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title: "Relativité restreinte : dilatation du temps"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 35
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/35-relativite-restreinte-dilatation-du-temps
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# Chapitre 35 — Relativité restreinte : dilatation du temps

Chaque [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS porte une horloge atomique bonne à une seconde en trois millions d’années — et avant le lancement, les ingénieurs la désaccordent exprès : laissée honnête, elle gagnerait $38$ millionièmes de seconde par jour, et demain soir votre téléphone vous placerait à onze kilomètres de là où vous êtes. L’horloge n’est pas en faute — le temps lui-même tic-tac différemment pour le mobile et l’immobile : ce chapitre suit Einstein d’un fait obstiné à cette conclusion.

## 35.1 Une vitesse refuse de s’ajouter

Les vitesses dépendent du [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) et se composent par addition ([Chapitre 5](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#ch-g10-relative-motion)) : un passager marchant à $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ vers l’avant d’un train à $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ passe l’observateur au bord de la voie à $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Définition 35.1 (Référentiel galiléen).**

Un *référentiel galiléen* est un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) ([Chapitre 5](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#ch-g10-relative-motion)) dans lequel un corps sans [force](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#def-g10-inertia-force) garde une vitesse constante : le sol, à peu près, et tout [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) en [mouvement rectiligne uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#def-g12-kinematics-2d-uniform) par rapport à lui.

Pousser la règle à l’extrême : le faisceau de phare du train devrait passer l’observateur au sol à $c + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. En 1887 Michelson et Morley ont comparé la vitesse de la lumière le long et en travers de la course orbitale de $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ de la Terre, chassant de telles différences ; à une précision exquise ils n’en ont trouvé aucune — le même $c$ dans chaque direction, en chaque saison. Einstein, en 1905, a cru l’expérience et reconstruit le temps et l’espace autour d’elle, sur deux postulats jugés par leurs conséquences — testés depuis un siècle sans un seul échec.

**Théorème 35.2 (Les postulats de la relativité restreinte).**

1. *Principe de relativité* : les lois de la physique prennent la même forme dans tout [référentiel galiléen](#def-g12-special-relativity-inertial) ; aucun n’est « vraiment au repos ».
2. *Invariance de $c$* : la lumière dans le vide voyage à $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dans tout [référentiel galiléen](#def-g12-special-relativity-inertial) , quel que soit le mouvement de la source ou de l’observateur.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

## 35.2 Adieu au « même instant »

**Proposition 35.3 (Relativité de la simultanéité).**

Deux [événements](#def-g12-special-relativity-proper-time) simultanés dans un [référentiel galiléen](#def-g12-special-relativity-inertial) ne le sont, en général, pas dans un autre : « maintenant, partout » dépend du [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame).

**Démonstration.** Le train d’Einstein. Deux éclairs frappent les deux extrémités d’un train en mouvement, scorchant la voie. L’observateur du quai $M$, à mi-chemin entre les marques, reçoit les deux éclairs ensemble ; chacun a traversé la même distance à la même vitesse $c$, donc les frappes étaient simultanées. Le passager $M'$, à mi-chemin le long du train, roule *vers* l’éclair avant, qui l’atteint le premier ; mais dans son [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) aussi les deux éclairs ont couvert des distances égales (la moitié d’un train) à la même vitesse $c$ — deuxième postulat ! — donc la frappe avant s’est produite la première. Chaque verdict est correct dans son propre [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) ; le désaccord, des nanosecondes pour un train, est pourquoi personne ne l’avait remarqué. ∎

![Le train d’Einstein : les éclairs de A et B atteignent M ensemble ; M' roule vers l’éclair de B, le rencontre le premier — et conclut qu’il a frappé le premier.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-f6d4aa5bf897.svg)

*Le train d’Einstein : les éclairs de $A$ et $B$ atteignent $M$ ensemble ; $M'$ roule vers l’éclair de $B$, le rencontre le premier — et conclut qu’il a frappé le premier.*

## 35.3 L’horloge à lumière et le facteur $\gamma$

**Définition 35.4 (Événement, temps propre).**

Un *événement* est une occurrence en un lieu et un instant — un tic, un éclair, une désintégration. Lorsqu’une seule horloge est présente à deux événements, l’intervalle qu’elle lit entre eux est le *temps propre* $\Delta t_0$. Un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) dans lequel cette horloge se déplace mesure un intervalle $\Delta t$ en général différent.

**Théorème 35.5 (Dilatation du temps).**

Une horloge se déplaçant à vitesse constante $v$ à travers un [référentiel galiléen](#def-g12-special-relativity-inertial) y est mesurée comme retardant : entre deux [événements](#def-g12-special-relativity-proper-time) à l’horloge,

$$
\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .
$$

**Démonstration.** Construire l’horloge la plus simple imaginable : deux miroirs en regard à une distance $L$, un [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) rebondissant entre eux ; un aller-retour est un tic, et au repos un tic dure $\Delta t_0 = 2L/c$. Maintenant boulonner l’horloge à un vaisseau traversant à la vitesse $v$, miroirs perpendiculaires au mouvement, et chronométrer un tic depuis le sol : pendant que le [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) grimpe, les miroirs glissent de côté, donc le [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) vole un chemin oblique — deux mouvements à la fois, comme le [projectile](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-projectile) du [Chapitre 24](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/24-cinematique-a-deux-dimensions#ch-g12-kinematics-2d). Si le tic dure $\Delta t$, chaque demi-tic avance de $v\,\Delta t/2$ horizontalement et de $L$ verticalement ; et — l’étape cruciale — le deuxième postulat fixe la vitesse au sol du [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) à $c$, donc le demi-chemin oblique mesure $c\,\Delta t/2$. Pythagore :

$$
\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2}
\;\Longrightarrow\;
\Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .
$$

Et toute horloge qui voyage à côté — montre, battement de cœur, [noyau](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-ladder) qui se désintègre — doit rester en pas, ou la comparaison trahirait le mouvement du vaisseau et violerait le premier postulat. ∎

![L’horloge à lumière. Au repos le photon grimpe L ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même c — donc le tic doit prendre plus longtemps.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-7fae1270a669.svg)

![L’horloge à lumière. Au repos le photon grimpe L ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même c — donc le tic doit prendre plus longtemps.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-9ab6d00e5c2f.svg)

*L’horloge à lumière. Au repos le [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) grimpe $L$ ; depuis le sol il vole l’hypoténuse au même $c$ — donc le tic doit prendre plus longtemps.*

**Exemple 35.6 (Gamma en nombres).**

| $v/c$ | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.8 | 0.9 | 0.99 | 0.999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\gamma$ | 1.00005 | 1.005 | 1.155 | 1.667 | 2.294 | 7.09 | 22.4 |

Rien ne se passe pendant des pages, puis tout : $\gamma$ colle à $1$ jusqu’à un tiers de la vitesse de la lumière, passe $2$ près de $0.9c$, et explose lorsque $v \to c$.

![= 1/√1 - v2/c2 : indiscernable de 1 aux vitesses quotidiennes, divergent à l’asymptote v = c — la vitesse qu’aucun corps massif n’atteint.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-8e12dcb81baf.svg)

*$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ : indiscernable de $1$ aux vitesses quotidiennes, divergent à l’asymptote $v = c$ — la vitesse qu’aucun corps massif n’atteint.*

**Remarque 35.7 (Pourquoi la vie quotidienne n’a jamais remarqué).**

Pour $v \ll c$, écrire $x = v^2/c^2$ : puisque $(1-x)(1+x) \approx 1$ et $(1 + x/2)^2 \approx 1 + x$, on obtient $\gamma \approx 1 +
v^2/(2c^2)$. Une voiture à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ a $\gamma - 1 \approx
7 \times 10^{-15}$ (une seconde perdue pour quatre millions d’années de conduite) ; un jet gère $3.5 \times 10^{-13}$, une seconde pour quatre-vingt-dix mille ans en l’air. Nos horloges étaient simplement trop grossières.

## 35.4 Le verdict de l’expérience

**Exemple 35.8 (Les muons atteignent le sol).**

Les rayons cosmiques frappant la haute atmosphère créent des *muons* — particules de courte vie de durée de vie propre $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — à environ $15\,\mathrm{km}$ de hauteur, se déplaçant à près de $c$. Sans relativité un muon parcourt $c\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m}$ par durée de vie : la descente prend quelque $23$ durées de vie, et la fraction survivante $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$ devrait rendre les muons au niveau de la mer infiniment rares. Pourtant les détecteurs en comptent environ un par centimètre carré par minute. La [dilatation du temps](#thm-g12-special-relativity-dilation) le résout : arrivant avec $\gamma \approx 30$, les muons vivent $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}
= 66\,\text{µ}\mathrm{s}$ sur nos horloges — [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 20\,\mathrm{km}$, toute l’atmosphère.

![Le voyage du muon : une durée de vie classique s’éteint à 660\, m sous l’altitude de naissance ; la durée de vie dilatée traverse l’atmosphère.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-5afe6159d779.svg)

*Le voyage du muon : une durée de vie classique s’éteint à $660\,\mathrm{m}$ sous l’altitude de naissance ; la durée de vie dilatée traverse l’atmosphère.*

Les confirmations s’accumulent. En 1971 Hafele et Keating ont fait voler des horloges atomiques au césium ([Chapitre 28](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#ch-g12-oscillators-and-time)) autour du monde sur des avions de ligne ; à l’atterrissage elles différaient des horloges au sol des fractions de microseconde prédites. Les accélérateurs misent sur la [dilatation du temps](#thm-g12-special-relativity-dilation) chaque jour, leurs particules poussées à des $\gamma$ de milliers survivant des tours qu’elles ne pourraient jamais classiquement achever. Et le GPS est une expérience en cours avec une étiquette de prix.

**Remarque 35.9 (La facture relativiste du GPS).**

Un [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) à environ $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, donc la [relativité restreinte](#thm-g12-special-relativity-postulates) ralentit son horloge de quelque $7\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour. La gravité, plus faible en altitude, travaille dans l’autre sens et gagne : la relativité générale (la théorie d’Einstein de la [gravitation](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/13-les-interactions-fondamentales#def-g11-fundamental-interactions-four), racontée dans les volumes universitaires) l’accélère d’environ $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour ; net, $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour d’avance. Le positionnement convertit les lectures d’horloge en distances à la vitesse $c$ : une journée non corrigée étalerait les positions de $c \times 38\,\text{µ}\mathrm{s}
\approx 11\,\mathrm{km}$ — d’où les horloges désaccordées du paragraphe d’ouverture.

**Proposition 35.10 (Contraction des longueurs).**

Un corps de longueur $L_0$ dans son [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) de repos est mesuré plus court le long de sa direction de mouvement dans un [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) où il se déplace à la vitesse $v$ : $L = L_0/\gamma$.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 35.11 (L’histoire propre du muon).**

La [contraction des longueurs](#prop-g12-special-relativity-contraction) est le revers de la [dilatation du temps](#thm-g12-special-relativity-dilation) (dérivée honnêtement dans les volumes universitaires) : l’horloge du muon tic-tac normalement dans son propre [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame), mais l’atmosphère qui monte à sa rencontre est contractée à $15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$, traversée bien dans $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — les deux [référentiels](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) s’accordent sur le fait que le muon atteint le sol.

## 35.5 Masse, énergie, et le monde classique retrouvé

**Théorème 35.12 (Équivalence masse–énergie).**

Un corps de masse $m$ possède, par sa masse seule, l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = m c^2 .
$$

La masse est une forme concentrée d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) ; l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy), inversement, a de la masse.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 35.13 (Où vous l’avez rencontrée).**

C’est le grand livre derrière l’[énergie nucléaire](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-forms) ([Chapitre 33](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/33-energie-nucleaire-fission-fusion-e-mc2#ch-g12-nuclear-energy)) : le [défaut de masse](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/33-energie-nucleaire-fission-fusion-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-defect) d’une réaction, multiplié par $c^2$, est l’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) libérée. Un gramme de masse vaut $9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ — une journée entière de production d’une grande centrale de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power). La dérivation honnête appartient aux volumes universitaires ; les réacteurs et les étoiles en vivent quoi qu’il en soit.

**Remarque 35.14 (Newton n’avait pas tort).**

Poser $v \ll c$ : $\gamma \to 1$, les temps s’accordent, les longueurs ne se contractent pas, la simultanéité redevient absolue — la mécanique des trois dernières années réapparaît, intacte, comme la limite bas vitesse. La relativité n’a pas démoli Newton ; elle a tracé la frontière de son empire. C’est ainsi que la physique grandit : en affinant les théories, chacune rendant l’ancienne comme cas limite.

## 35.6 Exercices

**Exercice 35.1 ★.**

Calculer $\gamma$, à trois [chiffres significatifs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), pour $v = 0.1c$, $0.6c$, $0.8c$, $0.995c$.

**Solution de Exercice 35.1.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$ : $1.01$ ($0.1c$) ; $1.25$ ($0.6c$) ; $1.67$ ($0.8c$) ; $10.0$ ($0.995c$).

**Exercice 35.2 ★.**

Un vaisseau croise à $0.6c$ ; son métronome bat toutes les $10.0\,\mathrm{s}$ selon l’horloge du vaisseau. Quel intervalle le sol mesure-t-il ? Lequel est le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time), et pourquoi ?

**Solution de Exercice 35.2.**

$\gamma = 1.25$, donc le sol mesure $1.25 \times 10.0 =
12.5\,\mathrm{s}$. Les $10.0\,\mathrm{s}$ du vaisseau sont le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time) : le métronome (une horloge) est présent aux deux battements.

**Exercice 35.3 ★.**

À quelle vitesse (en fraction de $c$) a-t-on $\gamma = 2$ ? Et $\gamma = 10$ ?

**Solution de Exercice 35.3.**

$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ : $\gamma = 2$ donne $v = 0.866c$ ; $\gamma = 10$ donne $v = 0.995c$.

**Exercice 35.4 ★.**

Une voiture roule à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Calculer $v/c$, puis $\gamma - 1$ ([Remarque 35.7](#rem-g12-special-relativity-everyday)) ; combien de temps doit-elle rouler pour que son horloge retarde de $1\,\mathrm{s}$ ?

**Solution de Exercice 35.4.**

$v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v/c = 1.2 \times 10^{-7}$ ; $\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}$. Une seconde perdue après $1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ — environ quatre millions d’années de conduite.

**Exercice 35.5 ★.**

Dans l’expérience du train d’Einstein, expliquer — en citant le postulat utilisé — pourquoi le passager conclut que la frappe *avant* est venue la première, et pourquoi aucun observateur n’a tort.

**Solution de Exercice 35.5.**

Le passager roule vers l’éclair avant, donc celui-ci l’atteint le premier ; par le second postulat les deux éclairs voyagent au même $c$ sur les demi-distances égales du train *dans son [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame)*, donc une arrivée plus tôt signifie une frappe plus tôt. La simultanéité dépend du [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) : chaque verdict est correct dans le sien.

**Exercice 35.6 ★★.**

Des pions chargés vivent $\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Un faisceau quitte un accélérateur à $0.99c$. Calculer $\gamma$, la durée de vie dans le labo, la [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) classique $v\,\Delta t_0$, et la [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) moyenne réelle.

**Solution de Exercice 35.6.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09$ ; durée de vie labo $7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$. [Portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) classique $0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times
2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}$ ; réelle $7.09 \times 7.7 \approx
55\,\mathrm{m}$.

**Exercice 35.7 ★★.**

Sur la courbe de $\gamma$, lire les vitesses donnant $\gamma = 1.5$ et $\gamma = 3$ (vérifier par le calcul). Que dit l’asymptote verticale en $v = c$ sur l’accélération d’un corps massif ?

**Solution de Exercice 35.7.**

$\gamma = 1.5$ à $v = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c$ ; $\gamma = 3$ à $\approx 0.94c$. L’asymptote : $\gamma$ (et le coût d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) d’une vitesse supplémentaire) diverge lorsque $v \to c$ — aucun effort fini n’amène un corps massif à la vitesse de la lumière.

**Exercice 35.8 ★★.**

Une horloge à lumière a des miroirs distants de $L = 1.5\,\mathrm{m}$. Calculer son tic au repos, puis son tic mesuré depuis le sol lorsqu’elle croise à $0.8c$.

**Solution de Exercice 35.8.**

$\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$ ; à $0.8c$, $\gamma = 5/3$, donc $\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**Exercice 35.9 ★★.**

Qui mesure le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre : (a) deux tics d’une montre — le porteur, ou un passant ? (b) naissance et désintégration d’un muon — le muon, ou le labo ? (c) quitter la Terre et atteindre Mars — le pilote, ou le centre de mission ?

**Solution de Exercice 35.9.**

Le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time) appartient à l’horloge présente aux deux [événements](#def-g12-special-relativity-proper-time) : (a) le porteur ; (b) le muon ; (c) le pilote — seul le vaisseau est à la fois au départ et à l’arrivée.

**Exercice 35.10 ★★.**

La station spatiale [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) à $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Calculer $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$, puis de combien l’horloge d’un astronaute retarde sur une horloge au sol après six mois ($1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$).

**Solution de Exercice 35.10.**

$\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx
3.3 \times 10^{-10}$ ; sur $1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ l’astronaute retarde de $3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx 5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ — environ cinq millisecondes plus jeune.

**Exercice 35.11 ★★.**

Calculer le contenu d’[énergie](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#def-g10-energy-conservation-energy) $E = mc^2$ de $1.0\,\mathrm{g}$ de matière. Le comparer à la production quotidienne d’une centrale de [puissance](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/17-travail-dune-force#def-g11-work-of-force-power) de $1.0\,\mathrm{GW}$, et à l’[énergie cinétique](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/18-energie-mecanique-et-sa-conservation#def-g11-mechanical-energy-kinetic) de $8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ d’une voiture à $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Solution de Exercice 35.11.**

$E = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. Une centrale de $1.0\,\mathrm{GW}$ livre $1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx
8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ par jour — un gramme est une journée de sa production, et $9.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}$ : cent millions de voitures en vitesse.

**Exercice 35.12 ★★★.**

Montrer à partir de $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ que $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ ; en déduire la vitesse des muons à $\gamma = 30$, à cinq [chiffres significatifs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) en [unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$.

**Solution de Exercice 35.12.**

Carré et inversion : $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$, donc $v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2$, d’où $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$. Pour $\gamma = 30$ : $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**Exercice 35.13 ★★★.**

Raconter le voyage du muon depuis son propre [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) : quelle épaisseur a l’atmosphère à $\gamma = 30$, combien de temps la traverse-t-il à $0.99944c$, et cela tient-il dans une durée de vie propre ?

**Solution de Exercice 35.13.**

Épaisseur contractée $L = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$ ; temps de balayage $500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} <
2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$. Les deux [référentiels](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) s’accordent sur le fait que le muon atteint le sol — l’un blâme une durée de vie étirée, l’autre une atmosphère rétrécie.

**Exercice 35.14 ★★★.**

Un accélérateur linéaire pousse des électrons à $\gamma = 1.0 \times 10^{5}$ le long d’un tube de $3.2\,\mathrm{km}$. Combien dure le trajet dans le labo ? Combien dans le [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) de l’électron, et quelle « longueur » a le tube là ?

**Solution de Exercice 35.14.**

Labo : $3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ (vitesse $\approx c$). [Référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) de l’électron : tube contracté à $3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}$, traversé en $1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Exercice 35.15 ★★★.**

Proxima du Centaure se trouve à $4.2$ années-lumière (une [année-lumière](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) est la distance que la lumière parcourt en un an). Une sonde y croise à $0.9c$ : combien dure le trajet sur le calendrier de la Terre, et sur l’horloge de la sonde ?

**Solution de Exercice 35.15.**

Terre : $4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{years}$. Avec $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29$, l’horloge de la sonde enregistre $4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{years}$.

## 35.7 Problème : Le muon et le jumeau

**Problème 35.1.**

Problème du week-end — le voyage du muon et le jumeau de l’astronaute : une particule qui survit à son horloge, une horloge à lumière reconstruite, un voyageur plus jeune que son jumeau, et la comptabilité qui tient le GPS honnête

Données : durée de vie propre du muon $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; muons nés à environ $15\,\mathrm{km}$ de hauteur à près de $c$ ; flux au niveau de la mer d’environ un muon par $\mathrm{cm}^{2}$ par minute ; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Partie I — L’arrivée impossible du muon.**

1. Sans relativité, quelle distance un muon parcourt-il en une durée de vie ?
2. Combien de durées de vie la descente de $15\,\mathrm{km}$ prend-elle alors ?
3. Après $n$ durées de vie une fraction $\mathrm{e}^{-n}$ survit : l’estimer, confronter le flux mesuré, et passer verdict sur la physique classique en une phrase.
4. Ces muons arrivent en fait avec $\gamma \approx 30$ . Calculer leur durée de vie mesurée depuis le sol et la [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) qui en résulte.
5. Calculer leur vitesse, en utilisant $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ , à cinq [chiffres significatifs](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) en [unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de $c$ .

**Partie II — L’horloge à lumière, reconstruite.** Une horloge à lumière ($L = 1.5\,\mathrm{m}$) voyage sur un vaisseau à $v = 0.6c$.

6. Calculer le tic $\Delta t_0$ lu à bord.
7. Vu du sol, un tic dure $\Delta t$ : donner l’avance horizontale par demi-tic, la montée verticale du [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) , et — en nommant le postulat qui la fixe — la longueur du demi-chemin oblique.
8. Appliquer Pythagore au triangle du demi-tic et résoudre pour $\Delta t$ , en montrant que $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$ .
9. Calculer $\gamma$ et $\Delta t$ numériquement.
10. Quel observateur mesure le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time) entre deux tics ? Justifier à partir de la définition.

**Partie III — Le voyageur et son jumeau.** Une astronaute quitte son jumeau sur Terre pour un aller-retour à $0.8c$ ; les horloges terrestres chronométrent tout le voyage à $10.0\,\mathrm{years}$.

11. Calculer $\gamma$ à $0.8c$ (fraction exacte, puis décimal).
12. Combien de temps s’écoule sur l’horloge de l’astronaute ?
13. Quelle distance ( [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) Terre, en années-lumière) le demi-tour a-t-il atteint ?
14. Quelle est la différence d’âge aux retrouvailles, et quel jumeau est le plus jeune ?
15. « Mais le mouvement est relatif — l’astronaute pourrait prétendre que la Terre a voyagé ! » Résoudre l’objection en une phrase.

**Partie IV — La facture GPS.** Un [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) GPS [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) au rayon $r = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, [période](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/28-oscillateurs-mecaniques-et-mesure-du-temps#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T = 12\,\mathrm{h}$.

16. Calculer sa vitesse orbitale $v = 2\pi r/T$ .
17. Calculer $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ .
18. En déduire, en microsecondes, de combien l’horloge du [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) retarde sur les horloges au sol par jour ( $86\,400\,\mathrm{s}$ ).
19. Si cette seule dérive n’était pas corrigée, les positions errent de $c \times$ (dérive) : calculer l’erreur après un jour.
20. La gravité, plus faible en altitude, fait tourner l’horloge *vite* de $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour (relativité générale) : calculer la dérive nette et l’erreur de position quotidienne en kilomètres — le nombre qui oblige les ingénieurs à désaccorder chaque horloge GPS.

**Solution de Problème 35.1.**

**1.** $c\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx
660\,\mathrm{m}$.

**2.** $15\,000/660 \approx 23$ durées de vie.

**3.** $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$ : moins d’un muon sur dix milliards devrait arriver, pourtant le flux est d’un par $\mathrm{cm}^{2}$ par minute — la physique classique est platement contredite par le ciel.

**4.** Durée de vie au sol $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} =
66\,\text{µ}\mathrm{s}$ ; [portée](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#def-g12-projectile-motion-range) $\approx
3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5} \approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}$ : l’arrivée est expliquée.

**5.** $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**6.** $\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**7.** Horizontal $v\,\Delta t/2$ ; vertical $L$ ; le demi-chemin oblique mesure $c\,\Delta t/2$ parce que le second postulat fixe la vitesse du [photon](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/34-le-monde-quantique-photons-et-niveaux-denergie#def-g12-quantum-world-photon) à $c$ aussi dans le [référentiel](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif#def-g10-relative-motion-frame) sol.

**8.** $(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2$ donne $\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2$, donc $\Delta t =
(2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0$.

**9.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25$ ; $\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**10.** Celle du vaisseau : son unique horloge est présente aux deux tics, donc elle lit le [temps propre](#def-g12-special-relativity-proper-time) ; le sol a besoin de deux horloges synchronisées.

**11.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67$.

**12.** $10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{years}$.

**13.** Aller $5.0\,\mathrm{years}$ à $0.8c$ : $4.0$ années-lumière.

**14.** $10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{years}$ : l’astronaute est quatre ans plus jeune que son jumeau.

**15.** La situation n’est pas symétrique : seule l’astronaute fait demi-tour — elle accélère et change de [référentiel galiléen](#def-g12-special-relativity-inertial), tandis que le jumeau terrestre reste dans un seul — donc seule son horloge enregistre le temps le plus court.

**16.** $v = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx
3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times
9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}$.

**18.** $8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}
= 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour de [retard](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/20-ondes-mecaniques#def-g12-mechanical-waves-delay).

**19.** $c \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km}$ d’erreur de position par jour.

**20.** Dérive nette $45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s}$ par jour d’avance ; erreur $c \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km}$ par jour — la facture relativiste que chaque horloge GPS paie d’avance, désaccordée au sol pour tic-tac juste en [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite).

Ici s’achève la physique de l’école — pas la physique. Dans les volumes universitaires, la mécanique revient armée du calcul différentiel ; l’électricité et le magnétisme se révèlent comme une seule structure dans laquelle la lumière, et la relativité elle-même, se cachait depuis le début ; le monde quantique, entrevu au chapitre précédent, devient une théorie opérationnelle de la matière. Chaque théorie sera tenue, comme la relativité, de rendre ce que vous savez maintenant comme cas limite. Emportez-le : c’est la part qui ne changera pas.