---
title: "RC- en RL-kringen"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 30
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen
---

# Hoofdstuk 30 — RC- en RL-kringen

[Druk](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/7-druk-van-sport-tot-duiken#def-g10-pressure-pressure) de ontspanner van een fototoestel half in: een dun gejank klimt twee seconden lang op, een lampje wordt groen — en pas dan wil de flitser afgaan, om in een milliseconde te dumpen wat hij twee seconden lang heeft verzameld. Dit hoofdstuk maakt kennis met de twee onderdelen die een schakeling een geheugen en een klok geven — de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) en de [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — en met de eerste differentiaalvergelijkingen van de natuurkunde, te controleren met de afgeleiden van dit jaar.

## 30.1 De condensator

**Definitie 30.1 (Condensator en capaciteit).**

Een *condensator* is een paar metalen platen die tegenover elkaar staan, gescheiden door een [dunne](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/10-lenzen-beelden-en-het-oog#def-g11-lenses-and-eye-lens) isolator. Aangesloten op een bron nemen de platen tegengestelde ladingen $+q$ en $-q$ aan — een [elektrisch veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) vult de spleet ([Hoofdstuk 14](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/14-elektrische-en-gravitatievelden#ch-g11-electric-gravitational-fields)) — en de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ over de platen is evenredig met de opgeslagen lading:

$$
q = C\,u .
$$

De constante $C$ is de *capaciteit*, in *farad* ($\mathrm{F}$): $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$.

**Voorbeeld 30.2 (Ordegrootten).**

Eén [farad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) is enorm — één [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-charge) geparkeerd per [volt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage). De keramische [condensatoren](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van radioschakelingen: $\mathrm{pF}$ tot $\mathrm{nF}$; de elektrolytische van voedingen en flitsers: $\text{µ}\mathrm{F}$ tot $\mathrm{mF}$; supercondensatoren: duizenden [farad](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor).

**Propositie 30.3 (Stroom naar een condensator).**

De stroom die op een plaat van een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) aankomt, is het tempo waarmee haar lading groeit:

$$
i = \frac{dq}{dt} = C\,\frac{du}{dt} ,
$$

waarbij kleine letters de grootheden aangeven die met de tijd variëren ($U$ en $I$ blijven constant, [Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power)).

**Bewijs.** Stroom is lading die per seconde wordt geleverd ([Definitie 12.1](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-current)): over een krimpend interval is $i$ de afgeleide van $q$; en $q = Cu$ met constante $C$ geeft $C\,du/dt$. ∎

**Opmerking 30.4 (Twee gevolgen).**

Is $u$ constant, dan is $i = 0$: een geladen [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) laat geen gelijkstroom door. En $u$ kan nooit springen — een sprong zou een oneindige stroom vragen: de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) van de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) is het geheugen van de schakeling.

## 30.2 Een condensator laden: de RC-kring

Eén kring — bron $\mathcal{E}$ ([Definitie 12.18](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-emf)), schakelaar, [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance), lege [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor): sluit $K$ op $t = 0$.

![De RC-laadkring: door K te sluiten laat je de bron lading door R naar de platen van C duwen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-2f8ee4d9b2da.svg)

*De RC-laadkring: door $K$ te sluiten laat je de bron lading door $R$ naar de platen van $C$ duwen.*

**Stelling 30.5 (Laadwet van de RC-kring).**

Nadat de schakelaar sluit, voldoet de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) over de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) aan de volgende vergelijking, en volgt uit $u(0) = 0$:

$$
RC\,\frac{du}{dt} + u = \mathcal{E},
\qquad
u(t) = \mathcal{E}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\qquad \tau = RC .
$$

**Bewijs.** De [spanningen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) langs de kring tellen op ([Propositie 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $\mathcal{E} = u_R + u = Ri + u$ op elk ogenblik; vul $i = C\,du/dt$ in ([Propositie 30.3](#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)). *Controleer* nu de kandidaat: $du/dt = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, dus is $RC\,(\mathcal{E}/RC)\,e^{-t/\tau} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/\tau}) =
\mathcal{E}$, waar voor alle $t$; en $u(0) = \mathcal{E}(1-1) = 0$. Dat geen *andere* kromme bij de vergelijking en de start past, wordt bewezen in de wiskundecursus over differentiaalvergelijkingen van dit jaar. ∎

**Definitie 30.6 (Tijdconstante).**

De *tijdconstante* van een [RC-kring](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) is $\tau = RC$. Eenheden: $\Omega \times \mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$ — het eigen tempo van de schakeling.

**Methode 30.7 (τ\tauτ van de kromme aflezen).**

Drie gelijkwaardige aflezingen, rechtstreeks van een grafiek:

1. *raaklijn in de oorsprong:* $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$ , dus bereikt de beginraaklijn de asymptoot op $t = \tau$ ;
2. *63%:* $u(\tau) = \mathcal{E}(1 - e^{-1}) \approx  0.63\,\mathcal{E}$ ;
3. *95%:* $u(3\tau) \approx 0.95\,\mathcal{E}$ — in de praktijk geladen ( $5\tau$ : $99\%$ ).

**Propositie 30.8 (Ontlading).**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die tot $U_0$ is geladen en alleen op een [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ wordt gesloten, voldoet aan $RC\,du/dt + u = 0$ en volgt

$$
u(t) = U_0\,e^{-t/\tau}, \qquad \tau = RC
$$

— nog $37\%$ over op $\tau$, $5\%$ op $3\tau$.

**Bewijs.** Dezelfde kringwet, zonder bron; opnieuw invullen: $RC(-U_0/\tau)e^{-t/\tau} + U_0 e^{-t/\tau} = 0$, met $u(0) = U_0$. ∎

![Laden (blauw, van u = 0 naar E) en ontladen (rood, van U_0 = E). Beide beginraaklijnen treffen hun asymptoot op t =; 63\% klaar op , 95\% op 3.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-de2eed6e47d0.svg)

*Laden (blauw, van $u = 0$ naar $\mathcal{E}$) en ontladen (rood, van $U_0 = \mathcal{E}$). Beide beginraaklijnen treffen hun asymptoot op $t = \tau$; $63\%$ klaar op $\tau$, $95\%$ op $3\tau$.*

**Voorbeeld 30.9 (De getallen van een flitser).**

Een fotoflitser laadt $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$ door $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$: $\tau = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} =
0.80\,\mathrm{s}$, dus wacht het lampje “gereed” — afgesteld om bij $95\%$ om te slaan — $3\tau \approx 2.4\,\mathrm{s}$: het gejank van het wachten. Afgevuurd door de schamele $0.50\,\Omega$ van de flitsbuis loopt *dezelfde* [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) leeg met $\tau' = 0.40\,\mathrm{ms}$: er tweeduizend keer sneller uit dan erin.

## 30.3 De spoel: zelfinductie en de RL-kring

**Definitie 30.10 (Spoel en zelfinductie).**

Een *spoel* is een wikkeling draad: haar stroom rijgt haar eigen windingen aan een [magnetisch veld](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/15-magnetisme-en-magnetische-velden#def-g11-magnetic-fields-bfield) ([Hoofdstuk 15](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/15-magnetisme-en-magnetische-velden#ch-g11-magnetic-fields)); zodra dat *verandert*, verschijnt er een [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) over de spoel:

$$
u = L\,\frac{di}{dt} .
$$

De constante $L$ is de *zelfinductie*, in *henry* ($\mathrm{H}$): $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 30.11 (De spoel verzet zich tegen verandering).**

Waarom een veranderende stroom een [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) maakt — inductie — wordt in de universitaire volumes afgeleid; hier nemen we de wet en haar karakter aan: de [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) *verzet zich tegen veranderingen* van haar stroom. Spiegelbeelden: de $u$ van een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) kan niet springen, de $i$ van een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) evenmin.

![De RL-kring: nadat K sluit, laat de spoel de stroom alleen in haar eigen tempo = L/R klimmen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-9934f9796a6b.svg)

*De [RL-kring](#prop-g12-rc-rl-circuits-rl): nadat $K$ sluit, laat de [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) de stroom alleen in haar eigen tempo $\tau = L/R$ klimmen.*

**Propositie 30.12 (Stroomopbouw in een RL-kring).**

Door de schakelaar te sluiten op een bron $\mathcal{E}$, een [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ en een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ in serie krijg je $\mathcal{E} = Ri + L\,di/dt$, oftewel

$$
\frac{L}{R}\,\frac{di}{dt} + i = \frac{\mathcal{E}}{R},
\qquad\text{met als oplossing}\quad
i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R}\left(1 - e^{-t/\tau}\right),
\quad \tau = \frac{L}{R} .
$$

**Bewijs.** Opnieuw de kringwet; en het is *dezelfde vergelijking* als in [Stelling 30.5](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging) met $u \to i$, $\mathcal{E} \to \mathcal{E}/R$ en $RC \to L/R$ — dezelfde substitutie controleert de oplossing, en elke aflezing uit [Methode 30.7](#met-g12-rc-rl-circuits-reading) draagt over. ∎

**Voorbeeld 30.13 (Een elektromagneet wordt wakker).**

Een relaisspoel met $L = 0.30\,\mathrm{H}$ en $R = 6.0\,\Omega$ op een voeding van $12\,\mathrm{V}$: eindstroom $\mathcal{E}/R = 2.0\,\mathrm{A}$, in het tempo $\tau = 0.30/6.0 = 50\,\mathrm{ms}$ — wakker in $3\tau \approx 0.15\,\mathrm{s}$.

**Opmerking 30.14 (De vonk bij het openen).**

Open een schakelaar op een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) die stroom voert en $i$ moet in een fractie van een milliseconde naar nul storten: $di/dt$ is reusachtig en $u = L\,di/dt$ haalt honderden of duizenden [volt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) — er springt een vonk over het contact. De bobine van een auto doet dat met opzet, duizenden keren per minuut.

## 30.4 Opgeslagen energie

**Propositie 30.15 (Energie in een condensator, energie in een spoel).**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ die tot [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ is geladen en een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ die een stroom $i$ voert, slaan

$$
E_C = \tfrac12\,C u^2 = \frac{q^2}{2C},
\qquad
E_L = \tfrac12\,L i^2
$$

op.

**Bewijs.** Een kleine lading $dq$ neerzetten op platen die al op [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) $u$ staan kost $u\,dq$ ([Definitie 12.3](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage)); door de kosten te stapelen wordt het totaal de oppervlakte onder de rechte $u = q/C$ — de driehoek hieronder — dus $E_C = \tfrac12 qu = \tfrac12 Cu^2$. Dezelfde driehoek voor de [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ($i$ met $di$ verhogen kost $Li\,di$) geeft $E_L = \tfrac12 Li^2$. ∎

![Elke schijf dq kost u\,dq; de hele lading kost de oppervlakte van de driehoek, E_C = 1/2 q_0 u_0 — de eerste coulomb stapt in bij lage spanning.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rc-rl-circuits/fig-fe806a23267a.svg)

*Elke schijf $dq$ kost $u\,dq$; de hele lading kost de oppervlakte van de driehoek, $E_C = \tfrac12 q_0 u_0$ — de eerste [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-charge) stapt in bij lage [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage).*

**Voorbeeld 30.16 (Ordegrootten van energie).**

De flitscondensator van [Voorbeeld 30.9](#ex-g12-rc-rl-circuits-flashrc): $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 = 36\,\mathrm{J}$. Een supercondensator van $3000\,\mathrm{F}$ op $2.7\,\mathrm{V}$: $1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ — zoveel als een AA-batterij. Een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) van $10\,\mathrm{mH}$ bij $10\,\mathrm{A}$: $0.50\,\mathrm{J}$. Minder dan batterijen bevatten — maar vrij te geven in een milliseconde.

**Opmerking 30.17 (Waar de twee tijdmeters voor dienen).**

Langzaam erin, snel eruit: dat drijft de cameraflitser en de defibrillator aan. De [vertraging](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/20-mechanische-golven#def-g12-mechanical-waves-delay) $\tau = RC$ laat [tijdschakelingen](#rem-g12-rc-rl-circuits-applications) lopen: intervalruitenwissers, knipperende bakens, trappenhuisverlichting. Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) over een voeding *vlakt* de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) *af* ($u$ kan niet springen); een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) in serie vlakt de stroom af ($i$ kan niet springen). En [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) plus [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) vormen samen een [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Hoofdstuk 31](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/31-vrije-elektrische-trillingen-rlc#ch-g12-rlc-oscillations)).

## 30.5 Oefeningen

**Oefening 30.1 ★.**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $470\,\text{µ}\mathrm{F}$ wordt tot $12\,\mathrm{V}$ geladen: welke lading houdt hij vast? Welke [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) zou $2.0\,\mathrm{mC}$ op $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ zetten?

**Oplossing van Oefening 30.1.**

$q = Cu = 4.7\times10^{-4} \times 12 \approx 5.6\,\mathrm{mC}$; $u = q/C = 2.0\times10^{-3}/10^{-4} = 20\,\mathrm{V}$.

**Oefening 30.2 ★.**

Verdeel $47\,\mathrm{pF}$, $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ en $10\,\mathrm{F}$ over een afvlakcondensator van een voeding, een radio-afstemming en een supercondensator; bereken de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) van de laatste bij $2.7\,\mathrm{V}$.

**Oplossing van Oefening 30.2.**

$47\,\mathrm{pF}$: de radio-afstemming; $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$: de afvlakcondensator; $10\,\mathrm{F}$: de supercondensator. $E = \tfrac12 \times 10 \times 2.7^2 \approx 36\,\mathrm{J}$.

**Oefening 30.3 ★.**

De [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) over een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $220\,\text{µ}\mathrm{F}$ stijgt gestaag van $0$ naar $5.0\,\mathrm{V}$ in $10\,\mathrm{ms}$: welke stroom loopt er binnen? En welke stroom zodra de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) stilstaat, en waarom?

**Oplossing van Oefening 30.3.**

$i = C\,\Delta u/\Delta t = 2.2\times10^{-4} \times 5.0/0.010 =
0.11\,\mathrm{A}$. Daarna is $i = C\,du/dt = 0$: een geladen [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) is een onderbreking — geen gelijkstroom.

**Oefening 30.4 ★.**

Bereken $\tau$ voor $R = 10\,\mathrm{k}\Omega$ en $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$, en daarna voor $L = 0.10\,\mathrm{H}$ en $R = 50\,\Omega$. Ga [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) voor [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) na dat beide combinaties seconden opleveren.

**Oplossing van Oefening 30.4.**

$RC = 10^4 \times 10^{-4} = 1.0\,\mathrm{s}$; $L/R = 0.10/50 = 2.0\,\mathrm{ms}$. En $\Omega\,\mathrm{F} =
(\mathrm{V}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}$; $\mathrm{H}/\Omega = (\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})/(\mathrm{V}/\mathrm{A}) = \mathrm{s}$.

**Oefening 30.5 ★.**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) laadt naar $6.0\,\mathrm{V}$ toe en passeert $3.8\,\mathrm{V}$ op $t = 2.0\,\mathrm{s}$. Lees de [tijdconstante](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) af; wanneer is het laden voor $95\%$ klaar?

**Oplossing van Oefening 30.5.**

$3.8/6.0 = 0.63$, dus $\tau = 2.0\,\mathrm{s}$; $95\%$ op $3\tau = 6.0\,\mathrm{s}$.

**Oefening 30.6 ★★.**

Een [RC-kring](#thm-g12-rc-rl-circuits-charging): $\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $R = 4.7\,\mathrm{k}\Omega$, $C = 220\,\text{µ}\mathrm{F}$. Bereken $\tau$, $u(\tau)$, $u(3\tau)$ en de stroom op het ogenblik dat de schakelaar sluit.

**Oplossing van Oefening 30.6.**

$\tau = 4700 \times 2.2\times10^{-4} \approx 1.0\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 0.63 \times 9.0 = 5.7\,\mathrm{V}$; $u(3\tau) = 0.95 \times 9.0 = 8.6\,\mathrm{V}$; $I_0 = \mathcal{E}/R = 9.0/4700 \approx 1.9\,\mathrm{mA}$ (bij een lege [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) staat heel $\mathcal{E}$ over $R$).

**Oefening 30.7 ★★.**

Ga door invullen na dat $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ aan $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$ voldoet; wat leggen haar waarde in $t = 0$ en haar limiet voor grote $t$ natuurkundig vast?

**Oplossing van Oefening 30.7.**

$du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$, dus $RC\,du/dt + u =
\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$. $u(0) = 0$: de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) begint leeg; $u \to \mathcal{E}$: volledig geladen, de stroom is gestopt.

**Oefening 30.8 ★★.**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $100\,\text{µ}\mathrm{F}$ die tot $12\,\mathrm{V}$ is geladen, ontlaadt over $47\,\mathrm{k}\Omega$: bereken $\tau$, $u(\tau)$, en de tijd waarna $u$ onder $0.60\,\mathrm{V}$ zakt.

**Oplossing van Oefening 30.8.**

$\tau = 4.7\times10^{4} \times 10^{-4} = 4.7\,\mathrm{s}$; $u(\tau) = 12\,e^{-1} \approx 4.4\,\mathrm{V}$; $0.60\,\mathrm{V}$ is $5\%$, bereikt op $3\tau \approx 14\,\mathrm{s}$.

**Oefening 30.9 ★★.**

De stroom in een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) van $0.50\,\mathrm{H}$ klimt gestaag van $0$ naar $2.0\,\mathrm{A}$ in $40\,\mathrm{ms}$: welke [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) verschijnt eroverheen? Waarom vonkt met $u = L\,di/dt$ juist het *openen* van een schakelaar op een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), en niet het sluiten?

**Oplossing van Oefening 30.9.**

$u = L\,\Delta i/\Delta t = 0.50 \times 2.0/0.040 = 25\,\mathrm{V}$. Bij het sluiten klimt $i$ in het eigen tempo van de kring en blijft $di/dt$ bescheiden; het openen *dwingt* $i$ vrijwel ogenblikkelijk naar nul, $di/dt$ is reusachtig en $u$ haalt vonkwaarden.

**Oefening 30.10 ★★.**

Het relais van [Voorbeeld 30.13](#ex-g12-rc-rl-circuits-rl): ga door invullen na dat $i(t) = (\mathcal{E}/R)(1 - e^{-Rt/L})$ aan $L\,di/dt + Ri = \mathcal{E}$ voldoet, en bereken daarna $i(\tau)$ en $i(3\tau)$.

**Oplossing van Oefening 30.10.**

$di/dt = (\mathcal{E}/L)e^{-Rt/L}$, dus $L\,di/dt + Ri =
\mathcal{E}e^{-Rt/L} + \mathcal{E}(1 - e^{-Rt/L}) = \mathcal{E}$. $i(\tau) = 0.63 \times 2.0 = 1.3\,\mathrm{A}$; $i(3\tau) = 0.95 \times 2.0 = 1.9\,\mathrm{A}$.

**Oefening 30.11 ★★.**

Toon aan dat $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$, en leid daaruit af dat de raaklijn in de oorsprong de asymptoot treft op $t = \tau$. Op een opgenomen kromme geeft dat $\tau = 0.50\,\mathrm{s}$, met $R = 2.0\,\mathrm{k}\Omega$: bepaal $C$.

**Oplossing van Oefening 30.11.**

$u'(t) = (\mathcal{E}/\tau)e^{-t/\tau}$, dus $u'(0) = \mathcal{E}/\tau$: de raaklijn $u = (\mathcal{E}/\tau)\,t$ bereikt $\mathcal{E}$ op $t = \tau$. En $C = \tau/R = 0.50/2000 = 250\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**Oefening 30.12 ★★★.**

Rangschik op opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy), en bereken elk: een supercondensator van $3000\,\mathrm{F}$ op $2.7\,\mathrm{V}$; een flitscondensator van $800\,\text{µ}\mathrm{F}$ op $300\,\mathrm{V}$; een [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) van $10\,\mathrm{mH}$ bij $10\,\mathrm{A}$; een AA-batterij ($E \approx 1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$). Wat bieden de eerste drie dat de batterij niet kan?

**Oplossing van Oefening 30.12.**

Supercondensator $\tfrac12 \times 3000 \times 2.7^2 \approx 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; flitscondensator $\tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$; [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $\tfrac12 \times 0.010 \times 10^2 = 0.50\,\mathrm{J}$. Batterij ($1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) $>$ supercondensator $\gg$ flitscondensator $\gg$ [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) — maar alle drie kunnen hun [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) in milliseconden dumpen: [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power), geen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy).

**Oefening 30.13 ★★★.**

Een trappenhuisschakelaar laat het licht branden zolang $u < 0.63\,\mathcal{E}$ over zijn ladende [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) staat, en gaat uit op $t = \tau$. Ontwerp het licht voor $5.0\,\mathrm{s}$ met $C = 100\,\text{µ}\mathrm{F}$: welke $R$? Toon voor een drempel $0.50\,\mathcal{E}$ aan dat de [vertraging](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/20-mechanische-golven#def-g12-mechanical-waves-delay) $\tau \ln 2$ is en bereken haar.

**Oplossing van Oefening 30.13.**

$\tau = 5.0\,\mathrm{s}$, dus $R = \tau/C = 5.0/10^{-4} = 50\,\mathrm{k}\Omega$. Uit $1 - e^{-t/\tau} = 0.50$ volgt $e^{-t/\tau} = 0.50$, dus $t = \tau\ln 2
\approx 0.69\,\tau = 3.5\,\mathrm{s}$.

**Oefening 30.14 ★★★.**

Een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $2200\,\text{µ}\mathrm{F}$ vlakt een voeding af: tussen twee oplaadmomenten voedt hij in zijn eentje een belasting die $0.50\,\mathrm{A}$ trekt gedurende $10\,\mathrm{ms}$. Bereken uit $i = C\,du/dt$ de spanningsdip, en daarna de [capaciteit](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die hem onder $0.50\,\mathrm{V}$ houdt.

**Oplossing van Oefening 30.14.**

$\Delta u = i\,\Delta t/C = 0.50 \times 0.010/2.2\times10^{-3} \approx
2.3\,\mathrm{V}$. Nodig is $C \geq i\,\Delta t/\Delta u =
5.0\times10^{-3}/0.50 = 10\,\mathrm{mF}$.

**Oefening 30.15 ★★★.**

Een bobine met $L = 0.80\,\mathrm{H}$ voert $2.0\,\mathrm{A}$ wanneer de onderbreker haar in ongeveer $1.0\,\mathrm{ms}$ afsnijdt. Schat de [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) over de [spoel](#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) tijdens het afsnijden en de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) van de vonk; waarom geeft een trage onderbreking geen vonk?

**Oplossing van Oefening 30.15.**

$u \approx L\,\Delta i/\Delta t = 0.80 \times 2.0/10^{-3} = 1.6\,\mathrm{kV}$; $E_L = \tfrac12 \times 0.80 \times 2.0^2 = 1.6\,\mathrm{J}$. Snijd je langzaam af, dan blijft $di/dt$ klein en blijft $u$ enkele [volt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage): geen vonk.

## 30.6 Probleem: De cameraflitser

**Probleem 30.1.**

Weekendopgave — de cameraflitser: twee seconden gejank, een milliseconde glorie, en de neef aan de muur die harten herstart — één exponentiële functie stuurt ze allemaal

Een compacte flitser slaat [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) op in een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C = 800\,\text{µ}\mathrm{F}$, geladen door $R = 1.0\,\mathrm{k}\Omega$ vanuit een omvormer die als een ideale bron $\mathcal{E} = 300\,\mathrm{V}$ wordt gemodelleerd; het lampje “gereed” slaat om bij $95\%$ van de volle [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage). Bij het afvuren ziet de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) alleen de flitsbuis, $R_f = 0.50\,\Omega$. Gegevens: een AA-cel levert $1.5\,\mathrm{V}$ en $2.4\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$; $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$.

**Deel I — Het reservoir.**

1. Bereken de lading op de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) bij $300\,\mathrm{V}$ .
2. Hoeveel [elementaire ladingen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-elementary) is dat?
3. Bereken de opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) $E_C$ .
4. De AA-cel bevat $q = It \approx 8.6 \times 10^{3}\,\mathrm{C}$ , dus ongeveer $1.3 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$ . Hoeveel keer de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) van de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) is dat?
5. Waarom dan toch de moeite van de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) ? Eén zin, met het woord “ [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power) ”.

**Deel II — Het wachten op groen.**

6. Schrijf de kringwet op en maak er de differentiaalvergelijking voor $u(t)$ van.
7. Ga door invullen na dat $u(t) = \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC})$ haar oplost, startend vanaf $u(0) = 0$ .
8. Bereken de [tijdconstante](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau$ .
9. Na hoeveel tijd springt het lampje op groen, en bij welke [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) ? Herken het gejank van twee seconden.
10. Bereken de beginlaadstroom; waarom sterft die daarna weg?

**Deel III — De milliseconde glorie.**

11. Schrijf de ontlaadwet $u(t)$ door de buis op en bereken de nieuwe [tijdconstante](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) $\tau'$ .
12. Bereken de piekstroom door de buis.
13. Bereken het piekvermogen; vergelijk het met een waterkoker van $2.2\,\mathrm{kW}$ .
14. Beschouw de flits als voorbij op $3\tau'$ en geef haar duur en haar gemiddelde [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power) .
15. Neem de verhouding van laadtijd tot flitstijd: dezelfde [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) , dezelfde lading — wat is er veranderd, en wat maakt dat van een [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) : een energietank of een vermogenshefboom?

**Deel IV — De neef aan de muur.** Een defibrillator moet $E_C = 200\,\mathrm{J}$ leveren bij $U_0 = 1500\,\mathrm{V}$; borstkas en peddels bieden ongeveer $50\,\Omega$.

16. Bereken de vereiste [capaciteit](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) .
17. Bereken de opgeslagen lading.
18. Bereken de [tijdconstante](#def-g12-rc-rl-circuits-tau) en de duur ( $3\tau$ ) van de schok; vergelijk met de flitser.
19. Bereken de piekstroom en het piekvermogen in de patiënt.
20. De laadschakeling moet het toestel in $6.0\,\mathrm{s}$ gereed ( $95\%$ ) maken: bepaal de vereiste laadweerstand en de beginlaadstroom — de getallen die een ontwerper zou bestellen.

**Oplossing van Probleem 30.1.**

**1.** $q = CU_0 = 8.0\times10^{-4} \times 300 = 0.24\,\mathrm{C}$.

**2.** $N = 0.24/1.60\times10^{-19} = 1.5 \times 10^{18}$.

**3.** $E_C = \tfrac12 \times 8.0\times10^{-4} \times 300^2 =
36\,\mathrm{J}$.

**4.** $1.3 \times 10^{4}/36 \approx 360$ keer.

**5.** De cel slaat volop op maar levert traag; de [condensator](#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) maakt van bescheiden [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) een enorm *[vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power)*.

**6.** $\mathcal{E} = Ri + u$ met $i = C\,du/dt$: $RC\,du/dt + u = \mathcal{E}$.

**7.** $du/dt = (\mathcal{E}/RC)e^{-t/RC}$: $\mathcal{E}e^{-t/RC} + \mathcal{E}(1 - e^{-t/RC}) = \mathcal{E}$ voor alle $t$, en $u(0) = 0$.

**8.** $\tau = RC = 10^3 \times 8.0\times10^{-4} = 0.80\,\mathrm{s}$.

**9.** Op $3\tau = 2.4\,\mathrm{s}$ is $u = 0.95 \times 300 = 285\,\mathrm{V}$ — het gejank van twee seconden.

**10.** $I_0 = \mathcal{E}/R = 0.30\,\mathrm{A}$; naarmate $u$ klimt, krimpt de rest $\mathcal{E} - u$ over $R$, dus sterft $i = (\mathcal{E}-u)/R$ weg.

**11.** $u(t) = U_0\,e^{-t/\tau'}$ met $\tau' = R_f C =
0.50 \times 8.0\times10^{-4} = 0.40\,\mathrm{ms}$.

**12.** $I_0 = U_0/R_f = 300/0.50 = 600\,\mathrm{A}$.

**13.** $P_0 = U_0 I_0 = 300 \times 600 = 180\,\mathrm{kW}$ — zo’n $80$ waterkokers tegelijk.

**14.** Duur $3\tau' = 1.2\,\mathrm{ms}$; gemiddeld [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power) $\approx 36/1.2\times10^{-3} = 30\,\mathrm{kW}$.

**15.** $2.4/1.2\times10^{-3} = 2000$. Alleen de [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) veranderde ($1.0\,\mathrm{k}\Omega$ erin, $0.50\,\Omega$ eruit): een vermogenshefboom.

**16.** $C = 2E_C/U_0^2 = 400/1500^2 \approx 1.8 \times 10^{-4}\,\mathrm{F} =
180\,\text{µ}\mathrm{F}$.

**17.** $q = CU_0 = 1.78\times10^{-4} \times 1500 \approx
0.27\,\mathrm{C}$.

**18.** $\tau = 50 \times 1.78\times10^{-4} \approx 8.9\,\mathrm{ms}$, duur $3\tau \approx 27\,\mathrm{ms}$ — zo’n twintig keer de flits.

**19.** $I_0 = 1500/50 = 30\,\mathrm{A}$; $P_0 = 1500 \times 30 = 45\,\mathrm{kW}$.

**20.** Uit $3\tau_c = 6.0\,\mathrm{s}$ volgt $\tau_c = 2.0\,\mathrm{s}$, dus $R_c = \tau_c/C = 2.0/1.78\times10^{-4} \approx 11\,\mathrm{k}\Omega$ en $I_0 = 1500/1.12\times10^{4} \approx 0.13\,\mathrm{A}$ — gereed in zes seconden, op een tiende [ampère](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-current).