---
title: "Energi Mekanik dan Kekekalannya"
book: "Fisika Sekolah Menengah Atas"
subject: physics
language: id
chapter: 18
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya
---

# Bab 18 — Energi Mekanik dan Kekekalannya

Sebuah kereta luncur pasar malam tidak lagi bermesin setelah bukit pertamanya: setiap putaran, setiap semburan laju sesudahnya dibelanjakan dari rekening yang dibuka ketika naik. Bab ini mengubah pembukuannya menjadi dua bilangan — [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) dan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) potensial — serta satu aturan: selama hanya [berat](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) yang melakukan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work), jumlah keduanya tidak berubah. [Gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) adalah biayanya; kita akan belajar membacanya dari bukunya.

## 18.1 Energi kinetik

**Definisi 18.1 (Energi kinetik).**

Sebuah benda bermassa $m$ ($\mathrm{kg}$) yang bergerak dengan laju $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) membawa *energi kinetik*

$$
E_k = \tfrac12\, m v^2 .
$$

Pemeriksaan [satuannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — [joule](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work), seperti setiap [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) ([Bab 9](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#ch-g10-energy-conservation)).

**Contoh 18.2 (Orde besar).**

- seorang pejalan kaki, $70\,\mathrm{kg}$ pada $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
- sebuah mobil, $1300\,\mathrm{kg}$ pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
- sebuah kereta cepat, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , pada $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
- sebutir peluru senapan, $8.0\,\mathrm{g}$ pada $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Tujuh [orde besar](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-oom) memisahkan langkah santai dari keretanya. Dan $E_k$ tumbuh seperti *kuadrat* lajunya: pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ mobil itu membawa $4$ kali [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang dimilikinya pada $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — empat kali yang harus dibuang remnya.

## 18.2 Teorema energi kinetik

**Teorema 18.3 (Teorema energi kinetik).**

Untuk benda bermassa $m$ yang bergerak sepanjang garis lurus dari $A$ ke $B$, perubahan [energi kinetiknya](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) sama dengan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) seluruhnya ([Bab 17](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#ch-g11-work-of-force)) yang diterimanya:

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

dengan jumlahannya meliputi semua [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) yang bekerja pada benda itu. Pernyataan itu meluas ke gerak sepanjang [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) apa pun, yang juga kita terima di sini.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Contoh 18.4 (Jatuh bebas, diperiksa bingkai demi bingkai).**

Sebuah bola $0.200\,\mathrm{kg}$ dijatuhkan lalu direkam; bingkainya memberikan:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| tinggi jatuh $h$ ($\mathrm{m}$) | 0.049 | 0.196 | 0.441 | 0.785 |
| laju $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) | 0.98 | 1.96 | 2.94 | 3.92 |
| $E_k = \tfrac12 mv^2$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.384 | 0.864 | 1.54 |
| $W = mgh$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.385 | 0.865 | 1.54 |

Bermula dari $E_k = 0$, pada tiap bingkainya $E_k$ sepadan dengan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) $mgh$ oleh [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight): $\Delta E_k = W(\vect P)$, yaitu $v^2 = 2gh$ — teoremanya, terbukti sampai ketelitian bacaannya.

**Catatan 18.5 (Di mana buktinya bersemayam).**

Pernyataan umumnya — yang berlaku sepanjang [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) apa pun, bukan hanya garis lurus — mengikuti dari hukum kedua Newton beserta sedikit kalkulus, yang keduanya datang kemudian di dalam buku ini (Bab [25](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#ch-g12-newtons-laws) dan [29](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/29-usaha-dan-energi-mekanik#ch-g12-work-and-energy)); sampai saat itu pemeriksaan jatuh bebasnyalah jaminan kita, dan kita menerima versi [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) melengkungnya lalu memakainya dengan bebas.

## 18.3 Energi potensial gravitasi

**Definisi 18.6 (Energi potensial gravitasi).**

Sebuah benda bermassa $m$ pada ketinggian $z$, yang diukur ke atas dari *aras acuan* yang dipilih dengan $z = 0$, menyimpan *energi potensial gravitasi*

$$
E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

**Catatan 18.7 (Hanya selisihnya yang berperan).**

Berpindah dari $A$ ke $B$ mengubah $E_p$ sebesar $mg(z_B - z_A) =
-W_{AB}(\vect P)$: kebalikan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) oleh [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Bab 17](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#ch-g11-work-of-force)). [Aras acuannya](#def-g11-mechanical-energy-potential) bebas dipilih — lantai, permukaan laut, atas meja — dan menggesernya menggeser $E_p$ di mana pun dengan sebuah tetapan yang hilang pada setiap selisih. Letakkanlah aras itu di tempat yang angkanya paling sederhana, dan jangan memindahkannya di tengah soal.

**Contoh 18.8 (Buku di rak).**

Sebuah buku $1.2\,\mathrm{kg}$ terletak $1.8\,\mathrm{m}$ di atas lantai, yang lantainya sendiri $9.0\,\mathrm{m}$ di atas jalan. Dengan acuan pada lantainya: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$; dengan acuan pada jalannya: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$. Jatuh ke lantainya melepaskan $21\,\mathrm{J}$ pada kedua rekening itu.

## 18.4 Energi mekanik dan kekekalannya

**Definisi 18.9 (Energi mekanik).**

*Energi mekanik* sebuah benda adalah

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .
$$

**Teorema 18.10 (Kekekalan energi mekanik).**

Jika satu-satunya [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) yang melakukan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) pada sebuah benda adalah [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) (tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory); [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) yang lain, seperti [gaya normal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) dari [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory), tegak lurus geraknya), maka $E_m$ bersifat kekal: untuk dua titik $A$, $B$ mana pun pada geraknya,

$$
\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .
$$

**Bukti.** Menurut teorema [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic), $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) =
mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$: apa yang diperoleh $E_k$ dilepaskan $E_p$. ∎

**Contoh 18.11 (Seluncuran air).**

Seorang anak bermula dalam keadaan diam di puncak seluncuran tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) setinggi $h = 3.2\,\mathrm{m}$. Dengan acuan pada dasarnya: $mgh = \tfrac12 mv^2$, sehingga $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) — berapa pun massanya *dan apa pun bentuk seluncurannya*: lurus, melengkung atau berpilin, hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan.

**Contoh 18.12 (Bandul).**

Sebuah bandul ditarik ke samping sampai naik $h = 12\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya, lalu dilepaskan. Pada kedua ujungnya $v = 0$; di dasarnya seluruh $mgh$ menjadi kinetik, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; pada sisi seberangnya bandul itu naik kembali tepat setinggi $12\,\mathrm{cm}$.

![Bandul itu menukarkan E_p dengan E_k lalu kembali: seluruhnya potensial pada kedua ujungnya, seluruhnya kinetik di dasarnya, dengan kenaikan h yang sama dua kali.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-8240e3c22564.svg)

*Bandul itu menukarkan $E_p$ dengan $E_k$ lalu kembali: seluruhnya potensial pada kedua ujungnya, seluruhnya kinetik di dasarnya, dengan kenaikan $h$ yang sama dua kali.*

![Diagram batang energi sebuah kereta luncur tanpa gesekan: pada tiap kedudukan, batang E_p dan E_k bertumpuk menjadi jumlah E_m yang sama (garis putus-putus).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-e1246bdcf5fd.svg)

*Diagram batang [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) sebuah kereta luncur tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory): pada tiap kedudukan, batang $E_p$ dan $E_k$ bertumpuk menjadi jumlah $E_m$ yang sama (garis putus-putus).*

**Contoh 18.13 (Laju pendaratan lompat ski).**

Seorang peloncat ski meninggalkan papan tolaknya pada $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan mendarat $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ lebih rendah. Dengan mengabaikan hambatan udara, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx
38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — tanpa perlu mengetahui [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) terbangnya.

![Lompat ski: apa pun lengkung yang diterbanginya dari A ke B, hanya selisih ketinggian z yang masuk ke neraca energinya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-77b4169c48e1.svg)

*Lompat ski: apa pun lengkung yang diterbanginya dari $A$ ke $B$, hanya selisih ketinggian $\Delta z$ yang masuk ke neraca [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy).*

## 18.5 Disipasi oleh gesekan

**Definisi 18.14 (Disipasi).**

[Energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang meninggalkan rekening mekanisnya dikatakan *terdisipasi*: [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) itu muncul kembali sebagai [energi termal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-forms) pada permukaan yang bergesekan dan pada udaranya. [Energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) seluruhnya tetap kekal ([Bab 9](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#ch-g10-energy-conservation)); [energi mekaniknya](#def-g11-mechanical-energy-em) sendirilah yang tidak.

**Proposisi 18.15 (Selisihnya mengukur gesekan).**

Jika sebuah [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ ikut melakukan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) sepanjang geraknya, maka

$$
\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:
$$

kehilangan [energi mekaniknya](#def-g11-mechanical-energy-em) sama dengan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) oleh [gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory).

**Bukti.** Teorema [energi kinetiknya](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) kini berbunyi $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) +
W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p + W_{AB}(\vect f)$; pindahkanlah $\Delta E_p$ ke ruas yang lain. [Gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) melawan geraknya, sehingga [usahanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) negatif. ∎

**Contoh 18.16 (Audit kereta luncur salju).**

Seorang anak beserta kereta luncurnya ($m = 40\,\mathrm{kg}$) bermula dalam keadaan diam, turun $h = 5.0\,\mathrm{m}$ sepanjang $12\,\mathrm{m}$ salju, lalu tiba pada $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan bukan pada $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ milik keadaan tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory). Dengan acuan pada dasarnya: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81
\times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$. Jadi $W(\vect f) =
-982\,\mathrm{J}$ sepanjang $12\,\mathrm{m}$: [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) rata-ratanya $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$, dan $982\,\mathrm{J}$ kehangatan pada peluncur dan saljunya.

![E_m sepanjang sebuah gerak: rata tanpa gesekan, menurun dengan gesekan — turunnya pada tiap saat adalah kalor yang sudah dihasilkan sampai saat itu.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-9baeac12eb76.svg)

*$E_m$ sepanjang sebuah gerak: rata tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory), menurun dengan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) — turunnya pada tiap saat adalah kalor yang sudah dihasilkan sampai saat itu.*

**Metode 18.17 (Pembukuan energi).**

1. Pilihlah sebuah [aras acuan](#def-g11-mechanical-energy-potential) lalu pertahankan; namailah $A$ (datanya) dan $B$ (pertanyaannya).
2. Tulislah $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ di $A$ dan di $B$ .
3. Tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(A) = E_m(B)$ ; selesaikan — biasanya $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
4. Dengan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = panjang [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) ); selesaikan untuk yang belum diketahui.
5. Periksalah: batang $E_k$ / $E_p$ bertumpuk menjadi $E_m$ , yang rata kecuali jika ada [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) .

## 18.6 Latihan

**Latihan 18.1 ★.**

Hitunglah [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) (a) sebuah skuter beserta pengendaranya $90\,\mathrm{kg}$ pada $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (b) sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ pada $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) Dengan faktor berapa $E_k$ berubah ketika lajunya digandakan? Dan ketika lajunya menjadi tiga kali lipat?

**Solusi Latihan 18.1.**

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (c) $\times 4$; $\times 9$ — karena kuadratnya.

**Latihan 18.2 ★.**

Seorang pendaki $75\,\mathrm{kg}$ memperoleh ketinggian $850\,\mathrm{m}$. Hitunglah pertambahan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) potensialnya. Apakah nilainya bergantung pada [aras acuannya](#def-g11-mechanical-energy-potential)? Pada rutenya?

**Solusi Latihan 18.2.**

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Tidak: [aras acuannya](#def-g11-mechanical-energy-potential) menggeser kedua nilainya sama banyak. Tidak juga: hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan.

**Latihan 18.3 ★.**

Sebuah pot bunga jatuh $20\,\mathrm{m}$ dari balkon. Dengan mengabaikan hambatan udara, tentukan lajunya saat mencapai tanah dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Ke mana massanya pergi?

**Solusi Latihan 18.3.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Karena $mgh = \tfrac12 mv^2$: massanya saling menghapus.

**Latihan 18.4 ★.**

Sebuah mobil $1200\,\mathrm{kg}$ mengerem dari $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sampai berhenti dalam $50\,\mathrm{m}$. Pakailah teorema [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) untuk menemukan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) oleh remnya, lalu [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) pengereman rata-ratanya.

**Solusi Latihan 18.4.**

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 =
-3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**Latihan 18.5 ★.**

Sebuah bandul dilepaskan $8.0\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya. Tentukan lajunya di dasarnya dan tinggi yang dicapainya di sisi seberangnya.

**Solusi Latihan 18.5.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; bandul itu naik kembali sampai $8.0\,\mathrm{cm}$ (kekekalannya).

**Latihan 18.6 ★★.**

Dengan memakai [Contoh 18.2](#ex-g11-mechanical-energy-orders): dengan faktor berapa [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) keretanya melampaui [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) pelurunya? Setinggi apa $E_k$ miliknya sendiri dapat mengangkat kereta itu ($h = v^2/2g$)?

**Solusi Latihan 18.6.**

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$: sekitar enam ratus ribu peluru. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — lajunya sendiri dapat mengangkat kereta itu setinggi $400$ [meter](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Latihan 18.7 ★★.**

Dua seluncuran tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) turun dari peron $3.0\,\mathrm{m}$ yang sama, yang satu lurus dan curam, yang lain panjang dan berkelok. Bandingkan laju tibanya (hitunglah keduanya) dan waktu tibanya (tanpa perhitungan).

**Solusi Latihan 18.7.**

Lajunya sama, yaitu $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (hanya selisih ketinggiannya yang masuk hitungan). Seluncuran yang curam menang dalam waktu: ia mencapai laju tinggi lebih cepat dan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) lebih pendek.

**Latihan 18.8 ★★.**

Sebuah bola dilemparkan lurus ke atas dengan $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tentukan tinggi terbesar yang dicapainya, lalu lajunya pada $4.0\,\mathrm{m}$ — ketika naik dan ketika turun.

**Solusi Latihan 18.8.**

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. Pada $4.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sama pada kedua arahnya: $E_m$ bergantung pada ketinggiannya, bukan pada arah perjalanannya.

**Latihan 18.9 ★★.**

Seorang peloncat ski meninggalkan papan tolaknya pada $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan mendarat $35\,\mathrm{m}$ lebih rendah. Ramalkan laju pendaratannya tanpa hambatan udara; apakah nilai yang sebenarnya lebih besar atau lebih kecil, dan mengapa?

**Solusi Latihan 18.9.**

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx
35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Pada kenyataannya lebih kecil: hambatan udara mendisipasikan sebagian $E_m$.

**Latihan 18.10 ★★.**

Sebuah kereta luncur $45\,\mathrm{kg}$ bermula dalam keadaan diam, turun $6.0\,\mathrm{m}$ sepanjang $15\,\mathrm{m}$ lereng, lalu tiba pada $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tentukan [energi mekanik](#def-g11-mechanical-energy-em) yang hilang, lalu [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) rata-ratanya. Ke mana [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) pergi?

**Solusi Latihan 18.10.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times
6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. [Energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) menjadi kalor, pada peluncur dan saljunya.

**Latihan 18.11 ★★.**

Pasak Galileo: sebuah bandul yang dilepaskan $15\,\mathrm{cm}$ di atas titik terendahnya menemui sebuah pasak yang menghalangi paruh atas talinya pada kedudukan tegaknya. Tentukan lajunya di dasarnya dan kenaikannya di balik pasak itu; apa yang diubah pasak itu, dan apa yang tidak?

**Solusi Latihan 18.11.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; bandul itu naik lagi sampai $15\,\mathrm{cm}$. Pasaknya mengubah [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) (lingkaran yang lebih rapat), bukan [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy): ketinggian dan lajunya tidak tersentuh.

**Latihan 18.12 ★★★.**

Seorang peluncur papan turun ke dalam separuh pipa dari $2.5\,\mathrm{m}$; tiap penyeberangannya (sisi ke sisi) mendisipasikan $10\%$ [energi mekaniknya](#def-g11-mechanical-energy-em). Tentukan lajunya di dasar penurunan pertamanya, lalu — dengan menghitung tinggi kenaikannya yang berturut-turut — penyeberangan pertama yang berakhir di bawah $1.0\,\mathrm{m}$.

**Solusi Latihan 18.12.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Tinggi kenaikannya berskala dengan $E_m$, sehingga $\times 0.9$ tiap penyeberangan: $2.25$, $2.03$, $1.82$, $1.64$, $1.48$, $1.33$, $1.20$, $1.08$, $0.97$ — pertama kali di bawah $1.0\,\mathrm{m}$ pada penyeberangan ke-$9$.

**Latihan 18.13 ★★★.**

Dari puncak tebing $45\,\mathrm{m}$, sebuah batu dilemparkan dengan $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ke atas, mendatar, atau pada sudut berapa pun. Tunjukkan bahwa laju pendaratannya sama pada semua kasusnya lalu hitunglah nilainya. Lalu apa yang *memang* bergantung pada sudutnya?

**Solusi Latihan 18.13.**

[Energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) awalnya $E_m = \tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ sama berapa pun sudutnya, sehingga laju di tanahnya adalah $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx
33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Sudutnya menetapkan *arah* kecepatan pendaratannya, lama terbangnya dan [jangkauannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-strong) — bukan laju pendaratannya.

**Latihan 18.14 ★★★.**

Seorang pemain ski menuruni bukit dengan massa $80\,\mathrm{kg}$, bermula dalam keadaan diam dan turun $120\,\mathrm{m}$ sepanjang [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) $800\,\mathrm{m}$, melawan [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) tetap $65\,\mathrm{N}$. Tentukan laju tibanya dan bagian $E_m$ yang [terdisipasi](#def-g11-mechanical-energy-dissipation).

**Solusi Latihan 18.14.**

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times
800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$, sehingga $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Bagian yang [terdisipasi](#def-g11-mechanical-energy-dissipation): $52000/94176 \approx 55\%$.

**Latihan 18.15 ★★★.**

Sebuah pembangkit penyimpanan pompa menaikkan $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ air ($1000\,\mathrm{kg}$ tiap $\mathrm{m}^{3}$) setinggi $300\,\mathrm{m}$. Hitunglah [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpan dalam [joule](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) dan dalam $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$; jika diturbinkan kembali pada [efisiensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-efficiency) $85\%$ ([Bab 9](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#ch-g10-energy-conservation)), berapa rumah yang menarik $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ tiap hari yang dapat dipasoknya selama satu hari?

**Solusi Latihan 18.15.**

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$: $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. Yang diperoleh kembali: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — sekitar $1.4 \times 10^{5}$ rumah selama satu hari.

## 18.7 Soal: Merancang putarannya

**Soal 18.1.**

Soal akhir pekan — audit energi sebuah kereta luncur pasar malam: tinggi peluncuran yang dituntut putarannya, laju yang dijanjikannya, gesekan yang diakui dua pengindra, rem yang menutup rekeningnya — seluruh wahananya bergantung pada satu bilangan

Sebuah rangkaian kereta bermassa $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ dilepaskan dalam keadaan diam dari bukit peluncuran setinggi $H$ lalu meluncur tanpa mesin menembus putaran lingkaran tegak berjari-jari $R = 8.0\,\mathrm{m}$ yang puncaknya berada pada ketinggian $2R$. Telaah gerak melingkar (tahun depan) memasok satu data yang kita pinjam: pada puncak putarannya, keretanya baru menekan relnya apabila $v_{\text{puncak}}^2 \geq gR$. Bagian I dan II mengabaikan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory).

**Bagian I — Bukit yang dituntut putarannya.**

1. Hitunglah laju aman terkecil di puncak putarannya.
2. Dengan tanah sebagai [aras acuannya](#def-g11-mechanical-energy-potential) : hitunglah [energi mekanik](#def-g11-mechanical-energy-em) keretanya di puncak putaran pada laju terkecil itu.
3. Simpulkan $H_{\min}$ lalu tunjukkan bahwa $H_{\min} = 5R/2$ — tanpa massa, tanpa $g$ .
4. Timnya mengambil $H = 24\,\mathrm{m}$ : hitunglah laju yang sebenarnya di puncak putarannya dan nisbah $v_{\text{puncak}}^2/(gR)$ .
5. Ke mana $m$ pergi? Mengapa rancangannya cocok baik untuk kereta yang penuh maupun yang kosong?

**Bagian II — Apa yang dijanjikan tingginya** ($H = 24\,\mathrm{m}$).

6. Berapa lajunya di dasar putarannya ( $z = 0$ ), dalam $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
7. Berapa lajunya di sisi putarannya ( $z = R$ )?
8. Hitunglah $E_p$ dan $E_k$ pada peluncurannya, di dasar, di sisi dan di puncak putarannya; periksalah bahwa tiap pasangnya berjumlah $mgH$ .
9. Sebuah gundukan punuk unta $12\,\mathrm{m}$ menyusul putarannya: berapa lajunya di puncak gundukan itu?
10. Berikan rumus umum $v(z)$ ; di mana wahana itu paling cepat, dan di mana paling lambat?

**Bagian III — Audit [gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory).** Dua pengindra pada ketinggian yang sama $z = 2.0\,\mathrm{m}$, yang terpisah $60\,\mathrm{m}$ rel, membaca $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ lalu $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

11. Hitunglah perubahan [energi mekanik](#def-g11-mechanical-energy-em) antara kedua pengindranya. Apa yang membuat penempatan pada ketinggian yang sama itu cerdik?
12. Simpulkan [usaha](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) oleh [gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) dan [gaya gesek](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) rata-ratanya.
13. Ke mana [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang hilang itu pergi? Sebutkan bentuknya dan tempatnya.
14. Berapa bagian $E_m$ keretanya yang hilang tiap $60\,\mathrm{m}$ ? Mengapa $H_{\min}$ yang telanjang akan berbahaya di dunia [nyata](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/10-lensa-bayangan-dan-mata#def-g11-lenses-and-eye-images) yang bergesekan?
15. Sekitar $90\,\mathrm{m}$ rel memisahkan peluncurannya dari puncak putarannya: taksirlah $E_m$ di sana; apakah kelebihan pada pertanyaan 4 masih menyelamatkan putarannya?

**Bagian IV — Menutup rekeningnya.** Pengindra terakhir, pada pintu masuk [lintasan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) pengereman mendatar yang lurus ($z = 0$), membaca $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

16. Hitunglah [energi kinetik](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) keretanya di sana.
17. Remnya harus menghentikannya dalam $d = 45\,\mathrm{m}$ : hitunglah [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) pengereman (tetap) yang diperlukan.
18. Pemeriksaan kenyamanannya: hitunglah perlambatannya $a = F/m$ ; bandingkan dengan $g$ .
19. Berapa [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang didisipasikan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) rel sepanjang seluruh wahananya? Periksalah bahwa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) $+$ rem $= mgH$ , sampai ke [joulenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) .
20. Puncak ceritanya, dalam satu kalimat: bilangan tunggal yang mana yang menetapkan keamanan putarannya, setiap lajunya, tagihan [gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) dan [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) remnya — dan berapa harga mengabaikan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) ?

**Solusi Soal 18.1.**

**1.** $v_{\text{puncak}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0}
\approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} +
7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**3.** $mgH_{\min} = E_m$ memberikan $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$; secara aljabar $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$.

**4.** $v_{\text{puncak}} = \sqrt{2g(H - 2R)} =
\sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_{\text{puncak}}^2/(gR) = 2.0$ — dua kali nilai terkecilnya.

**5.** Setiap [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) sebanding dengan $m$, sehingga $m$ saling menghapus: lajunya sama dan keamanannya sama, penuh atau kosong.

**6.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**7.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx
17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**8.** $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Pasangan $(E_p, E_k)$: pada peluncurannya $(4.71 \times 10^{5}, 0)$; di dasarnya $(0, 4.71 \times 10^{5})$; di sisinya $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$; di puncaknya $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — tiap pasangnya berjumlah $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**9.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx
15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**10.** $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$: paling cepat di titik terendah relnya, paling lambat di puncak putarannya.

**11.** Ketinggiannya sama, sehingga $\Delta E_p = 0$ dan $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 -
20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: penempatannya membuat selisihnya murni kinetik, yang cukup dibaca dari dua pengukur laju.

**12.** $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

**13.** Menjadi [energi termal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-forms), pada rodanya, relnya dan udaranya.

**14.** $E_m$ pada pengindra pertamanya: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} =
4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; kehilangannya $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ tiap $60\,\mathrm{m}$. Pada $H_{\min}$, puncak putarannya tercapai *tepat* pada $\sqrt{gR}$; kehilangan berapa pun menjatuhkannya di bawah laju amannya.

**15.** Karena kehilangan $\approx 10\%$ tiap $60\,\mathrm{m}$, sekitar $15\%$ dari $mgH$ ($\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) sudah lenyap: $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$, masih di atas $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ yang dituntut — aman, dengan kelebihan hanya $2\%$. Kelebihan tadi bukan kemewahan.

**16.** $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 =
3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**17.** $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**18.** $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$: tegas tetapi masih nyaman.

**19.** [Gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) relnya: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 -
324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Auditnya: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} =
4.71 \times 10^{5} = mgH$ — setiap [joulenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-work) terhitung.

**20.** Tinggi peluncuran $H = 24\,\mathrm{m}$ menetapkan keamanan putarannya, setiap lajunya $\sqrt{2g(H - z)}$, tagihan [gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) dan [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) remnya; harga mengabaikan [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) adalah kelebihannya — yaitu $4\,\mathrm{m}$ bukit yang diam-diam dilahap dunia yang bergesekan.