---
title: "Orde Besar: Mengukur Alam Semesta"
book: "Fisika Sekolah Menengah Atas"
subject: physics
language: id
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta
---

# Bab 1 — Orde Besar: Mengukur Alam Semesta

Fisika bermula di tempat pendapat berakhir: pada sebuah pengukuran. Namun benda yang diukur fisika terbentang pada rentang yang ganjil — sebuah inti atom berukuran sekitar $10^{-15}\,\mathrm{m}$, alam semesta teramati sekitar $10^{27}\,\mathrm{m}$: selisih faktor $10^{42}$, jauh melampaui apa pun yang sanggup dibayangkan. Bab ini memasang perkakas yang menjinakkan rentang itu — [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), pangkat sepuluh, [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — serta dua kebiasaan yang dipakai pada setiap halaman berikutnya: tulislah [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), dan periksalah [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 Satuan: tata bahasa pengukuran

**Definisi 1.1 (Besaran fisis dan satuan SI).**

Sebuah *besaran fisis* adalah sifat dunia yang dapat diukur: panjang, selang waktu, massa. Mengukurnya berarti menghitung berapa kali sebuah besaran acuan — yaitu *satuan* — termuat di dalamnya. *Sistem Satuan Internasional* (SI) menetapkan tujuh satuan dasar, dan tiga di antaranya menjalankan seluruh jilid ini: *meter* ($\mathrm{m}$) untuk panjang, *kilogram* ($\mathrm{kg}$) untuk massa, dan *sekon* ($\mathrm{s}$) untuk waktu. (Empat sisanya — ampere, kelvin, mol, kandela — menyusul ketika listrik, kalor dan kimia memasuki cerita.)

**Catatan 1.2 (Bilangan tanpa satuan bukanlah hasil).**

“Jaraknya $384$” tidak berarti apa-apa: $384\,\mathrm{mm}$, $384\,\mathrm{km}$ dan $384\,\mathrm{Mm}$ adalah tiga dunia yang berbeda (yang terakhir kebetulan jarak ke Bulan). Pada tahun 1999, NASA kehilangan *Mars Climate Orbiter* seharga $327 juta karena satu program menghitung gaya pendorong dalam pound sementara program lain membacanya dalam newton. Aturan rumah, dari baris ini sampai akhir buku: setiap bilangan yang diukur atau dihitung membawa [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), pada setiap baris perhitungan.

**Definisi 1.3 (Awalan SI).**

Sebuah *awalan* yang dilekatkan pada [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) mengalikan [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) itu dengan pangkat sepuluh yang tetap:

| femto | f | $10^{-15}$ | centi | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| pico | p | $10^{-12}$ | kilo | k | $10^{3}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ | mega | M | $10^{6}$ |
| micro | $\mu$ | $10^{-6}$ | giga | G | $10^{9}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ | tera | T | $10^{12}$ |

Jadi $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ dan $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**Contoh 1.4 (Membaca awalan).**

Cahaya hijau memiliki panjang gelombang sekitar $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$; sehelai rambut manusia tebalnya sekitar $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$; Bulan mengorbit pada $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Satu tetes hujan bermassa sekitar $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — perhatikan bahwa [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) dasar SI untuk massa, satu-satunya di antara ketujuhnya, sudah membawa [awalan](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes).

## 1.2 Notasi ilmiah dan angka penting

**Definisi 1.5 (Notasi ilmiah).**

Sebuah bilangan ditulis dalam *notasi ilmiah* apabila berbentuk

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ bilangan bulat.}
$$

Faktor $a$ disebut *mantisa*, dan bilangan bulat $n$ disebut *eksponen*. Jadi $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ dan $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**Proposisi 1.6 (Berhitung dengan pangkat sepuluh).**

Untuk setiap bilangan bulat $m$ dan $n$ berlaku:

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**Bukti sebagian.** Untuk [eksponen](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) positif, hitunglah faktornya: $10^{m} \times 10^{n}$ adalah hasil kali $m + n$ buah sepuluh, sedangkan $(10^m)^n$ merangkai $n$ kelompok berisi $m$ sepuluh. Menulis $10^{-n}$ untuk $1/10^{n}$ justru merupakan kesepakatan yang menjaga aturan pertama tetap benar untuk semua bilangan bulat: kesepakatan itu memaksa $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$. Jilid matematika pendamping membahas aturan [eksponen](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) secara lengkap. ∎

**Contoh 1.7 (Perkalian dalam notasi ilmiah).**

Berapa banyak Bumi yang muat di dalam Matahari, menurut massa? Dengan $m_{\text{Matahari}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ dan $m_{\text{Bumi}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$:

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

[Mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) dan [eksponen](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) ditangani secara terpisah; jawaban akhirnya dinormalkan kembali agar [mantisanya](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) jatuh kembali di dalam $[1, 10)$.

**Definisi 1.8 (Angka penting).**

Yang disebut *angka penting* sebuah bilangan hasil pengukuran adalah angka yang benar-benar dijamin oleh pengukuran itu: semua angka yang tertulis kecuali nol di depan. Nol di belakang ikut dihitung — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (tiga angka penting) menjanjikan lebih banyak daripada $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (dua). [Notasi ilmiah](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) memperlihatkan cacahnya sekali pandang: [mantisanya](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) membawa tepat angka pentingnya.

**Metode 1.9 (Berapa angka yang harus dipertahankan).**

Sebuah hasil perhitungan tidak mungkin lebih teliti daripada bahannya.

1. Pada perkalian atau pembagian, pertahankan [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) sebanyak [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) faktor yang *paling* tidak teliti.
2. Bulatkan hanya jawaban akhirnya, jangan pernah langkah antaranya.
3. Jika ragu, tiga [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) adalah ketelitian kerja buku ini.

**Contoh 1.10 (Keliling Bumi).**

Diameter Bumi adalah $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (tiga [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)), sehingga kelilingnya $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — tiga angka, bukan delapan angka yang ditampilkan kalkulator. Menulis $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ berarti mengaku mengenal planet itu sampai ke [meternya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

![Sebuah penggaris yang setiap langkah samanya mengalikan dengan sepuluh. Goresan kecilnya adalah 200, 300, …, 900: satu dekade penuh berdesakan pada tiap ruas. Pada penggaris ini 300 condong ke 102 dan 7000 condong ke 104 — itulah orde besar keduanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*Sebuah penggaris yang setiap langkah samanya *mengalikan* dengan sepuluh. Goresan kecilnya adalah $200, 300, \dots, 900$: satu dekade penuh berdesakan pada tiap ruas. Pada penggaris ini $300$ condong ke $10^{2}$ dan $7000$ condong ke $10^{4}$ — itulah [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) keduanya.*

## 1.3 Tangga alam semesta

**Definisi 1.11 (Orde besar).**

Yang disebut *orde besar* sebuah besaran adalah pangkat sepuluh yang paling dekat dengannya: tulislah besaran itu sebagai $a \times 10^{n}$ dengan $1 \leq a < 10$, lalu ambil $10^{n}$ jika $a < 5$ dan $10^{n+1}$ jika $a \geq 5$. (Kesepakatan batas yang persis tidak pernah penting: pernyataan orde besar hanya dimaksudkan sampai ketelitian faktor sepuluh.)

**Contoh 1.12 (Orde besar).**

Hidup manusia berlangsung sekitar $80$ tahun, yaitu $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — beberapa miliar [sekon](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), gunakanlah dengan baik. Tinggi manusia $1.7\,\mathrm{m}$: ordenya $10^{0}\,\mathrm{m}$. Gunung Everest, $8848\,\mathrm{m}$: ordenya $10^{4}\,\mathrm{m}$, karena $8.848 \geq 5$.

Menumpuk taksiran semacam itu menurut [eksponennya](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) menghasilkan gambar utama bab ini: sebuah tangga yang setiap anak tangganya adalah dunia sepuluh kali lebih lebar daripada dunia di bawahnya.

![Tangga alam semesta, dalam meter: 42 pangkat sepuluh memisahkan inti atom dari alam semesta teramati, dan manusia berdiri sepuluh anak tangga dari atom tetapi dua puluh tujuh dari puncaknya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-faca0e8c96ee.svg)

*Tangga alam semesta, dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $42$ pangkat sepuluh memisahkan inti atom dari alam semesta teramati, dan manusia berdiri sepuluh anak tangga dari atom tetapi dua puluh tujuh dari puncaknya.*

Di atas anak tangga Bumi, [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) berhenti menjadi praktis; astronomi memakai [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sendiri, dan keduanya didefinisikan dari tangga itu.

**Definisi 1.13 (Satuan astronomi dan tahun cahaya).**

Yang disebut *satuan astronomi* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) adalah jarak rata-rata Bumi–Matahari, sedangkan *tahun cahaya* ($\mathrm{ly}$) adalah jarak yang ditempuh cahaya dalam satu tahun. Di ruang hampa cahaya bergerak dengan laju

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

laju tercepat yang diizinkan alam — sehingga tahun cahaya adalah sebuah jarak, bukan sebuah waktu.

![Jarak dari Bumi pada penggaris perkalian, dengan waktu tempuh cahaya berwarna merah di bawah masing-masing: Bulan berjarak beberapa sekon cahaya, planet berjarak beberapa jam cahaya, bintang bertahun cahaya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-cf202de47870.svg)

*Jarak dari Bumi pada penggaris perkalian, dengan waktu tempuh cahaya berwarna merah di bawah masing-masing: Bulan berjarak beberapa [sekon](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cahaya, planet berjarak beberapa jam cahaya, bintang bertahun cahaya.*

**Contoh 1.14 (Tahun cahaya dalam meter).**

Satu tahun berisi $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (cukup dekat dengan $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). Maka

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

Proxima Centauri, bintang terdekat sesudah Matahari, berjarak $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$: cahaya, yang menyeberangi jarak Bumi–Matahari dalam delapan menit, memerlukan lebih dari empat tahun untuk tiba dari sana.

**Metode 1.15 (Memeriksa kewajaran dengan orde besar).**

Sebelum mempercayai hasil perhitungan apa pun:

1. bulatkan setiap masukan ke [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ;
2. ulangi perhitungannya dengan pangkat sepuluh saja, memakai [Proposisi 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — ini hanya memakan beberapa [sekon](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
3. bandingkan: jawaban yang tepat harus sesuai dengan taksiran itu sampai kira-kira faktor sepuluh, dan [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) harus [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) yang benar. Jika salah satu pemeriksaan gagal, telusurilah kesalahannya sebelum melangkah lebih jauh.

**Catatan 1.16 (Mengapa harus repot).**

Kalkulator akan dengan senang hati melaporkan bahwa sebuah apel bermassa $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ — ia memang tidak dapat tahu lebih baik. Tidak ada rumus yang menandai hal yang mustahil; kebiasaanlah yang menandainya. Fisikawan menaksir dahulu dan menghitung kemudian: taksiran itu menangkap koma desimal yang salah tempat, [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) yang tertukar dan pecahan yang terbalik, yaitu tiga kesalahan yang menjadi sebab sebagian besar jawaban salah pada setiap tingkat.

## 1.4 Pengukuran dan ketidakpastian

Tidak ada alat yang membaca nilai sebenarnya. Sebuah pengukuran baru jujur apabila ia juga melaporkan seberapa jauh ia mungkin meleset.

**Definisi 1.17 (Ketidakpastian mutlak dan relatif).**

Hasil pengukuran sebuah besaran $x$ dinyatakan sebagai

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

dengan $x_{\text{m}}$ adalah nilai terukurnya, sedangkan *ketidakpastian mutlak* $\Delta x > 0$, dalam [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) yang sama, membatasi kesalahan yang masuk akal: nilai sebenarnya diklaim terletak antara $x_{\text{m}} - \Delta x$ dan $x_{\text{m}} + \Delta x$. Adapun *ketidakpastian relatif* adalah nisbah $\Delta x / x_{\text{m}}$, biasanya dinyatakan dalam persen; itulah yang diukur oleh kata “teliti”.

**Metode 1.18 (Membaca alat berskala).**

Untuk penggaris, gelas ukur, atau jarum penunjuk:

1. bacalah goresan skala yang terdekat dengan tanda, dengan mata tegak lurus terhadap skalanya (mata yang miring menggeser bacaannya);
2. ambillah paling sedikit setengah goresan terkecil sebagai [ketidakpastian mutlak](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) — lebih besar lagi jika tepi bendanya atau permukaan zat cairnya kabur;
3. tulislah hasilnya sebagai $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ beserta [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , dan jangan pertahankan satu angka pun di belakang angka yang sudah tidak pasti.

![Membaca penggaris milimeter: ujung batangnya jatuh paling dekat pada goresan 127\, mm, dan pita berbayang selebar setengah goresan pada masing-masing sisinya adalah klaim yang jujur.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*Membaca penggaris milimeter: ujung batangnya jatuh paling dekat pada goresan $127\,\mathrm{mm}$, dan pita berbayang selebar setengah goresan pada masing-masing sisinya adalah klaim yang jujur.*

**Contoh 1.19 (Ketelitian relatif).**

Bacaan di atas memiliki [ketidakpastian relatif](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$. Penggaris yang sama, ketika mengukur baut $12\,\mathrm{mm}$, memberikan $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$: alat yang persis sama sepuluh kali lebih tidak teliti pada benda yang kecil. Ketelitian adalah sifat *pengukurannya*, bukan sifat alatnya.

**Catatan 1.20 (Mutlak kecil, relatif raksasa — dan sebaliknya).**

Stasiun laser mengukur jarak Bumi–Bulan, $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, sampai sekitar $\pm3\,\mathrm{cm}$: [ketidakpastian relatif](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) sebesar $10^{-10}$, termasuk pengukuran paling tajam yang pernah dilakukan — dengan kesalahan mutlak yang tidak akan dibanggakan penggaris mana pun. Bertanyalah selalu *relatif terhadap apa*: pasangan $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ menceritakan seluruh kisahnya, dan masing-masing bilangan itu sendirian dapat menyesatkan.

## 1.5 Latihan

**Latihan 1.1 ★.**

Ubahlah ke [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), dalam [notasi ilmiah](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

1. $750\,\mathrm{nm}$ (panjang gelombang cahaya merah);
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ;
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (sebuah bakteri tanah);
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (jarak Bumi–Matahari, dalam busana yang tidak lazim).

**Solusi Latihan 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — satu [satuan astronomi](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**Latihan 1.2 ★.**

Tulislah dalam [notasi ilmiah](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) dan sebutkan banyaknya [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig):

1. jarak Bumi–Matahari, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
2. diameter sebuah atom hidrogen, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
3. jumlah penduduk dunia, sekitar $8\,100\,000\,000$ ;
4. selang waktu $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**Solusi Latihan 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: $4$ [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$: $3$ [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (nol di depan tidak pernah dihitung). *3.* $8.1 \times 10^{9}$: $2$ [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$: $3$ [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (nol di belakangnya adalah sebuah janji).

**Latihan 1.3 ★.**

Hitunglah tanpa kalkulator, dan berikan setiap hasilnya dalam [notasi ilmiah](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**Solusi Latihan 1.3.**

[Mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) dan [eksponennya](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) ditangani terpisah ([Proposisi 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)):

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**Latihan 1.4 ★.**

Berikan [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), beserta [satuannya](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), dari: tinggi manusia $1.7\,\mathrm{m}$; Gunung Everest, $8848\,\mathrm{m}$; sebuah bakteri *E. coli*, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$; massa Bumi, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Solusi Latihan 1.4.**

Manusia: $1.7 < 5$, ordenya $10^{0}\,\mathrm{m}$. Everest: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ dan $8.848 \geq 5$: ordenya $10^{4}\,\mathrm{m}$. Bakteri: ordenya $10^{-6}\,\mathrm{m}$. Bumi: $5.97 \geq 5$, ordenya $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**Latihan 1.5 ★.**

Sebuah penggaris berskala milimeter dipakai untuk mengukur sebatang pensil, dan memberikan $127\,\mathrm{mm}$.

1. Nyatakan hasilnya beserta [ketidakpastian mutlaknya](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Hitunglah [ketidakpastian relatifnya](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. Penggaris yang sama mengukur penghapus $12\,\mathrm{mm}$ . Manakah dari kedua pengukuran itu yang lebih teliti, dan berapa kali lipat?

**Solusi Latihan 1.5.**

*1.* Setengah goresan: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$. *3.* Penghapus: $0.5/12 \approx 4\%$. Pengukuran pensilnya sekitar sepuluh kali lebih teliti — penggaris yang sama, [ketidakpastian mutlak](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) yang sama, benda sepuluh kali lebih panjang.

**Latihan 1.6 ★★.**

Dengan $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$:

1. Nyatakan dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) jarak ke Proxima Centauri ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) dan ke Sirius ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ).
2. Wahana *Voyager 1* berada sekitar $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ dari Bumi. Berapa lama sinyal radionya, yang merambat dengan laju $c$ , sampai kepada kita? Nyatakan jawabannya dalam jam.

**Solusi Latihan 1.6.**

*1.* Proxima: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. Sirius: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (dua [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), seperti masukannya). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, yaitu $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$: hampir satu hari penuh untuk setiap pesan dari wahana itu.

**Latihan 1.7 ★★.**

Berapa lama cahaya sampai ke Bumi dari Bulan ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$), dari Matahari ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) dan dari Neptunus ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$)? Berikan setiap jawaban dalam [satuan](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) yang masuk akal, lalu lengkapilah kalimat berikut: “Ketika kita memandang Neptunus, kita melihatnya sebagaimana ia…”

**Solusi Latihan 1.7.**

$t = d/c$ pada setiap kasus. Bulan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Matahari: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. Neptunus: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. Ketika kita memandang Neptunus, kita melihatnya sebagaimana ia sekitar empat jam yang lalu — setiap teleskop adalah mesin waktu yang sederhana.

**Latihan 1.8 ★★.**

Setumpuk $500$ lembar kertas, diukur dengan penggaris milimeter, tebalnya $52.0\,\mathrm{mm}$, dengan ketidakpastian $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. Simpulkan tebal satu lembar, beserta [ketidakpastian mutlaknya](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Berapa [ketidakpastian relatif](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) tebal itu?
3. Mengapa mengukur setumpuk kertas jauh lebih baik daripada mengukur satu lembar langsung dengan penggaris yang sama? Nyatakan dengan angka.

**Solusi Latihan 1.8.**

*1.* Satu lembar: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. Ketidakpastiannya ikut terbagi: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$, sehingga $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\%$. *3.* Mengukur satu lembar langsung akan memberikan $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$: [ketidakpastian relatif](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) sekitar $500\%$ — penggarisnya bahkan tidak sanggup membuktikan lembar itu ada. Menumpuk $500$ lembar mengalikan panjang terukurnya dengan $500$, sementara [ketidakpastian mutlak](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) penggarisnya tetap: [ketidakpastian relatifnya](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) menyusut dengan faktor $500$ yang sama.

**Latihan 1.9 ★★.**

Ambil $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ sebagai diameter sebuah atom. Berapa banyak atom, berjajar, yang membentang sepanjang: sebuah bakteri $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; sehelai rambut $70\,\text{µ}\mathrm{m}$; seorang manusia $1.7\,\mathrm{m}$? Berikan jawaban terakhirnya sebagai [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) juga.

**Solusi Latihan 1.9.**

Bagilah setiap panjangnya dengan $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Bakteri: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ atom. Rambut: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. Manusia: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$, [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$: sepuluh miliar atom dari ujung kepala sampai ujung kaki.

**Latihan 1.10 ★★.**

Sebuah model berskala mewakili Matahari (diameter $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) dengan sebuah bola sepak berdiameter $22\,\mathrm{cm}$.

1. Hitunglah faktor skala model itu.
2. Tentukan diameter model Bumi ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) dan jarak modelnya dari bola sepak itu (jarak sebenarnya $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. Berapa jauh model Bulan dari model Bumi (jarak sebenarnya $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )? Dan berapa jauh model Neptunus (jarak sebenarnya $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )?

**Solusi Latihan 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* Bumi: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — sebutir merica — yang mengorbit pada jarak $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ dari bola sepak itu. *3.* Bulan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ dari butir merica itu. Neptunus: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$: modelnya tidak muat di halaman sekolah.

**Latihan 1.11 ★★.**

[Angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) dalam kerja nyata.

1. Selembar kertas A4 berukuran $21.0\,\mathrm{cm}$ kali $29.7\,\mathrm{cm}$ . Berikan luasnya dengan banyak [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) yang benar.
2. Seorang pelari menempuh $100.0\,\mathrm{m}$ dalam $12.3\,\mathrm{s}$ . Berikan kelajuan rata-ratanya dengan pembulatan yang benar.
3. Jelaskan dalam satu kalimat apa yang tidak jujur pada pengumuman luas sebesar $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Solusi Latihan 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$, dibulatkan ke tiga [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) masukannya: $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (tiga angka, ditentukan oleh waktunya). *3.* Lima [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) akan mengklaim luas itu sampai $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$, ketelitian yang tidak pernah diberikan masukan setingkat milimeter — desimal palsu tetaplah pemalsuan.

**Latihan 1.12 ★★★.**

Setetes minyak bervolume $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ dijatuhkan pada permukaan air yang tenang dan melebar menjadi selaput lingkaran berdiameter $1.1\,\mathrm{m}$ — selaput yang pada bab-bab berikutnya akan ditunjukkan setebal satu molekul.

1. Hitunglah luas selaput itu, lalu tebalnya.
2. Simpulkan [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ukuran sebuah molekul, dan cocokkan dengan anak tangga atom pada tangga tadi.

(Percobaan sederhana ini, yang pertama kali dicoba Benjamin Franklin di sebuah kolam di London, adalah salah satu pengukuran jujur pertama umat manusia atas dunia molekul.)

**Solusi Latihan 1.12.**

*1.* Jari-jari $r = 0.55\,\mathrm{m}$, luas $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. Volume $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$, dan selaput adalah (luas) $\times$ (tebal), sehingga

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* Sebuah molekul berorde $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — satu anak tangga di atas $10^{-10}\,\mathrm{m}$ milik atom, sesuai dengan gambaran molekul sebagai gugus kecil atom. Satu sendok teh minyak Franklin menenangkan separuh hektar kolam dan, tanpa ia sadari, mengukur nanometer.

**Latihan 1.13 ★★★.**

Taksirlah banyaknya detak jantung sepanjang hidup manusia. Nyatakan anggapan yang dipakai (denyut istirahat, usia hidup), pertahankan perhitungannya pada pangkat sepuluh dan satu angka [mantisa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot), lalu berikan jawaban akhirnya hanya sebagai [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom). Mengapa menyebutnya sampai empat [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) menjadi tidak bermakna?

**Solusi Latihan 1.13.**

Anggapan: sekitar $70$ denyut per menit saat istirahat, usia hidup $80$ tahun. Per hari: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ denyut. Per tahun: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. Sepanjang hidup: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}$, beberapa miliar detak. Empat [angka penting](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) akan berlagak mengetahui denyut jantung, menit demi menit, selama delapan puluh tahun: masukannya hanya terkaan [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), dan tidak ada keluaran yang melampaui masukannya ([Metode 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**Latihan 1.14 ★★★.**

Selembar kertas tebalnya $0.10\,\mathrm{mm}$, dan setiap lipatan menggandakan tebal tumpukannya. Dengan memakai $2^{10} \approx 10^{3}$:

1. Setelah berapa lipatan tumpukan itu melampaui tinggi Gunung Everest ( $8848\,\mathrm{m}$ )?
2. Setelah berapa lipatan tumpukan itu mencapai Bulan ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )?
3. Pada kenyataannya selembar kertas tidak dapat dilipat lebih dari sekitar tujuh kali. Apakah kenyataan itu membatalkan perhitungannya, ataukah hanya percobaannya?

**Solusi Latihan 1.14.**

Setelah $n$ lipatan tebalnya menjadi $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* Diperlukan $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. Karena $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ masih kurang dan $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ sudah cukup: $27$ lipatan (tumpukannya $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* Diperlukan $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$: $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ masih kurang, $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ sudah sampai — $42$ lipatan, tumpukannya $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, melewati Bulan dengan leluasa. *3.* Hanya percobaannya: setiap lipatan memangkas luasnya menjadi setengah, dan setelah tujuh lipatan tumpukannya lebih tebal daripada lebarnya. Aritmetika penggandaannya tidak tersentuh — pertumbuhan eksponensial memang melampaui apa yang sanggup diikuti kertas (dan naluri).

**Latihan 1.15 ★★★.**

Pengukuran dengan laser memberikan jarak Bumi–Bulan sebesar $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$; sebuah penggaris yang baik memberikan panjang sebuah meja sebesar $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. Hitunglah kedua [ketidakpastian relatifnya](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) . Pengukuran mana yang lebih teliti, dan berapa kali lipat?
2. Dengan [ketidakpastian mutlak](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) berapa meja itu harus diukur agar menyamai ketelitian relatif pengukuran Bulan? Bandingkan panjang itu dengan ukuran sebuah atom, lalu simpulkan dengan rasa hormat yang pantas.

**Solusi Latihan 1.15.**

*1.* Bulan: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. Meja: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. Pengukuran Bulannya lebih teliti dengan faktor $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — lebih dari sepuluh juta kali. *2.* Menyamai $7.8 \times 10^{-11}$ pada meja sepanjang satu [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) berarti $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$, lebih kecil daripada satu atom ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$): tepi mejanya bahkan tidak *terdefinisi* setajam itu. Secara relatif, pengukuran laser jarak Bumi–Bulan termasuk pengukuran terhalus yang dimiliki spesies kita.

## 1.6 Soal: Dari atom sampai Andromeda

**Soal 1.1.**

Soal akhir pekan — sebutir pasir menakar atom, Tata Surya, galaksi dan alam semesta teramati, sekaligus menempatkan kita pada tangga di antara keduanya

Sebutir pasir adalah benda paling sederhana dalam fisika, dan pada akhir pekan ini ia bekerja lembur: mula-mula kita menghitung atomnya, lalu kita menyusutkan Matahari sampai seukuran butir itu dan melangkahi kosmos, kemudian kita membiarkan cahaya yang mengukur, dan akhirnya kita menghitung atom di dalam *tubuhmu*. Data, dipakai di seluruh soal: diameter butir $0.5\,\mathrm{mm}$; diameter atom $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$; massa jenis pasir $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; diameter: Matahari $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$, Bumi $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, Bima Sakti $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$, alam semesta teramati $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$; jarak dari kita: Bulan $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, Matahari $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, Neptunus $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$, Proxima Centauri $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, galaksi Andromeda $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; sebuah molekul air bermassa $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ dan berisi tiga atom.

**Bagian I — Anatomi butir pasir.**

1. Tulislah diameter butir dan diameter atom dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , dalam [notasi ilmiah](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) , lalu sebutkan [awalan](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) SI yang paling dekat dengan masing-masing.
2. Berapa banyak atom yang berjajar melintasi satu diameter butir?
3. Modelkan butir itu sebagai kubus bersisi $0.5\,\mathrm{mm}$ yang terisi penuh atom. Taksirlah banyaknya atom di dalam butir itu, sebagai [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) .
4. Hitunglah volume kubus itu, lalu massa butirnya. Nyatakan massanya dalam miligram.
5. Periksalah kewajaran modelnya: bagilah massa butir dengan banyaknya atom, lalu bandingkan dengan [orde besar](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) massa atom yang sudah dikenal (beberapa $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). Bagaimana putusannya?

**Bagian II — Matahari sebagai sebutir pasir.** Kita membangun model berskala dari kosmos yang di dalamnya Matahari menjadi butir pasir itu: setiap ukuran model sama dengan ukuran sebenarnya dikali sebuah faktor $s$.

6. Hitunglah faktor skala $s$ .
7. Pada model itu, tentukan diameter Bumi dan jaraknya dari butir-Matahari. Benda apa dari dunia Bagian I yang kira-kira seukuran model Bumi?
8. Berapa jauh dari butir itu model Neptunus mengorbit? Perabot apa yang sanggup memuat seluruh sistem keplanetan itu?
9. Berapa jauh model Proxima Centauri?
10. Dua butir pasir, terpisah $14\,\mathrm{km}$ , dan hampir tidak ada apa-apa di antaranya: nyatakan dalam satu atau dua kalimat apa yang diungkapkan model itu tentang betapa kosongnya galaksi.

**Bagian III — Cahaya yang mengukur.**

11. Berapa lama cahaya menyeberangi butir pasir yang sebenarnya?
12. Berapa lama cahaya sampai kepada kita dari Bulan, dan dari Matahari?
13. Hitunglah kembali [tahun cahaya](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) dari $c$ dan panjang satu tahun, lalu periksalah bahwa jarak Proxima pada data bersesuaian dengan sekitar $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. Ubahlah jarak Andromeda ke [tahun cahaya](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) . Kira-kira kapan cahaya yang kini memasuki matamu meninggalkan Andromeda, dan makhluk apa yang berjalan di Bumi pada waktu itu?
15. Berapa jauh cahaya merambat dalam satu nanosekon? Sebuah pemroses yang berdetak $3\,\mathrm{GHz}$ memulai satu operasi setiap sepertiga nanosekon: jelaskan dalam satu kalimat mengapa komputer yang cepat harus berupa komputer yang kecil.

**Bagian IV — Kamu, di antara atom dan Andromeda.**

16. Seorang manusia kira-kira $70\,\mathrm{kg}$ air. Dengan memakai data tadi, taksirlah massa rata-rata satu atom di dalam air, lalu banyaknya atom di dalam seorang manusia.
17. Bandingkan cacah itu dengan banyaknya atom di dalam butir pasir (pertanyaan 3) dan dengan kira-kira $2\times10^{23}$ bintang di alam semesta teramati. Berikan kedua faktornya.
18. Pada tangga itu, kamu lebih dekat ke atom ataukah ke alam semesta teramati? Bandingkan nisbah $\text{(kamu)}/\text{(atom)}$ dan $\text{(alam semesta)}/\text{(kamu)}$ , dengan mengambil $1.7\,\mathrm{m}$ untuk dirimu.
19. Tentukan ukuran $x$ yang duduk tepat di tengah tangga antara inti atom ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) dan alam semesta teramati: $x$ harus memenuhi $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (dengan memakai $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). Benda Tata Surya apa yang kebetulan berukuran persis seperti itu?
20. Puncak ceritanya. Susutkan alam semesta teramati dengan faktor $s$ dari Bagian II, sehingga Matahari menjadi sebutir pasir. Berikan diameter alam semesta model itu dalam [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , lalu dalam [satuan astronomi](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) , dan simpulkan dalam satu kalimat: bahkan ketika setiap bintang diubah menjadi sebutir pasir, alam semesta tetap meluap dari setiap skala manusia — hanya pangkat sepuluhlah yang sanggup memuatnya.

**Solusi Soal 1.1.**

**1.** Butir: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$, pada tingkat mili; atom: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$, pada tingkat nano.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$: dua juta atom melintang.

**3.** Sebuah kubus berisi $2 \times 10^{6}$ atom per rusuk memuat $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ atom: [orde besarnya](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$, sehingga $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** Massa per atom: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — tepat di dalam rentang “beberapa $10^{-26}\,\mathrm{kg}$” itu. Kubus atom yang sederhana ini menghasilkan kembali massa atom yang sebenarnya: modelnya lulus pemeriksaan kewajaran ([Metode 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) dengan pujian.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** Model Bumi: diameternya $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — seukuran bakteri — pada jarak $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ dari butir itu: Bumi adalah sebuah mikroba lima sentimeter dari sebutir pasir.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$: seluruh sistem keplanetan mengorbit di dalam ruang selebar meja makan.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** Bintang terdekat dari Tata Surya di atas meja itu adalah sebutir pasir lain sejauh empat belas kilometer, dengan hampir tidak ada apa-apa di antaranya: galaksi kita luar biasa kosong, dan itulah sebabnya tumbukan antarbintang nyaris tidak pernah terdengar.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — kurang dari dua pikosekon.

**12.** Bulan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
1.28\,\mathrm{s}$. Matahari: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$: cahaya matahari selalu berumur delapan menit.

**13.** Satu tahun adalah $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, sehingga $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$; lalu $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$: jarak pada data itu memang sekitar $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$: dua setengah juta [tahun cahaya](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). Cahaya itu meninggalkan Andromeda sekitar $2.5$ juta tahun yang lalu, ketika anggota pertama marga *Homo* belajar menyerpih batu — dan belum ada satu pun *Homo sapiens* di mana pun.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. Dalam sepertiga nanosekon sebuah sinyal menempuh paling jauh sekitar $10\,\mathrm{cm}$, sehingga dua bagian mesin yang harus saling berbicara dalam satu detak jam wajib duduk dalam jarak sepuluh sentimeter satu sama lain: laju membatasi ukuran.

**16.** Atom rata-rata di dalam air: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. Banyaknya atom: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** Terhadap butir pasir: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — tubuhmu memuat atom sebanyak semiliar butir pasir. Terhadap bintang: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — atommu melebihi seluruh bintang alam semesta teramati tiga puluh lima ribu banding satu.

**18.** Nisbah $\text{(kamu)}/\text{(atom)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$, sedangkan $\text{(alam semesta)}/\text{(kamu)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. Pada tangga itu kamu berdiri sekitar sepuluh anak tangga di atas atom dan hampir dua puluh tujuh di bawah alam semesta: secara perkalian, manusia hidup sangat dekat dengan atomnya.

**19.** Syaratnya memberikan $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$, sehingga $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — hampir persis diameter Ceres, asteroid terbesar ($\approx 940\,\mathrm{km}$). Tepat di tengah tangga antara inti atom dan kosmos duduk sebuah planet kerdil yang bersahaja.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$, yaitu $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ [satuan astronomi](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). Puncak ceritanya: susutkan kosmos sampai Matahari menjadi sebutir pasir, dan alam semesta teramati masih terbentang dua ribu kali jarak Bumi–Matahari yang sebenarnya — tidak ada model berskala yang membawa alam semesta turun ke ukuran manusia; hanya pangkat sepuluh yang sanggup memikulnya.