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title: "बल और गति"
book: "माध्यमिक भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 16
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/16-forces-and-motion
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# अध्याय 16 — बल और गति

पाना घुमाकर कमरे के उस पार उछालिए: उसके सिरे बेतहाशा डोलते हैं, फिर भी उसके भीतर का एक बिंदु बिलकुल साफ़ परवलय खींचता जाता है। [अध्याय 6](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#ch-g10-inertia) ने यह तय कर दिया था कि बलों के संतुलित होने पर क्या होता है — कुछ नहीं। यह अध्याय पूछता है कि जब वे संतुलित न हों तब क्या होता है: बचा हुआ बल *वेग बदल देता है* — पिंडों को तेज़ करता है, धीमा करता है, मोड़ देता है — और बताता है कि कितना, भले अभी सूत्रों में नहीं, अनुपातों में।

## 16.1 द्रव्यमान केंद्र

**परिभाषा 16.1 (द्रव्यमान केंद्र).**

किसी पिंड या निकाय का *द्रव्यमान केंद्र* उसका संतुलन-बिंदु है — उसके द्रव्यमान की औसत स्थिति: समांगी सममित पिंड में उसका ज्यामितीय केंद्र; और दो बिंदु-द्रव्यमानों के लिए, जोड़ते रेखाखंड का वह बिंदु जिसकी दूरियाँ द्रव्यमानों के *व्युत्क्रम* अनुपात में हों, $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m_2}{m_1}$ — यानी भारी वाले के पास।

**उदाहरण 16.2 (बेढब डंबल).**

$0.90\,\mathrm{m}$ लंबी हल्की छड़ के सिरों पर $2.0\,\mathrm{kg}$ और $1.0\,\mathrm{kg}$ की गेंदें लगी हैं। [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) उसे व्युत्क्रम अनुपात $d_1/d_2 = 1.0/2.0$ में बाँटता है: भारी गेंद से $0.30\,\mathrm{m}$, हल्की से $0.60\,\mathrm{m}$ — छड़ को वहीं टिकाइए।

**टिप्पणी 16.3 (उछाला हुआ पाना).**

लुढ़कते-घूमते पाने का चलचित्र बनाइए: उसका हर बिंदु उलझा हुआ, फंदेदार वक्र खींचता है — सिवाय [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) के, जो वही साफ़ परवलय खींचता है जो उछाली हुई गेंद खींचती। [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) की गति सरल है; बाक़ी सब उसके *चारों ओर* का घूमना है — और इसीलिए यांत्रिकी कार, ग्रह या जिमनास्ट को एक ही बिंदु मान सकती है।

![बराबर समय-अंतरालों पर उछाला हुआ पाना: पाना घूमता है, पर उसका द्रव्यमान केंद्र (बिंदु) सीधा-सादा परवलय पकड़े रहता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-2b0ced51b5ee.svg)

*बराबर समय-अंतरालों पर उछाला हुआ पाना: पाना घूमता है, पर उसका [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) (बिंदु) सीधा-सादा परवलय पकड़े रहता है।*

## 16.2 परिणामी बल वेग बदल देता है

**परिभाषा 16.4 (परिणामी बल).**

किसी पिंड पर लगता *परिणामी बल* उस पर लगते सभी बलों का सदिश योग है, $\vect F = \vect F_1 + \vect F_2 + \dots$ (सिरे से पूँछ जोड़कर, जैसे गणित के खंड में); और बल ठीक तभी संतुलित होते हैं जब $\vect F = \vect 0$।

**प्रमेय 16.5 (परिणामी बल का असर — अर्ध-मात्रात्मक).**

द्रव्यमान $m$ के पिंड पर छोटी अवधि $\Delta t$ तक लगता [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$ उसके [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) के वेग को एक सदिश $\Delta \vect v$ जितना बदल देता है, जिसकी *दिशा* $\vect F$ की होती है और जिसका परिमाण $F$ तथा $\Delta t$ के समानुपात में बढ़ता है और द्रव्यमान के समानुपात में घटता है:

$$
\Delta v \propto \frac{F \, \Delta t}{m} .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 16.6.**

बल या उसकी अवधि दुगुनी कीजिए: बदलाव दुगुना; द्रव्यमान दुगुना कीजिए: आधा। अगला वर्ष इसे ठीक समीकरण में कस देगा, और वर्ष 1 का खंड पूछेगा कि यह किन निर्देश तंत्रों में सही उतरता है; इस वर्ष अनुपात ही काफ़ी हैं — वे पहले ही वायु-थैले, ब्रेक और कक्षाएँ चला रहे हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 16.7 (तीन मानक स्थितियाँ).**

मान लीजिए कोई पिंड [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$ के नीचे वेग $\vect v$ से चल रहा है।

1. $\vect F$ $\vect v$ के अनुदिश: वह सरल रेखा में *तेज़* होता जाता है;
2. $\vect F$ $\vect v$ के विपरीत: वह सरल रेखा में *धीमा* पड़ता जाता है;
3. $\vect F$ $\vect v$ के लंबवत: वह चाल बदले बिना *मुड़* जाता है।

**उपपत्ति.** $\vect F$ के अनुदिश ([प्रमेय 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)) दिशा वाले $\Delta\vect v$ को $\vect v$ पर सिरे से पूँछ जोड़ते जाइए: $\vect v$ के अनुदिश तीर लंबा होता जाता है; विपरीत होने पर वे आंशिक रूप से कट जाते हैं (छोटा); और लंबवत होने पर हर छोटा $\Delta \vect v$ तीर को लंबा किए बिना झुका देता है — केवल दिशा मुड़ती है। ∎

![तीन मानक स्थितियाँ: परिणामी बल वेग-सदिश के सिरे को अपनी ओर घसीटता है — लंबा, छोटा, या घुमाकर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-c92c62079e4b.svg)

![तीन मानक स्थितियाँ: परिणामी बल वेग-सदिश के सिरे को अपनी ओर घसीटता है — लंबा, छोटा, या घुमाकर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-848dc8aa6e13.svg)

![तीन मानक स्थितियाँ: परिणामी बल वेग-सदिश के सिरे को अपनी ओर घसीटता है — लंबा, छोटा, या घुमाकर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-7402990a08b4.svg)

*तीन मानक स्थितियाँ: [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) वेग-सदिश के सिरे को अपनी ओर घसीटता है — लंबा, छोटा, या घुमाकर।*

**उदाहरण 16.8 (बग़ल से एक ठोकर).**

कोई चक्रिका $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पूरब की ओर सरकती है; बग़ल से लगी एक छोटी चोट ठीक उत्तर की ओर $\Delta\vect v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ जोड़ देती है। नया वेग सदिश योग है: परिमाण $\sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, दिशा $\tan\theta = 8.0/6.0$, यानी पूरब से $\theta \approx 53^\circ$ उत्तर की ओर — पुराना वेग मिटता नहीं, बदलाव उसमें जुड़ जाता है।

## 16.3 बदलावों की तुलना: बल, समय, द्रव्यमान

**विधि 16.9 (अनुपात से सोचना).**

दो स्थितियों की तुलना के लिए समीकरण कभी मत हल कीजिए — अनुपात बनाइए: वेग-बदलाव का अनुपात $F$ के अनुपात गुणा $\Delta t$ के अनुपात, भाग $m$ का अनुपात है। फिर पढ़ लीजिए कि कौन-सा गुणक कितना बदला।

**उदाहरण 16.10 (लदी हुई ठेली).**

वही धक्का, उतने ही एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) तक, ख़ाली $20\,\mathrm{kg}$ की ठेली को $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से रवाना कर देता है। $60\,\mathrm{kg}$ तक लादने पर — यानी तिगुना द्रव्यमान, वही $F\Delta t$ — वह उसका तिहाई, $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, लेकर चलती है। द्रव्यमान पदार्थ की ज़िद है।

**टिप्पणी 16.11 (टक्करें, वायु-थैले, मुड़े हुए घुटने).**

टक्कर में $\Delta v$ और $m$ पर कोई मोल-भाव नहीं होता — सवार की चाल को शून्य तक पहुँचना ही है — इसलिए $F\,\Delta t$ तय है। बची हुई एकमात्र छूट *समय* की है: $\Delta t$ खींच दीजिए और बल उसी अनुपात में सिकुड़ जाएगा। जो सिर स्टीयरिंग पर $0.01\,\mathrm{s}$ में रुकने के बजाय वायु-थैले पर $0.08\,\mathrm{s}$ में रुकता है, वह आठ गुना कम औसत बल झेलता है; कुचल जाने वाले हिस्से, हेलमेट का झाग और मुड़े हुए घुटने यही चाल चलते हैं।

## 16.4 घर्षण: सरकने से लड़ता बल

**परिभाषा 16.12 (स्थैतिक और गतिज घर्षण).**

छूती हुई सतहों के बीच [घर्षण](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) उनके *सापेक्ष सरकने* का विरोध करता है। *स्थैतिक घर्षण* तब तक लगता है जब तक वे सरकती नहीं, और जो कुछ सरकाना शुरू करना चाहे उसे काटने के लिए वह एक अधिकतम मान तक अपने को बढ़ाता जाता है; और सरकना शुरू हो जाने पर *गतिज घर्षण* लगता है, जो मोटे तौर पर अचर रहता है, सरकने के विरुद्ध होता है और आम तौर पर स्थैतिक अधिकतम से *कमज़ोर* होता है।

**उदाहरण 16.13 (अलमारी को धकेलना).**

अलमारी को धीरे से धकेलिए: वह हिलती नहीं — [स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) आपके $150\,\mathrm{N}$ को काट देता है। और ज़ोर लगाइए: किसी $400\,\mathrm{N}$ पर वह झटके से चल पड़ती है और फिर कम मेहनत में सरकती जाती है — कमज़ोर [गतिज घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) ने कमान सँभाल ली है।

**टिप्पणी 16.14 (ABS ब्रेक काम क्यों करते हैं).**

लुढ़कते पहिये का संपर्क-बिंदु सड़क पर सरकता नहीं: टायर *स्थैतिक* [घर्षण](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) से पकड़ता है। जकड़ा हुआ पहिया घिसटता है और उसे केवल कमज़ोर *गतिज* [घर्षण](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) मिलता है, जो पहिए चाहे जो करें, घिसटने के विरुद्ध ही रहता है — और दिशा बदलने की सुविधा मर जाती है। ABS पहिया जकड़ते ही उसी क्षण ब्रेक ढीला कर देता है: अधिक पकड़, छोटा रुकाव, और चालक जो गाड़ी मोड़ सकता है।

![90\, km/ h से रुकने की सामान्य दूरियाँ: टायर–सड़क का घर्षण ही अकेला ऐसा बल है जो कार को धीमा करता है, और पानी या बर्फ़ उसे बुरी तरह काट देते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-4328713b061e.svg)

*$90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ से रुकने की सामान्य दूरियाँ: टायर–सड़क का [घर्षण](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) ही अकेला ऐसा बल है जो कार को धीमा करता है, और पानी या बर्फ़ उसे बुरी तरह काट देते हैं।*

## 16.5 मुड़ना: वृत्तीय गति के लिए भीतर की ओर बल चाहिए

**परिभाषा 16.15 (एकसमान वृत्तीय गति).**

कोई पिंड *एकसमान वृत्तीय गति* में तब है जब उसका [गतिपथ](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-trajectory) वृत्त हो और वह उस पर अचर चाल से चले। वृत्त का स्पर्शी वेग हर क्षण अपनी दिशा बदलता है — इसलिए वह कभी अचर नहीं होता।

**प्रतिज्ञप्ति 16.16 (भीतर की ओर बल).**

[एकसमान वृत्तीय गति](#def-g11-forces-and-motion-ucm) में चलते पिंड पर ऐसा [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) लगता है जो कभी शून्य नहीं होता: हर क्षण वह पिंड से वृत्त के केंद्र की ओर संकेत करता है।

**उपपत्ति.** चाल अचर है, इसलिए [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) का $\vect v$ के अनुदिश कोई हिस्सा नहीं है ([प्रतिज्ञप्ति 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases) की स्थितियाँ 1 और 2): वह स्पर्शी के लंबवत है, यानी त्रिज्या के अनुदिश — और भीतर की ओर, क्योंकि हर $\Delta \vect v$ पथ को केंद्र की ओर मोड़ता है। ∎

![डोरी पर घुमाई जाती गेंद: वेग स्पर्शी है, खिंचाव केंद्र की ओर। डोरी काट दीजिए: गेंद स्पर्शी के अनुदिश निकल जाती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-18aae0142205.svg)

*डोरी पर घुमाई जाती गेंद: वेग स्पर्शी है, खिंचाव केंद्र की ओर। डोरी काट दीजिए: गेंद स्पर्शी के अनुदिश निकल जाती है।*

**उदाहरण 16.17 (डोरी, मोड़ और चंद्रमा).**

हर स्थिर मोड़ में भीतर की ओर लगता कोई बल छिपा होता है। घुमाई जाती गेंद में: डोरी का [तनाव](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory)। मोड़ पर कार में: सड़क का टायरों पर लगता बग़ली [स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) — बर्फ़ पर वह ग़ायब, और कार सीधी निकल जाती है। चंद्रमा में: पृथ्वी का गुरुत्वीय खिंचाव ([अध्याय 4](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/4-universal-gravitation-and-weight#ch-g10-universal-gravitation)), जो उसे $27.3$ दिनों में एक चक्कर घुमा देता है — वह *ऊपर* थामा नहीं गया, बग़ल से खींचकर एक अनंत मोड़ में डाल दिया गया है, और पृथ्वी के चारों ओर गिरता रहता है; अगला वर्ष इसी को उपग्रहों की यांत्रिकी बना देगा।

## 16.6 अभ्यास

**अभ्यास 16.1 ★.**

[परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) शून्य है या नहीं? वेग के आधार पर कारण दीजिए: (क) स्थिर $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर सीधी चलती कार; (ख) सरल रेखा में ब्रेक लगाती कार; (ग) स्थिर $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर मोड़ काटती कार; (घ) सीमांत चाल पर पहुँचा हुआ छत्रीधारी।

**हल — अभ्यास 16.1.**

(क) वेग अचर: [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) शून्य। (ख) चाल बदलती है: शून्येतर, गति के विपरीत। (ग) दिशा बदलती है (वेग सदिश है): शून्येतर, मोड़ के भीतर की ओर। (घ) वेग अचर: शून्य — भार और कर्षण संतुलित हैं।

**अभ्यास 16.2 ★.**

$0.80\,\mathrm{m}$ लंबी हल्की छड़ के सिरों पर $3.0\,\mathrm{kg}$ और $1.0\,\mathrm{kg}$ की गेंदें हैं। [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) खोजिए; और यदि दोनों द्रव्यमान बराबर हों तो कहाँ?

**हल — अभ्यास 16.2.**

$d_1 + d_2 = 0.80\,\mathrm{m}$ के साथ $d_1/d_2 = 1.0/3.0$: $3.0\,\mathrm{kg}$ गेंद से $d_1 = 0.20\,\mathrm{m}$। द्रव्यमान बराबर हों तो बीच में, हर एक से $0.40\,\mathrm{m}$।

**अभ्यास 16.3 ★.**

वही छोटा धक्का ख़ाली $15\,\mathrm{kg}$ की सामान-ठेली को और उसी ठेली को $45\,\mathrm{kg}$ तक लादे जाने पर दिया जाता है। दोनों वेग-बदलावों की तुलना कीजिए; लदी ठेली को ख़ाली वाली जितना $\Delta v$ देने के लिए कितना धक्का चाहिए?

**हल — अभ्यास 16.3.**

वही $F\Delta t$, तिगुना द्रव्यमान: लदी हुई ठेली का $\Delta v$ तीन गुना छोटा। ख़ाली ठेली के $\Delta v$ की बराबरी के लिए तीन गुना ज़ोर से धकेलिए (या तीन गुना देर तक)।

**अभ्यास 16.4 ★.**

$10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती ट्राम ब्रेक लगाती है; एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) बाद वह उसी दिशा में $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चलती है। $\Delta \vect v$ और [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) की दिशा बताइए। यह [प्रतिज्ञप्ति 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases) की कौन-सी स्थिति है?

**हल — अभ्यास 16.4.**

$\Delta \vect v$: $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, जिसकी दिशा *पीछे* की ओर है ($10$ से $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की ओर)। [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) भी उसी ओर है: $\vect v$ के विपरीत — यानी स्थिति 2, धीमा पड़ना।

**अभ्यास 16.5 ★.**

[स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) या [गतिज घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) — और किस ओर? (क) आपके (बहुत हलके) धक्के का विरोध करता संदूक; (ख) वही संदूक, जब वह सरकने लगे; (ग) थोड़ी झुकी तश्तरी पर रखी किताब, जो सरक नहीं रही।

**हल — अभ्यास 16.5.**

(क) स्थैतिक, आपके धक्के के विपरीत (अभी सरकना शुरू नहीं हुआ)। (ख) गतिज, सरकने के विपरीत। (ग) स्थैतिक, ढलान पर *ऊपर* की ओर — उस सरकाव के विरुद्ध जिसे गुरुत्व शुरू करना चाहता है।

**अभ्यास 16.6 ★★.**

द्रव्यमान $m$ पर $\Delta t$ तक लगाया [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $F$ $\Delta v = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ पैदा करता है। इनके लिए $\Delta v$ का पूर्वानुमान लगाइए: (क) $2F, \Delta t, m$; (ख) $F, \Delta t/2, m$; (ग) $F, \Delta t, 2m$; (घ) $3F, 2\Delta t, 6m$।

**हल — अभ्यास 16.6.**

$\Delta v \propto F\Delta t/m$: (क) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (ख) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (ग) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (घ) $4.0 \times \frac{3 \times 2}{6} =
4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — तीनों बदलाव आपस में कट जाते हैं।

**अभ्यास 16.7 ★★.**

कोई चक्रिका $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से पूरब की ओर सरकती है; एक चोट ठीक उत्तर की ओर $\Delta \vect v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ जोड़ देती है। नई चाल और दिशा निकालिए। चाल $8.0 + 6.0 = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ क्यों नहीं है?

**हल — अभ्यास 16.7.**

$v' = \sqrt{8.0^2 + 6.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $\tan\theta =
6.0/8.0$ पर, यानी पूरब से $\theta \approx 37^\circ$ उत्तर की ओर। वेग *सदिशों* की तरह जुड़ते हैं: लंबवत योगदान पाइथागोरस से जुड़ते हैं, परिमाणों के जोड़ से नहीं।

**अभ्यास 16.8 ★★.**

गोलरक्षक वही शॉट दो तरह से रोकती है: बाँहें कड़ी रखकर (गेंद $0.02\,\mathrm{s}$ में रुक जाती है) या गेंद के साथ “ढील देकर” ($0.08\,\mathrm{s}$)। औसत बलों की तुलना कीजिए, और बताइए कि चुनाव से पहले कौन-सी राशियाँ तय हो चुकी थीं।

**हल — अभ्यास 16.8.**

पहले से तय: गेंद का द्रव्यमान और उसका $\Delta v$ (आती चाल से शून्य तक), इसलिए गुणनफल $F\Delta t$ भी। $\Delta t$ को $0.02\,\mathrm{s}$ से खींचकर $0.08\,\mathrm{s}$ कर देने पर औसत बल $4$ से बँट जाता है।

**अभ्यास 16.9 ★★.**

दौड़ शुरू करते समय धावक को कौन-सा बाहरी बल आगे धकेलता है? काँटेदार जूते किस काम आते हैं — और बिलकुल घर्षणहीन बर्फ़ पर कोई त्वरित होना तो दूर, चल तक क्यों नहीं सकता?

**हल — अभ्यास 16.9.**

जूते पर पटरी का [स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction): पैर ज़मीन को पीछे धकेलता है, और परस्पर [संस्पर्श बल](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-contact) धावक को आगे। काँटे अधिकतम [स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) बढ़ा देते हैं (पूरा ज़ोर लगाने पर भी फिसलन नहीं)। घर्षणहीन बर्फ़ पर कोई बाहरी क्षैतिज बल होता ही नहीं, इसलिए [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) का वेग बदल ही नहीं सकता — न शुरुआत, न चाल।

**अभ्यास 16.10 ★★.**

आपात-स्थिति में रुकते समय ABS वाली कार (जिसके पहिए लुढ़कते रहते हैं) आम तौर पर जकड़े, घिसटते पहियों वाली कार से पहले क्यों रुक जाती है — और घिसटती कार को मोड़ा क्यों नहीं जा सकता? [परिभाषा 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction) का हवाला दीजिए।

**हल — अभ्यास 16.10.**

लुढ़कते पहिये का संपर्क-बिंदु सरकता नहीं: [स्थैतिक घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction), जो घिसटने के [गतिज घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) से प्रबल है ([परिभाषा 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction)) — इसलिए रुकाव छोटा। घिसटते टायर का [गतिज घर्षण](#def-g11-forces-and-motion-friction) पहियों का कोण चाहे जो हो, सरकने के विपरीत ही रहता है: पहिया घुमाने से कुछ नहीं बदलता, और दिशा-नियंत्रण चला जाता है।

**अभ्यास 16.11 ★★.**

हथौड़ा फेंकने वाला गेंद को उसके तार पर घुमाता है। गेंद को कौन-सा बल मोड़ता है? छोड़ने के बाद उसका पथ खींचिए। चंद्रमा को तार क्यों नहीं चाहिए, और गुरुत्व के बिना उसका पथ क्या हो जाता?

**हल — अभ्यास 16.11.**

तार का [तनाव](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory), जो भीतर की ओर, खिलाड़ी की ओर संकेत करता है। छोड़ने के बाद गेंद स्पर्शी के अनुदिश सरल रेखा में उसी चाल से निकल जाती है जो उसकी थी (जड़त्व)। चंद्रमा का “तार” पृथ्वी का गुरुत्वीय खिंचाव है; गुरुत्व बंद कर दीजिए और वह अपनी स्पर्शी के अनुदिश सीधा, [एकसमान](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), सदा के लिए निकल जाएगा।

**अभ्यास 16.12 ★★★.**

झाड़ू $1.0\,\mathrm{kg}$ की [एकसमान](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) छड़ (जिसका अपना [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) ऊपरी सिरे से $0.60\,\mathrm{m}$ पर है) और $2.0\,\mathrm{kg}$ के सिरे से बनी है, जिसका [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) ऊपरी सिरे से $1.20\,\mathrm{m}$ पर है। दोनों हिस्सों को बिंदु-द्रव्यमान मानकर झाड़ू का [द्रव्यमान केंद्र](#def-g11-forces-and-motion-com) खोजिए और [परिभाषा 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com) का व्युत्क्रम-अनुपात नियम जाँचिए।

**हल — अभ्यास 16.12.**

ऊपरी सिरे से: $x = \dfrac{1.0 \times 0.60 + 2.0 \times 1.20}{3.0}
= 1.00\,\mathrm{m}$। दोनों हिस्सों के केंद्रों तक की दूरियाँ: $0.40\,\mathrm{m}$ (छड़) और $0.20\,\mathrm{m}$ (सिरा), अनुपात $2 : 1$ — यानी द्रव्यमान-अनुपात $1.0 : 2.0$ का व्युत्क्रम, ठीक जैसा [परिभाषा 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com) माँगता है।

**अभ्यास 16.13 ★★★.**

द्रव्यमान $m$ की कार और द्रव्यमान $2m$ की लदी वैन एक ही चाल से, एक ही ब्रेक-बल के साथ रुकती हैं।

1. रुकने में लगते समयों की तुलना कीजिए।
2. दोनों की चाल एकसार घटती है, इसलिए दोनों *औसत* चाल एक ही रहती है: रुकने की दूरियों की तुलना कीजिए।
3. अब कार उसी बल के साथ *दुगुनी* चाल से रुकती है: पहले रुकाव से समय और दूरी की तुलना कीजिए। गति-सीमाओं के लिए इससे क्या सीख मिलती है?

**हल — अभ्यास 16.13.**

*1.* वही $F$ और $\Delta v$, दुगुना $m$: वैन को दुगुना समय चाहिए। *2.* [औसत चाल](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-speed) वही, समय दुगुना: दूरी दुगुनी। *3.* उसी $F$ और $m$ पर $\Delta v$ दुगुना: समय दुगुना; पर [औसत चाल](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-speed) भी दुगुनी हो जाती है, इसलिए दूरी $4$ से गुणा हो जाती है। चाल दुगुनी कीजिए और रुकने की दूरी चौगुनी हो जाती है।

**अभ्यास 16.14 ★★★.**

चंद्रमा $T = 27.3$ दिनों में $R \approx 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ पर कक्षा पूरी करता है।

1. उसकी कक्षीय चाल निकालिए (परिधि बटा [आवर्तकाल](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) )।
2. उसका वेग-बदलाव किस ओर संकेत करता है, और उसे कौन-सा बल देता है?
3. [प्रतिज्ञप्ति 16.16](#prop-g11-forces-and-motion-inward) का उपयोग करके इस वाक्य को सुधारिए: “चंद्रमा इसलिए नहीं गिरता कि वह पर्याप्त तेज़ चलता है”।

**हल — अभ्यास 16.14.**

*1.* $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} \approx 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, इसलिए $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx
1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$। *2.* पृथ्वी की ओर (भीतर की ओर); और उसे पृथ्वी का गुरुत्वीय खिंचाव देता है। *3.* चंद्रमा गिर *रहा* है: उसका वेग-बदलाव हर क्षण पृथ्वी की ओर संकेत करता है। उसकी स्पर्शी चाल बस इतना सुनिश्चित करती है कि वह चूकता रहे — वह पृथ्वी *में* नहीं, पृथ्वी के *चारों ओर* गिरता है।

**अभ्यास 16.15 ★★★.**

द्रव्यमान $50\,\mathrm{g}$ का अंडा $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से फ़र्श पर गिरता है: टाइल पर वह लगभग $1\,\mathrm{ms}$ में रुकता है, मोटे झाग पर लगभग $50\,\mathrm{ms}$ में। औसत बलों की तुलना कीजिए। उसी तर्क से समझाइए कि छलाँग के बाद उतरते समय आप घुटने क्यों मोड़ लेते हैं, और जिमनास्ट की गद्दी किस चीज़ की बनी होती है।

**हल — अभ्यास 16.15.**

वही $m$ और $\Delta v$, इसलिए $F\Delta t$ तय है: झाग पर $\Delta t$ पचास गुना लंबा होने का अर्थ है औसत बल पचास गुना छोटा। घुटने मोड़ लेने से उतरने का $\Delta t$ एक झटके से लंबे लचकाव तक खिंच जाता है; और यांत्रिकी की भाषा में जिमनास्ट की गद्दी कुछ अतिरिक्त मिलीसेकंडों से बनी होती है।

## 16.7 समस्या: टक्कर की जाँच

**समस्या 16.1.**

सप्ताहांत समस्या — कोमल टक्कर की डिज़ाइन: चूँकि टक्कर वेग-बदलाव को तय कर देती है, इसलिए कार का हर सुरक्षा-उपकरण असल में समय खींचने की मशीन है

टक्कर-जाँच की एक प्रयोगशाला कार को $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर एक कठोर दीवार से भिड़ा देती है, और उसमें $70\,\mathrm{kg}$ का वयस्क पुतला तथा $20\,\mathrm{kg}$ का बच्चा-पुतला बैठे हैं; कैमरे हर रुकाव का समय नापते हैं। आपका काम: खोजिए कि टक्कर की हिंसा रहती कहाँ है, और उसे डिज़ाइन से मिटा दीजिए।

**भाग I — टक्कर की माप।**

1. $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ को $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ में बदलिए।
2. सामने से होते किसी भी रुकाव में सवारों के वेग-बदलाव का परिमाण एक ही रहता है। कौन-सा? कोई उपकरण उसे बदल क्यों नहीं सकता?
3. [प्रमेय 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw) का हवाला दीजिए: $\Delta v$ और $m$ तय होने पर $F\,\Delta t$ भी तय है। तो डिज़ाइनर के हाथ में बची एकमात्र घुंडी?
4. दीवार कार को $0.050\,\mathrm{s}$ में रोक देती है; कुचल जाने वाला अगला हिस्सा इसे खींचकर $0.150\,\mathrm{s}$ कर देता है। औसत बलों की तुलना कीजिए।
5. रुकाव के दौरान $\Delta \vect v$ और पुतलों पर लगता [परिणामी बल](#def-g11-forces-and-motion-netforce) किस दिशा में हैं?

**भाग II — कुचल जाने वाला हिस्सा।**

6. एक वाक्य में: अभियंता कार का अगला हिस्सा नष्ट हो जाने लायक़ क्यों बनाते हैं?
7. पुराने ज़माने की कठोर कार में (रुकाव $0.050\,\mathrm{s}$ में) पुतला सीट से कसकर बँधा है। उसके बल की तुलना आधुनिक $0.150\,\mathrm{s}$ वाले रुकाव से कीजिए।
8. रुकती कार की चाल एकसार घटती है (औसत: आरंभिक चाल की आधी)। वह $0.150\,\mathrm{s}$ में कितनी दूर चलती है? असली कुचल-हिस्से से तुलना कीजिए।
9. $10\,\mathrm{m}$ का कुचल-हिस्सा क्यों नहीं? और कार का कौन-सा हिस्सा *नहीं* कुचलना चाहिए?
10. भाग II को एक नारे में समेटिए: “ $\Delta v$ आप चुन नहीं सकते, इसलिए आपको चुनना पड़ेगा …”।

**भाग III — पेटी, वायु-थैला और बच्चा।**

11. बिना पेटी बँधा पुतला अपना $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( [अध्याय 6](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#ch-g10-inertia) ) तब तक बनाए रखता है जब तक सामने का काँच उसे $0.005\,\mathrm{s}$ में न रोक दे; पेटी बँधा पुतला कार के साथ $0.150\,\mathrm{s}$ में रुक जाता है। औसत बलों की तुलना कीजिए।
12. थोड़ी खिंच जाने वाली पेटी न खिंचने वाले इस्पात के साज़ से बेहतर क्यों है?
13. सिर स्टीयरिंग पर $0.010\,\mathrm{s}$ में रुकता; वायु-थैला इसे खींचकर $0.080\,\mathrm{s}$ कर देता है। बलों की तुलना कीजिए।
14. वयस्क और बच्चा उसी $\Delta t$ में वही $\Delta v$ झेलते हैं। दोनों पेटियों को देने पड़ते परिणामी बलों की तुलना कीजिए।
15. गोद में बैठा बच्चा: बाँहों को $10\,\mathrm{kg}$ के शिशु का वेग $0.150\,\mathrm{s}$ में $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ जितना बदलना होगा, जबकि गुरुत्व हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) वेग को $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ जितना बदलता है। बाँहों को कितने गुना तेज़ काम करना पड़ेगा — और कितना द्रव्यमान थामना उतना ही भारी लगेगा? निष्कर्ष लिखिए।
16. बच्चे कम बल झेलते हैं — फिर बच्चों की सीट क्यों? सोचिए कि पेटी अपना बल *कहाँ* लगाती है, और $\Delta t$ पर भी विचार कीजिए।

**भाग IV — सुरक्षा-पिंजरा, और फ़ैसला।**

17. सवारी वाला कक्ष कठोर है जबकि दोनों सिरे कुचल जाते हैं। कठोरता का मतलब हिंसक रुकाव होने पर भी कक्ष का विरूपित न होना ज़रूरी क्यों है?
18. दो एक जैसी कारें आमने-सामने भिड़ती हैं, हर एक $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ पर। हर एक कहाँ रुकती है? हर टक्कर की तुलना दीवार वाली जाँच से कीजिए।
19. एक छोटी कार लदे ट्रक से आमने-सामने भिड़ती है। वे एक-दूसरे पर जो बल लगाते हैं वे बराबर और विपरीत हैं, हर अंतःक्रिया की तरह परस्पर ( [अध्याय 13](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#ch-g11-fundamental-interactions) )। किसका वेग अधिक बदलता है?
20. इस समस्या के सुरक्षा-उपकरण गिनाइए और वह एक राशि बताइए जिसे उनमें से हर एक खींचता है।
21. समापन: कोमल टक्कर का डिज़ाइन-नियम केवल *द्रव्यमान* , *वेग-बदलाव* , *बल* और *समय* का उपयोग करते हुए एक वाक्य में लिखिए।

**हल — समस्या 16.1.**

**1.** $50/3.6 \approx 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (उसे $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ कहिए)। **2.** $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: सवार पहले $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से चल रहा था और बाद में शून्य पर है — दोनों सिरे टक्कर तय कर देती है, इसलिए कोई उपकरण $\Delta v$ को छू भी नहीं सकता। **3.** $\Delta v \propto F\Delta t/m$ ([प्रमेय 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)): $\Delta v$ और $m$ तय होने पर बल $F\Delta t$ को भी तय कर देते हैं। डिज़ाइनर के हाथ में बची एकमात्र घुंडी $\Delta t$ है। **4.** $0.150/0.050 = 3$: कुचल-हिस्सा औसत बल को $3$ से बाँट देता है। **5.** पीछे की ओर, गति के विपरीत — वेग $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से घटकर शून्य हो जाता है। **6.** मुड़ जाने वाला अगला हिस्सा रुकाव को लंबा करने की मशीन है: कुचलती धातु मिलीसेकंड ख़रीद लेती है। **7.** वही $\Delta v$ और $m$, $\Delta t$ तीन गुना छोटा: पुराने ज़माने का पुतला तीन गुना बल झेलता है। **8.** [औसत चाल](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/5-relative-motion#def-g10-relative-motion-speed) $\approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; दूरी $\approx
6.9 \times 0.150 \approx 1.0\,\mathrm{m}$ — लगभग उतनी ही [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) विरूपित हो सकने वाली कार जितनी असली कुचल-हिस्सा देता है। **9.** $10\,\mathrm{m}$ लंबी नाक वाली कार न चलाई जा सकती है न खड़ी की जा सकती है, और उसका अपना द्रव्यमान हर टक्कर को और बिगाड़ देगा। सवारी वाला कक्ष कुचलना नहीं चाहिए: वही जीवित बचने की जगह बचाकर रखता है। **10.** “…इसलिए आपको $\Delta t$ चुनना पड़ेगा।” **11.** $0.150/0.005 = 30$: सामने के काँच वाला रुकाव पेटी वाले रुकाव से तीस गुना हिंसक है। **12.** थोड़ी खिंच जाने वाली पेटी सवार के अपने $\Delta t$ को कुछ और लंबा कर देती है (और बल को फैला भी देती है); इस्पात का साज़ कार के ढाँचे का सबसे छोटा रुकाव सबसे कोमल सवारी पर थोप देता। **13.** $0.080/0.010 = 8$: वायु-थैला सिर के बल को $8$ से बाँट देता है। **14.** वही $\Delta v$ और $\Delta t$: बल द्रव्यमान के साथ बढ़ता है, इसलिए वयस्क के लिए $70/20 = 3.5$ गुना बड़ा। **15.** ज़रूरी बदलाव: हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $14/0.150 \approx 93\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी गुरुत्व जो पैदा करता है (प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) उसका लगभग $9.5$ गुना। बाँहों को शिशु के भार का लगभग $9.5$ गुना खींचना पड़ेगा: जैसे $95\,\mathrm{kg}$ का बोझ थामना। कोई बाँह यह नहीं कर सकती; शिशु आगे उड़ जाता है। **16.** वयस्क की पेटी बल को कूल्हों और छाती तक पहुँचाती है; बच्चे पर वही पेट और गरदन पर पड़ेगी। बच्चों की सीट (छोटा) बल शरीर के मज़बूत हिस्सों पर लगाती है और उसकी गद्दी $\Delta t$ को और खींच देती है। **17.** कक्ष विरूपित हो गया तो सवारों की बची रहने की जगह चली जाती है और ढाँचा ही उन्हें आ लगता है। कठोर कक्ष से सीधे कुछ भी नहीं टकराना चाहिए: सवारों के रुकाव पेटी और वायु-थैला सँभालते हैं (लंबा $\Delta t$), जबकि कक्ष कुचलते सिरों को लंगर देता है। **18.** सममिति से दोनों कारें संपर्क-तल पर रुक जाती हैं: हर चालक कुचल-हिस्से वाले रुकाव में $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ झेलता है — यानी असल में दीवार वाली जाँच ही, “दुगुनी टक्कर” नहीं। **19.** बल बराबर और विपरीत हैं, पर $\Delta v \propto F\Delta t/m$: छोटी कार, जिसका $m$ छोटा है, बड़ा वेग-बदलाव झेलती है। **20.** कुचल-हिस्सा, खिंचने वाली सीट-पेटी, वायु-थैला, बच्चों की सीट की गद्दी — इनमें से हर एक वही एक राशि खींचता है: $\Delta t$। **21.** टक्कर द्रव्यमान और वेग-बदलाव तय कर देती है, इसलिए गुणनफल बल $\times$ समय भी: कोमल टक्कर वही है जो लंबी हो — समय खींचिए, और बल उसी अनुपात में गिर जाएगा।