---
title: "Krachten en beweging"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 16
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging
---

# Hoofdstuk 16 — Krachten en beweging

Gooi een moersleutel tollend door de kamer: de uiteinden zwabberen wild, en toch beschrijft één punt erin een volmaakte parabool. [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#ch-g10-inertia) regelde wat er gebeurt wanneer [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) zijn — niets. Dit hoofdstuk vraagt wat er gebeurt wanneer ze dat niet zijn: de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die overblijft *verandert de snelheid* — ze versnelt lichamen, vertraagt ze, doet ze afbuigen — en zegt met hoeveel, in verhoudingen zo niet in formules.

## 16.1 Het massamiddelpunt

**Definitie 16.1 (Massamiddelpunt).**

Het *massamiddelpunt* van een lichaam of een stelsel is zijn evenwichtspunt — de gemiddelde ligging van zijn massa: het meetkundige midden van een homogeen symmetrisch lichaam; voor twee puntmassa’s het punt van het verbindingsstuk waarvan de afstanden zich verhouden als de *omgekeerde* verhouding van de massa’s, $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m_2}{m_1}$ — dus dichter bij de zwaarste.

**Voorbeeld 16.2 (Een scheve halter).**

Bollen van $2.0\,\mathrm{kg}$ en $1.0\,\mathrm{kg}$ zitten aan de uiteinden van een lichte staaf van $0.90\,\mathrm{m}$. Het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) verdeelt de staaf in de omgekeerde verhouding $d_1/d_2 = 1.0/2.0$: op $0.30\,\mathrm{m}$ van de zware bol en $0.60\,\mathrm{m}$ van de lichte — daar houd je de staaf in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate).

**Opmerking 16.3 (De geworpen moersleutel).**

Film een tollende moersleutel: elk punt volgt een ingewikkelde lussende kromme — behalve het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com), dat de nette parabool van een geworpen bal beschrijft. De beweging van het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) is eenvoudig; de rest is draaiing *eromheen* — en daarom mag de mechanica een auto, een planeet of een turnster als één punt behandelen.

![Een geworpen moersleutel op gelijke tijdsafstanden: de sleutel tolt, maar zijn massamiddelpunt (de stippen) rijdt over een eenvoudige parabool.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-c4936b61e4a9.svg)

*Een geworpen moersleutel op gelijke tijdsafstanden: de sleutel tolt, maar zijn [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) (de stippen) rijdt over een eenvoudige parabool.*

## 16.2 Een resulterende kracht verandert de snelheid

**Definitie 16.4 (Resulterende kracht).**

De *resulterende kracht* op een lichaam is de vectorsom van alle [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die erop werken, $\vect F = \vect F_1 + \vect F_2 + \dots$ (kop aan staart, zoals in het wiskundevolume); de [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) zijn precies dan in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) wanneer $\vect F = \vect 0$.

**Stelling 16.5 (Werking van een resulterende kracht — half kwantitatief).**

Een [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$ die gedurende een korte tijd $\Delta t$ op een lichaam met massa $m$ werkt, verandert de snelheid van zijn [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) met een vector $\Delta \vect v$ die de *richting* van $\vect F$ heeft, en waarvan de grootte evenredig groeit met $F$ en met $\Delta t$ en omgekeerd evenredig krimpt met de massa:

$$
\Delta v \propto \frac{F \, \Delta t}{m} .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 16.6.**

Verdubbel de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) of haar duur: twee keer zoveel verandering; verdubbel de massa: de helft. Volgend jaar wordt dit tot een exacte vergelijking aangescherpt, en het volume van bachelorjaar 1 vraagt in welke stelsels ze geldt; dit jaar volstaan verhoudingen — daarmee werken airbags, remmen en omloopbanen al.

**Propositie 16.7 (De drie standaardgevallen).**

Een lichaam beweegt met snelheid $\vect v$ onder een [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$.

1. $\vect F$ langs $\vect v$ : het *versnelt* langs een rechte lijn;
2. $\vect F$ tegengesteld aan $\vect v$ : het *vertraagt* langs een rechte lijn;
3. $\vect F$ loodrecht op $\vect v$ : het *buigt af* zonder van snelheid te veranderen.

**Bewijs.** Tel $\Delta\vect v$, gericht langs $\vect F$ ([Stelling 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)), kop aan staart bij $\vect v$ op: langs $\vect v$ stapelen de pijlen zich op (langer); tegengesteld heffen ze elkaar deels op (korter); loodrecht kantelt elke kleine $\Delta \vect v$ de pijl zonder hem te verlengen — alleen de richting draait. ∎

![De drie standaardgevallen: de resulterende kracht sleept de punt van de snelheidsvector haar eigen kant op — langer, korter of om.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-642cf8fa37c6.svg)

![De drie standaardgevallen: de resulterende kracht sleept de punt van de snelheidsvector haar eigen kant op — langer, korter of om.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-b02900715106.svg)

![De drie standaardgevallen: de resulterende kracht sleept de punt van de snelheidsvector haar eigen kant op — langer, korter of om.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-0eb81c1514a9.svg)

*De drie standaardgevallen: de [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) sleept de punt van de snelheidsvector haar eigen kant op — langer, korter of om.*

**Voorbeeld 16.8 (Een tik van opzij).**

Een puck glijdt met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar het oosten; een korte klap van opzij voegt $\Delta\vect v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pal naar het noorden toe. De nieuwe snelheid is de vectorsom: grootte $\sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, richting $\tan\theta = 8.0/6.0$, dus $\theta \approx 53^\circ$ ten noorden van het oosten — de oude snelheid wordt niet gewist, de verandering wordt erbij opgeteld.

## 16.3 Veranderingen vergelijken: kracht, tijd, massa

**Methode 16.9 (Redeneren met verhoudingen).**

Om twee situaties te vergelijken los je nooit een vergelijking op maar vorm je verhoudingen: de verhouding van de snelheidsveranderingen is de verhouding van de $F$’s, maal die van de $\Delta t$’s, gedeeld door die van de $m$’s. Lees daarna af welke factor is veranderd, en met hoeveel.

**Voorbeeld 16.10 (Het beladen karretje).**

Dezelfde duw, even lang volgehouden, stuurt een lege boodschappenwagen van $20\,\mathrm{kg}$ weg met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Beladen tot $60\,\mathrm{kg}$ — drie keer de massa, dezelfde $F\Delta t$ — vertrekt hij met een derde daarvan, $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Massa is de koppigheid van materie.

**Opmerking 16.11 (Botsingen, airbags, gebogen knieën).**

Bij een botsing zijn $\Delta v$ en $m$ niet onderhandelbaar — de snelheid van de inzittende moet nu eenmaal naar nul — dus ligt $F\,\Delta t$ vast. De enige overgebleven vrijheid is de *tijd*: rek $\Delta t$ op en de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) krimpt in dezelfde verhouding. Een hoofd dat in $0.08\,\mathrm{s}$ op een airbag tot stilstand komt in plaats van in $0.01\,\mathrm{s}$ op het stuur, voelt een acht keer kleinere gemiddelde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force); kreukelzones, helmschuim en gebogen knieën halen dezelfde truc uit.

## 16.4 Wrijving: de kracht die het glijden tegenwerkt

**Definitie 16.12 (Statische en kinetische wrijving).**

[Wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) tussen oppervlakken die elkaar raken, werkt hun *onderling glijden* tegen. De *statische wrijving* werkt zolang ze niet glijden en stelt zichzelf tot een maximum in om op te heffen wat het glijden probeert te beginnen; de *kinetische wrijving*, zodra het glijden begonnen is, is ruwweg constant, gericht tegen het glijden in, en meestal *zwakker* dan het statische maximum.

**Voorbeeld 16.13 (De kast verschuiven).**

Duw zachtjes tegen een kast: hij beweegt niet — de [statische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) heft je $150\,\mathrm{N}$ op. Duw harder: bij zo’n $400\,\mathrm{N}$ schiet hij in beweging en schuift daarna met minder moeite door — de zwakkere [kinetische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) heeft het overgenomen.

**Opmerking 16.14 (Waarom abs werkt).**

Het contactpunt van een rollend wiel glijdt niet over de weg: de band grijpt met *statische* [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory). Een geblokkeerd wiel slipt en krijgt alleen de zwakkere *kinetische* [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory), die tegen de slip in wijst wat de wielen ook doen — sturen valt weg. Abs laat de rem los op het ogenblik dat een wiel blokkeert: meer grip, kortere remweg, en een bestuurder die kan sturen.

![Gebruikelijke remwegen vanaf 90\, km/ h: de wrijving tussen band en wegdek is de enige kracht die de auto vertraagt, en water of sneeuw snijdt haar flink terug.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-362edc6fd252.svg)

*Gebruikelijke remwegen vanaf $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) tussen band en wegdek is de enige [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die de auto vertraagt, en water of sneeuw snijdt haar flink terug.*

## 16.5 Afbuigen: een cirkelbeweging vraagt een kracht naar binnen

**Definitie 16.15 (Eenparige cirkelbeweging).**

Een lichaam voert een *eenparige cirkelbeweging* uit wanneer zijn [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) een cirkel is die met constante snelheid wordt doorlopen. De snelheid, rakend aan de cirkel, verandert op elk ogenblik van richting — ze is dus nooit constant.

**Propositie 16.16 (De kracht naar binnen).**

Op een lichaam in [eenparige cirkelbeweging](#def-g11-forces-and-motion-ucm) werkt een [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) die nooit nul is: op elk ogenblik wijst ze van het lichaam naar het middelpunt van de cirkel.

**Bewijs.** De snelheid is constant in grootte, dus heeft de [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) geen deel langs $\vect v$ (gevallen 1 en 2 van [Propositie 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases)): ze staat loodrecht op de raaklijn en ligt dus langs de straal — en wel naar binnen, want elke $\Delta \vect v$ buigt de [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) naar het middelpunt toe. ∎

![Een bal die aan een touw wordt rondgeslingerd: de snelheid raakt de cirkel, de trek wijst naar het middelpunt. Snijd het touw door: de bal vertrekt langs de raaklijn.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-0074a12a6ec1.svg)

*Een bal die aan een touw wordt rondgeslingerd: de snelheid raakt de cirkel, de trek wijst naar het middelpunt. Snijd het touw door: de bal vertrekt langs de raaklijn.*

**Voorbeeld 16.17 (Het touw, de bocht, de Maan).**

Achter elke gelijkmatige bocht schuilt een [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) naar binnen. De rondgeslingerde bal: de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) van het touw. De auto in de bocht: de zijwaartse [statische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) van de weg op de banden — weg op ijs, en de auto gaat rechtdoor. De Maan: de gravitatietrek van de Aarde ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#ch-g10-universal-gravitation)), die haar in $27.3$ dagen rondvoert — niet *omhoog* gehouden maar zijwaarts in een eeuwigdurende bocht getrokken, om de Aarde heen vallend; volgend jaar wordt dat de mechanica van [satellieten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite).

## 16.6 Oefeningen

**Oefening 16.1 ★.**

[Resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) nul of niet nul? Verantwoord dat vanuit de snelheid: (a) een auto die rechtdoor met een constante $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ rijdt; (b) een auto die rechtlijnig remt; (c) een auto die met een constante $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ een bocht neemt; (d) een parachutespringer op eindsnelheid.

**Oplossing van Oefening 16.1.**

(a) Constante snelheid: [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) nul. (b) De snelheid verandert: niet nul, tegengesteld aan de beweging. (c) De richting verandert (snelheid is een vector): niet nul, naar de binnenkant van de bocht. (d) Constante snelheid: nul — [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en luchtweerstand zijn in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate).

**Oefening 16.2 ★.**

Bollen van $3.0\,\mathrm{kg}$ en $1.0\,\mathrm{kg}$ zitten aan de uiteinden van een lichte staaf van $0.80\,\mathrm{m}$. Bepaal het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com); en waar ligt het bij gelijke massa’s?

**Oplossing van Oefening 16.2.**

$d_1/d_2 = 1.0/3.0$ met $d_1 + d_2 = 0.80\,\mathrm{m}$: $d_1 = 0.20\,\mathrm{m}$ vanaf de bol van $3.0\,\mathrm{kg}$. Bij gelijke massa’s: precies in het midden, $0.40\,\mathrm{m}$ van elk.

**Oefening 16.3 ★.**

Dezelfde korte duw wordt gegeven aan een lege bagagekar van $15\,\mathrm{kg}$ en aan dezelfde kar beladen tot $45\,\mathrm{kg}$. Vergelijk de snelheidsveranderingen; welke duw zou de beladen kar de $\Delta v$ van de lege geven?

**Oplossing van Oefening 16.3.**

Dezelfde $F\Delta t$, drie keer de massa: beladen is $\Delta v$ drie keer kleiner. Om de $\Delta v$ van de lege kar te evenaren moet je drie keer zo hard duwen (of drie keer zo lang).

**Oefening 16.4 ★.**

Een tram die met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rijdt, remt; een seconde later rijdt hij met $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in dezelfde richting. Geef $\Delta \vect v$ en de richting van de [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce). Welk geval uit [Propositie 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases) is dit?

**Oplossing van Oefening 16.4.**

$\Delta \vect v$: $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, *achterwaarts* gericht (van $10$ naar $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). De [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) wijst dezelfde kant op: tegengesteld aan $\vect v$ — geval 2, vertragen.

**Oefening 16.5 ★.**

Statische of [kinetische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) — en welke kant op gericht? (a) Een krat dat je (te zachte) duw weerstaat; (b) hetzelfde krat zodra het schuift; (c) een boek op een licht gekanteld dienblad dat niet wegglijdt.

**Oplossing van Oefening 16.5.**

(a) Statisch, tegengesteld aan je duw (er glijdt nog niets). (b) Kinetisch, tegengesteld aan het glijden. (c) Statisch, *de helling op* gericht — tegen het glijden in dat de zwaartekracht probeert te beginnen.

**Oefening 16.6 ★★.**

Een [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $F$ die gedurende $\Delta t$ op een massa $m$ werkt, levert $\Delta v = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ op. Voorspel $\Delta v$ voor: (a) $2F, \Delta t, m$; (b) $F, \Delta t/2, m$; (c) $F, \Delta t, 2m$; (d) $3F, 2\Delta t, 6m$.

**Oplossing van Oefening 16.6.**

$\Delta v \propto F\Delta t/m$: (a) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (b) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (c) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (d) $4.0 \times \frac{3 \times 2}{6} =
4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — de drie veranderingen heffen elkaar op.

**Oefening 16.7 ★★.**

Een puck glijdt met $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar het oosten; een klap voegt $\Delta \vect v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ pal naar het noorden toe. Bereken de nieuwe snelheid en richting. Waarom is de snelheid niet $8.0 + 6.0 = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$?

**Oplossing van Oefening 16.7.**

$v' = \sqrt{8.0^2 + 6.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, onder $\tan\theta = 6.0/8.0$, dus $\theta \approx 37^\circ$ ten noorden van het oosten. Snelheden tellen op als *vectoren*: loodrechte bijdragen combineren via Pythagoras, niet door de groottes op te tellen.

**Oefening 16.8 ★★.**

Een keepster stopt hetzelfde schot op twee manieren: met stijve armen (de bal staat in $0.02\,\mathrm{s}$ stil) of door met de bal “mee te geven” ($0.08\,\mathrm{s}$). Vergelijk de gemiddelde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force), en zeg welke grootheden al vastlagen voordat ze koos.

**Oplossing van Oefening 16.8.**

Vooraf vast: de massa van de bal en zijn $\Delta v$ (van de aankomstsnelheid naar nul), en daarmee het product $F\Delta t$. $\Delta t$ oprekken van $0.02\,\mathrm{s}$ tot $0.08\,\mathrm{s}$ deelt de gemiddelde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) door $4$.

**Oefening 16.9 ★★.**

Welke uitwendige [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) duwt een sprinter bij de start vooruit? Waarom helpen spikes — en waarom kan niemand versnellen, of zelfs maar lopen, op volmaakt wrijvingsloos ijs?

**Oplossing van Oefening 16.9.**

De [statische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) van de [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) op de schoen: de voet duwt achterwaarts tegen de grond, en de wederzijdse [contactkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-contact) duwt de sprinter vooruit. Spikes verhogen de maximale [statische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) (geen slip bij volle inzet). Op wrijvingsloos ijs bestaat er geen uitwendige horizontale [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force), dus kan de snelheid van het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) niet veranderen — geen start, en zelfs geen stap.

**Oefening 16.10 ★★.**

Waarom staat een auto met abs (wielen die blijven rollen) bij een noodstop meestal eerder stil dan een auto met geblokkeerde, slippende wielen — en waarom valt de slippende auto niet meer te sturen? Verwijs naar [Definitie 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction).

**Oplossing van Oefening 16.10.**

Het contactpunt van een rollend wiel glijdt niet: [statische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction), die sterker is dan de [kinetische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) van een slip ([Definitie 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction)) — dus een kortere remweg. De [kinetische wrijving](#def-g11-forces-and-motion-friction) van een slippende band wijst tegen het glijden in, onder welke hoek de wielen ook staan: het wiel draaien verandert niets, de besturing is weg.

**Oefening 16.11 ★★.**

Een kogelslingeraar slingert de kogel aan haar draad rond. Welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) laat de kogel afbuigen? Schets zijn [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) na het loslaten. Waarom heeft de Maan geen draad nodig, en wat zou haar [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) zonder zwaartekracht worden?

**Oplossing van Oefening 16.11.**

De [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) van de draad, naar de atleet toe gericht. Na het loslaten vliegt de kogel rechtlijnig langs de raaklijn weg, met de snelheid die hij had (traagheid). De “draad” van de Maan is de gravitatietrek van de Aarde; schakel de zwaartekracht uit en ze vertrekt langs haar raaklijn, recht en eenparig, voor altijd.

**Oefening 16.12 ★★★.**

Een bezem is een homogene stok van $1.0\,\mathrm{kg}$ (eigen [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) op $0.60\,\mathrm{m}$ van de bovenkant) met een kop van $2.0\,\mathrm{kg}$ waarvan het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) $1.20\,\mathrm{m}$ van de bovenkant ligt. Behandel elk deel als een puntmassa, bepaal het [massamiddelpunt](#def-g11-forces-and-motion-com) van de bezem en toets de regel van de omgekeerde verhouding uit [Definitie 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com).

**Oplossing van Oefening 16.12.**

Vanaf de bovenkant: $x = \dfrac{1.0 \times 0.60 + 2.0 \times 1.20}{3.0}
= 1.00\,\mathrm{m}$. De afstanden tot de twee deelmiddelpunten zijn $0.40\,\mathrm{m}$ (stok) en $0.20\,\mathrm{m}$ (kop), verhouding $2 : 1$ — het omgekeerde van de massaverhouding $1.0 : 2.0$, zoals [Definitie 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com) vereist.

**Oefening 16.13 ★★★.**

Een auto met massa $m$ en een beladen bestelwagen met massa $2m$ remmen vanaf dezelfde snelheid met dezelfde remkracht.

1. Vergelijk de tijden die ze nodig hebben om stil te staan.
2. Elk verliest gelijkmatig snelheid en rijdt dus met dezelfde *gemiddelde* snelheid: vergelijk de remwegen.
3. De auto remt nu vanaf de *dubbele* snelheid, met dezelfde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) : vergelijk tijd en weg met zijn eerste stop. Welke moraal volgt daaruit voor snelheidslimieten?

**Oplossing van Oefening 16.13.**

*1.* Dezelfde $F$ en $\Delta v$, dubbele $m$: de bestelwagen heeft twee keer zoveel tijd nodig. *2.* Dezelfde [gemiddelde snelheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-speed) gedurende twee keer zoveel tijd: twee keer de weg. *3.* Dubbele $\Delta v$ bij dezelfde $F$ en $m$: twee keer de tijd; maar ook de [gemiddelde snelheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-speed) verdubbelt, dus wordt de weg met $4$ vermenigvuldigd. Je snelheid verdubbelen verviervoudigt je remweg.

**Oefening 16.14 ★★★.**

De Maan draait op $R \approx 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ in $T = 27.3$ dagen om de Aarde.

1. Bereken haar baansnelheid (omtrek gedeeld door [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-period) ).
2. Welke kant op wijst de verandering van haar snelheid, en welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) levert die?
3. Verbeter met [Propositie 16.16](#prop-g11-forces-and-motion-inward) de uitspraak “de Maan valt niet omdat ze snel genoeg beweegt”.

**Oplossing van Oefening 16.14.**

*1.* $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} \approx 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, dus $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx
1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. *2.* Naar de Aarde toe (naar binnen); de gravitatietrek van de Aarde levert haar. *3.* De Maan *valt* wel degelijk: haar snelheidsverandering wijst op elk ogenblik naar de Aarde. Haar snelheid langs de raaklijn zorgt er alleen voor dat ze de Aarde steeds mist — ze valt er *omheen* in plaats van erin.

**Oefening 16.15 ★★★.**

Een ei van $50\,\mathrm{g}$ raakt de vloer met $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: op tegels staat het in ongeveer $1\,\mathrm{ms}$ stil, op dik schuim in ongeveer $50\,\mathrm{ms}$. Vergelijk de gemiddelde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force). Leg met dezelfde redenering uit waarom je bij het landen na een sprong je knieën buigt, en waarvan de valmat van een turner in wezen is gemaakt.

**Oplossing van Oefening 16.15.**

Dezelfde $m$ en $\Delta v$, dus ligt $F\Delta t$ vast: een vijftig keer langere $\Delta t$ op schuim betekent een vijftig keer kleinere gemiddelde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force). Je knieën buigen rekt de $\Delta t$ van de landing op van een schok tot een lange buiging; een valmat bestaat mechanisch gezien uit extra milliseconden.

## 16.7 Probleem: De botsproef

**Probleem 16.1.**

Weekendopgave — de zachte botsing ontwerpen: omdat een botsing de snelheidsverandering vastlegt, is elke veiligheidsvoorziening in een auto een machine om tijd op te rekken

Een botsproeflaboratorium rijdt een auto met $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ tegen een starre muur, met een volwassen dummy van $70\,\mathrm{kg}$ en een kinderdummy van $20\,\mathrm{kg}$ aan boord; camera’s klokken elke stop. Jouw taak: uitzoeken waar het geweld van een botsing schuilt, en dat wegontwerpen.

**Deel I — De maat van een botsing.**

1. Zet $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ om naar $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
2. Bij elke frontale stop heeft de snelheidsverandering van de inzittenden dezelfde grootte. Welke? Waarom kan geen enkele voorziening haar veranderen?
3. Verwijs naar [Stelling 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw) : met vaste $\Delta v$ en $m$ ligt $F\,\Delta t$ vast. Aan welke ene knop kan de ontwerper dan nog draaien?
4. De muur brengt de auto in $0.050\,\mathrm{s}$ tot stilstand; een kreukelzone rekt dat op tot $0.150\,\mathrm{s}$ . Vergelijk de gemiddelde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) .
5. Welke kant op wijzen $\Delta \vect v$ en de [resulterende kracht](#def-g11-forces-and-motion-netforce) op de dummy’s tijdens de stop?

**Deel II — De kreukelzone.**

6. Waarom ontwerpen ingenieurs, in één zin, de voorkant van de auto zo dat die vernield wordt?
7. In een oude, stijve auto (stop in $0.050\,\mathrm{s}$ ) is de dummy star aan de stoel gegespt. Vergelijk haar [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) met die bij de moderne stop van $0.150\,\mathrm{s}$ .
8. De snelheid van de stoppende auto zakt gelijkmatig (gemiddeld: de helft van de beginwaarde). Hoever komt hij in $0.150\,\mathrm{s}$ ? Vergelijk met een echte kreukelzone.
9. Waarom geen kreukelzone van $10\,\mathrm{m}$ ? En welk deel van de auto mag juist *niet* kreukelen?
10. Vat deel II samen als een leus: “je kunt $\Delta v$ niet kiezen, dus moet je … kiezen”.

**Deel III — De gordel, de airbag en het kind.**

11. Een dummy zonder gordel houdt zijn $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#ch-g10-inertia) ) tot de voorruit hem in $0.005\,\mathrm{s}$ stopt; een dummy met gordel stopt met de auto mee in $0.150\,\mathrm{s}$ . Vergelijk de gemiddelde [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) .
12. Waarom is een gordel die een beetje uitrekt beter dan een onrekbaar stalen harnas?
13. Het hoofd zou in $0.010\,\mathrm{s}$ op het stuur tot stilstand komen; de airbag rekt dat op tot $0.080\,\mathrm{s}$ . Vergelijk de [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) .
14. Volwassene en kind ondergaan dezelfde $\Delta v$ in dezelfde $\Delta t$ . Vergelijk de [resulterende krachten](#def-g11-forces-and-motion-netforce) die de twee gordels moeten leveren.
15. Een kind op schoot: de armen moeten de snelheid van een baby van $10\,\mathrm{kg}$ in $0.150\,\mathrm{s}$ met $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ veranderen, terwijl de zwaartekracht een snelheid elke seconde met $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ verandert. Hoeveel keer sneller moeten de armen werken — en het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van welke massa zou zo zwaar aanvoelen? Trek je conclusie.
16. Kinderen voelen kleinere [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) — waarom dan toch kinderzitjes? Denk aan *waar* de gordel zijn [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) aangrijpt, en aan $\Delta t$ .

**Deel IV — De veiligheidskooi, en het vonnis.**

17. De passagierscel is star terwijl beide uiteinden kreukelen. Waarom mag de cel niet vervormen, ook al betekent starheid gewelddadige stops?
18. Twee identieke auto’s botsen frontaal, elk met $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Waar komt elk tot stilstand? Vergelijk elke botsing met de muurproef.
19. Een kleine auto botst frontaal op een beladen vrachtwagen. De [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die ze op elkaar uitoefenen zijn even groot en tegengesteld, wederzijds zoals elke wisselwerking ( [Hoofdstuk 13](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#ch-g11-fundamental-interactions) ). Wiens snelheid verandert het meest?
20. Noem de veiligheidsvoorzieningen uit deze opgave en de ene grootheid die ze alle oprekken.
21. Slot: formuleer de ontwerpwet van de zachte botsing in één zin, met alleen *massa* , *snelheidsverandering* , *[kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force)* en *tijd* .

**Oplossing van Probleem 16.1.**

**1.** $50/3.6 \approx 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (noem het $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). **2.** $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: de inzittende beweegt ervoor met $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en erna met nul — beide uiteinden liggen door de botsing vast, dus kan geen enkele voorziening aan $\Delta v$ komen. **3.** $\Delta v \propto F\Delta t/m$ ([Stelling 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)) met vaste $\Delta v$ en $m$ dwingt $F\Delta t$ vast te liggen. De enige knop van de ontwerper is $\Delta t$. **4.** $0.150/0.050 = 3$: de kreukelzone deelt de gemiddelde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) door $3$. **5.** Achterwaarts, tegengesteld aan de beweging — de snelheid krimpt van $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ naar nul. **6.** De vouwende voorkant is een machine om de stop langer te laten duren: metaal dat kreukelt koopt milliseconden. **7.** Dezelfde $\Delta v$ en $m$, een drie keer kortere $\Delta t$: de oude dummy vangt drie keer de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force). **8.** [Gemiddelde snelheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-speed) $\approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; weg $\approx 6.9 \times 0.150 \approx 1.0\,\mathrm{m}$ — ongeveer de [meter](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) vervormbare auto die een echte kreukelzone biedt. **9.** Een neus van $10\,\mathrm{m}$ is niet te besturen en niet te parkeren, en haar eigen massa zou elke botsing verergeren. De passagierscel mag niet kreukelen: zij bewaart de overlevingsruimte. **10.** “…dus moet je $\Delta t$ kiezen.” **11.** $0.150/0.005 = 30$: de stop tegen de voorruit is dertig keer gewelddadiger dan die met gordel. **12.** Een gordel die een beetje uitrekt verlengt de eigen $\Delta t$ van de inzittende nog wat verder (en spreidt de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force)); een stalen harnas zou de kortste stop van de carrosserie aan de zachtste passagier opleggen. **13.** $0.080/0.010 = 8$: de airbag deelt de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het hoofd door $8$. **14.** Dezelfde $\Delta v$ en $\Delta t$: de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) schaalt met de massa, $70/20 = 3.5$ keer groter voor de volwassene. **15.** Vereiste verandering: $14/0.150 \approx 93\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde — ongeveer $9.5$ keer wat de zwaartekracht voortbrengt ($9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde). De armen moeten dus ongeveer $9.5$ keer het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van de baby trekken: alsof je een last van $95\,\mathrm{kg}$ vasthoudt. Geen armen kunnen dat; de baby vliegt naar voren. **16.** De gordel van een volwassene leidt de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) naar heupen en borstkas; bij een kind zou hij buik en nek belasten. Het kinderzitje brengt de (kleinere) [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op sterke lichaamsdelen over en zijn vulling rekt $\Delta t$ nog verder op. **17.** Vervormt de cel, dan verliezen de inzittenden hun overlevingsruimte en worden ze door de constructie zelf geraakt. Niets mag rechtstreeks tegen de starre cel slaan: de stops van de inzittenden worden door gordel en airbag afgehandeld (lange $\Delta t$), terwijl de cel de kreukelende uiteinden verankert. **18.** Door de symmetrie stoppen beide auto’s in het contactvlak: elke bestuurder ondergaat $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ over een stop met kreukelzone — in wezen de muurproef, en niet “de dubbele botsing”. **19.** De [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) zijn even groot en tegengesteld, maar $\Delta v \propto F\Delta t/m$: de kleine auto, met de kleine $m$, vangt de grote snelheidsverandering. **20.** Kreukelzone, uitrekkende veiligheidsgordel, airbag, vulling van het kinderzitje — ze rekken alle dezelfde grootheid op: $\Delta t$. **21.** De botsing legt de massa en de snelheidsverandering vast, en daarmee het product [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $\times$ tijd: een zachte botsing is een lange botsing — rek de tijd op en de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) daalt in dezelfde verhouding.