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title: "Ordens de grandeza: medir o universo"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 1
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo
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# Capítulo 1 — Ordens de grandeza: medir o universo

A física começa onde termina a opinião: em uma medida. Mas as coisas que a física mede cobrem um intervalo absurdo — um núcleo atômico mede cerca de $10^{-15}\,\mathrm{m}$ de ponta a ponta e o universo observável cerca de $10^{27}\,\mathrm{m}$: um fator $10^{42}$, muito além do que qualquer imagem mental consegue abrigar. Este capítulo instala as ferramentas que domam esse intervalo — [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), potências de dez, [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) — e dois hábitos usados em todas as páginas seguintes: escrever a [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e verificar a [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

## 1.1 As unidades: a gramática da medida

**Definição 1.1 (Grandezas físicas e unidades do SI).**

Uma *grandeza física* é uma propriedade do mundo que se pode medir: um comprimento, uma duração, uma massa. Medi-la é contar quantas vezes cabe nela uma grandeza de referência — a *unidade*. O *Sistema Internacional de Unidades* (SI) fixa sete unidades de base, das quais três governam este volume inteiro: o *metro* ($\mathrm{m}$) para o comprimento, o *quilograma* ($\mathrm{kg}$) para a massa e o *segundo* ($\mathrm{s}$) para o tempo. (As outras quatro — ampère, kelvin, mol, candela — entram em cena quando chegarem a eletricidade, o calor e a química.)

**Observação 1.2 (Um número sem unidade não é um resultado).**

“A distância é $384$” não diz nada: $384\,\mathrm{mm}$, $384\,\mathrm{km}$ e $384\,\mathrm{Mm}$ são três mundos diferentes (o último é, por acaso, a distância até a Lua). Em 1999 a NASA perdeu o *Mars Climate Orbiter*, de $327$ milhões de dólares, porque um programa calculava as forças dos propulsores em libras-força e outro as lia como newtons. Regra da casa, desta linha até o fim do livro: todo número medido ou calculado carrega a sua [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), em cada linha do cálculo.

**Definição 1.3 (Prefixos do SI).**

Um *prefixo* colado a uma [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) multiplica-a por uma potência de dez fixa:

| femto | f | $10^{-15}$ | centi | c | $10^{-2}$ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| pico | p | $10^{-12}$ | quilo | k | $10^{3}$ |
| nano | n | $10^{-9}$ | mega | M | $10^{6}$ |
| micro | $\mu$ | $10^{-6}$ | giga | G | $10^{9}$ |
| mili | m | $10^{-3}$ | tera | T | $10^{12}$ |

Assim, $1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$ e $1\,\mathrm{km} = 10^{3}\,\mathrm{m}$.

**Exemplo 1.4 (Ler os prefixos).**

A luz verde tem comprimento de onda de cerca de $500\,\mathrm{nm} = 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$; um fio de cabelo humano tem cerca de $70\,\text{µ}\mathrm{m} = 7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}$ de espessura; a Lua orbita a $384\,\mathrm{Mm} = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$. Uma gota de chuva tem massa de cerca de $30\,\mathrm{mg} = 3.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{kg}$ — repare que a [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de base do SI para a massa é a única das sete que já vem com [prefixo](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes).

## 1.2 Notação científica e algarismos significativos

**Definição 1.5 (Notação científica).**

Um número está em *notação científica* quando é escrito na forma

$$
a \times 10^{n}, \qquad 1 \leq a < 10, \quad n \text{ inteiro.}
$$

O fator $a$ é a *mantissa* e o inteiro $n$ é o *expoente*. Assim, $149\,600\,000 = 1.496 \times 10^{8}$ e $0.000\,52 = 5.2 \times 10^{-4}$.

**Proposição 1.6 (Calcular com potências de dez).**

Para quaisquer inteiros $m$ e $n$:

$$
10^{m} \times 10^{n} = 10^{m+n}, \qquad
\frac{1}{10^{n}} = 10^{-n}, \qquad
\left(10^{m}\right)^{n} = 10^{mn}.
$$

**Demonstração parcial.** Para [expoentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) positivos, basta contar os fatores: $10^{m} \times 10^{n}$ é um produto de $m + n$ dezes, e $(10^m)^n$ encadeia $n$ grupos de $m$ dezes. Escrever $10^{-n}$ no lugar de $1/10^{n}$ é justamente a convenção que mantém a primeira regra válida para todos os inteiros: ela obriga $10^{n} \times 10^{-n} = 10^{0} = 1$. O volume de matemática correspondente estuda as regras dos [expoentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) por completo. ∎

**Exemplo 1.7 (Multiplicar em notação científica).**

Quantas Terras cabem no Sol, em massa? Com $m_{\text{Sol}} = 1.99 \times 10^{30}\,\mathrm{kg}$ e $m_{\text{Terra}} = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$:

$$
\frac{1.99 \times 10^{30}}{5.97 \times 10^{24}}
= \frac{1.99}{5.97} \times 10^{30-24}
= 0.333 \times 10^{6}
= 3.33 \times 10^{5}.
$$

[Mantissas](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) e [expoentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) são tratados separadamente; a resposta final é renormalizada para que a [mantissa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) volte a cair em $[1, 10)$.

**Definição 1.8 (Algarismos significativos).**

Os *algarismos significativos* de um número medido são os dígitos por que a medida realmente responde: todos os dígitos escritos, menos os zeros à esquerda. Os zeros à direita contam — $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (três algarismos significativos) promete mais do que $5.2 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$ (dois). A [notação científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) mostra a contagem de relance: a [mantissa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) carrega exatamente os algarismos significativos.

**Método 1.9 (Quantos dígitos guardar).**

Um resultado calculado não pode ser mais preciso do que os seus ingredientes.

1. Em um produto ou em um quociente, guarde tantos [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) quantos tiver o fator *menos* preciso.
2. Arredonde apenas a resposta final, nunca as etapas intermediárias.
3. Na dúvida, três [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) são a precisão de trabalho deste livro.

**Exemplo 1.10 (A circunferência da Terra).**

O diâmetro da Terra é $d = 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ (três [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig)), de modo que a sua circunferência vale $\pi d = 3.141\,59 \times 1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} = 3.99 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ — três algarismos, e não os oito que a calculadora exibe. Escrever $39\,898\,227\,\mathrm{m}$ seria alegar conhecer o planeta com precisão de um [metro](#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

![Uma régua em que cada passo igual multiplica por dez. Os traços pequenos são 200, 300, …, 900: uma década inteira se espreme em cada segmento. Nessa régua 300 pende para 102 e 7000 pende para 104 — as suas ordens de grandeza.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-75f975736dc2.svg)

*Uma régua em que cada passo igual *multiplica* por dez. Os traços pequenos são $200, 300, \dots, 900$: uma década inteira se espreme em cada segmento. Nessa régua $300$ pende para $10^{2}$ e $7000$ pende para $10^{4}$ — as suas [ordens de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).*

## 1.3 A escada do universo

**Definição 1.11 (Ordem de grandeza).**

A *ordem de grandeza* de uma grandeza é a potência de dez mais próxima dela: escreva a grandeza como $a \times 10^{n}$ com $1 \leq a < 10$ e tome $10^{n}$ se $a < 5$ e $10^{n+1}$ se $a \geq 5$. (A convenção exata da fronteira nunca importa: uma afirmação de ordem de grandeza só vale mesmo a menos de um fator dez.)

**Exemplo 1.12 (Ordens de grandeza).**

Uma vida humana dura cerca de $80$ anos, ou seja, $80 \times 3.16 \times 10^{7}\,\mathrm{s} \approx 2.5 \times 10^{9}\,\mathrm{s}$: [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}\,\mathrm{s}$ — alguns bilhões de segundos, gaste-os bem. Um ser humano tem $1.7\,\mathrm{m}$ de altura: ordem $10^{0}\,\mathrm{m}$. O monte Everest, $8848\,\mathrm{m}$: ordem $10^{4}\,\mathrm{m}$, já que $8.848 \geq 5$.

Empilhar essas estimativas por [expoente](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) produz a imagem mestra deste capítulo: uma escada em que cada degrau é um mundo dez vezes mais largo do que o de baixo.

![A escada do universo, em metros: 42 potências de dez separam o núcleo atômico do universo observável, e o ser humano está a dez degraus do átomo, mas a vinte e sete do topo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9052c3f252cd.svg)

*A escada do universo, em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $42$ potências de dez separam o núcleo atômico do universo observável, e o ser humano está a dez degraus do átomo, mas a vinte e sete do topo.*

Acima do degrau da Terra os [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) deixam de ser cômodos; a astronomia tem [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) próprias, ambas definidas a partir da própria escada.

**Definição 1.13 (Unidade astronômica e ano-luz).**

A *unidade astronômica* ($1\,\mathrm{au} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) é a distância média entre a Terra e o Sol. O *ano-luz* ($\mathrm{ly}$) é a distância que a luz percorre em um ano. A luz se propaga no vácuo a

$$
c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s},
$$

a maior velocidade que a natureza permite — de modo que o ano-luz é uma distância, e não um tempo.

![Distâncias a partir da Terra sobre a régua multiplicativa, com o tempo de viagem da luz em vermelho embaixo de cada uma: a Lua está a segundos-luz, os planetas a horas-luz, as estrelas a anos-luz.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-6bfe2257e899.svg)

*Distâncias a partir da Terra sobre a régua multiplicativa, com o tempo de viagem da luz em vermelho embaixo de cada uma: a Lua está a segundos-luz, os planetas a horas-luz, as estrelas a anos-luz.*

**Exemplo 1.14 (O ano-luz em metros).**

Um ano tem $365.25 \times 24 \times 3600 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$ (agradavelmente perto de $\pi \times 10^{7}\,\mathrm{s}$). Portanto

$$
1\,\mathrm{ly} = c \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}.
$$

Próxima Centauri, a estrela mais próxima depois do Sol, está a $4.2\,\mathrm{ly} \approx 4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$: a luz, que atravessa a distância Terra–Sol em oito minutos, leva mais de quatro anos para chegar de lá.

**Método 1.15 (Conferir pela ordem de grandeza).**

Antes de confiar em qualquer resultado calculado:

1. arredonde cada dado de entrada para a sua [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) ;
2. refaça a conta só com potências de dez, usando a [Proposição 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers) — isso leva segundos;
3. compare: a resposta precisa tem de concordar com a estimativa a menos de um fator dez, mais ou menos, e a sua [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) tem de ser a certa. Se qualquer uma das duas conferências falhar, cace o erro antes de seguir adiante.

**Observação 1.16 (Por que se dar ao trabalho).**

Uma calculadora informa sem pestanejar que uma maçã tem massa $4 \times 10^{8}\,\mathrm{kg}$ — ela não tem como saber. Nenhuma fórmula denuncia o absurdo; o hábito denuncia. O físico estima primeiro e calcula depois: a estimativa pega vírgulas fora do lugar, [unidades](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) trocadas e frações invertidas, os três erros por trás da maioria das respostas erradas em qualquer nível.

## 1.4 Medida e incerteza

Nenhum instrumento lê o valor verdadeiro. Uma medida só é honesta quando informa também o quanto pode estar errada.

**Definição 1.17 (Incerteza absoluta e incerteza relativa).**

Uma medida de uma grandeza $x$ se enuncia como

$$
x = x_{\text{m}} \pm \Delta x ,
$$

em que $x_{\text{m}}$ é o valor medido e a *incerteza absoluta* $\Delta x > 0$, na mesma [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), limita o erro plausível: afirma-se que o valor verdadeiro está entre $x_{\text{m}} - \Delta x$ e $x_{\text{m}} + \Delta x$. A *incerteza relativa* é a razão $\Delta x / x_{\text{m}}$, em geral dada em porcentagem; é ela que a palavra “preciso” mede.

**Método 1.18 (Ler um instrumento graduado).**

Para uma régua, uma proveta, um mostrador:

1. leia a graduação mais próxima da marca, com o olho perpendicular à escala (um olhar de viés desloca a leitura);
2. tome como [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) pelo menos metade da menor graduação — mais, se a borda do objeto ou a superfície do líquido estiver difusa;
3. escreva o resultado como $x_{\text{m}} \pm \Delta x$ com a sua [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , e não guarde nenhum dígito além do duvidoso.

![Leitura de uma régua milimetrada: a ponta da barra cai mais perto da graduação de 127\, mm, e a faixa sombreada de meia graduação de cada lado é a afirmação honesta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-orders-of-magnitude/fig-9ff0d7ee00e5.svg)

*Leitura de uma régua milimetrada: a ponta da barra cai mais perto da graduação de $127\,\mathrm{mm}$, e a faixa sombreada de meia graduação de cada lado é a afirmação honesta.*

**Exemplo 1.19 (Precisão relativa).**

A leitura acima tem [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) $\frac{0.5}{127} \approx 0.4\%$. A mesma régua, medindo um parafuso de $12\,\mathrm{mm}$, dá $\frac{0.5}{12} \approx 4\%$: o instrumento idêntico é dez vezes menos preciso no objeto pequeno. A precisão é uma propriedade da *medida*, não da ferramenta.

**Observação 1.20 (Absoluta pequena, relativa enorme — e vice-versa).**

Estações a laser medem a distância Terra–Lua, $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, com cerca de $\pm3\,\mathrm{cm}$: uma [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de $10^{-10}$, uma das medidas mais finas já feitas — e com um erro absoluto de que régua nenhuma se gabaria. Pergunte sempre *relativa a quê*: o par $(\Delta x,\ \Delta x / x_{\text{m}})$ conta a história inteira, e cada um dos dois números, sozinho, pode enganar.

## 1.5 Exercícios

**Exercício 1.1 ★.**

Converta para [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), em [notação científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

1. $750\,\mathrm{nm}$ (comprimento de onda da luz vermelha);
2. $2.5\,\mathrm{km}$ ;
3. $3.2\,\text{µ}\mathrm{m}$ (uma bactéria do solo);
4. $0.15\,\mathrm{Tm}$ (a distância Terra–Sol, num disfarce incomum).

**Solução de Exercício 1.1.**

*1.* $750\,\mathrm{nm} = 750 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} = 7.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}$. *2.* $2.5\,\mathrm{km} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$. *3.* $3.2\,\text{µ}\mathrm{m} = 3.2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$. *4.* $0.15\,\mathrm{Tm} = 0.15 \times 10^{12}\,\mathrm{m} = 1.5 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ — uma [unidade astronômica](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear).

**Exercício 1.2 ★.**

Escreva em [notação científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) e dê o número de [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig):

1. a distância Terra–Sol, $149\,600\,000\,\mathrm{km}$ , em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ;
2. o diâmetro de um átomo de hidrogênio, $0.000\,000\,000\,106\,\mathrm{m}$ ;
3. a população mundial, cerca de $8\,100\,000\,000$ ;
4. uma duração de $0.005\,20\,\mathrm{s}$ .

**Solução de Exercício 1.2.**

*1.* $149\,600\,000\,\mathrm{km} = 1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$: $4$ [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *2.* $1.06 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$: $3$ [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (os zeros à esquerda nunca contam). *3.* $8.1 \times 10^{9}$: $2$ [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig). *4.* $5.20 \times 10^{-3}\,\mathrm{s}$: $3$ [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) (o zero à direita é uma promessa).

**Exercício 1.3 ★.**

Calcule sem calculadora, dando cada resultado em [notação científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot):

$$
(3\times10^{8})\times(2\times10^{-5}), \qquad
\frac{8\times10^{4}}{4\times10^{-3}}, \qquad
(5\times10^{6})^{2}, \qquad
\frac{(4\times10^{-3})\times(3\times10^{-9})}{6\times10^{-7}} .
$$

**Solução de Exercício 1.3.**

[Mantissas](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) e [expoentes](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) separadamente ([Proposição 1.6](#prop-g10-orders-of-magnitude-powers)):

$$
3 \times 2 \times 10^{8-5} = 6 \times 10^{3}, \qquad
\tfrac{8}{4} \times 10^{4-(-3)} = 2 \times 10^{7},
$$

$$
5^{2} \times 10^{12} = 2.5 \times 10^{13}, \qquad
\tfrac{4 \times 3}{6} \times 10^{-3-9+7} = 2 \times 10^{-5} .
$$

**Exercício 1.4 ★.**

Dê a [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), com a sua [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit), de: uma altura humana de $1.7\,\mathrm{m}$; o monte Everest, $8848\,\mathrm{m}$; uma bactéria *E. coli*, $2 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$; a massa da Terra, $5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$.

**Solução de Exercício 1.4.**

Humano: $1.7 < 5$, ordem $10^{0}\,\mathrm{m}$. Everest: $8848\,\mathrm{m} = 8.848 \times 10^{3}\,\mathrm{m}$ e $8.848 \geq 5$: ordem $10^{4}\,\mathrm{m}$. Bactéria: ordem $10^{-6}\,\mathrm{m}$. Terra: $5.97 \geq 5$, ordem $10^{25}\,\mathrm{kg}$.

**Exercício 1.5 ★.**

Uma régua é graduada em milímetros. Você mede um lápis e obtém $127\,\mathrm{mm}$.

1. Enuncie o resultado com a sua [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Calcule a [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
3. A mesma régua mede uma borracha de $12\,\mathrm{mm}$ . Qual das duas medidas é a mais precisa, e por que fator?

**Solução de Exercício 1.5.**

*1.* Meia graduação: $L = (127.0 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$. *2.* $\Delta L / L = 0.5/127 \approx 0.4\%$. *3.* Borracha: $0.5/12 \approx 4\%$. A medida do lápis é cerca de dez vezes mais precisa — mesma régua, mesma [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty), objeto dez vezes mais comprido.

**Exercício 1.6 ★★.**

Usando $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e $1\,\mathrm{ly} = 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$:

1. Exprima em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) as distâncias até Próxima Centauri ( $4.24\,\mathrm{ly}$ ) e até Sirius ( $8.6\,\mathrm{ly}$ ).
2. A sonda *Voyager 1* está a cerca de $2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m}$ da Terra. Quanto tempo leva o seu sinal de rádio, que viaja a $c$ , para chegar até nós? Exprima a resposta em horas.

**Solução de Exercício 1.6.**

*1.* Próxima: $4.24 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.01 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$. Sirius: $8.6 \times 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 8.1 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$ (dois [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig), como o dado de entrada). *2.* $t = d/c = 2.4 \times 10^{13}\,\mathrm{m} / 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
= 8.0 \times 10^{4}\,\mathrm{s}$, ou seja, $8.0 \times 10^{4}/3600 \approx 22\,\mathrm{h}$: quase um dia inteiro para cada mensagem da sonda.

**Exercício 1.7 ★★.**

Quanto tempo a luz leva para chegar à Terra vinda da Lua ($3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$), do Sol ($1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$) e de Netuno ($4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$)? Dê cada resposta em uma [unidade](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) sensata e complete a frase: “Quando você olha para Netuno, vê-o como ele era…”

**Solução de Exercício 1.7.**

$t = d/c$ em cada caso. Lua: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$. Netuno: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.50 \times 10^{4}\,\mathrm{s} \approx
4.2\,\mathrm{h}$. Quando você olha para Netuno, vê-o como ele era há cerca de quatro horas — todo telescópio é uma máquina do tempo modesta.

**Exercício 1.8 ★★.**

Uma resma de $500$ folhas de papel, medida com uma régua milimetrada, tem $52.0\,\mathrm{mm}$ de espessura, com incerteza $\pm0.5\,\mathrm{mm}$.

1. Deduza a espessura de uma folha, com a sua [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) .
2. Qual é a [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) dessa espessura?
3. Por que medir a resma é enormemente melhor do que medir uma folha diretamente com a mesma régua? Quantifique.

**Solução de Exercício 1.8.**

*1.* Uma folha: $52.0\,\mathrm{mm}/500 = 0.104\,\mathrm{mm}
= 1.04 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. A incerteza também se divide: $0.5\,\mathrm{mm}/500 = 0.001\,\mathrm{mm}$, de modo que $t = (104 \pm 1)\,\text{µ}\mathrm{m}$. *2.* $1/104 \approx 1\%$. *3.* Medir uma folha diretamente daria $(0.1 \pm 0.5)\,\mathrm{mm}$: uma [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) de cerca de $500\%$ — a régua nem sequer consegue provar que a folha existe. Empilhar $500$ folhas multiplica o comprimento medido por $500$ enquanto a [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) da régua fica fixa: a [incerteza relativa](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) encolhe nesse mesmo fator $500$.

**Exercício 1.9 ★★.**

Tome $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$ como diâmetro de um átomo. Quantos átomos, lado a lado, cobrem: uma bactéria de $2.0\,\text{µ}\mathrm{m}$; um fio de cabelo de $70\,\text{µ}\mathrm{m}$; um ser humano de $1.7\,\mathrm{m}$? Dê também a última resposta como [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom).

**Solução de Exercício 1.9.**

Divida cada comprimento por $2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$. Bactéria: $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{4}$ átomos. Cabelo: $7.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m}/2 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 3.5 \times 10^{5}$. Humano: $1.7/2 \times 10^{-10} = 8.5 \times 10^{9}$, [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{10}$: dez bilhões de átomos da cabeça aos pés.

**Exercício 1.10 ★★.**

Uma maquete representa o Sol (diâmetro $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$) por uma bola de futebol de diâmetro $22\,\mathrm{cm}$.

1. Calcule o fator de escala da maquete.
2. Encontre o diâmetro da Terra na maquete ( $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$ ) e a sua distância à bola (distância real $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$ ).
3. A que distância da Terra da maquete fica a Lua da maquete (distância real $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )? E a que distância fica Netuno da maquete (distância real $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$ )?

**Solução de Exercício 1.10.**

*1.* $s = 0.22\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 1.58 \times 10^{-10}$. *2.* Terra: $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 2.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{m} =
2.0\,\mathrm{mm}$ — um grão de pimenta — orbitando a $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 23.7\,\mathrm{m} \approx
24\,\mathrm{m}$ da bola. *3.* Lua: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} = 6.1\,\mathrm{cm}$ do grão de pimenta. Netuno: $4.50 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 1.58 \times 10^{-10} \approx 710\,\mathrm{m}$: a maquete não cabe no pátio da escola.

**Exercício 1.11 ★★.**

[Algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) em ação.

1. Uma folha A4 mede $21.0\,\mathrm{cm}$ por $29.7\,\mathrm{cm}$ . Dê a sua área com o número correto de [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) .
2. Um velocista percorre $100.0\,\mathrm{m}$ em $12.3\,\mathrm{s}$ . Dê a velocidade média corretamente arredondada.
3. Explique em uma frase o que haveria de desonesto em anunciar a área como $623.70\,\mathrm{cm}^{2}$ .

**Solução de Exercício 1.11.**

*1.* $21.0 \times 29.7 = 623.7\,\mathrm{cm}^{2}$, arredondado para os três [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) dos dados: $624\,\mathrm{cm}^{2}$. *2.* $v = 100.0\,\mathrm{m}/12.3\,\mathrm{s} = 8.13\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (três algarismos, fixados pelo tempo). *3.* Cinco [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) alegariam conhecer a área com precisão de $0.01\,\mathrm{cm}^{2}$, precisão que dados de nível milimétrico jamais entregaram — uma casa decimal forjada continua sendo uma falsificação.

**Exercício 1.12 ★★★.**

Uma gota de óleo de volume $1.0\,\mathrm{mm}^{3}$ é depositada sobre água parada e se espalha num filme circular de diâmetro $1.1\,\mathrm{m}$ — um filme que capítulos posteriores mostrarão ter a espessura de uma única molécula.

1. Calcule a área do filme e, em seguida, a sua espessura.
2. Deduza uma [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) para o tamanho de uma molécula e confira-a com o degrau do átomo na escada.

(Essa experiência de fundo de envelope, tentada pela primeira vez por Benjamin Franklin num lago de Londres, foi uma das primeiras medidas honestas que a humanidade fez do mundo molecular.)

**Solução de Exercício 1.12.**

*1.* Raio $r = 0.55\,\mathrm{m}$, área $A = \pi r^{2} = \pi \times 0.55^{2} \approx 0.95\,\mathrm{m}^{2}$. Volume $V = 1.0\,\mathrm{mm}^{3} = 1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}$, e um filme é (área) $\times$ (espessura), logo

$$
e = \frac{V}{A} = \frac{1.0 \times 10^{-9}\,\mathrm{m}^{3}}{0.95\,\mathrm{m}^{2}}
= 1.1 \times 10^{-9}\,\mathrm{m} .
$$

*2.* Uma molécula é da ordem de $10^{-9}\,\mathrm{m}$ — um degrau acima do $10^{-10}\,\mathrm{m}$ do átomo, coerente com a molécula ser um pequeno agrupamento de átomos. A colher de óleo de Franklin acalmou meio hectare de lago e, sem que ele soubesse, mediu o nanômetro.

**Exercício 1.13 ★★★.**

Estime o número de batimentos cardíacos de uma vida humana. Enuncie as suas hipóteses (frequência cardíaca em repouso, duração da vida), mantenha a aritmética em potências de dez e um dígito de [mantissa](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot), e dê a resposta final apenas como [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom). Por que dá-la com quatro [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) não faria sentido?

**Solução de Exercício 1.13.**

Hipóteses: cerca de $70$ batimentos por minuto em repouso, uma vida de $80$ anos. Por dia: $70 \times 60 \times 24 \approx 1 \times 10^{5}$ batimentos. Por ano: $1 \times 10^{5} \times 365 \approx 4 \times 10^{7}$. Por vida: $4 \times 10^{7} \times 80 \approx 3 \times 10^{9}$ — [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{9}$, alguns bilhões de batimentos. Quatro [algarismos significativos](#def-g10-orders-of-magnitude-sigfig) fingiriam conhecer uma frequência cardíaca, minuto a minuto, durante oitenta anos: os dados de entrada são palpites de [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom), e nenhuma saída supera as suas entradas ([Método 1.9](#met-g10-orders-of-magnitude-sigfig)).

**Exercício 1.14 ★★★.**

Uma folha de papel tem $0.10\,\mathrm{mm}$ de espessura, e cada dobra duplica a espessura da pilha. Usando $2^{10} \approx 10^{3}$:

1. Depois de quantas dobras a pilha ultrapassaria o monte Everest ( $8848\,\mathrm{m}$ )?
2. Depois de quantas dobras ela alcançaria a Lua ( $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ )?
3. Na prática, uma folha não se dobra mais do que umas sete vezes. Isso invalida a aritmética ou apenas a experiência?

**Solução de Exercício 1.14.**

Depois de $n$ dobras a espessura vale $2^{n} \times 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$. *1.* É preciso $2^{n} \geq 8848/1.0 \times 10^{-4} = 8.8 \times 10^{7}$. Como $2^{26} \approx 6.7 \times 10^{7}$ não basta e $2^{27} \approx 1.3 \times 10^{8}$ basta: $27$ dobras (pilha $\approx 13\,\mathrm{km}$). *2.* É preciso $2^{n} \geq 3.84 \times 10^{12}$: $2^{41} \approx
2.2 \times 10^{12}$ fica aquém, $2^{42} \approx 4.4 \times 10^{12}$ alcança — $42$ dobras, pilha de $4.4 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, folgadamente além da Lua. *3.* Só a experiência: cada dobra reduz a área pela metade e, depois de sete dobras, a pilha é mais grossa do que larga. A aritmética da duplicação fica intacta — o crescimento exponencial simplesmente ultrapassa o que o papel (e a intuição) conseguem acompanhar.

**Exercício 1.15 ★★★.**

A telemetria a laser dá a distância Terra–Lua como $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} \pm 3\,\mathrm{cm}$; uma boa régua dá uma mesa como $1.000\,\mathrm{m} \pm 1\,\mathrm{mm}$.

1. Calcule as duas [incertezas relativas](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) . Qual medida é a mais precisa, e por que fator?
2. Com que [incerteza absoluta](#def-g10-orders-of-magnitude-uncertainty) seria preciso medir a mesa para igualar a precisão relativa da medida da Lua? Compare esse comprimento com o tamanho de um átomo e conclua com o devido respeito.

**Solução de Exercício 1.15.**

*1.* Lua: $0.03\,\mathrm{m}/3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m} = 7.8 \times 10^{-11}$. Mesa: $0.001\,\mathrm{m}/1.000\,\mathrm{m} = 1.0 \times 10^{-3}$. A medida da Lua é mais precisa por um fator $1.0 \times 10^{-3}/7.8 \times 10^{-11} \approx 1.3 \times 10^{7}$ — mais de dez milhões. *2.* Igualar $7.8 \times 10^{-11}$ numa mesa de um [metro](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) exige $\Delta x = 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$, menor do que um átomo ($\approx 10^{-10}\,\mathrm{m}$): a borda da mesa nem sequer está *definida* com essa nitidez. Em termos relativos, a distância Terra–Lua medida a laser é uma das medidas mais finas que a nossa espécie possui.

## 1.6 Problema: do átomo a Andrômeda

**Problema 1.1.**

Problema de fim de semana — um único grão de areia dimensiona o átomo, o Sistema Solar, a galáxia e o universo observável, e localiza você na escada entre eles

Um grão de areia é o objeto mais humilde da física, e neste fim de semana ele faz hora extra: primeiro contamos os seus átomos, depois encolhemos o Sol até o tamanho dele e medimos o cosmos a passos, em seguida deixamos a luz fazer a topografia e, por fim, contamos os átomos de *você*. Dados, usados o tempo todo: diâmetro do grão $0.5\,\mathrm{mm}$; diâmetro do átomo $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}$; densidade da areia $2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}$; diâmetros: Sol $1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m}$, Terra $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m}$, Via Láctea $9.5 \times 10^{20}\,\mathrm{m}$, universo observável $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}$; distâncias até nós: Lua $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$, Sol $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}$, Netuno $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m}$, Próxima Centauri $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}$, galáxia de Andrômeda $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}$; $c = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; uma molécula de água tem massa $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ e contém três átomos.

**Parte I — Anatomia do grão.**

1. Escreva o diâmetro do grão e o diâmetro do átomo em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) , em [notação científica](#def-g10-orders-of-magnitude-scinot) , e diga de qual [prefixo](#def-g10-orders-of-magnitude-prefixes) do SI cada um está mais perto.
2. Quantos átomos cabem lado a lado ao longo de um diâmetro do grão?
3. Modele o grão como um cubo de aresta $0.5\,\mathrm{mm}$ empacotado com átomos. Estime o número de átomos do grão, como [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) .
4. Calcule o volume desse cubo e, em seguida, a massa do grão. Exprima a massa em miligramas.
5. Confira o modelo: divida a massa do grão pelo seu número de átomos e compare com a [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) conhecida das massas atômicas (alguns $10^{-26}\,\mathrm{kg}$ ). Veredito?

**Parte II — O Sol como grão de areia.** Construímos uma maquete do cosmos em que o Sol é o grão: cada tamanho da maquete é o tamanho real multiplicado por um fator $s$.

6. Calcule o fator de escala $s$ .
7. Na maquete, encontre o diâmetro da Terra e a sua distância ao grão-Sol. Que objeto do mundo da Parte I tem, mais ou menos, o tamanho da Terra da maquete?
8. A que distância do grão orbita o Netuno da maquete? Que móvel comportaria o sistema planetário inteiro?
9. A que distância está a Próxima Centauri da maquete?
10. Dois grãos de areia, a $14\,\mathrm{km}$ um do outro, e praticamente nada no meio: diga em uma ou duas frases o que a maquete revela sobre o quanto a galáxia é vazia.

**Parte III — A luz faz a topografia.**

11. Quanto tempo a luz leva para atravessar o grão de areia real?
12. Quanto tempo a luz leva para chegar até nós vinda da Lua e vinda do Sol?
13. Recalcule o [ano-luz](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) a partir de $c$ e da duração do ano, e verifique que a distância até Próxima que consta dos dados corresponde a cerca de $4.2\,\mathrm{ly}$ .
14. Converta a distância até Andrômeda em anos-luz. Aproximadamente quando partiu de Andrômeda a luz que agora entra no seu olho, e o que andava sobre a Terra naquele momento?
15. Que distância a luz percorre em um nanossegundo? Um processador com relógio de $3\,\mathrm{GHz}$ inicia uma operação a cada terço de nanossegundo: explique em uma frase por que um computador rápido tem de ser um computador pequeno.

**Parte IV — Você, entre o átomo e Andrômeda.**

16. Um ser humano é, grosso modo, $70\,\mathrm{kg}$ de água. Usando os dados, estime a massa média de um átomo na água e, em seguida, o número de átomos de um ser humano.
17. Compare essa contagem com a dos átomos do grão (questão 3) e com as cerca de $2\times10^{23}$ estrelas do universo observável. Dê os dois fatores.
18. Na escada, você está mais perto do átomo ou do universo observável? Compare as razões $\text{(você)}/\text{(átomo)}$ e $\text{(universo)}/\text{(você)}$ , tomando $1.7\,\mathrm{m}$ para você.
19. Encontre o tamanho $x$ que fica exatamente no meio da escada, entre o núcleo ( $10^{-15}\,\mathrm{m}$ ) e o universo observável: $x$ tem de satisfazer $x / 10^{-15} = 10^{26.9} / x$ (usando $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \approx 10^{26.9}\,\mathrm{m}$ ). Que objeto do Sistema Solar tem, por acaso, justamente esse tamanho?
20. O desfecho. Encolha o universo observável pelo fator $s$ da Parte II, de modo que o Sol seja um grão de areia. Dê o diâmetro do universo da maquete em [metros](#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e depois em [unidades astronômicas](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear) , e conclua em uma frase: mesmo com cada estrela virando um grão de areia, o universo transborda de toda escala humana — só as potências de dez o seguram.

**Solução de Problema 1.1.**

**1.** Grão: $0.5\,\mathrm{mm} = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}$, na escala do mili; átomo: $2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 0.25\,\mathrm{nm}$, na escala do nano.

**2.** $5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} = 2.0 \times 10^{6}$: dois milhões de átomos de ponta a ponta.

**3.** Um cubo de $2 \times 10^{6}$ átomos por aresta contém $(2\times10^{6})^{3} = 8 \times 10^{18}$ átomos: [ordem de grandeza](#def-g10-orders-of-magnitude-oom) $10^{19}$.

**4.** $V = (5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m})^{3} = 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}$, logo $m = \rho V = 2500\,\mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} \times 1.25 \times 10^{-10}\,\mathrm{m}^{3}
= 3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg} = 0.31\,\mathrm{mg}$.

**5.** Massa por átomo: $3.1 \times 10^{-7}\,\mathrm{kg}/(8\times10^{18}) = 3.9 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$ — bem dentro da faixa dos “alguns $10^{-26}\,\mathrm{kg}$”. O cubo ingênuo de átomos reproduz massas atômicas reais: o modelo passa na conferência ([Método 1.15](#met-g10-orders-of-magnitude-sanity)) com louvor.

**6.** $s = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/1.39 \times 10^{9}\,\mathrm{m} = 3.6 \times 10^{-13}$.

**7.** Terra da maquete: diâmetro $1.27 \times 10^{7}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 4.6 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}$ — o tamanho de uma bactéria — à distância $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 5.4\,\mathrm{cm}$ do grão: a Terra é um micróbio a cinco centímetros de um grão de areia.

**8.** $4.5 \times 10^{12}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.6\,\mathrm{m}$: o sistema planetário inteiro orbita dentro de uma mesa de jantar.

**9.** $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 1.4 \times 10^{4}\,\mathrm{m}
= 14\,\mathrm{km}$.

**10.** A estrela mais próxima do nosso Sistema Solar de mesa é outro grão de areia a quatorze quilômetros de distância, com essencialmente nada no meio: a galáxia é esmagadoramente espaço vazio, e é por isso que colisões entre estrelas são quase inauditas.

**11.** $t = 5 \times 10^{-4}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.7 \times 10^{-12}\,\mathrm{s}$ — menos de dois picossegundos.

**12.** Lua: $3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 1.28\,\mathrm{s}$. Sol: $1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m}/3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 499\,\mathrm{s} \approx
8.3\,\mathrm{min}$: a luz do Sol tem sempre oito minutos de idade.

**13.** Um ano vale $365.25 \times 86400 = 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}$, logo $1\,\mathrm{ly} = 3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 3.156 \times 10^{7}\,\mathrm{s}
= 9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m}$; então $4.0 \times 10^{16}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 4.2$: a distância dos dados corresponde de fato a cerca de $4.2\,\mathrm{ly}$.

**14.** $2.4 \times 10^{22}\,\mathrm{m}/9.47 \times 10^{15}\,\mathrm{m} = 2.5 \times 10^{6}$: dois milhões e meio de anos-luz. Essa luz deixou Andrômeda há cerca de $2.5$ milhões de anos, quando os primeiros membros do gênero *Homo* aprendiam a lascar pedras — e nenhum *Homo sapiens* existia ainda em lugar algum.

**15.** $3.00 \times 10^{8}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \times 1 \times 10^{-9}\,\mathrm{s} = 0.30\,\mathrm{m}$. Em um terço de nanossegundo um sinal cobre no máximo uns $10\,\mathrm{cm}$, de modo que quaisquer duas partes da máquina que precisem conversar dentro de um mesmo ciclo de relógio têm de ficar a menos de dez centímetros uma da outra: a velocidade limita o tamanho.

**16.** Átomo médio na água: $3.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}/3 = 1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg}$. Número de átomos: $70\,\mathrm{kg}/1.0 \times 10^{-26}\,\mathrm{kg} = 7 \times 10^{27}$.

**17.** Contra o grão: $7 \times 10^{27}/8 \times 10^{18} \approx 10^{9}$ — você contém átomos equivalentes a um bilhão de grãos. Contra as estrelas: $7 \times 10^{27}/2 \times 10^{23} = 3.5 \times 10^{4}$ — os seus átomos são mais numerosos do que todas as estrelas do universo observável na proporção de trinta e cinco mil para um.

**18.** $\text{(você)}/\text{(átomo)} =
1.7\,\mathrm{m}/2.5 \times 10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 7 \times 10^{9} \approx 10^{10}$, enquanto $\text{(universo)}/\text{(você)} =
8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m}/1.7\,\mathrm{m} \approx 5 \times 10^{26}$. Na escada, você está cerca de dez degraus acima do átomo e quase vinte e sete abaixo do universo: multiplicativamente, o ser humano vive bem perto dos seus átomos.

**19.** A condição dá $x^{2} = 10^{-15} \times 10^{26.9} = 10^{11.9}$, logo $x = 10^{5.95} \approx 9 \times 10^{5}\,\mathrm{m} \approx 900\,\mathrm{km}$ — quase exatamente o diâmetro de Ceres, o maior asteroide ($\approx 940\,\mathrm{km}$). Bem no meio da escada, entre um núcleo e o cosmos, fica um modesto planeta anão.

**20.** $8.8 \times 10^{26}\,\mathrm{m} \times 3.6 \times 10^{-13} = 3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}$, ou seja, $3.2 \times 10^{14}\,\mathrm{m}/1.496 \times 10^{11}\,\mathrm{m} \approx 2.1 \times 10^{3}$ [unidades astronômicas](#def-g10-orders-of-magnitude-lightyear). O desfecho: encolha o cosmos até que o Sol seja um grão de areia, e o universo observável ainda cobre duas mil vezes a distância Terra–Sol real — maquete nenhuma traz o universo à escala humana; só as potências de dez o carregam.