---
title: "Speciale relativiteit: tijddilatatie"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 35
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/35-speciale-relativiteit-tijddilatatie
---

# Hoofdstuk 35 — Speciale relativiteit: tijddilatatie

Elke [gps-satelliet](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) draagt een atoomklok die tot op één seconde in drie miljoen jaar klopt — en vóór de lancering ontstemmen ingenieurs haar met opzet: eerlijk gelaten zou ze per dag 38 miljoenste van een seconde voorlopen, en morgenavond zou je telefoon je elf kilometer van je werkelijke plaats zetten. Het ligt niet aan de klok — de tijd zelf tikt anders voor wie beweegt en wie stilstaat: dit hoofdstuk volgt Einstein van één koppig feit naar die conclusie.

## 35.1 Eén snelheid weigert op te tellen

Snelheden hangen van het stelsel af en stellen zich samen door optelling ([Hoofdstuk 5](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#ch-g10-relative-motion)): een reiziger die met $4\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ naar de kop van een trein van $300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ loopt, passeert de waarnemer langs het spoor met $304\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Definitie 35.1 (Traagheidsstelsel).**

Een *traagheidsstelsel* is een [referentiestelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-frame) ([Hoofdstuk 5](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#ch-g10-relative-motion)) waarin een lichaam zonder [kracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel#def-g10-inertia-force) een constante snelheid houdt: de grond, bij benadering, en elk stelsel dat er [eenparig rechtlijnig](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-uniform) ten opzichte van beweegt.

Drijf de regel tot het uiterste: de bundel van de koplamp van de trein zou de waarnemer op de grond met $c + 300\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ moeten passeren. In 1887 vergeleken Michelson en Morley de lichtsnelheid langs en dwars op de vaart van $30\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ waarmee de Aarde om de Zon snelt, op jacht naar zulke verschillen; tot in verfijnde nauwkeurigheid vonden ze er geen — dezelfde $c$ in elke richting, in elk seizoen. Einstein geloofde in 1905 het experiment en bouwde tijd en ruimte eromheen opnieuw op, op twee postulaten die naar hun gevolgen worden beoordeeld — en die nu een eeuw lang zonder één enkele mislukking zijn getoetst.

**Stelling 35.2 (De postulaten van de speciale relativiteit).**

1. *Relativiteitsbeginsel* : de natuurwetten hebben in elk [traagheidsstelsel](#def-g12-special-relativity-inertial) dezelfde vorm; geen enkel stelsel is “echt in rust”.
2. *Onveranderlijkheid van $c$* : licht in vacuüm reist in elk [traagheidsstelsel](#def-g12-special-relativity-inertial) met $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ , hoe de bron of de waarnemer ook beweegt.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

## 35.2 Afscheid van “hetzelfde ogenblik”

**Propositie 35.3 (Relativiteit van de gelijktijdigheid).**

Twee gebeurtenissen die in het ene [traagheidsstelsel](#def-g12-special-relativity-inertial) gelijktijdig zijn, zijn dat in het algemeen niet in een ander: “nu, overal” hangt van het stelsel af.

**Bewijs.** De trein van Einstein. Twee bliksemschichten slaan in op de twee uiteinden van een rijdende trein en schroeien het spoor. De waarnemer $M$ op het perron, midden tussen de schroeiplekken, ontvangt de twee flitsen samen; elk legde dezelfde afstand met dezelfde snelheid $c$ af, dus waren de inslagen gelijktijdig. De reiziger $M'$, midden in de trein, rijdt *naar* de flits van de kop toe, die hem het eerst bereikt; maar ook in zijn stelsel legden beide flitsen gelijke afstanden af (een halve trein) met dezelfde snelheid $c$ — het tweede postulaat! — dus gebeurde de inslag aan de kop eerder. Elk oordeel is juist in zijn eigen stelsel; het meningsverschil, voor een trein enkele nanoseconden, is de reden dat niemand het had opgemerkt. ∎

![De trein van Einstein: de flitsen van A en B bereiken M samen; M' rijdt de flits van B tegemoet, ontmoet die het eerst — en concludeert dat daar het eerst is ingeslagen.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-f6d4aa5bf897.svg)

*De trein van Einstein: de flitsen van $A$ en $B$ bereiken $M$ samen; $M'$ rijdt de flits van $B$ tegemoet, ontmoet die het eerst — en concludeert dat daar het eerst is ingeslagen.*

## 35.3 De lichtklok en de factor $\gamma$

**Definitie 35.4 (Gebeurtenis, eigentijd).**

Een *gebeurtenis* is iets wat op één plaats en op één ogenblik gebeurt — een tik, een flits, een verval. Wanneer één en dezelfde klok bij twee gebeurtenissen aanwezig is, is het interval dat zij ertussen aanwijst de *eigentijd* $\Delta t_0$. Een stelsel waarin die klok beweegt, meet in het algemeen een ander interval $\Delta t$.

**Stelling 35.5 (Tijddilatatie).**

Van een klok die met constante snelheid $v$ door een [traagheidsstelsel](#def-g12-special-relativity-inertial) beweegt, wordt daar gemeten dat ze achterloopt: tussen twee gebeurtenissen bij de klok geldt

$$
\Delta t = \gamma\, \Delta t_0, \qquad
\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \geq 1 .
$$

**Bewijs.** Bouw de eenvoudigst denkbare klok: twee spiegels op een afstand $L$ tegenover elkaar, met een [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) dat ertussen kaatst; één heen-en-terugreis is één tik, en in rust duurt een tik $\Delta t_0 = 2L/c$. Schroef de klok nu vast op een schip dat met snelheid $v$ voorbijvaart, met de spiegels loodrecht op de beweging, en klok één tik vanaf de grond: terwijl het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) klimt, glijden de spiegels opzij, dus vliegt het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) een schuine [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) — twee bewegingen tegelijk, zoals bij het [projectiel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-projectile) van [Hoofdstuk 24](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#ch-g12-kinematics-2d). Duurt de tik $\Delta t$, dan schuift elke halve tik $v\,\Delta t/2$ horizontaal op en $L$ verticaal; en — de cruciale stap — het tweede postulaat legt de snelheid van het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) ten opzichte van de grond vast op $c$, dus meet de schuine halve [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) $c\,\Delta t/2$. Pythagoras:

$$
\Bigl(\frac{c\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2} = L^2 + \Bigl(\frac{v\,\Delta t}{2}\Bigr)^{\!2}
\;\Longrightarrow\;
\Delta t = \frac{2L/c}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} = \gamma\,\Delta t_0 .
$$

En elke klok die ernaast meereist — polshorloge, hartslag, vervallende kern — moet in de pas blijven, anders zou de vergelijking de beweging van het schip verraden en het eerste postulaat schenden. ∎

![De lichtklok. In rust klimt het foton over L; vanaf de grond vliegt het met dezelfde c over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-56eb67be2a91.svg)

![De lichtklok. In rust klimt het foton over L; vanaf de grond vliegt het met dezelfde c over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-563c01ac4de0.svg)

*De lichtklok. In rust klimt het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) over $L$; vanaf de grond vliegt het met dezelfde $c$ over de schuine zijde — dus moet de tik langer duren.*

**Voorbeeld 35.6 (Gamma in getallen).**

| $v/c$ | 0.01 | 0.1 | 0.5 | 0.8 | 0.9 | 0.99 | 0.999 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| $\gamma$ | 1.00005 | 1.005 | 1.155 | 1.667 | 2.294 | 7.09 | 22.4 |

Bladzijden lang gebeurt er niets, en dan alles: $\gamma$ blijft tot een derde van de lichtsnelheid tegen $1$ aan liggen, passeert $2$ rond $0.9c$ en explodeert zodra $v \to c$.

![= 1/√1 - v2/c2: bij alledaagse snelheden niet van 1 te onderscheiden, en onbegrensd groeiend bij de asymptoot v = c — de snelheid die geen enkel lichaam met massa haalt.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-8e12dcb81baf.svg)

*$\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$: bij alledaagse snelheden niet van $1$ te onderscheiden, en onbegrensd groeiend bij de asymptoot $v = c$ — de snelheid die geen enkel lichaam met massa haalt.*

**Opmerking 35.7 (Waarom het dagelijks leven het nooit merkte).**

Voor $v \ll c$ schrijf je $x = v^2/c^2$: omdat $(1-x)(1+x) \approx 1$ en $(1 + x/2)^2 \approx 1 + x$, krijg je $\gamma \approx 1 + v^2/(2c^2)$. Een auto op $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ heeft $\gamma - 1 \approx 7 \times 10^{-15}$ (één seconde verloren per vier miljoen jaar rijden); een straalvliegtuig haalt $3.5 \times 10^{-13}$, één seconde per negentigduizend jaar in de lucht. Onze klokken waren eenvoudigweg te grof.

## 35.4 Het oordeel van het experiment

**Voorbeeld 35.8 (Muonen halen de grond).**

Kosmische straling die de hoge atmosfeer treft, maakt *muonen* — kortlevende deeltjes met eigenlevensduur $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ — op zo’n $15\,\mathrm{km}$ hoogte, met bijna $c$. Zonder relativiteit legt een muon per levensduur $c\,\Delta t_0 \approx 660\,\mathrm{m}$ af: de afdaling kost zo’n $23$ levensduren, en de overlevende fractie $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$ zou muonen op zeeniveau verwaarloosbaar zeldzaam moeten maken. En toch tellen detectoren er ongeveer één per vierkante centimeter per minuut. De [tijddilatatie](#thm-g12-special-relativity-dilation) lost het op: aankomend met $\gamma \approx 30$ leven de muonen op onze klokken $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} = 66\,\text{µ}\mathrm{s}$ — een [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range) van $\approx 20\,\mathrm{km}$, de hele atmosfeer.

![De reis van het muon: één klassieke levensduur dooft 660\, m onder de geboortehoogte uit; de opgerekte levensduur overspant de atmosfeer.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-special-relativity/fig-4fe8b1c2fc87.svg)

*De reis van het muon: één klassieke levensduur dooft $660\,\mathrm{m}$ onder de geboortehoogte uit; de opgerekte levensduur overspant de atmosfeer.*

De bevestigingen stapelen zich op. In 1971 vlogen Hafele en Keating cesiumatoomklokken ([Hoofdstuk 28](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/28-mechanische-oscillatoren-en-het-meten-van-de-tijd#ch-g12-oscillators-and-time)) met lijnvliegtuigen de wereld rond; bij de landing weken ze precies de voorspelde fracties van een microseconde van de grondklokken af. Versnellers rekenen dagelijks op de dilatatie: hun deeltjes, opgejaagd tot $\gamma$ in de duizenden, overleven rondes die ze klassiek nooit zouden kunnen voltooien. En gps is een lopend experiment met een prijskaartje.

**Opmerking 35.9 (De relativiteitsrekening van gps).**

Een [gps-satelliet](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) draait met ongeveer $3.9\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, dus vertraagt de [speciale relativiteit](#thm-g12-special-relativity-postulates) zijn klok met zo’n $7\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag. De zwaartekracht, zwakker op die hoogte, werkt de andere kant op en wint: de algemene relativiteit (de theorie van Einstein over de [gravitatie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/13-de-fundamentele-wisselwerkingen#def-g11-fundamental-interactions-four), verteld in de universitaire volumes) versnelt haar met ongeveer $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag; netto $38\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag voor. Plaatsbepaling rekent aflezingen van klokken met de snelheid $c$ naar afstanden om: een ongecorrigeerde dag zou de plaatsen over $c \times 38\,\text{µ}\mathrm{s} \approx 11\,\mathrm{km}$ uitsmeren — vandaar de ontstemde klokken uit de openingsalinea.

**Propositie 35.10 (Lengtecontractie).**

Van een lichaam met lengte $L_0$ in zijn ruststelsel wordt in een stelsel waarin het met snelheid $v$ beweegt een kortere lengte gemeten, langs zijn bewegingsrichting: $L = L_0/\gamma$.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 35.11 (Het eigen verhaal van het muon).**

De [lengtecontractie](#prop-g12-special-relativity-contraction) is de keerzijde van de [tijddilatatie](#thm-g12-special-relativity-dilation) (eerlijk afgeleid in de universitaire volumes): de klok van het muon tikt in zijn eigen stelsel gewoon, maar de atmosfeer die op hem af snelt, is samengetrokken tot $15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$, ruim binnen $2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ doorkruist — beide stelsels zijn het erover eens dat het muon de grond haalt.

## 35.5 Massa, energie en de klassieke wereld terug

**Stelling 35.12 (Equivalentie van massa en energie).**

Een lichaam met massa $m$ bezit, alleen al door zijn massa, de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy)

$$
E = m c^2 .
$$

Massa is een geconcentreerde vorm van [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy); [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) heeft omgekeerd massa.

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 35.13 (Waar je haar bent tegengekomen).**

Dit is het grootboek achter de [kernenergie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-forms) ([Hoofdstuk 33](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/33-kernenergie-splijting-fusie-e-mc2#ch-g12-nuclear-energy)): het [massadefect](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/33-kernenergie-splijting-fusie-e-mc2#def-g12-nuclear-energy-defect) van een reactie, maal $c^2$, is de vrijgekomen [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy). Eén gram massa is $9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ — een volle dag productie van een grote centrale. De eerlijke afleiding hoort thuis in de universitaire volumes; de reactoren en de sterren draaien er hoe dan ook op.

**Opmerking 35.14 (Newton had geen ongelijk).**

Neem $v \ll c$: $\gamma \to 1$, de tijden vallen samen, de lengten trekken niet meer samen, de gelijktijdigheid wordt absoluut — de mechanica van de afgelopen drie jaar komt ongeschonden terug, als de limiet bij lage snelheid. De relativiteit heeft Newton niet gesloopt; ze heeft de grens van zijn rijk getrokken. Zo groeit de natuurkunde: door theorieën te verfijnen, waarbij elke nieuwe de oude als grensgeval teruggeeft.

## 35.6 Oefeningen

**Oefening 35.1 ★.**

Bereken $\gamma$, tot op drie [significante cijfers](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), voor $v = 0.1c$, $0.6c$, $0.8c$ en $0.995c$.

**Oplossing van Oefening 35.1.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$: $1.01$ ($0.1c$); $1.25$ ($0.6c$); $1.67$ ($0.8c$); $10.0$ ($0.995c$).

**Oefening 35.2 ★.**

Een schip vaart met $0.6c$; zijn metronoom slaat volgens de scheepsklok elke $10.0\,\mathrm{s}$. Welk interval meet de grond? Welke van beide is de [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time), en waarom?

**Oplossing van Oefening 35.2.**

$\gamma = 1.25$, dus meet de grond $1.25 \times 10.0 = 12.5\,\mathrm{s}$. De $10.0\,\mathrm{s}$ van het schip is de [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time): de metronoom (één klok) is bij beide slagen aanwezig.

**Oefening 35.3 ★.**

Bij welke snelheid (als fractie van $c$) is $\gamma = 2$? En $\gamma = 10$?

**Oplossing van Oefening 35.3.**

$v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$: $\gamma = 2$ geeft $v = 0.866c$; $\gamma = 10$ geeft $v = 0.995c$.

**Oefening 35.4 ★.**

Een auto rijdt $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Bereken $v/c$ en daarna $\gamma - 1$ ([Opmerking 35.7](#rem-g12-special-relativity-everyday)); hoe lang moet hij rijden voordat zijn klok $1\,\mathrm{s}$ achterloopt?

**Oplossing van Oefening 35.4.**

$v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, $v/c = 1.2 \times 10^{-7}$; $\gamma - 1 \approx (1.2 \times 10^{-7})^2/2 \approx 7.2 \times 10^{-15}$. Eén seconde verloren na $1/7.2 \times 10^{-15} \approx 1.4 \times 10^{14}\,\mathrm{s}$ — zo’n vier miljoen jaar rijden.

**Oefening 35.5 ★.**

Leg in het treinexperiment van Einstein uit — met vermelding van het gebruikte postulaat — waarom de reiziger concludeert dat de inslag aan de *kop* het eerst kwam, en waarom geen van beide waarnemers zich vergist.

**Oplossing van Oefening 35.5.**

De reiziger rijdt de flits van de kop tegemoet, dus bereikt die hem het eerst; volgens het tweede postulaat leggen beide flitsen *in zijn stelsel* met dezelfde $c$ de gelijke halve treinlengten af, dus betekent een eerdere aankomst een eerdere inslag. Gelijktijdigheid hangt van het stelsel af: elk oordeel klopt in zijn eigen stelsel.

**Oefening 35.6 ★★.**

Geladen pionen leven $\Delta t_0 = 2.6 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$. Een bundel verlaat een versneller met $0.99c$. Bereken $\gamma$, de levensduur in het laboratorium, de klassieke [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range) $v\,\Delta t_0$ en de werkelijke gemiddelde [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range).

**Oplossing van Oefening 35.6.**

$\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.99^2} = 7.09$; levensduur in het laboratorium $7.09 \times 2.6 \times 10^{-8} = 1.8 \times 10^{-7}\,\mathrm{s}$. Klassieke [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range) $0.99 \times 3.00 \times 10^{8} \times 2.6 \times 10^{-8} \approx 7.7\,\mathrm{m}$; werkelijk $7.09 \times 7.7 \approx 55\,\mathrm{m}$.

**Oefening 35.7 ★★.**

Lees uit de kromme van $\gamma$ de snelheden af waarbij $\gamma = 1.5$ en $\gamma = 3$ (controleer door te rekenen). Wat zegt de verticale asymptoot bij $v = c$ over het versnellen van een lichaam met massa?

**Oplossing van Oefening 35.7.**

$\gamma = 1.5$ bij $v = c\sqrt{1 - 1/2.25} \approx 0.75c$; $\gamma = 3$ bij $\approx 0.94c$. De asymptoot: $\gamma$ (en de [energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/9-energie-vormen-en-behoud#def-g10-energy-conservation-energy) die elke extra snelheid kost) groeit onbegrensd zodra $v \to c$ — geen eindige inspanning brengt een lichaam met massa tot de lichtsnelheid.

**Oefening 35.8 ★★.**

Een lichtklok heeft spiegels op $L = 1.5\,\mathrm{m}$ van elkaar. Bereken haar tik in rust, en daarna haar tik zoals die vanaf de grond wordt gemeten wanneer ze met $0.8c$ voorbijvaart.

**Oplossing van Oefening 35.8.**

$\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$; bij $0.8c$ is $\gamma = 5/3$, dus $\Delta t = 1.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**Oefening 35.9 ★★.**

Wie meet de [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time) tussen: (a) twee tikken van een polshorloge — de drager of een voorbijganger? (b) de geboorte en het verval van een muon — het muon of het laboratorium? (c) het vertrek van de Aarde en de aankomst op Mars — de piloot of de vluchtleiding?

**Oplossing van Oefening 35.9.**

De [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time) hoort bij de klok die bij beide gebeurtenissen aanwezig is: (a) de drager; (b) het muon; (c) de piloot — alleen het schip is zowel bij het vertrek als bij de aankomst.

**Oefening 35.10 ★★.**

Het ruimtestation draait met $7.7\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. Bereken $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$, en daarna hoeveel de klok van een astronaut na zes maanden ($1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$) achterloopt op een grondklok.

**Oplossing van Oefening 35.10.**

$\gamma - 1 \approx 7700^2/(2 \times 9.0 \times 10^{16}) \approx 3.3 \times 10^{-10}$; over $1.58 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ loopt de astronaut $3.3 \times 10^{-10} \times 1.58 \times 10^{7} \approx
5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ achter — ongeveer vijf milliseconden jonger.

**Oefening 35.11 ★★.**

Bereken de energie-inhoud $E = mc^2$ van $1.0\,\mathrm{g}$ materie. Vergelijk ze met de dagproductie van een centrale van $1.0\,\mathrm{GW}$, en met de [kinetische energie](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/18-mechanische-energie-en-het-behoud-ervan#def-g11-mechanical-energy-kinetic) van $8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ van een auto op $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**Oplossing van Oefening 35.11.**

$E = 1.0 \times 10^{-3} \times (3.00 \times 10^{8})^2 = 9.0 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$. Een centrale van $1.0\,\mathrm{GW}$ levert per dag $1.0 \times 10^{9} \times 86400 \approx
8.6 \times 10^{13}\,\mathrm{J}$ — één gram is één dag van haar productie, en $9.0 \times 10^{13}/8.5 \times 10^{5} \approx 10^{8}$: honderd miljoen te hard rijdende auto’s.

**Oefening 35.12 ★★★.**

Toon uit $\gamma = 1/\sqrt{1 - v^2/c^2}$ aan dat $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$; leid daaruit de snelheid van de muonen met $\gamma = 30$ af, tot op vijf [significante cijfers](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) in eenheden van $c$.

**Oplossing van Oefening 35.12.**

Kwadrateren en omkeren: $\gamma^2(1 - v^2/c^2) = 1$, dus $v^2/c^2 = 1 - 1/\gamma^2$, en dus $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$. Voor $\gamma = 30$: $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**Oefening 35.13 ★★★.**

Vertel de reis van het muon opnieuw vanuit zijn eigen stelsel: hoe dik is de atmosfeer bij $\gamma = 30$, hoe lang schuift ze met $0.99944c$ voorbij, en past dat binnen één eigenlevensduur?

**Oplossing van Oefening 35.13.**

Samengetrokken dikte $L = 15\,\mathrm{km}/30 = 500\,\mathrm{m}$; passeertijd $500/(0.99944 \times 3.00 \times 10^{8}) \approx 1.7 \times 10^{-6}\,\mathrm{s} <
2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$. Beide stelsels zijn het erover eens dat het muon de grond haalt — het ene wijst een opgerekte levensduur aan, het andere een gekrompen atmosfeer.

**Oefening 35.14 ★★★.**

Een lineaire versneller duwt elektronen tot $\gamma = 1.0 \times 10^{5}$ door een buis van $3.2\,\mathrm{km}$. Hoe lang duurt de reis in het laboratorium? Hoe lang in het stelsel van het elektron, en hoe “lang” is de buis daar?

**Oplossing van Oefening 35.14.**

Laboratorium: $3200/3.00 \times 10^{8} \approx 1.1 \times 10^{-5}\,\mathrm{s}$ (snelheid $\approx c$). Stelsel van het elektron: de buis is samengetrokken tot $3200/1.0 \times 10^{5} = 3.2\,\mathrm{cm}$, doorkruist in $1.1 \times 10^{-5}/1.0 \times 10^{5} \approx 1.1 \times 10^{-10}\,\mathrm{s}$.

**Oefening 35.15 ★★★.**

Proxima Centauri ligt $4.2$ [lichtjaar](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) ver (een [lichtjaar](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) is de afstand die het licht in een jaar aflegt). Een sonde reist ernaartoe met $0.9c$: hoe lang duurt de reis op de kalender van de Aarde, en op de klok van de sonde?

**Oplossing van Oefening 35.15.**

Aarde: $4.2/0.9 \approx 4.7\,\mathrm{jaar}$. Met $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.81} = 2.29$ noteert de klok van de sonde $4.7/2.29 \approx 2.0\,\mathrm{jaar}$.

## 35.7 Probleem: Het muon en de tweelingzus

**Probleem 35.1.**

Weekendopgave — de reis van het muon en de tweelingzus van de astronaute: een deeltje dat zijn eigen klok overleeft, een lichtklok opnieuw gebouwd, een reizigster die jonger is dan haar tweelingzus, en de boekhouding die gps eerlijk houdt

Gegevens: eigenlevensduur van het muon $\Delta t_0 = 2.2\,\text{µ}\mathrm{s}$; muonen geboren op zo’n $15\,\mathrm{km}$ hoogte, met bijna $c$; flux op zeeniveau ongeveer één muon per $\mathrm{cm}^{2}$ per minuut; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**Deel I — De onmogelijke aankomst van het muon.**

1. Hoe ver reist een muon zonder relativiteit in één levensduur?
2. Hoeveel levensduren kost de afdaling van $15\,\mathrm{km}$ dan?
3. Na $n$ levensduren overleeft een fractie $\mathrm{e}^{-n}$ : schat die, stel ze tegenover de gemeten flux, en vel in één zin je oordeel over de klassieke natuurkunde.
4. Deze muonen komen in werkelijkheid met $\gamma \approx 30$ aan. Bereken hun levensduur zoals die vanaf de grond wordt gemeten, en de [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range) die daaruit volgt.
5. Bereken hun snelheid met $v = c\sqrt{1 - 1/\gamma^2}$ , tot op vijf [significante cijfers](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) in eenheden van $c$ .

**Deel II — De lichtklok, opnieuw gebouwd.** Een lichtklok ($L = 1.5\,\mathrm{m}$) reist mee op een schip met $v = 0.6c$.

6. Bereken de tik $\Delta t_0$ die aan boord wordt afgelezen.
7. Vanaf de grond gezien duurt een tik $\Delta t$ : geef de horizontale verschuiving per halve tik, de verticale klim van het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) en — met vermelding van het postulaat dat haar vastlegt — de lengte van de schuine halve [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) .
8. Pas Pythagoras toe op de driehoek van de halve tik en los op naar $\Delta t$ ; toon zo aan dat $\Delta t = \gamma\,\Delta t_0$ .
9. Bereken $\gamma$ en $\Delta t$ in getallen.
10. Welke waarnemer meet de [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time) tussen twee tikken? Onderbouw met de definitie.

**Deel III — De reizigster en haar tweelingzus.** Een astronaute verlaat haar tweelingzus op Aarde voor een heen-en-terugreis met $0.8c$; de klokken op Aarde klokken de hele reis op $10.0\,\mathrm{jaar}$.

11. Bereken $\gamma$ bij $0.8c$ (eerst als exacte breuk, daarna als decimaal getal).
12. Hoeveel tijd verstrijkt er op de klok van de astronaute?
13. Hoe ver weg lag het [keerpunt](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/29-arbeid-en-mechanische-energie#def-g12-work-and-energy-diagram) (in het stelsel van de Aarde, in [lichtjaar](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) )?
14. Hoe groot is het leeftijdsverschil bij de hereniging, en wie van beiden is jonger?
15. “Maar beweging is relatief — de astronaute zou kunnen beweren dat de Aarde de reis maakte!” Weerleg dat bezwaar in één zin.

**Deel IV — De rekening van gps.** Een [gps-satelliet](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) draait op straal $r = 2.66 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, met [omlooptijd](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/24-kinematica-in-twee-dimensies#def-g12-kinematics-2d-ucm) $T = 12\,\mathrm{h}$.

16. Bereken zijn baansnelheid $v = 2\pi r/T$ .
17. Bereken $\gamma - 1 \approx v^2/2c^2$ .
18. Leid daaruit in microseconden af hoeveel de klok van de [satelliet](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) per dag ( $86\,400\,\mathrm{s}$ ) op de grondklokken achterloopt.
19. Als alleen deze afwijking ongecorrigeerd bleef, dwalen de plaatsen met $c \times$ (afwijking): bereken de fout na één dag.
20. De zwaartekracht, zwakker op die hoogte, laat de klok *voorlopen* met $45\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag (algemene relativiteit): bereken de netto-afwijking en de plaatsfout per dag in kilometer — het getal dat ingenieurs dwingt elke gps-klok te ontstemmen.

**Oplossing van Probleem 35.1.**

**1.** $c\,\Delta t_0 = 3.00 \times 10^{8} \times 2.2 \times 10^{-6} \approx
660\,\mathrm{m}$.

**2.** $15\,000/660 \approx 23$ levensduren.

**3.** $\mathrm{e}^{-23} \approx 10^{-10}$: er zou minder dan één muon op tien miljard moeten aankomen, en toch is de flux één per $\mathrm{cm}^{2}$ per minuut — de hemel spreekt de klassieke natuurkunde botweg tegen.

**4.** Levensduur vanaf de grond $30 \times 2.2\,\text{µ}\mathrm{s} =
66\,\text{µ}\mathrm{s}$; [dracht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/26-vrije-val-en-de-worp#def-g12-projectile-motion-range) $\approx 3.00 \times 10^{8} \times 6.6 \times 10^{-5}
\approx 20\,\mathrm{km} > 15\,\mathrm{km}$: de aankomst is verklaard.

**5.** $v = c\sqrt{1 - 1/900} = 0.99944c$.

**6.** $\Delta t_0 = 2L/c = 3.0/3.00 \times 10^{8} = 1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**7.** Horizontaal $v\,\Delta t/2$; verticaal $L$; de schuine halve [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) meet $c\,\Delta t/2$, omdat het tweede postulaat de snelheid van het [foton](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/34-de-kwantumwereld-fotonen-en-energieniveaus#def-g12-quantum-world-photon) ook in het stelsel van de grond op $c$ vastlegt.

**8.** $(c\,\Delta t/2)^2 = L^2 + (v\,\Delta t/2)^2$ geeft $\Delta t^2(c^2 - v^2) = 4L^2$, dus $\Delta t =
(2L/c)/\sqrt{1 - v^2/c^2} = \gamma\,\Delta t_0$.

**9.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.36} = 1.25$; $\Delta t = 1.25 \times 10^{-8}\,\mathrm{s}$.

**10.** Die van het schip: zijn ene klok is bij beide tikken aanwezig en leest dus de [eigentijd](#def-g12-special-relativity-proper-time) af; de grond heeft twee gelijkgezette klokken nodig.

**11.** $\gamma = 1/\sqrt{1 - 0.64} = 1/0.6 = 5/3 \approx 1.67$.

**12.** $10.0/(5/3) = 6.0\,\mathrm{jaar}$.

**13.** Heenreis $5.0\,\mathrm{jaar}$ met $0.8c$: $4.0$ [lichtjaar](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**14.** $10.0 - 6.0 = 4.0\,\mathrm{jaar}$: de astronaute is vier jaar jonger dan haar tweelingzus.

**15.** De situatie is niet symmetrisch: alleen de astronaute keert om — zij versnelt en wisselt van [traagheidsstelsel](#def-g12-special-relativity-inertial), terwijl de tweelingzus op Aarde in één stelsel blijft — dus noteert alleen haar klok de kortere tijd.

**16.** $v = 2\pi \times 2.66 \times 10^{7}/43\,200 \approx
3.9 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**17.** $\gamma - 1 \approx (3.87 \times 10^{3})^2/(2 \times
9.0 \times 10^{16}) \approx 8.3 \times 10^{-11}$.

**18.** $8.3 \times 10^{-11} \times 86\,400 \approx 7.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{s}
= 7.2\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag achter.

**19.** $c \times 7.2 \times 10^{-6} \approx 2.2\,\mathrm{km}$ plaatsfout per dag.

**20.** Netto-afwijking $45 - 7.2 \approx 38\,\text{µ}\mathrm{s}$ per dag voor; fout $c \times 38 \times 10^{-6} \approx 11\,\mathrm{km}$ per dag — de relativiteitsrekening die elke gps-klok vooruit betaalt, op de grond ontstemd zodat ze in een [omloopbaan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-satellite) juist tikt.

Hier eindigt de natuurkunde van de school — niet de natuurkunde. In de universitaire volumes keert de mechanica terug, gewapend met analyse; elektriciteit en magnetisme onthullen zich als één bouwwerk waarin het licht, en de relativiteit zelf, zich al die tijd verstopt hielden; de kwantumwereld, in het vorige hoofdstuk kort gezien, wordt een werkende theorie van de materie. Elke theorie zal, net als de relativiteit, verplicht zijn terug te geven wat je nu weet, als grensgeval. Neem het mee: het is het deel dat niet meer verandert.