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title: "Lentes, imagens e o olho"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 10
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/10-lentes-imagens-e-o-olho
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# Capítulo 10 — Lentes, imagens e o olho

Toda imagem nítida — no sensor de um celular, numa tela de cinema ou no fundo do seu próprio olho — vem do mesmo truque: um meio transparente curvo desvia os raios por [refração](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#def-g10-refraction-refraction) ([Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#ch-g10-refraction)) de modo que todos os raios que saem de um ponto voltem a se encontrar em outro. Este capítulo domina o truque: uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), três raios, uma fórmula — e depois o aponta para câmeras, óculos e a [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) viva que lê esta frase.

## 10.1 Lentes convergentes e divergentes

**Definição 10.1 (Lente delgada).**

Uma *lente* é um meio transparente limitado por duas superfícies, pelo menos uma delas curva. Mais grossa no centro do que na borda, ela é *convergente*: raios paralelos são desviados uns em direção aos outros; mais grossa na borda, é *divergente*: eles se afastam. Uma lente *delgada* tem espessura desprezível: nós a desenhamos como um segmento com pontas de flecha para fora (convergente) ou para dentro (divergente). O seu centro $O$ é o *centro óptico*; a reta perpendicular que passa por $O$ é o *eixo principal*.

**Definição 10.2 (Focos e distância focal).**

Os raios que chegam paralelos ao eixo de uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) cruzam todos o eixo num único ponto atrás dela, o *foco imagem* $F'$; simetricamente, os raios que saem do *foco objeto* $F$ (à frente, com $OF = OF'$) emergem paralelos ao eixo. A *distância focal* $f' = \overline{OF'}$ é positiva para uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); numa [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), os raios paralelos emergem como se viessem de um ponto $F'$ situado *à frente* da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens): $f' < 0$.

**Definição 10.3 (Vergência).**

A *vergência* de uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$ (em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)) é $C = 1/f'$, medida em *dioptrias* (símbolo D): $1~\text{D} = 1\,\mathrm{m}^{-1}$; as [lentes divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) têm $C < 0$. Os oculistas prescrevem em dioptrias: as vergências de [lentes delgadas](#def-g11-lenses-and-eye-lens) em contato simplesmente se somam (admitido aqui; deduzido no volume do primeiro ano de graduação).

**Exemplo 10.4 (Ler uma receita).**

Uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) com $f' = 0.50\,\mathrm{m}$ tem $C = 1/0.50 = +2.0$ D: [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Uma receita de $-4.0$ D significa $f' = -0.25\,\mathrm{m}$: [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), com [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) de $25\,\mathrm{cm}$.

## 10.2 Construir a imagem

**Método 10.5 (Os três raios de construção).**

Seja $AB$ um objeto perpendicular ao eixo em $A$. Entre todos os raios que saem da ponta $B$, três têm caminho conhecido:

1. o raio que passa pelo [centro óptico](#def-g11-lenses-and-eye-lens) $O$ segue em linha reta;
2. o raio paralelo ao eixo emerge passando por $F'$ ;
3. o raio que passa por $F$ emerge paralelo ao eixo.

Dois quaisquer bastam: a interseção deles é o ponto imagem $B'$, e a imagem $A'B'$ fica perpendicular ao eixo em $A'$. Se os raios emergentes divergirem, os seus prolongamentos *para trás* (tracejados) se encontram num ponto de [imagem virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images).

![Os três raios de construção: objeto AB além de F, imagem A'B' real e invertida (aqui OA = -2f': do mesmo tamanho, = -1).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-46d807f5b378.svg)

*Os três raios de construção: objeto $AB$ além de $F$, imagem $A'B'$ [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida (aqui $\overline{OA} = -2f'$: do mesmo tamanho, $\gamma = -1$).*

**Definição 10.6 (Imagens reais e virtuais).**

Uma imagem é *real* quando os raios emergentes passam efetivamente por ela: um anteparo colocado ali a recolhe; é *virtual* quando só os prolongamentos para trás se encontram: anteparo nenhum a recolhe, mas um olho que olhe para dentro da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) a vê perfeitamente bem. Uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) dá uma imagem real e invertida de qualquer objeto além de $F$; deslize o objeto para dentro da [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) e a imagem se torna virtual, direita e ampliada.

![Objeto dentro da distância focal (a configuração de lupa): os prolongamentos para trás constroem uma imagem A'B' virtual, direita e ampliada.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8ad9403171ff.svg)

*Objeto dentro da [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (a configuração de [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)): os prolongamentos para trás constroem uma imagem $A'B'$ [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita e ampliada.*

## 10.3 Uma fórmula: a relação de conjugação

As construções mostram *onde* está a imagem; uma fórmula a calcula. Oriente o eixo no sentido da luz e use *medidas algébricas*: $\overline{OA}$ é a coordenada de $A$ em relação a $O$ (negativa para um objeto [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) à frente); as alturas $\overline{AB}$ contam positivas para cima.

**Teorema 10.7 (Relação de conjugação das lentes delgadas).**

Através de uma [lente delgada](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) $f'$, um ponto objeto $A$ do eixo tem imagem no ponto $A'$, com

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} - \frac{1}{\overline{OA}} = \frac{1}{f'} = C .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 10.8.**

A relação decorre da [lei de Snell](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#thm-g10-refraction-snell) aplicada a raios próximos do eixo; a dedução — e os limites do modelo de [lente delgada](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — são feitos com honestidade no volume do primeiro ano de graduação.

**Definição 10.9 (Aumento).**

O *aumento* da imagem é

$$
\gamma = \frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}
       = \frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}} .
$$

$\abs{\gamma}$ compara os tamanhos e o seu sinal compara as orientações ($\gamma < 0$: invertida); o sinal de $\overline{OA'}$ informa a natureza (positivo: [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); negativo: [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), à frente).

**Exemplo 10.10 (A fórmula em ação).**

Um objeto está $30\,\mathrm{cm}$ à frente de uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) com $f' = 10\,\mathrm{cm}$: $\overline{OA} = -30\,\mathrm{cm}$, logo

$$
\frac{1}{\overline{OA'}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{1}{15},
\qquad \overline{OA'} = +15\,\mathrm{cm},
\qquad \gamma = \frac{15}{-30} = -0.50 :
$$

uma [imagem real](#def-g11-lenses-and-eye-images) $15\,\mathrm{cm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), invertida, com metade do tamanho — exatamente o que os três raios desenham.

## 10.4 O olho

**Definição 10.11 (O olho como sistema óptico).**

Opticamente, o olho é uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) diante de um anteparo: a *córnea* e o *cristalino* agem como uma única [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) ajustável; a *retina*, cerca de $17\,\mathrm{mm}$ atrás, é o anteparo fixo. O [foco](#def-g11-lenses-and-eye-focal) é obtido apertando a [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), e não deslocando-a como numa câmera: a *acomodação* é a variação de $f'$ produzida pelos músculos ciliares. O ponto mais próximo visto com nitidez com acomodação máxima é o *ponto próximo* — cerca de $25\,\mathrm{cm}$ para o *olho padrão* — e o mais distante, em repouso, é o *ponto remoto* (o infinito, para o olho padrão).

![Acomodação: para focalizar um objeto próximo sobre a mesma retina, o cristalino se abaúla — a sua vergência aumenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-9b1cb84ee218.svg)

![Acomodação: para focalizar um objeto próximo sobre a mesma retina, o cristalino se abaúla — a sua vergência aumenta.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-1709c5c1897e.svg)

*[Acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye): para focalizar um objeto próximo sobre a mesma [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye), o [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se abaúla — a sua [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) aumenta.*

**Exemplo 10.12 (A vergência do seu olho).**

A [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) fica em $\overline{OA'} = +0.017\,\mathrm{m}$. Objeto distante ($1/\overline{OA} \approx 0$): $C = 1/0.017 \approx 59$ D. [Ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ($\overline{OA} = -0.25\,\mathrm{m}$): $C = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. Ler custa cerca de $4$ D: o olho é uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $59$ D com um ajuste fino embutido de $+4$ D.

## 10.5 Defeitos, correções e a lupa

**Definição 10.13 (Miopia e hipermetropia).**

Um olho *míope* é [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) demais para o seu comprimento: os raios paralelos focalizam *antes* da [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye), os objetos distantes ficam borrados, e o [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) fica a distância finita; uma [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de óculos o corrige. Um olho *hipermetrope* não é [convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) o bastante: os objetos próximos focalizariam atrás da [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) e o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se afasta; uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) o corrige. O envelhecimento enrijece o [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (*presbiopia*), reduzindo a [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — e o remédio é o mesmo: óculos de leitura.

**Exemplo 10.14 (Receitar para um míope).**

Um olho [míope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) tem o [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $50\,\mathrm{cm}$: a [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) corretora precisa mostrar os objetos distantes *no [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye)* — objeto no infinito, imagem em $\overline{OA'} = -0.50\,\mathrm{m}$ ([virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), à frente). Então $1/f' = 1/\overline{OA'}$: $f' = -0.50\,\mathrm{m}$, $C = -2.0$ D; o olho relaxado olha para essa [imagem virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) e a vê com nitidez.

![Um olho míope focaliza os raios paralelos antes da retina (ponto vermelho); uma lente divergente leva o foco até a retina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-52aed14e9ab9.svg)

![Um olho míope focaliza os raios paralelos antes da retina (ponto vermelho); uma lente divergente leva o foco até a retina.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-lenses-and-eye/fig-8fe945eee65d.svg)

*Um olho [míope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) focaliza os raios paralelos antes da [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) (ponto vermelho); uma [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) leva o [foco](#def-g11-lenses-and-eye-focal) até a [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye).*

**Definição 10.15 (A lupa).**

Uma *lupa* é uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) curta usada com o objeto *dentro* da [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal): a imagem é [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita e ampliada ([Definição 10.6](#def-g11-lenses-and-eye-images)), e o olho a observa confortavelmente longe.

**Exemplo 10.16 (A lupa do joalheiro).**

[Lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) com $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$, pedra a $4.0\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$, logo $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$ e $\gamma = (-20)/(-4.0) = +5.0$: uma [imagem virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita, cinco vezes maior, a confortáveis $20\,\mathrm{cm}$ da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

## 10.6 Exercícios

**Exercício 10.1 ★.**

Calcule as [vergências](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) para $f' = 50\,\mathrm{cm}$, $-20\,\mathrm{cm}$ e $4.0\,\mathrm{mm}$, e depois a [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) de uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D.

**Solução de Exercício 10.1.**

$C = 1/0.50 = +2.0$ D; $1/(-0.20) = -5.0$ D; $1/0.0040 = +250$ D. Uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de $+8.0$ D: $f' = 1/8.0 = 0.125\,\mathrm{m} = 12.5\,\mathrm{cm}$.

**Exercício 10.2 ★.**

Uma [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) é mais grossa nas bordas do que no centro. [Convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ou [divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? Ela pode servir de [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier)? O que você vê ao segurá-la sobre uma página impressa?

**Solução de Exercício 10.2.**

[Divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($f' < 0$). Não: para qualquer distância $d$ do objeto, $\gamma = f'/(f' - d)$ (mostrado no [Exercício 10.15](#exo-g11-lenses-and-eye-15)) fica entre $0$ e $1$ — a imagem é sempre [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita e *reduzida*. A letra impressa aparece direita e encolhida, nunca ampliada.

**Exercício 10.3 ★.**

Uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tem $f' = 10\,\mathrm{cm}$; um objeto está $20\,\mathrm{cm}$ à frente dela. Construa a imagem com dois dos três raios e depois confira a sua posição e o seu tamanho com a relação de conjugação.

**Solução de Exercício 10.3.**

O objeto está em $2f'$; os raios central e paralelo se cruzam $20\,\mathrm{cm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Conferindo: $1/\overline{OA'} = 1/10 - 1/20 = 1/20$, logo $\overline{OA'} = +20\,\mathrm{cm}$ e $\gamma = 20/(-20) = -1$: [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), invertida e do mesmo tamanho — como no desenho.

**Exercício 10.4 ★.**

Um objeto está $24\,\mathrm{cm}$ à frente de uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) com $f' = 8.0\,\mathrm{cm}$. Calcule $\overline{OA'}$ e $\gamma$, e descreva a imagem (natureza, orientação, tamanho).

**Solução de Exercício 10.4.**

$1/\overline{OA'} = 1/8.0 - 1/24 = 1/12$: $\overline{OA'} = +12\,\mathrm{cm}$, $\gamma = 12/(-24) = -0.50$. [Imagem real](#def-g11-lenses-and-eye-images) $12\,\mathrm{cm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens), invertida, com metade do tamanho.

**Exercício 10.5 ★.**

No olho: o que forma a [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens)? O que faz o papel do anteparo? O que muda durante a [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) — e o que não pode mudar? Defina o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) do [olho padrão](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Solução de Exercício 10.5.**

A [córnea](#def-g11-lenses-and-eye-eye) e o [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye) formam a [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens); a [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) é o anteparo. A [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) muda a [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) (a [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence)) do [cristalino](#def-g11-lenses-and-eye-eye); a distância lente–retina não pode mudar. [Ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye): o ponto mais próximo visto com nitidez com [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) máxima — $25\,\mathrm{cm}$ para o [olho padrão](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Exercício 10.6 ★★.**

A objetiva de uma câmera tem $f' = 50\,\mathrm{mm}$. Onde fica o sensor quando ela está focalizada numa paisagem distante? Calcule a distância lente–sensor para um objeto a $3.0\,\mathrm{m}$ e o curso entre os dois ajustes.

**Solução de Exercício 10.6.**

Paisagem: sensor no plano focal, a $50\,\mathrm{mm}$ da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). A $3.0\,\mathrm{m}$: $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/3000 = 59/3000$, logo $\overline{OA'} \approx 50.8\,\mathrm{mm}$. Curso: cerca de $0.8\,\mathrm{mm}$.

**Exercício 10.7 ★★.**

Uma [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) tem $f' = 6.0\,\mathrm{cm}$; um selo está $5.0\,\mathrm{cm}$ abaixo dela. Qual é a posição, a natureza, a orientação e o [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) da imagem?

**Solução de Exercício 10.7.**

$1/\overline{OA'} = 1/6.0 - 1/5.0 = -1/30$: $\overline{OA'} = -30\,\mathrm{cm}$ — [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita, $\gamma = (-30)/(-5.0) = +6.0$: seis vezes o selo, $30\,\mathrm{cm}$ acima da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**Exercício 10.8 ★★.**

Um objeto e um anteparo estão de frente um para o outro; uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) entre eles dá uma imagem nítida quando os dois estão a $40\,\mathrm{cm}$ da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens). Calcule $f'$ e $\gamma$. Por que essa imagem simétrica tem de ter exatamente o mesmo tamanho do objeto?

**Solução de Exercício 10.8.**

$1/f' = 1/40 + 1/40 = 1/20$: $f' = 20\,\mathrm{cm}$; $\gamma = 40/(-40) = -1$. A simetria obriga $\abs{\overline{OA'}} = \abs{\overline{OA}}$ e, portanto, $\abs{\gamma} = 1$; a imagem é [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida, logo $\gamma = -1$: exatamente do mesmo tamanho.

**Exercício 10.9 ★★.**

Um objeto está $50\,\mathrm{cm}$ à frente de uma [lente divergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) com $f' = -25\,\mathrm{cm}$. Calcule $\overline{OA'}$ e $\gamma$; descreva a imagem. Por que os olhos de um [míope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) parecem um pouco menores através dos óculos dele?

**Solução de Exercício 10.9.**

$1/\overline{OA'} = -1/25 - 1/50 = -3/50$: $\overline{OA'} \approx -16.7\,\mathrm{cm}$, $\gamma = (-16.7)/(-50) = +0.33$: [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita, com um terço do tamanho. Os óculos de um [míope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) são [divergentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens): tudo o que se vê através deles — inclusive, de fora, os olhos de quem os usa — fica reduzido.

**Exercício 10.10 ★★.**

Um olho [míope](#def-g11-lenses-and-eye-defects) tem o [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $40\,\mathrm{cm}$. Que [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) a [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) corretora precisa ter, e onde ela coloca a imagem de uma montanha distante? Por que a montanha é então vista sem esforço?

**Solução de Exercício 10.10.**

Imagem do infinito no [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye): $f' = -0.40\,\mathrm{m}$, logo $C = -2.5$ D. A imagem da montanha fica $40\,\mathrm{cm}$ à frente da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) — exatamente no [ponto remoto](#def-g11-lenses-and-eye-eye), que o olho relaxado vê com nitidez e sem [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) alguma.

**Exercício 10.11 ★★.**

Um leitor présbita tem o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $80\,\mathrm{cm}$, mas quer ler a $25\,\mathrm{cm}$: os óculos precisam formar, de uma página a $25\,\mathrm{cm}$, uma página [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) a $80\,\mathrm{cm}$. Calcule a [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) necessária.

**Solução de Exercício 10.11.**

$C = 1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/(-0.80) - 1/(-0.25)
= -1.25 + 4.00 = +2.75$ D.

**Exercício 10.12 ★★★.**

Um projetor precisa lançar a imagem de um slide, com [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) $\gamma = -50$, sobre uma tela a $5.1\,\mathrm{m}$ do slide.

1. Encontre $\overline{OA}$ e $\overline{OA'}$ , sabendo que $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$ .
2. Deduza a [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) de projeção.
3. Qual é a altura da imagem de um slide de $24\,\mathrm{mm}$ de altura?

**Solução de Exercício 10.12.**

*1.* $\gamma = \overline{OA'}/\overline{OA} = -50$ dá $\overline{OA'} = -50\,\overline{OA}$; com $\overline{OA'} - \overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$, $-51\,\overline{OA} = 5.1\,\mathrm{m}$: $\overline{OA} = -0.10\,\mathrm{m}$ e $\overline{OA'} = +5.0\,\mathrm{m}$.

*2.* $1/f' = 1/5.0 + 1/0.10 = 10.2$: $f' \approx 9.8\,\mathrm{cm}$.

*3.* $50 \times 24\,\mathrm{mm} = 1.2\,\mathrm{m}$, invertida — e é por isso que os slides são colocados de cabeça para baixo.

**Exercício 10.13 ★★★.**

A [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) fica $17\,\mathrm{mm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) do olho.

1. Calcule a [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) do olho focalizado no infinito e depois no [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) padrão ( $25\,\mathrm{cm}$ ). Deduza a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) de [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) do [olho padrão](#def-g11-lenses-and-eye-eye) .
2. Um olho mais velho tem o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) a $1.0\,\mathrm{m}$ . Calcule a sua [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) e a fração da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) padrão que resta.

**Solução de Exercício 10.13.**

*1.* $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D. [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude): $1/0.25 = 4.0$ D.

*2.* [Amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) $= 1/1.0 = 1.0$ D: resta um quarto ($25\%$) dos $4.0$ D do [olho padrão](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**Exercício 10.14 ★★★.**

Uma [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) vendida como “$\times 3$” tem a [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) dada por $3 = 0.25/f'$ ($f'$ em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)).

1. Calcule $f'$ .
2. Onde um objeto precisa ficar para que a sua [imagem virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) se situe $25\,\mathrm{cm}$ à frente da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ? Calcule $\gamma$ ; compare com o $\times 3$ anunciado.

**Solução de Exercício 10.14.**

*1.* $f' = 0.25/3 \approx 0.083\,\mathrm{m} = 8.3\,\mathrm{cm}$.

*2.* $\overline{OA'} = -25\,\mathrm{cm}$: $1/\overline{OA} = -1/25 - 3/25 = -4/25$, logo $\overline{OA} = -6.25\,\mathrm{cm}$ e $\gamma = (-25)/(-6.25) = +4.0$ — melhor do que o $\times 3$ anunciado, que supõe a imagem no infinito; puxá-la até o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ganha uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Exercício 10.15 ★★★.**

Um objeto [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) está à distância $d > 0$ à frente de uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) ($\overline{OA} = -d$, $f' > 0$). Mostre que $\overline{OA'} = \frac{f'd}{d - f'}$ e $\gamma = \frac{f'}{f' - d}$. Deduza: [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida quando $d > f'$; [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita e *ampliada* ($\gamma > 1$) quando $0 < d < f'$ — toda [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) é uma [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier), se usada perto o suficiente.

**Solução de Exercício 10.15.**

$1/\overline{OA'} = 1/f' - 1/d = (d - f')/(f'd)$, logo $\overline{OA'} = f'd/(d - f')$ e $\gamma = \overline{OA'}/(-d) = f'/(f' - d)$. Se $d > f'$: $\overline{OA'} > 0$ ([real](#def-g11-lenses-and-eye-images)) e $\gamma < 0$ (invertida). Se $0 < d < f'$: $\overline{OA'} < 0$ ([virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images)) e $\gamma = f'/(f' - d) > 1$: direita e ampliada — a configuração de [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier).

## 10.7 Problema: uma fórmula, três instrumentos

**Problema 10.1.**

Problema de fim de semana — a mesma relação de conjugação focaliza uma câmera, receita óculos de leitura, projeta uma lupa e mede o zoom embutido no seu próprio olho

Um fotógrafo ajusta uma objetiva de $50\,\mathrm{mm}$, uma avó segura o jornal a distância de braço, um joalheiro se debruça sobre um diamante: uma linha de álgebra, $1/\overline{OA'} - 1/\overline{OA} = 1/f'$ ([Teorema 10.7](#thm-g11-lenses-and-eye-conjugate)), governa os três ofícios — e depois o próprio olho.

**Parte I — Uma fórmula.** Uma [lente convergente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) tem $f' = 20\,\mathrm{cm}$.

1. Um objeto a $60\,\mathrm{cm}$ : calcule $\overline{OA'}$ e $\gamma$ ; descreva a imagem.
2. Mova o objeto para $30\,\mathrm{cm}$ ; recalcule. O que foi trocado em relação à questão 1? (Os percursos da luz são reversíveis.)
3. Mova-o para $10\,\mathrm{cm}$ , dentro de $f'$ : recalcule e descreva.
4. Resuma: à medida que o objeto vem de muito longe até $F$ , e depois o ultrapassa, como a imagem se desloca e muda de natureza?
5. Mostre que um objeto muito distante ( $1/\overline{OA} \approx 0$ ) sempre tem imagem no plano focal: $\overline{OA'} = f'$ .

**Parte II — O fotógrafo.** Uma objetiva de câmera tem $f' = 50\,\mathrm{mm}$; o sensor, de $24\,\mathrm{mm}$ de altura, pode ser deslocado em relação à [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

6. Onde fica o sensor quando ela está focalizada numa paisagem distante?
7. Agora um rosto a $1.0\,\mathrm{m}$ : calcule a nova distância lente–sensor e o curso a partir do ajuste da paisagem.
8. O mecanismo permite no máximo $55\,\mathrm{mm}$ de distância lente–sensor. Calcule a distância mínima de focalização.
9. Nessa focalização mais próxima, calcule $\gamma$ . A imagem de um rosto de $20\,\mathrm{cm}$ cabe no sensor?
10. “Macro” em tamanho [real](#def-g11-lenses-and-eye-images) significa $\gamma = -1$ : onde precisam estar o objeto e o sensor, e por que isso exige uma objetiva especial?

**Parte III — A avó.** Com a idade o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) se afasta: o da avó está a $1.0\,\mathrm{m}$.

11. Explique o jornal a distância de braço.
12. Para ler a $25\,\mathrm{cm}$ , os óculos dela precisam transformar uma página a $25\,\mathrm{cm}$ numa [imagem virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images) a $1.0\,\mathrm{m}$ : calcule a [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) necessária.
13. Calcule $\gamma$ . A imagem é quatro vezes maior e, ainda assim, não parece maior: explique, comparando tamanhos *e* distâncias.
14. Mostre que a letra impressa só fica nítida entre $25\,\mathrm{cm}$ e $f' \approx 33\,\mathrm{cm}$ . E um objeto *distante* visto através dos óculos?
15. Deduza em uma frase por que existem [lentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) bifocais.

**Parte IV — O joalheiro e o zoom do próprio olho.** A [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) do joalheiro tem $f' = 5.0\,\mathrm{cm}$; o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) dele está a $25\,\mathrm{cm}$; a [retina](#def-g11-lenses-and-eye-eye) dele fica $17\,\mathrm{mm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) do olho.

16. Uma pedra $4.0\,\mathrm{cm}$ abaixo da [lupa](#def-g11-lenses-and-eye-magnifier) : posição, natureza e [aumento](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) ?
17. Onde a pedra precisa ficar para que a sua imagem caia no [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) dele, e qual é então o $\gamma$ ?
18. Por que os joalheiros experientes preferem colocar a pedra exatamente em $F$ (imagem no infinito)?
19. Agora só o olho: calcule a sua [vergência](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) olhando um objeto distante e depois um objeto a $25\,\mathrm{cm}$ : quantas [dioptrias](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) de [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) ?
20. Converta as duas [vergências](#def-g11-lenses-and-eye-vergence) em [distâncias focais](#def-g11-lenses-and-eye-focal) : de quanto, em milímetros e em porcentagem, o olho muda a sua própria [distância focal](#def-g11-lenses-and-eye-focal) — o zoom que a câmera fez com curso mecânico e que a avó remendou com $+3$ D?

**Solução de Problema 10.1.**

**1.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/60 = 1/30$: $\overline{OA'} = +30\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -0.50$ — [real](#def-g11-lenses-and-eye-images), invertida, com metade do tamanho.

**2.** $\overline{OA'} = +60\,\mathrm{cm}$, $\gamma = -2$: as posições $30\,\mathrm{cm}$ e $60\,\mathrm{cm}$ trocaram de papel e os [aumentos](#def-g11-lenses-and-eye-magnification) são inversos um do outro — a luz invertida percorre o mesmo caminho.

**3.** $1/\overline{OA'} = 1/20 - 1/10 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, $\gamma = +2$ — [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita, duplicada.

**4.** Partindo do infinito, a imagem começa no plano focal; à medida que o objeto se aproxima de $F$, a [imagem real](#def-g11-lenses-and-eye-images) e invertida se afasta rumo ao infinito e cresce; dentro de $f'$ ela se torna [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita e ampliada, à frente da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**5.** $1/\overline{OA} \approx 0$ deixa $1/\overline{OA'} = 1/f'$: $\overline{OA'} = f'$, o plano focal.

**6.** No plano focal, $50\,\mathrm{mm}$ atrás da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens).

**7.** $1/\overline{OA'} = 1/50 - 1/1000 = 19/1000$: $\overline{OA'} \approx 52.6\,\mathrm{mm}$; curso $\approx 2.6\,\mathrm{mm}$.

**8.** $1/\overline{OA} = 1/55 - 1/50 = -1/550$: distância mínima de focalização $550\,\mathrm{mm}$ = $55\,\mathrm{cm}$.

**9.** $\gamma = 55/(-550) = -0.10$: o rosto tem imagem de $20\,\mathrm{mm}$, cabendo com folga no sensor de $24\,\mathrm{mm}$.

**10.** $\gamma = -1$ obriga $\overline{OA'} = -\overline{OA}$, logo $2/\overline{OA'} = 1/f'$: objeto a $100\,\mathrm{mm}$ ($= 2f'$) à frente e sensor a $100\,\mathrm{mm}$ atrás — o dobro do ajuste de paisagem, muito além do mecanismo de $55\,\mathrm{mm}$; as objetivas macro fornecem o curso extra.

**11.** Tudo o que estiver mais perto do que o [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) dela ($1.0\,\mathrm{m}$) fica borrado: os braços esticados aproximam a página de $1.0\,\mathrm{m}$ o máximo possível — nítida, ainda que pequena.

**12.** $C = 1/(-1.0) - 1/(-0.25) = -1.0 + 4.0 = +3.0$ D.

**13.** $\gamma = (-1.0)/(-0.25) = +4.0$: quatro vezes maior, mas quatro vezes mais longe — o mesmo tamanho angular; o ganho não é de tamanho, e sim de *nitidez*, já que a imagem agora está no [ponto próximo](#def-g11-lenses-and-eye-eye) dela.

**14.** Para ficar nítida, a imagem precisa estar além de $1.0\,\mathrm{m}$: da página a $25\,\mathrm{cm}$ (imagem a $1.0\,\mathrm{m}$) até a página a $f' = 1/3.0 \approx 0.33\,\mathrm{m}$ (imagem no infinito). Um objeto distante tem imagem $33\,\mathrm{cm}$ *atrás* dos óculos — uma [imagem real](#def-g11-lenses-and-eye-images) que o olho não consegue usar: o mundo distante fica borrado.

**15.** Daí as [lentes](#def-g11-lenses-and-eye-lens) bifocais: a correção de leitura na metade de baixo da [lente](#def-g11-lenses-and-eye-lens) e nenhuma correção (ou a de longe) na metade de cima.

**16.** $1/\overline{OA'} = 1/5.0 - 1/4.0 = -1/20$: $\overline{OA'} = -20\,\mathrm{cm}$, [virtual](#def-g11-lenses-and-eye-images), direita, $\gamma = +5.0$.

**17.** $1/\overline{OA} = -1/25 - 1/5.0 = -6/25$: $\overline{OA} \approx -4.2\,\mathrm{cm}$; $\gamma = (-25)/(-25/6) = +6.0$.

**18.** Pedra em $F$: imagem no infinito, observada com [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye) nula — horas de exame sem cansaço visual.

**19.** $C_\infty = 1/0.017 \approx 59$ D; $C_{25} = 1/0.017 + 1/0.25 \approx 63$ D: cerca de $4$ D de [acomodação](#def-g11-lenses-and-eye-eye).

**20.** $f' = 1/58.8 \approx 17.0\,\mathrm{mm}$ contra $1/62.8 \approx 15.9\,\mathrm{mm}$: cerca de $1.1\,\mathrm{mm}$, uns $6\%$ — o zoom embutido que a câmera imitou com $2.6\,\mathrm{mm}$ de curso e que a avó remendou com $+3$ D.