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title: "Mouvement relatif"
book: "Physique du lycée"
subject: physics
language: fr
chapter: 5
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/5-mouvement-relatif
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# Chapitre 5 — Mouvement relatif

Un passager se promène vers l’avant d’un train à grande vitesse, un café à la main, à une allure de marche tranquille. Un observateur le long de la voie chronomètre ce même passager à plus de $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Les deux mesures sont correctes. Aucune n’est « la » vitesse du passager, car une telle chose n’existe pas : le mouvement n’est pas une propriété d’un corps seul, mais d’un corps *et* du point de vue choisi pour le décrire. Ce chapitre rend ce point de vue précis — et apprend à en choisir un bon.

## 5.1 Le mouvement est relatif

**Définition 5.1 (Référentiel).**

Un *référentiel* est un corps rigide — le sol, une voiture de train, la Terre dans son ensemble — par rapport auquel on enregistre les positions, muni d’une horloge pour les dater. Un corps est *au repos* dans un référentiel lorsque sa position dans ce référentiel ne change pas avec le temps ; sinon il est en mouvement dans ce référentiel.

**Définition 5.2 (Trajectoire).**

La *trajectoire* d’un corps dans un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) donné est la courbe formée par ses positions successives dans ce [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) : une droite, un cercle, un arc… La trajectoire n’a de sens qu’une fois le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) nommé.

**Exemple 5.3 (Le marcheur dans le train).**

Un train roule à $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ par rapport au sol tandis qu’un passager marche vers l’avant à $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ par rapport au train.

- Dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du *train* : le passager se déplace à $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ le long du couloir ; les sièges sont au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) ; les arbres dehors défilent en arrière à $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
- Dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du *sol* : les sièges se déplacent à $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , le passager à $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , et les arbres sont au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) .

La même scène, deux [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame), deux descriptions entièrement différentes — et aucune expérience menée à l’intérieur du train ne peut déclarer l’une d’elles « la vraie ».

**Proposition 5.4 (Relativité du mouvement).**

L’état de [repos](#def-g10-relative-motion-frame) ou de mouvement d’un corps, sa [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) et sa vitesse dépendent tous du [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) choisi pour les décrire.

**Démonstration.** Un exemple règle chaque affirmation. Le passager assis de l’[Exemple 5.3](#ex-g10-relative-motion-walker) est au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du train et se déplace à $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) ([repos](#def-g10-relative-motion-frame) et vitesse dépendent du [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame)). Pour la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory), regardez la valve d’une roue de vélo : un observateur sur le vélo la voit tracer un cercle autour du moyeu, tandis qu’un observateur debout sur la route la voit tracer une suite d’arches (une courbe appelée *cycloïde*) — voir la figure ci-dessous. ∎

![La même valve, deux référentiels : un cercle pour le cycliste, une cycloïde — une chaîne d’arches — pour l’observateur sur la route.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-943a43b94c22.svg)

![La même valve, deux référentiels : un cercle pour le cycliste, une cycloïde — une chaîne d’arches — pour l’observateur sur la route.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-62197a24d24c.svg)

*La même valve, deux [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) : un cercle pour le cycliste, une [cycloïde](#prop-g10-relative-motion-relativity) — une chaîne d’arches — pour l’observateur sur la route.*

**Remarque 5.5.**

Remarquez ce qui ne change *pas* dans les deux images : la valve, la roue, la physique. Seule la description change. Demander « la valve va-t-elle vraiment en cercle ? » revient à demander si une montagne est « vraiment » à gauche : cela dépend d’où l’on se tient.

## 5.2 Vitesse moyenne

**Définition 5.6 (Vitesse moyenne).**

La *vitesse moyenne* d’un corps, dans un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) donné, est la distance $d$ qu’il parcourt dans ce [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) divisée par le temps de parcours $t$ :

$$
v = \frac{d}{t} .
$$

Avec $d$ en [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) et $t$ en secondes, $v$ est en [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) par seconde ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) ; la vie courante préfère les kilomètres par heure ($\mathrm{km}/\mathrm{h}$).

**Méthode 5.7 (Convertir entre m/s et km/h).**

Un kilomètre fait $1000\,\mathrm{m}$ et une heure fait $3600\,\mathrm{s}$, donc $1\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 3.6\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ :

- de $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ à $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : *multiplier* par $3.6$ ;
- de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ à $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : *diviser* par $3.6$ .

Contrôle de vraisemblance : le nombre de $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ est toujours le *plus grand* des deux.

**Exemple 5.8 (Quelques vitesses à connaître).**

Une marche rapide : $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 5.4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Une voiture en ville à $54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ : $54 / 3.6 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — environ $15\,\mathrm{m}$ parcourus chaque seconde, à retenir avant de descendre d’un trottoir. Le son dans l’air : $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Exemple 5.9 (Une randonnée avec une pause).**

Un randonneur parcourt $12\,\mathrm{km}$ en $2\,\mathrm{h}$ de marche, puis se repose pendant $1\,\mathrm{h}$, puis parcourt $6\,\mathrm{km}$ dans les dernières $1.5\,\mathrm{h}$. [Vitesse moyenne](#def-g10-relative-motion-speed) sur toute la sortie :

$$
v = \frac{d}{t} = \frac{12 + 6}{2 + 1 + 1.5}
= \frac{18\,\mathrm{km}}{4.5\,\mathrm{h}} = 4.0\,\mathrm{km}/\mathrm{h}.
$$

La moyenne compte *tout* le temps écoulé, pauses incluses — ce n’est en général pas la moyenne des vitesses des étapes séparées.

## 5.3 Choisir un référentiel : sol, géocentrique, héliocentrique

Comme tout [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) est légitime, on choisit celui dans lequel le mouvement qui nous intéresse paraît le plus simple. Trois choix couvrent la plus grande partie de la physique de ce livre.

**Définition 5.10 (Les trois référentiels standards).**

- Le *référentiel du sol* (ou *référentiel du laboratoire* ) est attaché à la surface de la Terre où a lieu l’expérience. C’est le bon [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) pour le mouvement quotidien : objets qui tombent, véhicules, sports, paillasses de laboratoire.
- Le *référentiel géocentrique* est centré sur la Terre mais ne tourne *pas* avec elle (ses directions pointent vers des étoiles lointaines). C’est le bon [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) pour la Lune et pour les [satellites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) artificiels, qui orbitent la Terre dans son ensemble et ignorent sa rotation quotidienne.
- Le *référentiel héliocentrique* est centré sur le Soleil, avec des directions à nouveau fixées sur des étoiles lointaines. C’est le bon [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) pour les planètes : chacune suit alors une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) simple, presque circulaire.

![Trois référentiels emboîtés : le sol tourne avec la Terre, le référentiel géocentrique voyage avec la Terre sans tourner, le référentiel héliocentrique regarde toute la danse depuis le Soleil.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-41954403e3c3.svg)

*Trois [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) emboîtés : le sol tourne avec la Terre, le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) voyage avec la Terre sans tourner, le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) regarde toute la danse depuis le Soleil.*

**Méthode 5.11 (Choisir le référentiel).**

Nommer les corps dont on veut décrire le mouvement, puis choisir le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) dans lequel ce mouvement est le plus simple :

1. mouvement près de la surface de la Terre, durant des minutes — [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) ;
2. [orbites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) *autour* de la Terre (Lune, [satellites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) ) — [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) ;
3. [orbites](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) autour du Soleil (planètes, comètes) — [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) .

Toujours énoncer votre choix avant de décrire un mouvement : une [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) ou une vitesse citée sans son [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) n’a aucun sens ([Proposition 5.4](#prop-g10-relative-motion-relativity)).

**Remarque 5.12 (Qui a raison, Ptolémée ou Copernic ?).**

« Le Soleil se lève à l’est » et « la Terre tourne vers l’est » sont la même observation rapportée dans deux [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) — le premier dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames), où le Soleil balaie le ciel, le second dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames), où l’observateur est emporté autour de l’axe de la Terre. Pendant des siècles les [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) eux-mêmes furent le champ de bataille : la description centré-Terre de Ptolémée suivait le ciel avec précision mais avait besoin de boucles sur boucles pour suivre les planètes, tandis que la description centrée-Soleil relancée par Copernic en 1543 faisait de chaque planète un simple quasi-cercle et expliquait les étranges boucles en arrière de Mars comme un simple effet de [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) — la Terre dépassant une planète plus lente. Le verdict moderne n’est pas qu’un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) est vrai et l’autre faux, mais qu’ils ne sont pas également *commodes* ; un critère plus profond pour préférer certains [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) (les [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) galiléens) arrive avec le principe d’inertie au [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#ch-g10-inertia).

## 5.4 Composer des mouvements le long d’une droite

Qu’est-ce qui relie les $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ du marcheur ([référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du train) aux $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ([référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames)) ? Le long d’une seule droite, la réponse est une simple addition.

**Proposition 5.13 (Composition des vitesses en une dimension).**

Supposons qu’un corps se déplace le long d’une droite sur un support mobile (un tapis roulant, un train, de l’eau qui coule), le support lui-même glissant le long de la même droite par rapport au sol. En choisissant une direction positive sur la droite et en comptant les vitesses avec un signe,

$$
v_{\text{body/ground}} \;=\; v_{\text{body/support}} \;+\;
v_{\text{support/ground}} .
$$

En mots : les vitesses dans le même sens s’additionnent ; les vitesses en sens opposés se soustraient.

**Démonstration.** Pendant une seconde, le support emporte le corps de $v_{\text{support/ground}}$ [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) le long de la droite, et le corps avance de $v_{\text{body/support}}$ [mètres](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/1-ordres-de-grandeur-mesurer-lunivers#def-g10-orders-of-magnitude-unit) le long du support. Les deux déplacements ont lieu le long de la même droite, donc le déplacement total du corps par rapport au sol en cette seconde est leur somme algébrique — qui est sa vitesse par rapport au sol. ∎

**Exemple 5.14 (Le tapis roulant).**

Un tapis d’aéroport roule à $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Un voyageur marche dessus à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à la bande, dans le sens de marche : vitesse par rapport au sol $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. En marchant dans le mauvais sens à la même allure : $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, encore (lentement) en progression contre la bande. En restant immobile sur la bande : $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au sol, $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à la bande — au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) et en mouvement en même temps, dans deux [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) différents.

![Composition unidimensionnelle : les flèches sont dessinées à l’échelle, et la flèche dans le référentiel du sol est la somme des deux autres.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-ce9525e663de.svg)

*Composition unidimensionnelle : les flèches sont dessinées à l’échelle, et la flèche dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) est la somme des deux autres.*

**Remarque 5.15 (Deux directions à la fois).**

Lorsque les deux mouvements ne sont *pas* le long de la même droite — un bateau visant droit de l’autre côté d’une rivière tandis que le courant le pousse en aval — chaque mouvement suit son cours indépendamment, et les vitesses se composent comme des flèches placées bout à bout, exactement comme les vecteurs du volume de mathématiques. Le bateau atteint encore la rive opposée dans le temps fixé par sa seule vitesse de traversée, mais il aborde en aval de son point de visée, et sa [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) est une droite oblique. Le traitement vectoriel complet vient dans un chapitre ultérieur ; ici l’on ne lit que l’image.

![Un bateau visant droit de l’autre côté d’une rivière : dans le référentiel de l’eau il va tout droit ; dans le référentiel du sol il suit la ligne en tirets oblique, dérivant en aval tout en traversant.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-relative-motion/fig-f4875d86f899.svg)

*Un bateau visant droit de l’autre côté d’une rivière : dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de l’eau il va tout droit ; dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) il suit la ligne en tirets oblique, dérivant en aval tout en traversant.*

## 5.5 Exercices

**Exercice 5.1 ★.**

Un passager dort dans un train qui roule à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Indiquer si le passager est au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) ou en mouvement, et à quelle vitesse, par rapport à : la voiture ; le sol ; un arbre le long de la voie ; un train venant en sens inverse à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Puis décrire le mouvement de l’arbre dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du train du passager.

**Solution de Exercice 5.1.**

Par rapport à la voiture : au [repos](#def-g10-relative-motion-frame). Par rapport au sol et à l’arbre : en mouvement à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Par rapport au train venant en sens inverse : les vitesses en sens opposés s’additionnent, $100 + 100 = 200\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du train du passager, l’arbre se déplace en arrière à $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ le long d’une droite.

**Exercice 5.2 ★.**

Convertir : $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Vérifier chaque réponse avec la règle de vraisemblance de la [Méthode 5.7](#met-g10-relative-motion-convert).

**Solution de Exercice 5.2.**

$72 / 3.6 = 20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $108 / 3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; $25 \times 3.6 = 90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ; $340 \times 3.6 = 1224\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Dans chaque paire le chiffre en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ est le plus grand, comme l’exige la règle de vraisemblance.

**Exercice 5.3 ★.**

Un cycliste parcourt $36\,\mathrm{km}$ en $1\,\mathrm{h}$ $30\,\mathrm{min}$ ; un sprinter parcourt $100\,\mathrm{m}$ en $10.0\,\mathrm{s}$. Calculer les deux [vitesses moyennes](#def-g10-relative-motion-speed) en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ et en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Qui est le plus rapide, et la réponse surprend-elle ?

**Solution de Exercice 5.3.**

Cycliste : $v = \frac{36\,\mathrm{km}}{1.5\,\mathrm{h}} = 24\,\mathrm{km}/\mathrm{h}
= 24/3.6 \approx 6.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sprinter : $v = \frac{100\,\mathrm{m}}{10.0\,\mathrm{s}} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Le sprinter est une fois et demie plus rapide — mais seulement pendant dix secondes, tandis que le cycliste tient l’allure une heure et demie. Les [vitesses moyennes](#def-g10-relative-motion-speed) ne se comparent équitablement que sur des durées comparables.

**Exercice 5.4 ★.**

Un tapis roulant roule à $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Un voyageur marche à $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à la bande. Donner la vitesse du voyageur par rapport au sol lorsqu’il marche dans le sens de la bande, contre elle, et lorsqu’il reste immobile sur la bande.

**Solution de Exercice 5.4.**

Même sens : $1.4 + 0.9 = 2.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Contre la bande : $1.4 - 0.9 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Immobile sur la bande : les propres $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ de la bande.

**Exercice 5.5 ★.**

Pour chaque mouvement, choisir le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) le plus commode parmi sol, géocentrique et héliocentrique, et justifier en une phrase : un stylo lâché à l’intérieur d’un train en marche (bonus : un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) encore meilleur est disponible) ; l’[orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) de la Station spatiale internationale ; une année martienne ; un sprint de $100\,\mathrm{m}$.

**Solution de Exercice 5.5.**

Stylo lâché : le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) fonctionne, mais le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du *train* est encore meilleur — là le stylo tombe simplement tout droit. Station spatiale : [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) (elle [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) la Terre dans son ensemble, ignorant sa rotation). Année martienne : [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) (Mars suit un quasi-cercle autour du Soleil). Sprint : [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) (ligne de départ, ligne d’arrivée et chronomètre sont tous fixés au sol).

**Exercice 5.6 ★★.**

Un train roule à $108\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Un passager marche vers l’avant à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au train.

1. Convertir la vitesse du train en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , puis donner la vitesse du passager par rapport au sol, en marchant vers l’avant et vers l’arrière.
2. La voiture fait $60\,\mathrm{m}$ de long. Combien de temps dure la marche vers l’avant, et quelle distance le passager parcourt-il par rapport au sol pendant ce temps ?

**Solution de Exercice 5.6.**

*1.* $108/3.6 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Vers l’avant : $30 + 1.5 = 31.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; vers l’arrière : $30 - 1.5 = 28.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

*2.* Par rapport au train le passager parcourt $60\,\mathrm{m}$ à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 60/1.5 = 40\,\mathrm{s}$. Par rapport au sol le passager parcourt $31.5 \times 40 = 1260\,\mathrm{m}$ — les $1200\,\mathrm{m}$ emportés par le train plus les $60\,\mathrm{m}$ marchés, comme le prédit la règle de composition.

**Exercice 5.7 ★★.**

La vitesse d’un bateau en eau calme est $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; une rivière coule à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Le bateau parcourt $420\,\mathrm{m}$ en aval, fait demi-tour, et revient.

1. Calculer la vitesse du bateau par rapport à la berge sur chaque trajet, et la durée de chaque trajet.
2. Calculer la [vitesse moyenne](#def-g10-relative-motion-speed) sur l’aller-retour. Pourquoi est-elle inférieure à $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , même si le courant aide sur un trajet exactement autant qu’il gêne sur l’autre ?

**Solution de Exercice 5.7.**

*1.* Aval : $5.0 + 2.0 = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donc $t_1 = 420/7.0 = 60\,\mathrm{s}$. Amont : $5.0 - 2.0 = 3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donc $t_2 = 420/3.0 = 140\,\mathrm{s}$.

*2.* [Vitesse moyenne](#def-g10-relative-motion-speed) : $v = \frac{840}{60 + 140}
= \frac{840}{200} = 4.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s} < 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. L’aide et la gêne du courant sont égales en *vitesse* mais non en *temps* : le bateau passe $140\,\mathrm{s}$ ralenti et seulement $60\,\mathrm{s}$ aidé, donc le trajet lent domine la moyenne.

**Exercice 5.8 ★★.**

Deux trains se croisent sur des voies parallèles : le train A ($180\,\mathrm{m}$ de long) à $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, le train B ($90\,\mathrm{m}$ de long) à $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Ils voyagent en sens opposés. Quelle est la vitesse de B dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de A, et combien de temps dure le croisement complet (du contact des nez à la séparation des queues) ?
2. Mêmes questions s’ils voyagent dans le même sens.

**Solution de Exercice 5.8.**

*1.* Sens opposés : dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de A, B s’approche à $25 + 20 = 45\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Le croisement est complet lorsque B a glissé sur la longueur combinée $180 + 90 = 270\,\mathrm{m}$ : $t = 270/45 = 6.0\,\mathrm{s}$.

*2.* Même sens : vitesse relative $25 - 20 = 5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, et $t = 270/5.0 = 54\,\mathrm{s}$ — neuf fois plus long, c’est pourquoi dépasser un camion semble interminable.

**Exercice 5.9 ★★.**

Un vélo roule le long d’une route droite. Décrire la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) de la valve du pneu dans : le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du cycliste ; le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) ; et le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la valve elle-même. Décrire aussi la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) du moyeu de la roue dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames). Aucun calcul — nommer chaque courbe.

**Solution de Exercice 5.9.**

[Référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du cycliste : un cercle (le cercle de la jante, centré sur le moyeu). [Référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : une [cycloïde](#prop-g10-relative-motion-relativity) — une chaîne d’arches, une par tour de roue. [Référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la valve elle-même : la valve est au [repos](#def-g10-relative-motion-frame), un seul point. Le moyeu dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : une droite horizontale à la hauteur d’un rayon de roue.

**Exercice 5.10 ★★.**

L’équateur de la Terre fait environ $40\,000\,\mathrm{km}$ de long, et la Terre tourne une fois en $24\,\mathrm{h}$.

1. Calculer la vitesse d’un point de l’équateur dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) , en $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ et en $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
2. Expliquer en une phrase chacune : pourquoi nous ne sentons pas cette vitesse, et pourquoi « le Soleil se lève » et « la Terre tourne » rapportent la même observation.

**Solution de Exercice 5.10.**

*1.* $v = \frac{40\,000\,\mathrm{km}}{24\,\mathrm{h}}
\approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{km}/\mathrm{h} = 1667/3.6 \approx 463\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — plus vite que le son.

*2.* Nous ne le sentons pas parce que tout autour de nous — sol, air, bâtiments — partage exactement le même mouvement, donc rien ne se déplace par rapport à nous (et le principe d’inertie, le [Chapitre 6](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/6-forces-et-le-principe-dinertie#ch-g10-inertia), expliquera pourquoi un mouvement uniforme partagé est indétectable de l’intérieur). « Le Soleil se lève » est le rapport dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) et « la Terre tourne » le rapport dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) d’une seule et même observation.

**Exercice 5.11 ★★.**

En restant immobile sur un escalator en marche, la montée dure $60\,\mathrm{s}$. Marcher sur le même escalator à l’arrêt dure $90\,\mathrm{s}$. Combien de temps dure la montée en marchant sur l’escalator en marche ? (Travailler avec les vitesses, non les temps.)

**Solution de Exercice 5.11.**

Soit $L$ la longueur de l’escalator. Vitesse de l’escalator : $L/60$ ; vitesse de marche : $L/90$. En marchant sur l’escalator en marche, les vitesses s’additionnent :

$$
v = \frac{L}{60} + \frac{L}{90} = L\left(\frac{3 + 2}{180}\right)
= \frac{L}{36},
$$

donc la montée dure $36\,\mathrm{s}$. (Pas la moyenne de $60$ et $90$ : les vitesses s’additionnent, les temps non.)

**Exercice 5.12 ★★★.**

Un conducteur parcourt la même distance deux fois : à l’aller à $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, au retour à $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

1. Montrer que la [vitesse moyenne](#def-g10-relative-motion-speed) sur l’aller-retour est $72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — non $75\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ .
2. Expliquer où la réponse naïve se trompe, et indiquer lequel des deux trajets domine la moyenne.

**Solution de Exercice 5.12.**

*1.* Sur une distance $d$ dans chaque sens : $t = \frac{d}{60} + \frac{d}{90} = d\,\frac{3 + 2}{180} = \frac{d}{36}$, donc $v = \frac{2d}{d/36} = 72\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

*2.* Les $75$ naïfs moyennent les deux vitesses comme si le conducteur passait des *temps* égaux à chacune ; en fait les distances sont égales, donc le trajet lent dure plus longtemps ($\frac{d}{60} > \frac{d}{90}$) et tire la moyenne vers $60\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. La [vitesse moyenne](#def-g10-relative-motion-speed) est la distance totale sur le temps total — rien d’autre.

**Exercice 5.13 ★★★.**

Deux cyclistes partent distants de $35\,\mathrm{km}$ et roulent l’un vers l’autre, l’un à $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, l’autre à $20\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

1. Décrire le mouvement du second cycliste dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du premier, et en déduire quand ils se rencontrent.
2. Quelle distance chacun a-t-il parcourue à la rencontre ?
3. S’ils roulent au contraire dans le même sens (le plus rapide derrière), combien de temps dure la poursuite ?

**Solution de Exercice 5.13.**

*1.* Dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) du premier cycliste, le second s’approche en ligne droite à $15 + 20 = 35\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ depuis $35\,\mathrm{km}$ : ils se rencontrent après exactement $1.0\,\mathrm{h}$.

*2.* Le premier a parcouru $15 \times 1 = 15\,\mathrm{km}$, le second $20 \times 1 = 20\,\mathrm{km}$ — total $35\,\mathrm{km}$, comme il se doit.

*3.* Même sens : vitesse de rapprochement $20 - 15 = 5\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, donc la poursuite dure $35/5 = 7\,\mathrm{h}$.

**Exercice 5.14 ★★★.**

Un nageur traverse une rivière large de $60\,\mathrm{m}$, visant droit de l’autre côté à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à l’eau ; le courant coule à $0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

1. Expliquer pourquoi le temps de traversée est fixé par la seule vitesse de traversée du nageur, et le calculer.
2. À quelle distance en aval le nageur aborde-t-il ?
3. À l’aide d’un triangle rectangle, trouver la vitesse du nageur dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) et la longueur du trajet réellement nagé par rapport au sol.

**Solution de Exercice 5.14.**

*1.* Le courant pousse le nageur le long de la rivière, non en travers : les deux mouvements se composent indépendamment, et le progrès vers la rive opposée se fait à $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ indépendamment de la dérive. Temps de traversée : $t = 60/1.2 = 50\,\mathrm{s}$.

*2.* Dérive : $0.9 \times 50 = 45\,\mathrm{m}$ en aval.

*3.* La vitesse dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) est l’hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés $1.2$ et $0.9$ : $v = \sqrt{1.2^2 + 0.9^2} = \sqrt{2.25} = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (un triangle $3$–$4$–$5$ mis à l’échelle de $0.3$). Longueur du trajet : $1.5 \times 50 = 75\,\mathrm{m}$ — ou directement $\sqrt{60^2 + 45^2} = 75\,\mathrm{m}$.

**Exercice 5.15 ★★★.**

La Terre [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) le Soleil sur un quasi-cercle de rayon $1.50 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, en une année ($3.16 \times 10^{7}$ secondes).

1. Calculer la vitesse de la Terre dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) , en $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
2. La comparer à la vitesse de spin de l’équateur trouvée dans l’ [Exercice 5.10](#exo-g10-relative-motion-10) .
3. Vue de la Terre, Mars semble parfois s’arrêter et dériver en arrière parmi les étoiles pendant quelques semaines. Expliquer en deux phrases, avec le vocabulaire de ce chapitre, pourquoi le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) dissout le mystère.

**Solution de Exercice 5.15.**

*1.* $v = \frac{2\pi \times 1.50 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}}
= \frac{9.42 \times 10^{11}}{3.16 \times 10^{7}} \approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

*2.* $30 / 0.46 \approx 65$ : la Terre nous emporte autour du Soleil environ soixante-cinq fois plus vite qu’elle ne nous fait tourner autour de son axe.

*3.* Dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames), la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) apparente de Mars combine son propre mouvement orbital avec celui de la Terre, et lorsque la Terre plus rapide dépasse Mars la combinaison recule pendant quelques semaines. Dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) les deux planètes tournent simplement autour du Soleil à des allures régulières — la « boucle en arrière » n’est pas un mouvement de Mars mais un artefact du [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame).

## 5.6 Problème : Le tapis, la rivière et le satellite

**Problème 5.1.**

Problème du week-end — le tapis roulant, la rivière et le satellite : qui se déplace, par rapport à quoi, et le rapport final de vitesse du voyageur en fauteuil

Un aéroport, une traversée en ferry, et un point brillant glissant dans le ciel du crépuscule : trois scènes du quotidien, une question posée trois fois — qui se déplace, par rapport à quoi ? Chaque partie choisit son [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame), calcule, et regarde la réponse changer avec le point de vue ; le final totalise la vitesse à laquelle *vous* vous déplacez en ce moment même, parfaitement immobile.

**Partie I — La course du tapis.** Un tapis d’aéroport fait $90\,\mathrm{m}$ de long et roule à $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Un voyageur marche à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (par rapport à ce qui est sous ses pieds).

1. Combien de temps le tapis met-il à emporter un voyageur immobile d’un bout à l’autre ?
2. Combien de temps le voyageur met-il en marchant sur la bande en marche, dans son sens ?
3. Combien de temps en marchant à côté du tapis, sur le sol fixe ?
4. Un farceur marche dans le mauvais sens sur la bande, à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à elle. Vitesse par rapport au sol, et temps pour revenir de l’extrémité lointaine à l’entrée ?
5. Un enfant court dans le mauvais sens à exactement $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport à la bande. Décrire le mouvement de l’enfant dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) , et nommer la machine de gymnastique que cela réinvente.
6. Résumer les questions 1–5 dans un tableau à deux colonnes : la vitesse de chaque acteur dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la bande et dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) . Quelle colonne les jambes des voyageurs ressentent-elles ?

**Partie II — La rivière.** Un ferry traverse une rivière large de $120\,\mathrm{m}$. Sa vitesse par rapport à l’eau est $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; le courant coule à $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Le pilote vise d’abord droit la rive opposée.

7. Combien de temps dure la traversée ?
8. À quelle distance en aval le ferry aborde-t-il ?
9. À l’aide d’un triangle rectangle, calculer la vitesse du ferry dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) et la longueur de sa [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) . (Un triple familier de nombres apparaît.)
10. Décrire la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) du ferry dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de l’eau et dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) . Qu’ont-elles de commun, et en quoi diffèrent-elles ?
11. Un nageur dont la vitesse par rapport à l’eau est $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ part de la même rive, visant droit de l’autre côté comme le ferry. Combien de temps dure la traversée, et à quelle distance en aval le nageur aborde-t-il ? Calculer la vitesse du nageur dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) (triangle rectangle encore). Pourquoi le nageur plus lent dérive-t-il plus loin que le ferry ?
12. Un tronc flotte devant le ferry. Donner sa vitesse dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) et dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de l’eau. Dans quel [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) le tronc « se déplace-t-il » ? Commenter.

**Partie III — Le passage du [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite).** Au crépuscule, la Station spatiale internationale traverse le ciel en quelques minutes. Elle [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) à une altitude de $400\,\mathrm{km}$ ; le rayon de la Terre est $6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, et une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) dure $5.56 \times 10^{3}\,\mathrm{s}$ (environ $93\,\mathrm{min}$).

13. Dans quel [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) standard le mouvement de la station est-il le plus simple ? Calculer sa vitesse dans ce [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) , en $\mathrm{km}/\mathrm{s}$ .
14. Expliquer en deux phrases pourquoi le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) décrit maladroitement la station — que devient sa trace sur le sol entre une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) et la suivante ?
15. Comparer la vitesse orbitale de la station à la vitesse de spin de l’équateur ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ) : d’un facteur combien la station est-elle plus rapide ?
16. Un [satellite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) géostationnaire [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) à un rayon de $4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ en exactement un jour ( $8.64 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$ ). Calculer sa vitesse dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) , puis décrire son mouvement dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) . Concilier les deux réponses en une phrase.
17. Dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) la Lune trace un quasi-cercle autour de la Terre en environ $27$ jours. Esquisser en mots sa [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) sur quelques mois.

**Partie IV — Qui se déplace ?**

18. « Le Soleil se lève à l’est. » « La Terre tourne vers l’est. » Indiquer le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) dans lequel chaque phrase décrit l’observation, et expliquer pourquoi aucune n’a tort.
19. En un paragraphe sobre : que faisait bien le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de Ptolémée, que simplifiait celui de Copernic (mentionner les boucles en arrière de Mars), et pourquoi le verdict moderne porte sur la *commodité* plutôt que sur un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) vrai ?
20. Le rapport de vitesse du voyageur en fauteuil. Vous êtes immobile dans un fauteuil près de l’équateur. Donner votre vitesse dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) , dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) ( $\approx 0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ), et dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) ( $\approx 30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ ). Puis calculer la distance que vous parcourez dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) pendant un film de $90\,\mathrm{min}$ , et conclure le problème avec la morale d’une phrase du chapitre.

**Solution de Problème 5.1.**

**1.** $t = 90/1.0 = 90\,\mathrm{s}$.

**2.** Vitesse au sol $1.5 + 1.0 = 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $t = 90/2.5 = 36\,\mathrm{s}$.

**3.** $t = 90/1.5 = 60\,\mathrm{s}$.

**4.** $1.5 - 1.0 = 0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ par rapport au sol, contre le sens de la bande : $t = 90/0.5 = 180\,\mathrm{s}$ — trois minutes entières de marche rapide.

**5.** Vitesse au sol $1.0 - 1.0 = 0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : l’enfant court fort et n’avance nulle part, au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) tout en sprinter dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la bande. C’est un tapis de course.

**6.** [Référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la bande / [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : voyageur immobile $0$ / $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; marcheur avec la bande $1.5$ / $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; marcheur sur le sol $0.5$ (le sol glisse en arrière dans le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de la bande) / $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; farceur $1.5$ / $0.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ; enfant $1.0$ / $0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Les jambes de chaque acteur ressentent la colonne du [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de ce qui est sous ses pieds — la colonne bande pour ceux qui sont sur la bande, la colonne sol pour le marcheur sur le sol : l’effort est la vitesse de marche par rapport à ce qui est sous les pieds.

**7.** Le progrès à travers la rivière se fait à $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ quoi que fasse le courant : $t = 120/2.0 = 60\,\mathrm{s}$.

**8.** Dérive : $1.5 \times 60 = 90\,\mathrm{m}$ en aval.

**9.** Vitesse au sol : hypoténuse d’un triangle rectangle de côtés $2.0$ et $1.5$ : $v = \sqrt{2.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{6.25}
= 2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Longueur de la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) : $2.5 \times 60 = 150\,\mathrm{m}$ — le triple $3$–$4$–$5$ encore, mis à l’échelle de $90$–$120$–$150$.

**10.** [Référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de l’eau : une droite, $120\,\mathrm{m}$, perpendiculaire aux rives. [Référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : aussi une droite, mais oblique, et longue de $150\,\mathrm{m}$. Même forme (droite), direction et longueur différentes : la [trajectoire](#def-g10-relative-motion-trajectory) appartient au [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame), non au ferry.

**11.** Le progrès en travers se fait à $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, donc $t = 120/1.0 = 120\,\mathrm{s}$. Dérive : $1.5 \times 120 = 180\,\mathrm{m}$ — le double des $90\,\mathrm{m}$ du ferry. Vitesse au sol : hypoténuse avec côtés $1.0$ et $1.5$ : $v = \sqrt{1.0^2 + 1.5^2} = \sqrt{3.25}
\approx 1.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Le nageur plus lent met deux fois plus de temps à traverser, donc le même courant a deux fois plus de temps pour l’emporter en aval.

**12.** [Référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : le tronc dérive à la vitesse du courant $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) de l’eau : il est au [repos](#def-g10-relative-motion-frame), flottant avec l’eau autour de lui. Savoir si le tronc « se déplace » n’a pas de réponse indépendante du [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) — c’est tout le point du chapitre.

**13.** Le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames). Rayon d’[orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, donc

$$
v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi \times 6.77 \times 10^{6}}{5.56 \times 10^{3}}
\approx 7.65 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}.
$$

**14.** Pendant que la station achève une [orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite), la Terre tourne en dessous d’environ $23^\circ$, donc la trace sur le sol se décale vers l’ouest à chaque passage. Dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) le trajet de la station est une courbe ondulée compliquée qui ne se répète jamais exactement ; dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) c’est un quasi-cercle fixe.

**15.** $7.65 / 0.46 \approx 17$ : la station devance l’équateur en rotation d’environ un facteur dix-sept, c’est pourquoi elle traverse tout le ciel en quelques minutes.

**16.** $v = \frac{2\pi \times 4.22 \times 10^{7}}{8.64 \times 10^{4}}
\approx 3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames). Dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) il est *au [repos](#def-g10-relative-motion-frame)*, suspendu au-dessus d’un point fixe de l’équateur — il tourne autour de l’axe de la Terre en exactement le temps que le sol lui-même le fait, donc les deux mouvements s’annulent dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames). Au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) et à $3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ : les deux vrais, un par [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame).

**17.** Dans le [référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) la Lune voyage essentiellement le long de l’[orbite](https://one-course.com/books/physics/2/fr/chapter/4-gravitation-universelle-et-poids#def-g10-universal-gravitation-satellite) de la Terre — un énorme quasi-cercle autour du Soleil — surmonté d’un léger balancement du cycle de $27\,\mathrm{jours}$. L’influence du Soleil domine si fortement que le trajet se courbe toujours vers le Soleil ; il ne boucle jamais en arrière.

**18.** « Le Soleil se lève » est le rapport dans le [référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames), où l’observateur est au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) et le Soleil balaie le ciel. « La Terre tourne » est le rapport dans le [référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames), où la direction du Soleil est stable et l’observateur est emporté vers l’est autour de l’axe. Ils décrivent la même observation ; chacun est correct dans son propre [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame), et le [Proposition 5.4](#prop-g10-relative-motion-relativity) dit qu’aucune observation du mouvement seul ne peut arbitrer.

**19.** Le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) centré-Terre de Ptolémée collait naturellement au mouvement quotidien du ciel et prédisait convenablement les positions planétaires, mais au prix de boucles sur boucles (épicycles) pour reproduire les errances de chaque planète. Le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) centré-Soleil de Copernic faisait de chaque planète un quasi-cercle régulier et transformait les boucles en arrière de Mars en un effet de [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) — la Terre dépassant un coureur plus lent sur une voie intérieure. Le verdict moderne n’est pas que le Soleil est « vraiment » immobile (il se déplace aussi, autour du centre de la galaxie) mais que les [référentiels](#def-g10-relative-motion-frame) sont des outils : l’héliocentrique rend le mouvement planétaire incomparablement plus simple, et la simplicité, non la vérité, est ce à quoi sert un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame).

**20.** [Référentiel du sol](#def-g10-relative-motion-frames) : $0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ — au [repos](#def-g10-relative-motion-frame) dans le fauteuil. [Référentiel géocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) : environ $0.46\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, emporté autour de l’axe de la Terre. [Référentiel héliocentrique](#def-g10-relative-motion-frames) : environ $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, emporté autour du Soleil. Pendant un film de $90\,\mathrm{min}$ : $d = 3.0 \times 10^{4} \times 5400 \approx 1.6 \times 10^{8}\,\mathrm{m} =
160\,000\,\mathrm{km}$ — presque à mi-chemin de la Lune sans quitter le fauteuil. Morale : le mouvement n’est pas une propriété d’un corps mais d’un corps et d’un [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) ; choisir le [référentiel](#def-g10-relative-motion-frame) qui rend l’histoire simple, et toujours dire lequel on a choisi.