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title: "सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण और भार"
book: "माध्यमिक भौतिकी"
subject: physics
language: hi
chapter: 4
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/4-universal-gravitation-and-weight
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# अध्याय 4 — सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण और भार

एक सेब गिराइए: वह गिरता है। चंद्रमा, पृथ्वी की साठ त्रिज्या ऊपर, कभी गिरता नहीं लगता। न्यूटन की बड़ी सूझ यही थी कि चंद्रमा गिर *रहा* है — हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) लगभग 1.4 मिलीमीटर, ठीक उतना जितना दूरी के वर्ग के साथ कमज़ोर पड़ता आकर्षण बताता है। एक ही सूत्र, एक ही सार्वत्रिक नियतांक के साथ, सेब, चंद्रमा, ज्वार-भाटे और ग्रहों — सब पर राज करता है। पहले खंड ने [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) का वर्णन शब्दों में किया था; यह अध्याय उसे नापता है।

## 4.1 सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम

**परिभाषा 4.1 (गुरुत्वाकर्षण बल).**

कोई भी दो पिंड एक-दूसरे को आकर्षित करते हैं, चाहे वे किसी भी चीज़ के बने हों और कितनी भी दूर बैठे हों। यही आकर्षण *गुरुत्वाकर्षण बल* है, और यह परिघटना *गुरुत्वाकर्षण* कहलाती है। इसे न स्पर्श चाहिए, न रस्सी, न कोई माध्यम, और यह *परस्पर* है: हर पिंड दूसरे को खींचता है।

**प्रमेय 4.2 (सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम).**

$m_1$ और $m_2$ द्रव्यमान ($\mathrm{kg}$ में) वाले दो पिंड, जिनके केंद्र $d$ दूरी ($\mathrm{m}$ में) पर हैं, एक-दूसरे को दो बलों से आकर्षित करते हैं जो केंद्रों को मिलाने वाली रेखा के अनुदिश, हर एक दूसरे पिंड की ओर लगते हैं, और जिनका परिमाण बराबर है:

$$
F = G\,\frac{m_1 m_2}{d^2}
\qquad \text{($\mathrm{N}$ में)},
$$

जहाँ $G$ ब्रह्मांड के हर युग्म के लिए एक ही नियतांक है।

**उपपत्ति.** *इस स्तर पर स्वीकृत।* ∎

**टिप्पणी 4.3 (यह नियम कहाँ से आता है).**

न्यूटन ने यह नियम ग्रहों की प्रेक्षित गति (केप्लर के नियमों) से निचोड़ा था; ईमानदार व्युत्पत्ति स्नातक वर्ष 1 के खंड में की गई है। [अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/27-satellites-and-planetary-motion#ch-g12-satellites-kepler) इस नियम को उपग्रहों और ग्रहों पर काम में लगा ही देगा।

**परिभाषा 4.4 (गुरुत्वाकर्षण नियतांक).**

नियतांक

$$
G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}
$$

*गुरुत्वाकर्षण नियतांक* कहलाता है। उसका नन्हा मान ही वह कारण है जिससे रोज़मर्रा की वस्तुओं के बीच का गुरुत्व पकड़ में नहीं आता: $G m_1 m_2 / d^2$ तभी कुछ बनता है जब कम से कम एक द्रव्यमान खगोलीय हो।

![गुरुत्वाकर्षण युग्म के दो बल: केंद्रों की रेखा के अनुदिश, दूसरे पिंड की ओर, और परिमाण वही F = G m_1 m_2 / d2 — तब भी, जब द्रव्यमान बुरी तरह असमान हों।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-a7b3c3c09a89.svg)

*[गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) युग्म के दो बल: केंद्रों की रेखा के अनुदिश, दूसरे पिंड की ओर, और परिमाण *वही* $F = G m_1 m_2 / d^2$ — तब भी, जब द्रव्यमान बुरी तरह असमान हों।*

**टिप्पणी 4.5 (सूत्र को पढ़ना).**

चार बातें ध्यान माँगती हैं।

- *परस्पर और बराबर।* पृथ्वी आपको आपके भार से खींचती है — और आप पृथ्वी को ठीक उतने ही बल से। (पृथ्वी बस कम प्रतिक्रिया करती है: वह लगभग $10^{23}$ गुना भारी जो है।)
- *व्युत्क्रम वर्ग।* $d$ दुगुना करने पर बल $4$ से भाग हो जाता है; दस गुना दूर जाने पर $100$ से।
- *केंद्रों के बीच की दूरी।* गोलाकार पिंडों के लिए — तारे, ग्रह, तोप के गोले — $d$ केंद्र से केंद्र तक नापी जाती है, सतह से सतह तक नहीं।
- *दोनों द्रव्यमान मायने रखते हैं।* किसी भी एक द्रव्यमान को दुगुना करने पर बल दुगुना हो जाता है; सूत्र $m_1$ और $m_2$ में सममित है।

**उदाहरण 4.6 (दो मित्र).**

$70\,\mathrm{kg}$ के दो मित्र अपने केंद्रों को $1.0\,\mathrm{m}$ की दूरी पर रखकर खड़े हैं:

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times \frac{70 \times 70}{1.0^2}
\approx 3.3 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}.
$$

हर मित्र का भार लगभग $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ है — यानी दो *अरब* गुना बड़ा। उनका पारस्परिक आकर्षण असली है, पर महसूस होने की कोई उम्मीद नहीं।

**उदाहरण 4.7 (पृथ्वी चंद्रमा को थामे है).**

$m_1 = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ (पृथ्वी), $m_2 = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$ (चंद्रमा) और $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ लेकर:

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
\approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.
$$

और चंद्रमा भी पृथ्वी को उसी $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ से वापस खींचता है — वही खिंचाव जिसका उत्तर महासागर दिन में दो बार ज्वार-भाटे से देते हैं।

**विधि 4.8 (कोई गुरुत्वाकर्षण बल निकालना).**

1. द्रव्यमानों को [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में और केंद्र-से-केंद्र दूरी को [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में बदलिए।
2. $F = G m_1 m_2 / d^2$ लगाइए।
3. दस की घात को अंकों से अलग जाँचिए, जैसा [अध्याय 1](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#ch-g10-orders-of-magnitude) में किया था: [गुरुत्वाकर्षण बल](#def-g10-universal-gravitation-force) $10^{-7}$ न्यूटन (एक [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) की दूरी पर दो लोग) से $10^{22}$ न्यूटन (पृथ्वी पर सूर्य) तक जाते हैं, इसलिए खिसका हुआ [घातांक](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) आसानी से पकड़ में आ जाता है।

## 4.2 भार और गुरुत्व की प्रबलता

**परिभाषा 4.9 (भार).**

किसी तारे (ग्रह, चंद्रमा, …) की सतह पर रखी वस्तु का *भार* $\vect P$ वह [गुरुत्वाकर्षण बल](#def-g10-universal-gravitation-force) है जो तारा उस पर लगाता है। वह तारे के केंद्र की ओर लगता है — और इसी दिशा को हम *ऊर्ध्वाधर* कहते हैं — और उसे न्यूटन में नापा जाता है।

**प्रतिज्ञप्ति 4.10 (किसी तारे की सतह पर भार).**

$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोलाकार तारे की सतह पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु का भार

$$
P = m\,g,
\qquad\text{जहाँ}\qquad
g = \frac{G M}{R^2}
$$

है, जो केवल तारे पर निर्भर करता है, वस्तु पर नहीं।

**उपपत्ति.** वस्तु का केंद्र और तारे का केंद्र $R$ दूरी पर हैं, इसलिए सार्वत्रिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) का नियम ([प्रमेय 4.2](#thm-g10-universal-gravitation-law)) $P = G M m / R^2 = m \times \left(G M / R^2\right)$ देता है। कोष्ठक में रखी राशि सतह की हर वस्तु के लिए वही है: उसे $g$ कहिए। ∎

**परिभाषा 4.11 (गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता).**

राशि $g = G M / R^2$, जो न्यूटन प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में मापी जाती है, तारे की सतह पर *गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता* है: तारा हर [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) को $g$ न्यूटन से खींचता है। पृथ्वी पर $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

**उदाहरण 4.12 (ggg निकालना).**

पृथ्वी के लिए ($M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$):

$$
g = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.37 \times 10^{6})^2}
= \frac{3.98 \times 10^{14}}{4.06 \times 10^{13}}
\approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

चंद्रमा के लिए ($M = 7.35 \times 10^{22}\,\mathrm{kg}$, $R = 1.74 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$) वही गणना $g_{\text{चंद्रमा}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ देती है — यानी छह गुना कम: चंद्रमा कहीं हल्का है, और छोटा होना इसकी भरपाई नहीं करता। मंगल के लिए $g_{\text{मंगल}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

![चार लोकों पर सतह की गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता: शक्कर की वही 1\, kg की थैली चंद्रमा पर 1.6\, N और बृहस्पति पर 25\, N भारी पड़ती है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-b75921d3a53c.svg)

*चार लोकों पर सतह की [गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength): शक्कर की वही $1\,\mathrm{kg}$ की थैली चंद्रमा पर $1.6\,\mathrm{N}$ और बृहस्पति पर $25\,\mathrm{N}$ भारी पड़ती है।*

![“नीचे” एक स्थानीय धारणा है: गोले के हर बिंदु पर भार सदिश केंद्र O की ओर इशारा करता है। पृथ्वी के आमने-सामने के छोरों पर चलते दो लोग, दोनों सीधे खड़े हैं — पैर एक-दूसरे की ओर।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-8c99b4890637.svg)

*“नीचे” एक स्थानीय धारणा है: गोले के हर बिंदु पर भार सदिश केंद्र $O$ की ओर इशारा करता है। पृथ्वी के आमने-सामने के छोरों पर चलते दो लोग, दोनों सीधे खड़े हैं — पैर एक-दूसरे की ओर।*

**टिप्पणी 4.13 (अंतरिक्ष यात्री उछलते क्यों हैं).**

$120\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान (शरीर और परिधान) वाला अंतरिक्ष यात्री पृथ्वी पर $120 \times 9.81 \approx 1180\,\mathrm{N}$ भारी है, पर चंद्रमा पर केवल $120 \times 1.62 \approx 194\,\mathrm{N}$। $1180\,\mathrm{N}$ के नीचे सधी माँसपेशियाँ अचानक छठा हिस्सा भर ढोने लगती हैं: इसीलिए चंद्रमा पर वह मशहूर धीमी, उछलती चाल दिखती है। द्रव्यमान — और उसके साथ *रुकने* या *मुड़ने* में लगने वाला ज़ोर — वही रहता है, और इसीलिए चंद्रमा पर अंतरिक्ष यात्री इतनी बार गिरते थे।

## 4.3 द्रव्यमान या भार? तुला और कमानीदार तराज़ू

रोज़मर्रा की भाषा कहती है कि आटे की बोरी “तीन किलो भारी है”। भौतिकी इस वाक्य को दो हिस्सों में काट देती है।

**टिप्पणी 4.14 (द्रव्यमान भार नहीं है).**

- *द्रव्यमान* $m$ पदार्थ की मात्रा नापता है, [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में। यह अकेली वस्तु का गुण है: पृथ्वी पर, चंद्रमा पर, या गहरे अंतरिक्ष में बहते हुए — सब जगह वही।
- *भार* $P = mg$ एक बल है, न्यूटन में, जो वस्तु पर *किसी तारे द्वारा* लगाया जाता है। वह $g$ के साथ तारे-दर तारे बदलता है — और हर तारे से दूर जाकर मिट जाता है।

इन्हें गड्डमड्ड करना बाज़ार में हानिरहित है और भौतिकी की समस्या में घातक: [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) बल का मात्रक नहीं है।

**विधि 4.15 (तुला और कमानीदार तराज़ू).**

- *दंड तुला* वस्तु की तुलना मानक द्रव्यमानों से करती है: दोनों पलड़ों के भार उसी $g$ से बढ़ते-घटते हैं, इसलिए यह तुलना *द्रव्यमान* नापती है — किसी भी तारे पर वही फैसला।
- *कमानीदार तराज़ू* वह बल नापता है जो उसकी कमानी खींचता है: वह *भार* पढ़ता है, न्यूटन में, और उसका पाठ तारे-दर-तारे बदलता है। द्रव्यमान वापस पाने के लिए स्थानीय क्षेत्र प्रबलता से भाग दीजिए: $m = P/g$ ।

**उदाहरण 4.16 (चंद्रमा पर आटा).**

आटे की $3.0\,\mathrm{kg}$ की बोरी पृथ्वी *और* चंद्रमा, दोनों पर $3.0\,\mathrm{kg}$ के मानक द्रव्यमानों से संतुलित होती है। कमानीदार तराज़ू, इसके उलट, पृथ्वी पर $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ और चंद्रमा पर $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ पढ़ता है। जो व्यापारी चंद्रमा पर “न्यूटन के हिसाब से” बेचे, वह छह गुना आटा थमा देगा — व्यापार भी, विज्ञान की तरह, द्रव्यमान पर चलता है।

## 4.4 पृथ्वी के चारों ओर गिरना: न्यूटन की तोप

एक पत्थर क्षैतिज फेंकिए: गुरुत्व उसका पथ एक चाप में मोड़ देता है और वह कुछ [मीटर](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) दूर गिरता है। और तेज़ फेंकिए: वह और दूर गिरता है। न्यूटन का विचार-प्रयोग इस विचार को उसकी हद तक ले जाता है। पृथ्वी गोल है, और हर $8\,\mathrm{km}$ चलने पर उसकी सतह क्षैतिज से लगभग $5\,\mathrm{m}$ नीचे उतर जाती है; स्वतंत्र रूप से गिरता पिंड अपने पहले [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में $4.9\,\mathrm{m}$ गिरता है (यह [अध्याय 26](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/26-free-fall-and-projectile-motion#ch-g12-projectile-motion) स्थापित करेगा)। इसलिए पृथ्वी को $8\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर छूता हुआ जाता प्रक्षेप्य ठीक उतनी ही तेज़ी से गिरता है जितनी तेज़ी से ज़मीन नीचे मुड़ जाती है: वह सदा गिरता रहता है और कभी उतरता नहीं।

**परिभाषा 4.17 (उपग्रह और कक्षा).**

किसी तारे का *उपग्रह* वह पिंड है जो तारे की सतह तक कभी पहुँचे बिना उसके चारों ओर गिरता रहता है; और जिस पथ को वह दोहराता है वह उसकी *कक्षा* है।

![न्यूटन की तोप: किसी पर्वत-शिखर से और तेज़, और तेज़ दागने पर गोला और दूर, और दूर गिरता है — जब तक कि लगभग 7.9\, km/ s पर ज़मीन उतनी ही तेज़ी से नीचे न मुड़ जाए जितनी तेज़ी से गोला गिरता है, और वह कक्षा में आ जाता है।](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-universal-gravitation/fig-35359c28ad95.svg)

*न्यूटन की तोप: किसी पर्वत-शिखर से और तेज़, और तेज़ दागने पर गोला और दूर, और दूर गिरता है — जब तक कि लगभग $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर ज़मीन उतनी ही तेज़ी से नीचे न मुड़ जाए जितनी तेज़ी से गोला गिरता है, और वह कक्षा में आ जाता है।*

**टिप्पणी 4.18 (चंद्रमा एक गिरता पत्थर है).**

चंद्रमा पृथ्वी का प्राकृतिक [उपग्रह](#def-g10-universal-gravitation-satellite) है: वह हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) हमारी ओर लगभग $1.4\,\mathrm{mm}$ गिरता है, और उसकी बग़ल की गति उसे और पास आने से पहले ही चारों ओर ले जाती है ([अभ्यास 4.15](#exo-g10-universal-gravitation-15) से आप न्यूटन की अपनी जाँच दोहरा सकते हैं)। किसी कक्षा में घूमते स्टेशन के अंतरिक्ष यात्री अपने यान जैसी ही मुक्त गिरावट में हैं — और यही, न कि गुरुत्व का अभाव, उनके तैरने का कारण है। [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) हर प्रक्षेप-पथ को गढ़ता है, पत्थर के चाप से लेकर ग्रह के दीर्घवृत्त तक; कक्षाओं की संख्यात्मक कहानी [अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/27-satellites-and-planetary-motion#ch-g12-satellites-kepler) में कही गई है।

**संकेतन 4.19 (आँकड़ा-पत्रक).**

जब तक कोई अभ्यास और न कहे, $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ और ये मान लीजिए:

|  | द्रव्यमान ($\mathrm{kg}$) | त्रिज्या ($\mathrm{m}$) | $g$ ($\mathrm{N}/\mathrm{kg}$) |
| --- | --- | --- | --- |
| पृथ्वी | $5.97 \times 10^{24}$ | $6.37 \times 10^{6}$ | 9.81 |
| चंद्रमा | $7.35 \times 10^{22}$ | $1.74 \times 10^{6}$ | 1.62 |
| मंगल | $6.42 \times 10^{23}$ | $3.39 \times 10^{6}$ | 3.73 |
| सूर्य | $1.99 \times 10^{30}$ | — | — |

पृथ्वी–चंद्रमा दूरी: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$; पृथ्वी–सूर्य दूरी: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ (केंद्र से केंद्र तक)।

## 4.5 अभ्यास

**अभ्यास 4.1 ★.**

$60\,\mathrm{kg}$ के दो नर्तक एक-दूसरे को थामे हैं और उनके केंद्र $0.80\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं।

1. उनका पारस्परिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) निकालिए।
2. उसकी तुलना $2.5\,\mathrm{mg}$ के एक मच्छर के भार से कीजिए।

**हल — अभ्यास 4.1.**

*1.* $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{60 \times 60}{0.80^2}
= \dfrac{2.40 \times 10^{-7}}{0.64} \approx 3.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$।

*2.* मच्छर का भार $P = 2.5 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 2.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$ है — यानी नर्तकों के पारस्परिक आकर्षण से लगभग $65$ गुना *बड़ा*। लोगों के बीच का गुरुत्व एक मच्छर के भार से भी कमज़ोर है।

**अभ्यास 4.2 ★.**

एक छात्रा का द्रव्यमान $55\,\mathrm{kg}$ है।

1. पृथ्वी पर उसका भार निकालिए।
2. वह चंद्रमा पर जाती है। वहाँ उसका द्रव्यमान और भार क्या हैं?

**हल — अभ्यास 4.2.**

*1.* $P = mg = 55 \times 9.81 \approx 5.4 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$।

*2.* उसका द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है: $55\,\mathrm{kg}$ (पदार्थ की वही मात्रा)। उसका भार $P = 55 \times 1.62 \approx 89\,\mathrm{N}$ हो जाता है — यानी छह गुना कम।

**अभ्यास 4.3 ★.**

1. आँकड़ा-पत्रक से मंगल की सतह पर [गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) फिर से निकालिए।
2. वहाँ $900\,\mathrm{kg}$ का एक रोवर भेजा जाता है। मंगल पर उसका भार और पृथ्वी पर उसका भार निकालिए।

**हल — अभ्यास 4.3.**

*1.* $g_{\text{मंगल}} = \dfrac{G M}{R^2}
= \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 6.42 \times 10^{23}}{(3.39 \times 10^{6})^2}
= \dfrac{4.28 \times 10^{13}}{1.15 \times 10^{13}} \approx 3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

*2.* मंगल पर: $P = 900 \times 3.73 \approx 3.4 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$। पृथ्वी पर: $P = 900 \times 9.81 \approx 8.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — द्रव्यमान वही रहते हुए रोवर मंगल पर लगभग $2.6$ गुना कम भारी है।

**अभ्यास 4.4 ★.**

आँकड़ा-पत्रक की सहायता से चंद्रमा पर पृथ्वी द्वारा लगाया गया बल निकालिए। चंद्रमा पृथ्वी पर कौन-सा बल लगाता है?

**हल — अभ्यास 4.4.**

$$
F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\frac{5.97 \times 10^{24} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
= \frac{2.93 \times 10^{37}}{1.47 \times 10^{17}}
\approx 2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}.
$$

चंद्रमा पृथ्वी पर *उतने ही* परिमाण का, यानी $2.0 \times 10^{20}\,\mathrm{N}$ का बल विपरीत दिशा में लगाता है: [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) परस्पर होता है।

**अभ्यास 4.5 ★.**

दो पिंड एक-दूसरे को $F_0$ बल से आकर्षित करते हैं। बल क्या हो जाएगा यदि:

1. केंद्रों के बीच की दूरी दुगुनी कर दी जाए;
2. दूरी आधी कर दी जाए;
3. दोनों द्रव्यमान दुगुने कर दिए जाएँ (दूरी वही);
4. एक द्रव्यमान तिगुना *और* दूरी भी तिगुनी कर दी जाए?

**हल — अभ्यास 4.5.**

*1.* दूरी दुगुनी: $d^2$ $4$ से गुणा हो जाता है, इसलिए $F = F_0/4$।

*2.* दूरी आधी: $F = 4F_0$।

*3.* दोनों द्रव्यमान दुगुने: $m_1 m_2$ $4$ से गुणा हो जाता है, इसलिए $F = 4F_0$।

*4.* अंश $\times 3$, हर $\times 9$: $F = F_0/3$।

**अभ्यास 4.6 ★★.**

$5.0 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ के दो लदे हुए महाजहाज़ अपने केंद्रों को $100\,\mathrm{m}$ की दूरी पर रखकर लंगर डाले हैं।

1. उनका पारस्परिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) निकालिए।
2. पृथ्वी पर किस द्रव्यमान का भार इस बल के बराबर होगा?
3. बल आश्चर्यजनक रूप से बड़ा है — फिर भी जहाज़ों में एक-दूसरे की ओर सरकने का कोई रुझान नहीं दिखता। यह एक जहाज़ को जो त्वरण $a = F/m$ देता है उसे निकालिए और टिप्पणी कीजिए।

**हल — अभ्यास 4.6.**

*1.* $F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\dfrac{(5.0 \times 10^{8})^2}{100^2}
= 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{2.5 \times 10^{17}}{1.0 \times 10^{4}}
\approx 1.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$।

*2.* $m = F/g = 1667/9.81 \approx 1.7 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}$: दोनों जहाज़ एक-दूसरे को एक बड़ी मोटरसाइकिल के भार जितने बल से खींचते हैं।

*3.* $a = F/m = 1.7 \times 10^{3}/5.0 \times 10^{8} \approx
3.3 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$। कोई विरोध न हो तब भी जहाज़ों को पैदल चलने की चाल पकड़ने में लगभग पाँच दिन लगेंगे; व्यवहार में पानी का प्रतिरोध और लंगर इस आकर्षण को पूरी तरह दबा देते हैं।

**अभ्यास 4.7 ★★.**

चंद्रमा की एक दुकान $3.0\,\mathrm{kg}$ चावल की थैली बेचती है।

1. इस थैली के लिए दंड तुला और कमानीदार तराज़ू पृथ्वी पर क्या बताएँगे? चंद्रमा पर?
2. एक ग्राहक “ $3.0\,\mathrm{kg}$ ” का दाम चुकाता है। कौन-सा उपकरण किसी भी लोक पर सौदे को न्यायपूर्ण रखता है, और क्यों?

**हल — अभ्यास 4.7.**

*1.* दंड तुला दोनों लोकों पर $3.0\,\mathrm{kg}$ बताती है: थैली और मानक द्रव्यमान, दोनों के भार उसी गुणक से भाग हो जाते हैं, इसलिए तुलना जस की तस रहती है। कमानीदार तराज़ू भार पढ़ता है: पृथ्वी पर $3.0 \times 9.81 \approx 29\,\mathrm{N}$ और चंद्रमा पर $3.0 \times 1.62 \approx 4.9\,\mathrm{N}$।

*2.* तुला: वह द्रव्यमान नापती है, और ग्राहक वही ख़रीद रहा है। पृथ्वी पर “[किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit)” में अंशांकित कमानीदार तराज़ू उसी थैली के लिए चंद्रमा पर $4.9/9.81 \approx 0.50\,\mathrm{kg}$ पढ़ेगा — और दुकानदार एक की क़ीमत में छह थैलियाँ दे बैठेगा।

**अभ्यास 4.8 ★★.**

अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन $400\,\mathrm{km}$ की ऊँचाई पर उड़ता है।

1. उस ऊँचाई पर पृथ्वी की [गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) निकालिए। (सावधान: पृथ्वी के *केंद्र* तक की दूरी कितनी है?)
2. उसे सतह वाले मान के प्रतिशत में बताइए।
3. यान पर सवार अंतरिक्ष यात्री तैरते हैं। इसे अपने उत्तर से मेल बिठाइए।

**हल — अभ्यास 4.8.**

*1.* केंद्र से दूरी: $d = R + h = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$। तब $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{(6.77 \times 10^{6})^2}
= \dfrac{3.98 \times 10^{14}}{4.58 \times 10^{13}} \approx 8.69\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

*2.* सतह वाले मान का $8.69/9.81 \approx 89\%$।

*3.* वहाँ ऊपर गुरुत्व लगभग पूरी ताक़त पर है: अंतरिक्ष यात्री इसलिए तैरते हैं कि स्टेशन और उसमें रखा सब कुछ पृथ्वी के चारों ओर *साथ-साथ गिर* रहे हैं (मुक्त गिरावट), इसलिए नहीं कि गुरुत्व मिट गया है।

**अभ्यास 4.9 ★★.**

शुक्र की सतह पर $g = 8.87\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ है, और ग्रह की त्रिज्या $6.05 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ है। इससे शुक्र का द्रव्यमान निकालिए और उसकी तुलना पृथ्वी के द्रव्यमान से कीजिए।

**हल — अभ्यास 4.9.**

$g = GM/R^2$ से,

$$
M = \frac{g R^2}{G}
= \frac{8.87 \times (6.05 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}}
= \frac{3.25 \times 10^{14}}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 4.87 \times 10^{24}\,\mathrm{kg},
$$

यानी पृथ्वी के द्रव्यमान का लगभग $0.8$ गुना — शुक्र आकार और द्रव्यमान में लगभग पृथ्वी का जुड़वाँ है।

**अभ्यास 4.10 ★★.**

1. समुद्र के $1.0\,\mathrm{kg}$ पानी पर सूर्य द्वारा लगाया गया बल निकालिए, फिर उसी [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) पर चंद्रमा द्वारा लगाया गया बल।
2. सूर्य अधिक ज़ोर से खींचता है — कितने गुना?
3. फिर भी ज्वार-भाटे पर चंद्रमा का बोलबाला है। ज्वार खिंचाव से नहीं, बल्कि पृथ्वी के पास वाले और दूर वाले पहलुओं पर लगे खिंचावों के *अंतर* से चलता है। बिना गणना किए समझाइए कि इस कसौटी पर पास का चंद्रमा दूर के सूर्य को कैसे हरा देता है।

**हल — अभ्यास 4.10.**

*1.* सूर्य: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 1.99 \times 10^{30}}{(1.496 \times 10^{11})^2}
\approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$। चंद्रमा: $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 7.35 \times 10^{22}}{(3.84 \times 10^{8})^2}
\approx 3.3 \times 10^{-5}\,\mathrm{N}$।

*2.* सूर्य लगभग $5.9 \times 10^{-3}/3.3 \times 10^{-5} \approx 180$ गुना अधिक ज़ोर से खींचता है।

*3.* पृथ्वी का व्यास पृथ्वी–चंद्रमा दूरी का कहीं बड़ा *अंश* ($\approx 3\%$) है, जबकि पृथ्वी–सूर्य दूरी का बहुत छोटा ($\approx 0.01\%$), इसलिए चंद्रमा का खिंचाव गोले के पास वाले पहलू से दूर वाले पहलू तक कहीं अधिक बदलता है। ज्वार इसी अंतर पर पलते हैं — और वहाँ चंद्रमा जीत जाता है।

**अभ्यास 4.11 ★★.**

1. किसी ग्रह का द्रव्यमान पृथ्वी से दुगुना और त्रिज्या भी दुगुनी है। उसकी सतह की क्षेत्र प्रबलता पहले पृथ्वी के $g$ के पदों में बताइए, फिर $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ में।
2. पृथ्वी जितने द्रव्यमान वाले ग्रह की त्रिज्या कितनी होनी चाहिए कि उसकी सतह की क्षेत्र प्रबलता $2g$ हो जाए?

**हल — अभ्यास 4.11.**

*1.* $g' = \dfrac{G (2M)}{(2R)^2} = \dfrac{2}{4}\,\dfrac{GM}{R^2}
= \dfrac{g}{2} \approx 4.9\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$: दुगुनी त्रिज्या दुगुने द्रव्यमान पर भारी पड़ती है।

*2.* हमें $\dfrac{GM}{R'^2} = 2\,\dfrac{GM}{R^2}$ चाहिए, इसलिए $R'^2 = R^2/2$ और $R' = R/\sqrt{2} \approx 4.5 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग $4500\,\mathrm{km}$।

**अभ्यास 4.12 ★★★.**

पृथ्वी–चंद्रमा रेखा पर कहीं एक ऐसा बिंदु है जहाँ किसी अंतरिक्ष यान पर दोनों खिंचाव कट जाते हैं। मान लीजिए पृथ्वी के केंद्र से उस बिंदु तक की दूरी $x$ है और पृथ्वी–चंद्रमा दूरी $D$।

1. दिखाइए कि उस बिंदु पर $\left(\dfrac{x}{D - x}\right)^{2}  = \dfrac{M_{\text{पृथ्वी}}}{M_{\text{चंद्रमा}}}$ ।
2. इससे $x$ निकालिए। यह चंद्रमा तक की यात्रा का कितना भाग है?

**हल — अभ्यास 4.12.**

*1.* प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) खिंचाव बराबर: $\dfrac{G M_{\text{पृथ्वी}}}{x^2} = \dfrac{G M_{\text{चंद्रमा}}}{(D-x)^2}$। तिरछा गुणा करके और $G$ से भाग देकर: $\left(\dfrac{x}{D-x}\right)^2 = \dfrac{M_{\text{पृथ्वी}}}{M_{\text{चंद्रमा}}}$।

*2.* $\dfrac{x}{D-x}
= \sqrt{\dfrac{5.97 \times 10^{24}}{7.35 \times 10^{22}}} = \sqrt{81.2} \approx
9.0$, इसलिए $x = 9.0\,(D - x)$, यानी $x = \dfrac{9.0}{10.0}\,D
\approx 0.90 \times 3.84 \times 10^{8} \approx 3.5 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$। संतुलन-बिंदु चंद्रमा तक की यात्रा के $90\%$ पर बैठता है: लगभग पूरी यात्रा पर पृथ्वी का ही खिंचाव हावी रहता है।

**अभ्यास 4.13 ★★★.**

न्यूटन की तोप, संख्याओं के साथ। एक प्रक्षेप्य पृथ्वी को क्षैतिज रूप से $v$ चाल से छूता हुआ जाता है।

1. $x = 8.0\,\mathrm{km}$ क्षैतिज चलने के बाद गोलाकार पृथ्वी $h$ ऊँचाई भर “नीचे हट” जाती है, जो $(R + h)^2 = R^2 + x^2$ संतुष्ट करती है। छोटे $h$ के लिए $(R + h)^2 \approx R^2 + 2Rh$ का उपयोग करते हुए दिखाइए कि $h \approx x^2 / (2R)$ , और $h$ निकालिए।
2. स्वतंत्र रूप से गिरता पिंड अपने पहले [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में $4.9\,\mathrm{m}$ गिरता है। उसकी $h$ से तुलना कीजिए और वह चाल निकालिए जिस पर प्रक्षेप्य कभी उतरता ही नहीं।
3. सतह को छूते हुए उसी चाल पर एक पूरी कक्षा की अवधि निकालिए।

**हल — अभ्यास 4.13.**

*1.* फैलाने पर: $R^2 + 2Rh + h^2 = R^2 + x^2$; चूँकि $h$ $R$ की तुलना में नन्हा है, $h^2$ छोड़ दीजिए: $2Rh \approx x^2$, इसलिए $h \approx \dfrac{x^2}{2R}
= \dfrac{(8.0 \times 10^{3})^2}{2 \times 6.37 \times 10^{6}}
= \dfrac{6.4 \times 10^{7}}{1.27 \times 10^{7}} \approx 5.0\,\mathrm{m}$।

*2.* एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में प्रक्षेप्य $4.9\,\mathrm{m}$ गिरता है — लगभग ठीक उतना $5.0\,\mathrm{m}$, जितना ज़मीन $8.0\,\mathrm{km}$ पर नीचे हट जाती है। इसलिए $v \approx 8.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ पर गिरावट ज़मीन को कभी पकड़ नहीं पाती: प्रक्षेप्य कक्षा में आ जाता है।

*3.* $T = \dfrac{2\pi R}{v}
= \dfrac{2\pi \times 6.37 \times 10^{6}}{8.0 \times 10^{3}}
\approx 5.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 83\,\mathrm{min}$ — जो असली निचली कक्षा वाले उपग्रहों के लगभग $90\,\mathrm{min}$ के पास है, और वे कुछ ऊँचे उड़ते हैं।

**अभ्यास 4.14 ★★★.**

एक न्यूट्रॉन तारा $M = 2.8 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ (सूर्य के द्रव्यमान का 1.4 गुना) को $12\,\mathrm{km}$ त्रिज्या में ठूँस देता है।

1. उसकी सतह पर [गुरुत्वीय क्षेत्र प्रबलता](#def-g10-universal-gravitation-fieldstrength) निकालिए।
2. वहाँ $70\,\mathrm{kg}$ का मनुष्य कितना भारी पड़ेगा? पृथ्वी पर उसके भार से तुलना कीजिए।
3. वहाँ $1.0\,\mathrm{mg}$ के रेत के एक कण का भार कितना होगा? पृथ्वी पर किस द्रव्यमान का भार इतना होता है?

**हल — अभ्यास 4.14.**

*1.* $g = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 2.8 \times 10^{30}}
{(1.2 \times 10^{4})^2} = \dfrac{1.87 \times 10^{20}}{1.44 \times 10^{8}}
\approx 1.3 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.$

*2.* $P = 70 \times 1.3 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{13}\,\mathrm{N}$, जबकि पृथ्वी पर $6.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$: यानी लगभग $1.3 \times 10^{11}$ गुना अधिक। परमाणुओं से बनी कोई संरचना वहाँ खड़ी नहीं रह सकती।

*3.* $P = 1.0 \times 10^{-6} \times 1.3 \times 10^{12} \approx
1.3 \times 10^{6}\,\mathrm{N}$। पृथ्वी पर यह $m = 1.3 \times 10^{6}/9.81 \approx 1.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ का भार है — यानी रेत का एक कण, और भार सौ टन के रेल इंजन जितना।

**अभ्यास 4.15 ★★★.**

न्यूटन की चंद्रमा-परख (1666)। चंद्रमा की कक्षा की त्रिज्या पृथ्वी की लगभग $60$ त्रिज्याएँ है।

1. यदि गुरुत्व व्युत्क्रम वर्ग मानता है, तो प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) पृथ्वी का खिंचाव चंद्रमा पर पृथ्वी की सतह की तुलना में कितने गुना कमज़ोर है?
2. सतह के पास गिरता पिंड अपने पहले [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में $4.9\,\mathrm{m}$ गिरता है। चंद्रमा को पृथ्वी की ओर हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) कितना गिरना चाहिए?
3. कक्षा से जाँचिए: चंद्रमा $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ त्रिज्या का अपना वृत्त $T = 27.3$ दिनों में पूरा करता है। उसकी चाल $v$ , एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में तय की गई दूरी $x$ , और फिर गिरावट $h \approx x^2/(2d)$ निकालिए (जैसा [अभ्यास 4.13](#exo-g10-universal-gravitation-13) में किया था)।
4. प्रश्न 2 और 3 के उत्तरों की तुलना कीजिए, और बताइए कि न्यूटन ने क्या निष्कर्ष निकाला।

**हल — अभ्यास 4.15.**

*1.* दूरी $60$ गुना बड़ी है, इसलिए प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) खिंचाव $60^2 = 3600$ गुना कमज़ोर है।

*2.* एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) की गिरावट भी उसी तरह बदलती है: $4.9/3600 \approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग $1.4\,\mathrm{mm}$।

*3.* $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, इसलिए $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx
1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, और एक [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) में $x = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$। गिरावट $h \approx \dfrac{x^2}{2d}
= \dfrac{(1.02 \times 10^{3})^2}{2 \times 3.84 \times 10^{8}}
\approx 1.4 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}$ है।

*4.* दोनों संख्याएँ मेल खाती हैं: चंद्रमा हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) पृथ्वी की ओर ठीक उतना ही गिरता है जितना गिरते सेब पर अंशांकित व्युत्क्रम-वर्ग गुरुत्व बताता है। न्यूटन ने निष्कर्ष निकाला कि जो बल चंद्रमा को थामे है वही बल सेब को गिराता है — गुरुत्व सार्वत्रिक है।

## 4.6 समस्या: पृथ्वी को तौलना

**समस्या 4.1.**

सप्ताहांत समस्या — एक छप्पर में रखे सीसे के दो गोलों से पृथ्वी के, और फिर सूर्य के द्रव्यमान तक: एक छोटा-सा नियतांक, एक बार नाप लेने पर, किस काम आता है

1798 में हेनरी कैवेंडिश ने एक पतले तार से एक हल्की छड़ लटकाई जिस पर सीसे के दो छोटे गोले लगे थे, पास में सीसे के दो बड़े गोले लाए, और तार की लगभग न के बराबर ऐंठन नाप ली। अख़बारों ने कहा कि उन्होंने *पृथ्वी तौल ली* — और वे सही थे: $G$ पता चल जाने पर पृथ्वी का अपना $g$ और त्रिज्या उसका द्रव्यमान सौंप देते हैं, और पृथ्वी की सालाना कक्षा सूर्य का। यह समस्या पूरी कड़ी दोहराती है। पूरे समय आँकड़ा-पत्रक का उपयोग कीजिए।

**भाग I — सबसे कमज़ोर बल।**

1. एफ़िल मीनार के लोहे का द्रव्यमान लगभग $7.3 \times 10^{6}\,\mathrm{kg}$ है। $55\,\mathrm{kg}$ का एक पर्यटक उसके द्रव्यमान-केंद्र से $100\,\mathrm{m}$ दूर खड़ा है। पर्यटक पर मीनार का खिंचाव निकालिए।
2. उसकी तुलना $1.0\,\mathrm{mg}$ के रेत के एक कण के भार से कीजिए।
3. समानुपात का अभ्यास: [गुरुत्वाकर्षण बल](#def-g10-universal-gravitation-force) का क्या होगा यदि (क) दूरी $10$ से गुणा कर दी जाए; (ख) दोनों द्रव्यमान $1000$ से गुणा कर दिए जाएँ; (ग) दोनों द्रव्यमान *और* दूरी, तीनों $1000$ से गुणा कर दिए जाएँ?
4. $M$ , $R$ और $G$ से, सतह पर रखी $1.00\,\mathrm{kg}$ की वस्तु पर पृथ्वी का खिंचाव निकालिए। इस संख्या का रोज़मर्रा का नाम और संकेत क्या है?
5. गुरुत्व आपकी जानी-पहचानी सभी अन्योन्यक्रियाओं में कहीं सबसे कमज़ोर है — और फिर भी ब्रह्मांड इसी से चलता है। एक-दो वाक्यों में समझाइए कि पृथ्वी का खिंचाव आपके पड़ोसी के खिंचाव पर क्यों भारी पड़ता है।

**भाग II — कैवेंडिश की तुला।** मरोड़ तुला में $m_1 = 158\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान का बड़ा गोला $m_2 = 0.73\,\mathrm{kg}$ द्रव्यमान के छोटे गोले को आकर्षित करता है; उनके केंद्र $d = 0.23\,\mathrm{m}$ की दूरी पर हैं।

6. $G$ के आधुनिक मान से दोनों गोलों के बीच का बल निकालिए।
7. छोटे गोले का भार और दोनों बलों का अनुपात निकालिए। कैवेंडिश को किसी साधारण तराज़ू के बजाय मरोड़ तार की ज़रूरत क्यों पड़ी?
8. कैवेंडिश की नापी हुई ऐंठन (आधुनिक मात्रकों में) $F = 1.47 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$ के बराबर बैठती है। इससे $G$ का उनका मान निकालिए और आज के मान से तुलना कीजिए।
9. $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ , $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ और $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ लेकर पृथ्वी का द्रव्यमान निकालिए। (यही वह चरण है जिस पर अख़बारों ने जश्न मनाया था।)
10. $V = \frac43 \pi R^3$ लेकर पृथ्वी का औसत घनत्व $\rho = M / V$ निकालिए। सतह की चट्टानों का घनत्व लगभग $2.7 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ होता है: यह तुलना गहरे भीतरी भाग के बारे में क्या खोलती है?

**भाग III — और लोक।**

11. आँकड़ा-पत्रक से चंद्रमा की सतह की क्षेत्र प्रबलता फिर से निकालिए।
12. पृथ्वी पर एक अच्छी उछाल आपके द्रव्यमान-केंद्र को $0.50\,\mathrm{m}$ ऊपर उठा देती है। उसी उछाल के लिए पहुँची गई ऊँचाई $g$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है (जैसा ऊर्जा वाला अध्याय, [अध्याय 9](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/9-energy-forms-and-conservation#ch-g10-energy-conservation) , उचित ठहराएगा)। वही छलाँग चंद्रमा पर आपको कितना ऊपर ले जाएगी?
13. बुध: $M = 3.30 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ , $R = 2.44 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ । उसकी सतह की क्षेत्र प्रबलता निकालिए और मंगल से तुलना कीजिए। बुध मंगल से कहीं छोटा है — फिर दोनों मान इतने पास कैसे हो सकते हैं?
14. पृथ्वी की सतह से कितनी ऊँचाई पर क्षेत्र प्रबलता घटकर सतह वाले मान की आधी रह जाती है?
15. पृथ्वी के केंद्र से कितनी दूरी पर पृथ्वी का प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) खिंचाव घटकर चंद्रमा की सतह वाले मान $1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ तक आ जाता है? इसे पृथ्वी की त्रिज्याओं में बताइए।

**भाग IV — सूर्य को तौलना।** पृथ्वी $d = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ त्रिज्या की लगभग वृत्तीय कक्षा एक वर्ष, यानी $T = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, में पूरी करती है। दिया हुआ मानिए (इसकी उपपत्ति [अध्याय 27](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/27-satellites-and-planetary-motion#ch-g12-satellites-kepler) में है) कि $d$ त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर $v$ चाल से चलते पिंड को केंद्र की ओर $v^2/d$ न्यूटन प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) का खिंचाव चाहिए।

16. पृथ्वी की कक्षीय चाल $v$ निकालिए।
17. इससे वह प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) खिंचाव निकालिए जो सूर्य पृथ्वी पर लगाता है।
18. वह खिंचाव $G M_{\text{सूर्य}} / d^2$ भी है। इससे सूर्य का द्रव्यमान निकालिए।
19. यह कितनी पृथ्वियों के बराबर है? $M_{\text{सूर्य}}$ की $M_{\text{पृथ्वी}}$ से तुलना कीजिए।
20. समापन। कैवेंडिश के गोले, पृथ्वी, सूर्य: तीनों के लिए एक ही नियतांक $G$ काम आया। एक वाक्य में बताइए कि “सार्वत्रिक [गुरुत्वाकर्षण](#def-g10-universal-gravitation-force) ” में पड़े शब्द *सार्वत्रिक* ने इस समस्या में हमें क्या दिलाया।

**हल — समस्या 4.1.**

**1.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times
\dfrac{7.3 \times 10^{6} \times 55}{100^2} \approx 2.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$।

**2.** रेत का कण $1.0 \times 10^{-6} \times 9.81 \approx 9.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{N}$ भारी है: पूरी एफ़िल मीनार पर्यटक को रेत के एक कण के भार से लगभग $3.7$ गुना *कम* खींचती है।

**3.** (क) दूरी $\times 10$: बल $100$ से भाग। (ख) दोनों द्रव्यमान $\times 1000$: बल $10^6$ से गुणा। (ग) द्रव्यमान $\times 1000$ और दूरी $\times 1000$: $10^6 / 10^6$ — बल अपरिवर्तित।

**4.** $F = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} \times
1.00}{(6.37 \times 10^{6})^2} \approx 9.81\,\mathrm{N}$: एक [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) का भार — और यही ठीक-ठीक क्षेत्र प्रबलता $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ है।

**5.** गुरुत्व प्रति [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) कमज़ोर है, पर वह हमेशा केवल *आकर्षित* करता है, इसलिए पृथ्वी के सारे $5.97 \times 10^{24}$ [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) के खिंचाव एक ही दिशा में जुड़ जाते हैं — और खगोलीय द्रव्यमान पड़ोसी वाले द्रव्यमान को दस की बाईस घातों से हरा देता है।

**6.** $F = 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{158 \times 0.73}{0.23^2}
= 6.67 \times 10^{-11} \times \dfrac{115.3}{0.0529}
\approx 1.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{N}$।

**7.** छोटा गोला $0.73 \times 9.81 \approx 7.2\,\mathrm{N}$ भारी है — यानी जिस आकर्षण को पकड़ना है उससे लगभग $5 \times 10^{7}$ गुना अधिक। पलड़े वाला कोई तराज़ू पाँच करोड़ में एक हिस्से का विभेदन नहीं कर सकता; पर बारीक मरोड़ तार, जो नैनोन्यूटन स्तर के बल-आघूर्णों पर भी दिखने भर को ऐंठ जाता है, कर सकता है।

**8.** $G = \dfrac{F d^2}{m_1 m_2}
= \dfrac{1.47 \times 10^{-7} \times 0.0529}{115.3}
\approx 6.74 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ — यानी 1798 में एक लकड़ी के छप्पर से निकला मान, जो आधुनिक $6.67 \times 10^{-11}$ के लगभग $1\%$ के भीतर है।

**9.** $g = G M / R^2$ से:

$$
M = \frac{g R^2}{G}
= \frac{9.81 \times (6.37 \times 10^{6})^2}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}.
$$

साठ लाख अरब अरब [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit): पृथ्वी, तुल गई।

**10.** $V = \frac43 \pi R^3 = \frac43 \pi
(6.37 \times 10^{6})^3 \approx 1.08 \times 10^{21}\,\mathrm{m}^{3}$, इसलिए $\rho = 5.97 \times 10^{24}/1.08 \times 10^{21} \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$ — यानी सतही चट्टान के घनत्व का दुगुना। भीतर ग्रेनाइट से कहीं सघन कुछ छिपा होना चाहिए: पृथ्वी का एक भारी (लोहे का) [क्रोड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/3-refraction-of-light#def-g10-refraction-fiber) है।

**11.** $g_{\text{चंद्रमा}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times
7.35 \times 10^{22}}{(1.74 \times 10^{6})^2} = \dfrac{4.90 \times 10^{12}}
{3.03 \times 10^{12}} \approx 1.62\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$।

**12.** ऊँचाई $\propto 1/g$: $h = 0.50 \times \dfrac{9.81}{1.62} \approx 3.0\,\mathrm{m}$ — यानी खड़े-खड़े बास्केटबॉल के घेरे के ऊपर से छलाँग, वह भी धीमी गति में।

**13.** $g_{\text{बुध}} = \dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times
3.30 \times 10^{23}}{(2.44 \times 10^{6})^2} = \dfrac{2.20 \times 10^{13}}
{5.95 \times 10^{12}} \approx 3.70\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — लगभग ठीक मंगल का $3.73\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$। बुध का द्रव्यमान कम है, पर उसकी छोटी त्रिज्या (नीचे छोटा $R^2$) इसकी भरपाई कर देती है: वह कहीं अधिक सघन लोक है।

**14.** आधी क्षेत्र प्रबलता के लिए $(R + h)^2 = 2 R^2$ चाहिए, इसलिए $R + h = R\sqrt{2}$ और $h = (\sqrt{2} - 1) R \approx 0.414 \times 6.37 \times 10^{6}
\approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ — यानी लगभग $2600\,\mathrm{km}$ ऊपर।

**15.** $\dfrac{G M_{\text{पृथ्वी}}}{d^2} = 1.62$ से $d = \sqrt{\dfrac{6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24}}{1.62}}
= \sqrt{2.46 \times 10^{14}} \approx 1.57 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 2.5$ पृथ्वी-त्रिज्याएँ मिलती हैं। ज़मीन से केवल डेढ़ त्रिज्या ऊपर से ही पृथ्वी चंद्रमा की सतह से अधिक ज़ोर से नहीं खींचती।

**16.** $v = \dfrac{2\pi d}{T}
= \dfrac{2\pi \times 1.496 \times 10^{11}}{3.156 \times 10^{7}}
\approx 2.98 \times 10^{4}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — यानी हर [सेकंड](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) तीस किलोमीटर।

**17.** $\dfrac{v^2}{d} = \dfrac{(2.98 \times 10^{4})^2}{1.496 \times 10^{11}}
\approx 5.9 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$: सूर्य पृथ्वी के हर [किलोग्राम](https://one-course.com/books/physics/2/hi/chapter/1-orders-of-magnitude-measuring-the-universe#def-g10-orders-of-magnitude-unit) को लगभग छह मिलीन्यूटन से खींचता है।

**18.** $\dfrac{G M_{\text{सूर्य}}}{d^2} = \dfrac{v^2}{d}$ से

$$
M_{\text{सूर्य}} = \frac{v^2 d}{G}
= \frac{8.87 \times 10^{8} \times 1.496 \times 10^{11}}{6.67 \times 10^{-11}}
\approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}.
$$

**19.** $\dfrac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}} \approx
3.3 \times 10^{5}$: सूर्य तीन लाख पृथ्वियों के बराबर है।

**20.** चूँकि वही $G$ द्रव्यमानों के हर युग्म पर राज करता है, इसलिए उसे एक छप्पर में सीसे के दो गोलों के बीच एक बार नाप लेने से हम पहले अपने पैरों तले के ग्रह को और फिर उस तारे को तराज़ू पर रख सके जिसकी हम कक्षा में हैं — *सार्वत्रिक* शब्द की क़ीमत यही है।