps.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-a5ae424d8d8d.svg)

*$N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ passe par chaque marche de l’escalier — et dit maintenant ce qui se passe entre-temps.*

**Exemple 32.7 (Vingt puissances de dix).**

Avec $1$ an $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ :

| [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) | $T_{1/2}$ | $\lambda$ ($\mathrm{s}^{-1}$) |  |
| --- | --- | --- | --- |
| polonium-214 | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | $4.2 \times 10^{3}$ | maillon de la chaîne de l’uranium |
| technétium-99m | $6.0$ heures | $3.2 \times 10^{-5}$ | imagerie médicale |
| iode-131 | $8.0$ jours | $1.0 \times 10^{-6}$ | médecine thyroïdienne |
| césium-137 | $30$ ans | $7.3 \times 10^{-10}$ | retombées de réacteur |
| carbone-14 | $5730$ ans | $3.8 \times 10^{-12}$ | archéologie |
| potassium-40 | $1.25 \times 10^{9}$ ans | $1.8 \times 10^{-17}$ | datation des roches |
| uranium-238 | $4.5 \times 10^{9}$ ans | $4.9 \times 10^{-18}$ | chaleur intérieure de la Terre |

Une loi, vingt [puissances](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de dix de $\lambda$.

## 32.3 Activité : compter les clics

**Proposition 32.8 (Activité).**

L’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) d’un échantillon — ses désintégrations par seconde, en [becquerels](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) ([Définition 19.18](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity)) — est

$$
\mathcal A = \lambda N, \qquad\text{donc}\qquad \mathcal A(t) = \mathcal A_0 \, e^{-\lambda t}:
$$

proportionnelle à la population survivante, et également exponentielle.

**Démonstration.** $N$ noyaux, chacun avec la probabilité $\lambda$ par seconde : $\lambda N$ désintégrations par seconde ; multiplier le [Théorème 32.4](#thm-g12-radioactive-decay-law) par $\lambda$ donne $\mathcal A(t) = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$. ∎

**Exemple 32.9 (Énorme NNN, minuscule λ\lambdaλ).**

Une banane tic-tac à environ $15\,\mathrm{Bq}$, un corps humain à environ $8000\,\mathrm{Bq}$, un [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cube de granite à quelque $10^{6}\,\mathrm{Bq}$ ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#ch-g11-nucleus-radioactivity)). Derrière les clics modestes se tiennent des populations astronomiques : le potassium-40 du corps contribue $\mathcal A \approx 4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ avec $\lambda = 1.8 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ : $N = \mathcal A/\lambda \approx
2.5 \times 10^{20}$ noyaux, dont à peine quelques milliers s’allument chaque seconde.

**Méthode 32.10 (Mesurer une demi-vie).**

1. Compter les désintégrations avec un compteur Geiger sur des intervalles égaux successifs : cela échantillonne $\mathcal A$ à des instants successifs.
2. Tracer $\ln \mathcal A$ en fonction de $t$ : puisque $\ln \mathcal A = \ln \mathcal A_0 - \lambda t$ , la [décroissance exponentielle](#def-g12-radioactive-decay-exponential) se montre comme une *droite* — des données tordues signifient une autre loi, ou un mélange de [nucléides](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) .
3. Lire $\lambda$ comme moins la pente ; $T_{1/2} = \ln 2/\lambda$ .

![Comptes Geiger d’un nucléide de courte vie : en axes semi-logarithmiques l’exponentielle devient une droite ; ici la pente donne 9.6 × 10-3\, s-1, donc T_1/2 72\, s.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-742a3772cf98.svg)

*Comptes Geiger d’un [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) de courte vie : en axes semi-logarithmiques l’exponentielle devient une droite ; ici la pente donne $\lambda \approx 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$, donc $T_{1/2} \approx 72\,\mathrm{s}$.*

**Remarque 32.11 (Les becquerels ne sont pas le mal).**

Le [becquerel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) compte les désintégrations, pas les dégâts. Le mal se suit par la [dose](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) en [sieverts](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#ch-g11-nucleus-radioactivity)), pesant l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) déposée par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tissu selon le pouvoir destructeur de chaque rayonnement : un scan au technétium de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$ est courant, bien moins de [becquerels](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) d’émetteur $\alpha$ inhalé ne le sont pas ; convertir $\mathrm{Bq}$ en $\mathrm{Sv}$ est matière universitaire.

## 32.4 Datation : lire le temps sur un rapport

La loi de décroissance à l’envers est une horloge : mesurer la fraction survivante, et l’exponentielle nomme le temps écoulé.

**Méthode 32.12 (Datation au radiocarbone).**

1. *Vivant :* le tissu vivant échange du carbone avec l’atmosphère et porte sa proportion de carbone-14 — un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sur $10^{12}$ , donnant $\mathcal A_0 = 13.6$ désintégrations par minute et par gramme de carbone.
2. *La mort démarre l’horloge :* l’apport s’arrête, et la proportion décroît avec $T_{1/2} = 5730$ ans.
3. Mesurer l’ [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $\mathcal A$ de l’échantillon par gramme de carbone ; $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ s’inverse en $t = \frac{1}{\lambda}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)  = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Exemple 32.13 (Un foyer dans une grotte).**

Du charbon d’un foyer enfoui donne $5.0$ désintégrations par minute et par gramme : $\mathcal A_0/\mathcal A = 13.6/5.0 = 2.72$, donc $t = 5730 \times \ln(2.72)/\ln 2 \approx 8.3 \times 10^{3}$ ans. Le feu s’est éteint il y a huit mille ans — le bois lui-même est l’archive.

![La courbe de datation : entrer au rapport mesuré, lire vers le bas jusqu’à l’âge. Le point est le foyer de l’ : rapport 0.37, âge 8.3 × 103 ans.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-radioactive-decay/fig-06c70dae87b2.svg)

*La courbe de datation : entrer au rapport mesuré, lire vers le bas jusqu’à l’âge. Le point est le foyer de l’[Exemple 32.13](#ex-g12-radioactive-decay-hearth) : rapport $0.37$, âge $8.3 \times 10^{3}$ ans.*

**Exemple 32.14 (Horloges pour les roches).**

Le carbone-14 se tait au-delà de quelque $50\,000$ ans ; la géologie garde des horloges plus lentes. *Potassium–argon* : le potassium-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ ans) se désintègre en argon, un gaz qui sort de la lave en fusion mais reste piégé une fois la roche cristallisée — la solidification met l’horloge à zéro. *Uranium–plomb* : l’uranium-238 mène une chaîne de désintégrations se terminant au plomb-206 stable ([Chapitre 19](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#ch-g11-nucleus-radioactivity)), et le rapport plomb-sur-uranium dans un cristal le date. Les deux horloges s’accordent sur les minéraux les plus anciens ($\approx 4.4 \times 10^{9}$ ans) et, via les météorites, sur l’âge du Système solaire.

**Remarque 32.15 (Chaînes, et le gaz dans la cave).**

Entre l’uranium et le plomb la chaîne passe par le radium, puis le radon-222, un *gaz* radioactif ($T_{1/2} = 3.8$ jours). Né dans le granite et le sol, il s’infiltre dans les caves et s’y accumule ; ses filles émettrices $\alpha$ se désintègrent dans les poumons — la plus grande [dose](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) naturelle de la plupart des gens, et la moins chère à réduire : ouvrir la fenêtre de la cave.

## 32.5 Exercices

**Exercice 32.1 ★.**

L’iode-131 a $\lambda = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$. Calculer sa [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) en secondes, puis en jours.

**Solution de Exercice 32.1.**

$T_{1/2} = \ln 2/\lambda = 0.693/1.0 \times 10^{-6} = 6.9 \times 10^{5}\,\mathrm{s}
\approx 8.0$ jours — l’horloge de l’iode-131.

**Exercice 32.2 ★.**

Le radon-222 a $T_{1/2} = 3.8$ jours. Calculer $\lambda$ en $\mathrm{s}^{-1}$, puis l’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) d’un échantillon de $1.0 \times 10^{10}$ noyaux.

**Solution de Exercice 32.2.**

$T_{1/2} = 3.8 \times 86\,400 = 3.28 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$ ; $\lambda = 0.693/3.28 \times 10^{5} = 2.1 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N = 2.1 \times 10^{-6} \times 1.0 \times 10^{10} \approx
2.1 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$.

**Exercice 32.3 ★.**

Vérifier par substitution que $N(t) = N_0\,e^{-\lambda t}$ satisfait $\dd N/\dd t = -\lambda N$ et $N(0) = N_0$ ; puis calculer $N(T_{1/2})/N_0$.

**Solution de Exercice 32.3.**

$\dd N/\dd t = N_0(-\lambda)e^{-\lambda t} = -\lambda N$ — l’équation tient ; $N(0) = N_0 e^0 = N_0$ ; $N(T_{1/2})/N_0 = e^{-\lambda \ln 2/\lambda} = e^{-\ln 2} =
\tfrac12$.

**Exercice 32.4 ★.**

Une source de césium-137 ($T_{1/2} = 30$ ans) a une [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de $4.0 \times 10^{5}\,\mathrm{Bq}$ aujourd’hui. Calculer son [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dans $90$ ans, puis dans $300$ ans.

**Solution de Exercice 32.4.**

$90$ ans $= 3\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/2^3 =
5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{Bq}$. $300$ ans $= 10\,T_{1/2}$ : $\mathcal A = 4.0 \times 10^{5}/1024 \approx 3.9 \times 10^{2}\,\mathrm{Bq}$.

**Exercice 32.5 ★.**

Un tracé semi-logarithmique de $\ln \mathcal A$ en fonction de $t$ pour un échantillon de technétium est une droite passant par $(0, 20.00)$ et $(10\,\mathrm{hours}, 18.85)$. Trouver $\lambda$ (en $\mathrm{h}^{-1}$ et $\mathrm{s}^{-1}$) et $T_{1/2}$.

**Solution de Exercice 32.5.**

Pente $= (18.85 - 20.00)/10 = -0.115$, donc $\lambda = 0.115\,\mathrm{h}^{-1} = 0.115/3600 = 3.2 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/0.115 = 6.0$ heures — technétium-99m.

**Exercice 32.6 ★★.**

Un gramme de radium-226 ($T_{1/2} = 1600$ ans ; masse molaire $226\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$) : calculer le nombre de noyaux, puis $\lambda$, puis l’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) — la première [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) d’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de l’histoire, le curie.

**Solution de Exercice 32.6.**

$N = (1.0/226) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.7 \times 10^{21}$ ; $T_{1/2} = 1600 \times 3.156 \times 10^{7} = 5.05 \times 10^{10}\,\mathrm{s}$, donc $\lambda = 1.37 \times 10^{-11}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx 3.7 \times 10^{10}\,\mathrm{Bq}$ — un curie, l’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) du gramme de radium de Marie Curie.

**Exercice 32.7 ★★.**

Deux élèves scellent des échantillons de $20$ et $2.0 \times 10^{20}$ noyaux d’un même [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation). Que chacun attend-il après une [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ? La prédiction de qui est fiable ? (Estimer la fluctuation relative $1/\sqrt n$ pour chacun.)

**Solution de Exercice 32.7.**

Tous deux attendent la moitié restante : $10$, et $1.0 \times 10^{20}$. Fluctuations $\sim 1/\sqrt{n}$ du décompte : avec $10$ désintégrations, environ $30\%$ — $7$ ou $13$ ne surprendraient pas ; avec $1.0 \times 10^{20}$, environ $10^{-10}$. Seul le grand échantillon obéit à la loi à une précision mesurable.

**Exercice 32.8 ★★.**

Un corps tient environ $140\,\mathrm{g}$ de potassium, dont $0.012\%$ est du potassium-40 ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ ans, masse molaire $40\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$). Calculer le nombre de noyaux de potassium-40, puis leur [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) ; comparer au total corporel de $8000\,\mathrm{Bq}$.

**Solution de Exercice 32.8.**

$m = 140 \times 1.2 \times 10^{-4} = 1.7 \times 10^{-2}\,\mathrm{g}$ ; $N = (0.0168/40) \times 6.02 \times 10^{23} = 2.5 \times 10^{20}$. $\lambda = 0.693/(1.25 \times 10^{9} \times 3.156 \times 10^{7}) =
1.76 \times 10^{-17}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $\mathcal A = \lambda N \approx
4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{Bq}$ — environ la moitié du total corporel (le reste est surtout du carbone-14).

**Exercice 32.9 ★★.**

Un patient reçoit $500\,\mathrm{MBq}$ de technétium-99m ($T_{1/2} = 6.0$ heures). Calculer l’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $15$ heures plus tard, puis le temps pour qu’elle tombe sous $1\,\mathrm{MBq}$.

**Solution de Exercice 32.9.**

$\lambda = 0.693/6.0 = 0.116\,\mathrm{h}^{-1}$. À $15$ heures : $\mathcal A = 500\,e^{-0.116 \times 15} = 500 \times 0.177 \approx
88\,\mathrm{MBq}$. Sous $1\,\mathrm{MBq}$ : $t = \ln(500)/0.116 \approx 54\,\mathrm{hours}$ — environ $9$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife).

**Exercice 32.10 ★★.**

Du charbon d’une fosse montre $3.4$ désintégrations par minute et par gramme de carbone ; un os d’une autre en montre $30\%$ du taux vivant ($\mathcal A_0 = 13.6$ par minute et par gramme, $T_{1/2} = 5730$ ans). Dater les deux échantillons.

**Solution de Exercice 32.10.**

Charbon : $3.4/13.6 = \tfrac14$, exactement $2$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : $t = 1.15 \times 10^{4}$ ans. Os : $t = 5730 \times \ln(1/0.30)/\ln 2 = 5730 \times 1.74
\approx 1.0 \times 10^{4}$ ans.

**Exercice 32.11 ★★.**

Une cave est scellée avec un lot de radon-222 à l’intérieur ($T_{1/2} = 3.8$ jours). Au bout de combien de temps l’[activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) du lot est-elle tombée à $1\%$ ? Les vraies caves restent radioactives pendant des décennies : d’où vient le radon frais, et pourquoi la ventilation doit-elle être permanente plutôt qu’une seule fois ?

**Solution de Exercice 32.11.**

$\lambda = 0.693/3.8 = 0.182\,\mathrm{d}^{-1}$ ; $t = \ln(100)/\lambda = 4.61/0.182 \approx 25$ jours (environ $6.6$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)). Mais la chaîne de l’uranium dans le granite et le sol environnants engendre du radon en continu : une aération unique est annulée en quelques semaines, donc la ventilation doit être permanente.

**Exercice 32.12 ★★★.**

Montrer à partir de $N = N_0 e^{-\lambda t}$ que $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Un os retient $5.0\%$ de son carbone-14 vivant : le dater.

**Solution de Exercice 32.12.**

$N/N_0 = e^{-\lambda t}$ donne $\lambda t = \ln(N_0/N)$, et $\lambda = \ln 2/T_{1/2}$ donne $t = T_{1/2}\ln(N_0/N)/\ln 2$. Ici $t = 5730 \times \ln(20)/\ln 2 = 5730 \times 4.32
\approx 2.5 \times 10^{4}$ ans.

**Exercice 32.13 ★★★.**

Dans un cristal qui n’a piégé aucun argon à la solidification, chaque [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potassium-40 désintégré laisse un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’argon en place. Montrer que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ ; une roche montre un rapport de $3.0$ : trouver son âge ($T_{1/2} = 1.25 \times 10^{9}$ ans).

**Solution de Exercice 32.13.**

$N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$ et $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, donc $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$. Rapport $3.0$ : $e^{\lambda t} = 4$, donc $\lambda t = 2\ln 2$ et $t = 2\,T_{1/2} = 2.5 \times 10^{9}$ ans.

**Exercice 32.14 ★★★.**

Un compteur Geiger donne, à $t = 0$, $60$, $120$, $180$, $240$ secondes, des taux de $400$, $225$, $127$, $71$, $40$ comptes par seconde. Calculer $\ln \mathcal A$ à chaque instant, vérifier l’alignement, et déduire $\lambda$ et $T_{1/2}$.

**Solution de Exercice 32.14.**

$\ln \mathcal A = 5.99$, $5.42$, $4.84$, $4.26$, $3.69$ : chutes de $0.57$–$0.58$ par $60\,\mathrm{s}$ — alignés. Pente : $\lambda = 2.30/240 = 9.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}^{-1}$ ; $T_{1/2} = 0.693/9.6 \times 10^{-3} \approx 72\,\mathrm{s}$.

**Exercice 32.15 ★★★.**

Pour un seul [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder), la probabilité de survivre à $n$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) est $1/2^{\,n}$. Calculer la probabilité que (a) un [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) donné survive à $10$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ; (b) tous les $8$ noyaux observés survivent à une [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). (c) Sur $1000$ noyaux, combien sont attendus après $3$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) — et la loi peut-elle dire *lesquels* ? Conclure sur ce que la loi prédit.

**Solution de Exercice 32.15.**

(a) $2^{-10} \approx 1 \times 10^{-3}$. (b) $(1/2)^8 = 1/256 \approx
0.4\%$. (c) $1000/8 = 125$ attendus — mais la loi se tait sur lesquels : elle prédit les populations exactement et les individus pas du tout.

## 32.6 Problème : L’âge des choses

**Problème 32.1.**

Problème du week-end — l’âge des choses : un laboratoire de musée calibre l’horloge au carbone, date une statue et un papyrus, apprend pourquoi aucune horloge ne lit au-delà de son cadran, et repousse une roche volcanique d’un milliard d’années

Une semaine dans un laboratoire de datation de musée. Données : le tissu vivant montre $\mathcal A_0 = 13.6$ désintégrations de carbone-14 par minute et par gramme de carbone ; $T_{1/2} = 5730$ ans (carbone-14), $1.25 \times 10^{9}$ ans (potassium-40) ; $1$ an $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ ; $N_A = 6.02 \times 10^{23}\,\mathrm{mol}^{-1}$ ; masse molaire du carbone $12\,\mathrm{g}/\mathrm{mol}$ ; les compteurs résolvent environ $0.2$ désintégration par minute et par gramme.

**Partie I — Lundi : calibrer l’horloge.**

1. Pourquoi la proportion de carbone-14 est-elle constante dans le tissu vivant, et qu’est-ce qui change à la mort ?
2. Calculer $\lambda$ pour le carbone-14 en $\mathrm{s}^{-1}$ .
3. Vérifier par substitution que $N_0 e^{-\lambda t}$ résout $\dd N/\dd t = -\lambda N$ .
4. À partir de $\mathcal A_0$ , calculer le nombre d’ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbone-14 par gramme de carbone dans le tissu vivant.
5. Combien d’ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbone un gramme en tient-il ? En déduire la proportion de carbone-14 — comparer avec « un sur $10^{12}$ ».
6. Montrer qu’une [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $\mathcal A$ mesurée date un échantillon comme $t = T_{1/2}\,\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$ .

**Partie II — Mardi : la statue et le papyrus.**

7. Une statue de bois donne $9.1$ désintégrations par minute et par gramme. Dater le bois.
8. Quel événement, exactement, cette date marque-t-elle — la sculpture ou autre chose ? Quelle prudence s’ensuit ?
9. Un papyrus égyptien donne $10.4$ désintégrations par minute et par gramme. Le dater. Un scribe d’il y a vingt-deux siècles est-il plausible ?
10. L’ [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) est mesurée à $\pm 0.2$ désintégration par minute. Estimer l’incertitude d’âge du papyrus, en utilisant $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda \mathcal A)$ .
11. Un parchemin « antique » d’un marchand donne $13.4$ désintégrations par minute et par gramme. Verdict ?

**Partie III — Jeudi : les limites de l’horloge.**

12. Après combien de [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) l’ [activité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) d’un échantillon tombe-t-elle sous les $0.2$ désintégrations par minute et par gramme des compteurs ? Quel âge est-ce ?
13. Les meilleurs laboratoires atteignent environ dix [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) . Quel est l’horizon pratique de la datation au radiocarbone, en années ?
14. Un os de dinosaure a environ $6.6 \times 10^{7}$ ans : combien de [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) de carbone-14 ? À l’aide de la question 4, après combien de [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ne reste-t-il même pas *un* [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) du carbone-14 du gramme ? Conclure sur le « datage au carbone des dinosaures ».
15. Quel genre de [nucléide](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) pourrait dater la roche du dinosaure à la place ?

**Partie IV — Vendredi : la roche volcanique.**

16. L’argon est un gaz, le potassium un résident fidèle du solide : expliquer pourquoi la solidification de la lave met l’horloge potassium–argon à zéro.
17. En supposant que chaque [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de potassium-40 désintégré laisse un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’argon piégé, montrer que $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$ .
18. La roche sous le fossile du musée montre $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = 0.60$ . Dater la roche.
19. Le carbone-14 aurait-il pu dater cette roche, ou le potassium–argon la statue ? Donner la fenêtre utile de chaque horloge en [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) .
20. Rapport du vendredi, une phrase : les trois âges trouvés cette semaine, et la seule loi qui les a tous lus.

**Solution de Problème 32.1.**

**1.** L’échange avec l’atmosphère (manger, respirer) maintient la proportion au niveau atmosphérique ; la mort arrête l’apport et la décroissance prend le relais.

**2.** $T_{1/2} = 5730 \times 3.156 \times 10^{7} =
1.81 \times 10^{11}\,\mathrm{s}$, donc $\lambda = 0.693/1.81 \times 10^{11} =
3.8 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}^{-1}$.

**3.** $\dd N/\dd t = -\lambda N_0 e^{-\lambda t} = -\lambda N$, et $N(0) = N_0$.

**4.** $\mathcal A_0 = 13.6/60 = 0.227\,\mathrm{Bq}$ par gramme ; $N = \mathcal A_0/\lambda = 0.227/3.8 \times 10^{-12} \approx 5.9 \times 10^{10}$ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) par gramme.

**5.** $(1/12) \times 6.02 \times 10^{23} = 5.0 \times 10^{22}$ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbone ; proportion $5.9 \times 10^{10}/5.0 \times 10^{22} \approx 1.2 \times 10^{-12}$ — un sur $10^{12}$, comme promis.

**6.** $\mathcal A = \mathcal A_0 e^{-\lambda t}$ donne $\lambda t = \ln(\mathcal A_0/\mathcal A)$, et $\lambda =
\ln 2/T_{1/2}$ le transforme en $t = T_{1/2}\ln(\mathcal A_0/\mathcal A)/\ln 2$.

**7.** $t = 5730 \times \ln(13.6/9.1)/\ln 2 =
5730 \times 0.580 \approx 3.3 \times 10^{3}$ ans.

**8.** La mort du bois — l’abattage de l’arbre, pas la sculpture ; une statue taillée dans du vieux bois (ou un faux taillé dans du bois antique) précède ou suit la date de son matériau.

**9.** $t = 5730 \times \ln(13.6/10.4)/\ln 2 =
5730 \times 0.387 \approx 2.2 \times 10^{3}$ ans — tout à fait cohérent avec un scribe d’il y a vingt-deux siècles.

**10.** $\Delta t \approx \Delta\mathcal A/(\lambda\mathcal A)$ avec $\lambda = \ln 2/5730 = 1.21 \times 10^{-4}$ par an : $\Delta t = (0.2/10.4)/1.21 \times 10^{-4} \approx 1.6 \times 10^{2}$ ans — une date bonne à un siècle ou deux près.

**11.** $t = 5730 \times \ln(13.6/13.4)/\ln 2 \approx
120$ ans — indiscernable du moderne dans l’incertitude de $\pm 160$ ans : le parchemin est récent, l’« antique » un faux.

**12.** $13.6/2^n < 0.2$ exige $2^n > 68$ : $n = 7$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) (puisque $2^7 = 128$), environ $4.0 \times 10^{4}$ ans.

**13.** Dix [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) : environ $5.7 \times 10^{4}$ ans — l’horizon pratique, quelque soixante mille ans.

**14.** $6.6 \times 10^{7}/5730 \approx 11\,500$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). Les $5.9 \times 10^{10}$ [atomes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) d’un gramme sont épuisés après $2^n > 5.9 \times 10^{10}$, soit $n \approx 36$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ($\approx 2 \times 10^{5}$ ans) : bien avant l’âge des dinosaures, il ne reste pas un [atome](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbone-14 — il n’y a rien à compter.

**15.** Une horloge bien plus lente : potassium-40 ou uranium-238, avec des [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) de milliards d’années.

**16.** La lave en fusion laisse l’argon s’échapper en bulles, donc le cristal fraîchement solidifié tient du potassium mais zéro argon : le rapport part de $0$ à la solidification — l’horloge est mise à zéro.

**17.** Comme dans l’exercice : $N_{\mathrm K} = N_0 e^{-\lambda t}$, $N_{\mathrm{Ar}} = N_0 - N_{\mathrm K}$, donc $N_{\mathrm{Ar}}/N_{\mathrm K} = e^{\lambda t} - 1$.

**18.** $e^{\lambda t} = 1.60$ : $t = 1.25 \times 10^{9} \times \ln(1.60)/\ln 2 = 1.25 \times 10^{9} \times 0.678
\approx 8.5 \times 10^{8}$ ans.

**19.** Non, deux fois : à $8.5 \times 10^{8}$ ans le carbone-14 a couru $10^5$ [demi-vies](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) — silence ; à $3.3 \times 10^{3}$ ans le potassium-40 a couru $2.6 \times 10^{-6}$ d’une [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) — le rapport d’argon $\approx \lambda t \sim 2 \times 10^{-6}$ est immesurablement petit. Chaque horloge ne lit que d’environ un dixième de [demi-vie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/19-le-noyau-et-la-radioactivite#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) à environ dix.

**20.** Statue $\approx 3.3 \times 10^{3}$ ans, papyrus $\approx 2.2 \times 10^{3}$ ans, roche $\approx 8.5 \times 10^{8}$ ans — trois horloges, une loi : $N = N_0\,e^{-\lambda t}$, lue à l’envers.