---
title: "Osilator Mekanik dan Pengukuran Waktu"
book: "Fisika Sekolah Menengah Atas"
subject: physics
language: id
chapter: 28
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu
---

# Bab 28 — Osilator Mekanik dan Pengukuran Waktu

Sebuah jam bandul berdetak: tiap detaknya adalah bandul kuningan yang melintasi garis tegak, terulang lima belas juta kali sejak Tahun Baru. Sekeping kuarsa di dalam arlojimu melentur $32\,768$ kali tiap sekon; sebutir [atom](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sesium berdengung sembilan miliar kali lebih cepat. Segala sesuatu yang berayun dapat menyimpan waktu: bab ini mengikuti ayunannya, dari Huygens sampai ke [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite).

## 28.1 Osilasi bebas

**Definisi 28.1 (Osilator, periode, frekuensi, amplitudo).**

*Osilator mekanik* adalah sistem yang, ketika disimpangkan dari *kedudukan setimbang* yang mantap lalu dilepaskan, berayun maju mundur di sekitarnya: inilah *osilasi bebas*. Geraknya berulang setelah *periode* $T_0$ ($\mathrm{s}$); *frekuensinya* $f_0 = 1/T_0$ ($\mathrm{Hz}$, [Bab 20](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/20-gelombang-mekanik#ch-g12-mechanical-waves)); *amplitudo* adalah simpangan terbesarnya.

**Contoh 28.2 (Sekebun osilator).**

Ayunan taman bermain: $T_0 \approx 3\,\mathrm{s}$. Senar A sebuah gitar: $f_0 = 110\,\mathrm{Hz}$. Sebuah hablur kuarsa: $32\,768\,\mathrm{Hz}$. Osilasi sesium yang menakrifkan sekon: sekitar $9.2 \times 10^{9}\,\mathrm{Hz}$. Sepuluh orde besaran, satu tugas: menghitung.

## 28.2 Bandul sederhana

**Definisi 28.3 (Bandul sederhana).**

*Bandul sederhana*: sebutir beban kecil bermassa $m$ pada kawat tak mulur sepanjang $L$ yang massanya terabaikan, berayun di dalam bidang tegak. Dari kedua [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) pada bebannya ([Bab 25](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#ch-g12-newtons-laws)), tegangannya tegak lurus terhadap geraknya, sedangkan komponen [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) sepanjang [lintasannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/5-gerak-relatif#def-g10-relative-motion-trajectory) menunjuk kembali ke arah titik terendahnya: [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) adalah *[gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) pemulih*, yang melawan simpangannya.

![Gaya pada bebannya: tegangan T tegak lurus terhadap geraknya; bagian tangensial P_t beratnya selalu menunjuk kembali ke garis tegaknya — gaya pemulihnya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-4439374d74c4.svg)

*[Gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) pada bebannya: tegangan $\vect T$ tegak lurus terhadap geraknya; bagian tangensial $\vect{P_t}$ [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) selalu menunjuk kembali ke garis tegaknya — [gaya pemulihnya](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum).*

**Proposisi 28.4 (Periode bandul sederhana).**

Untuk [amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang kecil (di bawah sekitar $15^\circ$), [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) adalah

$$
T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}, \qquad g = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}.
$$

[Periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-period) tidak bergantung pada massa bebannya maupun — selama sudutnya tetap kecil — pada [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): ayunan yang kecil bersifat *isokron*, semuanya menghabiskan waktu yang sama.

**Bukti.** *Diterima tanpa bukti pada tingkat ini.* ∎

**Catatan 28.5 (Analisis dimensi, dan tempat 2π2\pi2π bersemayam).**

Rumusnya dapat diterka. Dari $m$ ($\mathrm{kg}$), $L$ ($\mathrm{m}$) dan $g$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$), satu-satunya gabungan yang bersatuan waktu adalah $\sqrt{L/g}$ — dan massanya *tidak mungkin* masuk, sebab tidak ada data lain yang membawa [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) untuk meniadakannya. Dimensi tidak dapat memberikan bilangan murni di depannya: $2\pi$ itu datang dari penyelesaian persamaan geraknya, yang dikerjakan pada jilid Tahun ke-1. Syarat sudut kecilnya pun bukan pilihan: pada $30^\circ$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sejatinya $2\%$ lebih lama, dan keisokronannya gugur.

**Contoh 28.6 (Bandul sesekon).**

Panjang berapa yang berdetak sesekon, $T_0 = 2.00\,\mathrm{s}$, satu detak tiap arahnya? Dengan menyelesaikannya, $L = g\,T_0^2/4\pi^2 = 9.81 \times 2.00^2/4\pi^2 \approx
0.994\,\mathrm{m}$. Hampir semeter: jam bandul menjulang karena sekon itu panjang.

## 28.3 Osilator pegas–massa

**Definisi 28.7 (Gaya pemulih sebuah pegas).**

Sebuah kereta luncur bermassa $m$ meluncur pada rel mendatar tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory), terikat pada pegas ber*kekakuan* $k$ ($\mathrm{N}/\mathrm{m}$). Misalkan $x$ simpangannya dari kesetimbangannya. Ketika teregang atau termampat, pegasnya menarik atau mendorong keretanya kembali dengan [gaya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-force) $F = -kx$: sebanding dengan simpangannya dan berlawanan dengannya — sebuah [gaya pemulih](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) lagi, kini yang dipasok kekenyalannya.

**Proposisi 28.8 (Persamaan gerak dan penyelesaiannya).**

[Hukum kedua Newton](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#thm-g12-newtons-laws-second) sepanjang relnya ([Bab 25](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/25-hukum-hukum-newton#ch-g12-newtons-laws)) memberikan $m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx$, yaitu $\frac{d^2x}{dt^2} =
-\frac{k}{m}\,x$. Berapa pun tetapan $A$ dan $\varphi$,

$$
x(t) = A \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi\right),
\qquad T_0 = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}},
$$

memenuhi persamaan ini: osilasi berperiode $T_0$, yang bebas dari [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Bukti.** Dengan menurunkannya, $\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A \sin(\frac{2\pi
t}{T_0} + \varphi)$; sekali lagi, $\frac{d^2x}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2
A\cos(\frac{2\pi t}{T_0} + \varphi) = -(\frac{2\pi}{T_0})^2\,x(t)$, yang sama dengan $-(k/m)\,x$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = k/m$. ∎

**Catatan 28.9 (Segala gerak yang ada).**

Bahwa *setiap* gerak keretanya merupakan salah satu fungsi ini diterima saja, dan dibuktikan pada jilid Tahun ke-1. Dan tidak ada $g$ pada $2\pi\sqrt{m/k}$: yang lebih kaku berayun lebih cepat, yang lebih berat lebih lambat, sama saja di Bulan.

**Definisi 28.10 (Amplitudo dan fase).**

Pada $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 + \varphi)$ tetapan positif $A$ adalah [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) — ujung-ujungnya $x = \pm A$ — dan $2\pi t/T_0 +
\varphi$ adalah *fasenya*, yang tumbuh sebesar $2\pi$ tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); *fase awal* $\varphi$ mencatat awalnya: dilepaskan dari keadaan diam pada $x = A$, $\varphi = 0$. Sebagai contoh $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ pada $k = 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ memberikan $T_0 =
2\pi\sqrt{0.20/20} = 0.63\,\mathrm{s}$; ditarik sampai $5.0\,\mathrm{cm}$ lalu dilepaskan, $x(t) = 5.0\cos(2\pi t/0.63)$ dalam sentimeter.

## 28.4 Energi, peredaman, resonansi

**Proposisi 28.11 (Energi osilatornya).**

Pegas yang teregang sebesar $x$ menyimpan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) potensial elastis $E_p =
\tfrac12 kx^2$ (yang dibenarkan pada [Bab 29](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/29-usaha-dan-energi-mekanik#ch-g12-work-and-energy)). Selama osilasi tanpa [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#def-g11-mechanical-energy-em)

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + \tfrac12 k x^2 = \tfrac12 k A^2
$$

bernilai tetap: seluruhnya elastis di ujung-ujungnya, seluruhnya kinetik di kesetimbangannya. Bandulnya memainkan duet yang sama antara $E_k$ dan $E_p$ gravitasi ([Bab 18](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#ch-g11-mechanical-energy)).

**Bukti.** Dengan $v = \frac{dx}{dt}$, turunan $E_m$ adalah $mv\frac{dv}{dt}
+ kx\frac{dx}{dt} = v\,(m\frac{d^2x}{dt^2} + kx) = 0$ menurut persamaan geraknya; nilai $\tfrac12 kA^2$ dibaca di salah satu ujungnya. ∎

![Satu periode, dilepaskan dari x = A: energinya berpindah dua kali dari elastis ke kinetik lalu kembali, dengan jumlahnya terpaku pada 1/2 kA2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-2d1ab50e6abc.svg)

*Satu [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), dilepaskan dari $x = A$: [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) berpindah dua kali dari elastis ke kinetik lalu kembali, dengan jumlahnya terpaku pada $\tfrac12 kA^2$.*

**Definisi 28.12 (Osilasi teredam).**

[Gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) menguras [energi mekanik](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#def-g11-mechanical-energy-em) dari setiap [osilator](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang sesungguhnya: osilasi bebasnya menjadi *teredam*. Di bawah peredaman yang ringan sistemnya masih berosilasi, dengan [amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang meredup tetapi waktu pengulangan yang hampir tidak berubah, yaitu *pseudoperiode*, yang dekat dengan $T_0$; di bawah peredaman yang berat (madu) sistemnya merayap kembali ke kesetimbangannya tanpa pernah melampauinya; [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy), yang sebanding dengan kuadrat [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), meluruh menjadi kalor.

![Osilasi tak teredam dan osilasi teredam ringan: periodenya hampir sama (2.0\, s di sini), dengan amplitudo teredamnya meredup di dalam selubung eksponensial yang menyusut (bergaris putus-putus).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-927b66204577.svg)

*Osilasi tak [teredam](#def-g12-oscillators-and-time-damping) dan osilasi [teredam](#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan: [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) hampir sama ($2.0\,\mathrm{s}$ di sini), dengan [amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [teredamnya](#def-g12-oscillators-and-time-damping) meredup di dalam [selubung](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/3-pembiasan-cahaya#def-g10-refraction-fiber) eksponensial yang menyusut (bergaris putus-putus).*

**Definisi 28.13 (Osilasi paksa dan resonansi).**

Doronglah sebuah [osilator](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) secara berkala — *osilasi paksa* — dan setelah peralihan yang singkat ia berosilasi pada [frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) *pemaksanya* $f$, bukan pada [frekuensinya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sendiri. [Amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-amplitude) memuncak ketika $f$ mendekati *[frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) alami* $f_0$ [osilator](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) bebasnya: inilah *resonansi*, ketika tiap dorongan tiba selaras dengan geraknya, memasok [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap daur; kian ringan [peredamannya](#def-g12-oscillators-and-time-damping), kian tinggi dan kian tajam puncaknya.

![Lengkung resonansi: amplitudo paksanya terhadap frekuensi pemaksanya. Di dekat f = f_0 tanggapannya menjulang, kian tinggi kian ringan peredamannya.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-oscillators-and-time/fig-8ce04d839b22.svg)

*Lengkung [resonansi](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): [amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) paksanya terhadap [frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) pemaksanya. Di dekat $f = f_0$ tanggapannya menjulang, kian tinggi kian ringan [peredamannya](#def-g12-oscillators-and-time-damping).*

**Contoh 28.14 (Resonansi yang membangun dan yang merusak).**

Orang tua yang mendorong ayunan mendorong pada [frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ayunan itu sendiri — [resonansi](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) yang dipekerjakan. Pada $2000$ Jembatan Milenium yang baru di London berayun mencemaskan ketika langkah orang banyak terkunci pada [frekuensi alami](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) di dekat $1\,\mathrm{Hz}$; jembatan itu ditutup dua tahun untuk dipasangi peredam. Setiap arloji kuarsa menjaga hablurnya tetap bernyanyi dengan memaksanya pada [resonansi](#def-g12-oscillators-and-time-resonance), $32\,768\,\mathrm{Hz}$.

## 28.5 Mengukur waktu

**Metode 28.15 (Mengukur waktu sebuah periode).**

Jangan pernah mengukur satu osilasi saja: jalankanlah pengukur waktunya saat bebannya melintasi garis tegak (paling cepat, paling mudah ditimbang), hitunglah $N = 50$ osilasi, lalu bagilah dengan $N$ — galat tanggapan $0.2\,\mathrm{s}$ menjadi $4\,\mathrm{ms}$ pada $T_0$. Ulangilah, lalu bandingkan kedua jalannya.

**Contoh 28.16 (Tiga abad detak).**

Huygens membangun jam bandul yang pertama pada $1657$: keisokronannya membawa jam dari selisih seperempat jam tiap hari menjadi beberapa sekon, dan bandul yang terimbangi sampai ke pecahan sekon tiap hari. Arloji tangan kuarsa ($1969$) menukar batangnya dengan hablur yang melentur pada $32\,768\,\mathrm{Hz}$: persepuluh sekon tiap bulan. Sejak $1967$ sekon itu sendiri *ditakrifkan* oleh osilasi [atom](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder): lamanya $9\,192\,631\,770$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) radiasi [gelombang](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) mikro dari sebuah transisi dalam sesium-133 ([Bab 34](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/34-dunia-kuantum-foton-dan-tingkat-energi#ch-g12-quantum-world)). Jam sesium yang terbaik menyimpang satu sekon dalam seratus juta tahun.

**Catatan 28.17 (Mengapa mengejar nanosekon).**

Penerima GPS menemukan kedudukannya dengan mengukur waktu [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) radio dari [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite); cahaya menempuh $30\,\mathrm{cm}$ tiap nanosekon, sehingga galat jam sebesar satu mikrosekon menyalahtempatkanmu sejauh $300\,\mathrm{m}$. Karena itu [satelitnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-satellite) membawa jam [atom](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder) — dan pada ketelitian itu laju sebuah jam bergantung pada secepat apa ia bergerak dan setinggi apa ia berada, pengaruh yang kita temui pada [Bab 35](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/35-kerelatifan-khusus-pemuluran-waktu#ch-g12-special-relativity).

## 28.6 Latihan

**Latihan 28.1 ★.**

(a) Hitunglah [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dan [frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [bandul sederhana](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) sepanjang $1.00\,\mathrm{m}$. (b) Panjangnya dilipatempatkan: apa yang terjadi pada [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solusi Latihan 28.1.**

(a) $T_0 = 2\pi\sqrt{1.00/9.81} = 2.01\,\mathrm{s}$; $f_0 = 1/T_0 = 0.50\,\mathrm{Hz}$. (b) $T_0 \propto \sqrt{L}$: [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) menjadi dua kali lipat.

**Latihan 28.2 ★.**

Jantung yang sedang beristirahat berdenyut $72$ kali tiap menit; sayap seekor capung pada $30\,\mathrm{Hz}$. Sebutkan [frekuensi](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dan [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) jantungnya, serta [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) sayapnya; kata mana pada bab ini yang menamai kenaikan dada terbesar tiap denyutnya?

**Solusi Latihan 28.2.**

Jantungnya: $f = 72/60 = 1.2\,\mathrm{Hz}$, $T = 0.83\,\mathrm{s}$. Sayapnya: $T = 1/30 = 33\,\mathrm{ms}$. Kenaikan dadanya adalah *[amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)*.

**Latihan 28.3 ★.**

Sebuah kereta luncur $0.10\,\mathrm{kg}$ menumpang pegas $25\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$: hitunglah $T_0$ dan $f_0$. Apa yang dilakukan penggandaan massanya terhadap [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Solusi Latihan 28.3.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.10/25} = 0.40\,\mathrm{s}$, $f_0 = 2.5\,\mathrm{Hz}$. Dengan menggandakan $m$: $T_0 \times \sqrt{2} \approx 1.4$.

**Latihan 28.4 ★.**

Puncak berturut-turut sebuah [osilator](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [teredam](#def-g12-oscillators-and-time-damping): $2.0$, $1.5$, $1.13$, $0.85\,\mathrm{cm}$ pada $t = 0$, $2.0$, $4.0$, $6.0\,\mathrm{s}$. Bacalah [pseudoperiodenya](#def-g12-oscillators-and-time-damping); tunjukkan bahwa [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) turun dengan faktor yang tetap tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); ramalkanlah puncak berikutnya.

**Solusi Latihan 28.4.**

[Pseudoperiodenya](#def-g12-oscillators-and-time-damping) $2.0\,\mathrm{s}$. Nisbahnya $1.5/2.0 = 1.13/1.5 = 0.85/1.13
= 0.75$ tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator); puncak berikutnya $0.85 \times 0.75 \approx
0.64\,\mathrm{cm}$.

**Latihan 28.5 ★.**

Seorang antariksawan membawa sebuah bandul dan sebuah [osilator pegas–massa](#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period) ke Bulan ($g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$). Dengan faktor berapa masing-masing [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) berubah? Jelaskanlah.

**Solusi Latihan 28.5.**

Bandulnya: $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$, sehingga $\times\sqrt{9.81/1.62} =
2.46$ (lebih lambat). Pegas–massanya: tidak berubah — tidak ada $g$ pada $2\pi\sqrt{m/k}$.

**Latihan 28.6 ★★.**

(a) Periksalah bahwa $\sqrt{L/g}$ berdimensi waktu. (b) Mengapa tidak ada rumus $T_0$ yang tersusun dari $m$, $L$, $g$ yang boleh memuat massanya? (c) Mungkinkah alasan ini menghasilkan $2\pi$ itu?

**Solusi Latihan 28.6.**

(a) $[L/g] = \mathrm{m}/(\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}) = \mathrm{s}^{2}$; akar kuadratnya adalah waktu. (b) [Kilogramnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) hanya muncul pada $m$: tidak ada lain yang dapat meniadakannya, sehingga $m$ tidak mungkin masuk. (c) Tidak pernah: bilangan murni seperti $2\pi$ tak terlihat oleh dimensi.

**Latihan 28.7 ★★.**

Periksalah dengan menurunkannya dua kali bahwa $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0 +
\varphi)$ memenuhi $\frac{d^2x}{dt^2} = -(k/m)\,x$ jika dan hanya jika $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Solusi Latihan 28.7.**

$\frac{dx}{dt} = -\frac{2\pi}{T_0}A\sin(2\pi t/T_0 + \varphi)$, sehingga $\frac{d^2x}{dt^2} = -(2\pi/T_0)^2 x(t)$. Kesamaannya dengan $-(k/m)x$ untuk semua $t$ berlaku tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = k/m$, yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$.

**Latihan 28.8 ★★.**

Sebuah pegas berkekakuan $40\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ membawa kereta luncur $0.20\,\mathrm{kg}$ beramplitudo $3.0\,\mathrm{cm}$. Hitunglah [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#def-g11-mechanical-energy-em) dan laju terbesarnya. Di mana lajunya terbesar? Di mana nol?

**Solusi Latihan 28.8.**

$E_m = \tfrac12 kA^2 = \tfrac12 \times 40 \times 0.030^2 =
1.8 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$; $v_{\max} = \sqrt{2E_m/m} = \sqrt{0.18} =
0.42\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — pada $x = 0$; nol di ujung-ujungnya $x = \pm A$.

**Latihan 28.9 ★★.**

(a) Hitunglah panjang bandul sesekon ($T_0 =
2.00\,\mathrm{s}$). (b) Panjangnya bertambah $1.0\%$: dengan $\sqrt{1+x}
\approx 1 + x/2$, carilah perubahan nisbi $T_0$ dan galat hariannya.

**Solusi Latihan 28.9.**

(a) $L = gT_0^2/4\pi^2 = 0.994\,\mathrm{m}$. (b) $\Delta T_0/T_0 =
\tfrac12 \times 1.0\% = 0.5\%$: $86400 \times 0.005 \approx
4.3 \times 10^{2}\,\mathrm{s}$ — tujuh menit lambat tiap hari.

**Latihan 28.10 ★★.**

Sebuah [osilator](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [teredam](#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan kehilangan $5.0\%$ [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (a) Berapa penurunan [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)? (b) Berapa [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) untuk kehilangan setengah [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy)? (c) Apakah [pseudoperiodenya](#def-g12-oscillators-and-time-damping) jauh dari $T_0$?

**Solusi Latihan 28.10.**

(a) $A \propto \sqrt{E}$: $\sqrt{0.95} \approx 0.975$, turun $2.5\%$. (b) $0.95^n = 0.5$: $n = \ln 2/\ln(1/0.95) \approx 14$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). (c) Tidak: untuk [peredaman](#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan nilainya tetap dalam pecahan persen dari $T_0$.

**Latihan 28.11 ★★.**

Jelaskan dengan lengkung [resonansinya](#def-g12-oscillators-and-time-resonance): (a) mengapa mendorong ayunan hanya berhasil pada iramanya sendiri; (b) mengapa serdadu memutus langkah seragamnya di atas jembatan penyeberangan; (c) mengapa mesin cuci bergetar hebat pada satu laju tertentu saat memulai putaran cepatnya.

**Solusi Latihan 28.11.**

(a) Pada $f_0$ tiap dorongannya tiba selaras lalu menambahkan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy); di luar puncaknya, dorongannya berganti-ganti membantu dan menghambat. (b) Berbaris seragam merupakan pemaksaan berkala; di dekat $f_0$ jembatannya hal itu akan menaiki puncak [resonansinya](#def-g12-oscillators-and-time-resonance). (c) Tabungnya menyapu melewati [frekuensi alami](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) rangkanya saat memulai putaran cepatnya: [resonansi](#def-g12-oscillators-and-time-resonance) sesaat, lalu lewat puncaknya.

**Latihan 28.12 ★★★.**

Sebuah jam bandul, yang tepat di permukaan laut, dipindahkan ke observatorium tempat $g = 9.78\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (a) Menjadi cepat atau lambat? Berapa sekon tiap hari? (b) Berapa banyak bandulnya yang $0.994\,\mathrm{m}$ itu harus dipendekkan?

**Solusi Latihan 28.12.**

(a) $T_0 \propto 1/\sqrt{g}$: lambat, sebesar $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12
\times 0.03/9.81 = 1.5 \times 10^{-3}$, yaitu $\approx 132\,\mathrm{s}$ tiap hari. (b) $L \propto g$ pada $T_0$ yang tetap: pendekkanlah sebesar $0.994 \times
0.03/9.81 \approx 3.0\,\mathrm{mm}$.

**Latihan 28.13 ★★★.**

Sebuah kereta luncur $0.20\,\mathrm{kg}$ menaati $x(t) = A\cos(2\pi t/T_0)$, dengan $A =
4.0\,\mathrm{cm}$, $T_0 = 0.63\,\mathrm{s}$. Hitunglah laju terbesarnya, percepatan terbesarnya, [kekakuan](#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ dan [energi mekaniknya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#def-g11-mechanical-energy-em).

**Solusi Latihan 28.13.**

$v_{\max} = 2\pi A/T_0 = 2\pi \times 0.040/0.63 = 0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $a_{\max} = (2\pi/T_0)^2 A = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $k = m(2\pi/T_0)^2
= 20\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; $E_m = \tfrac12 kA^2 = 1.6 \times 10^{-2}\,\mathrm{J}$.

**Latihan 28.14 ★★★.**

Untuk mengukur $g$: sebuah bandul dengan $L = 99.5 \pm 0.2\,\mathrm{cm}$ menempuh $20$ osilasi dalam $40.1 \pm 0.2\,\mathrm{s}$. Hitunglah $g$ dan ketakpastian nisbinya (jumlahkan ketakpastian $L$ dan $T_0^2$); apakah hasilnya sesuai dengan $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$?

**Solusi Latihan 28.14.**

$T_0 = 40.1/20 = 2.005\,\mathrm{s}$; $g = 4\pi^2 L/T_0^2 = 4\pi^2
\times 0.995/4.020 = 9.77\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Ketakpastiannya $\approx 0.2\%
+ 2 \times 0.5\% = 1.2\%$, yaitu $\pm0.12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: selangnya memuat $9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — sesuai.

**Latihan 28.15 ★★★.**

Bandingkanlah penyimpan waktu menurut simpangan nisbinya (galat terhadap waktu yang berlalu): jam bandul yang kehilangan $10\,\mathrm{s}$ tiap hari, arloji kuarsa $0.5\,\mathrm{s}$ tiap bulan, jam sesium $1\,\mathrm{s}$ tiap seratus juta tahun: hitunglah ketiga nisbahnya. Sebuah jam GPS yang keliru sebesar $1\,\text{µ}\mathrm{s}$: berapa galat kedudukannya? Keluarga mana yang dibutuhkan GPS?

**Solusi Latihan 28.15.**

Bandulnya $10/86400 \approx 1.2 \times 10^{-4}$; kuarsanya $0.5/2.6 \times 10^{6}
\approx 1.9 \times 10^{-7}$; sesiumnya $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$. Galat $1\,\text{µ}\mathrm{s}$ berarti $1000 \times 30\,\mathrm{cm} =
300\,\mathrm{m}$ kedudukan: GPS membutuhkan keluarga [atomnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder).

## 28.7 Soal: Meja kerja tukang jam

**Soal 28.1.**

Soal akhir pekan — meja kerja tukang jam: sebuah jam dinding yang dikembalikan ke waktunya — lima puluh ayunan yang diukur, sebatang kuningan yang memuai saat kemarau, dorongan berbisik dari kaitannya, seorang penantang kuarsa — dengan putusan yang dijatuhkan dalam sekon tiap bulan

Sebuah jam dinding berbandul tiba di meja kerjanya dalam keadaan “berjalan keliru”. Perlakukanlah batang kuningan dan beban [beratnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) sebagai [bandul sederhana](#def-g12-oscillators-and-time-pendulum) berpanjang efektif $L$, dengan massa bebannya $m = 1.2\,\mathrm{kg}$; rodagiginya menghitung tiap osilasi penuh sebagai tepat $2.000\,\mathrm{s}$.

**Bagian I — Mengukur denyut jamnya.**

1. Mengapa mengukur waktu $50$ osilasi dan bukan satu? Taksirlah galat yang tersisa pada $T_0$ jika waktu tanggapanmu $0.2\,\mathrm{s}$ .
2. Pengukur waktunya membaca $99.4\,\mathrm{s}$ untuk $50$ osilasi: berapa [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
3. Perolehlah panjang efektif bandulnya saat ini.
4. Panjang berapa yang akan memberikan tepat $2.000\,\mathrm{s}$ ? Haruskah mur penyetelnya menaikkan atau menurunkan bebannya, dan sebanyak apa?
5. Tanpa disetel, apakah jamnya cepat atau lambat, berapa sekon tiap hari?
6. Kepekaannya terhadap $g$ : berapa [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) di Bulan ( $g = 1.62\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ )? Berapa galat hariannya di observatorium tempat $g = 9.80\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ ?

**Bagian II — Kelesuan kemarau.** Kuningan memuai: pemanasan $\Delta\theta$ meregangkan batangnya menjadi $L' = L\,(1 + \lambda\,
\Delta\theta)$, $\lambda = 1.9 \times 10^{-5}$ tiap [kelvin](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/2-spektrum-cahaya-dan-pesan-yang-dibawa-cahaya#def-g10-light-spectra-kelvin). Jamnya disetel pada $20\,{}^{\circ}\mathrm{C}$.

7. Hitunglah $\Delta L$ untuk ruangan kemarau pada $25\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
8. Dengan $\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2$ , tunjukkan bahwa $\Delta T_0 / T_0 = \tfrac12 \lambda\, \Delta\theta$ .
9. Hitunglah $\Delta T_0/T_0$ dan galat harian kemaraunya: cepat atau lambat?
10. Pertanyaan yang sama untuk lorong berhawa dingin pada $10\,{}^{\circ}\mathrm{C}$ .
11. Jam presisi zaman dahulu memakai bandul “panggangan” yang memadukan batang kuningan dengan batang baja (yang memuai kira-kira separuhnya) dalam arah yang berselang-seling. Jelaskan bagaimana ini dapat menahan lajunya.

**Bagian III — Dorongan berbisik.** Dengan kaitannya dilepaskan, ayunannya, yang dimulai pada [amplitudo](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $\theta_m = 2.00^\circ$, menyusut separuh [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dalam $280\,\mathrm{s}$; saat bertugas, dorongan mungil dari kaitannya tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) menjaga $\theta_m$ tetap.

12. Berapa [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang dihabiskan penyusutan separuhnya itu?
13. Di ujungnya bebannya telah menanjak $h = L(1 - \cos\theta_m)  \approx L\,\theta_m^2/2$ (dalam radian): perolehlah $E_m = \tfrac12  m g L\,\theta_m^2$ lalu hitunglah ( [Bab 18](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/18-energi-mekanik-dan-kekekalannya#ch-g11-mechanical-energy) ).
14. [Energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) sebanding dengan kuadrat [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) : berapa bagian $E_m$ yang hilang tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ?
15. Perolehlah [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap dorongannya, dan [daya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-power) rata-rata yang dibutuhkan.
16. Beban penggeraknya $M = 2.5\,\mathrm{kg}$ turun sejauh $h =  1.0\,\mathrm{m}$ tiap pekan: cukupkah [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) itu, pada dayaguna berapa?

**Bagian IV — Penantang kuarsanya.** Sebuah gerak kuarsa berosilasi pada $f = 32\,768\,\mathrm{Hz}$ dan menyimpang sekitar $0.3\,\mathrm{s}$ tiap bulan; bandul yang dipulihkan masih menyimpang $0.5\,\mathrm{s}$ tiap hari.

17. Hitunglah [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) kuarsanya. Tunjukkan bahwa $32\,768 = 2^{15}$ : mengapa pangkat dua justru yang diinginkan sirkuit sebuah arloji?
18. Hitunglah simpangan nisbi kuarsanya dan bandul yang dipulihkan itu, lalu masing-masing dalam sekon tiap bulan. Siapa yang menang, dengan faktor berapa?
19. Baku sesium — $9\,192\,631\,770$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) membentuk satu sekon — menyimpang $1\,\mathrm{s}$ tiap seratus juta tahun: berapa simpangan nisbinya? Berapa orde besaran di bawah kuarsanya, dan mengapa GPS menuntutnya?
20. Putusannya, satu kalimat beserta angkanya: apa yang diperoleh jam yang dipulihkan itu di dindingnya, dan siapa yang kini memiliki sekon?

**Solusi Soal 28.1.**

**1.** Galat tanggapan $\approx 0.2\,\mathrm{s}$ itu dibagi $50$: sekitar $4\,\mathrm{ms}$ pada $T_0$.

**2.** $T = 99.4/50 = 1.988\,\mathrm{s}$.

**3.** $L = gT^2/4\pi^2 = 9.81 \times 1.988^2/4\pi^2 \approx
0.982\,\mathrm{m}$.

**4.** $L = 0.994\,\mathrm{m}$ (bandul sesekonnya): turunkanlah bebannya, memanjangkannya sebesar $\approx 1.2\,\mathrm{cm}$.

**5.** Terlalu pendek, jadi terlalu gesit: cepat, sebesar $(2.000 -
1.988)/1.988 \times 86400 \approx 5.2 \times 10^{2}\,\mathrm{s} \approx 8.7$ menit tiap hari.

**6.** Bulan: $\times\sqrt{9.81/1.62} = 2.46$ — tak terpakai. Observatoriumnya: $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 0.01/9.81 =
5.1 \times 10^{-4}$: kehilangan $\approx 44\,\mathrm{s}$ tiap hari.

**7.** $\Delta L = L\lambda\,\Delta\theta = 0.994 \times
1.9 \times 10^{-5} \times 5.0 \approx 9.4 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} \approx
0.1\,\mathrm{mm}$.

**8.** $T' = 2\pi\sqrt{L(1 + \lambda\Delta\theta)/g} =
T_0\sqrt{1 + \lambda\Delta\theta} \approx T_0\,(1 + \tfrac12
\lambda\Delta\theta)$.

**9.** $\Delta T_0/T_0 = \tfrac12 \times 1.9 \times 10^{-5} \times
5.0 = 4.8 \times 10^{-5}$: $86400 \times 4.8 \times 10^{-5} \approx
4.1\,\mathrm{s}$ tiap hari, lambat (batangnya memanjang, [periodenya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) memanjang).

**10.** $\Delta\theta = -10\,\mathrm{K}$: $\Delta T_0/T_0 =
-9.5 \times 10^{-5}$, memperoleh $\approx 8.2\,\mathrm{s}$ tiap hari.

**11.** Baja dan kuningan memuai berbeda; digantung dalam arah yang berselang-seling, batang kuningannya menurunkan bebannya sementara batang bajanya menaikkannya. Diukur agar kedua pergeserannya [saling meniadakan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-compensate), panjang efektifnya — dan lajunya — bertahan melewati musimnya.

**12.** $280/2.000 = 140$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**13.** $\theta_m = 2.00^\circ = 0.0349\,\mathrm{rad}$: $E_m =
\tfrac12 \times 1.2 \times 9.81 \times 0.994 \times 0.0349^2 \approx
7.1 \times 10^{-3}\,\mathrm{J}$.

**14.** Tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [amplitudonya](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) menyusut sebesar $2^{-1/140} \approx
0.9951$, [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) sebesar $0.9951^2 \approx 0.990$: sekitar $1.0\%$ $E_m$ tiap [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**15.** Dorongannya $\approx 0.010 \times 7.1 \times 10^{-3} =
7.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; [dayanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/17-usaha-sebuah-gaya#def-g11-work-of-force-power) $7.1 \times 10^{-5}/2.0 \approx 3.5 \times 10^{-5}\,\mathrm{W}$ — puluhan mikrowatt.

**16.** Sepekan adalah $604800/2.0 = 3.02 \times 10^{5}$ [periode](#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), yang menuntut $3.02 \times 10^{5} \times 7.1 \times 10^{-5} \approx 21\,\mathrm{J}$; bebannya memasok $Mgh = 2.5 \times 9.81 \times 1.0 = 24.5\,\mathrm{J}$: cukup, pada dayaguna $21/24.5 \approx 88\%$.

**17.** $T = 1/32\,768 = 30.5\,\text{µ}\mathrm{s}$. $32\,768
= 2^{15}$: lima belas tingkat pembagi dua mengubah [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) hablurnya menjadi detak $1\,\mathrm{Hz}$ yang tepat.

**18.** Kuarsanya: $0.3/2.6 \times 10^{6} \approx 1.2 \times 10^{-7}$. Bandulnya: $0.5/86400 \approx 5.8 \times 10^{-6}$, yaitu $\approx
15\,\mathrm{s}$ tiap bulan. Kuarsanya menang dengan faktor $\approx 50$.

**19.** $1/3.2 \times 10^{15} \approx 3 \times 10^{-16}$: sembilan orde besaran di bawah kuarsanya. GPS mengukur waktu isyaratnya sampai nanosekon — masing-masing $30\,\mathrm{cm}$ perjalanan cahaya — sehingga hanya jam [atom](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder) yang memadai.

**20.** Setelah dipulihkan, jam dindingnya bertahan pada $\pm15\,\mathrm{s}$ tiap bulan terhadap $\pm0.3\,\mathrm{s}$ milik kuarsanya: simpanlah ia demi loncengnya, percayalah kuarsanya demi keretanya — dan sekon itu sendiri kini milik [atom](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/13-interaksi-fundamental#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sesium.