---
title: "De wetten van Newton"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 25
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/25-de-wetten-van-newton
---

# Hoofdstuk 25 — De wetten van Newton

Smokkel een personenweegschaal een lift in. Terwijl de cabine optrekt wijst de naald drie [kilogram](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) te zwaar; vlak bij de bovenste verdieping wijst ze te licht; daartussen de nuchtere waarheid — er is aan boord niets veranderd behalve de beweging. Dit hoofdstuk formuleert de drie wetten achter die naald en smeedt ze om tot de methode waarop de hele mechanica draait: kies een systeem, teken de [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force), projecteer $\sum \vect F = m\vect a$.

## 25.1 Impuls, en de eerste wet exact gemaakt

**Definitie 25.1 (Impuls).**

De *impuls* van een lichaam met massa $m$ ($\mathrm{kg}$) dat met snelheid $\vect v$ beweegt, is de vector

$$
\vect p = m \vect v \qquad (\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}):
$$

de snelheid, gewogen met de massa; voor een systeem de vectorsom over de delen.

**Definitie 25.2 (Traagheidsstelsel).**

Een *traagheidsstelsel* is een stelsel waarin elk geïsoleerd lichaam — zonder [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force), of met [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) — rechtlijnig met constante snelheid beweegt ([Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#ch-g10-inertia)). De grond is er tot in hoge nauwkeurigheid een, en zo ook elke cabine die er [eenparig rechtlijnig](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-uniform) overheen beweegt; een remmende trein of een draaiende draaimolen niet: daarin versnelt losse bagage zonder dat iemand duwt.

**Stelling 25.3 (Eerste wet van Newton).**

In een [traagheidsstelsel](#def-g12-newtons-laws-inertial) verandert de [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) van een geïsoleerd systeem niet: $\vect p$ is constant, dus $d\vect p/dt = \vect 0$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 25.4 (Traagheid, twee keer aangescherpt).**

Het traagheidsbeginsel van [Hoofdstuk 6](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#ch-g10-inertia), twee keer aangescherpt: het zegt *waar* het geldt — het definieert de [traagheidsstelsels](#def-g12-newtons-laws-inertial) als die waarin het geldt — en het bewaakt een vector, $m\vect v$, waarvan de boekhouding aan het einde van dit hoofdstuk haar vruchten afwerpt.

## 25.2 De tweede wet van Newton

**Stelling 25.5 (Tweede wet van Newton).**

In een [traagheidsstelsel](#def-g12-newtons-laws-inertial) is de [resulterende kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-netforce) op een lichaam gelijk aan de verandering per tijdseenheid van zijn [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum); bij constante massa geldt, omdat $\vect p = m\vect v$,

$$
\sum \vect F = \frac{d\vect p}{dt} = m\,\frac{d\vect v}{dt} = m \vect a .
$$

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 25.6 (Een natuurwet, en haar eenheid).**

Er is geen bewijs: dit is een natuurwet, drie eeuwen lang aan het experiment getoetst. Vorig jaar ([Hoofdstuk 16](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#ch-g11-forces-and-motion)) gaf haar schaduw, $\Delta v \propto F\,\Delta t/m$; de afgeleide ([Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#ch-g12-kinematics-2d)) maakt haar op elk ogenblik exact — de kleine lettertjes wachten in het volume van bachelorjaar 1. De [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) krijgt een [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit), $\mathrm{N} = \mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; en een lichaam waarop alleen zijn [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) werkt, voldoet aan $m\vect a = m\vect g$: elke massa valt met $\vect a = \vect g$, en $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg} = 9.81\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — de twee aflezingen zijn één.

**Voorbeeld 25.7 (Gemiddelde kracht, zonder details).**

Een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ gaat van stilstand naar $100\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ($27.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) in $8.0\,\mathrm{s}$: wat er van ogenblik tot ogenblik ook gebeurt, de gemiddelde [resulterende kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-netforce) is $\Delta p/\Delta t = 1300 \times 27.8/8.0 \approx 4.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$ — de [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) maakt van een krachtenvraag een boekhouding van vóór en na.

## 25.3 De derde wet van Newton

**Stelling 25.8 (Derde wet van Newton).**

Oefent een lichaam $A$ een [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $\vect F_{A \to B}$ uit op een lichaam $B$, dan oefent $B$ op $A$ de [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) $\vect F_{B \to A} = -\vect F_{A \to B}$ uit: dezelfde werklijn, dezelfde grootte, tegengestelde richtingen — op elk ogenblik, bij elke beweging, bij contact of bij werking op afstand.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Voorbeeld 25.9 (Het boek, de tafel en de Aarde).**

Een boek ligt op een tafel: twee wisselwerkingen, twee paren. De [gravitatie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-four): de Aarde trekt het boek omlaag ($\vect P$), het boek trekt de Aarde omhoog. Het contact: de tafel duwt het boek omhoog ($\vect N$), het boek drukt op de tafel. Lopen is dezelfde afspraak: duw de grond naar achteren; haar reactie is de enige [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die je vooruit drijft.

![Eén boek, twee wisselwerkingen, vier pijlen: het gravitatiepaar (de Aarde trekt aan het boek, het boek trekt aan de Aarde) en het contactpaar (de tafel duwt het boek, het boek drukt op de tafel). P en N zijn geen partners: ze werken op hetzelfde boek — en heffen elkaar alleen op omdat de versnelling ervan nul is.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-4471645bf980.svg)

*Eén boek, twee wisselwerkingen, vier pijlen: het gravitatiepaar (de Aarde trekt aan het boek, het boek trekt aan de Aarde) en het contactpaar (de tafel duwt het boek, het boek drukt op de tafel). $\vect P$ en $\vect N$ zijn *geen* partners: ze werken op hetzelfde boek — en heffen elkaar alleen op omdat de versnelling ervan nul is.*

## 25.4 De methode: kiezen, tekenen, projecteren

**Methode 25.10 (Een dynamicaprobleem oplossen).**

1. *Systeem* : benoem het lichaam (of de verzameling lichamen) die je bestudeert.
2. *Stelsel* : kies een [traagheidsstelsel](#def-g12-newtons-laws-inertial) en assen die bij de beweging passen — assen langs de helling, of het [frenetstelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-frenet) voor een kromme ( [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#ch-g12-kinematics-2d) ).
3. *Inventaris* : noem elke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) — het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) , daarna één [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) per contact, verder niets — en teken het [krachtenschema](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-diagram) : één punt, één pijl per [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) .
4. *Projecteren* : schrijf $\sum \vect F = m\vect a$ en projecteer die op elke as.
5. *Oplossen en controleren* : eenheden, tekens, grensgevallen ( $\mu \to 0$ , $\alpha \to 0$ , …).

**Definitie 25.11 (Normaalkracht en wrijving).**

Een oppervlak werkt op een lichaam via twee componenten: de *normaalkracht* $\vect N$, loodrecht op het oppervlak, en de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$, ernaartoe gericht langs het oppervlak. Het experiment geeft de wrijvingswetten: zolang het lichaam niet glijdt, stelt de [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) zich in tot een plafond, $f_s \leq \mu_s N$; zodra het glijdt, is de [kinetische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) $f_k = \mu_k N$, tegen het glijden in. De *wrijvingscoëfficiënten* $\mu_s$ en $\mu_k$ ($\mu_k \leq \mu_s$) hangen alleen van de twee materialen af.

**Voorbeeld 25.12 (De helling, twee keer).**

Een blok glijdt een helling met hoek $\alpha$ af; assen: $x$ de helling af, $y$ loodrecht erop. Op $y$: $N = mg\cos\alpha$. Op $x$, wrijvingsloos: $ma = mg\sin\alpha$, dus $a = g\sin\alpha$ — zonder massa; bij $\alpha = 30^\circ$ is $a = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Met [kinetische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction): $a = g(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha)$; voor $\mu_k = 0.20$ geeft dat $a = 9.81\,(0.500 - 0.173) = 3.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. En het blok bleef om te beginnen alleen liggen zolang de benodigde [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) onder haar plafond paste: $\tan\alpha \leq \mu_s$.

![Krachtenschema op de helling: gewicht P, normaalkracht N en wrijving f de helling op voor een blok dat naar beneden glijdt. Assen langs en loodrecht op de helling splitsen P in mg en mg (gestippeld).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-0b658db3e7ea.svg)

*[Krachtenschema](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-diagram) op de helling: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$, [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ en [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ de helling op voor een blok dat naar beneden glijdt. Assen langs en loodrecht op de helling splitsen $\vect P$ in $mg\sin\alpha$ en $mg\cos\alpha$ (gestippeld).*

**Definitie 25.13 (Schijnbaar gewicht).**

Het *schijnbare gewicht* van een lichaam is de [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) tussen het lichaam en zijn steunvlak — wat een weegschaal eronder aanwijst.

**Voorbeeld 25.14 (De lift).**

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een lift met verticale versnelling $a_z$ (omhoog positief): $N - mg = ma_z$, dus $N = m(g + a_z)$. Bij optrekken met $a_z = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$: $792\,\mathrm{N}$, zwaar; bij afremmen vlak onder de bovenste verdieping: $582\,\mathrm{N}$, licht; bij eenparig rijden: $mg = 687\,\mathrm{N}$ — de eerste wet; bij vrije val, $a_z = -g$: $N = 0$, gewichtloosheid op een weegschaal.

**Voorbeeld 25.15 (Twee blokken en een katrol).**

Een blok $m_1 = 4.0\,\mathrm{kg}$ op een wrijvingsloze tafel is met een licht touw over een ideale katrol verbonden met een hangend blok $m_2 = 1.0\,\mathrm{kg}$. Het touw draagt aan beide uiteinden dezelfde [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $T$ over; de blokken delen één grootte van de versnelling $a$. Eén tweede wet per blok, langs elke beweging: $m_1 a = T$ en $m_2 a = m_2 g - T$, dus $a = m_2\,g/(m_1 + m_2) = 1.96\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ en $T = m_1 a = 7.8\,\mathrm{N}$ — kleiner dan $m_2 g = 9.8\,\mathrm{N}$, zoals nodig is om $m_2$ omlaag te laten versnellen.

![Twee blokken, één licht touw, één ideale katrol: dezelfde spankracht T trekt aan beide uiteinden en de blokken delen één grootte van de versnelling — één tweede wet per blok, twee vergelijkingen, twee onbekenden.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-2e421ec922ba.svg)

*Twee blokken, één licht touw, één ideale katrol: dezelfde [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $T$ trekt aan beide uiteinden en de blokken delen één grootte van de versnelling — één tweede wet per blok, twee vergelijkingen, twee onbekenden.*

**Voorbeeld 25.16 (De vlakke bocht).**

Een auto met massa $m$ neemt met constante snelheid $v$ een vlakke bocht met straal $R$. In het [frenetstelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-frenet) ([Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#ch-g12-kinematics-2d)) is de versnelling zuiver normaal, $a_N = v^2/R$, naar het middelpunt gericht. Verticaal geldt $N = mg$; horizontaal is de enige middelpuntzoekende [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) die beschikbaar is de [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) van de weg op de banden: $f = mv^2/R \leq \mu_s N = \mu_s mg$, dus $v \leq \sqrt{\mu_s\, g R}$, wat de massa ook is. Voor $R = 90\,\mathrm{m}$ en droog wegdek ($\mu_s = 0.70$): $v_{\max} \approx 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($89\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$); op ijs stort het plafond in — [Oefening 25.13](#exo-g12-newtons-laws-13) verkant de weg, [Oefening 25.10](#exo-g12-newtons-laws-10) laat dezelfde projectie aan een draad slingeren.

![Een auto in een vlakke bocht bij constante snelheid: van bovenaf (links) raakt de snelheid aan de baan en wijst de resulterende kracht naar het middelpunt; van achteren (rechts) houdt N het gewicht P in evenwicht, en is de zijwaartse statische wrijving van de weg de volledige middelpuntzoekende kracht.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-d9b60b6797b7.svg)

![Een auto in een vlakke bocht bij constante snelheid: van bovenaf (links) raakt de snelheid aan de baan en wijst de resulterende kracht naar het middelpunt; van achteren (rechts) houdt N het gewicht P in evenwicht, en is de zijwaartse statische wrijving van de weg de volledige middelpuntzoekende kracht.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-newtons-laws/fig-9bfeb4be7fa9.svg)

*Een auto in een vlakke bocht bij constante snelheid: van bovenaf (links) raakt de snelheid aan de [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) en wijst de [resulterende kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-netforce) naar het middelpunt; van achteren (rechts) houdt $\vect N$ het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate), en is de zijwaartse [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) van de weg de volledige middelpuntzoekende [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force).*

## 25.5 Geïsoleerde systemen: de impuls blijft behouden

**Propositie 25.17 (Behoud van impuls).**

Voor twee lichamen waarop de uitwendige [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) verdwijnen of elkaar opheffen, is de totale [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) $\vect p_1 + \vect p_2$ constant, welke [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) ze ook op elkaar uitoefenen.

**Bewijs.** Tel de twee tweede wetten op: $\frac{d}{dt}(\vect p_1 + \vect p_2) = \vect F_{2 \to 1} + \vect F_{1 \to 2} +
\vect F_{\text{uitw}}$: het inwendige paar valt weg door de derde wet, en $\vect F_{\text{uitw}} = \vect 0$ volgens de veronderstelling. ∎

**Voorbeeld 25.18 (Terugstoot).**

Een schaatsster van $60\,\mathrm{kg}$ staat stil op glad ijs en gooit een medicijnbal van $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontaal weg met $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Ervoor: $\vect p = \vect 0$; erna: $0 = 60\,V + 4.0 \times 6.0$, dus $V = -0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — ze drijft achteruit. Niets van buitenaf duwde haar: de bal deed het (derde wet), en de boeken blijven op nul.

**Opmerking 25.19 (Hoe een raket op niets duwt).**

Een raket is een machine om massa weg te gooien. Elke seconde slingeren haar motoren een portie gas naar achteren; het gas voert achterwaartse [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) mee, dus wint de raket dezelfde hoeveelheid vooruit — een gestage [stuwkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory), ruwweg de per seconde uitgestoten massa maal de uitstootsnelheid. De raket duwt op haar eigen uitlaatgassen en niet op de lucht: ze werkt het best in de lege ruimte.

## 25.6 Oefeningen

**Oefening 25.1 ★.**

Bereken de [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) van (a) een sprinter van $70\,\mathrm{kg}$ met $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (b) een auto van $1300\,\mathrm{kg}$ met $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (c) een kogel van $8.0\,\mathrm{g}$ met $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Rangschik ze. Waarom komt de snelste als laatste?

**Oplossing van Oefening 25.1.**

(a) $p = 70 \times 10 = 7.0 \times 10^{2}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) $v = 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $p \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) $p = 0.0080 \times 800 = 6.4\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Auto $>$ sprinter $>$ kogel: vijf [ordegrootten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-oom) massa zijn meer dan snelheid kan kopen.

**Oefening 25.2 ★.**

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een lift. Wat wijst die aan wanneer de cabine (a) omhoog versnelt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; (b) met een constante $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ klimt; (c) omlaag versnelt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$? Welke wet beslist (b)?

**Oplossing van Oefening 25.2.**

$N = m(g + a_z)$: (a) $70 \times 11.01 = 771\,\mathrm{N}$; (b) $a_z = 0$, dus $N = mg = 687\,\mathrm{N}$ — de eerste wet: constante snelheid, [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate); (c) $70 \times 8.61 = 603\,\mathrm{N}$.

**Oefening 25.3 ★.**

Een blok wordt losgelaten op een wrijvingsloze helling met hoek $30^\circ$. Bereken zijn versnelling, en daarna zijn snelheid na $3.0\,\mathrm{m}$ glijden. Waar is de massa gebleven?

**Oplossing van Oefening 25.3.**

$a = g\sin 30^\circ = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $v = \sqrt{2 \times 4.905 \times 3.0} = 5.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. De massa valt weg tussen $ma$ en $mg\sin\alpha$.

**Oefening 25.4 ★.**

Een tennisbal van $58\,\mathrm{g}$ komt aan met $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en wordt langs dezelfde lijn teruggeslagen met $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; het contact duurt $5.0\,\mathrm{ms}$. Bereken de impulsverandering en de gemiddelde [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) van de snaren; vergelijk die [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) met het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van de bal.

**Oplossing van Oefening 25.4.**

Omkering: $\Delta p = 0.058 \times (25 + 15) = 2.3\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $F = 2.32/0.0050 = 4.6 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ — ongeveer $800$ keer het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van $0.57\,\mathrm{N}$, en daarom wordt de zwaartekracht tijdens het contact genegeerd.

**Oefening 25.5 ★.**

Een boek ligt op een tafel. Noem de twee [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) op het boek en, voor elk, de partner uit het actie–reactiepaar (welk lichaam? welke richting?). Waarom zijn het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van het boek en de duw van de tafel geen partners van elkaar?

**Oplossing van Oefening 25.5.**

[Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) (Aarde op boek, omlaag): partner $=$ het boek trekt de Aarde omhoog. [Normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) (tafel op boek, omhoog): partner $=$ het boek drukt op de tafel, omlaag. [Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) werken op *hetzelfde* lichaam en horen bij twee verschillende wisselwerkingen — hier alleen even groot omdat $\vect a = \vect 0$.

**Oefening 25.6 ★★.**

Een krat van $50\,\mathrm{kg}$ staat op een horizontale vloer, $\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$. (a) Welke horizontale duw brengt het net in beweging? (b) Als die duw wordt volgehouden, wat is dan zijn versnelling? (c) Welke duw houdt het bij constante snelheid in beweging?

**Oplossing van Oefening 25.6.**

$N = mg = 490\,\mathrm{N}$. (a) $F > \mu_s N = 221\,\mathrm{N}$. (b) $a = (220.7 - 0.35 \times 490.5)/50 = 0.98\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) $F = \mu_k N = 172\,\mathrm{N}$.

**Oefening 25.7 ★★.**

Hetzelfde krat wordt op een verstelbare helling gezet ($\mu_s = 0.45$, $\mu_k = 0.35$). (a) Bij welke hoek begint het te glijden? (b) Bereken bij $30^\circ$ zijn versnelling. (c) Blijft het versnellen zodra het bij de hoek uit (a) op gang komt? Waarom?

**Oplossing van Oefening 25.7.**

(a) Het glijdt zodra $\tan\alpha > \mu_s$: $\alpha = \arctan 0.45 \approx 24^\circ$. (b) $a = g(\sin 30^\circ - 0.35\cos 30^\circ) = 9.81 \times 0.197 =
1.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Ja: zodra het glijdt, zakt de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) naar $\mu_k < \mu_s$, dus $a = g\cos\alpha\,(\tan\alpha - \mu_k) \approx 0.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} > 0$.

**Oefening 25.8 ★★.**

Een blok van $3.0\,\mathrm{kg}$ op een wrijvingsloze tafel is over een ideale katrol verbonden met een hangend blok van $2.0\,\mathrm{kg}$. Bereken de versnelling en de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory). Waarom moest de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) kleiner uitvallen dan het hangende [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight)?

**Oplossing van Oefening 25.8.**

$a = m_2 g/(m_1 + m_2) = 19.62/5.0 = 3.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_1 a = 11.8\,\mathrm{N}$. Het hangende blok versnelt omlaag, dus wijst de [resulterende kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-netforce) erop omlaag: $T$ moet onder $m_2 g$ blijven.

**Oefening 25.9 ★★.**

Een bocht met straal $50\,\mathrm{m}$ is vlak. Bereken de hoogste snelheid van een auto voor $\mu_s = 0.70$ (droog) en $0.40$ (nat), in $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Waarom geldt het antwoord even goed voor een scooter als voor een vrachtwagen?

**Oplossing van Oefening 25.9.**

$v_{\max} = \sqrt{\mu_s g R}$: droog $\sqrt{0.70 \times 9.81 \times 50} = 18.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
67\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; nat $14.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Zowel $mv^2/R$ als $\mu_s mg$ draagt $m$: die valt weg.

**Oefening 25.10 ★★.**

Een bol van $0.30\,\mathrm{kg}$ aan een draad van $1.2\,\mathrm{m}$ beschrijft een horizontale cirkel terwijl de draad een constante hoek van $25^\circ$ met de verticaal maakt (een kegelslinger). Projecteer de tweede wet verticaal en daarna langs de straal: bereken de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) en de snelheid.

**Oplossing van Oefening 25.10.**

Verticaal: $T\cos\theta = mg$, dus $T = 2.943/\cos 25^\circ = 3.2\,\mathrm{N}$. Straal $R = L\sin\theta = 0.507\,\mathrm{m}$; radiaal: $T\sin\theta = mv^2/R$, dus $v = \sqrt{gR\tan\theta} = \sqrt{9.81 \times 0.507 \times 0.466}
= 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Oefening 25.11 ★★.**

Een pakket van $5.0\,\mathrm{kg}$ staat op een weegschaal in een goederenlift; de aflezingen:

| fase | $0\text{ to }2\,\mathrm{s}$ | $2\text{ to }8\,\mathrm{s}$ | $8\text{ to }10\,\mathrm{s}$ |
| --- | --- | --- | --- |
| weegschaal ($\mathrm{N}$) | 54.0 | 49.0 | 44.1 |

Bereken de versnelling in elke fase en beschrijf een mogelijke rit. Kan de lift de hele tijd *omlaag* hebben bewogen?

**Oplossing van Oefening 25.11.**

$a_z = (N - mg)/m$ met $mg = 49.05\,\mathrm{N}$: $+1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, $0$, $-1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. Bijvoorbeeld een rit omhoog: optrekken, doorrijden, afremmen. En ja: als de lift al daalde, betekenen dezelfde aflezingen afremmen, doorrijden en weer versnellen omlaag — de weegschaal leest de versnelling af, niet de snelheid.

**Oefening 25.12 ★★★.**

Een schaatsster van $60\,\mathrm{kg}$ staat stil op glad ijs en gooit een bal van $4.0\,\mathrm{kg}$ horizontaal weg. (a) De bal vertrekt met $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *ten opzichte van de grond*: hoe groot is haar terugstootsnelheid? (b) De $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ is nu *ten opzichte van haar* gemeten: bereken beide snelheden opnieuw. (c) Welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) duwde haar achteruit?

**Oplossing van Oefening 25.12.**

(a) $0 = 60V + 4.0 \times 8.0$: $V = -0.53\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) De bal gaat met $8.0 + V$ ten opzichte van de grond: $0 = 60V + 4.0(8.0 + V)$, dus $V = -32/64 = -0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ en de bal vliegt met $7.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (c) De duw van de bal op haar handen — de partner uit de derde wet van haar worp.

**Oefening 25.13 ★★★.**

Een snelwegbocht met straal $80\,\mathrm{m}$ is ontworpen voor $20\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ zonder hulp van de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory). Toon aan dat het wegdek verkant moet zijn onder de hoek $\theta$ met $\tan\theta = v^2/(gR)$ en bereken die. Wat moet de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) doen bij een auto die de bocht trager neemt — of sneller?

**Oplossing van Oefening 25.13.**

Wrijvingsloos: $N\cos\theta = mg$ (verticaal) en $N\sin\theta = mv^2/R$ (radiaal); delen geeft $\tan\theta = v^2/(gR) = 400/784.8$, dus $\theta \approx 27^\circ$. Trager: de auto neigt de verkanting af te glijden en moet de [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) de helling op wijzen; sneller: omgekeerd.

**Oefening 25.14 ★★★.**

De motoren van een raket stoten $250\,\mathrm{kg}$ gas per seconde uit met $2500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (a) Hoeveel [impuls](#def-g12-newtons-laws-momentum) vertrekt er per seconde — welke [stuwkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) geven de gassen terug? (b) De raket weegt bij de ontsteking $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$: hoe groot is haar [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight)? En haar versnelling bij het opstijgen? (c) Waarom werkt de motor in de lege ruimte net zo goed?

**Oplossing van Oefening 25.14.**

(a) $250 \times 2500 = 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ per seconde: een [stuwkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) van $6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$. (b) $P = 4.9 \times 10^{5}\,\mathrm{N}$; $a = (6.25 - 4.905) \times 10^5 / 5.0 \times 10^{4} = 2.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$. (c) Ze duwt op haar eigen uitlaatgassen (derde wet) en niet op de lucht.

**Oefening 25.15 ★★★.**

Een blok van $4.0\,\mathrm{kg}$ op een tafel ($\mu_s = 0.35$, $\mu_k = 0.25$) is over een ideale katrol verbonden met een hangende massa $m_2$. (a) Welke minimale $m_2$ brengt de beweging op gang? (b) Bereken voor $m_2 = 2.0\,\mathrm{kg}$ de versnelling en de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory). (c) Ga na dat $\mu_k = 0$ de wrijvingsloze formule van [Oefening 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8) teruggeeft.

**Oplossing van Oefening 25.15.**

(a) $m_2 g > \mu_s m_1 g$: $m_2 > 0.35 \times 4.0 = 1.4\,\mathrm{kg}$. (b) $a = (m_2 - \mu_k m_1)\,g/(m_1 + m_2) = 1.0 \times 9.81/6.0 =
1.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$; $T = m_2(g - a) = 16.4\,\mathrm{N}$. (c) $\mu_k = 0$ geeft $a = m_2 g/(m_1 + m_2)$: de formule van [Oefening 25.8](#exo-g12-newtons-laws-8).

## 25.7 Probleem: De kabelbaan

**Probleem 25.1.**

Weekendopgave — de kabelbaan keuren: de spankracht die de helling in rust vraagt, de toeslag van het optrekken, de opluchting boven de mast, de prijs van een noodstop — en het ene getal dat het bordje in de cabine mag beloven

Een kabelbaan in de bergen — cabine plus loopwerk, lege massa $M_0 = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ — rolt over een draagkabel die onder $\alpha = 30^\circ$ helt, getrokken door een trekkabel evenwijdig aan de helling met [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$. De rolwrijving is verwaarloosbaar; de vloer van de cabine blijft de hele tijd horizontaal. De cabine biedt plaats aan $25$ passagiers met een gemiddelde massa van $80\,\mathrm{kg}$; jij bent de keuringsingenieur. Tenzij anders vermeld is de cabine vol: $M = 4.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$.

**Deel I — In rust op de helling.**

1. Kies het systeem; zeg waarom het stelsel van de berg als [traagheidsstelsel](#def-g12-newtons-laws-inertial) volstaat; inventariseer de drie [krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) , met hun richtingen.
2. Welke wet regeert het wachten? Projecteer die langs en loodrecht op de helling om $T$ en de [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) $N$ van de draagkabel uit te drukken.
3. Bereken $T$ en $N$ .
4. Bereken $T$ opnieuw voor de lege cabine. Waarom is $T$ evenredig met de totale massa?
5. De trekkabel knapt en de remmen staan af: toon aan dat de versnelling van de wegrollende cabine $g \sin\alpha$ is, beladen of leeg, en bereken haar.

**Deel II — Optrekken.** De lier versnelt de volle cabine met $a = 0.60\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ de helling op tot ze met $v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ doorrijdt.

6. [Druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) $T'$ tijdens deze fase uit en bereken haar.
7. Met welk deel tilt het optrekken de [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) boven haar waarde in rust?
8. Hoe lang duurt de fase, en over welke afstand?
9. Een passagier van $80\,\mathrm{kg}$ staat op de horizontale vloer. Projecteer de tweede wet verticaal om haar [schijnbare gewicht](#def-g12-newtons-laws-apparent) uit te drukken en te berekenen; vergelijk met $mg$ .
10. Welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) versnelt haar horizontaal, en hoe groot is die? Waarom leunen passagiers?

**Deel III — Over de mast.** Bij een constante $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ buigt de draagkabel over een steunmast langs een verticale cirkelboog met straal $R = 40\,\mathrm{m}$; op het hoogste punt is de snelheid horizontaal.

11. Geef in het [frenetstelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-frenet) op het hoogste punt ( [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#ch-g12-kinematics-2d) ) beide componenten van de versnelling, met hun waarden.
12. Projecteer de tweede wet langs de normaal om de [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) $N'$ van de kabel op het loopwerk uit te drukken en te berekenen.
13. Dezelfde vraag voor het [schijnbare gewicht](#def-g12-newtons-laws-apparent) van de passagier op het hoogste punt: met welk deel is ze lichter?
14. Bij welke snelheid zou $N'$ verdwijnen? Vergelijk met de rijsnelheid en becommentarieer.
15. Welke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) oefent het loopwerk boven de mast op de kabel uit — welke wet zegt dat, met welke grootte en richting?

**Deel IV — Remmen, een sprong, en het bordje.**

16. Op het horizontale aankomsttraject brengt een noodstop de volle cabine in $1.5\,\mathrm{s}$ van $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ tot stilstand: lees $\sum \vect F = d\vect p/dt$ als een gemiddelde over de stop om de remkracht te berekenen.
17. Welke horizontale [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) moet een passagier van $80\,\mathrm{kg}$ tot stilstand brengen, en kan de [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) tussen schoen en vloer ( $\mu_s = 0.40$ ) die leveren? Trek je conclusie.
18. Op het perron, met de remmen af, hangt de lege cabine vrij en stil; de laatste passagier ( $80\,\mathrm{kg}$ ) springt er horizontaal uit met $2.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ *ten opzichte van de cabine* . Bereken de terugstootsnelheid van de cabine en de snelheid van de passagier ten opzichte van de grond.
19. In één zin: welk voortstuwingsapparaat leeft van dit terugstootbeginsel, en wat legt zijn [stuwkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) vast?
20. *Keuring.* De trekkabel breekt bij $100\,\mathrm{kN}$ ; de voorschriften beperken de werkspankracht tot een vijfde daarvan. Toon aan dat het zwaarste geval hierboven het optrekken is, leid de maximale totale massa af, en [druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) het bordje af: hoeveel passagiers van $80\,\mathrm{kg}$ mogen mee? Controleer de veiligheidsfactor.

**Oplossing van Probleem 25.1.**

**1.** Systeem: cabine $+$ loopwerk ($+$ passagiers). De berg ligt vast aan de grond en is tot in hoge nauwkeurigheid een [traagheidsstelsel](#def-g12-newtons-laws-inertial). [Krachten](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force): het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $M\vect g$ (omlaag), de [normaalkracht](#def-g12-newtons-laws-friction) $\vect N$ van de draagkabel (loodrecht erop) en de trekspankracht $\vect T$ (de helling op).

**2.** In rust geldt de eerste wet: $\sum \vect F = \vect 0$. Langs de helling: $T = Mg\sin\alpha$; loodrecht erop: $N = Mg\cos\alpha$.

**3.** $T = 4000 \times 9.81 \times 0.500 = 19.6\,\mathrm{kN}$; $N = 4000 \times 9.81 \times 0.866 = 34.0\,\mathrm{kN}$.

**4.** Leeg: $T = 9.8\,\mathrm{kN}$. Elke [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) in het [evenwicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-compensate) is evenredig met $M$, dus $T$ ook.

**5.** Langs de helling geldt $Ma = Mg\sin\alpha$: $M$ valt weg, dus $a = g\sin\alpha = 4.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, de helling af.

**6.** $T' = M(g\sin\alpha + a) = 4000 \times 5.505 =
22.0\,\mathrm{kN}$.

**7.** $a/(g\sin\alpha) = 0.60/4.905 \approx 12\%$.

**8.** $t = v/a = 10\,\mathrm{s}$; $d = v^2/(2a) = 30\,\mathrm{m}$.

**9.** Verticale component van $\vect a$: $a\sin\alpha = 0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, dus $N = m(g + a\sin\alpha) = 80 \times 10.11 = 809\,\mathrm{N}$ tegenover $mg = 785\,\mathrm{N}$: $3\%$ zwaarder.

**10.** De [statische wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-friction) van de vloer, horizontaal: $ma\cos\alpha = 80 \times 0.52 \approx 42\,\mathrm{N}$. Door te leunen laat ze de gecombineerde duw van de vloer door haar [massamiddelpunt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/16-krachten-en-beweging#def-g11-forces-and-motion-com) gaan, zodat die haar niet omkiept.

**11.** $a_T = dv/dt = 0$ (constante snelheid); $a_N = v^2/R = 36/40 = 0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$, naar het middelpunt gericht — op het hoogste punt dus recht omlaag.

**12.** Normale as (omlaag positief): $Mg - N' = Mv^2/R$, dus $N' = M(g - v^2/R) = 4000 \times 8.91 = 35.6\,\mathrm{kN}$.

**13.** $N = m(g - v^2/R) = 80 \times 8.91 = 713\,\mathrm{N}$: lichter met $v^2/(gR) = 0.90/9.81 \approx 9\%$.

**14.** $N' = 0$ bij $v = \sqrt{gR} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — meer dan drie keer de rijsnelheid: het loopwerk volgt de kabel met een ruime marge.

**15.** De derde wet van Newton: $35.6\,\mathrm{kN}$, omlaag drukkend op de kabel (en dus op de mast) — net iets minder dan het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) in rust, verlicht door de gekromde vlucht.

**16.** $F = \Delta p/\Delta t = 4000 \times 6.0/1.5 = 16\,\mathrm{kN}$, tegengesteld aan de beweging ($a = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$).

**17.** $f = ma = 80 \times 4.0 = 320\,\mathrm{N}$; het plafond is $\mu_s mg = 0.40 \times 785 = 314\,\mathrm{N} < 320\,\mathrm{N}$: op de voeten alleen glijd je weg — houd je aan de leuning vast.

**18.** $0 = M_0 V + m(v_{\text{rel}} + V)$: $V = -80 \times 2.5/2080 = -0.096\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; de passagier beweegt met $2.5 - 0.096 \approx 2.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van de grond.

**19.** De raket: haar [stuwkracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) ligt vast door de per seconde uitgestoten massa maal de uitstootsnelheid ten opzichte van haar.

**20.** De grootste [spankracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) die hierboven voorkomt is die bij het optrekken, $T' = M \times 5.505\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ (in rust geeft dat $Mg\sin\alpha$, boven de mast nog minder). Grens: $T' \leq 20\,\mathrm{kN}$, dus $M \leq 20000/5.505 = 3.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$: een nuttige last van $1.63 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, oftewel $20$ passagiers van $80\,\mathrm{kg}$ (niet $25$). Op het bordje: *20 personen*; dan is $M = 3.6 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, $T' = 19.8\,\mathrm{kN}$ en de veiligheidsfactor $100/19.8 \approx 5.1 \geq 5$.