---
title: "Satelit dan Gerak Planet"
book: "Fisika Sekolah Menengah Atas"
subject: physics
language: id
chapter: 27
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/27-satelit-dan-gerak-planet
---

# Bab 27 — Satelit dan Gerak Planet

Antena parabola di balkon terpaku mati, namun sepanjang hari ia menatap satu titik langit yang tetap, $36\,000\,\mathrm{km}$ di atas; stasiun antariksa melintasi langit petang dalam hitungan menit; serombongan jam terbang memberi tahu telepon genggammu di mana kamu berdiri. Tidak satu pun mesin ini menyalakan penggerak: semuanya sekadar *jatuh*. Bab ini menghitung secepat apa dan setinggi apa masing-masing harus jatuh — lalu [menimbang planet](#met-g12-satellites-kepler-weigh) dengan hukum yang sama.

## 27.1 Jatuh mengelilingi Bumi

Semuanya bertumpu pada hukum yang telah diukur sebelumnya ([Bab 4](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#ch-g10-universal-gravitation)): Bumi, bermassa $M$, menarik sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) bermassa $m$ yang pusatnya berjarak $r$ dari pusat Bumi dengan [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) yang terarah ke pusat Bumi, sebesar

$$
F = G\,\frac{m M}{r^2}, \qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

Perhatikanlah apa itu $r$: jarak *antarpusat*. [Satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) pada ketinggian $h$ memiliki $r = R + h$, dengan $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ jari-jari Bumi — melupakan $R$ itu adalah kekeliruan klasik pada bab ini.

**Catatan 27.1 (Meriam Newton, ditinjau kembali).**

Ditembakkan mendatar, sebutir peluru meriam mendarat; lebih cepat, ia mendarat lebih jauh; pada laju yang tepat tanahnya melengkung menjauh persis secepat pelurunya jatuh, dan jatuhnya menutup pada dirinya sendiri: sebuah [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite). [Satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) tidak memerlukan penggerak — hanya laju *ke samping* yang tepat.

![Meriam Newton: ditembakkan kian cepat, pelurunya mendarat kian jauh (jingga); pada sekitar 7.9\, km/ s jatuhnya menyamai kelengkungan Bumi dan ia mengorbit (biru); lebih cepat lagi, ia lepas (merah).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-fe36af0d72a7.svg)

*Meriam Newton: ditembakkan kian cepat, pelurunya mendarat kian jauh (jingga); pada sekitar $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ jatuhnya menyamai kelengkungan Bumi dan ia mengorbit (biru); lebih cepat lagi, ia lepas (merah).*

## 27.2 Orbit lingkaran: satu laju, satu periode

**Teorema 27.2 (Laju orbit).**

Sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) pada [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) lingkaran beraturan berjari-jari $r$ mengelilingi benda bermassa $M$ bergerak dengan laju

$$
v = \sqrt{\frac{G M}{r}},
$$

yang tidak bergantung pada massa [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Bukti.** Gravitasi adalah satu-satunya [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force), sehingga [hukum kedua Newton](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#thm-g12-newtons-laws-second) ([Teorema 25.5](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#thm-g12-newtons-laws-second)) berbunyi $m\vect a = \vect F$; proyeksikanlah pada [kerangka Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Definisi 24.13](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-frenet)). [Gayanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) membidik pusatnya: komponen tangensialnya nol, sehingga lajunya tetap; komponen normalnya adalah seluruh $GmM/r^2$, dan gerak melingkar memiliki $a_n = v^2/r$ ([Teorema 24.12](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#thm-g12-kinematics-2d-centripetal)). Karena itu $m v^2/r =
GmM/r^2$, dan — dengan $m$ yang [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate) — $v^2 = GM/r$. ∎

![Seluruh mekanisme sebuah orbit: kecepatannya menyinggung, gayanya menuju pusatnya — gravitasi tidak pernah memperlambat satelitnya, ia hanya membelokkan lintasannya, selamanya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-e709b9010536.svg)

*Seluruh mekanisme sebuah [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite): kecepatannya menyinggung, [gayanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) menuju pusatnya — gravitasi tidak pernah memperlambat [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite), ia hanya membelokkan [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory), selamanya.*

**Proposisi 27.3 (Periode orbit).**

[Satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) merampungkan [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dalam [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm)

$$
T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{G M}}.
$$

**Bukti.** Satu putaran adalah keliling $2\pi r$ pada laju tetap; sisipkanlah $v = \sqrt{GM/r}$: $T = 2\pi r\sqrt{r/(GM)} = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$. ∎

Baik $v$ maupun $T$ tidak memuat $m$: sebuah sekrup yang terlepas dari stasiun antariksa mengorbit persis di sampingnya. Dan keduanya menurun bersama $r$: *kian tinggi [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite), kian lambat [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite)*, dalam laju ($v \propto 1/\sqrt r$) dan dalam sudut ($T \propto r^{3/2}$).

**Contoh 27.4 (Stasiun antariksa).**

Stasiun Antariksa Internasional terbang pada ketinggian $h \approx 400\,\mathrm{km}$, sehingga $r = 6.37 \times 10^{6} + 4.0 \times 10^{5} =
6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$; dengan $GM = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} =
3.98 \times 10^{14}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$, $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}}
\approx 7.7 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $T = 2\pi r/v \approx 5.5 \times 10^{3}\,\mathrm{s}
\approx 92\,\mathrm{min}$: satu putaran planetnya tiap satu setengah jam, sekitar enam belas matahari terbit sehari bagi antariksawannya.

**Contoh 27.5 (Bulan jatuh seperti apelnya).**

Bulan, pada $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, mengorbit dalam $T = 27.3\,\mathrm{d} =
2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, sehingga $v = 2\pi r/T \approx 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ dan $a = v^2/r \approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — persis $g/60^2$, dan Bulan terletak $60$ jari-jari Bumi jauhnya: tarikan yang menjatuhkan apelnya membelokkan Bulan, yang dilemahkan kebalikan kuadratnya. Tiap sekon Bulan “jatuh” sekitar $1.4\,\mathrm{mm}$ ke arah kita, sedangkan kilometer ke sampingnya membawanya berkeliling — pemeriksaan yang dilakukan Newton pada 1666.

## 27.3 Hukum-hukum Kepler

Newton tidak menerka kebalikan kuadratnya: ia menyaringnya dari tiga keteraturan yang disuling Johannes Kepler, antara 1609 dan 1619, dari dua puluh tahun kedudukan planet yang diamati Tycho Brahe dengan mata telanjang — data terbaik dunia sebelum teleskop.

**Definisi 27.6 (Elips).**

*Elips* adalah himpunan titik yang jumlah jaraknya ke dua titik tetap, yaitu *fokus*, bernilai tetap; setengah garis tengah terpanjangnya adalah *setengah sumbu panjang* $a$, dan lingkaran adalah keadaan ketika kedua fokusnya menyatu. Titik [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) planet yang terdekat dan terjauh dari Matahari adalah *perihelion* dan *aphelion*.

**Teorema 27.7 (Hukum-hukum Kepler).**

Untuk planet yang mengorbit Matahari (bermassa $M$):

1. tiap [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) berupa [elips](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) dengan Matahari pada salah satu fokusnya;
2. ruas Matahari–planet menyapu luas yang sama dalam waktu yang sama;
3. nisbah kuadrat [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) terhadap pangkat tiga [setengah sumbu panjangnya](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) sama bagi semua planet: $T^2/a^3 = 4\pi^2/(G M)$ .

Hukum yang sama mengatur keluarga [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) mana pun mengelilingi benda pusat mana pun, dengan $M$ massa pusatnya.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 27.8 (Apa yang dapat kita buktikan tahun ini).**

Untuk [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) *lingkaran* hukum ketiganya milik kita: dengan mengkuadratkan [Proposisi 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) diperoleh $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ — satu tetapan bagi tiap [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dengan pusat yang sama. Bahwa [elips](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), luas yang sama dan $a$ yang umum menyusul dari kebalikan kuadratnya ditunjukkan, dengan kalkulus yang lebih banyak, pada jilid Tahun ke-1. Sementara itu hukum keduanya dapat dibaca: planetnya bergerak paling cepat di [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), tempat ruas sapuannya yang pendek harus bergegas.

![Hukum kedua Kepler: dalam satu bulan di dekat perihelion P planetnya menyapu juring yang pendek dan gemuk; di dekat aphelion A, juring yang panjang dan kurus — luasnya sama: ia bergegas saat dekat, berlambat saat jauh.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-97ca2aac4689.svg)

*Hukum kedua Kepler: dalam satu bulan di dekat [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $P$ planetnya menyapu juring yang pendek dan gemuk; di dekat [aphelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) $A$, juring yang panjang dan kurus — luasnya sama: ia bergegas saat dekat, berlambat saat jauh.*

![Kedelapan planet pada sumbu log–log: sebuah garis lurus berkemiringan 3/2, yaitu T2 a3 — hukum ketiga Kepler, yang dalam satuan ini (satuan astronomi, tahun) berbunyi sederhana T2 = a3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-satellites-kepler/fig-a9f6deb77d4b.svg)

*Kedelapan planet pada sumbu log–log: sebuah garis lurus berkemiringan $3/2$, yaitu $T^2 \propto a^3$ — hukum ketiga Kepler, yang dalam [satuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ini ([satuan astronomi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), tahun) berbunyi sederhana $T^2 = a^3$.*

## 27.4 Orbit yang bekerja

**Definisi 27.9 (Orbit geostasioner).**

Sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) disebut *geostasioner* apabila ia menggantung di atas satu titik tanah yang tetap. [Orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) haruslah lingkaran, khatulistiwa, dan berperiode satu *hari sideris*, $T = 86\,164\,\mathrm{s}$ ($23\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$ $4\,\mathrm{s}$): waktu yang dibutuhkan Bumi untuk berputar sekali *terhadap bintang*. (Hari $24\,\mathrm{h}$ itu terhadap Matahari, dan ke arahnya Bumi juga maju satu derajat sehari.)

**Contoh 27.10 (Ketinggian geostasionernya).**

Hukum ketiga Kepler, dibaca mundur, menentukan jari-jarinya: $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
\left(3.98 \times 10^{14} \times (86\,164)^2/4\pi^2\right)^{1/3}
\approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — suatu ketinggian $h = r - R \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$, yang ditempuh pada $v = 2\pi r/T
\approx 3.1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Setiap penerus [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) yang “menggantung diam” terletak pada satu lingkaran ini di atas khatulistiwa — tidak ada yang lain.

**Contoh 27.11 (Rombongan satelit navigasi).**

Sistem navigasi [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) menerbangkan sekitar tiga puluh [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) pada $r \approx 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (ketinggian $\approx 20\,200\,\mathrm{km}$), tempat [Proposisi 27.3](#prop-g12-satellites-kepler-period) memberikan $T \approx
4.32 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: setengah [hari sideris](#def-g12-satellites-kepler-geo), sehingga tiap [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) menyusuri kembali jejak tanahnya tiap hari. Penerimamu membandingkan waktu tiba [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) jamnya terhadap [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang dikenal sampai ke [meter](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Metode 27.12 (Menimbang sebuah dunia dari satelitnya).**

Untuk mengukur massa sebuah planet atau bintang: carilah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) mana pun miliknya (sebuah bulan, sebuah wahana, sebuah planet), ukurlah jari-jari [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) $r$ dan [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) $T$, lalu balikkanlah hukum ketiganya:

$$
M = \frac{4\pi^2 r^3}{G\,T^2}.
$$

Ini hanya menimbang benda *pusatnya* — massa [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) sudah [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate) pada [Teorema 27.2](#thm-g12-satellites-kepler-speed). Setiap massa pada kartu datanya diperoleh dengan cara ini: Bumi dari Bulan, Matahari dari [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) Bumi sendiri.

**Catatan 27.13 (Kian tinggi kian lambat — tetapi kian mahal).**

Karena $v = \sqrt{GM/r}$, Bulan merangkak pada $1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ sementara stasiunnya melesat pada $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Namun [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang lebih tinggi justru lebih *mahal*: menanjak melawan gravitasi menyimpan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) potensial (perhitungannya dilunasi pada [Bab 29](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/29-usaha-dan-energi-mekanik#ch-g12-work-and-energy)), dan tambahan $E_p$ mengalahkan susutnya $E_k$. Karena itu roket membakar *ke depan* untuk mencapai [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang lebih tinggi dan lebih lambat — dan [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang direm udara tipis membelit *turun* lalu bertambah cepat.

**Catatan 27.14 (Kartu data).**

Kecuali disebutkan lain: $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$; Bumi: $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$, $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, [hari sideris](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$; [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) Bulan: $r = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, $T =
27.3\,\mathrm{d}$; Matahari: $M = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$; jarak Bumi–Matahari $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$; satu tahun $= 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$; Mars: $M =
6.42 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$, $R = 3.39 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$.

## 27.5 Latihan

**Latihan 27.1 ★.**

Sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) $1000\,\mathrm{kg}$ berada di landasan peluncurannya, lalu terbang pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$. Hitunglah tarikan Bumi di kedua tempatnya: berapa persen yang bertahan di ketinggian — dan mengapa penghuninya melayang?

**Solusi Latihan 27.1.**

Di landasannya: $F = GMm/R^2 = 3.98 \times 10^{17}/4.06 \times 10^{13} \approx
9.8 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$. Pada $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$: $F \approx 8.7 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — masih $89\%$ nilai di tanahnya. Para penghuninya melayang karena mereka *jatuh* bersama stasiunnya, bukan karena gravitasinya lenyap.

**Latihan 27.2 ★.**

Untuk [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) (khayalan) yang menyerempet permukaan Bumi ($r = R$), hitunglah laju [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dan [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm). Bandingkanlah dengan peluru meriam Newton ([Catatan 27.1](#rem-g12-satellites-kepler-cannon)).

**Solusi Latihan 27.2.**

$v = \sqrt{GM/R} = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.37 \times 10^{6}} \approx
7.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi R/v \approx 5.1 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
84\,\mathrm{min}$. Persis $7.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ milik peluru meriamnya: [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang menyerempet itu *adalah* tembakan Newton.

**Latihan 27.3 ★.**

Sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dipindahkan dari [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) lingkaran berjari-jari $r$ ke [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) berjari-jari $2r$. Dengan faktor berapa laju dan [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) berubah? Apakah jawabannya bergantung pada massanya?

**Solusi Latihan 27.3.**

$v \propto 1/\sqrt{r}$: dibagi $\sqrt 2 \approx 1.41$. $T \propto r^{3/2}$: dikalikan $2^{3/2} \approx 2.8$. Tidak satu pun memuat $m$: tidak.

**Latihan 27.4 ★.**

Ulangi angka stasiunnya: dari $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, hitunglah $v$, $T$, dan banyaknya [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang dirampungkan dalam $24\,\mathrm{h}$.

**Solusi Latihan 27.4.**

$v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 92\,\mathrm{min}$; $86\,400/5546 \approx 15.6$ [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) tiap hari.

**Latihan 27.5 ★.**

Nyatakan ketiga hukum Kepler. Di sebelah mana pada elipsnya yang sangat memanjang sebuah komet paling cepat, dan hukum mana yang mengatakannya? Apakah [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) sebuah [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) bergantung pada massanya sendiri?

**Solusi Latihan 27.5.**

[Elips](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) dengan Matahari pada salah satu fokusnya; luas yang sama dalam waktu yang sama; $T^2/a^3$ serupa bagi semua planet. Paling cepat di [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse), menurut hukum keduanya (ruas sapuan yang pendek harus menyapu cepat). Tidak: massa [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate) — hanya massa pusatnya yang masuk.

**Latihan 27.6 ★★.**

Timbanglah Bumi: dari jari-jari [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dan [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) Bulan (kartu datanya), hitunglah massa Bumi lalu bandingkan dengan nilai pada kartunya.

**Solusi Latihan 27.6.**

$T = 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
2.24 \times 10^{27}/371 \approx 6.0 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$ — dalam selisih $1\%$ dari $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Latihan 27.7 ★★.**

Sebuah perusahaan mengusulkan [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang menggantung tetap di atas Paris (lintang $49^\circ$ utara). Dari arah gravitasinya, jelaskan mengapa setiap [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) lingkaran berpusat di pusat Bumi; simpulkan bahwa usulnya mustahil. Di mana [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) *dapat* menggantung?

**Solusi Latihan 27.7.**

Gravitasi menunjuk ke pusat Bumi, dan pada gerak melingkar [gaya totalnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/16-gaya-dan-gerak#def-g11-forces-and-motion-netforce) menunjuk ke pusat lingkarannya: kedua pusat itu berimpit. Sebuah lingkaran di atas garis lintang Paris berpusat pada sumbunya, bukan pada pusat Bumi — mustahil. Menggantung diam hanya berhasil di tempat garis lintangnya berupa lingkaran besar yang berpusat di pusatnya: di atas *khatulistiwa*.

**Latihan 27.8 ★★.**

Phobos mengelilingi Mars pada $r = 9.38 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ dalam $T = 7\,\mathrm{h}
39\,\mathrm{min}$. Perolehlah massa Mars; bandingkan dengan kartu datanya.

**Solusi Latihan 27.8.**

$T = 2.754 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
3.26 \times 10^{22}/5.06 \times 10^{-2} \approx 6.4 \times 10^{23}\,\mathrm{kg}$ — Mars pada kartu datanya.

**Latihan 27.9 ★★.**

Mars mengorbit Matahari pada $a = 2.279 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ dalam $687\,\mathrm{d}$. Hitunglah $T^2/a^3$ untuk Mars dan untuk Bumi (kartu datanya), periksalah hukum ketiga Kepler, lalu perolehlah massa Matahari.

**Solusi Latihan 27.9.**

Bumi: $T^2/a^3 = 9.96 \times 10^{14}/3.35 \times 10^{33} =
2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$. Mars: $T = 5.94 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, $3.52 \times 10^{15}/1.18 \times 10^{34} = 2.98 \times 10^{-19}\,\mathrm{s}^{2}/\mathrm{m}^{3}$ — sama, seperti yang dituntut hukum ketiganya. Selanjutnya $M = 4\pi^2/(G \times 2.98 \times 10^{-19})
\approx 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$.

**Latihan 27.10 ★★.**

Uji Bulan Newton: dari kartu datanya, hitunglah laju Bulan dan [percepatan sentripetalnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#thm-g12-kinematics-2d-centripetal) $a = v^2/r$. Tunjukkan bahwa nilainya $g/60^2$, lalu sebutkan mengapa itu meyakinkan Newton bahwa satu hukum mengatur apel dan Bulan.

**Solusi Latihan 27.10.**

$v = 2\pi r/T = 1.02 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a = v^2/r =
2.72 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $g/60^2 = 9.81/3600 = 2.73 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Bulan terletak $60$ jari-jari Bumi jauhnya, dan jatuhnya $60^2$ kali lebih lemah daripada jatuh apelnya: persis kebalikan kuadratnya — satu hukum bagi keduanya.

**Latihan 27.11 ★★.**

Dalam [satuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) Matahari ([satuan astronomi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear), tahun) hukum ketiga Kepler berbunyi $T^2 = a^3$: garis lurus pada grafik log–log dalam bab ini. Tempatkanlah padanya asteroid Ceres, $a = 2.77\,\mathrm{au}$, dan komet Halley, $a = 17.8\,\mathrm{au}$: hitunglah kedua [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm). Halley terakhir melewati [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) pada 1986 — kapan ia dinanti kembali?

**Solusi Latihan 27.11.**

Ceres: $T = 2.77^{3/2} = \sqrt{21.3} \approx 4.6\,\mathrm{tahun}$. Halley: $T = 17.8^{3/2} \approx 75\,\mathrm{tahun}$, sehingga [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) berikutnya sekitar $1986 + 75 \approx 2061$.

**Latihan 27.12 ★★★.**

Udara [tipis](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/10-lensa-bayangan-dan-mata#def-g11-lenses-and-eye-lens) menyapu stasiunnya, namun lajunya justru *bertambah* sembari ketinggiannya susut. Hitunglah $v$ pada ketinggian $400\,\mathrm{km}$ dan $350\,\mathrm{km}$, lalu selesaikanlah kemelutnya: [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) memperlambat benda — dari mana datangnya tambahan laju itu?

**Solusi Latihan 27.12.**

Pada $400\,\mathrm{km}$: $v \approx 7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; pada $350\,\mathrm{km}$ ($r = 6.72 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$): $v \approx 7.70 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Gesekannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) memang menguras [energi mekanik](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#def-g11-mechanical-energy-em) — [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) menyusut; tetapi dalam perjalanan turunnya kerja gravitasi lebih daripada melunasi susutnya laju akibat [hambatannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance): $E_m$ turun sementara $E_k$ naik.

**Latihan 27.13 ★★★.**

Sebuah teleskop menemukan planet luar surya yang mengelilingi bintangnya pada $r = 7.48 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$ tiap $3.50\,\mathrm{d}$. Timbanglah bintangnya, dalam [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) dan dalam [satuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) Matahari. Massa yang mana — bintangnya atau planetnya — yang *tidak dapat* diperoleh dengan cara ini, dan mengapa?

**Solusi Latihan 27.13.**

$T = 3.024 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M = 4\pi^2 r^3/(GT^2) =
1.65 \times 10^{31}/6.10 \approx 2.7 \times 10^{30}\,\mathrm{kg} \approx 1.4$ kali Matahari. Massa *planetnya* tidak terjangkau: massa itu sudah [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate) dari persamaan [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Latihan 27.14 ★★★.**

Pemukim Mars menginginkan penerus [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) “areostasioner” di atas pangkalannya. Mars berputar terhadap bintang dalam $24\,\mathrm{h}$ $37\,\mathrm{min}$: hitunglah jari-jari [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dan ketinggiannya di atas permukaan Mars (kartu datanya).

**Solusi Latihan 27.14.**

$T = 8.862 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, $GM = 4.28 \times 10^{13}\,\mathrm{m}^{3}/\mathrm{s}^{2}$: $r^3 = GMT^2/(4\pi^2) = 8.52 \times 10^{21}$, sehingga $r \approx
2.04 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ dan $h = r - R \approx 1.7 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx
17\,000\,\mathrm{km}$ di atas tanah Mars.

**Latihan 27.15 ★★★.**

Komet Halley melewati [perihelion](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) pada $r_p = 8.77 \times 10^{10}\,\mathrm{m}$ sambil bergerak pada $54.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$; [aphelionnya](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) pada $r_a = 5.25 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$. Di kedua ujungnya kecepatannya tegak lurus ruas Matahari–komet, dan hukum kedua Kepler lalu memaksa $r_p v_p = r_a v_a$ (segitiga sapuan yang sama luas $\tfrac12 r v\,\Delta t$). Perolehlah laju [aphelionnya](#def-g12-satellites-kepler-ellipse) lalu berilah ulasan tentang nisbahnya.

**Solusi Latihan 27.15.**

$v_a = r_p v_p / r_a = 8.77 \times 10^{10} \times 5.45 \times 10^{4} /
5.25 \times 10^{12} \approx 9.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Karena $r_a/r_p \approx 60$, kometnya $60$ kali lebih jauh dan $60$ kali lebih lambat: ia menghabiskan puluhan tahun berlambat di kegelapan dan beberapa pekan melesat melewati Matahari.

## 27.6 Soal: Sebuah tempat duduk di atas khatulistiwa

**Soal 27.1.**

Soal akhir pekan — menempatkan [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) di atas khatulistiwa: mengapa satu-satunya tempat parkir di langit adalah lingkaran $35\,800\,\mathrm{km}$ di atas, bagaimana perbandingannya dengan stasiun yang melesat di bawahnya, dan bagaimana hukum yang sama menimbang Yupiter sambil lalu

Sebuah perusahaan telekomunikasi menginginkan penerus [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) yang tidak pernah harus dikejar antena tanahnya yang sekali dipaku: [satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) [geostasioner](#def-g12-satellites-kepler-geo). Kamulah penganalisis misinya; pakailah kartu datanya. Untuk Bagian IV: Io, bulan Yupiter, mengorbit pada $r = 4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ dalam $T = 1.77\,\mathrm{d}$, dan Yupiter berputar terhadap bintang dalam $9\,\mathrm{h}$ $56\,\mathrm{min}$.

**Bagian I — Aturan menggantung diam.**

1. [Satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) harus tetap berada di atas satu titik tanah yang tetap. Berapa [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) — dan mengapa [hari sideris](#def-g12-satellites-kepler-geo) $86\,164\,\mathrm{s}$ dan bukan $24\,\mathrm{h}$ ?
2. Pada gerak melingkar [gaya totalnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/16-gaya-dan-gerak#def-g11-forces-and-motion-netforce) menunjuk ke pusat lingkarannya; di sini satu-satunya [gayanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) adalah gravitasi. Perolehlah bahwa pusat setiap [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) lingkaran adalah pusat Bumi.
3. Sebuah lingkaran yang menggantung di atas lintang Paris akan berpusat pada sumbu Bumi, di sebelah utara pusatnya. Simpulkanlah: pada bidang mana [orbit geostasioner](#def-g12-satellites-kepler-geo) harus terletak?
4. Tulislah [hukum kedua Newton](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#thm-g12-newtons-laws-second) pada [kerangka Frenet](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-frenet) untuk [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) lingkaran berjari-jari $r$ lalu turunkanlah $v = \sqrt{GM/r}$ .
5. Perolehlah $T = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$ lalu tulislah kembali sebagai hukum ketiga Kepler $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$ .

**Bagian II — Satu-satunya lingkaran yang berhasil.**

6. Selesaikanlah hukum ketiganya untuk $r$ lalu hitunglah jari-jari [geostasionernya](#def-g12-satellites-kepler-geo) .
7. Perolehlah ketinggiannya di atas tanah.
8. Hitunglah laju [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) dari $v = 2\pi r/T$ .
9. Periksalah terhadap $v = \sqrt{GM/r}$ .
10. [Satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) perusahaan itu bermassa $4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ ; milik pesaingnya bermassa dua kali lipat. Bandingkanlah jari-jari [geostasionernya](#def-g12-satellites-kepler-geo) , lalu sebutkan apa yang diubah tambahan massa itu saat peluncurannya.

**Bagian III — Stasiun di bawahnya.**

11. Stasiun antariksa terbang pada $r = 6.77 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ : hitunglah lajunya.
12. Hitunglah [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) , dalam sekon dan menit.
13. Berapa [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang dirampungkannya dalam $24\,\mathrm{h}$ — kira-kira berapa matahari terbit yang disaksikan antariksawannya tiap hari?
14. Hitunglah nisbah jari-jarinya $r_{\text{geo}}/r_{\text{sta}}$ , lalu periksalah bahwa nisbah [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/24-kinematika-pada-dua-dimensi#def-g12-kinematics-2d-ucm) adalah bilangan itu berpangkat $3/2$ , sebagaimana dituntut hukum ketiga Kepler.
15. [Satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) mana yang bergerak lebih cepat, dan mana yang menuntut lebih banyak [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) untuk ditempatkan? Rukunkanlah keduanya dalam satu kalimat.

**Bagian IV — Menimbang Yupiter sambil lalu.**

16. Dari hukum ketiga Kepler yang diterapkan pada Io, nyatakan massa Yupiter $M_J$ dalam $G$ , $r$ dan $T$ .
17. Hitunglah $M_J$ .
18. Berapa kali massa Bumi nilainya? Kira-kira berapa bagian massa Matahari?
19. Sebuah penerus [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) “yovistasioner” hendaknya menggantung di atas satu titik awan Yupiter: hitunglah jari-jari [orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) ; bandingkan dengan milik Io.
20. Laporkanlah kepada direksinya, dua kalimat: ketinggian tempat perusahaannya harus memarkir penerus isyaratnya, dan massa Yupiter yang diserahkan hukum yang sama persis itu secara cuma-cuma.

**Solusi Soal 27.1.**

**1.** $T = 86\,164\,\mathrm{s}$: tanahnya berputar bersama Bumi *terhadap bintang* sekali tiap [hari sideris](#def-g12-satellites-kepler-geo); hari $24\,\mathrm{h}$ menambahkan satu derajat tiap hari yang ditempuh Bumi mengelilingi Matahari.

**2.** [Gaya total](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/16-gaya-dan-gerak#def-g11-forces-and-motion-netforce) pada gerak melingkar membidik pusat lingkarannya; satu-satunya [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force), yaitu gravitasi, membidik pusat Bumi: kedua pusatnya adalah titik yang sama.

**3.** Lingkaran yang menggantung di atas Paris akan berpusat pada sumbunya di sebelah utara pusatnya — tersingkir oleh nomor 2. [Orbitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) harus terletak pada *bidang khatulistiwa*.

**4.** Komponen normal [hukum kedua Newton](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#thm-g12-newtons-laws-second): $m v^2/r = GmM/r^2$, sehingga $v = \sqrt{GM/r}$ ($m$ [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate)).

**5.** $T = 2\pi r/v = 2\pi\sqrt{r^3/(GM)}$; dengan mengkuadratkannya, $T^2/r^3 = 4\pi^2/(GM)$.

**6.** $r = \left(GMT^2/4\pi^2\right)^{1/3} =
(7.49 \times 10^{22})^{1/3} \approx 4.22 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$.

**7.** $h = r - R = 4.22 \times 10^{7} - 6.37 \times 10^{6} \approx
3.58 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \approx 35\,800\,\mathrm{km}$.

**8.** $v = 2\pi \times 4.22 \times 10^{7}/86\,164 \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**9.** $\sqrt{3.98 \times 10^{14}/4.22 \times 10^{7}} \approx
3.07 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — consistent.

**10.** Jari-jarinya serupa: massanya sudah [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate) pada nomor 4. [Satelit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang lebih berat hanya mengubah ongkos peluncurannya — lebih banyak bahan bakar untuk [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) yang sama.

**11.** $v = \sqrt{3.98 \times 10^{14}/6.77 \times 10^{6}} \approx
7.67 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**12.** $T = 2\pi r/v \approx 5.55 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx
92.4\,\mathrm{min}$.

**13.** $86\,400/5546 \approx 15.6$ [orbit](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite): sekitar $16$ matahari terbit tiap hari.

**14.** $r_{\text{geo}}/r_{\text{sta}} = 4.22 \times 10^{7}/6.77 \times 10^{6}
= 6.23$; $6.23^{3/2} \approx 15.5 = 86\,164/5546$ — hukum ketiga Kepler, yang terbukti seketika.

**15.** Stasiunnya lebih cepat ($7.67\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ lawan $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$), namun yang [geostasioner](#def-g12-satellites-kepler-geo) menuntut lebih banyak [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit): tanjakan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) potensialnya mengalahkan susutnya lajunya.

**16.** $M_J = 4\pi^2 r^3/(G T^2)$.

**17.** $T = 1.529 \times 10^{5}\,\mathrm{s}$: $M_J =
2.97 \times 10^{27}/1.56 \approx 1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$.

**18.** $1.90 \times 10^{27}/5.97 \times 10^{24} \approx 318$ kali Bumi — dan sekitar $1/1000$ massa Matahari.

**19.** $T_J = 3.576 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$: $r^3 = GM_J T_J^2/(4\pi^2) =
4.11 \times 10^{24}$, $r \approx 1.60 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ — Io, pada $4.22 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, terbang $2.6$ kali lebih tinggi lalu melayang melintasi langit Yupiter.

**20.** Parkirlah penerus isyaratnya pada lingkaran khatulistiwa berketinggian $35\,800\,\mathrm{km}$, tempat ia melaju pada $3.07\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ dan tidak pernah meninggalkan bidikan antenanya; dan hukum yang sama, yang diberi bulan milik Io, menimbang Yupiter pada $1.90 \times 10^{27}\,\mathrm{kg}$ — $318$ kali Bumi — secara cuma-cuma.