---
title: "Osilasi Listrik Bebas: RLC"
book: "Fisika Sekolah Menengah Atas"
subject: physics
language: id
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/31-osilasi-listrik-bebas-rlc
---

# Bab 31 — Osilasi Listrik Bebas: RLC

Putarlah tombol [berat](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/4-gravitasi-semesta-dan-berat#def-g10-universal-gravitation-weight) sebuah radio loteng dan stasiunnya berbaris melewati jarumnya: sebuah suara, biola, desis, lalu sebuah suara lagi. Di balik papannya tidak ada motor dan tidak ada komputer — sebuah [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid), sebuah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang kepingnya bersilang dan diputar tombolnya, dan seuntai kawat antena. Bab ini menyambungkan kedua tangki [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) bab lalu ([Bab 30](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#ch-g12-rc-rl-circuits)) kepala ke kepala lalu menemukan bandul tercepat yang pernah dibangun: muatan yang berayun maju mundur, sampai jutaan kali tiap sekon, pada irama yang dipilih tombolnya.

## 31.1 Bandul listrik: sirkuit LC

Isilah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ sampai tegangan $U_0$ — kepingnya lalu memegang $\pm Q_0$ dengan $Q_0 = C U_0$ — lalu pada $t = 0$ sambungkanlah ke [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) *ideal* $L$, yang [hambatannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance) nol. Tidak ada sumber di mana pun pada simpalnya: apa pun yang terjadi berikutnya, sirkuitnya melakukannya sendiri.

![Sirkuit LC: sebuah kapasitor yang terisi sampai Q_0, sebuah sakelar, sebuah kumparan ideal. Menutup K membiarkan muatannya tumpah melalui kumparannya — dan kumparannya, yang membenci perubahan, tidak akan membiarkannya berhenti.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*[Sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): sebuah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang terisi sampai $Q_0$, sebuah sakelar, sebuah [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ideal. Menutup $K$ membiarkan muatannya tumpah melalui [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) — dan [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid), yang membenci perubahan, tidak akan membiarkannya berhenti.*

**Proposisi 31.1 (Persamaan LC).**

Pada simpal LC yang ideal muatan $q(t)$ keping atasnya menaati

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{yaitu}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**Bukti.** Sepanjang simpalnya [tegangannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-voltage) berjumlah nol ([Proposisi 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $u_L + u_C = 0$. [Kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) memberikan $u_C = q/C$ dan [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $u_L = L\,di/dt$ ([Definisi 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)), dengan $i = dq/dt$ menghitung muatan yang tiba pada keping atasnya ([Proposisi 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)); sulihkanlah. ∎

**Teorema 31.2 (Osilasi bebas sirkuit LC).**

Dilepaskan pada $t = 0$ dengan $q(0) = Q_0$ dan $i(0) = 0$, sirkuitnya berosilasi:

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

dengan arus puncak $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**Bukti.** Periksalah dengan penyulihan. Dengan menurunkannya, $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — yaitu $i(t)$ yang disebutkan — dan sekali lagi $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$, yang sama dengan $-q/(LC)$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. Dan $q(0) = Q_0$, $i(0) = 0$. Bahwa tidak ada fungsi *lain* yang cocok dengan persamaannya dan awalnya diterima saja, persis seperti pada pegasnya ([Catatan 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**Definisi 31.3 (Periode dan frekuensi alami).**

*Periode alami* sebuah [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) adalah $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$; *frekuensi alaminya* adalah

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

Pemeriksaan dimensinya: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ dan $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, sehingga $LC$ membawa $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ adalah waktu, sebagaimana seharusnya.

**Contoh 31.4 (Angka yang pertama).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ dengan $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$: $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, sehingga $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ dan $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — sebuah nada yang terdengar. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ dengan $C = 100\,\mathrm{pF}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — sebuah [frekuensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) radio. Hanya *hasil kali* $LC$ yang menetapkan iramanya.

**Catatan 31.5 (Terpaut seperempat periode).**

Arusnya terpaut seperempat [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [fasenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-phase) dari muatannya: $i = 0$ ketika $q = \pm Q_0$ (kepingnya penuh, alirannya berbalik) dan $i = \pm I_0$ ketika $q = 0$ (kepingnya kosong, alirannya deras penuh) — persis seperti bandul, yang diam di ujungnya dan tercepat di dasarnya.

![Muatan dan arus sirkuit LC yang bebas: arusnya memuncak tiap kali muatannya melintasi nol, terpaut seperempat periode.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*Muatan dan arus [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) yang bebas: arusnya memuncak tiap kali muatannya melintasi nol, terpaut seperempat [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).*

## 31.2 Waltz energinya

**Proposisi 31.6 (Kekekalan energi yang tersimpan).**

Pada [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) yang ideal [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpan seluruhnya ([Proposisi 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

bernilai tetap: seluruhnya di [kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ketika $q = \pm Q_0$, seluruhnya di [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ketika $i = \pm I_0$.

**Bukti.** Turunkanlah: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} +
Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ menurut [Proposisi 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). Nilainya dibaca pada $t = 0$ (seluruhnya [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)), dan sekali lagi pada saat seluruhnya arus $q = 0$ — dari situ $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$, yang memulihkan $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ hanya dengan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy). ∎

![Satu periode waltznya: energinya berpindah dari kepingnya ke kumparannya lalu kembali dua kali tiap periode, dengan jumlahnya terpaku pada Q_02/2C — persis gambar osilator pegas–massanya, yang dilabeli ulang.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-831f34754771.svg)

*Satu [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) waltznya: [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) berpindah dari kepingnya ke [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) lalu kembali dua kali tiap [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), dengan jumlahnya terpaku pada $Q_0^2/2C$ — persis gambar [osilator pegas–massanya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period), yang dilabeli ulang.*

**Contoh 31.7 (Waltznya, yang terukur).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ yang terisi sampai $U_0 = 10\,\mathrm{V}$, disambungkan ke $L = 10\,\mathrm{mH}$: [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$, [periodenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, dan arus puncak $I_0 = U_0\sqrt{C/L} = 0.10\,\mathrm{A}$ yang tercapai seperempat [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) setelah sakelarnya menutup.

## 31.3 Sirkuit yang sesungguhnya: osilasi teredam

Setiap [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) yang sesungguhnya digulung dari kawat yang berhambatan: simpal yang jujur adalah sirkuit *RLC* seri, dan [hambatannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance) memungut waltznya.

**Definisi 31.8 (Rezim pseudoperiodik dan aperiodik).**

Pada sirkuit RLC seri resistornya melesapkan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) lewat pemanasan Joule ([Bab 12](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#ch-g11-circuits-and-power)): osilasi bebasnya menjadi *[teredam](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping)*. Dua rezim, yang terbaca pada [osiloskop](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope):

- *pseudoperiodik* ( $R$ kecil): sirkuitnya masih berosilasi di dalam [selubung](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/3-pembiasan-cahaya#def-g10-refraction-fiber) yang menyusut, dengan waktu pengulangan — yaitu *pseudoperiode* — yang dekat dengan $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ apabila [peredamannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan;
- *aperiodik* ( $R$ besar): muatannya merayap kembali ke nol tanpa pernah melampauinya — tanpa osilasi sama sekali.

Persis cerminan [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mekanik yang [teredam](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping) ([Definisi 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![Dua nasib sirkuit RLC yang sesungguhnya: osilasi yang meredup di dalam selubung eksponensial (bergaris putus-putus), atau rayapan ke nol tanpa osilasi. Ketika teredam ringan, pseudoperiodenya tetap T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-994bb6cbbd04.svg)

*Dua nasib [sirkuit RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) yang sesungguhnya: osilasi yang meredup di dalam [selubung](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/3-pembiasan-cahaya#def-g10-refraction-fiber) eksponensial (bergaris putus-putus), atau rayapan ke nol tanpa osilasi. Ketika [teredam](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan, [pseudoperiodenya](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) tetap $\approx T_0$.*

**Catatan 31.9 (Memelihara osilasinya).**

Untuk menjaga [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) tetap hidup, suapilah sirkuitnya tepat sebanyak [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang dibakar [hambatannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance), sekali tiap daur dan *selaras* dengan ayunannya: sebuah penguat melakukan bagi simpal RLC apa yang dilakukan dorongan kaitan bagi bandulnya ([Bab 28](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#ch-g12-oscillators-and-time)). Setiap arloji kuarsa dan setiap pemancar radio adalah [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) terpelihara semacam itu, yang berjalan pada [frekuensi alaminya](#def-g12-rlc-oscillations-period) $f_0$.

## 31.4 Kembaran mekaniknya

**Proposisi 31.10 (Kamus listrik–mekanik).**

Persamaan LC adalah persamaan pegas–massa ([Proposisi 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)) kata demi kata:

| [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | kereta luncur pegas–massa |
| --- | --- | --- |
| [2pt] muatan $q$ | $\longleftrightarrow$ | kedudukan $x$ |
| arus $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | kecepatan $v = dx/dt$ |
| [induktansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | massa $m$ |
| kebalikan [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [kekakuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [hambatan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [gesekan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/6-gaya-dan-asas-kelembaman#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

Persamaan yang sama, penyelesaian yang sama: setiap hasil tentang salah satu [osilatornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) seketika beralih ke bahasa yang lain.

**Bukti.** Bandingkanlah [Proposisi 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) dengan $m\,d^2x/dt^2 = -kx$: dengan menyulihkan $q \to x$, $L \to m$, $1/C \to k$ yang satu berubah menjadi yang lain, dan $LC \to m/k$ mengubah $2\pi\sqrt{LC}$ menjadi $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**Contoh 31.11 (Menala radio).**

Antenanya menyuapkan bisikan *setiap* stasiun ke dalam simpal LC, tetapi hanya yang memancar di dekat $f_0$ yang mendorong selaras lalu menumpuk — [resonansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([Definisi 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). Tombolnya memutar keping sebuah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variabel: mengubah $C$ menggeser $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, dan jarumnya menyerahkan satu stasiun kepada telinganya pada satu waktu. Di sisi pemancarnya, sebuah [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) terpelihara ([Catatan 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) menetapkan [frekuensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) siarannya; di dalam arloji, sebutir hablur kuarsa — kembaran mekanik yang [kekakuannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-spring) memesona — memainkan peran yang sama.

## 31.5 Latihan

**Latihan 31.1 ★.**

Hitunglah $T_0$ dan $f_0$ untuk (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{pF}$. Dengan faktor berapa [frekuensinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) berbeda?

**Solusi Latihan 31.1.**

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — berselisih faktor $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**Latihan 31.2 ★.**

Dengan $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ dan $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, tunjukkan [satuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) demi [satuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/1-orde-besar-mengukur-alam-semesta#def-g10-orders-of-magnitude-unit) bahwa $\sqrt{LC}$ adalah waktu. Mengapa $2\pi$ itu tidak mengubah apa pun?

**Solusi Latihan 31.2.**

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$, sehingga $\sqrt{LC}$ bersatuan sekon. $2\pi$ adalah bilangan murni — tanpa dimensi untuk diubah.

**Latihan 31.3 ★.**

Sebuah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $470\,\mathrm{nF}$ diisi sampai $6.0\,\mathrm{V}$. Hitunglah $Q_0$ dan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpannya; lukiskanlah, tanpa perhitungan, apa yang menyusul ketika [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) itu disambungkan ke [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) yang ideal.

**Solusi Latihan 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 =
\tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. Muatannya berosilasi pada $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, arusnya terpaut seperempat [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [fasenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-phase), [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) berpindah antara kepingnya dan [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid), dengan jumlahnya tetap.

**Latihan 31.4 ★.**

Sebuah [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) menyusul $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ dalam mikrocoulomb, dengan $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. Bacalah $Q_0$; hitunglah $f_0$, $q(T_0/2)$, $i(0)$, dan arus puncaknya $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**Solusi Latihan 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $i(0) = 0$ (kosinusnya mendatar pada $t=0$); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$.

**Latihan 31.5 ★.**

Pada saat mana dalam daurnya [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) seluruhnya berada di [kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)? Seluruhnya di [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid)? Apa padanan mekanik tiap saat itu bagi sebuah bandul?

**Solusi Latihan 31.5.**

Seluruhnya di [kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ketika $q = \pm Q_0$, $i = 0$ ($t = 0$, $T_0/2$, $T_0$, …): ujung ayunan bandulnya. Seluruhnya di [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ketika $q = 0$, $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$, $3T_0/4$, …): titik terendah dan tercepat bandulnya.

**Latihan 31.6 ★★.**

Periksalah dengan penyulihan bahwa $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ memenuhi $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ tepat ketika $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Solusi Latihan 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$, sehingga $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ untuk semua $t$ tepat ketika $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, yaitu $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Latihan 31.7 ★★.**

Sebuah stasiun [gelombang](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) panjang memancar pada $198\,\mathrm{kHz}$. Dengan $C = 220\,\mathrm{pF}$, [induktansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) berapa yang menalanya?

**Solusi Latihan 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**Latihan 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ yang terisi sampai $10\,\mathrm{V}$ mengosong ke dalam $L = 10\,\mathrm{mH}$. Hitunglah [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpannya, arus puncaknya (dengan [kekekalan energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#thm-g10-energy-conservation-conservation)), dan saat arus itu pertama kali tercapai.

**Solusi Latihan 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; $\tfrac12 LI_0^2 = E$ memberikan $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$, yang pertama kali tercapai pada $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx
0.16\,\mathrm{ms}$.

**Latihan 31.9 ★★.**

Jelaskan mengapa $E_C$ dan $E_L$ berosilasi pada [frekuensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$, bukan $f_0$. Tunjukkan bahwa pada $t = T_0/8$ (bermula dari $q = Q_0$) [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) terbagi tepat separuh.

**Solusi Latihan 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$, dan $\cos^2$ berulang tiap *setengah* putaran: dua kali pengisian [kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) tiap [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), sehingga $2f_0$. Pada $t = T_0/8$ [fasenya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-phase) $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$, sehingga $E_C = E_L = E/2$.

**Latihan 31.10 ★★.**

Pada [osilogram](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) sebuah [sirkuit RLC](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) yang [teredam](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan, puncak berturut-turutnya membaca $4.0\,\mathrm{V}$ lalu $3.0\,\mathrm{V}$. Dengan menganggap nisbahnya tetap tetap, ramalkanlah puncak keenam setelah yang $4.0\,\mathrm{V}$ itu. Berapa bagian *[energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy)* yang bertahan tiap [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes)? Apa yang dapat kamu katakan tentang [pseudoperiodenya](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) sendiri?

**Solusi Latihan 31.10.**

Nisbahnya $3.0/4.0 = 0.75$ tiap [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): puncak keenamnya $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. [Energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) $\propto$ kuadrat [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): $0.75^2 \approx 56\%$ bertahan tiap [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). [Pseudoperiodenya](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) tetap $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: [peredaman](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping) ringan menyusutkan [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), hampir tidak iramanya.

**Latihan 31.11 ★★.**

Sebuah [sirkuit LC](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) memiliki $L = 0.50\,\mathrm{H}$ dan $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. Hitunglah $T_0$; lalu, dengan kamusnya ([Proposisi 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy)), carilah [kekakuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ yang memberi kereta luncur $0.50\,\mathrm{kg}$ [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang sama, lalu periksalah.

**Solusi Latihan 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times
3.16 \times 10^{-3} \approx 20\,\mathrm{ms}$. Kamusnya: $k = m/(LC) =
0.50/1.0 \times 10^{-5} = 5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; periksalah $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — $20\,\mathrm{ms}$ yang sama.

**Latihan 31.12 ★★★.**

Sebuah penala memakai $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ dan [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variabel yang menyapu $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$. Hitunglah kedua [frekuensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ujungnya. Tunjukkan bahwa $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, sehingga sepuluh kali lipat pada $C$ hanya memberikan $\sqrt{10} \approx 3.2$ pada [frekuensinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**Solusi Latihan 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$; $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. Pada $L$ yang tetap, $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: $C$ sepuluh kali lipat, hanya $\sqrt{10} \approx 3.2$ pada $f_0$ — seperti yang ditemukan.

**Latihan 31.13 ★★★.**

Sebuah [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) yang sesungguhnya membuat sirkuitnya kehilangan $5.0\%$ [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) tiap [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes). Setelah berapa [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) menyusut separuh? Berapa [amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) saat itu, sebagai bagian dari awalnya? Pada $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$, berapa lama itu dalam mikrosekon?

**Solusi Latihan 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$, jadi sekitar $14$ [periode](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). [Amplitudonya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $\propto \sqrt{E}$: turun sampai $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ nilai awalnya. Pada $1.0\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: sekitar $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Latihan 31.14 ★★★.**

Sebuah [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) arloji menyimpan $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ dan kehilangan $2.0\%$ darinya tiap daur pada $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. [Daya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-power) rata-rata berapa yang harus dipasok sirkuit pemeliharanya? Mengapa dorongannya harus tiba selaras dengan osilasinya?

**Solusi Latihan 31.14.**

Susutnya tiap daur $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$, pada $32\,768$ daur tiap sekon: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11}
\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — di bawah semikrowatt, bertahun-tahun dengan sebuah sel kancing. Harus selaras, sebab hanya dorongan pada [fase](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-phase) yang tepat yang *menambahkan* [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) ([resonansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-resonance)); jika tidak selaras ia akan mengerem ayunannya.

**Latihan 31.15 ★★★.**

Setelah tiap tepi sebuah [sinyal](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-signal) persegi, kabel seorang pelaku percobaan “berdenting” pada $25\,\mathrm{MHz}$; [induktansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) sasarnya sekitar $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. Taksirlah [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) sasar yang bertanggung jawab. Ke rezim mana sebuah resistor seri kecil yang ditambahkan seharusnya mendorong sirkuitnya, dan mengapa itu menyembuhkan dentingnya?

**Solusi Latihan 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. Resistornya seharusnya mendorong simpalnya ke [rezim aperiodik](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): muatannya lalu mengendap tanpa melampaui — tanpa osilasi, tanpa dentingan.

## 31.6 Soal: Membangun radio kristal

**Soal 31.1.**

Soal akhir pekan — membangun radio kristal: satu kumparan, satu kapasitor variabel, sebuah dioda dan sebuah telinga — tanpa baterai, tanpa penguat, dan warta petang tiba dengan energi gelombangnya sendiri

Sebuah perkakas dari loteng kakek: sebuah [kumparan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ yang digulung pada tabung kardus, sebuah [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variabel yang kepingnya berputar dari $20\,\mathrm{pF}$ sampai $480\,\mathrm{pF}$, sebuah dioda kristal, sebuah telinga, dan $20\,\mathrm{m}$ kawat antena. Stasiun yang hendak ditangkap memancar antara $530\,\mathrm{kHz}$ dan $1700\,\mathrm{kHz}$.

**Bagian I — Simpal penalanya.**

1. [Kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , yang sudah terisi, dibiarkan mengosong ke dalam [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) : tulislah hukum simpalnya lalu ubahlah menjadi persamaan diferensial untuk $q(t)$ .
2. Periksalah dengan penyulihan bahwa $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ menyelesaikannya, asalkan $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. Periksalah dengan analisis dimensi bahwa $\sqrt{LC}$ adalah waktu.
4. Dengan tombolnya di $C = 330\,\mathrm{pF}$ : hitunglah $T_0$ dan $f_0$ . Apakah simpalnya tertala di dalam pitanya?
5. Carilah [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang menala tepat pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ .

**Bagian II — [Kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) variabelnya.**

6. Hitunglah [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang dibutuhkan untuk $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. Hitunglah [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang dibutuhkan untuk $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. Hitunglah kedua [frekuensi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) yang sungguh dicapai [kapasitor](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ milik perkakas itu. Apakah ia meliputi seluruh pitanya?
9. Tunjukkan bahwa $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ pada $L$ yang tetap; dengan faktor berapa $C$ harus berubah untuk menggandakan $f_0$ ?
10. Kepingnya membuka secara linear, sehingga $C$ turun mantap sembari tombolnya berputar. Jelaskan mengapa stasiunnya lalu berdesakan di salah satu ujung tombolnya — dan ujung yang mana.

**Bagian III — [Energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) dan [peredamannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-damping).** Tertala pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$), antenanya sesaat mengisi [kapasitornya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) sampai $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. Hitunglah muatan $Q_0$ dan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpannya $E$ .
12. Hitunglah arus puncaknya $I_0$ , dengan [kekekalan energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. [Hambatan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/12-rangkaian-listrik-dan-daya#def-g11-circuits-and-power-resistance) [kumparannya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/15-kemagnetan-dan-medan-magnet#def-g11-magnetic-fields-solenoid) melesapkan $4.0\%$ [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang tersimpannya tiap daur: setelah berapa daur [energinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) menyusut separuh?
14. Berapa lama itu dalam mikrosekon? Mengapa “dentingan” ini sendirian tidak dapat memainkan warta petangnya?
15. Jelaskan mengapa [gelombang](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) yang tiba menjaga simpalnya tetap berayun hanya ketika tertala pada stasiun itu — dan apa yang memelihara osilasinya di *pemancarnya* ( [Catatan 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**Bagian IV — Kembaran mekaniknya.**

16. Dengan kamusnya ( [Proposisi 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) beserta kereta luncur bermassa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ , hitunglah [kekakuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ pegas yang menyamai sirkuit yang tertala itu.
17. Sebuah pegas mobil yang kaku memiliki $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Berilah ulasan: dapatkah sistem pegas–massa di atas meja berosilasi pada megahertz?
18. Pertahankanlah $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ yang wajar sebagai gantinya: massa berapa yang berosilasi pada $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
19. Benda [nyata](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/10-lensa-bayangan-dan-mata#def-g11-lenses-and-eye-images) apa yang merupakan [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) mekanik seringan bulu dan sekaku itu, dan di mana kamu menemuinya lebih awal tahun ini ( [Bab 28](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#ch-g12-oscillators-and-time) )?
20. Lembar spesifikasinya, satu kalimat: pita yang disapu radiomu, [kapasitansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/30-sirkuit-rc-dan-rl#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) yang memilih $1.00\,\mathrm{MHz}$ , berapa lama satu dentingan bertahan, dan apa yang tetap memainkan wartanya.

**Solusi Soal 31.1.**

**1.** Hukum simpalnya: $u_L + u_C = 0$, dengan $u_C = q/C$, $u_L = L\,di/dt$, $i = dq/dt$: $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$, sehingga persamaannya berbunyi $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$, yang benar untuk semua $t$ tepat ketika $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ adalah waktu.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7}
\approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — di dalam $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** Rumus yang sama pada $530\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** Pada $1700\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$; $C = 20\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — seluruh pitanya, dengan sisa di kedua ujungnya.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$; menggandakan $f_0$ menuntut membagi $C$ dengan $4$.

**10.** Karena $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, langkah $C$ yang sama menggeser $f_0$ perlahan pada $C$ yang besar dan cepat pada $C$ yang kecil: jarak tertentu antarstasiun lalu hanya menuntut sedikit putaran tombolnya — stasiunnya berdesakan di ujung yang berfrekuensi tinggi ($C$ rendah).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$: $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert
\approx 17$ daur.

**14.** Pada $1.00\,\mathrm{MHz}$, $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: dentingannya menyusut separuh dalam sekitar $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. Satu dentingan mati dalam beberapa mikrosekon; musiknya menuntut simpalnya disuapi terus-menerus.

**15.** [Gelombangnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) mendorong jutaan kali tiap sekon; hanya ketika [frekuensinya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) menyamai $f_0$ dorongannya tiba selaras lalu membangun ayunannya — [resonansi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-resonance); stasiun yang tidak tertala mendorong sama seringnya melawan maupun searah dengannya. Di pemancarnya, sebuah penguat mengembalikan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) yang terlesap tiap daur: sebuah [osilator](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) terpelihara.

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $k = m/(LC) =
0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** Sekitar $10^8$ kali pegas mobilnya: tidak ada sistem pegas–massa di atas meja yang mencapai megahertz — [kekakuan](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/28-osilator-mekanik-dan-pengukuran-waktu#def-g12-oscillators-and-time-spring) dan massa sehari-hari terlalu lamban.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — beberapa nanogram, sebutir debu.

**19.** Sebutir hablur kuarsa: sekeping seringan bulu dan amat kaku yang bernyanyi pada [frekuensi alaminya](#def-g12-rlc-oscillations-period) — penyimpan waktu yang ditemui lebih awal tahun ini.

**20.** Dengan $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ dan $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ simpalnya menyapu sekitar $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$, meliputi pitanya; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ memilih $1.00\,\mathrm{MHz}$; jika dibiarkan sendiri dentingannya menyusut separuh dalam $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$, tetapi [gelombang](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) milik stasiunnya, yang beresonansi selaras, menyuapi kembali simpalnya — wartanya bermain dengan [energi](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/9-energi-bentuk-dan-kekekalannya#def-g10-energy-conservation-energy) [gelombangnya](https://one-course.com/books/physics/2/id/chapter/8-sinyal-dan-gelombang#def-g10-signals-and-waves-wave) sendiri.