---
title: "Vrije elektrische trillingen: RLC"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 31
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/31-vrije-elektrische-trillingen-rlc
---

# Hoofdstuk 31 — Vrije elektrische trillingen: RLC

Draai aan de zware knop van een zolderradio en de zenders trekken langs de naald voorbij: een stem, violen, geruis, weer een stem. Achter het paneel zit geen motor en geen computer — een [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), een [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) waarvan de knop de in elkaar geschoven platen draait, en een stuk antennedraad. Dit hoofdstuk verbindt de twee energietanks van het vorige hoofdstuk ([Hoofdstuk 30](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#ch-g12-rc-rl-circuits)) kop aan kop en vindt de snelste slinger die ooit is gebouwd: lading die heen en weer zwaait, tot miljoenen keren per seconde, in een tempo dat de knop kiest.

## 31.1 Een elektrische slinger: de LC-kring

Laad een [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $C$ tot een [spanning](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U_0$ — zijn platen dragen dan $\pm Q_0$ met $Q_0 = C U_0$ — en schakel hem op $t = 0$ op een *ideale* [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ met [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) nul. Nergens in de kring een bron: wat er nu ook gebeurt, de schakeling doet het zelf.

![De LC-kring: een condensator geladen tot Q_0, een schakelaar, een ideale spoel. Door K te sluiten laat je de lading door de spoel wegstromen — en de spoel, die verandering haat, laat haar niet stoppen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-ef767bffd34d.svg)

*De [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): een [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) geladen tot $Q_0$, een schakelaar, een ideale [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor). Door $K$ te sluiten laat je de lading door de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) wegstromen — en de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), die verandering haat, laat haar niet stoppen.*

**Propositie 31.1 (De LC-vergelijking).**

In de ideale [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) voldoet de lading $q(t)$ van de bovenste plaat aan

$$
L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0,
\qquad\text{oftewel}\qquad
\frac{d^2q}{dt^2} = -\frac{1}{LC}\,q .
$$

**Bewijs.** Rond de kring tellen de [spanningen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-voltage) tot nul op ([Propositie 12.4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#prop-g11-circuits-and-power-laws)): $u_L + u_C = 0$. De [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) geeft $u_C = q/C$ en de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $u_L = L\,di/dt$ ([Definitie 30.10](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)), met $i = dq/dt$ als de lading die op de bovenste plaat aankomt ([Propositie 30.3](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#prop-g12-rc-rl-circuits-cdudt)); vul in. ∎

**Stelling 31.2 (Vrije trillingen van de LC-kring).**

Losgelaten op $t = 0$ met $q(0) = Q_0$ en $i(0) = 0$ trilt de kring:

$$
q(t) = Q_0 \cos\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
i(t) = -I_0 \sin\!\left(\frac{2\pi t}{T_0}\right),
\qquad
T_0 = 2\pi\sqrt{LC},
$$

met piekstroom $I_0 = 2\pi Q_0/T_0 = Q_0/\sqrt{LC}$.

**Bewijs.** Controleer door invullen. Afleiden geeft $i = dq/dt = -\frac{2\pi}{T_0} Q_0 \sin(2\pi t/T_0)$ — de opgegeven $i(t)$ — en nog eens $\frac{d^2q}{dt^2} = -(\frac{2\pi}{T_0})^2 q$, wat gelijk is aan $-q/(LC)$ precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, oftewel $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$. En $q(0) = Q_0$, $i(0) = 0$. Dat geen *andere* functie bij de vergelijking en de start past, wordt toegegeven, net als bij de veer ([Opmerking 28.9](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#rem-g12-oscillators-and-time-uniqueness)). ∎

**Definitie 31.3 (Eigenperiode en eigenfrequentie).**

De *eigenperiode* van een [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) is $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$; haar *eigenfrequentie* is

$$
f_0 = \frac{1}{T_0} = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} .
$$

Controle van de dimensies: $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ en $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$, dus draagt $LC$ de [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ is een tijd, zoals het hoort.

**Voorbeeld 31.4 (Eerste getallen).**

$L = 10\,\mathrm{mH}$ met $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$: $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$, dus $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$ en $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$ — een hoorbare toon. $L = 1.0\,\mathrm{mH}$ met $C = 100\,\mathrm{pF}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — een radiofrequentie. Alleen het *product* $LC$ legt het tempo vast.

**Opmerking 31.5 (Een kwart periode uit de pas).**

De stroom loopt een kwart [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) uit [fase](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-phase) met de lading: $i = 0$ wanneer $q = \pm Q_0$ (platen vol, stroming keert om) en $i = \pm I_0$ wanneer $q = 0$ (platen leeg, stroming op volle [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force)) — precies de slinger, stilstaand in de uitersten en het snelst onderaan.

![Lading en stroom van de vrije LC-kring: de stroom piekt telkens wanneer de lading door nul gaat, een kwart periode uit de pas.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-6b6eee0e7326.svg)

*Lading en stroom van de vrije [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation): de stroom piekt telkens wanneer de lading door nul gaat, een kwart [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) uit de pas.*

## 31.2 De energiewals

**Propositie 31.6 (Behoud van de opgeslagen energie).**

In de ideale [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) is de totale opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) ([Propositie 30.15](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#prop-g12-rc-rl-circuits-energy))

$$
E \;=\; E_C + E_L \;=\; \frac{q^2}{2C} + \tfrac12\,L i^2
\;=\; \frac{Q_0^2}{2C} \;=\; \tfrac12\,L I_0^2
$$

constant: volledig in de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) wanneer $q = \pm Q_0$, volledig in de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) wanneer $i = \pm I_0$.

**Bewijs.** Leid af: $\frac{dE}{dt} = \frac{q}{C}\frac{dq}{dt} +
Li\frac{di}{dt} = i\left(\frac{q}{C} + L\frac{d^2q}{dt^2}\right) = 0$ wegens [Propositie 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation). Haar waarde lees je af op $t = 0$ (alles in de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)), en nogmaals op het ogenblik dat alles stroom is, $q = 0$ — waaruit $\tfrac12 L I_0^2 = Q_0^2/2C$ en dus $I_0 = Q_0/\sqrt{LC}$ volgt, met [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) alleen. ∎

![Eén periode van de wals: de energie klotst twee keer per periode van de platen naar de spoel en terug, met de som vastgepind op Q_02/2C — precies de figuur van de veeroscillator, met andere etiketten.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-7a842b808a6e.svg)

*Eén [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) van de wals: de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) klotst twee keer per [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) van de platen naar de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) en terug, met de som vastgepind op $Q_0^2/2C$ — precies de figuur van de [veeroscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period), met andere etiketten.*

**Voorbeeld 31.7 (De wals, opgemeten).**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ geladen tot $U_0 = 10\,\mathrm{V}$ en geschakeld op $L = 10\,\mathrm{mH}$: [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) $E = \tfrac12 C U_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$, [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, en een piekstroom $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.10\,\mathrm{A}$ die een kwart [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ($0.16\,\mathrm{ms}$) na het sluiten van de schakelaar wordt gehaald.

## 31.3 Echte schakelingen: gedempte trillingen

Elke echte [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) is van draad met [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) gewikkeld: de eerlijke kring is een serie-*RLC*-kring, en de [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) belast de wals.

**Definitie 31.8 (Pseudoperiodisch en aperiodisch regime).**

In een serie-RLC-kring verstookt de [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) door het [joule-effect](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-joule) ([Hoofdstuk 12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#ch-g11-circuits-and-power)): de [vrije trillingen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) zijn gedempt. Twee regimes, af te lezen op een [oscilloscoop](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope):

- *pseudoperiodisch* (kleine $R$ ): de kring trilt nog binnen een krimpende omhullende, met een herhaaltijd — de *pseudoperiode* — dicht bij $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ zolang de [demping](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-damping) zwak is;
- *aperiodisch* (grote $R$ ): de lading kruipt naar nul terug zonder er ooit voorbij te schieten — helemaal geen trilling.

Het exacte spiegelbeeld van de gedempte mechanische [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Definitie 28.12](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-damping)).

![De twee lotsbestemmingen van een echte RLC-kring: trillingen die binnen een exponentiële omhullende (gestippeld) sterven, of een kruiptocht naar nul zonder trilling. Bij zwakke demping blijft de pseudoperiode T_0.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-rlc-oscillations/fig-c7af3dfa3c09.svg)

*De twee lotsbestemmingen van een echte [RLC-kring](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): trillingen die binnen een exponentiële omhullende (gestippeld) sterven, of een kruiptocht naar nul zonder trilling. Bij zwakke [demping](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-damping) blijft de [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) $\approx T_0$.*

**Opmerking 31.9 (Trillingen onderhouden).**

Om de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) in leven te houden, voer je de kring precies de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) toe die de [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) verstookt, één keer per cyclus en *in de pas* met de zwaai: een versterker doet voor de [RLC-kring](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) wat het duwtje van het echappement voor de slinger doet ([Hoofdstuk 28](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#ch-g12-oscillators-and-time)). Elk kwartshorloge en elke radiozender is zo’n onderhouden [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), draaiend op zijn [eigenfrequentie](#def-g12-rlc-oscillations-period) $f_0$.

## 31.4 De mechanische tweelingbroer

**Propositie 31.10 (Het elektrisch–mechanische woordenboek).**

De LC-vergelijking is woord voor woord de vergelijking van de veer met massa ([Propositie 28.8](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#prop-g12-oscillators-and-time-spring-period)):

| [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) |  | wagentje aan een veer |
| --- | --- | --- |
| [2pt] lading $q$ | $\longleftrightarrow$ | plaats $x$ |
| stroom $i = dq/dt$ | $\longleftrightarrow$ | snelheid $v = dx/dt$ |
| [zelfinductie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L$ | $\longleftrightarrow$ | massa $m$ |
| omgekeerde [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) $1/C$ | $\longleftrightarrow$ | [veerconstante](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ |
| [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R$ | $\longleftrightarrow$ | [wrijving](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-inventory) |
| $L\,\frac{d^2q}{dt^2} + \frac{q}{C} = 0$ | $\longleftrightarrow$ | $m\,\frac{d^2x}{dt^2} + kx = 0$ |
| [2pt] $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ | $\longleftrightarrow$ | $T_0 = 2\pi\sqrt{m/k}$ |
| [2pt] $E_C = q^2/2C$ | $\longleftrightarrow$ | $E_p = \tfrac12 kx^2$ |
| $E_L = \tfrac12 Li^2$ | $\longleftrightarrow$ | $E_k = \tfrac12 mv^2$ |

Dezelfde vergelijking, dezelfde oplossingen: elk resultaat over de ene [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) vertaalt zich ogenblikkelijk in de taal van de andere.

**Bewijs.** Vergelijk [Propositie 31.1](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) met $m\,d^2x/dt^2 = -kx$: de substitutie $q \to x$, $L \to m$, $1/C \to k$ maakt van de ene de andere, en $LC \to m/k$ maakt van $2\pi\sqrt{LC}$ de uitdrukking $2\pi\sqrt{m/k}$. ∎

**Voorbeeld 31.11 (Een radio afstemmen).**

Een antenne voert een fluistering van *elke* zender in een [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation), maar alleen die welke rond $f_0$ uitzendt duwt in de pas en bouwt zich op — [resonantie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-resonance) ([Definitie 28.13](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-resonance)). De afstemknop draait de platen van een variabele [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor): door $C$ te veranderen verschuift $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, en de naald reikt de oortelefoon één zender per keer aan. Aan de zendkant legt een onderhouden [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) ([Opmerking 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain)) de uitzendfrequentie vast; in een horloge speelt een kwartskristal — een mechanische tweelingbroer van adembenemende stijfheid — dezelfde rol.

## 31.5 Oefeningen

**Oefening 31.1 ★.**

Bereken $T_0$ en $f_0$ voor (a) $L = 10\,\mathrm{mH}$, $C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$; (b) $L = 1.0\,\mathrm{mH}$, $C = 100\,\mathrm{pF}$. Met welke factor verschillen de [frequenties](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator)?

**Oplossing van Oefening 31.1.**

(a) $\sqrt{LC} = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 0.63\,\mathrm{ms}$, $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{kHz}$. (b) $\sqrt{LC} = 3.16 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$: $T_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 0.50\,\mathrm{MHz}$ — een factor $\sqrt{10^5} \approx 316$.

**Oefening 31.2 ★.**

Toon met $1\,\mathrm{H} = 1\,\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A}$ en $1\,\mathrm{F} = 1\,\mathrm{C}/\mathrm{V}$ [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) voor [eenheid](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) aan dat $\sqrt{LC}$ een tijd is. Waarom verandert de $2\pi$ daar niets aan?

**Oplossing van Oefening 31.2.**

$LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times \mathrm{C}/\mathrm{A} =
\mathrm{s} \times \mathrm{s} = \mathrm{s}^{2}$, dus staat $\sqrt{LC}$ in seconden. $2\pi$ is een zuiver getal — geen dimensie om iets aan te veranderen.

**Oefening 31.3 ★.**

Een [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $470\,\mathrm{nF}$ wordt tot $6.0\,\mathrm{V}$ geladen. Bereken $Q_0$ en de opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy); beschrijf zonder te rekenen wat er volgt wanneer hij op een ideale [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) wordt geschakeld.

**Oplossing van Oefening 31.3.**

$Q_0 = CU_0 = 2.8\,\text{µ}\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 =
\tfrac12 \times 4.7 \times 10^{-7} \times 36 \approx 8.5\,\text{µ}\mathrm{J}$. De lading trilt met $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, de stroom een kwart [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) uit [fase](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-phase), en de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) klotst tussen platen en [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor), met een constant totaal.

**Oefening 31.4 ★.**

Een [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) volgt $q(t) = 2.0\cos(2\pi t/T_0)$ in microcoulomb, met $T_0 = 4.0\,\mathrm{ms}$. Lees $Q_0$ af; bereken $f_0$, $q(T_0/2)$, $i(0)$ en de piekstroom $I_0 = 2\pi Q_0/T_0$.

**Oplossing van Oefening 31.4.**

$Q_0 = 2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $f_0 = 1/T_0 = 250\,\mathrm{Hz}$; $q(T_0/2) = -2.0\,\text{µ}\mathrm{C}$; $i(0) = 0$ (de cosinus is vlak in $t=0$); $I_0 = 2\pi \times 2.0 \times 10^{-6}/4.0 \times 10^{-3} \approx 3.1\,\mathrm{mA}$.

**Oefening 31.5 ★.**

Op welke ogenblikken van de cyclus zit de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) volledig in de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor)? En volledig in de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor)? Wat is voor een slinger de mechanische tegenhanger van elk van die momenten?

**Oplossing van Oefening 31.5.**

Alles in de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) wanneer $q = \pm Q_0$ en $i = 0$ ($t = 0$, $T_0/2$, $T_0$, …): de uitersten van de slinger. Alles in de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) wanneer $q = 0$ en $i = \pm I_0$ ($t = T_0/4$, $3T_0/4$, …): het laagste en snelste punt van de slinger.

**Oefening 31.6 ★★.**

Ga door invullen na dat $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ aan $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$ voldoet precies wanneer $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Oplossing van Oefening 31.6.**

$d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2\,Q_0\cos(2\pi t/T_0) = -(2\pi/T_0)^2 q$, dus is $L\,d^2q/dt^2 + q/C = q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$ voor alle $t$ precies wanneer $(2\pi/T_0)^2 = 1/(LC)$, oftewel $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**Oefening 31.7 ★★.**

Een langegolfzender zendt uit op $198\,\mathrm{kHz}$. Welke [zelfinductie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) stemt daar met $C = 220\,\mathrm{pF}$ op af?

**Oplossing van Oefening 31.7.**

$L = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 C} = \dfrac{1}{39.5 \times
(1.98 \times 10^{5})^2 \times 2.2 \times 10^{-10}} \approx 2.9\,\mathrm{mH}$.

**Oefening 31.8 ★★.**

$C = 1.0\,\text{µ}\mathrm{F}$ geladen tot $10\,\mathrm{V}$ ontlaadt in $L = 10\,\mathrm{mH}$. Bereken de opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy), de piekstroom (met behulp van het [behoud van energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#thm-g10-energy-conservation-conservation)) en het ogenblik waarop die voor het eerst wordt bereikt.

**Oplossing van Oefening 31.8.**

$E = \tfrac12 CU_0^2 = 5.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{J}$; uit $\tfrac12 LI_0^2 = E$ volgt $I_0 = \sqrt{2E/L} = \sqrt{1.0 \times 10^{-2}} = 0.10\,\mathrm{A}$, voor het eerst bereikt op $T_0/4 = \tfrac14 \times 0.63\,\mathrm{ms} \approx 0.16\,\mathrm{ms}$.

**Oefening 31.9 ★★.**

Leg uit waarom $E_C$ en $E_L$ met [frequentie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) $2f_0$ trillen en niet met $f_0$. Toon aan dat op $t = T_0/8$ (gestart vanaf $q = Q_0$) de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) precies in twee gelijke helften is verdeeld.

**Oplossing van Oefening 31.9.**

$E_C \propto \cos^2(2\pi t/T_0)$, en $\cos^2$ herhaalt zich elke *halve* omwenteling: twee vullingen van de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) per [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), dus $2f_0$. Op $t = T_0/8$ is de [fase](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-phase) $\pi/4$: $\cos^2(\pi/4) = \tfrac12$, dus $E_C = E_L = E/2$.

**Oefening 31.10 ★★.**

Op een [oscillogram](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope) van een zwak gedempte [RLC-kring](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) lezen opeenvolgende maxima $4.0\,\mathrm{V}$ en daarna $3.0\,\mathrm{V}$. Voorspel, aangenomen dat de verhouding constant blijft, het zesde maximum na dat van $4.0\,\mathrm{V}$. Welke fractie van de *[energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy)* overleeft elke [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes)? Wat kun je over de [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) zelf zeggen?

**Oplossing van Oefening 31.10.**

Verhouding $3.0/4.0 = 0.75$ per [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes): het zesde maximum is $4.0 \times 0.75^6 \approx 0.71\,\mathrm{V}$. De [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) is evenredig met het kwadraat van de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator): $0.75^2 \approx 56\%$ overleeft elke [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). De [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) blijft $\approx T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$: zwakke [demping](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-damping) krimpt de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator), nauwelijks het tempo.

**Oefening 31.11 ★★.**

Een [LC-kring](#prop-g12-rlc-oscillations-equation) heeft $L = 0.50\,\mathrm{H}$ en $C = 20\,\text{µ}\mathrm{F}$. Bereken $T_0$; bepaal daarna met het woordenboek ([Propositie 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy)) de [veerconstante](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ die een wagentje van $0.50\,\mathrm{kg}$ dezelfde [periode](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) geeft, en controleer die.

**Oplossing van Oefening 31.11.**

$T_0 = 2\pi\sqrt{0.50 \times 2.0 \times 10^{-5}} = 2\pi \times 3.16 \times 10^{-3}
\approx 20\,\mathrm{ms}$. Woordenboek: $k = m/(LC) = 0.50/1.0 \times 10^{-5} =
5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$; controle: $2\pi\sqrt{m/k} = 2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-5}}$ — dezelfde $20\,\mathrm{ms}$.

**Oefening 31.12 ★★★.**

Een afstemkring gebruikt $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ en een variabele [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die $50\text{ to }500\,\mathrm{pF}$ bestrijkt. Bereken de twee uiterste [frequenties](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). Toon aan dat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, zodat een factor tien in $C$ maar $\sqrt{10} \approx 3.2$ in [frequentie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) oplevert.

**Oplossing van Oefening 31.12.**

$C = 500\,\mathrm{pF}$: $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{1.0 \times 10^{-13}}) \approx
0.50\,\mathrm{MHz}$; $C = 50\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 1.6\,\mathrm{MHz}$. Bij vaste $L$ is $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1} C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$: een factor tien in $C$ geeft maar $\sqrt{10} \approx 3.2$ in $f_0$ — zoals gevonden.

**Oefening 31.13 ★★★.**

Door een echte [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) verliest de kring per [pseudoperiode](#def-g12-rlc-oscillations-regimes) $5.0\%$ van haar [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy). Na hoeveel [perioden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) is de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) gehalveerd? Hoe groot is de [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) dan, als fractie van de start? Hoe lang duurt dat bij $f_0 = 1.0\,\mathrm{MHz}$, in microseconden?

**Oplossing van Oefening 31.13.**

$0.95^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.95\rvert \approx 13.5$, dus zo’n $14$ [perioden](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator). De [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) is evenredig met $\sqrt{E}$: terug tot $1/\sqrt{2} \approx 0.71$ van de start. Bij $1.0\,\mathrm{MHz}$ is $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: ongeveer $14\,\text{µ}\mathrm{s}$.

**Oefening 31.14 ★★★.**

Een [horloge-oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) slaat $E = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J}$ op en verliest daarvan $2.0\%$ per cyclus bij $f_0 = 32\,768\,\mathrm{Hz}$. Welk gemiddeld [vermogen](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/17-arbeid-van-een-kracht#def-g11-work-of-force-power) moet de onderhoudsschakeling leveren? Waarom moet het duwtje in de pas met de trilling aankomen?

**Oplossing van Oefening 31.14.**

Verlies per cyclus $0.020 \times 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{J} = 2.0 \times 10^{-11}\,\mathrm{J}$, bij $32\,768$ cycli per seconde: $P = 32\,768 \times 2.0 \times 10^{-11}
\approx 6.6 \times 10^{-7}\,\mathrm{W}$ — onder een microwatt, jaren op een knoopcel. In de pas, omdat alleen een duw op de juiste [fase](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-phase) [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) *toevoegt* ([resonantie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-resonance)); uit de pas zou ze de zwaai afremmen.

**Oefening 31.15 ★★★.**

Na elke flank van een blokvormig [signaal](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-signal) “rinkelt” de bedrading van een experimentator op $25\,\mathrm{MHz}$; de parasitaire [zelfinductie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) is ongeveer $1.0\,\text{µ}\mathrm{H}$. Schat de parasitaire [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die daarvoor verantwoordelijk is. In welk regime zou een kleine [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) in serie de kring moeten duwen, en waarom geneest dat het rinkelen?

**Oplossing van Oefening 31.15.**

$C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
(2.5 \times 10^{7})^2 \times 1.0 \times 10^{-6}} \approx 41\,\mathrm{pF}$. De [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) moet de kring in het aperiodische regime duwen: de lading zakt dan zonder over te schieten — geen trilling, geen rinkeling.

## 31.6 Probleem: Een kristalontvanger bouwen

**Probleem 31.1.**

Weekendopgave — een kristalontvanger bouwen: één spoel, één variabele condensator, een diode en een oortelefoon — geen batterij, geen versterker, en het avondnieuws komt binnen op de energie van de golf zelf

Een bouwpakket van zolder bij de grootouders: een [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ gewikkeld op een kartonnen koker, een variabele [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) waarvan de platen van $20\,\mathrm{pF}$ tot $480\,\mathrm{pF}$ draaien, een kristaldiode, een oortelefoon en $20\,\mathrm{m}$ antennedraad. De zenders die je wilt vangen zenden uit tussen $530\,\mathrm{kHz}$ en $1700\,\mathrm{kHz}$.

**Deel I — De afstemkring.**

1. De geladen [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) mag zich in de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) ontladen: schrijf de kringwet op en maak er de differentiaalvergelijking voor $q(t)$ van.
2. Ga door invullen na dat $q(t) = Q_0\cos(2\pi t/T_0)$ haar oplost, mits $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$ .
3. Controleer met een dimensieanalyse dat $\sqrt{LC}$ een tijd is.
4. Knop op $C = 330\,\mathrm{pF}$ : bereken $T_0$ en $f_0$ . Is de kring binnen de band afgestemd?
5. Bepaal de [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die precies op $1.00\,\mathrm{MHz}$ afstemt.

**Deel II — De variabele [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor).**

6. Bereken de [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die nodig is voor $530\,\mathrm{kHz}$ .
7. Bereken de [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die nodig is voor $1700\,\mathrm{kHz}$ .
8. Bereken de twee [frequenties](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) die de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) van $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ uit het pakket werkelijk haalt. Bestrijkt hij de hele band?
9. Toon aan dat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$ bij vaste $L$ ; met welke factor moet $C$ veranderen om $f_0$ te verdubbelen?
10. De platen schuiven lineair open, dus daalt $C$ gestaag terwijl de knop draait. Leg uit waarom de zenders dan aan één kant van de schaal op elkaar gedrongen staan — en aan welke kant.

**Deel III — [Energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) en [demping](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-damping).** Afgestemd op $1.00\,\mathrm{MHz}$ ($C = 127\,\mathrm{pF}$) laadt de antenne de [condensator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) even tot $U_0 = 20\,\mathrm{mV}$.

11. Bereken de lading $Q_0$ en de opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) $E$ .
12. Bereken de piekstroom $I_0$ met behulp van het [behoud van energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#thm-g10-energy-conservation-conservation) .
13. De [weerstand](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/12-elektrische-schakelingen-en-vermogen#def-g11-circuits-and-power-resistance) van de [spoel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-inductor) verstookt per cyclus $4.0\%$ van de opgeslagen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) : na hoeveel cycli is de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) gehalveerd?
14. Hoe lang duurt dat in microseconden? Waarom kan dit “rinkelen” in zijn eentje het avondnieuws niet laten spelen?
15. Leg uit waarom de binnenkomende [golf](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-wave) de kring alleen aan het zwaaien houdt als die op die zender is afgestemd — en wat de trilling bij de *zender* onderhoudt ( [Opmerking 31.9](#rem-g12-rlc-oscillations-maintain) ).

**Deel IV — De mechanische tweelingbroer.**

16. Bereken met het woordenboek ( [Propositie 31.10](#prop-g12-rlc-oscillations-analogy) ) en een wagentje met massa $m = 0.20\,\mathrm{kg}$ de [veerconstante](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-spring) $k$ van de veer die bij de afgestemde kring past.
17. Een stugge autoveer heeft $k \approx 5 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ . Becommentarieer: kan een opstelling met een veer en een massa op tafel op megahertz trillen?
18. Houd in plaats daarvan een redelijke $k = 100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ aan: welke massa trilt op $1.00\,\mathrm{MHz}$ ?
19. Welk echt voorwerp is zo’n vederlichte, superstijve mechanische [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) , en waar ben je het eerder dit jaar tegengekomen ( [Hoofdstuk 28](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#ch-g12-oscillators-and-time) )?
20. Specificatieblad, in één zin: de band die je radio bestrijkt, de [capaciteit](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/30-rc-en-rl-kringen#def-g12-rc-rl-circuits-capacitor) die $1.00\,\mathrm{MHz}$ uitkiest, hoe lang één losse rinkeling duurt, en wat het nieuws toch laat spelen.

**Oplossing van Probleem 31.1.**

**1.** Kringwet: $u_L + u_C = 0$, met $u_C = q/C$, $u_L = L\,di/dt$ en $i = dq/dt$: $L\,d^2q/dt^2 + q/C = 0$.

**2.** $d^2q/dt^2 = -(2\pi/T_0)^2 q$, dus luidt de vergelijking $q\,[\,1/C - L(2\pi/T_0)^2\,] = 0$, waar voor alle $t$ precies wanneer $T_0 = 2\pi\sqrt{LC}$.

**3.** $LC$: $(\mathrm{V}\,\mathrm{s}/\mathrm{A})(\mathrm{C}/\mathrm{V}) = \mathrm{s} \times
\mathrm{C}/\mathrm{A} = \mathrm{s}^{2}$ — $\sqrt{LC}$ is een tijd.

**4.** $LC = 6.6 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $T_0 = 2\pi \times 2.57 \times 10^{-7}
\approx 1.6\,\text{µ}\mathrm{s}$, $f_0 \approx 620\,\mathrm{kHz}$ — binnen $530\text{ to }1700\,\mathrm{kHz}$.

**5.** $C = \dfrac{1}{4\pi^2 f_0^2 L} = \dfrac{1}{39.5 \times
1.0 \times 10^{12} \times 2.0 \times 10^{-4}} \approx 127\,\mathrm{pF}$.

**6.** Dezelfde formule op $530\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 451\,\mathrm{pF}$.

**7.** Op $1700\,\mathrm{kHz}$: $C \approx 44\,\mathrm{pF}$.

**8.** $C = 480\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 514\,\mathrm{kHz}$; $C = 20\,\mathrm{pF}$: $f_0 \approx 2.5\,\mathrm{MHz}$ — de hele band, met marge aan beide uiteinden.

**9.** $f_0 = (2\pi\sqrt{L})^{-1}C^{-1/2} \propto 1/\sqrt{C}$; $f_0$ verdubbelen vraagt $C$ door $4$ te delen.

**10.** Omdat $f_0 \propto 1/\sqrt{C}$, verschuiven gelijke stappen in $C$ de $f_0$ traag bij grote $C$ en snel bij kleine $C$: een gegeven afstand tussen zenders kost dan weinig knopverdraaiing — ze dringen samen aan het uiteinde met de hoge [frequenties](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) (lage $C$).

**11.** $Q_0 = CU_0 = 1.27 \times 10^{-10} \times 0.020 \approx
2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{C}$; $E = \tfrac12 CU_0^2 \approx 2.5 \times 10^{-14}\,\mathrm{J}$.

**12.** $\tfrac12 LI_0^2 = E$: $I_0 = U_0\sqrt{C/L} =
0.020\sqrt{6.35 \times 10^{-7}} \approx 16\,\text{µ}\mathrm{A}$.

**13.** $0.96^n = \tfrac12$: $n = \ln 2/\lvert\ln 0.96\rvert
\approx 17$ cycli.

**14.** Bij $1.00\,\mathrm{MHz}$ is $T_0 = 1.0\,\text{µ}\mathrm{s}$: de rinkeling halveert in ongeveer $17\,\text{µ}\mathrm{s}$. Eén losse rinkeling sterft in microseconden; muziek vraagt een kring die voortdurend wordt gevoed.

**15.** De [golf](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-wave) duwt miljoenen keren per seconde; alleen wanneer haar [frequentie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator) met $f_0$ samenvalt, komen de duwen in de pas aan en bouwen ze de zwaai op — [resonantie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-resonance); zenders naast de afstemming duwen even vaak tegen als mee. Bij de zender geeft een versterker de verstookte [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) elke cyclus terug: een onderhouden [oscillator](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#def-g12-oscillators-and-time-oscillator).

**16.** $LC = 2.54 \times 10^{-14}\,\mathrm{s}^{2}$: $k = m/(LC) =
0.20/2.54 \times 10^{-14} \approx 7.9 \times 10^{12}\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$.

**17.** Ongeveer $10^8$ keer de autoveer: geen enkele opstelling met een veer en een massa op tafel haalt megahertz — alledaagse stijfheden en massa’s zijn hopeloos traag.

**18.** $m = \dfrac{k}{(2\pi f_0)^2} = \dfrac{100}
{(6.28 \times 10^{6})^2} \approx 2.5 \times 10^{-12}\,\mathrm{kg}$ — een paar nanogram, een stofje.

**19.** Een kwartskristal: een vederlicht, superstijf plaatje dat op zijn [eigenfrequentie](#def-g12-rlc-oscillations-period) zingt — de tijdmeter van eerder dit jaar.

**20.** Met $L = 0.20\,\mathrm{mH}$ en $20\text{ to }480\,\mathrm{pF}$ bestrijkt de kring ongeveer $0.51\text{ to }2.5\,\mathrm{MHz}$ en dus de hele band; $C \approx 127\,\mathrm{pF}$ pikt $1.00\,\mathrm{MHz}$ eruit; op zichzelf gelaten halveert de rinkeling in $\approx 17\,\text{µ}\mathrm{s}$, maar de [golf](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-wave) van de zender zelf, die in de pas resoneert, voedt de kring opnieuw — het nieuws speelt op de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) van de [golf](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/8-signalen-en-golven#def-g10-signals-and-waves-wave) zelf.