---
title: "Ordegrootten: het heelal opmeten"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten
---

# Hoofdstuk 1 — Ordegrootten: het heelal opmeten

Natuurkunde begint waar de mening ophoudt: bij een meting. Maar wat de natuurkunde meet, beslaat een absurd bereik — een atoomkern meet ongeveer $10^{-15}\,\mathrm{m}$, het waarneembare heelal ongeveer $10^{27}\,\mathrm{m}$: een factor $10^{42}$, veel meer dan een voorstellingsvermogen aankan. Dit hoofdstuk zet het gereedschap klaar dat dat bereik temt — eenheden, machten van tien, [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — en twee gewoonten die op elke volgende bladzijde terugkeren: schrijf de [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) op, en controleer de [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 Eenheden: de grammatica van het meten

**Definitie 1.1 (Natuurkundige grootheden en SI-eenheden).**

Een *natuurkundige grootheid* is een eigenschap van de wereld die je kunt meten: een lengte, een duur, een massa. Meten is tellen hoe vaak een referentiegrootheid — de *eenheid* — erin past. Het *Internationaal Stelsel van Eenheden* (SI) legt zeven basiseenheden vast; drie ervan lopen door dit hele boek heen: de *meter* ($\mathrm{m}$) voor lengte, de *kilogram* ($\mathrm{kg}$) voor massa en de *seconde* ($\mathrm{s}$) voor tijd. (De vier andere — ampère, kelvin, mol, candela — komen erbij zodra elektriciteit, warmte en stofhoeveelheid in het verhaal stappen.)

**Opmerking 1.2 (Een getal zonder eenheid is geen resultaat).**

“De afstand is $384$” zegt niets: $384\,\mathrm{mm}$, $384\,\mathrm{km}$ en $384\,\mathrm{Mm}$ zijn drie verschillende werelden (de laatste is toevallig de afstand tot de Maan). In 1999 verloor NASA de *Mars Climate Orbiter* van 327 miljoen dollar doordat het ene programma stuwkrachten in pound-force berekende en het andere ze als newton las. Huisregel, vanaf deze regel tot het einde van het boek: elk gemeten of berekend getal draagt zijn [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), op elke regel van de berekening.

**Definitie 1.3 (SI-voorvoegsels).**

Een *voorvoegsel* vóór een [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) vermenigvuldigt die [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) met een vaste macht van tien:

| femto | f | $10^{-15}$ | centi | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| pico | p | $10^{-12}$ | kilo | k | $10^{3}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ | mega | M | $10^{6}$ |
| micro | $\mu$ | $10^{-6}$ | giga | G | $10^{9}$ |
| milli | m | $10^{-3}$ | tera | T | $10^{12}$ |

Zo is $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ en $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**Voorbeeld 1.4 (Voorvoegsels lezen).**

Groen licht heeft een golflengte van ongeveer $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$; een mensenhaar is ongeveer $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ dik; de Maan draait op $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ om de Aarde. Een regendruppel heeft een massa van ongeveer $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — merk op dat de basiseenheid van massa als enige van de zeven zelf al een [voorvoegsel](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) draagt.

## 1.2 Wetenschappelijke notatie en significante cijfers

**Definitie 1.5 (Wetenschappelijke notatie).**

Een getal staat in *wetenschappelijke notatie* wanneer het geschreven is als

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ geheel.}
$$

De factor $a$ heet de *mantisse*, het gehele getal $n$ de *exponent*. Zo is $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ en $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**Propositie 1.6 (Rekenen met machten van tien).**

Voor alle gehele getallen $m$ en $n$:

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**Gedeeltelijk bewijs.** Voor positieve [exponenten](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) volstaat het de factoren te tellen: $10^{m} \times 10^{n}$ is een product van $m + n$ tientallen, en $(10^m)^n$ rijgt $n$ groepen van $m$ tientallen aaneen. Dat we $10^{-n}$ schrijven voor $1/10^{n}$ is precies de afspraak die de eerste regel voor alle gehele getallen waar houdt: ze dwingt $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$ af. Het bijbehorende wiskundevolume behandelt de rekenregels voor [exponenten](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) volledig. ∎

**Voorbeeld 1.7 (Vermenigvuldigen in wetenschappelijke notatie).**

Hoeveel Aardes passen er, naar massa, in de Zon? Met $m_{\text{Zon}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ en $m_{\text{Aarde}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$:

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

[Mantisses](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) en [exponenten](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) worden apart behandeld; het eindantwoord wordt opnieuw genormeerd zodat de [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) weer in $[1, 10)$ terechtkomt.

**Definitie 1.8 (Significante cijfers).**

De *significante cijfers* van een gemeten getal zijn de cijfers waarvoor de meting werkelijk instaat: alle opgeschreven cijfers behalve de nullen vooraan. Nullen achteraan tellen wel mee — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (drie significante cijfers) belooft meer dan $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (twee). De [wetenschappelijke notatie](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) laat het aantal in één oogopslag zien: de [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) draagt precies de significante cijfers.

**Methode 1.9 (Hoeveel cijfers je overhoudt).**

Een berekend resultaat kan niet nauwkeuriger zijn dan zijn ingrediënten.

1. Houd bij een product of quotiënt evenveel [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) over als de *minst* nauwkeurige factor er heeft.
2. Rond alleen het eindantwoord af, nooit de tussenstappen.
3. Bij twijfel: drie [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) is de werkprecisie van dit boek.

**Voorbeeld 1.10 (De omtrek van de Aarde).**

De diameter van de Aarde is $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (drie [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)), dus haar omtrek is $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — drie cijfers, niet de acht die de rekenmachine toont. Wie $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ opschrijft, beweert de planeet op de [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) nauwkeurig te kennen.

![Een liniaal waarop elke even grote stap vermenigvuldigt met tien. De kleine streepjes zijn 200, 300, …, 900: een hele decade verdringt zich in elk segment. Op deze liniaal leunt 300 naar 102 en 7000 naar 104 — hun ordegrootten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*Een liniaal waarop elke even grote stap *vermenigvuldigt* met tien. De kleine streepjes zijn $200, 300, \dots, 900$: een hele decade verdringt zich in elk segment. Op deze liniaal leunt $300$ naar $10^{2}$ en $7000$ naar $10^{4}$ — hun [ordegrootten](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).*

## 1.3 De ladder van het heelal

**Definitie 1.11 (Ordegrootte).**

De *ordegrootte* van een grootheid is de macht van tien die er het dichtst bij ligt: schrijf de grootheid als $a \times 10^{n}$ met $1 \leq a < 10$ en neem $10^{n}$ als $a < 5$, en $10^{n+1}$ als $a \geq 5$. (De precieze grensafspraak doet er nooit toe: een uitspraak over ordegrootte geldt sowieso maar op een factor tien na.)

**Voorbeeld 1.12 (Ordegrootten).**

Een mensenleven duurt ongeveer $80$ jaar, dus $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — een paar miljard seconden, besteed ze goed. Een mens is $1.7\,\mathrm{m}$ lang: orde $10^{0}\,\mathrm{m}$. De Mount Everest, $8848\,\mathrm{m}$: orde $10^{4}\,\mathrm{m}$, want $8.848 \geq 5$.

Zulke schattingen op [exponent](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) gestapeld leveren het hoofdbeeld van dit hoofdstuk op: een ladder waarvan elke sport een wereld is die tien keer wijder is dan de sport eronder.

![De ladder van het heelal, in meters: 42 machten van tien scheiden de atoomkern van het waarneembare heelal, en een mens staat tien sporten boven het atoom maar zevenentwintig onder de top.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-37884797382a.svg)

*De ladder van het heelal, in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $42$ machten van tien scheiden de atoomkern van het waarneembare heelal, en een mens staat tien sporten boven het atoom maar zevenentwintig onder de top.*

Boven de sport van de Aarde houden [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) op handig te zijn; de sterrenkunde houdt er eigen eenheden op na, allebei vanuit de ladder zelf gedefinieerd.

**Definitie 1.13 (Astronomische eenheid en lichtjaar).**

De *astronomische eenheid* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) is de gemiddelde afstand Aarde–Zon. Het *lichtjaar* ($\mathrm{ly}$) is de afstand die het licht in één jaar aflegt. Licht beweegt in vacuüm met

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

de grootste snelheid die de natuur toelaat — het lichtjaar is dus een afstand, geen tijd.

![Afstanden vanaf de Aarde op de vermenigvuldigende liniaal, met er in rood onder de reistijd van het licht: de Maan ligt lichtseconden ver, de planeten lichturen, de sterren lichtjaren.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-c0302a7eadc6.svg)

*Afstanden vanaf de Aarde op de vermenigvuldigende liniaal, met er in rood onder de reistijd van het licht: de Maan ligt lichtseconden ver, de planeten lichturen, de sterren lichtjaren.*

**Voorbeeld 1.14 (Het lichtjaar in meters).**

Een jaar telt $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (prettig dicht bij $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). Dus

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

Proxima Centauri, de dichtstbijzijnde ster na de Zon, staat op $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$: licht dat de afstand Aarde–Zon in acht minuten oversteekt, heeft van daar ruim vier jaar nodig.

**Methode 1.15 (Controle op ordegrootte).**

Voordat je een berekend resultaat vertrouwt:

1. rond elk gegeven af op zijn [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ;
2. doe de berekening opnieuw met alleen machten van tien, met [Propositie 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — dat kost seconden;
3. vergelijk: het nauwkeurige antwoord moet tot op ongeveer een factor tien met de schatting kloppen, en de [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) moet de juiste zijn. Faalt een van beide controles, spoor dan eerst de fout op voordat je verdergaat.

**Opmerking 1.16 (Waarom die moeite).**

Een rekenmachine meldt zonder blozen dat een appel een massa van $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ heeft — ze kan niet beter weten. Geen enkele formule signaleert het absurde; de gewoonte doet dat wel. Natuurkundigen schatten eerst en rekenen daarna: de schatting vangt verschoven decimale punten, verwisselde eenheden en omgekeerde breuken op, de drie fouten achter de meeste verkeerde antwoorden, op elk niveau.

## 1.4 Meten en onzekerheid

Geen enkel instrument leest de ware waarde af. Een meting is pas eerlijk als ze er ook bij vermeldt hoever ze ernaast kan zitten.

**Definitie 1.17 (Absolute en relatieve onzekerheid).**

Een meting van een grootheid $x$ wordt genoteerd als

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

waarbij $x_{\text{m}}$ de gemeten waarde is en de *absolute onzekerheid* $\Delta x > 0$, in dezelfde [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de aannemelijke fout begrenst: de ware waarde ligt naar verluidt tussen $x_{\text{m}} - \Delta x$ en $x_{\text{m}} + \Delta x$. De *relatieve onzekerheid* is de verhouding $\Delta x / x_{\text{m}}$, meestal in procent gegeven; zij is wat het woord “nauwkeurig” meet.

**Methode 1.18 (Een schaalverdeling aflezen).**

Voor een liniaal, een maatcilinder, een wijzerplaat:

1. lees de streep af die het dichtst bij het merkteken ligt, met het oog loodrecht op de schaal (een scheve blik verschuift de aflezing);
2. neem minstens de helft van de kleinste schaaldeling als [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) — meer als de rand van het voorwerp of het vloeistofoppervlak vaag is;
3. schrijf het resultaat als $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ met zijn [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , en houd geen cijfer over voorbij het onzekere cijfer.

![Aflezen op een millimeterliniaal: het uiteinde van het staafje valt het dichtst bij de streep van 127\, mm, en de gearceerde band van een halve schaaldeling aan elke kant is de eerlijke bewering.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*Aflezen op een millimeterliniaal: het uiteinde van het staafje valt het dichtst bij de streep van $127\,\mathrm{mm}$, en de gearceerde band van een halve schaaldeling aan elke kant is de eerlijke bewering.*

**Voorbeeld 1.19 (Relatieve nauwkeurigheid).**

De aflezing hierboven heeft [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$. Dezelfde liniaal geeft bij een bout van $12\,\mathrm{mm}$ juist $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$: hetzelfde instrument is tien keer minder nauwkeurig op het kleine voorwerp. Nauwkeurigheid is een eigenschap van de *meting*, niet van het gereedschap.

**Opmerking 1.20 (Klein absoluut, enorm relatief — en omgekeerd).**

Laserstations meten de afstand Aarde–Maan, $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, tot op ongeveer $\pm3\,\mathrm{cm}$: een [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) van $10^{-10}$, een van de scherpste metingen ooit gedaan — met een absolute fout waar geen liniaal over zou opscheppen. Vraag je altijd af: *relatief ten opzichte waarvan*? Het paar $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ vertelt het hele verhaal, en elk van beide getallen alleen kan misleiden.

## 1.5 Oefeningen

**Oefening 1.1 ★.**

Zet om naar [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), in [wetenschappelijke notatie](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

1. $750\,\mathrm{nm}$ (golflengte van rood licht);
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ;
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (een bodembacterie);
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (de afstand Aarde–Zon, in een ongebruikelijke vermomming).

**Oplossing van Oefening 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — één [astronomische eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**Oefening 1.2 ★.**

Schrijf in [wetenschappelijke notatie](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) en geef het aantal [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig):

1. de afstand Aarde–Zon, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
2. de diameter van een waterstofatoom, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
3. de wereldbevolking, ongeveer $8\,100\,000\,000$ ;
4. een duur van $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**Oplossing van Oefening 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: $4$ [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$: $3$ [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (nullen vooraan tellen nooit mee). *3.* $8.1 \times 10^{9}$: $2$ [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$: $3$ [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (de nul achteraan is een belofte).

**Oefening 1.3 ★.**

Bereken zonder rekenmachine en geef elk resultaat in [wetenschappelijke notatie](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**Oplossing van Oefening 1.3.**

[Mantisses](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) en [exponenten](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) apart ([Propositie 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)):

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**Oefening 1.4 ★.**

Geef de [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), met [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), van: een lichaamslengte van $1.7\,\mathrm{m}$; de Mount Everest, $8848\,\mathrm{m}$; een bacterie *E. coli*, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$; de massa van de Aarde, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Oplossing van Oefening 1.4.**

Mens: $1.7 < 5$, orde $10^{0}\,\mathrm{m}$. Everest: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ en $8.848 \geq 5$: orde $10^{4}\,\mathrm{m}$. Bacterie: orde $10^{-6}\,\mathrm{m}$. Aarde: $5.97 \geq 5$, orde $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**Oefening 1.5 ★.**

Een liniaal is in millimeters verdeeld. Je meet een potlood op $127\,\mathrm{mm}$.

1. Geef het resultaat met zijn [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Bereken de [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. Dezelfde liniaal meet een gum van $12\,\mathrm{mm}$ . Welke van de twee metingen is de nauwkeurigste, en met welke factor?

**Oplossing van Oefening 1.5.**

*1.* Een halve schaaldeling: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$. *3.* Gum: $0.5/12 \approx 4\%$. De meting van het potlood is ongeveer tien keer nauwkeuriger — dezelfde liniaal, dezelfde [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty), een tien keer langer voorwerp.

**Oefening 1.6 ★★.**

Gebruik $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$:

1. Druk de afstanden tot Proxima Centauri ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) en tot Sirius ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ) uit in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) .
2. De sonde *Voyager 1* staat op ongeveer $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ van de Aarde. Hoe lang doet haar radiosignaal, dat met $c$ reist, erover om ons te bereiken? Geef het antwoord in uren.

**Oplossing van Oefening 1.6.**

*1.* Proxima: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. Sirius: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (twee [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), net als het gegeven). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, dus $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$: bijna een volle dag voor elk bericht van de sonde.

**Oefening 1.7 ★★.**

Hoe lang doet licht erover om de Aarde te bereiken vanaf de Maan ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$), vanaf de Zon ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) en vanaf Neptunus ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$)? Geef elk antwoord in een zinvolle [eenheid](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) en vul de zin aan: “Wie naar Neptunus kijkt, ziet hem zoals hij was…”

**Oplossing van Oefening 1.7.**

Telkens $t = d/c$. Maan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Zon: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. Neptunus: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. Wie naar Neptunus kijkt, ziet hem zoals hij ongeveer vier uur geleden was — elke telescoop is een milde tijdmachine.

**Oefening 1.8 ★★.**

Een pak van $500$ vellen papier is, gemeten met een millimeterliniaal, $52.0\,\mathrm{mm}$ dik, met onzekerheid $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. Leid de dikte van één vel af, met zijn [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Hoe groot is de [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) van die dikte?
3. Waarom is het pak meten enorm veel beter dan één vel rechtstreeks meten met dezelfde liniaal? Kwantificeer.

**Oplossing van Oefening 1.8.**

*1.* Eén vel: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. De onzekerheid wordt mee gedeeld: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$, dus $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\%$. *3.* Eén vel rechtstreeks meten zou $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$ opleveren: een [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) van ongeveer $500\%$ — de liniaal kan niet eens bewijzen dat het vel bestaat. Een stapel van $500$ vellen vermenigvuldigt de gemeten lengte met $500$ terwijl de [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) van de liniaal onveranderd blijft: de [relatieve onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) krimpt met diezelfde factor $500$.

**Oefening 1.9 ★★.**

Neem $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ als diameter van een atoom. Hoeveel atomen liggen er, zij aan zij, over: een bacterie van $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; een haar van $70\,\text{µ}\mathrm{m}$; een mens van $1.7\,\mathrm{m}$? Geef het laatste antwoord ook als [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

**Oplossing van Oefening 1.9.**

Deel elke lengte door $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Bacterie: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ atomen. Haar: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. Mens: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$, [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$: tien miljard atomen van kruin tot teen.

**Oefening 1.10 ★★.**

Een schaalmodel stelt de Zon (diameter $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) voor door een voetbal met diameter $22\,\mathrm{cm}$.

1. Bereken de schaalfactor van het model.
2. Bepaal de modeldiameter van de Aarde ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) en haar modelafstand tot de voetbal (werkelijke afstand $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. Hoe ver van de modelaarde staat de modelmaan (werkelijke afstand $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )? En hoe ver weg staat de modelneptunus (werkelijke afstand $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )?

**Oplossing van Oefening 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* Aarde: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — een peperkorrel — die op $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ van de voetbal draait. *3.* Maan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ van de peperkorrel. Neptunus: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$: het model past niet op het schoolplein.

**Oefening 1.11 ★★.**

[Significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) aan het werk.

1. Een A4-blad meet $21.0\,\mathrm{cm}$ bij $29.7\,\mathrm{cm}$ . Geef de oppervlakte met het juiste aantal [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) .
2. Een sprinter legt $100.0\,\mathrm{m}$ af in $12.3\,\mathrm{s}$ . Geef de gemiddelde snelheid correct afgerond.
3. Leg in één zin uit wat er oneerlijk zou zijn aan het aankondigen van de oppervlakte als $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Oplossing van Oefening 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$, afgerond op de drie [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) van de gegevens: $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (drie cijfers, opgelegd door de tijd). *3.* Vijf [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) zouden de oppervlakte op $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$ nauwkeurig claimen, een precisie die de gegevens op millimeterniveau nooit geleverd hebben — een vervalste decimaal blijft een vervalsing.

**Oefening 1.12 ★★★.**

Een oliedruppel met een volume van $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ wordt op stil water gelegd en vloeit uit tot een cirkelvormig laagje met diameter $1.1\,\mathrm{m}$ — een laagje dat, zoals latere hoofdstukken laten zien, één molecuul dik is.

1. Bereken de oppervlakte van het laagje en daarna zijn dikte.
2. Leid een [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) af voor de afmeting van een molecuul, en toets die aan de sport “atoom” van de ladder.

(Dit achterkant-van-een-envelop-experiment, voor het eerst gedaan door Benjamin Franklin op een Londense vijver, was een van de eerste eerlijke metingen die de mens aan de moleculaire wereld heeft verricht.)

**Oplossing van Oefening 1.12.**

*1.* Straal $r = 0.55\,\mathrm{m}$, oppervlakte $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. Het volume is $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$, en een laagje is (oppervlakte) $\times$ (dikte), dus

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* Een molecuul is van de orde $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — één sport boven de $10^{-10}\,\mathrm{m}$ van het atoom, wat klopt met een molecuul als klein groepje atomen. Franklins theelepel olie kalmeerde een halve hectare vijver en mat, zonder dat hij het wist, de nanometer.

**Oefening 1.13 ★★★.**

Schat het aantal hartslagen in een mensenleven. Vermeld je aannames (hartslag in rust, levensduur), houd het rekenwerk bij machten van tien en één cijfer [mantisse](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot), en geef het eindantwoord alleen als [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom). Waarom zou het zinloos zijn dat antwoord in vier [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) te geven?

**Oplossing van Oefening 1.13.**

Aannames: ongeveer $70$ slagen per minuut in rust, een leven van $80$ jaar. Per dag: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ slagen. Per jaar: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. Per leven: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}$, een paar miljard hartslagen. Vier [significante cijfers](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) zouden doen alsof je een hartslag minuut voor minuut kent, tachtig jaar lang: de gegevens zijn schattingen op [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), en geen uitkomst overtreft haar gegevens ([Methode 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**Oefening 1.14 ★★★.**

Een vel papier is $0.10\,\mathrm{mm}$ dik, en elke vouw verdubbelt de dikte van de stapel. Gebruik $2^{10} \approx 10^{3}$:

1. Na hoeveel vouwen zou de stapel de Mount Everest ( $8848\,\mathrm{m}$ ) overtreffen?
2. Na hoeveel vouwen zou hij de Maan ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ ) bereiken?
3. In de praktijk laat een vel zich niet vaker dan ongeveer zeven keer vouwen. Ontkracht dat het rekenwerk, of alleen het experiment?

**Oplossing van Oefening 1.14.**

Na $n$ vouwen is de dikte $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* Nodig is $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. Omdat $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ te kort schiet en $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ volstaat: $27$ vouwen (stapel $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* Nodig is $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$: $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ schiet tekort, $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ haalt het — $42$ vouwen, stapel $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, ruim voorbij de Maan. *3.* Alleen het experiment: elke vouw halveert de oppervlakte, en na zeven vouwen is de stapel dikker dan breed. Aan het rekenwerk van het verdubbelen verandert niets — exponentiële groei loopt eenvoudig harder dan papier (en intuïtie) kan volgen.

**Oefening 1.15 ★★★.**

Laserafstandsmeting geeft de afstand Aarde–Maan als $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$; een goede liniaal geeft een tafel als $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. Bereken beide relatieve onzekerheden. Welke meting is de nauwkeurigste, en met welke factor?
2. Met welke [absolute onzekerheid](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) zou je de tafel moeten meten om de relatieve nauwkeurigheid van de maanmeting te evenaren? Vergelijk die lengte met de afmeting van een atoom en trek met gepast ontzag je conclusie.

**Oplossing van Oefening 1.15.**

*1.* Maan: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. Tafel: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. De maanmeting is nauwkeuriger met een factor $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — ruim tien miljoen. *2.* $7.8 \times 10^{-11}$ evenaren op een tafel van één [meter](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) betekent $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$, kleiner dan één atoom ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$): zo scherp is de rand van de tafel niet eens *gedefinieerd*. Relatief gezien is de lasermeting van de afstand Aarde–Maan een van de fijnste metingen die onze soort bezit.

## 1.6 Probleem: Van het atoom tot Andromeda

**Probleem 1.1.**

Weekendopgave — één zandkorrel bepaalt de maat van het atoom, het zonnestelsel, de melkweg en het waarneembare heelal, en plaatst jou op de ladder daartussen

Een zandkorrel is het nederigste voorwerp uit de natuurkunde, en dit weekend maakt hij overuren: eerst tellen we zijn atomen, dan krimpen we de Zon tot zijn afmeting en stappen we de kosmos af, dan laten we het licht het landmeten doen, en ten slotte tellen we de atomen in *jou*. Gegevens, overal te gebruiken: korreldiameter $0.5\,\mathrm{mm}$; atoomdiameter $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$; dichtheid van zand $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; diameters: Zon $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$, Aarde $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, Melkweg $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$, waarneembaar heelal $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$; afstanden vanaf ons: Maan $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, Zon $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, Neptunus $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$, Proxima Centauri $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, Andromedastelsel $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; een watermolecuul heeft massa $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ en bevat drie atomen.

**Deel I — Anatomie van de korrel.**

1. Schrijf de korreldiameter en de atoomdiameter in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , in [wetenschappelijke notatie](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) , en noem het [SI-voorvoegsel](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) waar elk het dichtst bij ligt.
2. Hoeveel atomen liggen er zij aan zij over één korreldiameter?
3. Modelleer de korrel als een kubus met ribbe $0.5\,\mathrm{mm}$ , volgepakt met atomen. Schat het aantal atomen in de korrel, als [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) .
4. Bereken het volume van die kubus en daarna de massa van de korrel. Druk de massa in milligram uit.
5. Toets het model: deel de massa van de korrel door het aantal atomen en vergelijk met de bekende [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) van atoommassa’s (een paar $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). Oordeel?

**Deel II — De Zon als zandkorrel.** We bouwen een schaalmodel van de kosmos waarin de Zon de korrel is: elke modelafmeting is de werkelijke afmeting maal een factor $s$.

6. Bereken de schaalfactor $s$ .
7. Bepaal in het model de diameter van de Aarde en haar afstand tot de korrelzon. Welk voorwerp uit de wereld van deel I heeft ongeveer de afmeting van de modelaarde?
8. Op welke afstand van de korrel draait de modelneptunus? Welk meubelstuk zou het hele planetenstelsel herbergen?
9. Hoe ver weg staat de modelster Proxima Centauri?
10. Twee zandkorrels, $14\,\mathrm{km}$ uit elkaar, en er bijna niets tussenin: zeg in een of twee zinnen wat het model onthult over hoe leeg de melkweg is.

**Deel III — Het licht doet het landmeten.**

11. Hoe lang doet licht erover om de echte zandkorrel over te steken?
12. Hoe lang doet licht erover om ons te bereiken vanaf de Maan, en vanaf de Zon?
13. Bereken het [lichtjaar](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) opnieuw in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) uit $c$ en de lengte van het jaar, en ga na dat de afstand tot Proxima uit de gegevens overeenkomt met ongeveer $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. Zet de afstand tot Andromeda om in lichtjaren. Wanneer vertrok, ruwweg, het licht dat nu je oog binnenkomt uit Andromeda, en wat liep er in die tijd op Aarde rond?
15. Hoe ver reist licht in één nanoseconde? Een processor met een klok van $3\,\mathrm{GHz}$ start elke derde nanoseconde een bewerking: leg in één zin uit waarom een snelle computer een kleine computer moet zijn.

**Deel IV — Jij, tussen atoom en Andromeda.**

16. Een mens is ruwweg $70\,\mathrm{kg}$ water. Schat met de gegevens de gemiddelde massa van één atoom in water, en daarna het aantal atomen in een mens.
17. Vergelijk dat aantal met de atomen in de korrel (vraag 3) en met de ruwweg $2\times10^{23}$ sterren van het waarneembare heelal. Geef beide factoren.
18. Sta je op de ladder dichter bij het atoom of bij het waarneembare heelal? Vergelijk de verhoudingen $\text{(jij)}/\text{(atoom)}$ en $\text{(heelal)}/\text{(jij)}$ , met $1.7\,\mathrm{m}$ voor jou.
19. Bepaal de afmeting $x$ die precies halverwege de ladder ligt tussen de atoomkern ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) en het waarneembare heelal: $x$ moet voldoen aan $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (met $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). Welk voorwerp uit het zonnestelsel heeft toevallig precies die afmeting?
20. De clou. Krimp het waarneembare heelal met de factor $s$ uit deel II, zodat de Zon een zandkorrel wordt. Geef de diameter van het modelheelal in [meters](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) en daarna in astronomische eenheden, en besluit in één zin: zelfs met elke ster tot zandkorrel gekrompen loopt het heelal over elke menselijke schaal heen — alleen machten van tien houden het bijeen.

**Oplossing van Probleem 1.1.**

**1.** Korrel: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$, op de milli-schaal; atoom: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$, op de nano-schaal.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$: twee miljoen atomen breed.

**3.** Een kubus met $2 \times 10^{6}$ atomen per ribbe bevat $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ atomen: [ordegrootte](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$, dus $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** Massa per atoom: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — precies in het gebied “een paar $10^{-26}\,\mathrm{kg}$”. De naïeve kubus van atomen levert echte atoommassa’s op: het model doorstaat de controle ([Methode 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) met glans.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** Modelaarde: diameter $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — de afmeting van een bacterie — op een afstand $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ van de korrel: de Aarde is een microbe op vijf centimeter van een zandkorrel.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$: het hele planetenstelsel draait binnen een eettafel.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** De dichtstbijzijnde ster bij ons zonnestelsel op tafel is een tweede zandkorrel, veertien kilometer verderop, met vrijwel niets ertussen: de melkweg is overweldigend leeg, en daarom zijn botsingen tussen sterren vrijwel ongehoord.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — geen twee picoseconden.

**12.** Maan: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
1.28\,\mathrm{s}$. Zon: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} =
499\,\mathrm{s} \approx 8.3\,\mathrm{min}$: zonlicht is altijd acht minuten oud.

**13.** Eén jaar is $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dus $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$; vervolgens $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$: de afstand uit de gegevens komt inderdaad neer op ongeveer $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$: twee en een half miljoen [lichtjaar](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). Dat licht verliet Andromeda ongeveer $2.5$ miljoen jaar geleden, toen de eerste leden van het geslacht *Homo* leerden vuistbijlen te slaan — en er nog nergens een *Homo sapiens* bestond.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. In een derde nanoseconde legt een signaal hooguit ongeveer $10\,\mathrm{cm}$ af, dus twee onderdelen van de machine die binnen één kloktik met elkaar moeten praten, mogen niet verder dan tien centimeter uit elkaar zitten: de snelheid begrenst de afmeting.

**16.** Gemiddeld atoom in water: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. Aantal atomen: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** Tegenover de korrel: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — je bevat evenveel atomen als een miljard korrels. Tegenover de sterren: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — je atomen overtreffen alle sterren van het waarneembare heelal met vijfendertigduizend tegen één.

**18.** $\text{(jij)}/\text{(atoom)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$, terwijl $\text{(heelal)}/\text{(jij)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. Op de ladder sta je ongeveer tien sporten boven het atoom en bijna zevenentwintig onder het heelal: multiplicatief gezien leeft de mens heel dicht bij zijn atomen.

**19.** De voorwaarde geeft $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$, dus $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — vrijwel precies de diameter van Ceres, de grootste planetoïde ($\approx 940\,\mathrm{km}$). Halverwege de ladder tussen een atoomkern en de kosmos ligt een bescheiden dwergplaneet.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$, oftewel $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ astronomische eenheden. De clou: krimp de kosmos tot de Zon een zandkorrel is, en het waarneembare heelal beslaat nog altijd tweeduizend keer de werkelijke afstand Aarde–Zon — geen enkel schaalmodel brengt het heelal terug tot menselijke maat; alleen machten van tien dragen het.