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title: "RC और RL परिपथ"
book: "माध्यमिक भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/30-rc-rl
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# अध्याय 30 — RC और RL परिपथ

कैमरे का शटर आधा दबाइए: एक पतली सीटी दो [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) तक चढ़ती है, एक बत्ती हरी हो जाती है — और तभी फ़्लैश चलेगा, जो दो [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में इकट्ठा किया हुआ सब कुछ एक मिलीसेकंड में उड़ेल देगा। यह अध्याय उन दो अवयवों से मिलता है जो परिपथों को याददाश्त और घड़ी दे देते हैं — [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) और [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — और भौतिकी के पहले अवकल समीकरणों से, जिन्हें इसी वर्ष के अवकलजों से जाँचा जा सकता है।

## 30.1 संधारित्र

**परिभाषा 30.1 (संधारित्र और धारिता).**

*संधारित्र* [पतले](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/10-lenses-images-and-the-eye#def-g11-lenses-and-eye-lens) विद्युत्रोधी से अलग की गई धातु की दो आमने-सामने रखी पट्टियों का युग्म है। किसी स्रोत से जोड़ने पर पट्टियाँ विपरीत आवेश $+q$ और $-q$ ले लेती हैं — और अंतराल में एक [विद्युत क्षेत्र](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) भर जाता है ([अध्याय 14](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/14-electric-and-gravitational-fields#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — और पट्टियों के बीच का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ संचित आवेश के समानुपाती होता है:

$$
q = C\,u .
$$

अचर $C$ *धारिता* है, जिसे *फैराड* ($\mathrm{F}$) में नापते हैं: $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$।

**उदाहरण 30.2 (परिमाण की कोटियाँ).**

एक [फैराड](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) बहुत बड़ा है — यानी प्रति [वोल्ट](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) एक [कूलॉम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-charge) जमा। रेडियो परिपथों के सिरैमिक: $\mathrm{pF}$ से $\mathrm{nF}$; शक्ति-आपूर्तियों और फ़्लैश के इलेक्ट्रोलाइटिक: $\text{µ}\mathrm{F}$ से $\mathrm{mF}$; और सुपर-संधारित्र: हज़ारों [फैराड](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)।

**प्रतिज्ञप्ति 30.3 (संधारित्र में जाती धारा).**

[संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) की पट्टी पर पहुँचती धारा वह दर है जिससे उसका आवेश बढ़ता है:

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

जहाँ छोटे अक्षर समय के साथ बदलती राशियाँ दिखाते हैं ($U$, $I$ स्थिर रहते हैं, [अध्याय 12](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#ch-g11-circuits-and-power))।

**उपपत्ति.** धारा प्रति [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) पहुँचाया गया आवेश है ([परिभाषा 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-current)): सिकुड़ते अंतराल पर $i$ $q$ का अवकलज है; और $C$ के अचर रहते $q = Cu$ से $C\,du/dt$ मिल जाता है। ∎

**टिप्पणी 30.4 (दो परिणाम).**

यदि $u$ अचर हो तो $i = 0$: यानी आवेशित [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) कोई स्थिर धारा नहीं जाने देता। और $u$ कभी छलाँग नहीं लगा सकता — छलाँग के लिए अनंत धारा चाहिए: [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) ही परिपथ की याददाश्त है।

## 30.2 संधारित्र को आवेशित करना: RC परिपथ

एक ही फंदा — स्रोत $\mathcal{E}$ ([परिभाषा 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-emf)), स्विच, प्रतिरोधक, ख़ाली [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor): $t = 0$ पर $K$ बंद कीजिए।

![RC आवेशन-परिपथ: K बंद करते ही स्रोत आवेश को R से होकर C की पट्टियों पर धकेल देता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*RC आवेशन-परिपथ: $K$ बंद करते ही स्रोत आवेश को $R$ से होकर $C$ की पट्टियों पर धकेल देता है।*

**प्रमेय 30.5 (RC परिपथ का आवेशन-नियम).**

स्विच बंद होने के बाद [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) यह मानता है, और फिर $u(0) = 0$ से यह निकलता है:

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**उपपत्ति.** फंदे के अनुदिश [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) जुड़ते हैं ([प्रतिज्ञप्ति 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#prop-g11-circuits-and-power-laws)): हर क्षण $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$; उसमें $i = C\,du/dt$ ([प्रतिज्ञप्ति 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)) रख दीजिए। अब उम्मीदवार को *जाँचिए*: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, इसलिए $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) =
\mathcal{E}$, जो हर $t$ के लिए सही है; और $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$। और यह कि *कोई दूसरा* वक्र इस समीकरण तथा इस शुरुआत पर नहीं बैठता, यह इसी वर्ष के गणित के अवकल समीकरणों वाले पाठ में सिद्ध किया गया है। ∎

**परिभाषा 30.6 (कालांक).**

[RC परिपथ](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) का *कालांक* $\tau = RC$ है। मात्रक: $\Omega \times \mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — यानी परिपथ की अपनी लय।

**विधि 30.7 (वक्र पर τ\tauτ पढ़ना).**

आलेख से सीधे तीन तुल्य पाठ:

1. *मूल बिंदु पर स्पर्शी:* $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , इसलिए आरंभिक स्पर्शी अनंतस्पर्शी तक $t = \tau$ पर पहुँच जाती है;
2. *63%:* $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx  0.63\,\mathcal{E}$ ;
3. *95%:* $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — यानी व्यवहार में आवेशित ( $5\tau$ : $99\%$ )।

**प्रतिज्ञप्ति 30.8 (विसर्जन).**

$U_0$ तक आवेशित [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) को अकेले प्रतिरोधक $R$ पर बंद कर देने पर वह $RC\,du/dt + u = 0$ मानता है और इस पर चलता है:

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— $\tau$ पर $37\%$ बचता है, और $3\tau$ पर $5\%$।

**उपपत्ति.** वही फंदा-नियम, बस कोई स्रोत नहीं; और फिर वही प्रतिस्थापन: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$, जहाँ $u(0) = U_0$। ∎

![आवेशन (नीला, u = 0 से E की ओर) और विसर्जन (लाल, U_0 = E से)। दोनों की आरंभिक स्पर्शी अपनी अनंतस्पर्शी से t = पर मिलती हैं; पर 63\% पूरा, और 3 पर 95\%।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*आवेशन (नीला, $u = 0$ से $\mathcal{E}$ की ओर) और विसर्जन (लाल, $U_0 = \mathcal{E}$ से)। दोनों की आरंभिक स्पर्शी अपनी अनंतस्पर्शी से $t = \tau$ पर मिलती हैं; $\tau$ पर $63\%$ पूरा, और $3\tau$ पर $95\%$।*

**उदाहरण 30.9 (फ़्लैश की संख्याएँ).**

कोई फ़ोटो-फ़्लैश $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ को $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ से होकर आवेशित करता है: $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} =
0.80\,\mathrm{s}$, इसलिए “तैयार” बत्ती — जो $95\%$ पर चलने के लिए जुड़ी है — $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$ प्रतीक्षा करती है: यही वह सीटी है जो कान में खटकती है। और फ़्लैश-नली के महज़ $0.50\,\Omega$ से होकर चलाने पर *वही* [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$ के साथ ख़ाली हो जाता है: यानी भीतर आने से दो हज़ार गुना तेज़ बाहर।

## 30.3 कुंडली: प्रेरकत्व और RL परिपथ

**परिभाषा 30.10 (प्रेरक और प्रेरकत्व).**

*प्रेरक* तार की एक [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) है: उसकी धारा उसके अपने फेरों में [चुंबकीय क्षेत्र](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-bfield) पिरो देती है ([अध्याय 15](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#ch-g11-magnetic-fields)); और जब भी वह *बदलता* है, [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) के सिरों पर एक [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) प्रकट हो जाता है:

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

अचर $L$ *प्रेरकत्व* है, जिसे *हेनरी* ($\mathrm{H}$) में नापते हैं: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 30.11 (कुंडली बदलाव का विरोध करती है).**

बदलती धारा [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) क्यों बनाती है — यानी प्रेरण — यह विश्वविद्यालय के खंडों में निकाला गया है; यहाँ हम नियम और उसका स्वभाव ले लेते हैं: [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) अपनी धारा के *बदलावों का विरोध करती* है। दर्पण-जुड़वाँ: [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) का $u$ छलाँग नहीं लगा सकता, [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) का $i$ नहीं लगा सकता।

![RL परिपथ: K बंद होने के बाद कुंडली धारा को केवल अपनी ही चाल = L/R से चढ़ने देती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*[RL परिपथ](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl): $K$ बंद होने के बाद [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) धारा को केवल अपनी ही चाल $\tau = L/R$ से चढ़ने देती है।*

**प्रतिज्ञप्ति 30.12 (RL परिपथ में धारा का चढ़ाव).**

स्रोत $\mathcal{E}$, प्रतिरोधक $R$ और [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L$ को श्रेणीक्रम में जोड़कर स्विच बंद करने पर $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$ मिलता है, यानी

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{जिसका हल है}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**उपपत्ति.** फिर वही फंदा-नियम; और यह [प्रमेय 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) वाला *वही समीकरण* है, जिसमें $u \to i$, $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$, $RC \to L/R$ — वही प्रतिस्थापन हल को जाँच देता है, और [विधि 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading) का हर पाठ यहाँ भी उतर आता है। ∎

**उदाहरण 30.13 (विद्युत्चुंबक जागता है).**

रिले की [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid), $L = 0.30\,\mathrm{H}$ और $R = 6.0\,\Omega$, $12\,\mathrm{V}$ की आपूर्ति पर: अंतिम धारा $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$, और चाल $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — यानी $3\tau \approx
0.15\,\mathrm{s}$ में जाग जाती है।

**टिप्पणी 30.14 (खोलने पर उठती चिंगारी).**

जीवित [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) पर स्विच खोलिए और $i$ को मिलीसेकंड के अंश भर में शून्य पर गिरना पड़ता है: $di/dt$ विशाल हो जाता है और $u = L\,di/dt$ सैकड़ों या हज़ारों [वोल्ट](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) तक पहुँच जाता है — और संपर्क पर चिंगारी कूद पड़ती है। कार की इग्निशन [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) यही काम जान-बूझकर करती है, मिनट में हज़ारों बार।

## 30.4 संचित ऊर्जा

**प्रतिज्ञप्ति 30.15 (संधारित्र में ऊर्जा, कुंडली में ऊर्जा).**

$u$ के [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) तक आवेशित [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ और $i$ धारा ले जाती [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L$ इतनी ऊर्जा संचित रखते हैं:

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2 .
$$

**उपपत्ति.** पहले से $u$ [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) पर पड़ी पट्टियों पर छोटा आवेश $dq$ उतारने का दाम $u\,dq$ है ([परिभाषा 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage)); और दाम एक पर एक चढ़ाते जाने पर कुल दाम रेखा $u = q/C$ के नीचे का क्षेत्रफल — यानी नीचे का त्रिभुज — हो जाता है, इसलिए $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$। [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) के लिए वही त्रिभुज ($i$ को $di$ बढ़ाने का दाम $Li\,di$) $E_L = \tfrac12 Li^2$ देता है। ∎

![हर टुकड़े dq का दाम u\,dq है; और पूरे आवेश का दाम त्रिभुज का क्षेत्रफल E_C = 1/2 q_0 u_0 — शुरुआती कूलॉम कम विभवांतर पर सवार हो जाते हैं।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*हर टुकड़े $dq$ का दाम $u\,dq$ है; और पूरे आवेश का दाम त्रिभुज का क्षेत्रफल $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — शुरुआती [कूलॉम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-charge) कम [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) पर सवार हो जाते हैं।*

**उदाहरण 30.16 (ऊर्जा की परिमाण-कोटियाँ).**

[उदाहरण 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc) का फ़्लैश-संधारित्र: $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$। $2.7\,\mathrm{V}$ पर $3000\,\mathrm{F}$ का सुपर-संधारित्र: $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — यानी एक AA सेल भर। और $10\,\mathrm{A}$ पर $10\,\mathrm{mH}$ की [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid): $0.50\,\mathrm{J}$। बैटरियों से कम — पर एक मिलीसेकंड में छोड़ा जा सकने वाला।

**टिप्पणी 30.17 (ये दोनों समय-रक्षक किस काम के हैं).**

धीरे भरना, तेज़ उड़ेलना — यही कैमरे के फ़्लैश और डीफ़िब्रिलेटर को शक्ति देता है। $\tau = RC$ का [विलंब](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-delay) [कालनियंत्रण परिपथ](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications) चलाता है: रुक-रुककर चलते वाइपर, टिमटिमाते संकेतक, सीढ़ियों की बत्तियाँ। आपूर्ति के समांतर जुड़ा [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) को *चिकना* कर देता है ($u$ छलाँग नहीं लगा सकता); और श्रेणीक्रम में जुड़ी [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) धारा को ($i$ छलाँग नहीं लगा सकता)। और [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) तथा [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) साथ मिलकर एक [दोलित्र](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/28-mechanical-oscillators-and-the-measurement-of-time#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) बना देते हैं ([अध्याय 31](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/31-rlc#ch-g12-rlc-oscillations))।

## 30.5 अभ्यास

**अभ्यास 30.1 ★.**

$470\,\text{µ}\mathrm{F}$ का [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $12\,\mathrm{V}$ तक आवेशित किया जाता है: वह कितना आवेश रखता है? $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ पर $2.0\,\mathrm{mC}$ डालने के लिए कितना [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) चाहिए?

**हल — अभ्यास 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$।

**अभ्यास 30.2 ★.**

$47\,\mathrm{pF}$, $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ और $10\,\mathrm{F}$ को आपूर्ति-चिकनाकार, रेडियो-ट्यूनर और सुपर-संधारित्र में बाँटिए; और आख़िरी की $2.7\,\mathrm{V}$ पर ऊर्जा निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$: रेडियो-ट्यूनर; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$: चिकनाकार; $10\,\mathrm{F}$: सुपर-संधारित्र। $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$।

**अभ्यास 30.3 ★.**

$220\,\text{µ}\mathrm{F}$ के [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) के सिरों का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) $10\,\mathrm{ms}$ में $0$ से $5.0\,\mathrm{V}$ तक एकसार चढ़ता है: उसमें कितनी धारा जाती है? [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) के ठहर जाने पर कितनी, और क्यों?

**हल — अभ्यास 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$। फिर $i = C\,du/dt = 0$: आवेशित [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) खुला परिपथ है — कोई स्थिर धारा नहीं।

**अभ्यास 30.4 ★.**

$R = 10\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ के लिए $\tau$ निकालिए, फिर $L = 0.10\,\mathrm{H}$, $R = 50\,\Omega$ के लिए। मात्रक-दर-मात्रक जाँचिए कि दोनों संयोजन [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ही हैं।

**हल — अभ्यास 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$। $\Omega\,\mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$।

**अभ्यास 30.5 ★.**

कोई [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $6.0\,\mathrm{V}$ की ओर आवेशित होता है और $t = 2.0\,\mathrm{s}$ पर $3.8\,\mathrm{V}$ पार कर जाता है। [कालांक](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) पढ़िए; और आवेशन $95\%$ कब पूरा होता है?

**हल — अभ्यास 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$, इसलिए $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$; और $3\tau =
6.0\,\mathrm{s}$ पर $95\%$।

**अभ्यास 30.6 ★★.**

कोई [RC परिपथ](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging): $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$। $\tau$, $u(\tau)$, $u(3\tau)$, और स्विच बंद होने के क्षण की धारा निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (ख़ाली [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor): पूरा $\mathcal{E}$ $R$ के सिरों पर बैठता है)।

**अभ्यास 30.7 ★★.**

प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ को संतुष्ट करता है; और $t = 0$ पर उसका मान तथा बड़े $t$ की सीमा भौतिक रूप से क्या दर्ज करते हैं?

**हल — अभ्यास 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$, इसलिए $RC\,du/dt + u =
\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$। $u(0) = 0$: [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ख़ाली शुरू होता है; $u \to \mathcal{E}$: पूरा आवेशित, और धारा रुक चुकी।

**अभ्यास 30.8 ★★.**

$12\,\mathrm{V}$ तक आवेशित $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ का [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $47\,\mathrm{k}\Omega$ से होकर विसर्जित होता है: $\tau$, $u(\tau)$, और $u$ के $0.60\,\mathrm{V}$ से नीचे गिरने का समय निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$; $0.60\,\mathrm{V}$ $5\%$ है, जो $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$ पर पहुँचता है।

**अभ्यास 30.9 ★★.**

$0.50\,\mathrm{H}$ की [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) में धारा $40\,\mathrm{ms}$ में $0$ से $2.0\,\mathrm{A}$ तक एकसार चढ़ती है: उसके सिरों पर कितना [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) प्रकट होता है? $u = L\,di/dt$ के साथ, [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) पर स्विच *खोलने* से चिंगारी क्यों उठती है, बंद करने से क्यों नहीं?

**हल — अभ्यास 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$। बंद करने पर $i$ परिपथ की अपनी चाल से चढ़ती है और $di/dt$ मामूली रहता है; पर खोलने पर $i$ को लगभग तत्काल शून्य होने के लिए *बाध्य* किया जाता है, $di/dt$ विशाल हो जाता है और $u$ चिंगारी वाले मानों तक पहुँच जाता है।

**अभ्यास 30.10 ★★.**

[उदाहरण 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl) वाली रिले: प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ को संतुष्ट करता है, फिर $i(\tau)$ और $i(3\tau)$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$, इसलिए $L\,di/dt + Ri =
\mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$। $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$।

**अभ्यास 30.11 ★★.**

दिखाइए कि $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$, और इससे निकालिए कि मूल बिंदु पर स्पर्शी अनंतस्पर्शी से $t = \tau$ पर मिलती है। किसी अभिलिखित वक्र पर यह $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$ देता है, और $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$ के साथ: $C$ निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, इसलिए $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$: स्पर्शी $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ $t = \tau$ पर $\mathcal{E}$ तक पहुँच जाती है। $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$।

**अभ्यास 30.12 ★★★.**

संचित ऊर्जा के अनुसार क्रम में रखिए और हर एक निकालिए: $2.7\,\mathrm{V}$ पर $3000\,\mathrm{F}$ का सुपर-संधारित्र; $300\,\mathrm{V}$ पर $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ का फ़्लैश-संधारित्र; $10\,\mathrm{A}$ पर $10\,\mathrm{mH}$ की [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid); और एक AA सेल ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$)। पहले तीन ऐसा क्या देते हैं जो बैटरी नहीं दे सकती?

**हल — अभ्यास 30.12.**

सुपर-संधारित्र $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; फ़्लैश $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$; [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$। बैटरी ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ सुपर-संधारित्र $\gg$ फ़्लैश $\gg$ [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — पर तीनों अपनी ऊर्जा मिलीसेकंडों में उड़ेल सकते हैं: यानी शक्ति, ऊर्जा नहीं।

**अभ्यास 30.13 ★★★.**

सीढ़ी की एक समय-घड़ी तब तक बत्ती जलाए रखती है जब तक अपने आवेशित होते [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) के सिरों पर $u < 0.63\,\mathcal{E}$ हो, और $t = \tau$ पर अँधेरा कर देती है। $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$ का उपयोग करते हुए बत्ती को $5.0\,\mathrm{s}$ तक चलाने की डिज़ाइन बनाइए: कितना $R$? देहली $0.50\,\mathcal{E}$ के लिए दिखाइए कि [विलंब](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/20-mechanical-waves#def-g12-mechanical-waves-delay) $\tau \ln 2$ है और उसे निकालिए।

**हल — अभ्यास 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$, इसलिए $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$। $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ से $e^{-t/\tau} = 0.50$, $t = \tau\ln 2
\approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$।

**अभ्यास 30.14 ★★★.**

$2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ का [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) किसी आपूर्ति को चिकना करता है: दो बार भरने के बीच वह अकेला $10\,\mathrm{ms}$ तक $0.50\,\mathrm{A}$ खींचते भार को खिलाता है। $i = C\,du/dt$ से [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) की गिरावट निकालिए, फिर वह [धारिता](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) जो उसे $0.50\,\mathrm{V}$ के नीचे रखे।

**हल — अभ्यास 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$। चाहिए $C \geq i\,\Delta t/\Delta u =
5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$।

**अभ्यास 30.15 ★★★.**

इग्निशन की [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid), $L = 0.80\,\mathrm{H}$, $2.0\,\mathrm{A}$ ले जाती है और ब्रेकर उसे लगभग $1.0\,\mathrm{ms}$ में काट देता है। कटाव के दौरान [कुंडली](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/15-magnetism-and-magnetic-fields#def-g11-magnetic-fields-solenoid) का [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) और चिंगारी की ऊर्जा का अनुमान लगाइए; धीमी रुकावट पर कोई चिंगारी क्यों नहीं उठती?

**हल — अभ्यास 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} =
1.6\,\mathrm{kV}$; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 =
1.6\,\mathrm{J}$। धीरे काटिए तो $di/dt$ छोटा रहता है और $u$ कुछ [वोल्ट](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) भर: कोई चिंगारी नहीं।

## 30.6 समस्या: कैमरे का फ़्लैश

**समस्या 30.1.**

सप्ताहांत समस्या — कैमरे का फ़्लैश: दो सेकंड की सीटी, एक मिलीसेकंड का जलवा, और दीवार पर टँगा वह चचेरा भाई जो दिल फिर से चला देता है — और तीनों को एक ही चरघातांक चलाता है

कोई छोटा फ़्लैश-यंत्र $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ के [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) में ऊर्जा संचित रखता है, जिसे $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ से होकर उस परिवर्तित्र से आवेशित किया जाता है जिसे आदर्श स्रोत $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ माना गया है; और “तैयार” बत्ती पूरे [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) के $95\%$ पर चल पड़ती है। चलने पर [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) को केवल फ़्लैश-नली दिखती है, $R_f = 0.50\,\Omega$। आँकड़े: कोई AA सेल $1.5\,\mathrm{V}$ और $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$ देता है; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$।

**भाग I — भंडार।**

1. $300\,\mathrm{V}$ पर [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) का आवेश निकालिए।
2. वह कितने [मूल आवेश](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/13-the-fundamental-interactions#def-g11-fundamental-interactions-elementary) हैं?
3. संचित ऊर्जा $E_C$ निकालिए।
4. AA सेल $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ रखता है, यानी लगभग $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ । यह [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) की ऊर्जा का कितना गुना है?
5. तो फिर [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) की झंझट क्यों? “शक्ति” शब्द का उपयोग करते हुए एक वाक्य में।

**भाग II — हरी बत्ती की प्रतीक्षा।**

6. फंदा-नियम लिखिए और उसे $u(t)$ के अवकल समीकरण में बदलिए।
7. प्रतिस्थापन से जाँचिए कि $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ उसे हल कर देता है, और वह $u(0) = 0$ से शुरू होता है।
8. [कालांक](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ निकालिए।
9. तैयार-बत्ती कितने समय बाद और किस [विभवांतर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-voltage) पर हरी होती है? दो [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) की उस सीटी को पहचानिए।
10. आरंभिक आवेशन-धारा निकालिए; फिर वह मरती क्यों जाती है?

**भाग III — एक मिलीसेकंड का जलवा।**

11. नली से होकर विसर्जन का नियम $u(t)$ लिखिए और नया [कालांक](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau'$ निकालिए।
12. नली से गुज़रती शिखर धारा निकालिए।
13. शिखर शक्ति निकालिए; $2.2\,\mathrm{kW}$ की केतली से तुलना कीजिए।
14. फ़्लैश को $3\tau'$ पर ख़त्म मानकर उसकी अवधि और औसत शक्ति दीजिए।
15. आवेशन-काल और फ़्लैश-काल का अनुपात बनाइए: वही [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , वही आवेश — तो बदला क्या, और इससे [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) क्या ठहरता है: ऊर्जा की टंकी, या शक्ति का लीवर?

**भाग IV — दीवार पर टँगा चचेरा भाई।** किसी डीफ़िब्रिलेटर को $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$ पर $E_C = 200\,\mathrm{J}$ देना है; और छाती तथा पट्टियाँ मिलकर लगभग $50\,\Omega$ बनाती हैं।

16. ज़रूरी [धारिता](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) निकालिए।
17. संचित आवेश निकालिए।
18. झटके का [कालांक](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) और अवधि ( $3\tau$ ) निकालिए; फ़्लैश से तुलना कीजिए।
19. रोगी में शिखर धारा और शिखर शक्ति निकालिए।
20. फिर से आवेशित करने वाले परिपथ को यंत्र को $6.0\,\mathrm{s}$ में तैयार ( $95\%$ ) कर देना है: ज़रूरी आवेशन-प्रतिरोध और आरंभिक आवेशन-धारा निकालिए — यानी वे संख्याएँ जो कोई डिज़ाइनर मँगवाएगा।

**हल — समस्या 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$।

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$।

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$।

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ गुना।

**5.** सेल भरपूर संचित रखता है पर धीरे-धीरे देता है; और [संधारित्र](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) मामूली ऊर्जा को विशाल *शक्ति* में बदल देता है।

**6.** $i = C\,du/dt$ के साथ $\mathcal{E} = Ri + u$: $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$।

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$: हर $t$ के लिए $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$, और $u(0) = 0$।

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$।

**9.** $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ पर $u = 0.95 \times 300 =
285\,\mathrm{V}$ — यानी दो [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) की वही सीटी।

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$; और $u$ के चढ़ते जाने पर $R$ के सिरों पर बचा हिस्सा $\mathcal{E} - u$ सिकुड़ता जाता है, इसलिए $i = (\mathcal{E}-u)/R$ मरती जाती है।

**11.** $\tau' = R_f C =
0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$ के साथ $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$।

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$।

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — यानी एक साथ लगभग $80$ केतलियाँ।

**14.** अवधि $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$; औसत शक्ति $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$।

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$। बदला केवल प्रतिरोध (भीतर $1.0\,\mathrm{k}\Omega$, बाहर $0.50\,\Omega$): यानी शक्ति का लीवर।

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$।

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$।

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$, अवधि $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — यानी फ़्लैश की लगभग बीस गुनी।

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$।

**20.** $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ से $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$ मिलता है, इसलिए $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ और $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — यानी छह [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में तैयार, और वह भी दसवें हिस्से भर [ऐंपियर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/12-electric-circuits-and-power#def-g11-circuits-and-power-current) पर।