---
title: "Krachten en het traagheidsbeginsel"
book: "Natuurkunde bovenbouw"
subject: physics
language: nl
chapter: 6
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/6-krachten-en-het-traagheidsbeginsel
---

# Hoofdstuk 6 — Krachten en het traagheidsbeginsel

Stop met trappen en de fiets rolt uit tot stilstand; stop met trekken en de slee blijft staan. De ervaring fluistert dat beweging met inspanning gevoed moet worden — en tweeduizend jaar lang gaf de natuurkunde haar gelijk. Dit hoofdstuk bouwt de [kracht](#def-g10-inertia-force) op, een pijl gemeten in [newton](#def-g10-inertia-force), en formuleert de eerste grote wet van de mechanica: werkelijk met rust gelaten houdt een bewegend lichaam zijn beweging, recht en gelijkmatig, voor altijd.

## 6.1 Een werking als kracht modelleren

**Definitie 6.1 (Kracht).**

Een *kracht* modelleert een mechanische werking (een duw, een trek, een aantrekking) die op een lichaam wordt uitgeoefend. Ze wordt gekenmerkt door:

- haar *aangrijpingspunt* ;
- haar richting — de lijn waarlangs ze werkt en de zin op die lijn;
- haar grootte, gemeten in *newton* (symbool $\mathrm{N}$ ).

Een kracht wordt getekend als een pijl $\vect F$ (een vector, zoals in het wiskundevolume) vanuit haar aangrijpingspunt, met een lengte die bij een aangegeven schaal evenredig is met de grootte.

**Voorbeeld 6.2 (Het gewicht van een schooltas).**

Een schooltas met massa $m = 4.0\,\mathrm{kg}$ wordt door de Aarde omlaag getrokken met haar [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#ch-g10-universal-gravitation)): $P = mg = 4.0 \times 9.81 \approx 39\,\mathrm{N}$ — één [newton](#def-g10-inertia-force) is ongeveer het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van een appel. Op schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 10\,\mathrm{N}$: een verticale pijl van $3.9\,\mathrm{cm}$, aangrijpend in het zwaartepunt van de tas, omlaag gericht.

## 6.2 Een inventaris van krachten

**Definitie 6.3 (Contactkrachten en krachten op afstand).**

Een *contactkracht* wordt uitgeoefend op de punten waar twee lichamen elkaar raken. Een *kracht op afstand* heeft geen contact nodig: het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) — de gravitatietrek uit [Hoofdstuk 4](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#ch-g10-universal-gravitation) — is de enige die in dit hoofdstuk voorkomt.

**Definitie 6.4 (De gebruikelijke contactkrachten).**

Vier [contactkrachten](#def-g10-inertia-contact) dekken de meeste alledaagse situaties:

- de *normaalkracht* $\vect R$ van een steunvlak, loodrecht op dat vlak en ervan af gericht;
- de *spankracht* $\vect T$ van een draad, touw of ketting, gericht langs het touw en er naartoe trekkend;
- de *wrijving* $\vect f$ van een oppervlak, de lucht of het water, die het schuiven of de beweging tegenwerkt;
- de *stuwkracht* van een motor, een straalpijp of een hand, die in de richting van de inspanning duwt.

![Het boek op de tafel: gewicht P en normaalkracht R — dezelfde lijn, gelijke lengte, tegengestelde zin.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-c8a17ee1dbd0.svg)

*Het boek op de tafel: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ — dezelfde lijn, gelijke lengte, tegengestelde zin.*

**Voorbeeld 6.5 (Inventaris bij een getrokken slee).**

Een slee die over de sneeuw wordt getrokken: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ (op afstand), [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ van de sneeuw, [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) $\vect T$ van het touw, [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ die het schuiven tegenwerkt. Niets anders raakt de slee: de inventaris is compleet — *altijd eerst het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight), daarna één [contactkracht](#def-g10-inertia-contact) per aanrakend voorwerp*.

## 6.3 Het traagheidsbeginsel

**Definitie 6.6 (Eenparige rechtlijnige beweging).**

Een lichaam voert in een stelsel een *eenparige rechtlijnige beweging* uit wanneer zijn [baan](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-trajectory) een rechte lijn is die met constante snelheid wordt afgelegd: zijn snelheidsvector $\vect v$ is op elk ogenblik dezelfde. Rust is het bijzondere geval $\vect v = \vect 0$.

**Definitie 6.7 (Krachten in evenwicht).**

De [krachten](#def-g10-inertia-force) op een lichaam zijn in *evenwicht* wanneer hun gezamenlijke werking nul is: kop aan staart gelegd keren hun pijlen naar het beginpunt terug. Twee [krachten](#def-g10-inertia-force) zijn precies dan in evenwicht wanneer ze dezelfde werklijn hebben, even groot zijn en tegengesteld gericht.

**Stelling 6.8 (Traagheidsbeginsel).**

In het [aardse referentiestelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-frames) blijft een lichaam waarop geen [kracht](#def-g10-inertia-force) werkt, of waarop de [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) zijn, in rust of houdt het een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) aan; omgekeerd werken op een lichaam dat in rust is of een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) uitvoert, [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) (of helemaal geen).

**Bewijs.** *Op dit niveau zonder bewijs aangenomen.* ∎

**Opmerking 6.9.**

Geen enkele proef kan een lichaam volledig isoleren, dus het beginsel is een postulaat — vermoed door Galilei, geformuleerd door Newton. Een later hoofdstuk maakt er een wet van die [krachten](#def-g10-inertia-force) verbindt met *veranderingen* van de snelheid; het volume van bachelorjaar 1 vraagt in welke stelsels het beginsel werkelijk geldt.

**Propositie 6.10 (Beweging uit krachten lezen, en omgekeerd).**

In het [aardse referentiestelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-frames) geldt:

1. verandert de snelheid van een lichaam — in grootte *of* in richting — dan zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) erop *niet* in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ;
2. is een lichaam in rust of in [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) , dan moeten de geïnventariseerde [krachten](#def-g10-inertia-force) elkaar opheffen — en dat legt onbekenden vast.

**Bewijs.** De eerste uitspraak is de contrapositie van [Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle), de tweede het omgekeerde deel ervan, toegepast op een volledige inventaris. ∎

![Een ijshockeypuck na het loslaten: posities op gelijke tijdsafstanden, telkens één identieke snelheidspijl — een eenparige rechtlijnige beweging.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-e08ee429d0c8.svg)

*Een ijshockeypuck na het loslaten: posities op gelijke tijdsafstanden, telkens één identieke snelheidspijl — een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform).*

**Voorbeeld 6.11 (De ijshockeypuck).**

Losgelaten door de stick legt een puck $30\,\mathrm{m}$ glad ijs af in $2.5\,\mathrm{s}$, rechtdoor met de constante snelheid $v = 30/2.5 = 12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Inventaris: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) (de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) is verwaarloosbaar). Ze zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate), en het beginsel voorspelt precies de waargenomen beweging: niets duwt de puck vooruit — en dat hoeft ook niet.

**Opmerking 6.12 (Galilei tegen Aristoteles).**

Aristoteles leerde dat elke beweging een beweger nodig heeft, en het dagelijks leven — [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) bij elk contact — lijkt hem gelijk te geven. Galilei dacht de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) weg: hoe gladder het oppervlak, hoe minder duw er nodig is om de beweging te *onderhouden*. Volhouden, niet stilstaan, is de natuurlijke toestand.

**Opmerking 6.13 (De struikelende passagier).**

Wanneer een bus hard remt, schieten staande passagiers naar voren. Geen enkele [kracht](#def-g10-inertia-force) werpt hen vooruit: door hun traagheid houden hun lichamen hun snelheid terwijl de bus de zijne verliest. De veiligheidsgordel levert de achterwaartse [kracht](#def-g10-inertia-force) die in de inventaris ontbreekt.

![Een curlingsteen op gelijke tijdsafstanden. Links: P en R zijn in evenwicht — gelijke stappen. Rechts: er blijft een niet-opgeheven wrijving f over — de stappen krimpen, de snelheid verandert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-7f71be7940fe.svg)

![Een curlingsteen op gelijke tijdsafstanden. Links: P en R zijn in evenwicht — gelijke stappen. Rechts: er blijft een niet-opgeheven wrijving f over — de stappen krimpen, de snelheid verandert.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-d7601c8c2720.svg)

*Een curlingsteen op gelijke tijdsafstanden. Links: $\vect P$ en $\vect R$ zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) — gelijke stappen. Rechts: er blijft een niet-opgeheven [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ over — de stappen krimpen, de snelheid verandert.*

## 6.4 Krachten in evenwicht: statica van een tekening

**Definitie 6.14 (Krachtenschema).**

Het *krachtenschema* van een lichaam toont het lichaam alleen, met elke [kracht](#def-g10-inertia-force) die *op* het lichaam werkt, op schaal getekend vanuit haar [aangrijpingspunt](#def-g10-inertia-force); [krachten](#def-g10-inertia-force) die *door* het lichaam worden uitgeoefend komen er nooit in voor.

**Methode 6.15 (Een statische situatie ontleden).**

1. Kies het lichaam dat je bestudeert; werk in het [aardse referentiestelsel](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/5-relatieve-beweging#def-g10-relative-motion-frames) .
2. Inventariseer: altijd het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) , en één [contactkracht](#def-g10-inertia-contact) per contact.
3. Teken het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) .
4. Het lichaam is in rust, dus zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ( [Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle) ): lees de onbekende groottes af van de tekening (gelijke lengten in één dimensie, componenten in twee).

**Voorbeeld 6.16 (Het boek op de tafel).**

Een boek met massa $0.50\,\mathrm{kg}$ ligt op een tafel: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 0.50 \times 9.81 \approx 4.9\,\mathrm{N}$ en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$. Omdat het in rust is, houdt $\vect R$ het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): verticaal, omhoog, $R = 4.9\,\mathrm{N}$. Leg er een tweede boek op en $R$ past zich aan — een steunvlak duwt precies zo hard als nodig is.

![De hangende lamp: de horizontale delen van de twee spankrachten heffen elkaar op door de symmetrie; hun verticale delen dragen samen het gewicht.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-inertia/fig-bc9a21917d2c.svg)

*De hangende lamp: de horizontale delen van de twee [spankrachten](#def-g10-inertia-inventory) heffen elkaar op door de symmetrie; hun verticale delen dragen samen het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight).*

**Voorbeeld 6.17 (De lamp aan twee draden).**

Een lamp met massa $3.0\,\mathrm{kg}$ ($P \approx 29.4\,\mathrm{N}$) hangt aan twee draden, elk onder $45^\circ$ met de verticaal. Door de symmetrie zijn de [spankrachten](#def-g10-inertia-inventory) gelijk ($T_1 = T_2 = T$) en heffen hun horizontale componenten elkaar op; de verticale componenten, elk $T \cos 45^\circ$, dragen het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight):

$$
2\,T \cos 45^\circ = P
\qquad\text{dus}\qquad
T = \frac{29.4}{2 \times 0.707} \approx 21\,\mathrm{N}
$$

— meer dan de helft van het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) per draad: onder een hoek trekken kost [spankracht](#def-g10-inertia-inventory).

## 6.5 Oefeningen

**Oefening 6.1 ★.**

Inventariseer de [krachten](#def-g10-inertia-force) en zeg of het [contactkrachten](#def-g10-inertia-contact) of [krachten](#def-g10-inertia-force) op afstand zijn, voor: (a) een boek dat op een tafel ligt; (b) een lamp die aan haar draad hangt; (c) een puck die over glad ijs glijdt; (d) een vallende appel (luchtweerstand verwaarloosbaar).

**Oplossing van Oefening 6.1.**

(a) [Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) (op afstand), [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) van de tafel (contact). (b) [Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) (op afstand), [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) van de draad (contact). (c) [Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) (op afstand), [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) van het ijs (contact); de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) is verwaarloosbaar. (d) Alleen het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) — niets raakt de appel aan.

**Oefening 6.2 ★.**

Bereken het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van een boek van $250\,\mathrm{g}$ en van een persoon van $60\,\mathrm{kg}$. Hoe lang is bij schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 1\,\mathrm{N}$ de pijl van het boek, en waarom is die schaal hopeloos voor de persoon?

**Oplossing van Oefening 6.2.**

Boek: $P = 0.250 \times 9.81 \approx 2.45\,\mathrm{N}$, een pijl van ongeveer $2.5\,\mathrm{cm}$. Persoon: $P = 60 \times 9.81 \approx
589\,\mathrm{N}$ — een pijl van $5.89\,\mathrm{m}$. Kies een schaal waarop de grootste [kracht](#def-g10-inertia-force) op de bladzijde past.

**Oefening 6.3 ★.**

Op een tekening met schaal $1\,\mathrm{cm} \leftrightarrow 2\,\mathrm{N}$ is een [kracht](#def-g10-inertia-force) een horizontale pijl van $3.5\,\mathrm{cm}$ die naar links wijst en in een punt $A$ aangrijpt. Geef haar drie kenmerken.

**Oplossing van Oefening 6.3.**

[Aangrijpingspunt](#def-g10-inertia-force) $A$; richting horizontaal, naar links wijzend; grootte $3.5 \times 2 = 7.0\,\mathrm{N}$.

**Oefening 6.4 ★.**

Een woordenboek met massa $1.2\,\mathrm{kg}$ ligt op een plank. Teken het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) en geef van elke [kracht](#def-g10-inertia-force) de grootte en de richting.

**Oplossing van Oefening 6.4.**

[Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$: verticaal, omlaag, $P = 1.2 \times 9.81 \approx 11.8\,\mathrm{N}$. [Normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) $\vect R$ van de plank: dezelfde lijn, omhoog, $R = 11.8\,\mathrm{N}$ (het woordenboek is in rust, dus zijn de twee in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)).

**Oefening 6.5 ★.**

Juist of onjuist — verbeter de onjuiste: (a) een lichaam komt altijd uiteindelijk tot stilstand tenzij een [kracht](#def-g10-inertia-force) blijft duwen; (b) een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) vergt geen enkele niet-opgeheven [kracht](#def-g10-inertia-force); (c) op een lichaam in rust werkt geen enkele [kracht](#def-g10-inertia-force); (d) verandert de snelheid van een lichaam, dan zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) erop niet in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate).

**Oplossing van Oefening 6.5.**

(a) Onjuist: het is de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) die dingen stopt; zonder enige [kracht](#def-g10-inertia-force) houdt een lichaam zijn [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform). (b) Juist (het traagheidsbeginsel). (c) Onjuist: er werken [krachten](#def-g10-inertia-force) die *in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)* zijn (bijvoorbeeld [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory)). (d) Juist — de contrapositie van het beginsel.

**Oefening 6.6 ★★.**

Na het loslaten legt een puck $24\,\mathrm{m}$ ijs af in $3.0\,\mathrm{s}$, rechtdoor met constante snelheid. Bereken die snelheid; zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) erop in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)? Op beton komt dezelfde puck binnen enkele [meters](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/1-ordegrootten-het-heelal-opmeten#def-g10-orders-of-magnitude-unit) tot stilstand: wat is er in de inventaris veranderd, en wat besluit [Propositie 6.10](#prop-g10-inertia-converse)?

**Oplossing van Oefening 6.6.**

*1.* $v = 24/3.0 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Krachten](#def-g10-inertia-force): [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory); ze zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ([eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform), verwaarloosbare [wrijving](#def-g10-inertia-inventory)). *2.* De [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) van het beton is niet langer verwaarloosbaar: de inventaris krijgt er een niet-opgeheven achterwaartse [kracht](#def-g10-inertia-force) bij, en inderdaad verandert de snelheid — de puck vertraagt en stopt.

**Oefening 6.7 ★★.**

Een passagier van $70\,\mathrm{kg}$ staat in een lift die met de constante snelheid $1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ omhooggaat. Noem de [krachten](#def-g10-inertia-force) op de passagier; zijn ze in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)? Geef de grootte van de [kracht](#def-g10-inertia-force) van de vloer. Zou er iets veranderen als de lift stilstond?

**Oplossing van Oefening 6.7.**

[Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 70 \times 9.81 \approx 687\,\mathrm{N}$ omlaag; [kracht](#def-g10-inertia-force) van de vloer omhoog. [Eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform), dus zijn ze in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): de vloer duwt met $687\,\mathrm{N}$. Bij stilstand verandert er niets — rust en eenparige beweging geven hetzelfde [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram).

**Oefening 6.8 ★★.**

Een lamp met massa $1.8\,\mathrm{kg}$ hangt in rust aan één enkele verticale draad. Bereken de [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) in de draad. De draad wordt vervangen door twee *verticale* draden die de last gelijk verdelen: hoe groot is dan de [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) in elk?

**Oplossing van Oefening 6.8.**

*1.* In rust houdt de [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): $T = 1.8 \times 9.81 \approx 17.7\,\mathrm{N}$. *2.* Elke verticale draad draagt de helft: $T = 8.8\,\mathrm{N}$.

**Oefening 6.9 ★★.**

Een bus remt hard en een staande passagier schiet naar voren; in een bocht met constante snelheid helt diezelfde passagier naar buiten. Leg beide uit zonder een [kracht](#def-g10-inertia-force) “naar voren” of “naar buiten” te verzinnen.

**Oplossing van Oefening 6.9.**

Bij het remmen houdt het lichaam van de passagier zijn snelheid (traagheid) terwijl de bus de zijne verliest, dus beweegt de passagier naar voren *ten opzichte van de bus*. In de bocht neigt het lichaam ernaar rechtdoor te gaan terwijl de bus eronder wegdraait, zodat het naar de buitenkant van de bocht schuift. In beide gevallen is de “[kracht](#def-g10-inertia-force)” verzonnen; wat ontbreekt is een echte [kracht](#def-g10-inertia-force) (grip, handgreep) om de snelheid van de passagier met die van de bus mee te veranderen.

**Oefening 6.10 ★★.**

Een parachutist met een totale massa van $85\,\mathrm{kg}$ daalt verticaal met de constante snelheid $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Teken het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) en bereken de luchtweerstand op het scherm.

**Oplossing van Oefening 6.10.**

[Eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform), dus zijn [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en luchtweerstand in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): de weerstand is $P = 85 \times 9.81 \approx 834\,\mathrm{N}$, verticaal en omhoog gericht.

**Oefening 6.11 ★★.**

Een waterskiër wordt rechtdoor met constante snelheid getrokken; het horizontale touw trekt met $300\,\mathrm{N}$. Hoe groot is de horizontale weerstand van het water op de ski’s (verantwoord dat)? Welke twee verticale [krachten](#def-g10-inertia-force) houden elkaar in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)?

**Oplossing van Oefening 6.11.**

*1.* [Eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform): de horizontale [krachten](#def-g10-inertia-force) zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate), dus is de weerstand $300\,\mathrm{N}$, tegengesteld aan het touw. *2.* Het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van de skiër en de opwaartse duw van het water op de ski’s.

**Oefening 6.12 ★★★.**

Een lamp met massa $2.4\,\mathrm{kg}$ hangt aan twee draden onder $40^\circ$ met de verticaal ($\cos 40^\circ \approx 0.766$). Bereken elke [spankracht](#def-g10-inertia-inventory). Waarom groeit de [spankracht](#def-g10-inertia-inventory) naarmate de draden de horizontaal naderen, en waarom zouden twee precies horizontale draden de lamp nooit kunnen dragen?

**Oplossing van Oefening 6.12.**

*1.* $P = 2.4 \times 9.81 \approx 23.5\,\mathrm{N}$; de verticale componenten dragen het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight): $2T\cos 40^\circ = P$, dus $T = 23.5/(2 \times 0.766) \approx 15.4\,\mathrm{N}$. *2.* $T = P/(2\cos\theta)$ groeit onbegrensd wanneer $\theta \to 90^\circ$, want $\cos\theta \to 0$; precies horizontale draden hebben *helemaal* geen verticale component, dus zou niets het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) dragen.

**Oefening 6.13 ★★★.**

Een curlingsteen wordt geduwd, losgelaten, glijdt terwijl hij heel geleidelijk vertraagt, en komt tot stilstand. Teken voor elke fase (duw, glijden, rust) het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) en zeg of de [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) zijn, met een verwijzing naar [Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle) of [Propositie 6.10](#prop-g10-inertia-converse).

**Oplossing van Oefening 6.13.**

Duw: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight), [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory), [stuwkracht](#def-g10-inertia-inventory) van de hand, kleine [wrijving](#def-g10-inertia-inventory); de snelheid neemt toe, dus zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) niet in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ([Propositie 6.10](#prop-g10-inertia-converse)). Glijden: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight), [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory), kleine [wrijving](#def-g10-inertia-inventory); de steen vertraagt, dus opnieuw geen [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) — de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) is wat overblijft (op ideaal ijs zou hij eeuwig doorglijden). Rust: alleen [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory), in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ([Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle)).

**Oefening 6.14 ★★★.**

De sonde *Voyager 1* zweeft met $17\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ door de interstellaire ruimte, met uitgeschakelde motoren. Waarom heeft ze geen brandstof nodig om die snelheid te houden, en wat zou Aristoteles voorspellen? Hoever komt ze in een jaar, in $\mathrm{km}$ en daarna in astronomische eenheden ($1\,\mathrm{au} \approx 1.496 \times 10^{8}\,\mathrm{km}$)? Waarom moet ze een stuwmotor gebruiken, zelfs om alleen van richting te veranderen *zonder* van snelheid te veranderen?

**Oplossing van Oefening 6.14.**

*1.* Volgens het traagheidsbeginsel vergt het behouden van een constante snelheid helemaal geen [kracht](#def-g10-inertia-force) — en in de interstellaire ruimte werkt er vrijwel geen. Aristoteles zou voorspellen dat de sonde stopt zodra de “beweger” ermee ophoudt. *2.* Eén jaar is $\approx 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, dus $d = 17 \times 3.156 \times 10^{7} \approx 5.4 \times 10^{8}\,\mathrm{km} \approx
3.6\,\mathrm{au}$. *3.* Snelheid is een vector: haar richting veranderen verandert de snelheid, en dat vergt een niet-opgeheven [kracht](#def-g10-inertia-force).

**Oefening 6.15 ★★★.**

Drie touwen trekken aan een ring die in rust is. Op een rooster waarvan één vakje $1\,\mathrm{N}$ voorstelt, leest men twee [krachten](#def-g10-inertia-force) af: $\vect F_1\,(3, 2)$ en $\vect F_2\,(-1, 2)$. Bepaal de componenten, de grootte en de richting van de derde [kracht](#def-g10-inertia-force).

**Oplossing van Oefening 6.15.**

In rust zijn de drie [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): $\vect F_3 = -(\vect F_1 + \vect F_2)$, dus $\vect F_3\,(-2, -4)$, met grootte $\sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} \approx 4.5\,\mathrm{N}$, gericht tegengesteld aan de resultante van de eerste twee (linksonder op het rooster).

## 6.6 Probleem: Traagheid in drie bedrijven

**Probleem 6.1.**

Weekendopgave — het rolpad, de ijsbaan en de parachute: constante snelheid als handtekening van krachten in evenwicht, en waarom een parachute niet de weerstand maar de snelheid verlaagt

Drie taferelen — een koffer op een rolpad, een puck op een ijsbaan, een parachutist in de avondlucht — en één wet die in alle drie het woord voert.

**Deel I — Het rolpad op de luchthaven.** Een koffer van $23\,\mathrm{kg}$ staat op een rolpad dat met de constante snelheid $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ loopt.

1. Welke beweging maakt de koffer in het aardse stelsel? Inventariseer de [krachten](#def-g10-inertia-force) erop.
2. Zijn die [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ? Verantwoord dat; bereken beide groottes.
3. Vergelijk het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) met dat van dezelfde koffer op de vloer. Welke diepe uitspraak illustreert die vergelijking?
4. Het rolpad komt met een schok tot stilstand. Beschrijf wat de koffer doet, zonder een [kracht](#def-g10-inertia-force) naar voren te verzinnen.
5. De eigenares loopt met $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ten opzichte van het rolpad. Wat is haar snelheid in het aardse stelsel? Zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) op *haar* in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ?

**Deel II — De ijsbaan.**

6. Een puck van $160\,\mathrm{g}$ glijdt rechtdoor met de constante snelheid $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Teken het [krachtenschema](#def-g10-inertia-diagram) met de groottes erbij.
7. Aristoteles beweert dat de puck een beweger nodig heeft. Wat antwoordt de ijsbaan, en waarom lijken alledaagse oppervlakken hem gelijk te geven?
8. De puck komt over een ruwe plek en vertraagt. Welke conclusie volgt over de [krachten](#def-g10-inertia-force) daar? Welke [kracht](#def-g10-inertia-force) is de schuldige?
9. Een schaatsster maakt bij constante snelheid een vloeiende bocht. Zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) op haar in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ? Pas op: wat voor soort grootheid is snelheid?
10. Koppel schema aan beweging: (a) [krachten](#def-g10-inertia-force) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ; (b) een extra [kracht](#def-g10-inertia-force) tegengesteld aan $\vect v$ ; (c) een extra [kracht](#def-g10-inertia-force) loodrecht op $\vect v$ — (i) rechtdoor en vertragend; (ii) draaiend bij constante snelheid; (iii) [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) .

**Deel III — De parachute.** De totale massa van een springer, uitrusting inbegrepen, is $80\,\mathrm{kg}$.

11. Bij het verlaten van het vliegtuig zijn de verticale snelheid en de luchtweerstand nog nul. Bereken de [krachten](#def-g10-inertia-force) ; zijn ze in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ? Wat moet er nu gebeuren?
12. De luchtweerstand groeit met de snelheid. Beschrijf de val zolang de weerstand kleiner is dan het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) .
13. Voordat het scherm opengaat, bereikt de springer een constante $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (“eindsnelheid”). Bereken de luchtweerstand. Wat voor beweging is dit, en waarom is het “traagheid in vermomming”?
14. Het scherm gaat open: de weerstand overtreft nu het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) ruimschoots. Wat gebeurt er met de snelheid? (De springer beweegt de hele tijd *omlaag* .)
15. Er wordt een nieuwe constante $5.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ bereikt. Bereken de luchtweerstand en vergelijk met vraag 13.
16. De clou: wat heeft de parachute veranderd — de uiteindelijke weerstand, of de snelheid waarbij de weerstand het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) bereikt?

**Deel IV — Vonnissen.**

17. Vul aan en verantwoord: “in rust of in [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) $\iff$ …”. Waarom verdient rust geen aparte wet?
18. In welk bedrijf zou “beweging heeft een beweger nodig” van Aristoteles het zichtbaarst hebben gefaald, en waar zou Galilei naar wijzen?
19. Een proefwerk beweert: “de parachutist valt met constante snelheid, dus werkt er geen [kracht](#def-g10-inertia-force) op hem”. Verbeter dat in één regel.
20. Slot: noem voor elk bedrijf het paar [krachten](#def-g10-inertia-force) dat in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) is, en noem de ene wet die in deze opgave twintig keer is gebruikt.

**Oplossing van Probleem 6.1.**

**1.** Een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) met $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. [Krachten](#def-g10-inertia-force): het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en de [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory) van de band (er is geen [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) nodig: de koffer schuift niet over de band). **2.** Ja — [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) ([Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle)). $P = 23 \times 9.81 \approx
226\,\mathrm{N}$, dus $R = 226\,\mathrm{N}$. **3.** De schema’s zijn identiek. Rust en [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) zijn een en dezelfde mechanische toestand: de traagheid maakt er geen onderscheid tussen. **4.** De koffer houdt zijn $0.75\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ terwijl de band stopt: hij schuift door of kantelt naar voren tot de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) zijn beweging opslokt. Niets heeft hem geduwd — hij hield alleen de snelheid die hij had. **5.** Snelheden in dezelfde richting tellen op: $0.75 + 1.2 = 1.95\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Haar snelheid is constant, dus zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) op haar in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate). **6.** $P = 0.160 \times 9.81 \approx 1.57\,\mathrm{N}$ omlaag, $R = 1.57\,\mathrm{N}$ omhoog, en *geen* horizontale [kracht](#def-g10-inertia-force). **7.** De puck houdt $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ aan zonder ook maar één beweger. Alledaagse oppervlakken verbergen [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) — een niet-opgeheven achterwaartse [kracht](#def-g10-inertia-force) — zodat beweging vanzelf lijkt te sterven. **8.** Haar snelheid verandert, dus zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) niet langer in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) ([Propositie 6.10](#prop-g10-inertia-converse)); de schuldige is de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory) van het ruwe ijs. **9.** Nee: snelheid is een *vector*, en haar richting verandert, dus zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) niet in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) — het ijs duwt zijwaarts tegen haar schaatsen. **10.** (a)–(iii), (b)–(i), (c)–(ii). **11.** [Gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) $P = 80 \times 9.81 \approx 785\,\mathrm{N}$, luchtweerstand nul: niets houdt het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate), dus moet de snelheid veranderen — de springer versnelt omlaag. **12.** Zolang de weerstand kleiner is dan het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight), zijn de [krachten](#def-g10-inertia-force) nog steeds niet in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate): de snelheid blijft groeien, en de weerstand groeit mee. **13.** Constante snelheid: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en weerstand zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate), dus is de weerstand $785\,\mathrm{N}$. De beweging is recht en eenparig — een vallend lichaam in precies dezelfde mechanische toestand als de koffer op het rolpad: traagheid in vermomming. **14.** De weerstand overtreft nu het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight): de [krachten](#def-g10-inertia-force) zijn niet in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate), dus verandert de snelheid — de springer daalt nog steeds, maar vertraagt; naarmate de snelheid zakt, krimpt de weerstand terug naar het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight). **15.** Opnieuw constant: weerstand $= P = 785\,\mathrm{N}$ — exact dezelfde waarde als bij $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **16.** De uiteindelijke weerstand is altijd gelijk aan het [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight), met of zonder scherm. De parachute verandert de *snelheid* waarbij de weerstand $785\,\mathrm{N}$ bereikt: $5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ in plaats van $50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. **17.** “…de [krachten](#def-g10-inertia-force) op het lichaam zijn in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate) (of er werkt er geen enkele)” — de twee lezingen van [Stelling 6.8](#thm-g10-inertia-principle). Rust is gewoon $\vect v = \vect 0$, een [eenparige rechtlijnige beweging](#def-g10-inertia-uniform) als alle andere. **18.** De ijsbaan: de puck glijdt door zonder beweger in zicht. Galilei wijst naar het steeds gladdere oppervlak — de [wrijving](#def-g10-inertia-inventory), niet de natuur, is wat de dingen stopt. **19.** Er werken wél [krachten](#def-g10-inertia-force) — een [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) van $785\,\mathrm{N}$ omlaag en een weerstand van $785\,\mathrm{N}$ omhoog; ze zijn *in [evenwicht](#def-g10-inertia-compensate)*, en juist daarom is de snelheid constant. **20.** Rolpad: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory). IJsbaan: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en [normaalkracht](#def-g10-inertia-inventory). Parachute: [gewicht](https://one-course.com/books/physics/2/nl/chapter/4-algemene-gravitatie-en-gewicht#def-g10-universal-gravitation-weight) en luchtweerstand. De ene wet: het traagheidsbeginsel, in zijn directe en zijn omgekeerde lezing.