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title: "प्रकाश का अपवर्तन"
book: "माध्यमिक भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 3
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/3-refraction-of-light
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# अध्याय 3 — प्रकाश का अपवर्तन

पानी के गिलास में एक तिनका डुबोइए: वह पानी की सतह पर टूटा हुआ दिखता है। तरणताल हमेशा दिखने से गहरे होते हैं, हीरे रंगहीन पत्थर से रंगीन आग कौंधाते हैं, और आप जो वाक्य पढ़ रहे हैं वह शायद बाल से भी पतले काँच के धागे के भीतर एक महासागर पार करके आया है। चारों की व्याख्या एक ही नियम करता है — दो ज्याओं के बीच की एक बराबरी, जिसे स्नेल ने 1621 में खोजा, तब जब पंद्रह सदियों से भौतिक विज्ञानी कोणों की सारणियाँ ताकते रहे थे और पैटर्न देख नहीं पाए थे।

## 3.1 परावर्तन: एक स्मरण

समांगी पारदर्शी माध्यम में प्रकाश सीधी रेखाओं में चलता है — [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#ch-g10-light-spectra) वाली किरणें। दो माध्यमों की सीमा पर प्रकाश का एक हिस्सा वापस उछल जाता है (*परावर्तन*) और एक हिस्सा पार चला जाता है (*[अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction)*)। दोनों ठीक-ठीक ज्यामितीय नियम मानते हैं, जो एक ही परिपाटी के साथ कहे जाते हैं: कोण हमेशा *[अभिलंब](#def-g10-refraction-angles)* से नापे जाते हैं, सतह से कभी नहीं।

**परिभाषा 3.1 (अभिलंब और आपतन कोण).**

जिस बिंदु पर कोई किरण सतह से मिलती है, वहाँ सतह पर खींची गई लंब रेखा *अभिलंब* कहलाती है। आती हुई किरण और अभिलंब के बीच का कोण *आपतन कोण* $i_1$ है; परावर्तन और [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) के कोण भी इसी तरह अभिलंब से नापे जाते हैं।

**प्रतिज्ञप्ति 3.2 (परावर्तन का नियम).**

परावर्तित किरण उसी तल में होती है जिसमें आपतित किरण और [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) हैं, [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) के दूसरी ओर, और परावर्तन कोण [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles) के बराबर होता है:

$$
i_1' = i_1 .
$$

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**उदाहरण 3.3 (कोण सही ढंग से पढ़ना).**

लेज़र की एक किरण दर्पण पर “$35^\circ$ पर” पड़ती है — यानी दर्पण की सतह से नापकर, जैसे किरणों का वर्णन अक्सर किया जाता है। [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles) $90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$ है, इसलिए परावर्तित किरण भी [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से $55^\circ$ पर निकलती है, और किरण $180^\circ - 2 \times 55^\circ = 70^\circ$ मुड़ जाती है। [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) वाली परिपाटी भूल जाना इस अध्याय की सबसे आम गलती है; हर बार उसकी क़ीमत $90^\circ$ पड़ती है।

## 3.2 अपवर्तन और अपवर्तनांक

आधे भरे गिलास में पेंसिल पकड़िए: वह सतह पर टूटी दिखती है। पानी के भीतर वाले हिस्से से आता प्रकाश पानी छोड़ते समय दिशा बदल देता है, इसलिए आँख — जो किरणों को सीधा मानती है — नोक को वहाँ गढ़ देती है जहाँ वह है ही नहीं।

**परिभाषा 3.4 (अपवर्तन).**

*अपवर्तन* प्रकाश का वह दिशा-परिवर्तन है जो दो पारदर्शी माध्यमों की सीमा पार करते समय होता है। दूसरे माध्यम की किरण *अपवर्तित किरण* है, और [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से उसका कोण अपवर्तन कोण $i_2$ है।

[अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) इसलिए होता है कि प्रकाश की चाल अलग-अलग माध्यमों में अलग-अलग होती है; हर पदार्थ इसी से पहचाना जाता है कि वह प्रकाश को कितना धीमा करता है।

**परिभाषा 3.5 (अपवर्तनांक).**

किसी पारदर्शी माध्यम का *अपवर्तनांक* यह अनुपात है:

$$
n = \frac{c}{v},
$$

जहाँ $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ निर्वात में प्रकाश की चाल है और $v$ माध्यम में उसकी चाल। चूँकि $v \leq c$, इसलिए अपवर्तनांक $n \geq 1$ मानता है; इसका कोई मात्रक नहीं होता। कुछ उपयोगी मान:

| माध्यम | वायु | पानी | प्लेक्सिग्लास | काँच | हीरा |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $n$ | $1.0003$ | $1.33$ | $1.49$ | $1.50$ | $2.42$ |

**उदाहरण 3.6 (पानी में प्रकाश की चाल).**

पानी में $v = \dfrac{c}{n} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.33}
= 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$। हीरे में प्रकाश $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की चाल से रेंगता है — यानी निर्वात वाली चाल के आधे से भी कम। वायु के लिए $n = 1.0003$ चाल को केवल $0.03\%$ बदलता है: इस अध्याय में हम वायु को निर्वात मानेंगे और $n_{\text{वायु}} = 1.00$ लेंगे।

**प्रमेय 3.7 (स्नेल का अपवर्तन नियम).**

[अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) आपतित किरण और [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) के तल में होती है, [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) के दूसरी ओर, और आपतन तथा [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) के कोण यह संबंध मानते हैं:

$$
n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2 ,
$$

जहाँ $n_1$ और $n_2$ दोनों माध्यमों के [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) हैं। पथ प्रतिवर्ती है: [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) के साथ उलटी दिशा में चलता प्रकाश आपतित किरण के रास्ते ही बाहर निकलता है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 3.8.**

परावर्तन और [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) के नियम यहाँ प्रायोगिक तथ्यों के रूप में रखे गए हैं। उनकी ईमानदार व्युत्पत्ति स्नातक वर्ष 1 के खंड में है, जहाँ प्रकाश को तरंग की तरह लिया जाता है: तब दोनों नियम — और स्वयं सूत्र $n = c/v$ — सघन माध्यम में तरंग के धीमे पड़ने से निकल आते हैं।

![आपतित (नीली), परावर्तित (धूसर) और अपवर्तित (लाल) किरणें। सभी कोण अभिलंब (बिंदुदार) से नापे गए हैं; सघन माध्यम (n_2 > n_1) में घुसते समय किरण अभिलंब की ओर मुड़ती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-refraction/fig-5873c48d5e63.svg)

*आपतित (नीली), परावर्तित (धूसर) और अपवर्तित (लाल) किरणें। सभी कोण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) (बिंदुदार) से नापे गए हैं; सघन माध्यम ($n_2 > n_1$) में घुसते समय किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) की *ओर* मुड़ती है।*

**उदाहरण 3.9 (वायु से पानी).**

एक किरण शांत तालाब पर $i_1 = 30^\circ$ पर पड़ती है। $n_1 = 1.00$ और $n_2 = 1.33$ लेकर:

$$
\sin i_2 = \frac{n_1 \sin i_1}{n_2} = \frac{\sin 30^\circ}{1.33}
= \frac{0.500}{1.33} = 0.376,
\qquad
i_2 = 22.1^\circ .
$$

किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) की ओर मुड़ती है, जैसा धीमे माध्यम में घुसते समय वह हमेशा करती है ($n_2 > n_1$)। पानी छोड़ते समय वही गणना उलटी चलती है और किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से *दूर* मुड़ती है।

**विधि 3.10 (अपवर्तन की कोई समस्या हल करना).**

1. सतह, [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) और किरण खींचिए; $n_1$ (आपतित किरण का माध्यम) और $n_2$ पहचानिए।
2. जाँचिए कि दिए गए कोण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से नापे गए हैं; सतह से नापे गए हों तो बदल लीजिए।
3. $n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$ लिखिए और अज्ञात ज्या अलग कीजिए; कोण कैलकुलेटर की प्रतिलोम ज्या से निकालिए, जैसा गणित के खंड में है।
4. जाँच: $n_2 > n_1$ हो तो किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) की ओर मुड़ती है, $n_2 < n_1$ हो तो उससे दूर, और $\sin i_2$ $0$ तथा $1$ के बीच आना चाहिए।

नियम के पीछे का प्रयोग एक मेज़ पर समा जाता है: प्लेक्सिग्लास का आधा चक्र, एक चाँदा, एक लेज़र। कच्चे कोण-युग्म $(i_1, i_2)$ बेतरतीब दिखते हैं — टॉलेमी ने लगभग सन 150 में उन्हें सारणीबद्ध किया और गलत निष्कर्ष निकाला कि $i_2$, $i_1$ के समानुपाती है। इसके बजाय ज्या के सामने ज्या का आलेख खींचिए, और आँकड़े मूल बिंदु से जाती $n_1/n_2$ ढाल वाली एक सीधी रेखा में सीध जाते हैं: वही रेखा [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) *है*।

![i_1 = 10 से 70 तक वायु-से-पानी की मापें: ज्या के सामने ज्या का आलेख खींचने पर आँकड़े मूल बिंदु से जाती 1/1.33 ढाल वाली रेखा पर आ बैठते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-refraction/fig-884643f04315.svg)

*$i_1 = 10^\circ$ से $70^\circ$ तक वायु-से-पानी की मापें: ज्या के सामने ज्या का आलेख खींचने पर आँकड़े मूल बिंदु से जाती $1/1.33$ ढाल वाली रेखा पर आ बैठते हैं।*

**प्रतिज्ञप्ति 3.11 (आभासी गहराई).**

पानी के नीचे $d$ गहराई पर रखी कोई वस्तु, ऊपर से छोटे कोणों पर देखने पर, *[आभासी गहराई](#prop-g10-refraction-depth)*

$$
d' = \frac{d}{n} ,
$$

पर दिखती है, जहाँ $n$ पानी का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) है। $1.20\,\mathrm{m}$ गहरा तरणताल केवल $1.20/1.33 = 0.90\,\mathrm{m}$ गहरा दिखता है — और यही बेपरवाह छलाँगों का एक जाना-माना कारण है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 3.12.**

यह सूत्र आँख तक पहुँचती लगभग ऊर्ध्वाधर किरणों पर [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) लगाने से निकलता है; व्युत्पत्ति स्नातक वर्ष 1 के खंड में की गई है। प्रभाव की दिशा के लिए कोई सूत्र चाहिए ही नहीं: पानी से निकलती किरणें [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से दूर मुड़ती हैं, इसलिए आँख उन्हें पीछे की ओर वस्तु से ऊँचे किसी बिंदु तक ले जाती है।

## 3.3 वर्ण-विक्षेपण: हर रंग का अपना नियम

प्रिज़्म श्वेत धूप को इंद्रधनुष बना देता है, जैसा [अध्याय 2](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#ch-g10-light-spectra) के वर्णक्रमों ने दिखाया था। [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) बताता है कि ऐसा *क्यों* होता है: किसी माध्यम का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) हर रंग के लिए बिलकुल एक जैसा नहीं होता।

**परिभाषा 3.13 (वर्ण-विक्षेपण).**

कोई माध्यम *विक्षेपी* तब होता है जब उसका [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) प्रकाश की [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-wavelength) पर निर्भर करता है। काँच और पानी में $n$ नीले प्रकाश (छोटी [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-wavelength)) के लिए लाल प्रकाश (लंबी [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-wavelength)) की तुलना में थोड़ा बड़ा होता है — इसलिए नीला अधिक मुड़ता है।

**उदाहरण 3.14 (दो रंग, एक सतह).**

[श्वेत प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white) की किरण क्राउन काँच पर $i_1 = 60^\circ$ पर पड़ती है। इस काँच के लिए $n_{\text{लाल}} = 1.51$ और $n_{\text{नीला}} = 1.53$। हर रंग के लिए एक बार [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell):

$$
\sin i_{\text{लाल}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.51} = 0.574,
\quad i_{\text{लाल}} = 35.0^\circ ;
\qquad
\sin i_{\text{नीला}} = \frac{\sin 60^\circ}{1.53} = 0.566,
\quad i_{\text{नीला}} = 34.5^\circ .
$$

एक ही सतह [श्वेत प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white) को आधे अंश भर बाँटती है — खिड़की के शीशे पर अदृश्य, पर प्रिज़्म एक ही घूर्णन दिशा में दो बार [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) करता है, पंखा चौड़ा कर देता है, और कुछ [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) दूर रंग सेंटीमीटरों की दूरी पर आ जाते हैं।

**टिप्पणी 3.15.**

इंद्रधनुष वही गणना है, बस बारिश की बूँद के भीतर चलती हुई: धूप बूँद में घुसते समय अपवर्तित होती है, उसकी पिछली दीवार पर परावर्तित होती है, और बाहर निकलते समय फिर अपवर्तित होती है। पानी का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) $1.331$ (लाल) से $1.343$ (नीला) तक जाता है, इसलिए हर रंग अपने ही कोण पर निकलता है — और कोई दो प्रेक्षक एक ही इंद्रधनुष नहीं देखते।

## 3.4 पूर्ण आंतरिक परावर्तन

[स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) में एक जाल छिपा है। पानी से वायु की ओर जाते समय [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से दूर मुड़ती है: $\sin i_2 = 1.33 \sin i_1 > \sin i_1$। $i_1$ बढ़ाइए, और सूत्र जल्दी ही $\sin i_2 > 1$ माँगने लगता है, जो कोई कोण दे ही नहीं सकता। तब [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) बस होना बंद हो जाता है।

**परिभाषा 3.16 (क्रांतिक कोण और पूर्ण आंतरिक परावर्तन).**

मान लीजिए प्रकाश $n_1$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) वाले माध्यम में चलकर $n_2 < n_1$ छोटे [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) वाले माध्यम की ओर जाता है। *क्रांतिक कोण* $i_c$ वह [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles) है जिस पर [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) सतह को छूती हुई निकलती है ($i_2 = 90^\circ$)। $i_1 > i_c$ के लिए कोई [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) होती ही नहीं: सतह सारा प्रकाश परावर्तन के नियम के अनुसार पहले माध्यम में लौटा देती है। यही *पूर्ण आंतरिक परावर्तन* है।

**प्रतिज्ञप्ति 3.17 (क्रांतिक कोण का सूत्र).**

$n_1 > n_2$ के लिए,

$$
\sin i_c = \frac{n_2}{n_1} .
$$

**उपपत्ति.** [स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) में $i_2 = 90^\circ$ रखिए: $n_1 \sin i_c = n_2 \sin 90^\circ
= n_2$। $i_1 > i_c$ के लिए [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) $\sin i_2 = \frac{n_1}{n_2}\sin i_1 > 1$ माँगेगा: कोई अपवर्तित दिशा है ही नहीं। (और तब प्रकाश *पूरा का पूरा* परावर्तित होता है, अवशोषित नहीं — यह एक प्रायोगिक तथ्य है, जिसकी पुष्टि स्नातक वर्ष 1 के खंड का तरंग सिद्धांत करता है।) ∎

![पानी से वायु की ओर, बढ़ते आपतन पर: पहले अभिलंब से दूर अपवर्तन, फिर क्रांतिक कोण पर सतह को छूती हुई अपवर्तित किरण, फिर पूर्ण आंतरिक परावर्तन — सतह अब एक संपूर्ण दर्पण बन चुकी है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-refraction/fig-3d8bf747d976.svg)

*पानी से वायु की ओर, बढ़ते आपतन पर: पहले [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से दूर [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction), फिर [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) पर सतह को छूती हुई [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction), फिर [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) — सतह अब एक संपूर्ण दर्पण बन चुकी है।*

**उदाहरण 3.18 (तीन क्रांतिक कोण).**

वायु की ओर: पानी के लिए $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$, इसलिए $i_c = 48.8^\circ$; काँच के लिए $\sin i_c = 1/1.50$, इसलिए $i_c = 41.8^\circ$; हीरे के लिए $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$, इसलिए $i_c = 24.4^\circ$। [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) जितना बड़ा, निकास-शंकु उतना सँकरा: हीरे में किसी फलक के [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से $24.4^\circ$ से अधिक हटी हर किरण फँस जाती है — यही उसकी झिलमिल का रहस्य है, जिसकी चीर-फाड़ [समस्या 3.1](#pb-g10-refraction-1) में की गई है।

## 3.5 प्रकाशिक तंतु

[पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) काँच के धागे को प्रकाश की नली बना देता है: अक्ष के लगभग समांतर घुसती किरण दीवार से [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) से कहीं आगे टकराती है, बिना हानि के परावर्तित होती है, और प्रति किलोमीटर लाखों बार ऐसा करती है, बिना रिसे।

**परिभाषा 3.19 (प्रकाशिक तंतु).**

*प्रकाशिक तंतु* काँच का एक पतला धागा है, जो $n_1$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) वाले *क्रोड* से बना होता है और उस पर थोड़े छोटे [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) $n_2 < n_1$ का *आवरण* लिपटा होता है। एक सिरे से डाला गया प्रकाश क्रोड–आवरण सीमा पर बार-बार [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) करता हुआ क्रोड के साथ-साथ चलता है।

![पूर्ण आंतरिक परावर्तन से तंतु के क्रोड के साथ-साथ ले जाया जाता प्रकाश (उछाल के कोण बहुत बढ़ाकर दिखाए गए हैं: असली किरणें दीवार को अभिलंब से 80 से अधिक पर छूती हुई निकलती हैं)।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-refraction/fig-cf45fad68f58.svg)

*[पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) से तंतु के [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) के साथ-साथ ले जाया जाता प्रकाश (उछाल के कोण बहुत बढ़ाकर दिखाए गए हैं: असली किरणें दीवार को [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से $80^\circ$ से अधिक पर छूती हुई निकलती हैं)।*

**उदाहरण 3.20 (संख्याओं में एक तंतु).**

$n_1 = 1.48$ और $n_2 = 1.46$ लेकर,

$$
\sin i_c = \frac{1.46}{1.48} = 0.986,
\qquad i_c = 80.6^\circ :
$$

यानी केवल अक्ष से लगभग $9^\circ$ के भीतर की किरणें ही ले जाई जाती हैं — जो ठीक भी है, क्योंकि लेज़र प्रकाश ठीक इसी तरह डाला जाता है। [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) के भीतर प्रकाश $v = c/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की चाल से चलता है: एक स्पंद $100\,\mathrm{km}$ लंबे तंतु को लगभग आधे मिलीसेकंड में पार कर लेता है।

**टिप्पणी 3.21 (आँकड़ा-कड़ियों की परिमाण की कोटि).**

समुद्री केबल — समुद्र-तल पर बिछे कुछ दर्जन तंतुओं के गट्ठर — लगभग सारा अंतरमहाद्वीपीय यातायात ढोते हैं। एक अकेला आधुनिक तंतु एक साथ कई [तरंगदैर्घ्य](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-wavelength) भेजकर लगभग $10^{13}$ बिट प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ले जाता है; पूरी केबल $10^{14}$ बिट प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) तक पहुँचती है, और हर $80\,\mathrm{km}$ या उसके आसपास एक प्रवर्धक लगता है। तुलना में उपग्रह इस यातायात का एक प्रतिशत का छोटा सा अंश ही सँभालते हैं।

## 3.6 अभ्यास

**अभ्यास 3.1 ★.**

लेज़र की एक किरण समतल दर्पण पर *दर्पण की सतह से* $25^\circ$ पर पड़ती है। [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles), परावर्तन कोण, और आपतित तथा परावर्तित किरणों के बीच का कोण बताइए।

**हल — अभ्यास 3.1.**

कोण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से नापे जाते हैं: [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles) $90^\circ - 25^\circ = 65^\circ$ है, इसलिए परावर्तन कोण भी $65^\circ$ है। आपतित और परावर्तित किरणें आपस में $2 \times 65^\circ = 130^\circ$ का कोण बनाती हैं।

**अभ्यास 3.2 ★.**

1. पानी ( $n = 1.33$ ) और हीरे ( $n = 2.42$ ) में प्रकाश की चाल निकालिए।
2. किसी ठोस में प्रकाश $1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ की चाल से चलता है। उसका [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) निकालिए और पदार्थ पहचानिए।

**हल — अभ्यास 3.2.**

*1.* $v = c/n$: पानी में $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 = 2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; हीरे में $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 = 1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$।

*2.* $n = \dfrac{c}{v} = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}
{1.97 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 1.52$: काँच।

**अभ्यास 3.3 ★.**

वायु में चलती एक किरण काँच के गुटके ($n = 1.50$) पर $i_1 = 40^\circ$ पर पड़ती है। [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) कोण निकालिए। काँच के भीतर चलती किरण को $40^\circ$ पर वायु में निकलने के लिए सतह से किस कोण पर टकराना होगा?

**हल — अभ्यास 3.3.**

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 40^\circ}{1.50} = \dfrac{0.643}{1.50} = 0.429$, इसलिए $i_2 = 25.4^\circ$। प्रकाश-पथों की प्रतिवर्तिता से, काँच के भीतर $25.4^\circ$ पर सतह से टकराती किरण वायु में ठीक $40^\circ$ पर निकलती है।

**अभ्यास 3.4 ★.**

धूप झील की सतह पर ऊर्ध्वाधर से $55^\circ$ पर पहुँचती है। [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) का कोण निकालिए, और बताइए कि किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) की ओर मुड़ती है या उससे दूर — एक ही शब्द के कारण के साथ।

**हल — अभ्यास 3.4.**

$\sin i_2 = \dfrac{\sin 55^\circ}{1.33} = \dfrac{0.819}{1.33} = 0.616$, इसलिए $i_2 = 38.0^\circ$। किरण [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) की *ओर* मुड़ती है, क्योंकि पानी धीमा माध्यम है ($n_2 > n_1$)।

**अभ्यास 3.5 ★.**

किसी रंगहीन द्रव को पहचानने के लिए उसकी सतह पर $i_1 = 45^\circ$ पर एक किरण भेजी जाती है; [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) $i_2 = 32^\circ$ पर नापी जाती है। [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) निकालिए और [परिभाषा 3.5](#def-g10-refraction-index) की सारणी से द्रव पहचानिए।

**हल — अभ्यास 3.5.**

$n = \dfrac{\sin 45^\circ}{\sin 32^\circ} = \dfrac{0.707}{0.530}
= 1.33$: द्रव पानी है।

**अभ्यास 3.6 ★★.**

पारदर्शी प्लास्टिक के एक अर्धचक्र से ये मापें मिलती हैं:

| $i_1$ | $20^\circ$ | $30^\circ$ | $40^\circ$ | $50^\circ$ | $60^\circ$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $i_2$ | $13.5^\circ$ | $19.5^\circ$ | $25.5^\circ$ | $31.0^\circ$ | $35.5^\circ$ |

1. हर युग्म के लिए $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2}$ निकालिए। आप क्या देखते हैं?
2. इससे प्लास्टिक का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) निकालिए और उसे पहचानिए।
3. $i_2$ के सामने $i_1$ का आलेख खींचने की तुलना में $\sin i_1$ के सामने $\sin i_2$ का आलेख खींचना [स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) की बेहतर परख क्यों है?

**हल — अभ्यास 3.6.**

*1.* पाँचों अनुपात

$$
\frac{0.342}{0.233} = 1.47,\quad
\frac{0.500}{0.334} = 1.50,\quad
\frac{0.643}{0.431} = 1.49,\quad
\frac{0.766}{0.515} = 1.49,\quad
\frac{0.866}{0.581} = 1.49 :
$$

हैं — माप की त्रुटि के भीतर अचर, यानी [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell)।

*2.* $n \approx 1.49$: प्लेक्सिग्लास।

*3.* [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) $\sin i_2 = \sin i_1 / n$ बताता है: ज्या के सामने ज्या रखने पर आँकड़ों को मूल बिंदु से जाती एक सीधी रेखा पर आना ही चाहिए, और इसे एक रूलर पलक झपकते जाँच लेता है। कोण के सामने कोण रखने पर आँकड़े एक वक्र पर पड़ते हैं; छोटे कोणों पर वह वक्र धोखा देकर सीधी रेखा जैसा लगता है — और ठीक इसी ने टॉलेमी को छला था।

**अभ्यास 3.7 ★★.**

पानी, काँच ($n = 1.50$) और हीरे के लिए वायु की ओर [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए। फिर [स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) से समझाइए कि वायु *से* पानी *में* जाते प्रकाश के लिए कोई [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) क्यों नहीं होता।

**हल — अभ्यास 3.7.**

$n_2 = 1.00$ के साथ $\sin i_c = n_2/n_1$: पानी $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$, $i_c = 48.8^\circ$; काँच $\sin i_c = 1/1.50 = 0.667$, $i_c = 41.8^\circ$; हीरा $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$, $i_c = 24.4^\circ$।

वायु से पानी में जाते समय हर आपतन के लिए $\sin i_2 = \sin i_1/1.33 \leq 1/1.33 < 1$: अपवर्तित कोण हमेशा मौजूद रहता है, इसलिए कुछ विशेष कभी होता ही नहीं — [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) के लिए $n_1 > n_2$ चाहिए।

**अभ्यास 3.8 ★★.**

1. एक तरणताल $2.0\,\mathrm{m}$ गहरा है। किनारे पर खड़े तैराक को कितनी गहराई दिखती है?
2. एक बगुला सतह से $40\,\mathrm{cm}$ नीचे तैरती मछली पर नज़र गड़ाए है। मछली किस गहराई पर दिखती है, और बगुले को अपने देखे हुए प्रतिबिंब से ऊपर, उसी पर, या नीचे चोंच मारनी चाहिए?

**हल — अभ्यास 3.8.**

*1.* $d' = \dfrac{d}{n} = \dfrac{2.0\,\mathrm{m}}{1.33}
= 1.5\,\mathrm{m}$।

*2.* मछली $40\,\mathrm{cm}/1.33 = 30\,\mathrm{cm}$ पर दिखती है: प्रतिबिंब मछली से *ऊपर* है, इसलिए बगुले को अपने देखे प्रतिबिंब से *नीचे* चोंच मारनी चाहिए। बगुले, जिन पर [स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) का बोझ नहीं है, यह बात आज़माइश और भूल से सीख लेते हैं।

**अभ्यास 3.9 ★★.**

एक किरण खिड़की के शीशे ($n = 1.50$, समांतर फलक) पर $50^\circ$ पर पड़ती है।

1. पहले फलक पर [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) का कोण निकालिए।
2. [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) दूसरे फलक से भीतर से, उसी कोण पर टकराती है। निर्गत कोण निकालिए और उसकी $50^\circ$ से तुलना कीजिए।
3. तो फिर मोटी खिड़की किसी पार करती किरण की दिशा और स्थिति के साथ क्या करती है?

**हल — अभ्यास 3.9.**

*1.* $\sin r = \dfrac{\sin 50^\circ}{1.50} = \dfrac{0.766}{1.50}
= 0.511$, इसलिए $r = 30.7^\circ$।

*2.* $30.7^\circ$ पर काँच से वायु: $\sin i_2 = 1.50 \times 0.511 = 0.766$, इसलिए $i_2 = 50^\circ$ — निर्गत कोण प्रवेश कोण के बराबर है।

*3.* दोनों [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) एक-दूसरे को काट देते हैं: किरण अपनी मूल दिशा के *समांतर* ही निकलती है, बस बगल में खिसक जाती है। इसीलिए खिड़की दृश्य को बिगाड़ती नहीं, केवल (अगोचर रूप से) सरका देती है।

**अभ्यास 3.10 ★★.**

[श्वेत प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white) फ्लिंट काँच के गुटके पर $55^\circ$ पर पड़ता है। इस काँच के लिए $n_{\text{लाल}} = 1.61$ और $n_{\text{नीला}} = 1.66$। लाल और नीली किरणों के [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) कोण तथा उनके बीच का कोण निकालिए। कौन-सा रंग [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) के अधिक पास रह जाता है?

**हल — अभ्यास 3.10.**

$\sin 55^\circ = 0.819$। लाल: $\sin i_2 = 0.819/1.61 = 0.509$, $i_2 = 30.6^\circ$। नीला: $\sin i_2 = 0.819/1.66 = 0.493$, $i_2 = 29.6^\circ$। दोनों रंग $1.0^\circ$ से अलग होते हैं; बड़े [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) वाला नीला अधिक मुड़ता है और [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) के अधिक पास रह जाता है।

**अभ्यास 3.11 ★★.**

किसी [प्रकाशिक तंतु](#def-g10-refraction-fiber) में $1.48$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) का [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) और $1.46$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) का [आवरण](#def-g10-refraction-fiber) है।

1. क्रोड–आवरण सीमा पर [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए।
2. कोई निर्देशित किरण ठीक [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) पर उछलती हुई चलती है। दिखाइए कि $1.0\,\mathrm{km}$ सीधे तंतु में वह अक्ष के सीधे नीचे जाती किरण से लगभग $14\,\mathrm{m}$ अधिक चलती है।

**हल — अभ्यास 3.11.**

*1.* $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$, इसलिए $i_c = 80.6^\circ$।

*2.* [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से $i_c$ पर चलती किरण अक्ष के साथ $90^\circ - i_c$ बनाती है, इसलिए $L$ अक्ष-लंबाई पर उसका पथ $\dfrac{L}{\sin i_c}$ होता है:

$$
1000\,\mathrm{m} \times \frac{1.48}{1.46} = 1013.7\,\mathrm{m},
$$

यानी अक्षीय किरण से लगभग $14\,\mathrm{m}$ अधिक।

**अभ्यास 3.12 ★★★.**

एक गोताखोर की आँख बिलकुल शांत सतह से $2.0\,\mathrm{m}$ नीचे है। [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) के कारण गोताखोर को *पूरा* आकाश ठीक सिर के ऊपर एक चमकीली चकती में सिमटा दिखता है — यही स्नेल की खिड़की है।

1. समझाइए कि क्षितिज से आता प्रकाश गोताखोर की आँख तक पानी के [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) पर, यानी ऊर्ध्वाधर से $48.8^\circ$ पर, क्यों पहुँचता है।
2. आँख–ऊर्ध्वाधर–चकती-किनारा वाले समकोण त्रिभुज की स्पर्शज्या का उपयोग करते हुए सतह पर चमकीली चकती की त्रिज्या निकालिए।
3. चकती के *बाहर* सतह पर गोताखोर को क्या दिखता है?

**हल — अभ्यास 3.12.**

*1.* क्षितिज से छूता हुआ आता प्रकाश $90^\circ$ के पास $i_1$ पर पहुँचता है; वह अपवर्तित होकर $\sin i_2 = \sin 90^\circ / 1.33 = 0.752$ पर, यानी $i_2 = 48.8^\circ$ पर आता है — यानी ठीक [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) पर, जैसा प्रतिवर्तिता माँगती है। इसलिए पूरे आकाश की किरणें आँख तक $48.8^\circ$ अर्ध-कोण वाले एक शंकु के भीतर ही पहुँचती हैं।

*2.* चकती का किनारा वहीं है जहाँ वह शंकु सतह से मिलता है:

$$
r = d \tan i_c = 2.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ
= 2.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 2.3\,\mathrm{m}.
$$

*3.* चकती के बाहर नीचे से आता प्रकाश सतह से [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) के पार टकराता है और पूरी तरह परावर्तित हो जाता है: गोताखोर को एक चाँदी जैसा दर्पण दिखता है जिसमें तरणताल का तल दिखाई देता है।

**अभ्यास 3.13 ★★★.**

एक प्रिज़्म के कोण $30^\circ$, $60^\circ$, $90^\circ$ हैं। [श्वेत प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white) की एक पतली किरण समकोण से लगी किसी एक भुजा पर लंबवत घुसती है, बिना विचलित हुए पार करती है, और लंबे फलक से भीतर से $i_1 = 30^\circ$ पर टकराती है। इस काँच के लिए $n_{\text{लाल}} = 1.51$ और $n_{\text{नीला}} = 1.53$।

1. लाल और नीली किरणों के निर्गत कोण और उनके बीच पंखे की कोणीय चौड़ाई निकालिए।
2. प्रिज़्म की जगह $45^\circ$ – $45^\circ$ – $90^\circ$ वाला प्रिज़्म रख दिया जाता है, जिससे भीतर का [आपतन कोण](#def-g10-refraction-angles) $45^\circ$ हो जाता है। दिखाइए कि लंबे फलक से कोई प्रकाश बाहर निकलता ही नहीं।

**हल — अभ्यास 3.13.**

*1.* लाल: $\sin i_2 = 1.51 \times \sin 30^\circ = 0.755$, इसलिए $i_2 = 49.0^\circ$। नीला: $\sin i_2 = 1.53 \times 0.500 = 0.765$, इसलिए $i_2 = 49.9^\circ$। श्वेत किरण $49.9^\circ - 49.0^\circ = 0.9^\circ$ पर पंखे की तरह फैल जाती है — एक ही [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) से मिला प्रिज़्म का [वर्णक्रम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white)।

*2.* $45^\circ$ पर: $\sin i_2 = 1.51 \times 0.707 = 1.07 > 1$ (और नीले के लिए $1.53 \times 0.707 = 1.08$)। किसी भी रंग के लिए कोई अपवर्तित कोण नहीं बचता: [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) $\arcsin(1/1.51) = 41.5^\circ < 45^\circ$ है, इसलिए लंबा फलक पूरी किरण को पूर्णतः परावर्तित कर देता है।

**अभ्यास 3.14 ★★★.**

पेरिस्कोप प्रकाश को $45^\circ$–$45^\circ$–$90^\circ$ वाले काँच के प्रिज़्मों ($n = 1.50$) से मोड़ते हैं: किरण एक छोटे फलक में लंबवत घुसती है और लंबे फलक से भीतर से $45^\circ$ पर टकराती है।

1. दिखाइए कि लंबा फलक एक संपूर्ण दर्पण की तरह काम करता है। यह उस धात्विक दर्पण से बेहतर क्यों है जो हर परावर्तन पर कुछ प्रतिशत अवशोषित कर लेता है?
2. पेरिस्कोप में पानी भर जाता है और लंबा फलक अब पानी के संपर्क में है। काँच–पानी सीमा का नया [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए और दिखाइए कि दर्पण काम करना बंद कर देता है।
3. प्रश्न 2 का प्रकाश प्रिज़्म से पानी में किस कोण पर निकलता है?

**हल — अभ्यास 3.14.**

*1.* काँच–वायु का [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical): $\sin i_c = 1/1.50$, इसलिए $i_c = 41.8^\circ < 45^\circ$: किरण पूरी तरह परावर्तित होती है — प्रकाश का $100\%$, और कोई परत नहीं जो कलंकित हो। धात्विक दर्पण हर उछाल पर कुछ प्रतिशत गँवा देता है, और पेरिस्कोप को दो उछाल चाहिए।

*2.* काँच–पानी: $\sin i_c = \dfrac{1.33}{1.50} = 0.887$, इसलिए $i_c = 62.5^\circ$। अब $45^\circ < i_c$: आपतन क्रांतिक से नीचे है, अधिकांश प्रकाश अपवर्तित होकर पानी में निकल जाता है, और दर्पण — यानी प्रतिबिंब — बिगड़ जाता है।

*3.* $\sin i_2 = \dfrac{1.50}{1.33} \times \sin 45^\circ
= 1.128 \times 0.707 = 0.798$, इसलिए पानी में $i_2 = 52.9^\circ$।

**अभ्यास 3.15 ★★★.**

एक अंतर-अटलांटिक केबल लंदन और न्यूयॉर्क के बीच $6200\,\mathrm{km}$ तंतु ([क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) $1.47$) बिछाती है।

1. [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) में प्रकाश की चाल और एक स्पंद का एकतरफ़ा यात्रा-समय निकालिए।
2. कोई रेडियो तरंग $c$ की चाल से चलती है। उसी दूरी पर उसे कितना समय लगता, और रेडियो की तुलना में तंतु का काँच आने-जाने के कुल समय में कितना जोड़ देता है?
3. कुछ वित्तीय कंपनियाँ इस कड़ी से कुछ मिलीसेकंड कम कराने के लिए भारी रकम देती हैं। प्रकाश को जल्दी पहुँचाने के दो अलग-अलग भौतिक उपाय सुझाइए।

**हल — अभ्यास 3.15.**

*1.* $v = \dfrac{3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}}{1.47} = 2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, इसलिए

$$
t = \frac{6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.04 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 30.4\,\mathrm{ms} \approx
30\,\mathrm{ms}.
$$

*2.* रेडियो: $t = 6.2 \times 10^{6}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
20.7\,\mathrm{ms}$। काँच एक तरफ़ $30.4 - 20.7 = 9.7\,\mathrm{ms}$ जोड़ता है, यानी पूरे चक्कर पर लगभग $19\,\mathrm{ms}$।

*3.* [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) घटाइए — खोखले [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) वाले तंतु प्रकाश को वायु ($n \approx 1.00$) में ले जाते हैं, और वायुमंडल से होकर जाती सूक्ष्मतरंग कड़ियाँ भी यही करती हैं — या पथ छोटा कीजिए: दोनों शहरों के बीच वृहत वृत्त वाले रास्ते के अधिक पास बिछी केबल। दोनों सचमुच बिकते हैं, और वह भी प्रति मिलीसेकंड के भाव पर।

## 3.7 समस्या: हीरा, तरणताल और तंतु

**समस्या 3.1.**

सप्ताहांत समस्या — स्नेल के नियम के तीन जीवन: एक तरणताल जो अपनी गहराई के बारे में झूठ बोलता है, एक पत्थर जो ऐसे तराशा गया है कि प्रकाश उससे निकल ही न सके, और इंटरनेट के नीचे बहता साठ मिलीसेकंड का महासागर

दो ज्याओं की एक बराबरी, और तीन पेशे। तरणताल में वह आपकी आँखों को गहराई के बारे में धोखा देती है और पूरे आकाश को एक चकती में निचोड़ देती है। हीरे में, अपनी हद तक धकेली जाकर, वह प्रकाश को बाहर निकलने से मना कर देती है — और जौहरी सदियों से इसी मनाही के इर्द-गिर्द पत्थर तराशते आए हैं। अटलांटिक के नीचे वह काँच की एक लट के भीतर लेज़र स्पंदों को राह दिखाती है और वैश्विक इंटरनेट की गति-सीमा तय करती है। यह समस्या तीनों जीवन क्रम से देखती है, हर बार उसी एक नियम के साथ।

**भाग I — वार्म-अप।**

1. पानी ( $n = 1.33$ ) और हीरे ( $n = 2.42$ ) में प्रकाश की चाल निकालिए। हीरा प्रकाश को कितने गुना धीमा करता है?
2. वायु में चलती एक किरण तालाब पर $i_1 = 40^\circ$ पर पड़ती है। [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) कोण निकालिए।
3. पानी में चलती एक किरण सतह से नीचे से $28.9^\circ$ पर टकराती है। वह वायु में किस कोण पर निकलती है? यह किस सिद्धांत को दिखाता है?
4. पानी–वायु सीमा का [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए, और बताइए कि सतह से $60^\circ$ पर टकराती पानी के भीतर की किरण का क्या होता है।
5. वायु का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) $1.0003$ है। वायु में प्रकाश की चाल निकालिए और पूरी पुस्तक में इस्तेमाल हुई सन्निकटन $n_{\text{वायु}} = 1.00$ को उचित ठहराइए।

**भाग II — तरणताल।**

6. एक तरणताल $3.0\,\mathrm{m}$ गहरा है। [आभासी गहराई](#prop-g10-refraction-depth) के सूत्र ( [प्रतिज्ञप्ति 3.11](#prop-g10-refraction-depth) ) से निकालिए कि ऊपर खड़े व्यक्ति को कितनी गहराई दिखती है।
7. शब्दों में बताई गई दो-किरण वाली रेखाचित्र-कल्पना से समझाइए कि तल पर पड़ा सिक्का ऊपर उठा हुआ क्यों लगता है: पानी से निकलती किरणें क्या करती हैं, और आँख उनका कटान कहाँ रखती है?
8. एक गोताखोर की आँख $3.0\,\mathrm{m}$ पर है। स्नेल की खिड़की — वह चमकीली चकती जिससे गोताखोर पूरा आकाश देखता है — की त्रिज्या निकालिए ( [अभ्यास 3.12](#exo-g10-refraction-12) )।
9. तल पर रखा एक लैंप ऊर्ध्वाधर से $30^\circ$ , $45^\circ$ और $50^\circ$ पर ऊपर की ओर किरणें भेजता है। हर किरण के लिए बताइए कि वह निकल पाती है या नहीं और किस कोण पर, या उसके बदले क्या होता है।
10. किनारे पर खड़ा एक भालेवाला मछुआरा मछली पर निशाना साधता है। वार मछली के प्रतिबिंब से ऊपर करना चाहिए, उसी पर, या नीचे — और क्या मछली को भी, पलटकर देखने पर, मछुआरा खिसका हुआ दिखता है?

**भाग III — हीरा।**

11. हीरे ( $n = 2.42$ ) का वायु की ओर [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए और उसकी तुलना काँच ( $n = 1.52$ ) के $41.1^\circ$ से कीजिए।
12. पत्थर के भीतर की एक किरण किसी फलक से उसके [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से $30^\circ$ पर टकराती है। हीरे में क्या होता है? काँच की नकल में? एक वाक्य में समझाइए कि हीरे की तराश, उसके नन्हे [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) के साथ मिलकर, झिलमिल क्यों पैदा करती है।
13. हीरा प्रबलता से [विक्षेपी](#def-g10-refraction-dispersion) भी है: $n_{\text{लाल}} = 2.41$ , $n_{\text{नीला}} = 2.45$ । [श्वेत प्रकाश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/2-light-spectra-and-the-message-of-light#def-g10-light-spectra-white) किसी फलक में $45^\circ$ पर घुसता है; हर रंग का [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) कोण और कोणीय बँटवारा निकालिए।
14. आगे चलकर लाल और नीली, दोनों किरणें भीतर से किसी निर्गत फलक पर $17.0^\circ$ पर पहुँचती हैं। दोनों निर्गत कोण और बाहर निकलते पंखे का बँटवारा निकालिए। प्रवेश वाले बँटवारे से तुलना कीजिए: [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) के पास [वर्ण-विक्षेपण](#def-g10-refraction-dispersion) का क्या होता है?
15. पानी की एक बूँद ( $n = 1.33$ ) किसी फलक पर चढ़ जाती है। हीरा–पानी सीमा का नया [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए, प्रश्न 12 की $30^\circ$ वाली किरण का भाग्य तय कीजिए, और समझाइए कि जौहरी हीरों को इतनी कड़ाई से साफ़ क्यों रखते हैं।

**भाग IV — तंतु।**

16. किसी तंतु में $1.48$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) का [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) और $1.46$ [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) का [आवरण](#def-g10-refraction-fiber) है। क्रोड–आवरण सीमा पर [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) निकालिए।
17. वायु में रखे काँच के नंगे धागे का [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) $42.5^\circ$ होता — देखने में कहीं बेहतर। फिर भी [आवरण](#def-g10-refraction-fiber) क्यों लगाया जाता है, इसके दो कारण दीजिए। (धूल, खरोंच, और सतह को छूने से [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) पर क्या असर पड़ेगा — इस पर सोचिए।)
18. [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) में प्रकाश की चाल निकालिए, फिर $6000\,\mathrm{km}$ लंबे तंतु में एक स्पंद का एकतरफ़ा यात्रा-समय।
19. ठीक [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) पर उछलती किरण अक्ष की लंबाई का $1/\sin i_c$ गुना चलती है। $6000\,\mathrm{km}$ पर अतिरिक्त दूरी और उसमें लगने वाला अतिरिक्त समय निकालिए।
20. और अंतिम चोट। आधुनिक तंतुओं का एक युग्म लगभग $10^{13}$ बिट प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ढोता है, और यह पुस्तक लगभग $2.4 \times 10^8$ बिट की है। महासागर के आरपार आने-जाने का (“पिंग”) समय निकालिए और यह भी कि तंतु प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) इस पुस्तक की कितनी प्रतियाँ हिला देता है — फिर एक वाक्य में बताइए कि [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) इंटरनेट के लिए क्या करता है।

**हल — समस्या 3.1.**

**1.** $v_{\text{पानी}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.33 =
2.26 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_{\text{हीरा}} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/2.42 =
1.24 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — हीरा प्रकाश को $n = 2.42$ गुना धीमा कर देता है।

**2.** $\sin i_2 = \sin 40^\circ / 1.33 = 0.643/1.33 = 0.483$, इसलिए $i_2 = 28.9^\circ$।

**3.** $\sin i_2 = 1.33 \times \sin 28.9^\circ = 1.33 \times
0.483 = 0.643$, इसलिए $i_2 = 40^\circ$: प्रकाश अपने ही पथ पर लौटता है — यानी प्रकाश-किरणों की प्रतिवर्तिता।

**4.** $\sin i_c = 1/1.33 = 0.752$, इसलिए $i_c = 48.8^\circ$। $60^\circ > i_c$ पर [स्नेल के नियम](#thm-g10-refraction-snell) को $\sin i_2 = 1.33 \sin
60^\circ = 1.15 > 1$ चाहिए होता: कोई [अपवर्तित किरण](#def-g10-refraction-refraction) नहीं; सतह सारा प्रकाश पूरी तरह नीचे लौटा देती है।

**5.** $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.0003 = 2.999 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: वायु में प्रकाश निर्वात से $0.03\%$ भर धीमा है, जो हमारे कोण-मापों की परिशुद्धि से कहीं नीचे है, इसलिए $n_{\text{वायु}} = 1.00$ लेना निरापद है।

**6.** $d' = 3.0\,\mathrm{m}/1.33 = 2.3\,\mathrm{m}$: तरणताल अपनी $70\,\mathrm{cm}$ गहराई छिपा लेता है।

**7.** सिक्के से निकलती दो किरणें सतह पर अपवर्तित होकर [अभिलंब](#def-g10-refraction-angles) से *दूर* मुड़ती हैं, इसलिए वे पानी के ऊपर नीचे की तुलना में अधिक तेज़ी से फैलती हैं। आँख दोनों निकलती किरणों को सीधी रेखाओं में पीछे की ओर बढ़ाती है; वे सिक्के के *ऊपर* कटती हैं, और आँख प्रतिबिंब वहीं रख देती है।

**8.** $r = d \tan i_c = 3.0\,\mathrm{m} \times \tan 48.8^\circ =
3.0\,\mathrm{m} \times 1.14 = 3.4\,\mathrm{m}$: लगभग $6.9\,\mathrm{m}$ चौड़ी एक चकती पूरा आकाश समेट लेती है।

**9.** $30^\circ$ पर: $\sin i_2 = 1.33 \times 0.500 = 0.665$, किरण $41.7^\circ$ पर निकलती है। $45^\circ$ पर: $\sin i_2 = 1.33 \times
0.707 = 0.940$, वह $70.1^\circ$ पर, लगभग छूती हुई निकलती है। $50^\circ$ पर: $1.33 \times 0.766 = 1.02 > 1$ — [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical), किरण वापस तरणताल में गोता लगा जाती है।

**10.** प्रतिबिंब असली मछली के ऊपर है ([प्रतिज्ञप्ति 3.11](#prop-g10-refraction-depth)), इसलिए निशाना उससे *नीचे* लगाइए। और हाँ: मछली को भी, पलटकर देखने पर, मछुआरा खिसका हुआ दिखता है, स्नेल की खिड़की के भीतर ऊर्ध्वाधर की ओर सिमटा हुआ — दोनों एक-दूसरे को वहाँ देखते हैं जहाँ दूसरा है ही नहीं।

**11.** हीरा: $\sin i_c = 1/2.42 = 0.413$, इसलिए $i_c = 24.4^\circ$, जबकि काँच के लिए $41.1^\circ$: हीरे का निकास-शंकु आधा भी चौड़ा नहीं है।

**12.** हीरे में $30^\circ > 24.4^\circ$: [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical), किरण पत्थर में ही रह जाती है। काँच में $30^\circ < 41.1^\circ$: किरण पीछे से रिस जाती है। ब्रिलियंट तराश के फलक ऐसे कोणों पर होते हैं कि भीतर आता प्रकाश उनसे लगभग हमेशा $24.4^\circ$ के पार टकराए और तब तक उछलता रहे जब तक ऊपर की ओर, आँख की ओर, न निकल जाए — जबकि काँच की नकल, अपने चौड़े निकास-शंकु के साथ, प्रकाश को बस निकल जाने देती है।

**13.** $\sin 45^\circ = 0.707$। लाल: $0.707/2.41 = 0.293$, इसलिए $i_2 = 17.1^\circ$। नीला: $0.707/2.45 = 0.289$, इसलिए $i_2 = 16.8^\circ$। प्रवेश पर बँटवारा: लगभग $0.3^\circ$।

**14.** $\sin 17.0^\circ = 0.292$। लाल: $\sin i_2 = 2.41 \times
0.292 = 0.705$, इसलिए $i_2 = 44.8^\circ$। नीला: $\sin i_2 = 2.45 \times
0.292 = 0.716$, इसलिए $i_2 = 45.8^\circ$। अब पंखा $1.0^\circ$ चौड़ा है: [क्रांतिक कोण](#def-g10-refraction-critical) के पास काम करता निर्गत [अपवर्तन](#def-g10-refraction-refraction) प्रवेश वाले $0.3^\circ$ के बँटवारे को तीन गुना खींच देता है। रंगों की यही खिंची हुई फुहार हीरे की *आग* है।

**15.** हीरा–पानी: $\sin i_c = 1.33/2.42 = 0.550$, इसलिए $i_c = 33.3^\circ$। जो $30^\circ$ वाली किरण फलक के वायु के सामने होने पर फँस जाती थी, अब पानी की परत में निकल जाती है ($30^\circ < 33.3^\circ$): हर बूँद, अँगुली की छाप या चिकनाई की परत बाहर का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) बढ़ा देती है, निकास-शंकु चौड़ा कर देती है और झिलमिल बहा ले जाती है — इसीलिए जौहरी का कपड़ा हमेशा साथ रहता है।

**16.** $\sin i_c = \dfrac{1.46}{1.48} = 0.986$, इसलिए $i_c = 80.6^\circ$।

**17.** [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) *सतह पर* होता है, इसलिए सतह का निर्दोष बना रहना ज़रूरी है: नंगे धागे पर धूल का हर कण, खरोंच, पानी की बूँद या छूती हुई अँगुली उस बिंदु पर बाहर का [अपवर्तनांक](#def-g10-refraction-index) बढ़ा देती है और प्रकाश रिसने लगता है। [आवरण](#def-g10-refraction-fiber) इस दर्पण को साफ़ काँच के भीतर दफ़्ना देता है, जहाँ उस तक कुछ पहुँच ही नहीं सकता — और बोनस में वह बाल जैसे पतले [क्रोड](#def-g10-refraction-fiber) की यांत्रिक रक्षा भी करता है।

**18.** $v = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}/1.48 = 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, इसलिए

$$
t = \frac{6.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}}{2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}} = 29.6\,\mathrm{ms} \approx
30\,\mathrm{ms}.
$$

**19.** पथ-गुणक $1/\sin i_c = 1.48/1.46 = 1.0137$: बुरे से बुरे हाल में $6000\,\mathrm{km} \times 0.0137 \approx 82\,\mathrm{km}$ अतिरिक्त काँच, जिसकी क़ीमत $8.2 \times 10^{4}\,\mathrm{m} / 2.03 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 0.4\,\mathrm{ms}$ — यानी टेढ़ी-मेढ़ी चाल लगभग मुफ़्त है।

**20.** पिंग: $2 \times (29.6 + 0.4) \approx 60\,\mathrm{ms}$। क्षमता: इस पुस्तक की $\dfrac{10^{13}}{2.4 \times 10^8} \approx 40\,000$ प्रतियाँ प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)। एक वाक्य में: [पूर्ण आंतरिक परावर्तन](#def-g10-refraction-critical) से प्रकाश को काँच के भीतर बाँधकर [स्नेल का नियम](#thm-g10-refraction-snell) हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) एक पुस्तकालय महासागर के पार पहुँचा देता है — आना-जाना मिलाकर साठ मिलीसेकंड में।