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title: "ध्वनि और ध्वनिकी"
book: "माध्यमिक भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 21
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/21-sound-and-acoustics
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# अध्याय 21 — ध्वनि और ध्वनिकी

गिटार का निचला तार छेड़िए: कमरा एक गहरे A से भर जाता है, फिर भी आपके कान तक दबी और खिंची हवा के सिवा कुछ नहीं पहुँचा। यह अध्याय उसी ढर्रे के पीछे चलता है — उसकी चाल, आवृत्ति कैसे [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) बनती है और शक्ति कैसे [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness), और एक ही सुर हर वाद्य पर अलग क्यों लगता है।

## 21.1 ध्वनि एक दाब-तरंग है

**परिभाषा 21.1 (ध्वनि तरंग).**

*ध्वनि तरंग* यांत्रिक दाब-तरंग है ([अध्याय 20](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#ch-g12-mechanical-waves)): कोई कंपित सतह चलते हुए *संपीडन* (हलका अधिदाब) और *विरलन* (न्यूनदाब) पैदा करती है। हवा के पिंड सफ़र की दिशा के *अनुदिश* दोलन करते हैं ([ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) *अनुदैर्घ्य* है), और माध्यम ज़रूरी है: निर्वात की बरनी में रखी घंटी चुप हो जाती है ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#ch-g10-signals-and-waves))।

![लाउडस्पीकर अनुदैर्घ्य तरंग चलाता है: हवा के पिंड सिमटकर एक-एक तरंगदैर्घ्य = v/f की दूरी पर संपीडन बना देते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-3de594043e4c.svg)

*लाउडस्पीकर [अनुदैर्घ्य तरंग](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) चलाता है: हवा के पिंड सिमटकर एक-एक [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$ की दूरी पर [संपीडन](#def-g12-sound-acoustics-sound-wave) बना देते हैं।*

**प्रतिज्ञप्ति 21.2 (ध्वनि की चाल).**

[ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर हवा में लगभग $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, पानी में $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ और इस्पात में $5000\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ चलती है: माध्यम जितना कड़ा, चाल उतनी तेज़।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 21.3 (गरम हवा तेज़ होती है).**

ये नापे हुए मान हैं; इनका पूर्वानुमान वर्ष 1 के खंड में लगाया गया है। [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) गरम हवा में तेज़ हो जाती है ($0{}^{\circ}\mathrm{C}$ पर $331\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) — और इसीलिए हॉल गरम होते ही फूँक वाले वाद्य सुर से उतर जाते हैं।

**उदाहरण 21.4 (ध्वनियों के नाप).**

संबंध $\lambda = v/f$ हर [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) का नाप बता देता है: हवा में $20\,\mathrm{Hz}$ की गड़गड़ाहट $340/20 = 17\,\mathrm{m}$ तक फैलती है — यानी एक इमारत जितनी — और $20\,\mathrm{kHz}$ की सरसराहट $1.7\,\mathrm{cm}$ में समा जाती है; [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) भर वाली ध्वनियाँ दरवाज़ों और कोनों के चारों ओर आसानी से मुड़ जाती हैं।

## 21.2 तारत्व, प्रबलता और कान

**परिभाषा 21.5 (तारत्व और प्रबलता).**

*तारत्व* आवृत्ति का [बोध](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/11-color-and-light-sources#def-g11-color-light-sources-perception) है: $f$ जितनी अधिक, सुर उतना ऊँचा; सुर A $440\,\mathrm{Hz}$ का होता है, और $f$ दुगुनी करने पर सुर एक सप्तक ऊपर चढ़ जाता है। *प्रबलता* आयाम का [बोध](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/11-color-and-light-sources#def-g11-color-light-sources-perception) है: दाब का दोलन जितना प्रबल, [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) उतनी ऊँची; प्रवर्धन प्रबलता बदलता है, तारत्व नहीं।

**टिप्पणी 21.6 (कान की खिड़की).**

सुनने की सीमा लगभग $20\,\mathrm{Hz}$ से $20\,\mathrm{kHz}$ तक है ([अध्याय 8](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#ch-g10-signals-and-waves)); उससे नीचे [अवश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) है और ऊपर [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) — चमगादड़ $50\,\mathrm{kHz}$ पर, चिकित्सा जाँच के यंत्र मेगाहर्ट्ज़ पर। पियानो केवल बीच का हिस्सा छूता है: $27.5\text{ to }4186\,\mathrm{Hz}$.

## 21.3 ध्वनि तीव्रता और डेसिबल पैमाना

**परिभाषा 21.7 (ध्वनि तीव्रता).**

*ध्वनि तीव्रता* $I$ वह ध्वनिक शक्ति है जो तरंग के सामने रखे एक वर्ग [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) से गुज़रती है: $I = P/S$, जिसे $\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ में नापते हैं। सबसे मंद सुनाई देती [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) लगभग $I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ की होती है; और पीड़ा $1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के आसपास शुरू होती है।

**प्रतिज्ञप्ति 21.8 (व्युत्क्रम-वर्ग क्षीणन).**

हर दिशा में समान रूप से $P$ शक्ति विकिरित करता छोटा स्रोत दूरी $r$ पर $I = P/(4\pi r^2) \propto 1/r^2$ देता है: दूरी दुगुनी करने पर तीव्रता चौथाई रह जाती है।

**उपपत्ति.** पूरी $P$ शक्ति क्षेत्रफल $4\pi r^2$ वाले गोले से गुज़रती है; भाग दे दीजिए। ∎

**परिभाषा 21.9 (ध्वनि स्तर).**

कान दस की बारह घातों तक फैला है, इसलिए तीव्रताएँ लघुगणकीय रूप में लिखी जाती हैं। $I$ का *ध्वनि स्तर* है

$$
L = 10 \log_{10}(I/I_0), \qquad I_0 = 1.0 \times 10^{-12}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2},
$$

जिसे *डेसिबल* ($\mathrm{dB}$) में नापते हैं: श्रवण-देहली $0\,\mathrm{dB}$, पीड़ा $120\,\mathrm{dB}$ के आसपास।

**प्रतिज्ञप्ति 21.10 (डेसिबल का गणित).**

$I$ को $k$ से गुणा करने पर $10\log_{10}k$ [डेसिबल](#def-g12-sound-acoustics-level) जुड़ जाते हैं। विशेष रूप से $\times 10$ $10\,\mathrm{dB}$ जोड़ता है; $\times 2$ $10\log_{10}2 \approx 3.0\,\mathrm{dB}$ जोड़ता है; $N$ असंबद्ध एक जैसे स्रोत *तीव्रताएँ* जोड़ते हैं, स्तर कभी नहीं, और $L_1 + 10\log_{10}N$ देते हैं; और छोटे स्रोत से दूरी दुगुनी करने पर ($I$ चौथाई) लगभग $6.0\,\mathrm{dB}$ घट जाते हैं।

**उपपत्ति.** $10\log_{10}(kI/I_0) = 10\log_{10}(I/I_0) + 10\log_{10}k$; दूरी के लिए: [प्रतिज्ञप्ति 21.8](#prop-g12-sound-acoustics-inverse-square), $k = 1/4$। ∎

**विधि 21.11 (डेसिबल में काम करना).**

1. $L = 10\log_{10}(I/I_0)$ ; और उलटा: $I = I_0 \times 10^{L/10}$ ।
2. स्तर कभी मत जोड़िए: तीव्रताओं में बदलिए, जोड़िए, फिर वापस बदलिए — या हर दुगुनेपन पर $+3\,\mathrm{dB}$ , हर दस गुने पर $+10\,\mathrm{dB}$ ।
3. छोटे स्रोत से दूरी हर बार दुगुनी करने का दाम $6\,\mathrm{dB}$ है।

![रोज़मर्रा के स्तरों की सीढ़ी: हर 20\, dB का क़दम तीव्रता में सौ गुने की छलाँग है; और 85\, dB से आगे (लाल क्षेत्र) रहना सुनने की शक्ति को नुक़सान पहुँचाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-44f4ed217f8e.svg)

*रोज़मर्रा के स्तरों की सीढ़ी: हर $20\,\mathrm{dB}$ का क़दम तीव्रता में सौ गुने की छलाँग है; और $85\,\mathrm{dB}$ से आगे (लाल क्षेत्र) रहना सुनने की शक्ति को नुक़सान पहुँचाता है।*

**टिप्पणी 21.12 (श्रवण-हानि).**

सुनने की शक्ति का नुक़सान एक [मात्रा](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/19-the-nucleus-and-radioactivity#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) है: $85\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे तक सुरक्षित है, और उसके ऊपर हर $3\,\mathrm{dB}$ — यानी तीव्रता का दुगुनापन — सुरक्षित समय आधा कर देता है; और मरी हुई रोम-कोशिकाएँ फिर नहीं उगतीं।

## 21.4 गुणता और संनादी

**परिभाषा 21.13 (संनादी).**

आवृत्ति $f_1$ — यानी *मूल स्वर* — की कोई [आवर्ती](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-period) [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) आम तौर पर आवृत्तियों $f_n = n f_1$, $n = 1, 2, 3, \dots$ पर ज्याओं का योग होती है, जिन्हें उसके *संनादी* कहते हैं। जो [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) केवल अपने मूल स्वर तक सिमटी हो वह *शुद्ध स्वर* है, जैसा स्वरित्र द्विभुज का।

**परिभाषा 21.14 (वर्णक्रम और गुणता).**

किसी [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) का *वर्णक्रम* उसके संनादियों का स्तंभ चित्र है: हर $f_n$ पर एक स्तंभ, और ऊँचाई उस [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) की [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)। कान $f_1$ को [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) के रूप में सुनता है और प्रबलताओं के *मिश्रण* को *गुणता* के रूप में — यानी [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) के रंग के रूप में: एक ही सुर बजाते वाद्यों का $f_1$ एक ही होता है, फ़र्क़ केवल उनके वर्णक्रमों में रहता है।

![वही A (220\, Hz): ऊपर तरंग-रूप, नीचे वर्णक्रम — मूल स्वर और तारत्व वही; वायलिन की संनादी-सीढ़ी ही उसकी गुणता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-30ab28b97d80.svg)

*वही A ($220\,\mathrm{Hz}$): ऊपर तरंग-रूप, नीचे [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) — [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) और [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) वही; वायलिन की संनादी-सीढ़ी ही उसकी [गुणता](#def-g12-sound-acoustics-timbre) है।*

**उदाहरण 21.15 (आप फ़ोन करने वाले को पहचान क्यों लेते हैं).**

बाँसुरी का A लगभग [शुद्ध स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) है; वही $220\,\mathrm{Hz}$ गज से बजाता वायलिन $440\,\mathrm{Hz}\text{, }660\,\mathrm{Hz}\text{ and }880\,\mathrm{Hz}$ पर प्रबल [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) जोड़ देता है। [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) और [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) एक-सी, फिर भी कोई उन्हें नहीं भ्रमाता: आवाज़ भी वह [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) है जो आपको मुँहज़बानी याद है।

## 21.5 कंपित तार

**परिभाषा 21.16 (अप्रगामी तरंग).**

तार के जकड़े सिरों के बीच बंद तरंग *अप्रगामी तरंग* में बैठ सकती है: यानी अपनी जगह होता दोलन, जिसमें निश्चल बिंदु — *निस्पंद* — और अधिकतम झूल वाले बिंदु — *प्रस्पंद* — एक के बाद एक आते हैं। अब कुछ चलता नहीं; तार एक जमे हुए ढर्रे में कंपन करता है।

**प्रतिज्ञप्ति 21.17 (तार के मोड).**

दोनों सिरों पर जकड़ा लंबाई $L$ का तार, जिस पर चाल $v$ की तरंगें चलती हैं, केवल उन्हीं ढर्रों में स्थिर कंपन करता है जिनमें सिरों पर थोपे गए निस्पंदों के बीच पूरी संख्या $n$ भर अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँट जाएँ:

$$
\lambda_n = \frac{2L}{n}, \quad f_n = n\,\frac{v}{2L} = n f_1, \quad n = 1, 2, 3, \dots
$$

सबसे निचला मोड $f_1 = v/(2L)$ [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) है; बाक़ी ठीक उसके [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) हैं।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 21.18 (ईमानदार उपपत्ति कहाँ रहती है).**

बंद तरंगें ठीक यही मोड क्यों चुनती हैं, यह तरंग को उसके परावर्तनों पर अध्यारोपित करने से निकलता है, और वह कलन वर्ष 1 के खंड में किया गया है। ज्यामिति ही मन को मना देती है: दोनों सिरों को निश्चल रहना है, इसलिए पूरी संख्या भर अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटने ही चाहिए।

![दोनों सिरों पर जकड़े तार के पहले तीन मोड: L में n अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटते हैं, इसलिए _n = 2L/n और f_n = nf_1।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-sound-acoustics/fig-c55a202a523c.svg)

*दोनों सिरों पर जकड़े तार के पहले तीन मोड: $L$ में $n$ अर्ध-तरंगदैर्घ्य अँटते हैं, इसलिए $\lambda_n = 2L/n$ और $f_n = nf_1$।*

**उदाहरण 21.19 (वायलिन का A तार).**

वायलिन के A तार पर $L = 32.8\,\mathrm{cm}$ है और वह $f_1 = 440\,\mathrm{Hz}$ बजाता है: तरंगें उस पर $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.328 \times 440 \approx 289\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ से दौड़ती हैं — यह चाल [तनाव](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/6-forces-and-the-principle-of-inertia#def-g10-inertia-inventory) और द्रव्यमान से तय होती है, और खूँटी से सुर में बिठाई जाती है। उँगली दबाने पर $L$ छोटा हो जाता है और हर $f_n$ एक साथ ऊपर चढ़ जाता है: [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) पूरा का पूरा सरक जाता है।

**टिप्पणी 21.20 (वाद्य अलग-अलग क्यों लगते हैं).**

तार को छेड़ा कैसे गया — नोचकर, गज से, या चोट मारकर — यह तय करता है कि हर मोड कितना मौजूद है, और वाद्य का ढाँचा कुछ संनादियों को दूसरों से अधिक प्रवर्धित करता है; छेड़ने का ढंग और ढाँचा मिलकर [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) तय कर देते हैं, इसलिए वही $f_1$ गिटार, वायलिन और पियानो से निकलकर हर बार अपने वाद्य जैसा ही सुनाई देता है।

## 21.6 अभ्यास

**अभ्यास 21.1 ★.**

हवा में ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) इनका [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) निकालिए: (क) $55\,\mathrm{Hz}$ का मंद्र सुर; (ख) $1.0\,\mathrm{kHz}$ की बीप; (ग) $15\,\mathrm{kHz}$ की चीं। सबसे बड़े की तुलना सबसे छोटे से कीजिए।

**हल — अभ्यास 21.1.**

$\lambda = v/f$: (क) $340/55 \approx 6.2\,\mathrm{m}$; (ख) $0.34\,\mathrm{m}$; (ग) $2.3\,\mathrm{cm}$। अनुपात $15000/55 \approx 270$।

**अभ्यास 21.2 ★.**

इन्हें [अवश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound), श्रव्य [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) या [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) में बाँटिए: $8\,\mathrm{Hz}$; $100\,\mathrm{Hz}$; $15\,\mathrm{kHz}$; $40\,\mathrm{kHz}$; $3\,\mathrm{MHz}$। श्रव्य वालों में कौन-सी [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) में नीची है?

**हल — अभ्यास 21.2.**

[अवश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $8\,\mathrm{Hz}$। श्रव्य: $100\,\mathrm{Hz}$ और $15\,\mathrm{kHz}$। [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound): $40\,\mathrm{kHz}$ और $3\,\mathrm{MHz}$। [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) में नीची: $100\,\mathrm{Hz}$ (आवृत्ति कम)।

**अभ्यास 21.3 ★.**

कोई मज़दूर $1.0\,\mathrm{km}$ दूर पटरी पर हथौड़ा मारता है। इस्पात में और हवा में सफ़र के समय निकालिए। एक कान पटरी से सटाए सुनने वाले को क्या सुनाई देता है?

**हल — अभ्यास 21.3.**

इस्पात: $1000/5000 = 0.20\,\mathrm{s}$; हवा: $1000/340 \approx
2.9\,\mathrm{s}$। दो खटके, $2.7\,\mathrm{s}$ के अंतर पर — पहले पटरी वाला।

**अभ्यास 21.4 ★.**

(क) $I = 1.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$ के लिए [ध्वनि स्तर](#def-g12-sound-acoustics-level)? (ख) $60\,\mathrm{dB}$ पर तीव्रता? (ग) हर स्तर के पास की एक रोज़मर्रा की [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) बताइए।

**हल — अभ्यास 21.4.**

(क) $L = 10\log_{10}10^{7} = 70\,\mathrm{dB}$। (ख) $I = 10^{-12} \times
10^{6} = 1.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$। (ग) $70\,\mathrm{dB}$: वैक्यूम क्लीनर; $60\,\mathrm{dB}$: आपस की बातचीत।

**अभ्यास 21.5 ★.**

वायलिन का G तार $f_1 = 196\,\mathrm{Hz}$ बजाता है: उसके अगले तीन [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) दीजिए। $12\,\mathrm{kHz}$ की सीटी स्रोत पर चाहे कितनी ही समृद्ध हो, कान तक [शुद्ध स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) बनकर क्यों पहुँचती है?

**हल — अभ्यास 21.5.**

$392\,\mathrm{Hz}\text{, }588\,\mathrm{Hz}\text{ and }784\,\mathrm{Hz}$. उसके ऊँचे [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ($n \ge 2$) $24\,\mathrm{kHz}$ से शुरू होते हैं, जो श्रव्य छत के ऊपर है: इसलिए केवल $12\,\mathrm{kHz}$ वाला [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) ही सुनाई देता है।

**अभ्यास 21.6 ★★.**

कोई सायरन हर दिशा में समान रूप से $P = 0.50\,\mathrm{W}$ विकिरित करता है। $5.0\,\mathrm{m}$ दूर तीव्रता और [ध्वनि स्तर](#def-g12-sound-acoustics-level) निकालिए।

**हल — अभ्यास 21.6.**

$I = 0.50/(4\pi \times 25) \approx 1.6 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$; $L = 10\log_{10}(1.6 \times 10^{9}) \approx 92\,\mathrm{dB}$।

**अभ्यास 21.7 ★★.**

आपकी सीट पर एक वायलिन $68\,\mathrm{dB}$ देता है। दो कितना देंगे? चार? $78\,\mathrm{dB}$ तक पहुँचने के लिए कितने वायलिन चाहिए?

**हल — अभ्यास 21.7.**

दो: $+3\,\mathrm{dB} \to 71\,\mathrm{dB}$; चार: $74\,\mathrm{dB}$। $+10\,\mathrm{dB}$ के लिए तीव्रता में $\times 10$ चाहिए: यानी $10$ वायलिन।

**अभ्यास 21.8 ★★.**

किसी छोटे लाउडस्पीकर से $2.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर $95\,\mathrm{dB}$ है। $8.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर का पूर्वानुमान लगाइए: क्या वह $85\,\mathrm{dB}$ के निशान से नीचे है?

**हल — अभ्यास 21.8.**

$r \times 4$: $I \div 16$, इसलिए $-12\,\mathrm{dB}$: $83\,\mathrm{dB}$। हाँ — $85\,\mathrm{dB}$ के निशान से ठीक नीचे।

**अभ्यास 21.9 ★★.**

$440\,\mathrm{Hz}$ का सुर हवा से पानी में जाता है। दोनों माध्यमों में उसका [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) निकालिए। गोताख़ोर को वही [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) सुनाई देता है: कौन-सी राशि स्रोत तय करता है, और कौन-सी उसके अनुसार बदल जाती है?

**हल — अभ्यास 21.9.**

हवा: $340/440 \approx 0.77\,\mathrm{m}$; पानी: $1500/440 \approx
3.4\,\mathrm{m}$। स्रोत आवृत्ति तय करता है; [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v/f$ माध्यम के अनुसार बदल जाता है।

**अभ्यास 21.10 ★★.**

किसी [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) में $130\,\mathrm{Hz}\text{, }260\,\mathrm{Hz}\text{, }390\,\mathrm{Hz}\text{ and }520\,\mathrm{Hz}$ पर घटती ऊँचाइयों के शिखर हैं: [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) क्या है? दूसरा वाद्य उसी [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) पर वही सुर बजाता है: उसके [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) में क्या एक-सा रहेगा, क्या अलग?

**हल — अभ्यास 21.10.**

$f_1 = 130\,\mathrm{Hz}$ (शिखरों का अंतराल)। एक-सा: स्तंभों की जगहें $nf_1$ (वही [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness)) और कुल तीव्रता; अलग: स्तंभों की ऊँचाइयाँ — यानी वह मिश्रण जो [गुणता](#def-g12-sound-acoustics-timbre) बनाता है।

**अभ्यास 21.11 ★★.**

लंबाई $65.0\,\mathrm{cm}$ का गिटार-तार $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ बजाता है। तरंग की चाल निकालिए, फिर वे कंपित लंबाइयाँ जो सप्तक ($220\,\mathrm{Hz}$) और पंचम ($165\,\mathrm{Hz}$) देती हैं।

**हल — अभ्यास 21.11.**

$v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। सप्तक: $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$; पंचम: $L' = 143/330 \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$।

**अभ्यास 21.12 ★★★.**

कोई चिकित्सा-यंत्र नरम ऊतक ($v = 1540\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) में $5.0\,\mathrm{MHz}$ का [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) भेजता है: [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength)? किसी अंग की दोनों दीवारों से प्रतिध्वनियाँ $26\,\text{µ}\mathrm{s}$ और $58\,\text{µ}\mathrm{s}$ बाद लौटती हैं: उनकी गहराइयाँ और अंग की मोटाई निकालिए।

**हल — अभ्यास 21.12.**

$\lambda = 1540/5.0 \times 10^{6} \approx 0.31\,\mathrm{mm}$। गहराई $= vt/2$: $1540 \times 26 \times 10^{-6}/2 \approx 2.0\,\mathrm{cm}$ और $1540 \times 58 \times 10^{-6}/2 \approx 4.5\,\mathrm{cm}$; मोटाई $\approx 2.5\,\mathrm{cm}$।

**अभ्यास 21.13 ★★★.**

कोई खुला मंच $3.0\,\mathrm{m}$ पर $110\,\mathrm{dB}$ पैदा करता है। उसे छोटा स्रोत मानकर बताइए कि किस दूरी पर स्तर गिरकर $85\,\mathrm{dB}$ रह जाता है? असली दूरी अलग होने के दो कारण दीजिए।

**हल — अभ्यास 21.13.**

$-25\,\mathrm{dB}$ का अर्थ है $I \div 10^{2.5} \approx 316$, इसलिए $r \times \sqrt{316} \approx 17.8$: $r \approx 3.0 \times 17.8
\approx 53\,\mathrm{m}$। असली हॉल अलग होते हैं: ज़मीन और दीवारों से परावर्तन तीव्रता जोड़ देते हैं, जबकि हवा और भीड़ उसे सोख लेती हैं (और मंच कोई समदैशिक बिंदु-स्रोत भी नहीं है)।

**अभ्यास 21.14 ★★★.**

पीड़ा-देहली ($1\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$) और $I_0$ का अनुपात निकालिए। कर्णपटह को $0.5\,\mathrm{cm}^{2}$ मानकर दोनों देहलियों पर मिलती शक्ति निकालिए; और संसूचक के रूप में कान पर टिप्पणी कीजिए।

**हल — अभ्यास 21.14.**

$1/10^{-12} = 10^{12}$। कर्णपटह $S = 5 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}^{2}$: मिलती शक्ति देहली पर $5 \times 10^{-17}\,\mathrm{W}$ और पीड़ा पर $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — यानी कान दसियों ऐटोवाट पकड़ लेता है और उससे खरब गुना पर भी काम करता रहता है: बारह दहाइयों के गतिक [परास](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-strong) वाला संसूचक।

**अभ्यास 21.15 ★★★.**

उत्सव के एक जैसे हर लाउडस्पीकर अकेले मिश्रण-मेज़ पर $80\,\mathrm{dB}$ देते हैं। $2$ कितना देंगे? $10$? $100$? हर अतिरिक्त $10\,\mathrm{dB}$ का दाम क्या पड़ता है — और इससे [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) की होड़ के बारे में क्या निकलता है?

**हल — अभ्यास 21.15.**

$2$: $83\,\mathrm{dB}$; $10$: $90\,\mathrm{dB}$; $100$: $100\,\mathrm{dB}$। हर अतिरिक्त $10\,\mathrm{dB}$ का दाम लाउडस्पीकरों का दस गुना होना है: [प्रबलता](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) की होड़ चरघातांकी रूप से महँगी है (और जीते जाने से बहुत पहले ही ख़तरनाक)।

## 21.7 समस्या: वाद्य-कारीगर की कार्यशाला

**समस्या 21.1.**

सप्ताहांत समस्या — वाद्य-कारीगर की कार्यशाला: गिटार का एक तार पर्दा-दर-पर्दा बिछाया गया, उसके संनादी एक गुणता में सुर बिठाए गए, एक संगीत-संध्या ख़तरे की रेखा से नीचे रखी गई, और लकड़ी में छिपे दोष की पराश्रव्य खोज

एक वाद्य-कारीगर गिटार पूरा कर रहा है। उसके A तार की कंपित लंबाई $L = 65.0\,\mathrm{cm}$ है और उसे $f_1 = 110\,\mathrm{Hz}$ बजाना है। हवा में [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) के लिए $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए, और $f_1 = v/(2L)$ ([प्रतिज्ञप्ति 21.17](#prop-g12-sound-acoustics-string-modes)) मान लीजिए, जहाँ $v$ तार पर तरंग की चाल है।

**भाग I — पर्दे बिछाना।**

1. तार पर तरंग की चाल $v$ निकालिए।
2. [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) का *तार पर* [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) निकालिए, फिर *हवा में* $110\,\mathrm{Hz}$ की [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) का [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) । एक ही आवृत्ति पर वे अलग क्यों हैं?
3. सप्तक ( $220\,\mathrm{Hz}$ ): कौन-सी कंपित लंबाई उसे देती है? बारहवाँ पर्दा $L$ के किस अंश पर बैठना चाहिए?
4. पंचम ( $165\,\mathrm{Hz}$ ): कौन-सी कंपित लंबाई उसे देती है?
5. हर पर्दा सुर को एक अर्धस्वर ऊपर चढ़ाता है, यानी गुणक $2^{1/12}$ । लघुगणक से जाँचिए कि $110\,\mathrm{Hz}$ और $220\,\mathrm{Hz}$ के बीच कितने अर्धस्वर हैं; और पहले पर्दे पर लंबाई?

**भाग II — [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) और [गुणता](#def-g12-sound-acoustics-timbre)।**

6. खुले A तार के पहले पाँच [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) गिनाइए।
7. वायलिन-वादक का A $440\,\mathrm{Hz}$ बजाता है। यह गिटार-तार का कौन-सा [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) है, और [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) से उसका संगीत-अंतराल कितना है? और $330\,\mathrm{Hz}$ ?
8. कारीगर पहले घोड़ी के पास तार छेड़ता है, फिर पर्दा-पट्टी के ऊपर: वही [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) , अलग रंग। वर्णक्रमों से समझाइए।
9. छेड़ते समय बीचोंबीच हलका-सा छू देने से वहाँ एक [निस्पंद](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) बन जाता है। कौन-से [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) बचते हैं, और कौन-सा [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) सुनाई देता है?
10. सिद्धांततः खुले तार के कितने [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) श्रव्य [परास](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-strong) के भीतर पड़ते हैं?

**भाग III — संगीत-संध्या।** गिटार के पहले संगीत-कार्यक्रम में हर वाद्य छोटे स्रोत की तरह हर दिशा में समान रूप से $P = 6.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{W}$ ध्वनिक शक्ति विकिरित करता है।

11. एक वाद्य से $r = 3.0\,\mathrm{m}$ पर तीव्रता निकालिए।
12. वहाँ का [ध्वनि स्तर](#def-g12-sound-acoustics-level) निकालिए।
13. एक चौकड़ी बजती है: ऐसे चार वाद्य उसी जगह कितना स्तर देंगे? वह चार गुना स्तर क्यों नहीं है?
14. बारह वाद्य बजते हैं: $3.0\,\mathrm{m}$ पर स्तर क्या है?
15. पूरी मंडली का स्तर $85\,\mathrm{dB}$ तक गिरने के लिए श्रोता को कितना पीछे बैठना पड़ेगा?
16. सुरक्षा-नियम: $85\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे तक सुरक्षित है, और हर $3\,\mathrm{dB}$ सुरक्षित समय आधा कर देता है। प्रश्न 14 वाला अगली पंक्ति का श्रोता कितनी देर सुरक्षित बैठ सकता है?

**भाग IV — लकड़ी में छिपा दोष।** वार्निश करने से पहले कारीगर $45\,\mathrm{mm}$ मोटे गरदन-गुटके को $2.0\,\mathrm{MHz}$ के परीक्षक से जाँचता है; इस लकड़ी में $v = 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ लीजिए।

17. लकड़ी में [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) का [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) निकालिए। दोष खोजने वाली तरंग श्रव्य नहीं, [पराश्रव्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-ultrasound) ही क्यों होनी चाहिए?
18. गुटके के पिछले फलक से [प्रतिध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#rem-g10-signals-and-waves-honest) का [विलंब](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-delay) निकालिए।
19. कोई [प्रतिध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#rem-g10-signals-and-waves-honest) $7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ बाद लौटती है: दोष कितना गहरा है?
20. कार्यशाला का पर्चा लिखिए: तार पर तरंग की चाल, बारहवें और पहले पर्दे की लंबाइयाँ, सुरक्षित श्रवण-दूरी, और दोष की गहराई।

**हल — समस्या 21.1.**

**1.** $v = 2Lf_1 = 2 \times 0.650 \times 110 = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

**2.** तार पर $\lambda_1 = 2L = 1.30\,\mathrm{m}$; हवा में $\lambda = 340/110 \approx 3.1\,\mathrm{m}$। $f$ वही है, पर $\lambda = v/f$ और तरंग की चालें अलग हैं।

**3.** $L' = v/(2 \times 220) = L/2 = 32.5\,\mathrm{cm}$: बारहवाँ पर्दा ठीक बीच में, घोड़ी से $L/2$ पर बैठता है।

**4.** $L' = 143/(2 \times 165) \approx 43.3\,\mathrm{cm} = 2L/3$।

**5.** $\log(220/110)/\log 2^{1/12} = 12$ अर्धस्वर — यानी सप्तक तक बारह पर्दे। पहला पर्दा: $L_1 = L/2^{1/12} = 65.0/1.059
\approx 61.4\,\mathrm{cm}$।

**6.** $110\,\mathrm{Hz}\text{, }220\,\mathrm{Hz}\text{, }330\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }550\,\mathrm{Hz}$.

**7.** $440\,\mathrm{Hz} = 4f_1$: चौथा [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), यानी दो सप्तक ऊपर। $330\,\mathrm{Hz} = 3f_1$: तीसरा [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics), यानी एक सप्तक और एक पंचम।

**8.** छेड़ने की जगह मोडों का मिश्रण तय करती है: घोड़ी के पास ऊँचे [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) प्रबल रहते हैं (चमकीला [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre)), पर्दा-पट्टी के ऊपर [मूल स्वर](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) हावी रहता है (मुलायम)। $f_1$ वही, इसलिए [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) वही — [वर्णक्रम](#def-g12-sound-acoustics-timbre) अलग, [गुणता](#def-g12-sound-acoustics-timbre) अलग।

**9.** केवल वे [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics) बचते हैं जिनका बीचोंबीच [निस्पंद](#def-g12-sound-acoustics-standing-wave) हो: यानी सम वाले, $220\,\mathrm{Hz}\text{, }440\,\mathrm{Hz}\text{ and }660\,\mathrm{Hz}$, …और [तारत्व](#def-g12-sound-acoustics-pitch-loudness) एक सप्तक उछलकर $220\,\mathrm{Hz}$ हो जाता है।

**10.** $nf_1 \le 20\,\mathrm{kHz}$: $n \le 20000/110 = 181.8$, इसलिए $181$ [संनादी](#def-g12-sound-acoustics-harmonics)।

**11.** $I = P/(4\pi r^2) = 6.0 \times 10^{-3}/(4\pi \times 9.0)
\approx 5.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$।

**12.** $L = 10\log_{10}(5.3 \times 10^{7}) \approx 77\,\mathrm{dB}$।

**13.** $I \times 4$: $+6\,\mathrm{dB} \to 83\,\mathrm{dB}$। स्तर लघुगणक हैं: तीव्रताएँ जुड़ती हैं, स्तर नहीं।

**14.** $+10\log_{10}12 \approx +10.8\,\mathrm{dB} \to
88\,\mathrm{dB}$।

**15.** लक्ष्य $I = I_0 \times 10^{8.5} \approx
3.2 \times 10^{-4}\,\mathrm{W}/\mathrm{m}^{2}$, $12P = 7.2 \times 10^{-2}\,\mathrm{W}$ के साथ: $r = \sqrt{12P/(4\pi I)} \approx \sqrt{18.1} \approx 4.3\,\mathrm{m}$।

**16.** $88\,\mathrm{dB}$ आठ घंटे की सीमा से $+3\,\mathrm{dB}$ ऊपर है: सुरक्षित समय एक बार आधा होता है — यानी चार घंटे। संगीत-संध्या इसमें अँट जाती है।

**17.** $\lambda = 5000/2.0 \times 10^{6} = 2.5\,\mathrm{mm}$। कोई तरंग उन्हीं दोषों से परावर्तित होती है जो कम से कम लगभग एक [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-wavelength) चौड़े हों: लकड़ी में श्रव्य [ध्वनि](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/8-signals-and-waves#def-g10-signals-and-waves-sound) का $\lambda$ दसियों सेंटीमीटर होता है और वह किसी भी छोटे दोष के चारों ओर से मुड़ जाती है।

**18.** $t = 2d/v = 2 \times 0.045/5000 = 18\,\text{µ}\mathrm{s}$।

**19.** $d = vt/2 = 5000 \times 7.2 \times 10^{-6}/2 = 18\,\mathrm{mm}$।

**20.** पर्चा: तार पर $v = 143\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; पर्दे $32.5\,\mathrm{cm}$ (बारहवाँ) और $61.4\,\mathrm{cm}$ (पहला) पर; मंडली $\approx 4.3\,\mathrm{m}$ से आगे सुरक्षित; दोष $18\,\mathrm{mm}$ गहरा — चार संख्याएँ, एक अध्याय।