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title: "Gravitation universelle et poids"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 4
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids
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# Chapitre 4 — Gravitation universelle et poids

Lâchez une pomme : elle tombe. La Lune, à soixante rayons terrestres, ne semble jamais tomber. La grande intuition de Newton est que la Lune *tombe* — d’environ $1{,}4$ millimètre chaque seconde, exactement la quantité qu’une attraction s’affaiblissant comme le carré de la distance prédit. Une seule formule, avec une constante universelle, gouverne la pomme, la Lune, les marées et les planètes. Le premier volume a décrit la [gravitation](#def-g10-universal-gravitation-force) avec des mots ; ce chapitre la mesure.

## 4.1 La loi de la gravitation universelle

**Définition 4.1 (Force gravitationnelle).**

Deux corps quelconques s’attirent, quelle que soit leur composition et quelle que soit la distance qui les sépare. Cette attraction est la *force gravitationnelle*, et le phénomène est la *gravitation*. Elle n’a besoin d’aucun contact, d’aucune corde ni d’aucun milieu, et elle est *mutuelle* : chaque corps tire l’autre.

**Théorème 4.2 (Loi de la gravitation universelle).**

Deux corps de masses $m_1$ et $m_2$ (en $\mathrm{kg}$), dont les centres sont séparés d’une distance $d$ (en $\mathrm{m}$), s’attirent par deux forces dirigées le long de la droite joignant les centres, chacune pointant vers l’autre corps, d’égale intensité

$$
F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2}
\qquad \text{(en $\mathrm{N}$)},
$$

où $G$ est la même constante pour toute paire de corps de l’univers.

**Démonstration.** *Admis à ce niveau.* ∎

**Remarque 4.3 (D’où vient la loi).**

Newton a distillé cette loi du mouvement observé des planètes (lois de Kepler) ; la déduction honnête est menée dans le volume de 1re année. Le [Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler) mettra déjà la loi au travail sur les [satellites](#def-g10-universal-gravitation-satellite) et les planètes.

**Définition 4.4 (La constante de gravitation).**

La constante

$$
G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}
$$

est la *constante de gravitation*. Sa valeur minuscule est la raison pour laquelle la gravité entre objets du quotidien est imperceptible : ce n’est que lorsqu’au moins une masse est astronomique que $G m_1 m_2 / d^2$ compte pour quelque chose.

![Les deux forces d’une paire gravitationnelle : le long de la droite des centres, vers l’autre corps, avec la même intensité F = G m_1 m_2 / d2 même lorsque les masses sont très inégales.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-a7b3c3c09a89.svg)

*Les deux forces d’une paire gravitationnelle : le long de la droite des centres, vers l’autre corps, avec la *même* intensité $F = G m_1 m_2 / d^2$ même lorsque les masses sont très inégales.*

**Remarque 4.5 (Lire la formule).**

Quatre traits méritent l’attention.

- *Mutuelle et égale.* La Terre vous tire avec votre [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) — et vous tirez la Terre avec exactement la même force. (La Terre répond simplement moins : elle est environ $10^{23}$ fois plus lourde.)
- *Inverse du carré.* Doubler $d$ divise la force par $4$ ; s’éloigner dix fois la divise par $100$ .
- *Distance entre centres.* Pour des corps sphériques — étoiles, planètes, boulets — $d$ se mesure de centre à centre, non de surface à surface.
- *Les deux masses comptent.* Doubler l’une ou l’autre masse double la force ; la formule est symétrique en $m_1$ et $m_2$ .

**Exemple 4.6 (Deux amis).**

Deux amis de $70\,\mathrm{kg}$ se tiennent centres distants de $1.0\,\mathrm{m}$ :

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2}
\approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.
$$

Le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) de chaque ami est d’environ $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — deux *milliards* de fois plus grand. Leur attraction mutuelle est réelle, mais impossible à sentir.

**Exemple 4.7 (La Terre retient la Lune).**

Avec $m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (Terre), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (Lune) et $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ :

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
\approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.
$$

Et la Lune tire la Terre en retour avec les mêmes $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ — une traction à laquelle les océans répondent deux fois par jour, sous forme de marées.

**Méthode 4.8 (Calculer une force gravitationnelle).**

1. Convertir les masses en [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) et la distance de centre à centre en [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) .
2. Appliquer $F = G m_1 m_2 / d^2$ .
3. Vérifier la puissance de dix séparément des chiffres, comme au [Chapitre 1](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#ch-g10-orders-of-magnitude) : les [forces gravitationnelles](#def-g10-universal-gravitation-force) vont de $10^{-7}$ newtons (deux personnes à un [mètre](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ) à $10^{22}$ newtons (Soleil sur Terre), donc un [exposant](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) mal placé est facile à attraper.

## 4.2 Poids et intensité de la gravité

**Définition 4.9 (Poids).**

Le *poids* $\vect P$ d’un objet à la surface d’un astre (une planète, une lune, …) est la [force gravitationnelle](#def-g10-universal-gravitation-force) que l’astre exerce sur lui. Il pointe vers le centre de l’astre — la direction que l’on appelle *verticale* — et se mesure en newtons.

**Proposition 4.10 (Poids à la surface d’un astre).**

À la surface d’un astre sphérique de masse $M$ et de rayon $R$, un objet de masse $m$ a pour [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight)

$$
P = m\,g,
\qquad\text{où}\qquad
g = \frac{G M}{R^2}
$$

ne dépend que de l’astre, non de l’objet.

**Démonstration.** Le centre de l’objet et le centre de l’astre sont séparés de $R$, donc la loi de la [gravitation](#def-g10-universal-gravitation-force) universelle ([Théorème 4.2](#thm-g10-universal-gravitation-law)) donne $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$. Le crochet est le même pour tout objet à la surface : on l’appelle $g$. ∎

**Définition 4.11 (Intensité du champ de gravitation).**

La quantité $g = G M / R^2$, en newtons par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit), est l’*intensité du champ de gravitation* à la surface de l’astre : l’astre tire sur chaque [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) avec $g$ newtons. Sur Terre, $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

**Exemple 4.12 (Calculer ggg).**

Pour la Terre ($M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) :

$$
g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2}
= \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}}
\approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

Pour la Lune ($M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$, $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) le même calcul donne $g_{\text{Moon}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — six fois moins : la Lune est bien plus légère, et le fait d’être plus petite ne compense pas. Pour Mars, $g_{\text{Mars}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

![Intensité du champ de gravitation en surface sur quatre mondes : le même sac de sucre de 1\, kg pèse 1.6\, N sur la Lune et 25\, N sur Jupiter.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-d9171e3bf78d.svg)

*[Intensité du champ de gravitation](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) en surface sur quatre mondes : le même sac de sucre de $1\,\mathrm{kg}$ pèse $1.6\,\mathrm{N}$ sur la Lune et $25\,\mathrm{N}$ sur Jupiter.*

![« Le bas » est une notion locale : en tout point du globe le vecteur poids pointe vers le centre O. Deux marcheurs antipodes se tiennent tous deux debout — pieds l’un vers l’autre.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-8c99b4890637.svg)

*« Le bas » est une notion locale : en tout point du globe le vecteur [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) pointe vers le centre $O$. Deux marcheurs antipodes se tiennent tous deux debout — pieds l’un vers l’autre.*

**Remarque 4.13 (Pourquoi les astronautes rebondissent).**

Un astronaute de masse $120\,\mathrm{kg}$ (corps plus combinaison) pèse $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ sur Terre mais seulement $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$ sur la Lune. Des muscles entraînés sous $1180\,\mathrm{N}$ portent soudain un sixième de la charge : d’où la fameuse démarche lunaire lente et bondissante. La masse — et avec elle l’effort nécessaire pour *s’arrêter* ou *tourner* — est inchangée, c’est pourquoi les astronautes lunaires tombaient si souvent.

## 4.3 Masse ou poids ? La balance et le dynamomètre

Le langage courant dit qu’un sac de farine « pèse trois kilos ». La physique coupe cette phrase en deux.

**Remarque 4.14 (La masse n’est pas le poids).**

- La *masse* $m$ mesure la quantité de matière, en [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) . C’est une propriété de l’objet seul : la même sur Terre, sur la Lune, ou à la dérive dans l’espace lointain.
- Le *[poids](#def-g10-universal-gravitation-weight)* $P = mg$ est une force, en newtons, exercée *par un astre* sur l’objet. Il change d’astre en astre avec $g$ — et s’éteint loin de tout astre.

Les confondre est sans danger au marché et fatal dans un problème de physique : le [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) n’est pas une [unité](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de force.

**Méthode 4.15 (La balance et le dynamomètre).**

- Une *balance à plateaux* compare l’objet à des masses étalons : les [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) des deux plateaux se mettent à l’échelle avec le même $g$ , donc la comparaison mesure la *masse* — même verdict sur tout astre.
- Un *dynamomètre* (balance à ressort) mesure la force qui étire son ressort : il lit le *[poids](#def-g10-universal-gravitation-weight)* , en newtons, et sa lecture change d’astre en astre. Pour retrouver la masse, diviser par l’intensité locale du champ : $m = P/g$ .

**Exemple 4.16 (Farine sur la Lune).**

Un sac de farine de $3.0\,\mathrm{kg}$ s’équilibre contre $3.0\,\mathrm{kg}$ de masses étalons sur Terre *et* sur la Lune. Un dynamomètre, en revanche, lit $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ sur Terre et $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ sur la Lune. Un marchand vendant « au newton » sur la Lune donnerait six fois la farine — le commerce, comme la science, tourne à la masse.

## 4.4 Tomber autour de la Terre : le canon de Newton

Lancez une pierre horizontalement : la gravité courbe sa trajectoire en arc et elle atterrit à quelques [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit). Lancez-la plus vite : elle atterrit plus loin. L’expérience de pensée de Newton pousse l’idée à sa limite. La Terre est ronde, et sa surface s’abaisse d’environ $5\,\mathrm{m}$ sous l’horizontale pour chaque $8\,\mathrm{km}$ parcourus ; un corps en chute libre tombe de $4.9\,\mathrm{m}$ dans sa première seconde (le [Chapitre 26](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/26-chute-libre-et-mouvement-de-projectile#ch-g12-projectile-motion) l’établira). Donc un projectile rasant la Terre à $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ tombe exactement aussi vite que le sol s’éloigne en se courbant : il tombe pour toujours sans jamais atterrir.

**Définition 4.17 (Satellite et orbite).**

Un *satellite* d’un astre est un corps qui tombe autour de l’astre sans jamais atteindre sa surface ; le trajet qu’il répète est son *orbite*.

![Le canon de Newton : tiré de plus en plus vite du sommet d’une montagne, le boulet atterrit de plus en plus loin — jusqu’à ce qu’à environ 7.9\, km/ s, le sol s’éloigne aussi vite que le boulet tombe, et il orbite.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-7bde4935b409.svg)

*Le canon de Newton : tiré de plus en plus vite du sommet d’une montagne, le boulet atterrit de plus en plus loin — jusqu’à ce qu’à environ $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, le sol s’éloigne aussi vite que le boulet tombe, et il [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite).*

**Remarque 4.18 (La Lune est une pierre qui tombe).**

La Lune est le [satellite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) naturel de la Terre : elle tombe vers nous d’environ $1.4\,\mathrm{mm}$ chaque seconde, et son mouvement latéral l’emporte autour avant qu’elle puisse se rapprocher (l’[Exercice 4.15](#exo-g10-universal-gravitation-15) vous laisse refaire le propre contrôle de Newton de ce nombre). Les astronautes d’une station en [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) sont dans la même chute libre que leur vaisseau — c’est cela, et non une absence de gravité, qui les fait flotter. La [gravitation](#def-g10-universal-gravitation-force) façonne toute trajectoire, de l’arc de la pierre à l’ellipse de la planète ; l’histoire quantitative des [orbites](#def-g10-universal-gravitation-satellite) est racontée au [Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler).

**Notation 4.19 (Fiche de données).**

Sauf indication contraire d’un exercice, utiliser $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ et :

|  | masse ($\mathrm{kg}$) | rayon ($\mathrm{m}$) | $g$ ($\mathrm{N}/\mathrm{kg}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| Terre | $5.97 \times 10^{24}$ | $6.37 \times 10^{6}$ | 9.81 |
| Lune | $7.35 \times 10^{22}$ | $1.74 \times 10^{6}$ | 1.62 |
| Mars | $6.42 \times 10^{23}$ | $3.39 \times 10^{6}$ | 3.73 |
| Soleil | $1.99 \times 10^{30}$ | — | — |

Distance Terre–Lune : $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ; distance Terre–Soleil : $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (de centre à centre).

## 4.5 Exercices

**Exercice 4.1 ★.**

Deux danseurs de $60\,\mathrm{kg}$ se tiennent centres distants de $0.80\,\mathrm{m}$.

1. Calculer leur attraction gravitationnelle mutuelle.
2. La comparer au [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un moustique de $2.5\,\mathrm{mg}$ .

**Solution de Exercice 4.1.**

*1.* $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2}
= \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$.

*2.* Le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) du moustique est $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ — environ $65$ fois *plus grand* que l’attraction mutuelle des danseurs. La gravité entre personnes est plus faible que le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un moustique.

**Exercice 4.2 ★.**

Une élève a une masse de $55\,\mathrm{kg}$.

1. Calculer son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) sur Terre.
2. Elle voyage sur la Lune. Quelles sont sa masse et son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) là-bas ?

**Solution de Exercice 4.2.**

*1.* $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

*2.* Sa masse est inchangée : $55\,\mathrm{kg}$ (même quantité de matière). Son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) devient $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ — six fois moins.

**Exercice 4.3 ★.**

1. À partir de la fiche de données, recalculer l’ [intensité du champ de gravitation](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) à la surface de Mars.
2. Un rover de $900\,\mathrm{kg}$ y est envoyé. Calculer son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) sur Mars et son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) sur Terre.

**Solution de Exercice 4.3.**

*1.* $g_{\text{Mars}} = \dfrac{G M}{R^2}
= \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2}
= \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

*2.* Sur Mars : $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. Sur Terre : $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — le rover pèse environ $2{,}6$ fois moins sur Mars, avec la même masse.

**Exercice 4.4 ★.**

En utilisant la fiche de données, calculer la force exercée par la Terre sur la Lune. Quelle force la Lune exerce-t-elle sur la Terre ?

**Solution de Exercice 4.4.**

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
= \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}}
\approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.
$$

La Lune exerce sur la Terre une force de la *même* intensité, $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$, en sens opposé : la [gravitation](#def-g10-universal-gravitation-force) est mutuelle.

**Exercice 4.5 ★.**

Deux corps s’attirent avec une force $F_0$. Que devient la force si :

1. la distance entre centres est doublée ;
2. la distance est divisée par deux ;
3. les deux masses sont doublées (même distance) ;
4. une masse est triplée *et* la distance est triplée ?

**Solution de Exercice 4.5.**

*1.* Distance doublée : $d^2$ est multiplié par $4$, donc $F = F_0/4$.

*2.* Distance divisée par deux : $F = 4F_0$.

*3.* Les deux masses doublées : $m_1 m_2$ est multiplié par $4$, donc $F = 4F_0$.

*4.* Numérateur $\times 3$, dénominateur $\times 9$ : $F = F_0/3$.

**Exercice 4.6 ★★.**

Deux superpétroliers chargés de $5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ chacun sont amarrés centres distants de $100\,\mathrm{m}$.

1. Calculer leur attraction gravitationnelle mutuelle.
2. Quelle masse a un [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) égal à cette force sur Terre ?
3. La force est étonnamment grande — pourtant les pétroliers ne montrent aucune inclination à dériver l’un vers l’autre. Calculer l’accélération $a = F/m$ qu’elle donne à un pétrolier et commenter.

**Solution de Exercice 4.6.**

*1.* $F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2}
= 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}}
\approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

*2.* $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$ : les deux navires s’attirent avec le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’une grosse moto.

*3.* $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx
3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Même sans opposition, les pétroliers mettraient environ cinq jours à atteindre une allure de marche ; en pratique, la résistance de l’eau et les amarres noient complètement l’attraction.

**Exercice 4.7 ★★.**

Une boutique lunaire vend un sac de riz de $3.0\,\mathrm{kg}$.

1. Que indiquent une balance à plateaux et un dynamomètre pour ce sac sur Terre ? Sur la Lune ?
2. Un client paie pour « $3.0\,\mathrm{kg}$ ». Quel instrument garantit un marché équitable sur tout monde, et pourquoi ?

**Solution de Exercice 4.7.**

*1.* La balance à plateaux indique $3.0\,\mathrm{kg}$ sur les deux mondes : le sac et les masses étalons voient leurs [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) divisés par le même facteur, donc la comparaison est inchangée. Le dynamomètre lit le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) : $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ sur Terre, $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ sur la Lune.

*2.* La balance : elle mesure la masse, ce que le client achète. Un dynamomètre calibré en « [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) » sur Terre lirait $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ pour le même sac sur la Lune — le commerçant donnerait six sacs pour le prix d’un.

**Exercice 4.8 ★★.**

La Station spatiale internationale vole à une altitude de $400\,\mathrm{km}$.

1. Calculer l’ [intensité du champ de gravitation](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) de la Terre à cette altitude. (Attention : quelle est la distance au *centre* de la Terre ?)
2. L’exprimer en pourcentage de la valeur en surface.
3. Les astronautes à bord flottent. Concilier cela avec votre réponse.

**Solution de Exercice 4.8.**

*1.* Distance au centre : $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$. Alors $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2}
= \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

*2.* $8.69/9.81 \approx 89\%$ de la valeur en surface.

*3.* La gravité est presque à pleine force là-haut : les astronautes flottent parce que la station et tout ce qu’elle contient *tombent ensemble* autour de la Terre (chute libre), non parce que la gravité a disparu.

**Exercice 4.9 ★★.**

À la surface de Vénus, $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$, et le rayon de la planète est $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$. En déduire la masse de Vénus et la comparer à celle de la Terre.

**Solution de Exercice 4.9.**

De $g = GM/R^2$,

$$
M = \frac{g R^2}{G}
= \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}}
= \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},
$$

environ $0{,}8$ fois la masse de la Terre — Vénus est presque la jumelle de la Terre en taille et en masse.

**Exercice 4.10 ★★.**

1. Calculer la force exercée par le Soleil sur $1.0\,\mathrm{kg}$ d’eau de mer, puis la force exercée par la Lune sur le même [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) .
2. Le Soleil tire plus fort — d’un facteur combien ?
3. Pourtant la Lune domine les marées. La marée est entraînée non par la traction elle-même mais par la *différence* entre les tractions sur les faces proche et lointaine de la Terre. Expliquer, sans calculer, pourquoi la Lune proche peut battre le Soleil distant sur ce critère.

**Solution de Exercice 4.10.**

*1.* Soleil : $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2}
\approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$. Lune : $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
\approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$.

*2.* Le Soleil tire environ $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ fois plus fort.

*3.* Le diamètre de la Terre est une *fraction* bien plus grande de la distance Terre–Lune ($\approx 3\%$) que de la distance Terre–Soleil ($\approx 0{,}01\%$), donc la traction de la Lune change bien plus de la face proche à la face lointaine du globe. Les marées se nourrissent de cette différence — et là la Lune l’emporte.

**Exercice 4.11 ★★.**

1. Une planète a deux fois la masse de la Terre et deux fois son rayon. Exprimer son intensité de champ en surface en termes du $g$ terrestre, puis en $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ .
2. Quel rayon faudrait-il à une planète de la masse de la Terre pour que son intensité de champ en surface soit $2g$ ?

**Solution de Exercice 4.11.**

*1.* $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2}
= \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : le rayon doublé l’emporte sur la masse doublée.

*2.* Il faut $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$, donc $R'^2 = R^2/2$ et $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — environ $4500\,\mathrm{km}$.

**Exercice 4.12 ★★★.**

Quelque part sur la droite Terre–Lune, les deux tractions sur une sonde spatiale s’annulent. Soit $x$ la distance du centre de la Terre à ce point et $D$ la distance Terre–Lune.

1. Montrer qu’en ce point $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2}  = \dfrac{M_{\text{Earth}}}{M_{\text{Moon}}}$ .
2. En déduire $x$ . Quelle fraction du trajet vers la Lune est-ce ?

**Solution de Exercice 4.12.**

*1.* Tractions égales par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : $\dfrac{G M_{\text{Earth}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{Moon}}}{(D-x)^2}$. En croisant et en divisant par $G$ : $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{Earth}}}{M_{\text{Moon}}}$.

*2.* $\dfrac{x}{D-x}
= \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx
9.0$, donc $x = 9.0\,(D - x)$, c’est-à-dire $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D
\approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Le point d’équilibre se trouve à $90\%$ du trajet vers la Lune : la traction de la Terre domine presque tout le voyage.

**Exercice 4.13 ★★★.**

Le canon de Newton, avec des chiffres. Un projectile rase la Terre horizontalement à la vitesse $v$.

1. Après $x = 8.0\,\mathrm{km}$ de parcours horizontal, la Terre sphérique « s’est abaissée » d’une hauteur $h$ satisfaisant $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ . En utilisant $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ pour $h$ petit, montrer que $h \approx x^2 / (2R)$ et calculer $h$ .
2. Un corps en chute libre tombe de $4.9\,\mathrm{m}$ dans sa première seconde. Comparer à $h$ et en déduire la vitesse à laquelle le projectile n’atterrit jamais.
3. Calculer la durée d’une [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) complète à cette vitesse, en rasant la surface.

**Solution de Exercice 4.13.**

*1.* En développant : $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$ ; comme $h$ est minuscule devant $R$, on abandonne $h^2$ : $2Rh \approx x^2$, donc $h \approx \dfrac{x^2}{2R}
= \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}}
= \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* En une seconde le projectile tombe de $4.9\,\mathrm{m}$ — presque exactement les $5.0\,\mathrm{m}$ dont le sol s’abaisse sur $8.0\,\mathrm{km}$. Donc à $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ la chute ne rattrape jamais le sol : le projectile [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite).

*3.* $T = \dfrac{2\pi R}{v}
= \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}}
\approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — proche des environ $90\,\mathrm{min}$ des vrais [satellites](#def-g10-universal-gravitation-satellite) en [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) basse, qui volent un peu plus haut.

**Exercice 4.14 ★★★.**

Une étoile à neutrons compacte $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ ($1{,}4$ fois la masse du Soleil) dans un rayon de $12\,\mathrm{km}$.

1. Calculer l’ [intensité du champ de gravitation](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) à sa surface.
2. Que pèserait un humain de $70\,\mathrm{kg}$ là-bas ? Comparer à son [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) sur Terre.
3. Quel est le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) , là-bas, d’un grain de sable de $1.0\,\mathrm{mg}$ ? Quelle masse a ce [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) sur Terre ?

**Solution de Exercice 4.14.**

*1.* $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}}
{(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}}
\approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

*2.* $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$, contre $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ sur Terre : environ $1.3 \times 10^{11}$ fois plus. Aucune structure faite d’atomes ne survit debout là-bas.

*3.* $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx
1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$. Sur Terre c’est le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) de $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ — un grain de sable pesant autant qu’une locomotive de cent tonnes.

**Exercice 4.15 ★★★.**

Le test lunaire de Newton (1666). Le rayon de l’[orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) de la Lune est d’environ $60$ rayons terrestres.

1. D’un facteur combien la traction de la Terre par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) est-elle plus faible à la Lune qu’à la surface de la Terre, si la gravité suit l’inverse du carré ?
2. Près de la surface, un corps qui tombe chute de $4.9\,\mathrm{m}$ dans sa première seconde. De combien la Lune devrait-elle tomber vers la Terre chaque seconde ?
3. Vérifier contre l’ [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) : la Lune parcourt son cercle de rayon $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ en $T = 27{,}3$ jours. Calculer sa vitesse $v$ , la distance $x$ qu’elle couvre en une seconde, puis la chute $h \approx x^2/(2d)$ (comme dans l’ [Exercice 4.13](#exo-g10-universal-gravitation-13) ).
4. Comparer les réponses des questions 2 et 3, et énoncer ce que Newton en conclut.

**Solution de Exercice 4.15.**

*1.* La distance est $60$ fois plus grande, donc la traction par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) est $60^2 = 3600$ fois plus faible.

*2.* La chute en une seconde se met à l’échelle de la même façon : $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — environ $1.4\,\mathrm{mm}$.

*3.* $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, donc $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx
1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en une seconde. La chute est $h \approx \dfrac{x^2}{2d}
= \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}}
\approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$.

*4.* Les deux nombres s’accordent : la Lune tombe vers la Terre chaque seconde exactement autant que la gravité en inverse du carré, calibrée sur une pomme qui tombe, le prédit. Newton conclut que la force qui retient la Lune *est* la force qui fait tomber la pomme — la gravité est universelle.

## 4.6 Problème : Peser la Terre

**Problème 4.1.**

Problème du week-end — de deux sphères de plomb dans un hangar à la masse de la Terre puis du Soleil : ce qu’une petite constante, mesurée une fois, vaut

En 1798 Henry Cavendish suspendit une tige légère portant deux petites sphères de plomb à un fil fin, rapprocha deux grosses sphères de plomb, et mesura la torsion presque inexistante du fil. Les journaux dirent qu’il avait *pesé la Terre* — et ils avaient raison : une fois $G$ connue, le $g$ et le rayon propres de la Terre livrent sa masse, et l’[orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) annuelle de la Terre livre celle du Soleil. Ce problème retrace toute la chaîne. Utiliser la fiche de données tout au long.

**Partie I — La force la plus faible.**

1. Le fer de la tour Eiffel a une masse d’environ $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ . Un touriste de $55\,\mathrm{kg}$ se tient à $100\,\mathrm{m}$ de son centre de masse. Calculer la traction de la tour sur le touriste.
2. La comparer au [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un grain de sable de $1.0\,\mathrm{mg}$ .
3. Exercice de proportionnalité : que devient une [force gravitationnelle](#def-g10-universal-gravitation-force) si (a) la distance est multipliée par $10$ ; (b) les deux masses sont multipliées par $1000$ ; (c) les deux masses *et* la distance sont multipliées par $1000$ ?
4. Calculer la traction de la Terre sur un objet de $1.00\,\mathrm{kg}$ à sa surface, à partir de $M$ , $R$ et $G$ . Quel nom et quel symbole du quotidien ce nombre porte-t-il ?
5. La gravité est de loin l’interaction la plus faible que vous ayez rencontrée — et pourtant elle gouverne l’univers. Expliquer en une ou deux phrases pourquoi la traction de la Terre sur vous domine celle de votre voisin.

**Partie II — La balance de Cavendish.** Dans la balance de torsion, une grosse sphère de masse $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ attire une petite de masse $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ ; leurs centres sont distants de $d = 0.23\,\mathrm{m}$.

6. Avec la valeur moderne de $G$ , calculer la force entre les deux sphères.
7. Calculer le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) de la petite sphère et le rapport des deux forces. Pourquoi Cavendish avait-il besoin d’un fil de torsion plutôt que d’une balance ordinaire ?
8. La torsion mesurée par Cavendish correspond (en [unités](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) modernes) à $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ . En déduire sa valeur de $G$ et la comparer à celle d’aujourd’hui.
9. Avec $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ et $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ , en déduire la masse de la Terre. (C’est l’étape que les journaux célébrèrent.)
10. En déduire la masse volumique moyenne de la Terre $\rho = M / V$ , avec $V = \frac43 \pi R^3$ . Les roches de surface ont des masses volumiques autour de $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ : que révèle la comparaison sur l’intérieur profond ?

**Partie III — Autres mondes.**

11. À partir de la fiche de données, recalculer l’intensité du champ en surface de la Lune.
12. Sur Terre, un bon élan soulève votre centre de masse de $0.50\,\mathrm{m}$ . Pour le même élan, la hauteur atteinte est inversement proportionnelle à $g$ (comme le chapitre sur l’énergie, le [Chapitre 9](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/9-energie-formes-et-conservation#ch-g10-energy-conservation) , le justifiera). Quelle hauteur le même saut vous emporte-t-il sur la Lune ?
13. Mercure : $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ . Calculer son intensité de champ en surface et comparer à Mars. Mercure est bien plus petite que Mars — comment les deux valeurs peuvent-elles être si proches ?
14. À quelle altitude au-dessus de la surface de la Terre l’intensité du champ est-elle tombée à la moitié de sa valeur en surface ?
15. À quelle distance du centre de la Terre la traction de la Terre par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) tombe-t-elle à la valeur en surface de la Lune, $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ ? L’exprimer en rayons terrestres.

**Partie IV — Peser le Soleil.** La Terre parcourt une [orbite](#def-g10-universal-gravitation-satellite) quasi circulaire de rayon $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ en une année, $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$. On admet (cela se prouve au [Chapitre 27](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/27-satellites-et-mouvement-planetaire#ch-g12-satellites-kepler)) qu’un corps sur un trajet circulaire de rayon $d$ à la vitesse $v$ a besoin d’une traction de $v^2/d$ newtons par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) vers le centre.

16. Calculer la vitesse orbitale $v$ de la Terre.
17. En déduire la traction par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) que le Soleil exerce sur la Terre.
18. Cette traction est aussi $G M_{\text{Sun}} / d^2$ . En déduire la masse du Soleil.
19. Combien de Terres est-ce ? Comparer $M_{\text{Sun}}$ à $M_{\text{Earth}}$ .
20. Final. Les sphères de Cavendish, la Terre, le Soleil : une seule constante $G$ a servi pour les trois. Énoncer en une phrase ce que le mot *universelle* dans « [gravitation](#def-g10-universal-gravitation-force) universelle » nous a acheté dans ce problème.

**Solution de Problème 4.1.**

**1.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$.

**2.** Le grain de sable pèse $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ : toute la tour Eiffel tire le touriste environ $3{,}7$ fois *moins* que le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un grain de sable.

**3.** (a) Distance $\times 10$ : force divisée par $100$. (b) Les deux masses $\times 1000$ : force multipliée par $10^6$. (c) Masses $\times 1000$ et distance $\times 1000$ : $10^6 / 10^6$ — la force est inchangée.

**4.** $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times
1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$ : le [poids](#def-g10-universal-gravitation-weight) d’un [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — c’est exactement l’intensité du champ $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

**5.** La gravité est faible par [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) mais n’a jamais d’autre effet qu’*attirer*, donc les tractions de tous les $5.97 \times 10^{24}$ [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de la Terre s’additionnent dans le même sens — et une masse astronomique bat une masse voisine de vingt-deux puissances de dix.

**6.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2}
= 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529}
\approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$.

**7.** La petite sphère pèse $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ — environ $5 \times 10^{7}$ fois l’attraction à détecter. Aucune balance à plateaux ne résout une partie sur cinquante millions ; un fil de torsion fin, qui tourne de façon visible sous des couples à l’échelle du nanonewton, le peut.

**8.** $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2}
= \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3}
\approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — à environ $1\%$ de la valeur moderne $6.67 \times 10^{-11}$, depuis un hangar de bois en 1798.

**9.** De $g = G M / R^2$ :

$$
M = \frac{g R^2}{G}
= \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.
$$

Six millions de milliards de milliards de [kilogrammes](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) : la Terre, pesée.

**10.** $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi
(6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$, donc $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — deux fois la masse volumique de la roche de surface. L’intérieur doit cacher quelque chose de bien plus dense que le granite : la Terre a un noyau lourd (fer).

**11.** $g_{\text{Moon}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times
7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}}
{3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

**12.** Hauteur $\propto 1/g$ : $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — un saut debout par-dessus un panier de basket, au ralenti.

**13.** $g_{\text{Mercury}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times
3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}}
{5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — presque exactement le $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ de Mars. Mercure a moins de masse, mais son rayon plus petit (un $R^2$ plus petit en bas) compense : c’est un monde bien plus dense.

**14.** La moitié de l’intensité du champ exige $(R + h)^2 = 2 R^2$, donc $R + h = R\sqrt{2}$ et $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6}
\approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — environ $2600\,\mathrm{km}$ en altitude.

**15.** $\dfrac{G M_{\text{Earth}}}{d^2} = 1.62$ donne $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}}
= \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ rayons terrestres. Dès un rayon et demi au-dessus du sol, la Terre ne tire pas plus fort que la surface de la Lune.

**16.** $v = \dfrac{2\pi d}{T}
= \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}}
\approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — trente kilomètres chaque seconde.

**17.** $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}}
\approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ : le Soleil tire chaque [kilogramme](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de la Terre avec environ six millinewtons.

**18.** $\dfrac{G M_{\text{Sun}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ donne

$$
M_{\text{Sun}} = \frac{v^2 d}{G}
= \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.
$$

**19.** $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx
3.3 \times 10^{5}$ : le Soleil fait un tiers de million de Terres.

**20.** Parce que le même $G$ gouverne toute paire de masses, le mesurer une fois entre deux sphères de plomb dans un hangar nous a permis de mettre sur la balance d’abord la planète sous nos pieds, puis l’étoile que nous orbitons — voilà ce que *universelle* vaut.