---
title: "Elektrische en gravitatievelden"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 14
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden
---

# Hoofdstuk 14 — Elektrische en gravitatievelden

Hoe trekt de Aarde aan een appel die ze nooit aanraakt? Newton zelf noemde werking op afstand “zo grote onzin” dat hij weigerde haar te verdedigen. Het moderne antwoord: een massa, of een lading, verandert de ruimte om zich heen — ze wekt een *[veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field)* op — en wat je daar neerzet reageert op het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op zijn eigen plaats. We bouwen de twee grote voorbeelden naast elkaar op, tot de analogie een gelijkheid van vorm wordt.

## 14.1 Van werking op afstand naar het veld

**Definitie 14.1 (Veld).**

Een *veld* kent aan elk punt van de ruimte een vector toe. Een bron (een lading, een massa) wekt haar veld overal om zich heen op, of er nu iets is dat het voelt of niet; een testvoorwerp voelt vervolgens een [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die alleen door het veld *op zijn eigen plaats* wordt bepaald. Dat beeld in twee stappen vervangt de werking op afstand.

**Opmerking 14.2.**

Het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) is geen boekhoudkundige truc: het draagt [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy), en veranderingen van de bron reizen er met eindige snelheid doorheen naar buiten — licht zelf is zo’n reizend [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ([Hoofdstuk 22](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/22-licht-als-golf-buiging-en-interferentie#ch-g12-light-as-wave)). Hier bestuderen we [velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) die niet met de tijd veranderen.

## 14.2 Het elektrische veld

**Definitie 14.3 (Elektrisch veld).**

Als een kleine testlading $q$ in een punt $M$ een elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $\vect F$ voelt, dan is het *elektrische veld* in $M$

$$
\vect E = \frac{\vect F}{q}
\qquad \text{(in $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, ook geschreven als $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

$\vect E$ hangt alleen van de bronnen en van $M$ af, niet van de testlading: $q$ verdubbelen verdubbelt $\vect F$ en laat het quotiënt onveranderd.

**Propositie 14.4 (Kracht op een lading).**

Een lading $q$ op een plaats waar het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $\vect E$ is, voelt de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $\vect F = q \vect E$: langs $\vect E$ als $q > 0$, tegengesteld aan $\vect E$ als $q < 0$, met grootte $F = \abs{q}\,E$.

**Bewijs.** Herschik de definitie; de regel voor het teken is de algebra van een negatief veelvoud. ∎

**Voorbeeld 14.5 (Een veld aflezen).**

Een testlading $q = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ in $M$ voelt een [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) van $6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ naar het oosten. Het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in $M$ is $E = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, naar het oosten gericht; een lading $q' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ in hetzelfde punt voelt $F = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ — naar het westen.

**Propositie 14.6 (Veld van een puntlading).**

Een puntlading $Q$ wekt op afstand $d$ een [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op langs de lijn van de lading naar het punt — van $Q$ af als $Q > 0$, ernaartoe als $Q < 0$ — met grootte

$$
E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2},
\qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.
$$

**Bewijs.** De wet van Coulomb ([Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#ch-g11-fundamental-interactions)) geeft de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op een testlading $q$ op afstand $d$: grootte $k \abs{qQ} / d^2$, langs de verbindingslijn, afstotend bij gelijke tekens. Deel door $q$ en pas [Propositie 14.4](#prop-g11-electric-gravitational-fields-force) toe. ∎

**Voorbeeld 14.7 (Een geladen bol).**

Een vandegraaffbol draagt $Q = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ (een kleine geladen bol werkt als een puntlading in haar middelpunt). Op $d = 0.50\,\mathrm{m}$:

$$
E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},
$$

radiaal van de bol af gericht. Op $1.0\,\mathrm{m}$ is het tot een kwart daarvan gezakt: de $1/d^2$ van de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) leeft voort in het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Definitie 14.8 (Veldlijnen).**

Een *veldlijn* is een kromme die overal raakt aan het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), met een pijl die de richting van het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) aangeeft. Drie regels:

- ze vertrekken uit positieve ladingen en komen aan bij negatieve;
- waar de lijnen dicht opeen liggen is het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) sterk, waar ze uitwaaieren zwak;
- twee lijnen snijden elkaar nooit: het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) heeft in elk punt één richting.

![Veldlijnen van een puntlading: radiaal uit +, naar - toe; de opeenhoping vlak bij de lading beeldt de groei van het veld als 1/d2 uit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-fb95c245904e.svg)

![Veldlijnen van een puntlading: radiaal uit +, naar - toe; de opeenhoping vlak bij de lading beeldt de groei van het veld als 1/d2 uit.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-2f2b1844cddd.svg)

*[Veldlijnen](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) van een puntlading: radiaal uit $+$, naar $-$ toe; de opeenhoping vlak bij de lading beeldt de groei van het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) als $1/d^2$ uit.*

## 14.3 Het homogene veld van een condensator

**Definitie 14.9 (Vlakkeplaatcondensator).**

Twee evenwijdige metalen platen tegenover elkaar, dicht bij elkaar en met tegengestelde ladingen, vormen een *condensator*. Tussen de platen is het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) een *homogeen veld*: overal even groot en in dezelfde richting — loodrecht op de platen, van de positieve plaat naar de negatieve.

**Propositie 14.10 (Veld tussen de platen).**

Is de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) tussen de platen ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power)) gelijk aan $U$ en hun afstand $d$, dan heeft het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ertussen de grootte

$$
E = \frac{U}{d} \qquad \text{(in $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 14.11.**

De homogeniteit en $E = U/d$ worden eerlijk afgeleid in het volume van bachelorjaar 1; de formule verklaart de [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{V}/\mathrm{m}$. [Dunne](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/10-lenzen-beelden-en-het-oog#def-g11-lenses-and-eye-lens) spleten geven sterke [velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field): $100\,\mathrm{V}$ over een millimeter is al $10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Voorbeeld 14.12 (Een elektronenbundel sturen).**

In een [oscilloscoop](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) gaat de bundel tussen platen door met $U = 100\,\mathrm{V}$ en $d = 5.0\,\mathrm{mm}$: $E = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, en elk elektron voelt $F = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ naar de positieve plaat — $4 \times 10^{14}$ keer zijn [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van $8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$, zodat de bundel zichtbaar wordt afgebogen (de gebogen [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) is de zaak van [Hoofdstuk 25](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/25-de-wetten-van-newton#ch-g12-newtons-laws)).

![Het homogene veld van een condensator: evenwijdige lijnen op gelijke afstand van de +-plaat naar de --plaat, met E = U/d; een positieve lading wordt met het veld mee geduwd, een negatieve ertegenin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-aac0076074e6.svg)

*Het homogene [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van een [condensator](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor): evenwijdige lijnen op gelijke afstand van de $+$-plaat naar de $-$-plaat, met $E = U/d$; een positieve lading wordt met het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) mee geduwd, een negatieve ertegenin.*

## 14.4 Het gravitatieveld

**Definitie 14.13 (Gravitatieveld).**

Als een testmassa $m$ in een punt een [gravitatiekracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-force) (een [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight)) $\vect P$ voelt, dan is het *gravitatieveld* daar

$$
\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(in $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},
$$

en omgekeerd $\vect P = m \vect g$. Een eerder hoofdstuk voerde het getal $g$ in; $\vect g$ voegt daar de richting aan toe waarin een losgelaten steen begint te bewegen.

**Propositie 14.14 (Veld van de Aarde).**

Op afstand $d$ van het middelpunt van de Aarde (massa $M$) wijst het [gravitatieveld](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) naar het middelpunt en heeft het de grootte

$$
g = G\,\frac{M}{d^2},
\qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

**Bewijs.** De algemene [gravitatie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-four) ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#ch-g10-universal-gravitation)) geeft de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op een testmassa $m$: grootte $G M m / d^2$, naar het middelpunt; deel door $m$. Aan het oppervlak is $d = R$ en dit is de $g = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ uit het eerdere hoofdstuk. ∎

**Voorbeeld 14.15 (Het veld waar de Maan leeft).**

Op de afstand van de Maan, $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$:

$$
g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2
\approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

Het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van de Aarde houdt nooit op — het wordt alleen ijler als $1/d^2$; dit is het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dat de Maan in haar [omloopbaan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) houdt.

**Opmerking 14.16 (Homogeen vlak bij het oppervlak).**

Over een practicumlokaal of zelfs een berg verandert $d$ nauwelijks vergeleken met $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, dus is $\vect g$ tot in hoge nauwkeurigheid homogeen: verticale lijnen, een constante $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van de Aarde lijkt op dat van de [condensator](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), net zoals de ronde Aarde vanuit een tuin vlak lijkt.

![Het gravitatieveld van de Aarde: radiaal, naar het middelpunt gericht, met grootte GM/d2 — het exacte portret van het veld van een negatieve puntlading.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-0377202bd03f.svg)

*Het [gravitatieveld](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) van de Aarde: radiaal, naar het middelpunt gericht, met grootte $GM/d^2$ — het exacte portret van het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van een negatieve puntlading.*

## 14.5 Eén idee, twee krachten

De twee [velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van dit hoofdstuk zijn dezelfde wiskunde in twee vermommingen:

|  | **elektrisch** | **gravitationeel** |
| --- | --- | --- |
| bron | lading $Q$ | massa $M$ |
| [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) | $\vect E = \vect F / q$ | $\vect g = \vect P / m$ |
| [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) | $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ = $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ | $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ |
| puntbron | $E = k \abs{Q} / d^2$ | $g = G M / d^2$ |
| constante | $k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ | $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ |
| [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op een testvoorwerp | $\vect F = q \vect E$ | $\vect P = m \vect g$ |
| [veldlijnen](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) | uit $+$, naar $-$ | altijd naar de massa toe |

Elke formule links wordt die rechts onder het woordenboek $q \leftrightarrow m$, $\vect E \leftrightarrow \vect g$, $k \leftrightarrow G$.

**Opmerking 14.17 (Waar de analogie breekt).**

Lading bestaat in twee tekens, massa in één. [Elektrische velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) laten zich dus opheffen: de herschikte ladingen van een metalen doos wissen elk uitwendig [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) erbinnen uit (een *kooi van Faraday* — daarom doodt een lift je telefoonsignaal), en gewone materie, met evenveel $+$ als $-$, is elektrisch stil. De zwaartekracht laat zich niet afschermen en niet neutraliseren: elke [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) voegt zijn trek toe — en daarom regeert de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die $10^{39}$ keer zwakker is ([Oefening 14.10](#exo-g11-electric-gravitational-fields-10)) het heelal op grote schaal.

## 14.6 Oefeningen

**Oefening 14.1 ★.**

Een testlading $q = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ in een punt $M$ voelt een [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) van $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ naar het noorden. Geef het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in $M$ (grootte en richting), en daarna de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op $q' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ in $M$.

**Oplossing van Oefening 14.1.**

$E = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, naar het noorden. Op $q'$: $F = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, naar het *zuiden* ($q' < 0$).

**Oefening 14.2 ★.**

Een puntlading $Q = 5.0\,\mathrm{nC}$ zit in $O$.

1. Bereken het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op $d = 30\,\mathrm{cm}$ : grootte en richting.
2. Op welke afstand is het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) half zo sterk?

**Oplossing van Oefening 14.2.**

*1.* $E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2
\approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, van $O$ af gericht ($Q > 0$).

*2.* $k\abs{Q}/d^2$ halveren vraagt om een verdubbeld $d^2$: $d' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}$.

**Oefening 14.3 ★.**

Een [condensator](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) staat onder $U = 600\,\mathrm{V}$ met platen op $3.0\,\mathrm{mm}$ afstand. Bereken het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en daarna de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op één elektron daarin ($e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$).

**Oplossing van Oefening 14.3.**

$E = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $F = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$.

**Oefening 14.4 ★.**

Op Mars weegt een sonde van $250\,\mathrm{kg}$ $930\,\mathrm{N}$. Bereken het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $g_{\text{Mars}}$ aan het marsoppervlak, en daarna het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van een astronaut van $80\,\mathrm{kg}$ daar.

**Oplossing van Oefening 14.4.**

$g_{\text{Mars}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$. Astronaut: $P = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ (op Aarde ongeveer $780\,\mathrm{N}$).

**Oefening 14.5 ★.**

Juist of onjuist, met telkens één reden: (a) twee [veldlijnen](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) mogen elkaar snijden waar het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) sterk is; (b) [veldlijnen](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) vertrekken uit negatieve ladingen en komen aan bij positieve; (c) opeengedrongen [veldlijnen](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) wijzen op een sterk [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Oplossing van Oefening 14.5.**

(a) Onjuist: het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) heeft in elk punt één richting, dus snijden de lijnen elkaar nooit. (b) Onjuist: ze vertrekken uit $+$ en komen aan bij $-$. (c) Juist: opeenhoping codeert sterkte.

**Oefening 14.6 ★★.**

Het internationale ruimtestation draait op een hoogte van $420\,\mathrm{km}$ ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$).

1. Bereken $g$ bij het station; welk deel van de waarde aan het oppervlak is dat?
2. De astronauten zweven. Verzoen dat in één zin met je antwoord.

**Oplossing van Oefening 14.6.**

*1.* $d = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, dus $g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2
\approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — $88\%$ van de waarde aan het oppervlak.

*2.* Ze zweven doordat station en astronaut samen vallen (vrije val), niet doordat de zwaartekracht ontbreekt.

**Oefening 14.7 ★★.**

Welke veldgrootte zou het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van een elektron opheffen ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$)? Vergelijk met de $2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ uit [Voorbeeld 14.12](#ex-g11-electric-gravitational-fields-beam); trek je conclusie over de plaats van de zwaartekracht in de elektronenfysica.

**Oplossing van Oefening 14.7.**

$E = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19}
\approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: zo’n $4 \times 10^{14}$ keer zwakker dan het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in de [oscilloscoop](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope). De zwaartekracht is in de elektronenfysica volstrekt verwaarloosbaar.

**Oefening 14.8 ★★.**

Een stofdeeltje met massa $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ zweeft in rust tussen horizontale platen op $2.0\,\mathrm{cm}$ afstand met $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ ertussen.

1. Bereken het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en daarna de grootte van de lading van het deeltje.
2. De lading van het deeltje is positief: welke plaat is de positieve?
3. Hoeveel [elementaire ladingen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-elementary) draagt het deeltje?

**Oplossing van Oefening 14.8.**

*1.* $E = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; in rust geldt $qE = mg$, dus $q = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}$.

*2.* De [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het positieve deeltje moet omhoog wijzen, dus wijst $\vect E$ omhoog: de *onderste* plaat is de positieve.

*3.* $n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8}$ [elementaire ladingen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-elementary).

**Oefening 14.9 ★★.**

De ladingen $+Q$ en $+4Q$ liggen $30\,\mathrm{cm}$ uit elkaar. Waar op het lijnstuk ertussen is het totale [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) nul? Leg eerst uit waarom dat punt tussen de ladingen moet liggen, dichter bij de kleinste.

**Oplossing van Oefening 14.9.**

Buiten het lijnstuk wijzen beide [velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dezelfde kant op; ertussen werken ze tegen elkaar in — en het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) vraagt om een punt dichter bij de zwakkere bron $+Q$. Met $x$ de afstand tot $+Q$: $kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2$, dus $0.30 - x = 2x$ en $x = 0.10\,\mathrm{m}$ vanaf $+Q$.

**Oefening 14.10 ★★.**

In een waterstofatoom liggen het proton ($m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, lading $+e$) en het elektron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, lading $-e$) $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$ uit elkaar. Bereken de elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) en de [gravitatiekracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-force) ertussen, en hun verhouding.

**Oplossing van Oefening 14.10.**

$F_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 /
(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$; $F_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times
9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$. Verhouding $F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}$.

**Oefening 14.11 ★★.**

In een punt $M$ zou de ene bron alleen een [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van $300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ naar het oosten opwekken; een tweede bron een van $400\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ naar het noorden. [Velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tellen op als vectoren: geef het totale [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in $M$ (grootte en richting), en daarna de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op $q = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ die daar wordt neergezet.

**Oplossing van Oefening 14.11.**

$E = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, onder $\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ}$ ten noorden van het oosten. Op $q < 0$: $F = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$, tegengesteld aan het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — $53{}^{\circ}$ ten zuiden van het westen.

**Oefening 14.12 ★★★.**

Op welke hoogte is het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van de Aarde tot de helft van de waarde aan het oppervlak gezakt? En tot welk deel op hoogte $h = R$?

**Oplossing van Oefening 14.12.**

$GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2$ geeft $R + h = R\sqrt{2}$, dus $h = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (ongeveer $2600\,\mathrm{km}$). Op $h = R$ is $d = 2R$: een kwart van de waarde aan het oppervlak.

**Oefening 14.13 ★★★.**

Ladingen van $2.0\,\mathrm{nC}$ zitten in $A$ en $B$, $6.0\,\mathrm{cm}$ uit elkaar. $M$ ligt op de middelloodlijn van $[AB]$, $4.0\,\mathrm{cm}$ van het midden.

1. Bereken de afstand $AM$ en daarna de grootte van het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dat elke lading in $M$ opwekt.
2. Tel de twee [velden](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) als vectoren op (gebruik de symmetrie) en geef het totale [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in $M$ , met grootte en richting.

**Oplossing van Oefening 14.13.**

*1.* $AM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}$; elke lading wekt $E_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2 \approx
7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ op.

*2.* De componenten langs $AB$ heffen elkaar op door de symmetrie; elk [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) draagt $E_1 \times 4/5$ langs de middelloodlijn bij, van het lijnstuk af: $E = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx
1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, gericht langs de middelloodlijn, van $[AB]$ af.

**Oefening 14.14 ★★★.**

Leg met behulp van de twee tekens van lading uit hoe de vrije ladingen van een metalen doos een uitwendig [elektrisch veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) overal erbinnen opheffen — en waarom geen enkele schikking van massa’s hetzelfde voor de zwaartekracht kan doen. Welk onmogelijk ingrediënt zou een zwaartekrachtschild vergen?

**Oplossing van Oefening 14.14.**

De vrije ladingen van de doos bewegen onder het uitwendige [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field): $+$ hoopt zich op de ene wand op, $-$ op de andere, en die verplaatste ladingen wekken een inwendig [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op dat tegen het uitwendige in gaat. Ze blijven bewegen tot het totale [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) binnenin precies nul is — dan is er [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate). De zwaartekracht biedt maar één teken van bron: elke massa *voegt* een aantrekkend [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) toe, geen enkele kan ertegenin gaan. Een zwaartekrachtschild zou negatieve massa nodig hebben, en die bestaat niet.

**Oefening 14.15 ★★★.**

Een bolletje ($m = 0.50\,\mathrm{g}$, $q = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$) hangt aan een draad in een horizontaal [homogeen veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. In rust maakt de draad een hoek $\theta$ met de verticaal.

1. Noem de drie [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) ; leg uit waarom $\tan\theta = qE / (mg)$ .
2. Bereken $\theta$ en daarna de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) in de draad.

**Oplossing van Oefening 14.15.**

*1.* Het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $m\vect g$ (omlaag), de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$ (langs de draad) en de elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $q\vect E$ (horizontaal). In rust geldt $T\sin\theta = qE$ en $T\cos\theta = mg$; deel die op elkaar: $\tan\theta = qE/(mg)$.

*2.* $\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} /
(5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41$, dus $\theta \approx 22{}^{\circ}$; $T = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$.

## 14.7 Probleem: Het druppeltje van Millikan

**Probleem 14.1.**

Weekendopgave — de lading van het elektron wegen: een oliedruppeltje dat tussen twee platen in de lucht blijft hangen, onthult dat lading in ondeelbare stapjes van $1.60 \times 10^{-19}$ [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-charge) komt

In 1909 verstoof Robert Millikan oliedruppeltjes tussen de horizontale platen van een [condensator](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor). Door de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) bij te stellen tot een gekozen druppeltje roerloos hing — de elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) precies in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) met het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) — kon hij zijn lading wegen. Ons druppeltje heeft massa $m = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ (gemeten aan zijn trage val met het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) uit; we nemen die als gegeven); de platen liggen $d = 8.0\,\mathrm{mm}$ uit elkaar, met de *bovenste* positief; de lading van het druppeltje is negatief.

**Deel I — Het toneel.**

1. Beschrijf het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tussen de platen; wat levert “homogeen” op?
2. Bereken $E$ voor $U = 800\,\mathrm{V}$ .
3. In welke richting werkt de elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het druppeltje? Waarom moest de *bovenste* plaat de positieve zijn?
4. Bereken het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van het druppeltje.
5. Schrijf de voorwaarde voor rust als een gelijkheid van twee krachtgroottes.

**Deel II — Het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate).**

6. [Druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) daaruit $\abs{q}$ uit in $m$ , $g$ , $d$ en $U$ .
7. Het druppeltje hangt in rust bij $U = 800\,\mathrm{V}$ : bereken $\abs{q}$ .
8. Deel door $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . Hoeveel elektronen te veel draagt het druppeltje?
9. De [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) wordt naar $900\,\mathrm{V}$ opgeschroefd. In welke richting wijst de resulterende [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) nu?
10. Toon aan dat de evenwichtsspanning $U = mgd/\abs{q}$ is: hoe groter de lading, hoe kleiner de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) .

**Deel III — De stapjes.** Een stralingspuls kan elektronen op het druppeltje slaan of eraf; na elke verandering stelt Millikan de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) opnieuw op [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) af.

11. Na één puls vergt het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) $U = 1200\,\mathrm{V}$ . Bereken de nieuwe $\abs{q}$ . Heeft het druppeltje een elektron gewonnen of verloren?
12. Opeenvolgende [evenwichten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) worden gevonden bij $U = 1200$ , $800$ , $600$ , $480$ en $400\,\mathrm{V}$ . Bereken de vijf ladingen.
13. Toon aan dat alle vijf gehele veelvouden van één grootheid zijn; geef haar waarde.
14. Met hoeveel verandert de lading tussen twee opeenvolgende [evenwichten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) ? Interpreteer dat.
15. Leg uit waarom dit druppeltje nooit in rust kan hangen bij $U = 700\,\mathrm{V}$ , hoe geduldig je ook afstelt.
16. Millikan herhaalde dit met honderden druppeltjes: elke gemeten lading was een geheel veelvoud van dezelfde waarde. Formuleer de conclusie en noem de grootheid die is gemeten.

**Deel IV — Waarom er geen Millikan voor de zwaartekracht bestaat.**

17. Wat speelt in het woordenboek van dit hoofdstuk de rol van $q$ , $E$ en $qE$ in het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) van deel II?
18. Zou een massa erboven het druppeltje in plaats daarvan omhoog kunnen houden? Bereken het [veld](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van een loden bol van $1000\,\mathrm{kg}$ op $1.0\,\mathrm{m}$ boven het druppeltje, de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het druppeltje, en vergelijk met zijn [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) .
19. Het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) vraagt om een opwaartse trek die het tegen de hele Aarde opneemt. Waarom kan een geladen plaat die leveren en geen enkele schikking van massa’s?
20. Ook de *massa* van het druppeltje verandert in stapjes (één oliemolecuul: ongeveer $5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ). Vergelijk de relatieve sprongen in $m$ en in $\abs{q}$ wanneer er één elektron landt, en besluit: waarom ziet dit [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) de atomen van de elektriciteit maar niet de [moleculen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-ladder) van de olie? De clou: lading is gekwantiseerd, en haar [atoom](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-ladder) is $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

**Oplossing van Probleem 14.1.**

**1.** Homogeen, loodrecht op de platen, omlaag gericht (van de positieve bovenplaat naar de negatieve onderplaat); homogeen betekent dat de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het druppeltje overal even groot is, waar het ook heen drijft. **2.** $E = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. **3.** De lading is negatief, dus is de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) *tegengesteld* aan $\vect E$: omhoog. Alleen met de $+$-plaat bovenaan wijst $\vect E$ omlaag en werkt de elektrische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) tegen. **4.** $P = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx
4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$. **5.** $\abs{q}E = mg$. **6.** $\abs{q} = mg/E = mgd/U$. **7.** $\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800
\approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **8.** $n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3$ elektronen te veel. **9.** $E$ groeit, dus $\abs{q}E > mg$: de resulterende [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) wijst omhoog. **10.** Uit $\abs{q}\,U/d = mg$ volgt $U = mgd/\abs{q}$ — omgekeerd evenredig met de lading. **11.** $\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx
3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e$: gezakt van $3e$, dus het druppeltje heeft één elektron *verloren*. **12.** $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U$: $3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **13.** Het zijn $2e, 3e, 4e, 5e, 6e$ met $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **14.** Elk stapje verandert $\abs{q}$ met precies $1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$: er landt telkens één elektron. **15.** Daarvoor zou $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx
5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e$ nodig zijn — geen geheel aantal elektronen, dus kan geen enkele stralingspuls dat ooit voortbrengen. **16.** Lading is *gekwantiseerd*: ze komt in gehele veelvouden van de [elementaire lading](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-elementary) $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — de grootheid die Millikan heeft gemeten. **17.** $q \leftrightarrow m$, $E \leftrightarrow g$, en $\abs{q}E \leftrightarrow mg$: het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) zelf. **18.** $g_{\text{bol}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 /
1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$; de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het druppeltje is $4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N}$ — ongeveer $1.5 \times 10^{8}$ keer kleiner dan zijn [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight). Hopeloos. **19.** Omdat $G$ zo klein is, zou alleen een massa ter grootte van een planeet boven het druppeltje de trek van de Aarde kunnen evenaren — en geen massa stoot af. Door de enorme $k$ en de twee tekens van lading kan een plaat op een tafelblad de planeet in beide richtingen overtroeven. **20.** Eén elektron: $\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\%$; één oliemolecuul: $\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15}
\approx 10^{-10}$. De ladingstrap verschuift de evenwichtsspanning met honderden [volt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage); de massatrap is bij geen enkele [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) zichtbaar. Het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) onderscheidt dus wel het [atoom](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-ladder) van de elektriciteit — $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — terwijl de [moleculen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-ladder) van de olie tot een continuüm vervagen.