---
title: "Lenzen, beelden en het oog"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 10
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/10-lenzen-beelden-en-het-oog
---

# Hoofdstuk 10 — Lenzen, beelden en het oog

Elk scherp beeld — op een telefoonsensor, een bioscoopdoek of achter in je eigen oog — ontstaat door dezelfde truc: een gekromd doorzichtig midden breekt stralen ([Hoofdstuk 3](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/3-breking-van-licht#ch-g10-refraction)) zodat alle stralen die uit één punt vertrekken elkaar in een ander punt weer ontmoeten. Dit hoofdstuk temt die truc: één [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens), drie stralen, één formule — en richt hem daarna op fototoestellen, brillen en de levende [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) die deze zin leest.

## 10.1 Convergerende en divergerende lenzen

**Definitie 10.1 (Dunne lens).**

Een *lens* is een doorzichtig midden dat door twee oppervlakken wordt begrensd, waarvan er minstens één gekromd is. Is de lens in het midden dikker dan aan de rand, dan is ze *convergerend*: evenwijdige stralen worden naar elkaar toe gebogen; is ze aan de rand dikker, dan is ze *divergerend* en lopen ze uiteen. Een *dunne* lens heeft een verwaarloosbare dikte: we tekenen haar als een lijnstuk met pijlpunten naar buiten (convergerend) of naar binnen (divergerend). Haar middelpunt $O$ is het *optische middelpunt*; de lijn door $O$ loodrecht op de lens is de *hoofdas*.

**Definitie 10.2 (Brandpunten en brandpuntsafstand).**

Stralen die evenwijdig aan de [hoofdas](#def-g11-lenses-and-eye-lens) op een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) vallen, snijden de as alle in één punt erachter: het *beeldbrandpunt* $F'$; omgekeerd verlaten stralen die uit het *voorwerpsbrandpunt* $F$ vertrekken (ervoor, met $OF = OF'$) de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) evenwijdig aan de as. De *brandpuntsafstand* $f' = \overline{OF'}$ is positief voor een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens); door een [divergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) verlaten evenwijdige stralen de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) alsof ze uit een punt $F'$ *vóór* de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) komen: $f' < 0$.

**Definitie 10.3 (Lenssterkte).**

De *lenssterkte* van een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$ (in [meter](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) is $C = 1/f'$, gemeten in *dioptrie* (symbool D): $1~\text{D} =
1\,\mathrm{m}^{-1}$; divergerende lenzen hebben $C < 0$. Opticiens schrijven in dioptrie voor: de sterkten van [dunne](#def-g11-lenses-and-eye-lens) lenzen die elkaar raken tellen gewoon op (hier aangenomen; afgeleid in het volume van bachelorjaar 1).

**Voorbeeld 10.4 (Een recept lezen).**

Een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ heeft $C = 1/0.50 = +2.0$ D: [convergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Een voorschrift van $-4.0$ D betekent $f' = -0.25\,\mathrm{m}$: [divergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens), met [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $25\,\mathrm{cm}$.

## 10.2 Het beeld construeren

**Methode 10.5 (De drie constructiestralen).**

Zij $AB$ een voorwerp dat in $A$ loodrecht op de as staat. Van alle stralen die uit de top $B$ vertrekken, zijn er drie waarvan de weg bekend is:

1. de straal door het [optische middelpunt](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $O$ gaat rechtdoor;
2. de straal evenwijdig aan de as gaat na de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) door $F'$ ;
3. de straal door $F$ verlaat de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) evenwijdig aan de as.

Twee ervan volstaan: hun snijpunt is het beeldpunt $B'$, en het beeld $A'B'$ staat in $A'$ loodrecht op de as. Lopen de uittredende stralen uiteen, dan snijden hun *achterwaartse* verlengden (gestippeld) elkaar in een [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images) beeldpunt.

![De drie constructiestralen: voorwerp AB voorbij F, beeld A'B' reëel en omgekeerd (hier is OA = -2f': even groot, = -1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-46d807f5b378.svg)

*De drie constructiestralen: voorwerp $AB$ voorbij $F$, beeld $A'B'$ [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images) en omgekeerd (hier is $\overline{OA} = -2f'$: even groot, $\gamma = -1$).*

**Definitie 10.6 (Reële en virtuele beelden).**

Een beeld is *reëel* wanneer de uittredende stralen er werkelijk doorheen gaan: een scherm dat je daar plaatst vangt het op; het is *virtueel* wanneer alleen hun achterwaartse verlengden elkaar snijden: geen scherm vangt het op, maar een oog dat in de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) kijkt ziet het uitstekend. Een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) geeft van elk voorwerp voorbij $F$ een reëel, omgekeerd beeld; schuif het voorwerp binnen de [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) en het beeld wordt virtueel, rechtop en vergroot.

![Voorwerp binnen de brandpuntsafstand (de loepstand): de achterwaartse verlengden bouwen een virtueel, rechtopstaand, vergroot beeld A'B' op.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8ad9403171ff.svg)

*Voorwerp binnen de [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (de loepstand): de achterwaartse verlengden bouwen een [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtopstaand, vergroot beeld $A'B'$ op.*

## 10.3 Eén formule: de lenzenformule

Constructies laten zien *waar* het beeld ligt; een formule berekent het. Kies de as in de richting van het licht en gebruik *algebraïsche maten*: $\overline{OA}$ is de coördinaat van $A$ ten opzichte van $O$ (negatief voor een [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images) voorwerp ervoor); hoogten $\overline{AB}$ tellen positief naar boven.

**Stelling 10.7 (Lenzenformule voor dunne lenzen).**

Door een [dunne lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$ wordt een voorwerpspunt $A$ op de as afgebeeld op het punt $A'$ met

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 10.8.**

De betrekking volgt uit de wet van Snellius, toegepast op stralen dicht bij de as; de afleiding — en de grenzen van het model van de [dunne lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — worden eerlijk gemaakt in het volume van bachelorjaar 1.

**Definitie 10.9 (Vergroting).**

De *vergroting* van het beeld is

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
       = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .
$$

$\abs{\gamma}$ vergelijkt de afmetingen, het teken de standen ($\gamma < 0$: omgekeerd); het teken van $\overline{OA'}$ verraadt de aard (positief: [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images), achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens); negatief: [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), ervoor).

**Voorbeeld 10.10 (De formule aan het werk).**

Een voorwerp staat $30\,\mathrm{cm}$ voor een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met $f' = 10\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$, dus

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15},
\qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm},
\qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :
$$

een [reëel beeld](#def-g11-lenses-and-eye-images) $15\,\mathrm{cm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens), omgekeerd en half zo groot — precies wat de drie stralen tekenen.

## 10.4 Het oog

**Definitie 10.11 (Het oog als optisch systeem).**

Optisch gezien is het oog een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tegenover een scherm: het *hoornvlies* en de *ooglens* werken samen als één [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met instelbare [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal); het *netvlies*, ongeveer $17\,\mathrm{mm}$ erachter, is het vaste scherm. Scherpstellen gebeurt door de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) samen te knijpen, niet door haar te verschuiven zoals in een fototoestel: *accommodatie* is de verandering van $f'$ die de kringspieren teweegbrengen. Het dichtstbijzijnde punt dat bij volledige accommodatie scherp wordt gezien is het *nabijpunt* — ongeveer $25\,\mathrm{cm}$ voor het *normale oog* — en het verste, in rust, het *vertepunt* (oneindig voor het normale oog).

![Accommodatie: om een nabij voorwerp op hetzelfde netvlies scherp te krijgen, bolt de ooglens op — haar lenssterkte neemt toe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-49d19fb58342.svg)

![Accommodatie: om een nabij voorwerp op hetzelfde netvlies scherp te krijgen, bolt de ooglens op — haar lenssterkte neemt toe.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-0a6fb1e01dbe.svg)

*[Accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye): om een nabij voorwerp op hetzelfde [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) scherp te krijgen, bolt de [ooglens](#def-g11-lenses-and-eye-eye) op — haar [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) neemt toe.*

**Voorbeeld 10.12 (De sterkte van je oog).**

Het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) zit op $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$. Ver voorwerp ($1/\overline{OA} \approx 0$): $C = 1/0.017 \approx 59$ D. [Nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$): $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Lezen kost ongeveer $4$ D: het oog is een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) van $59$ D met een ingebouwde fijnregeling van $+4$ D.

## 10.5 Afwijkingen, correcties en de loep

**Definitie 10.13 (Bijziendheid en verziendheid).**

Een *bijziend* oog is te sterk [convergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens) voor zijn lengte: evenwijdige stralen komen *vóór* het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) samen, verre voorwerpen worden wazig en het [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ligt op eindige afstand; een [divergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens) brillenglas verhelpt dat. Een *verziend* oog convergeert niet genoeg: nabije voorwerpen zouden achter het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) scherp komen en het [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) schuift weg; een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) verhelpt dat. Met de jaren verstijft de [ooglens](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (*ouderdomsverziendheid*) en krimpt de [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — met hetzelfde geneesmiddel: een leesbril.

**Voorbeeld 10.14 (Een voorschrift voor een bijziend oog).**

Een [bijziend](#def-g11-lenses-and-eye-defects) oog heeft zijn [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) op $50\,\mathrm{cm}$: het corrigerende glas moet verre voorwerpen *op het [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye)* laten zien — voorwerp op oneindig, beeld op $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ ([virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), ervoor). Dan geldt $1/f' = 1/\overline{OA'}$: $f' = -0.50\,\mathrm{m}$, $C = -2.0$ D; het ontspannen oog kijkt naar dat virtuele beeld en ziet het scherp.

![Een bijziend oog stelt evenwijdige stralen vóór het netvlies scherp (rode punt); een divergerende lens legt het brandpunt op het netvlies.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-c690dabb7c45.svg)

![Een bijziend oog stelt evenwijdige stralen vóór het netvlies scherp (rode punt); een divergerende lens legt het brandpunt op het netvlies.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-27ae32f4e254.svg)

*Een [bijziend](#def-g11-lenses-and-eye-defects) oog stelt evenwijdige stralen vóór het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) scherp (rode punt); een [divergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) legt het [brandpunt](#def-g11-lenses-and-eye-focal) op het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye).*

**Definitie 10.15 (De loep).**

Een *loep* is een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met een korte [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal), gebruikt met het voorwerp *binnen* die [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal): het beeld is [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop en vergroot ([Definitie 10.6](#def-g11-lenses-and-eye-images)), en het oog bekijkt het op een comfortabele afstand.

**Voorbeeld 10.16 (Een juweliersloep).**

[Loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) met $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$, steen op $4.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$, dus $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$: een [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtopstaand beeld, vijf keer zo groot, op een comfortabele $20\,\mathrm{cm}$ van de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

## 10.6 Oefeningen

**Oefening 10.1 ★.**

Bereken de [lenssterkten](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) voor $f' = 50\,\mathrm{cm}$, $-20\,\mathrm{cm}$ en $4.0\,\mathrm{mm}$, en daarna de [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) van een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) van $+8.0$ D.

**Oplossing van Oefening 10.1.**

$C = 1/0.50 = +2.0$ D; $1/(-0.20) = -5.0$ D; $1/0.0040 = +250$ D. Een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) van $+8.0$ D: $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$.

**Oefening 10.2 ★.**

Een [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) is aan de randen dikker dan in het midden. [Convergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens) of [divergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? Kan ze als [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) dienen? Wat zie je als je haar boven een bedrukte bladzijde houdt?

**Oplossing van Oefening 10.2.**

[Divergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($f' < 0$). Nee: voor elke voorwerpsafstand $d$ ligt $\gamma = f'/(f' - d)$ (aangetoond in [Oefening 10.15](#exo-g11-lenses-and-eye-15)) tussen $0$ en $1$ — het beeld is altijd [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop en *verkleind*. De [druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) verschijnt rechtop en gekrompen, nooit vergroot.

**Oefening 10.3 ★.**

Een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) heeft $f' = 10\,\mathrm{cm}$; een voorwerp staat $20\,\mathrm{cm}$ ervoor. Construeer het beeld met twee van de drie stralen en toets daarna plaats en grootte met de lenzenformule.

**Oplossing van Oefening 10.3.**

Het voorwerp staat op $2f'$; de centrale straal en de evenwijdige straal snijden elkaar $20\,\mathrm{cm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Controle: $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$, dus $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = 20/(-20) = -1$: [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images), omgekeerd, even groot — zoals getekend.

**Oefening 10.4 ★.**

Een voorwerp staat $24\,\mathrm{cm}$ voor een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$. Bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$, en beschrijf het beeld (aard, stand, grootte).

**Oplossing van Oefening 10.4.**

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$: $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 12/(-24) = -0.50$. Een [reëel beeld](#def-g11-lenses-and-eye-images) $12\,\mathrm{cm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens), omgekeerd en half zo groot.

**Oefening 10.5 ★.**

In het oog: wat vormt de [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? Wat speelt het scherm? Wat verandert er bij [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — en wat kan er niet veranderen? Definieer het [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) van het [normale oog](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Oplossing van Oefening 10.5.**

[Hoornvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) en [ooglens](#def-g11-lenses-and-eye-eye) vormen samen de [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens); het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) is het scherm. De [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) verandert de [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (de [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence)) van de [ooglens](#def-g11-lenses-and-eye-eye); de afstand tussen [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) en [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) kan niet veranderen. [Nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye): het dichtstbijzijnde punt dat bij volledige [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) scherp wordt gezien — $25\,\mathrm{cm}$ voor het [normale oog](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Oefening 10.6 ★★.**

Een objectief heeft $f' = 50\,\mathrm{mm}$. Waar zit de sensor bij scherpstellen op een ver landschap? Bereken de afstand lens–sensor voor een onderwerp op $3.0\,\mathrm{m}$, en de verplaatsing tussen beide instellingen.

**Oplossing van Oefening 10.6.**

Landschap: de sensor in het brandvlak, $50\,\mathrm{mm}$ van de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Op $3.0\,\mathrm{m}$: $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$, dus $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$. Verplaatsing: ongeveer $0.8\,\mathrm{mm}$.

**Oefening 10.7 ★★.**

Een [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) heeft $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$; een postzegel ligt $5.0\,\mathrm{cm}$ eronder. Plaats, aard, stand en [vergroting](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) van het beeld?

**Oplossing van Oefening 10.7.**

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$: $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop, met $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$: zes keer de postzegel, $30\,\mathrm{cm}$ boven de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**Oefening 10.8 ★★.**

Een voorwerp en een scherm staan tegenover elkaar; een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ertussen geeft een scherp beeld wanneer beide $40\,\mathrm{cm}$ van de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) staan. Bereken $f'$ en $\gamma$. Waarom moet dit symmetrische beeld precies even groot zijn als het voorwerp?

**Oplossing van Oefening 10.8.**

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$: $f' = 20\,\mathrm{cm}$; $\gamma = 40/(-40) = -1$. De symmetrie dwingt $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$ af, en dus $\abs{\gamma} = 1$; het beeld is [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images) en omgekeerd, dus $\gamma = -1$: precies even groot.

**Oefening 10.9 ★★.**

Een voorwerp staat $50\,\mathrm{cm}$ voor een [divergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) met $f' = -25\,\mathrm{cm}$. Bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$; beschrijf het beeld. Waarom lijken de ogen van een bijziende iets kleiner door zijn bril?

**Oplossing van Oefening 10.9.**

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$: $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$: [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop en een derde van de grootte. De bril van een bijziende is [divergerend](#def-g11-lenses-and-eye-lens): alles wat je erdoor ziet — ook, van buitenaf, de ogen van de drager — is verkleind.

**Oefening 10.10 ★★.**

Een [bijziend](#def-g11-lenses-and-eye-defects) oog heeft zijn [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) op $40\,\mathrm{cm}$. Welke [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) moet het corrigerende glas hebben, en waar legt het het beeld van een verre berg? Waarom wordt die berg dan moeiteloos gezien?

**Oplossing van Oefening 10.10.**

Het beeld van oneindig moet op het [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) liggen: $f' = -0.40\,\mathrm{m}$, dus $C = -2.5$ D. Het beeld van de berg ligt $40\,\mathrm{cm}$ voor het glas — precies op het [vertepunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye), dat het ontspannen oog scherp ziet met nul [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Oefening 10.11 ★★.**

Een lezer met [ouderdomsverziendheid](#def-g11-lenses-and-eye-defects) heeft zijn [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) op $80\,\mathrm{cm}$ maar wil op $25\,\mathrm{cm}$ lezen: de bril moet de bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ afbeelden op een virtuele bladzijde op $80\,\mathrm{cm}$. Bereken de vereiste [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence).

**Oplossing van Oefening 10.11.**

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25)
= -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

**Oefening 10.12 ★★★.**

Een projector moet een dia met [vergroting](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) $\gamma = -50$ op een scherm werpen dat $5.1\,\mathrm{m}$ van de dia staat.

1. Bepaal $\overline{OA}$ en $\overline{OA'}$ , gegeven dat $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
2. Leid de [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) van het projectieobjectief af.
3. Hoe groot is het beeld van een dia van $24\,\mathrm{mm}$ hoog?

**Oplossing van Oefening 10.12.**

*1.* $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ geeft $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$; met $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ volgt $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$: $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$ en $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$: $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$.

*3.* $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$, omgekeerd — en daarom gaan dia’s ondersteboven in het toestel.

**Oefening 10.13 ★★★.**

Het [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) zit $17\,\mathrm{mm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) van het oog.

1. Bereken de [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) van het oog bij scherpstellen op oneindig en daarna op het [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) van het [normale oog](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ( $25\,\mathrm{cm}$ ). Leid de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-amplitude) van de [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) van het [normale oog](#def-g11-lenses-and-eye-eye) af.
2. Een ouder oog heeft zijn [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) op $1.0\,\mathrm{m}$ . Bereken zijn [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-amplitude) en welk deel van de normale [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-amplitude) er overblijft.

**Oplossing van Oefening 10.13.**

*1.* $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-amplitude): $1/0.25 = 4.0$ D.

*2.* [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $= 1/1.0 = 1.0$ D: een kwart ($25\%$) van de $4.0$ D van het [normale oog](#def-g11-lenses-and-eye-eye) blijft over.

**Oefening 10.14 ★★★.**

Een [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) die als “$\times 3$” wordt verkocht, heeft een [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) die voldoet aan $3 = 0.25/f'$ ($f'$ in [meter](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit)).

1. Bereken $f'$ .
2. Waar moet een voorwerp liggen opdat zijn virtuele beeld $25\,\mathrm{cm}$ voor de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ligt? Bereken $\gamma$ en vergelijk met de aangeprezen $\times 3$ .

**Oplossing van Oefening 10.14.**

*1.* $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$.

*2.* $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$, dus $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ en $\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0$ — beter dan de aangeprezen $\times 3$, die het beeld op oneindig veronderstelt; het naar het [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) halen levert één [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) winst op.

**Oefening 10.15 ★★★.**

Een [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images) voorwerp staat op afstand $d > 0$ voor een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($\overline{OA} = -d$, $f' > 0$). Toon aan dat $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ en $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$. Leid daaruit af: [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images) en omgekeerd wanneer $d > f'$; [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop en *vergroot* ($\gamma > 1$) wanneer $0 < d < f'$ — elke [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) is een [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier), mits dicht genoeg gebruikt.

**Oplossing van Oefening 10.15.**

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$, dus $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ en $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$. Als $d > f'$: dan is $\overline{OA'} > 0$ ([reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images)) en $\gamma < 0$ (omgekeerd). Als $0 < d < f'$: dan is $\overline{OA'} < 0$ ([virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images)) en $\gamma = f'/(f' - d) > 1$: rechtop en vergroot — de loepstand.

## 10.7 Probleem: Eén formule, drie instrumenten

**Probleem 10.1.**

Weekendopgave — dezelfde lenzenformule stelt een fototoestel scherp, schrijft een leesbril voor, ontwerpt een loep en meet de zoom die in je eigen oog is ingebouwd

Een fotograaf draait aan een objectief van $50\,\mathrm{mm}$, een grootmoeder houdt de krant op armlengte, een juwelier buigt zich over een diamant: één regel algebra, $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ ([Stelling 10.7](#thm-g11-lenses-and-eye-conjugate)), bedient alle drie de ambachten — en daarna het oog zelf.

**Deel I — Eén formule.** Een [convergerende lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) heeft $f' = 20\,\mathrm{cm}$.

1. Een voorwerp op $60\,\mathrm{cm}$ : bereken $\overline{OA'}$ en $\gamma$ ; beschrijf het beeld.
2. Zet het voorwerp op $30\,\mathrm{cm}$ en reken opnieuw. Wat is er met vraag 1 verwisseld? (Lichtwegen zijn omkeerbaar.)
3. Zet het op $10\,\mathrm{cm}$ , binnen $f'$ : reken opnieuw en beschrijf.
4. Vat samen: hoe beweegt het beeld en hoe verandert zijn aard terwijl het voorwerp van heel ver naar $F$ schuift en daarna voorbij $F$ ?
5. Toon aan dat een heel ver voorwerp ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) altijd in het brandvlak wordt afgebeeld: $\overline{OA'} = f'$ .

**Deel II — De fotograaf.** Een objectief heeft $f' = 50\,\mathrm{mm}$; de sensor, $24\,\mathrm{mm}$ hoog, kan ten opzichte van de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) worden verschoven.

6. Waar zit de sensor bij scherpstellen op een ver landschap?
7. Nu een gezicht op $1.0\,\mathrm{m}$ : bereken de nieuwe afstand lens–sensor en de verplaatsing vanaf de landschapsstand.
8. Het mechanisme laat hoogstens $55\,\mathrm{mm}$ afstand tussen [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) en sensor toe. Bereken de kleinste scherpstelafstand.
9. Bereken $\gamma$ bij die kortste scherpstelling. Past het beeld van een gezicht van $20\,\mathrm{cm}$ op de sensor?
10. “Macro” op ware grootte betekent $\gamma = -1$ : waar moeten voorwerp en sensor dan staan, en waarom vraagt dat om een speciaal objectief?

**Deel III — De grootmoeder.** Met de jaren schuift het [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) weg: dat van grootmoeder ligt op $1.0\,\mathrm{m}$.

11. Verklaar de krant op armlengte.
12. Om op $25\,\mathrm{cm}$ te lezen moet haar bril een bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ omzetten in een [virtueel beeld](#def-g11-lenses-and-eye-images) op $1.0\,\mathrm{m}$ : bereken de vereiste [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) .
13. Bereken $\gamma$ . Het beeld is vier keer groter en oogt toch niet groter: verklaar dat, met een vergelijking van de afmetingen *en* de afstanden.
14. Toon aan dat de [druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) alleen tussen $25\,\mathrm{cm}$ en $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ scherp is. En wat gebeurt er met een *ver* voorwerp dat door de bril wordt bekeken?
15. Leid in één zin af waarom er bifocale glazen bestaan.

**Deel IV — De juwelier, en de zoom van het oog zelf.** De [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) van de juwelier heeft $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$; zijn [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ligt op $25\,\mathrm{cm}$; zijn [netvlies](#def-g11-lenses-and-eye-eye) zit $17\,\mathrm{mm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens) van zijn oog.

16. Een steen $4.0\,\mathrm{cm}$ onder de [loep](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) : plaats, aard, [vergroting](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) ?
17. Waar moet de steen liggen opdat zijn beeld op zijn [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) valt, en hoe groot is $\gamma$ dan?
18. Waarom leggen ervaren juweliers de steen liever precies in $F$ (beeld op oneindig)?
19. Nu het oog alleen: bereken zijn [lenssterkte](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) bij een ver voorwerp en daarna bij een voorwerp op $25\,\mathrm{cm}$ : hoeveel [dioptrie](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) is dat?
20. Zet beide sterkten om in [brandpuntsafstanden](#def-g11-lenses-and-eye-focal) : met hoeveel millimeter en hoeveel procent verandert het oog zijn eigen [brandpuntsafstand](#def-g11-lenses-and-eye-focal) — de zoom die het fototoestel met verplaatsing en grootmoeder met $+3$ D deed?

**Oplossing van Probleem 10.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$: $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -0.50$ — [reëel](#def-g11-lenses-and-eye-images), omgekeerd, half zo groot.

**2.** $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -2$: de standen $30\,\mathrm{cm}$ en $60\,\mathrm{cm}$ hebben van rol gewisseld en de [vergrotingen](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) zijn elkaars omgekeerde — omgekeerd licht volgt dezelfde weg.

**3.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, $\gamma = +2$ — [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop, verdubbeld.

**4.** Vanaf oneindig begint het beeld in het brandvlak; naarmate het voorwerp $F$ nadert, wijkt het reële, omgekeerde beeld naar oneindig en groeit het; binnen $f'$ wordt het [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop en vergroot, vóór de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**5.** $1/\overline{OA} \approx 0$ laat $1/\overline{OA'} = 1/f'$ over: $\overline{OA'} = f'$, het brandvlak.

**6.** In het brandvlak, $50\,\mathrm{mm}$ achter de [lens](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**7.** $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$: $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$; verplaatsing $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$.

**8.** $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$: de kleinste scherpstelafstand is $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$.

**9.** $\gamma = 55/(-550) = -0.10$: het gezicht wordt afgebeeld op $20\,\mathrm{mm}$, net binnen de sensor van $24\,\mathrm{mm}$.

**10.** $\gamma = -1$ dwingt $\overline{OA'} = -\overline{OA}$ af, dus $2/\overline{OA'} = 1/f'$: het voorwerp $100\,\mathrm{mm}$ ($= 2f'$) ervoor, de sensor $100\,\mathrm{mm}$ erachter — het dubbele van de landschapsstand, ver voorbij het mechanisme van $55\,\mathrm{mm}$; macro-objectieven leveren die extra verplaatsing.

**11.** Alles wat dichterbij ligt dan haar [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($1.0\,\mathrm{m}$) is wazig: gestrekte armen brengen de bladzijde zo dicht mogelijk bij $1.0\,\mathrm{m}$ — scherp, zij het klein.

**12.** $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

**13.** $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$: vier keer groter, maar ook vier keer verder — dezelfde hoekgrootte; de winst zit niet in de grootte maar in de *scherpte*, want het beeld ligt nu op haar [nabijpunt](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**14.** Scherp vraagt om een beeld voorbij $1.0\,\mathrm{m}$: van de bladzijde op $25\,\mathrm{cm}$ (beeld op $1.0\,\mathrm{m}$) tot de bladzijde op $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (beeld op oneindig). Een ver voorwerp wordt $33\,\mathrm{cm}$ *achter* de bril afgebeeld — een [reëel beeld](#def-g11-lenses-and-eye-images) waar het oog niets mee kan: de verte wordt wazig.

**15.** Vandaar bifocale glazen: leessterkte in de onderste helft van het glas, geen (of de vertecorrectie) in de bovenste helft.

**16.** $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, [virtueel](#def-g11-lenses-and-eye-images), rechtop, $\gamma = +5.0$.

**17.** $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$: $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$; $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$.

**18.** Steen in $F$: beeld op oneindig, bekeken met nul [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — urenlang keuren zonder vermoeide ogen.

**19.** $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D: ongeveer $4$ D [accommodatie](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**20.** $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ tegenover $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$: ongeveer $1.1\,\mathrm{mm}$, zo’n $6\%$ — de ingebouwde zoom die het fototoestel met $2.6\,\mathrm{mm}$ verplaatsing nabootste en die grootmoeder met $+3$ D oplapte.