---
title: "Magnetisme en magnetische velden"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 15
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/15-magnetisme-en-magnetische-velden
---

# Hoofdstuk 15 — Magnetisme en magnetische velden

Zeelieden voeren duizend jaar lang op gemagnetiseerde naalden voordat iemand wist waarom die naar het noorden wijzen. Het antwoord kwam in 1820, toen een stroom een kompas deed trillen: magnetisme wordt gemaakt door bewegende ladingen. Dit hoofdstuk brengt het magnetische [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) in kaart — van magneten, van de Aarde, van stromen — en sluit dan de kring: het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) duwt terug op stromen, en zo draait elke elektromotor.

## 15.1 Magneten en het magnetische veld

**Definitie 15.1 (Magneet en polen).**

Een *magneet* trekt ijzer aan en draait, aan een draad opgehangen, met één uiteinde naar het noorden. Haar werking concentreert zich in twee *magnetische polen*, de *noordpool* (het uiteinde dat het geografische noorden opzoekt) en de *zuidpool*: gelijke polen stoten elkaar af, ongelijke trekken elkaar aan. Een magneet doormidden zagen levert twee volledige magneten op — geen enkele proef heeft ooit één pool geïsoleerd.

**Definitie 15.2 (Magnetisch veld).**

Een [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) verandert de ruimte om zich heen ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#ch-g11-electric-gravitational-fields)): ze wekt overal een *magnetisch veld* $\vect B$ op. Een kompas leest de richting ervan af (de naald richt zich naar $\vect B$, met de noordpool voorop); een *hallsonde* meet de grootte, in *tesla* ($\mathrm{T}$).

**Definitie 15.3 (Magnetische veldlijnen).**

*Magnetische veldlijnen* zijn krommen die raken aan $\vect B$ en dichter opeen liggen waar het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) sterk is. Buiten een [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) lopen ze van de noordpool naar de zuidpool; anders dan elektrische [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) hebben ze geen uiteinden: elke lijn sluit zich door het lichaam van de [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) heen.

![Veldlijnen van een staafmagneet: uit N, naar Z, gesloten door het lichaam heen. Een kompas dat je ergens neerlegt, richt zich langs de lijn die er doorheen loopt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-aa66aa0d5cf4.svg)

*[Veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) van een staafmagneet: uit N, naar Z, gesloten door het lichaam heen. Een kompas dat je ergens neerlegt, richt zich langs de lijn die er doorheen loopt.*

## 15.2 De Aarde is een magneet

**Definitie 15.4 (Het magnetische veld van de Aarde).**

Stromen in de gesmolten ijzeren kern van de Aarde maken van de planeet een reusachtige [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet): aan het oppervlak is $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$, en een vrij draaiende naald richt zich naar de horizontale component van het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — dat is het kompas. De geomagnetische polen zijn niet de geografische; de hoek tussen het kompasnoorden en het ware noorden is de *declinatie*, die op elke koers wordt gecorrigeerd.

**Voorbeeld 15.5 (Een koers corrigeren).**

Waar de [declinatie](#def-g11-magnetic-fields-earth) $7{}^{\circ}$ west bedraagt, drijft een schip dat $5.0\,\mathrm{km}$ lang op “kompasnoord” vaart $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ ten westen van zijn koerslijn af: om werkelijk pal noord te varen, stuur je $7{}^{\circ}$ *oostelijker* dan de naald.

## 15.3 Het magnetische veld van een stroom

**Opmerking 15.6 (Oersted, 1820).**

Tijdens een college in 1820 zag Hans Christian Oersted een kompasnaald uitslaan toen hij vlakbij een schakeling sloot: elektriciteit en magnetisme waren één onderwerp — *stromen wekken magnetische [velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op*.

**Propositie 15.7 (Veld van een rechte draad).**

Een lange rechte draad met stroomsterkte $I$ wekt een [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op waarvan de lijnen cirkels zijn rond de draad, in vlakken loodrecht erop. Op afstand $d$ van de draad geldt

$$
B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d},
\qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

![Cirkelvormige veldlijnen rond een rechte draad, van voren gezien (: stroom uit het blad; : het blad in). Pak de draad met de rechterhand vast, duim langs de stroom: de vingers krullen mee met de draaizin van B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-1206566d288a.svg)

![Cirkelvormige veldlijnen rond een rechte draad, van voren gezien (: stroom uit het blad; : het blad in). Pak de draad met de rechterhand vast, duim langs de stroom: de vingers krullen mee met de draaizin van B.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-76d6edd24e06.svg)

*Cirkelvormige [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) rond een rechte draad, van voren gezien ($\odot$: stroom uit het blad; $\otimes$: het blad in). Pak de draad met de rechterhand vast, duim langs de stroom: de vingers krullen mee met de draaizin van $\vect B$.*

**Voorbeeld 15.8 (Een draad is een zwakke magneet).**

Op $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ van een draad met $I = 15\,\mathrm{A}$: $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — zes aardvelden, uit een stroom die een huisinstallatie al zou uitschakelen. Sterke [velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) vragen om een betere meetkunde.

**Definitie 15.9 (Spoel en solenoïde).**

De draad opwinden concentreert haar [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Een *vlakke spoel* ($N$ windingen in een schijf) gedraagt zich als een [dunne](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/10-lenzen-beelden-en-het-oog#def-g11-lenses-and-eye-lens) [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet), met de ene kant noord en de andere zuid; een *solenoïde* — een lange cilindrische wikkeling met $n$ windingen per [meter](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — als een staafmagneet.

**Propositie 15.10 (Veld in een solenoïde).**

Binnen in een lange [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), ver van de uiteinden, is het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) *homogeen*: evenwijdig aan de as en in elk inwendig punt hetzelfde, met grootte $B = \mu_0\, n\, I$, onafhankelijk van de wijdte van de boring. Buiten de [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) is het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) zwak.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 15.11.**

Beide formules worden eerlijk afgeleid in het volume van bachelorjaar 1, uit de wet die de circulatie van een [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) verbindt met de stroom die het omsluit. Let op wat telt: $n$, windingen *per [meter](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit)* — wikkel dichter, niet langer.

**Methode 15.12 (De rechterhand, twee keer).**

- *Draad* : duim $=$ stroom; gekromde vingers $=$ draaizin van de lijnen.
- *Spoel, [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)* : gekromde vingers $=$ stroom in de windingen; duim $= \vect B$ binnenin, wijzend naar de noordkant.

![Een solenoïde in de lengte doorgesneden (/: de windingen die het blad doorkruisen): binnenin een homogene B = _0 n I langs de as; buiten een zwak, uitgewaaierd retourveld (gestippeld).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-006e5fb48b1e.svg)

*Een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) in de lengte doorgesneden ($\odot$/$\otimes$: de windingen die het blad doorkruisen): binnenin een homogene $B = \mu_0 n I$ langs de as; buiten een zwak, uitgewaaierd retourveld (gestippeld).*

**Voorbeeld 15.13 (Getallen bij een solenoïde).**

Bij $10$ windingen per centimeter ($n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$) en $I = 5.0\,\mathrm{A}$: $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx
6.3\,\mathrm{mT}$ — honderd aardvelden, met een knop instelbaar.

## 15.4 Elektromagneten

**Definitie 15.14 (Elektromagneet).**

Een *elektromagneet* is een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) die om een kern van zacht ijzer is gewikkeld: het ijzer magnetiseert in het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van de spoel en vermenigvuldigt het, doorgaans met $100$ tot $1000$. Anders dan een permanente [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) schakelt hij met de stroom uit.

**Opmerking 15.15 (Drie machines).**

De kraan op het schrootterrein tilt een auto op met een [elektromagneet](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) en — dat is de hele bedoeling — *laat hem vallen* door een schakelaar te openen. De kleine [elektromagneet](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) van een relais trekt een contact dicht: een zwakke stroom schakelt een sterke ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power)). Een mri-scanner houdt met een supergeleidende [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) een homogene $1.5\,\mathrm{T}$ rond de patiënt in stand.

[Ordegrootten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-oom), van het melkwegstelsel tot een dode ster:

| interstellaire ruimte | $\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$ |
| --- | --- |
| het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) aan het aardoppervlak | $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ |
| een koelkastmagneet | $\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ |
| een neodymiummagneet, aan zijn pool | $\sim 0.5\,\mathrm{T}$ |
| een [mri-solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) | $1.5\,\mathrm{T}$ |
| het oppervlak van een neutronenster | $\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$ |

## 15.5 De lorentzkracht op een stroomdraad

**Propositie 15.16 (Lorentzkracht op een stroomdraad).**

Een rechte draad met lengte $L$ die een stroom $I$ voert in een [homogeen veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) $\vect B$ *loodrecht* op de draad, voelt de *lorentzkracht* met grootte $F = I\,L\,B$, loodrecht op zowel de draad als $\vect B$: vlakke rechterhand, duim langs de stroom, gestrekte vingers langs $\vect B$ — de handpalm duwt langs $\vect F$. Een draad *evenwijdig* aan het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) voelt geen [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 15.17 (De springende staaf).**

Het volume van bachelorjaar 1 leidt dit af uit de magnetische [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op elke bewegende lading. In het practicum: een koperen [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) ligt over twee horizontale rails tussen de polen van een [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) (in de figuur wijst het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) het blad in); sluit de schakelaar en het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) schiet langs de rails weg. Draai de stroom om, of de [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet): het schiet de andere kant op.

![De railproef: stroom omlaag door het staafje, veld het blad in () — de lorentzkracht F = ILB drijft het staafje langs de rails.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-4f0415657935.svg)

*De railproef: stroom omlaag door het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones), [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) het blad in ($\otimes$) — de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) $F = ILB$ drijft het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) langs de rails.*

**Voorbeeld 15.18 (Getallen bij de lorentzkracht).**

Een [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) met lengte $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ dat $I = 8.0\,\mathrm{A}$ voert in $B = 0.50\,\mathrm{T}$: $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van $20\,\mathrm{g}$, op een draad die een paar gram weegt.

**Opmerking 15.19 (De gelijkstroommotor).**

Buig de draad tot een lus in het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field): de twee zijden loodrecht op $\vect B$ voeren tegengestelde stromen, dus zijn hun [lorentzkrachten](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) tegengesteld — een koppel dat de lus laat draaien. Een halve slag later zou dat koppel haar terugdraaien, dus keert een draaiende schakelaar (de *commutator*) de stroom elke halve slag om. Elke ventilator en elke boormachine is deze lus, in het groot.

## 15.6 Oefeningen

**Oefening 15.1 ★.**

Een staafmagneet wordt tussen zijn polen doormidden gezaagd. Welke polen draagt elk stuk? Trekken de pas gezaagde vlakken elkaar aan of stoten ze elkaar af als je ze weer bij elkaar brengt? Bestaat er een manier van zagen die de noordpool isoleert?

**Oplossing van Oefening 15.1.**

Elk stuk is een volledige [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) met een noord- en een zuidpool: op elk zaagvlak verschijnt een nieuwe pool. De verse vlakken zijn een N en een Z, dus trekken ze elkaar aan — de stukken proberen zich weer aaneen te voegen. Geen enkele manier isoleert een pool: elke zaagsnede maakt een paar.

**Oefening 15.2 ★.**

Juist of onjuist, met telkens één reden: (a) twee [magnetische veldlijnen](#def-g11-magnetic-fields-lines) snijden elkaar waar het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) sterk is; (b) buiten een [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) lopen de [veldlijnen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) van de noordpool naar de zuidpool; (c) elke [magnetische veldlijn](#def-g11-magnetic-fields-lines) is een gesloten lus; (d) een naald richt zich loodrecht op de lijn die er doorheen loopt.

**Oplossing van Oefening 15.2.**

(a) Onjuist: het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) heeft in elk punt één richting. (b) Juist. (c) Juist: elke lijn sluit zich door het lichaam van de [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet). (d) Onjuist: de naald richt zich *langs* de lijn, rakend eraan.

**Oefening 15.3 ★.**

Bereken het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) op $2.0\,\mathrm{cm}$ van een rechte draad met $10\,\mathrm{A}$. Hoeveel keer de $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ van de Aarde is dat?

**Oplossing van Oefening 15.3.**

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — twee keer het aardveld.

**Oefening 15.4 ★.**

Een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) met $800$ windingen over $40\,\mathrm{cm}$ voert $I = 1.5\,\mathrm{A}$. Bereken $n$ en daarna $B$ binnenin; wat wordt $B$ als de stroom verdubbelt?

**Oplossing van Oefening 15.4.**

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$. Omdat $B \propto I$, geeft een verdubbelde stroom $7.5\,\mathrm{mT}$.

**Oefening 15.5 ★.**

Een draadstuk van $10\,\mathrm{cm}$ voert $5.0\,\mathrm{A}$ loodrecht op een [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van $0.20\,\mathrm{T}$. Bereken de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace); aan het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van welke massa is die gelijk?

**Oplossing van Oefening 15.5.**

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$.

**Oefening 15.6 ★★.**

Waar een wandelaarster staat, is de [declinatie](#def-g11-magnetic-fields-earth) $8{}^{\circ}$ west. Ze loopt $2.0\,\mathrm{km}$ “noord volgens kompas”: hoever, en naar welke kant van het ware noorden, drijft ze af? Welke koers zou haar pal noord hebben gebracht?

**Oplossing van Oefening 15.6.**

*1.* Haar koers wijst $8{}^{\circ}$ ten westen van het ware noorden: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ naar het westen.

*2.* Stuur $8{}^{\circ}$ *oostelijker* dan het noorden van de naald.

**Oefening 15.7 ★★.**

Op welke afstand van een rechte draad met $20\,\mathrm{A}$ is haar [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) gelijk aan de $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ van de Aarde? Wat zegt dat over het vertrouwen in een kompas vlak bij kabels onder [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage)?

**Oplossing van Oefening 15.7.**

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5}
= 8.0\,\mathrm{cm}$. Binnen een decimeter van zo’n kabel leest het kompas de draad af en niet de planeet — houd het weg bij leidingen onder [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage).

**Oefening 15.8 ★★.**

Ontwerp een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) die $B = 10\,\mathrm{mT}$ levert bij $I = 4.0\,\mathrm{A}$: bereken de vereiste $n$ en daarna het aantal windingen voor een spoel van $25\,\mathrm{cm}$.

**Oplossing van Oefening 15.8.**

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0)
\approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$; over $25\,\mathrm{cm}$ geeft dat $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ windingen.

**Oefening 15.9 ★★.**

In de railproef voert het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) (massa $20\,\mathrm{g}$, lengte $L = 12\,\mathrm{cm}$ tussen de rails) $10\,\mathrm{A}$ in een loodrecht [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van $0.50\,\mathrm{T}$. Bereken de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) en daarna de beginversnelling van het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones); vergelijk met $g$.

**Oplossing van Oefening 15.9.**

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — ongeveer $3g$: het [staafje](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/11-kleur-en-lichtbronnen#def-g11-color-light-sources-cones) springt werkelijk weg.

**Oefening 15.10 ★★.**

Een horizontale draad met massa $5.0\,\mathrm{g}$ en lengte $20\,\mathrm{cm}$ ligt in een horizontaal [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.10\,\mathrm{T}$ dat er loodrecht op staat. Bij welke stroom houdt de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van de draad in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate), zodat hij zweeft? Welke kant moet de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op wijzen?

**Oplossing van Oefening 15.10.**

[Evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate): $ILB = mg$, dus $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx
2.5\,\mathrm{A}$. De [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) moet omhoog wijzen; met $\vect B$ horizontaal en loodrecht op de draad legt de vlakke rechterhand (handpalm omhoog) de vereiste stroomrichting vast.

**Oefening 15.11 ★★.**

Geef de richting van de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) (of zeg dat ze verdwijnt): (a) stroom naar rechts op het blad, $\vect B$ het blad in; (b) stroom naar de bovenkant van het blad, $\vect B$ uit het blad; (c) stroom evenwijdig aan $\vect B$. Gebruik de vlakke rechterhand.

**Oplossing van Oefening 15.11.**

Vlakke rechterhand: (a) naar de bovenkant van het blad; (b) naar rechts; (c) geen [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) — de draad staat evenwijdig aan het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Oefening 15.12 ★★★.**

Een horizontale draad loopt geografisch noord–zuid, $3.0\,\mathrm{cm}$ boven een kompas; de horizontale component van het aardveld is daar $20\,\text{µ}\mathrm{T}$. De draad voert $I = 5.0\,\mathrm{A}$: bereken haar [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) bij het kompas, geef de richting ervan, en daarna de uitslag van de naald ([velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tellen op als vectoren).

**Oplossing van Oefening 15.12.**

*1.* $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx
33\,\text{µ}\mathrm{T}$; de lijnen cirkelen om de draad, dus is het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) recht eronder horizontaal en loodrecht op de draad: oost–west.

*2.* De naald volgt de vectorsom: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$, dus $\theta \approx 59{}^{\circ}$ weg van het noorden.

**Oefening 15.13 ★★★.**

Een [elektromagneet](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) op een schrootterrein is een spoel van $400$ windingen over $20\,\mathrm{cm}$, met [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$, op een voeding van $12\,\mathrm{V}$; zijn ijzeren kern vermenigvuldigt het kale [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) met $100$. Bereken de stroom, het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van de kale spoel, het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) met de kern, en het [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-power) dat de spoel omzet ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power)). Waarom valt het schroot op het moment dat de schakelaar opengaat?

**Oplossing van Oefening 15.13.**

*1.* $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$; met de kern $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$.

*2.* $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$.

*3.* Geen stroom, geen [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — en zacht ijzer blijft niet gemagnetiseerd: de last komt ogenblikkelijk los, precies zoals bedoeld.

**Oefening 15.14 ★★★.**

De rechthoekige lus van een motor heeft $N = 50$ windingen met $I = 2.0\,\mathrm{A}$; haar twee zijden van $5.0\,\mathrm{cm}$ staan loodrecht op een [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.30\,\mathrm{T}$. Bereken de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op elk van die zijden; waarom zijn de twee [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) tegengesteld, en wat doen ze met de lus? Waarom voelen de twee andere zijden soms geen [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force)? Waarom moet de stroom elke halve slag worden omgekeerd?

**Oplossing van Oefening 15.14.**

*1.* $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 =
1.5\,\mathrm{N}$ op elke zijde. De stroom loopt in de twee zijden tegengesteld, dus zijn de [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) tegengesteld: een koppel dat de lus laat draaien.

*2.* Evenwijdig aan $\vect B$ voelt een draad geen [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

*3.* Na een halve slag zou het koppel omkeren en de draaiing ongedaan maken; de [commutator](#rem-g11-magnetic-fields-motor) draait de stroom elke halve slag om, zodat de lus dezelfde kant op blijft draaien.

**Oefening 15.15 ★★★.**

Hoe dicht bij een kabel met $100\,\mathrm{A}$ zou je moeten komen om haar [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $1\,\mathrm{T}$ te laten bereiken? Vergelijk met de straal van een millimeter van de kabel en besluit waarom [velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van een [tesla](#def-g11-magnetic-fields-bfield) uit [solenoïden](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) worden opgebouwd en niet uit losse draden. En daarna: hoeveel machten van tien ligt het oppervlakteveld van $10^{8}\,\mathrm{T}$ van een neutronenster boven dat van de Aarde?

**Oplossing van Oefening 15.15.**

*1.* $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — diep *binnen* het koper van een millimeter dik. Geen enkel bereikbaar punt vlak bij één draad haalt $1\,\mathrm{T}$: sterke [velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) stapelen duizenden windingen (een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)), plus ijzer of supergeleiders.

*2.* $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$: ongeveer twaalf machten van tien.

## 15.7 Probleem: Het kompas, de kraan en de mri

**Probleem 15.1.**

Weekendopgave — drie magneten aan het werk: een kompas dat een oceaan oversteekt, een elektromagneet die een auto optilt en een mri-solenoïde — één veld, over tien machten van tien, dat drie klussen klaart

Dezelfde vector $\vect B$ stuurt een zeilboot met $50\,\text{µ}\mathrm{T}$, tilt schroot op met $1\,\mathrm{T}$ en brengt een knie in beeld met $1.5\,\mathrm{T}$ — drie machines voor de drie formules van dit hoofdstuk.

**Deel I — Het kompas.** Op de positie van het schip heeft het aardveld een horizontale component van $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ en een verticale van $44\,\text{µ}\mathrm{T}$; de [declinatie](#def-g11-magnetic-fields-earth) is $6{}^{\circ}$ west.

1. Waarom wijst een kompasnaald überhaupt naar het (magnetische) noorden?
2. Bereken de grootte van het totale [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) en zijn hoek met de horizontaal.
3. Als het schip $30\,\mathrm{km}$ lang op “kompasnoord” vaart, hoever ten westen van de ware noordkoers komt het dan uit?
4. Stalen lading doet de naald nog eens $4{}^{\circ}$ westwaarts uitslaan: dezelfde vraag.
5. Vlak bij de geomagnetische pool is een kompas onbruikbaar: welke component is daar de schuldige, en waarom?

**Deel II — De kraan.** De [elektromagneet](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) op het schrootterrein is een [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) van $600$ windingen over $30\,\mathrm{cm}$, met [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) $1.5\,\Omega$, gevoed door een bron van $12\,\mathrm{V}$; zijn ijzeren kern vermenigvuldigt het kale [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) met $50$.

6. Bereken $n$ , de windingdichtheid.
7. Bereken de stroom in de spoel ( [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power) ).
8. Bereken het kale [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $\mu_0 n I$ van de spoel.
9. Bereken het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) met de kern; vergelijk met de $0.5\,\mathrm{T}$ van neodymium.
10. Bereken het [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-power) dat de spoel omzet, en daarna de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) voor een hijsdienst van $10\,\mathrm{min}$ .
11. Een permanente [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) die zo sterk is, bestaat. Waarom dan toch een [elektromagneet](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) ?

**Deel III — De liermotor.** De lier van de kraan is een gelijkstroommotor: een rechthoekige lus van $N = 100$ windingen, met zijden van $4.0\,\mathrm{cm}$ loodrecht op $B = 0.25\,\mathrm{T}$, die $I = 3.0\,\mathrm{A}$ voert.

12. Bereken de [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) op elke bundel zijden die loodrecht op $\vect B$ staat.
13. De twee [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) zijn even groot en tegengesteld, en toch heffen hun gevolgen elkaar niet op. Wat brengen ze voort, en waarom moeten ze *tegengesteld* zijn?
14. Welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) werkt er op de twee andere zijden wanneer die evenwijdig aan $\vect B$ staan?
15. Na een halve slag zouden dezelfde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) de draaiing weer ongedaan maken. Wat doet de [commutator](#rem-g11-magnetic-fields-motor) , en wanneer?
16. Geef drie afzonderlijke ontwerpwijzigingen die elk het krachtenpaar verdubbelen.

**Deel IV — De mri.** De [solenoïde](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) van de scanner houdt een homogene $1.5\,\mathrm{T}$ in stand met een stroom $I = 500\,\mathrm{A}$.

17. Hoeveel keer het aardveld is $1.5\,\mathrm{T}$ ?
18. Bereken de windingdichtheid $n$ die daarvoor *zonder* ijzeren kern nodig is.
19. Als de wikkeling een [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) van $0.20\,\Omega$ had, welk [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-power) zou ze dan omzetten? Welke eigenschap van de echte wikkeling voorkomt dat, tegen de prijs van extreme kou?
20. De clou: plaats de [velden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) van het schip, de kraan en de mri op de ladder van machten van tien, van de interstellaire ruimte ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) tot een neutronenster ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); wat is er tussen de machines veranderd — de natuurkunde, of de [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-current) ?

**Oplossing van Probleem 15.1.**

**1.** De naald is zelf een kleine [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet); het aardveld richt haar, met de noordpool langs de horizontale component van $\vect B$, dus naar het magnetische noorden.

**2.** $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx
48\,\text{µ}\mathrm{T}$, onder $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ onder de horizontaal.

**3.** De koers loopt $6{}^{\circ}$ ten westen van het ware noorden: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ naar het westen.

**4.** De fouten tellen op: $10{}^{\circ}$, dus $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — vijf kilometer voor tien graden.

**5.** De horizontale component: vlak bij de pool staat het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) bijna verticaal, krimpt het horizontale deel naar nul, en houdt de naald niets meer over om zich naar te richten.

**6.** $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$.

**7.** $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$.

**8.** $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0
\approx 20\,\mathrm{mT}$.

**9.** $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — twee keer het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) aan een neodymiumpool, over een veel groter vlak.

**10.** $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$; in $10\,\mathrm{min}$: $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$.

**11.** Omdat hij loslaat: schakelaar open, [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) weg, en de auto valt precies waar je hem hebben wilt. Een permanente [magneet](#def-g11-magnetic-fields-magnet) houdt voor eeuwig vast.

**12.** $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 =
3.0\,\mathrm{N}$.

**13.** Een koppel: aan weerszijden van de as aangrijpend draaien de twee tegengestelde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) de lus dezelfde kant op. Even grote *evenwijdige* [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) zouden de lus alleen zijwaarts duwen en haar niet laten draaien.

**14.** Geen enkele: een draad evenwijdig aan het [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field) voelt geen [lorentzkracht](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

**15.** Hij keert de stroom in de lus bij elke halve slag om, net wanneer het koppel van teken zou wisselen — zodat het moment altijd dezelfde draaiing aandrijft.

**16.** Verdubbel $N$, of verdubbel $I$, of verdubbel $B$: het krachtenpaar $F = NILB$ is met elk van drieën evenredig.

**17.** $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$: dertigduizend aardvelden.

**18.** $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500)
\approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — en elk van die windingen voert $500\,\mathrm{A}$.

**19.** $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — genoeg om een hele wijk te verwarmen. De echte wikkeling is supergeleidend: geen [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance), geen warmteontwikkeling, mits ze een paar graden boven het absolute nulpunt wordt gehouden.

**20.** Kompas $5 \times 10^{-5}$, kraan $1$, mri $1.5$: het schip zit vijf sporten onder de twee machines, die één decade delen — tussen de $10^{-10}$ van de interstellaire ruimte en de $10^{8}$ van een neutronenster. Er is niets veranderd behalve de [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-current) (en de windingen, het ijzer en de supergeleider die ze vermenigvuldigen): één [veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-field), drie klussen.