---
title: "Circuitos elétricos e potência"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 12
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia
---

# Capítulo 12 — Circuitos elétricos e potência

Acione um interruptor: uma lâmpada acende, porque um gerador a muitos quilômetros dali empurra carga por uma volta de cobre que passa pela sua parede. Os anos anteriores mapearam o circuito — corrente, [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage), [lei de Ohm](#prop-g11-circuits-and-power-ohm). Este capítulo o reabre com o livro-caixa do [Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation): o que o medidor cobra, por que os fios finos esquentam, por que a rede trabalha a $400\,\mathrm{kV}$.

## 12.1 Carga em movimento

**Definição 12.1 (Corrente e o coulomb).**

Uma *corrente elétrica* é um escoamento ordenado de carga (elétrons, num metal). A sua intensidade $I$, em *ampères* ($\mathrm{A}$), é a carga que atravessa uma seção do fio por segundo: uma corrente constante $I$ durante um tempo $t$ transporta a carga

$$
q = I\,t ,
$$

em *coulombs* ($\mathrm{C}$), com $1\,\mathrm{C} = 1\,\mathrm{A}\,\mathrm{s}$. A carga elementar vale $e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. A corrente é medida por um amperímetro, ligado em série.

**Exemplo 12.2 (Raio contra celular).**

Uma descarga de raio carrega uns $3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{A}$ por cerca de $1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$: $q = 3.0\times10^{4} \times 10^{-4} = 3.0\,\mathrm{C}$. O seu celular, a $2.0\,\mathrm{A}$, move a mesma carga a cada $1.5$ segundo.

**Definição 12.3 (Tensão e o volt).**

A *tensão* $U$ entre dois pontos de um circuito, em *volts* ($\mathrm{V}$), é a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) trocada por [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de carga que viaja entre eles: $1\,\mathrm{V} = 1\,\mathrm{J}/\mathrm{C}$, de modo que uma carga $q$ que atravessa um dispositivo sob tensão $U$ troca com ele a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) $E = qU$. Um voltímetro, ligado em paralelo, a mede.

**Proposição 12.4 (Leis dos circuitos).**

Num circuito em regime permanente:

1. *lei dos nós:* as correntes que chegam a um nó somam o mesmo que as correntes que saem dele;
2. *lei das tensões em série:* as tensões ao longo de um caminho se somam: $U_{AC} = U_{AB} + U_{BC}$ ;
3. *lei das tensões em paralelo:* dois ramos que ligam os mesmos dois pontos suportam a mesma [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) .

**Demonstração.** Em regime permanente a carga não se acumula em lugar algum, de modo que o que entra num nó sai dele. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) é aditiva ao longo de um caminho e depende só dos seus extremos — e não do ramo escolhido entre eles. ∎

## 12.2 Lei de Ohm e associações de resistores

**Definição 12.5 (Resistência).**

A *resistência* de um condutor é a razão $R = U/I$ entre a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) nos seus terminais e a corrente que o atravessa, medida em *ohms* ($\Omega$): $1\,\Omega = 1\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$.

**Proposição 12.6 (Lei de Ohm).**

Para um condutor metálico mantido a temperatura fixa, $R$ é constante: [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) e corrente são proporcionais,

$$
U = R\,I .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 12.7.**

Uma lei experimental, e não universal: um diodo, o filamento de uma lâmpada aquecida ou a sua própria pele não a obedecem. Por que os metais a obedecem é deduzido nos volumes de graduação.

**Proposição 12.8 (Resistores em série e em paralelo).**

Dois resistores em série equivalem a um único resistor $R_{\text{s}} = R_1 + R_2$; dois em paralelo, a um único resistor $R_{\text{p}}$ dado por

$$
\frac{1}{R_{\text{p}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} ,
\qquad\text{ou seja,}\quad
R_{\text{p}} = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} < \min(R_1, R_2) .
$$

**Demonstração.** Em série: a mesma corrente $I$ atravessa os dois e as tensões se somam ([Proposição 12.4](#prop-g11-circuits-and-power-laws)), logo $U = (R_1 + R_2)\,I$. Em paralelo: os dois ficam sob a mesma [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U$ e as correntes se somam, logo $I = \frac{U}{R_1} + \frac{U}{R_2}$. ∎

![Série (à esquerda): uma corrente, as tensões se somam. Paralelo (à direita): uma tensão, as correntes se somam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-d1c9f5a77cbc.svg)

![Série (à esquerda): uma corrente, as tensões se somam. Paralelo (à direita): uma tensão, as correntes se somam.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-cbe8d59b292d.svg)

*Série (à esquerda): uma corrente, as tensões se somam. Paralelo (à direita): uma [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage), as correntes se somam.*

**Exemplo 12.9 (Resistência equivalente).**

$R_1 = 100\,\Omega$ e $R_2 = 150\,\Omega$: em série, $250\,\Omega$; em paralelo, $\frac{100 \times 150}{250} =
60\,\Omega$ — menos do que qualquer um dos dois: a corrente ganhou uma segunda estrada.

## 12.3 Energia e potência num circuito

**Proposição 12.10 (Potência elétrica).**

Um dispositivo sob [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $U$ atravessado por uma corrente $I$ recebe [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) à taxa

$$
P = U\,I , \qquad\text{ou seja,}\quad E = U\,I\,t \ \text{num tempo } t .
$$

**Demonstração.** Num tempo $t$ a carga $q = It$ atravessa o dispositivo ([Definição 12.1](#def-g11-circuits-and-power-current)) e cada [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) lhe entrega $U$ [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ([Definição 12.3](#def-g11-circuits-and-power-voltage)): $E = qU = UIt$. ∎

**Proposição 12.11 (Potência num resistor).**

Um resistor $R$ percorrido por uma corrente $I$ dissipa

$$
P = R\,I^2 = \frac{U^2}{R} .
$$

**Demonstração.** Substitua a [lei de Ohm](#prop-g11-circuits-and-power-ohm) em $P = UI$: $P = (RI)I = RI^2 = U(U/R) = U^2/R$. ∎

**Exemplo 12.12 (Ler uma placa de identificação).**

Uma chaleira elétrica com a marcação “$230\,\mathrm{V}$ – $2200\,\mathrm{W}$” puxa $I = P/U = 2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$ e tem [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = U^2/P = 230^2/2200 = 24\,\Omega$. Ligada por $150\,\mathrm{s}$ ela usa $E = 2200 \times 150 = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J} \approx 0.09\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — cerca de dois centavos.

**Observação 12.13 (Joules e quilowatt-horas).**

O medidor conta [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) ([Definição 9.17](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh)): $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. Os [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) são a [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) do físico; os [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) dão preço às contas.

![Potências de eletrodomésticos num eixo logarítmico: tudo o que aquece (em vermelho) vive um fator dez acima de tudo o que calcula ou ilumina (em azul).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-21b8fcbd4dd6.svg)

*[Potências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) de eletrodomésticos num eixo logarítmico: tudo o que aquece (em vermelho) vive um fator dez acima de tudo o que calcula ou ilumina (em azul).*

## 12.4 O efeito Joule: da torradeira à torre de transmissão

**Definição 12.14 (Efeito Joule).**

A dissipação $P = RI^2$ que transforma [energia elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) em calor em todo resistor é o *efeito Joule*. Aquecedores, chaleiras, torradeiras e as lâmpadas de antigamente são resistores por projeto; um *fusível* é um fio fino calibrado para derreter — abrindo o circuito — quando a corrente ultrapassa o valor nominal dele.

**Exemplo 12.15 (Por que as torres trabalham em alta tensão).**

Um povoado precisa de $P = 100\,\mathrm{kW}$ através de uma linha de [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R_\ell = 5.0\,\Omega$. Entregue a $U = 500\,\mathrm{V}$: $I = P/U = 200\,\mathrm{A}$ e a linha desperdiça $R_\ell I^2 = 200\,\mathrm{kW}$ — o dobro da entrega: absurdo. A $U = 20\,\mathrm{kV}$: $I = 5.0\,\mathrm{A}$ e $R_\ell I^2 = 125\,\mathrm{W}$. Quarenta vezes menos corrente, $1600$ vezes menos perda.

![A entrega do : elevar U com P = UI fixo encolhe I, e a perda cai com I2.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-33c41e82dbe2.svg)

*A entrega do [Exemplo 12.15](#ex-g11-circuits-and-power-transmission): elevar $U$ com $P = UI$ fixo encolhe $I$, e a perda cai com $I^2$.*

**Observação 12.16 (A regra de ferro da rede).**

Com a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) entregue $P = UI$ fixa, a perda na linha $R_\ell I^2 = R_\ell P^2/U^2$ cai com o *quadrado* da [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) de transporte. Daí: elevar a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) ($400\,\mathrm{kV}$) para viajar e abaixá-la ($230\,\mathrm{V}$) para conviver com ela.

**Observação 12.17 (Segurança doméstica).**

Uma linha de $230\,\mathrm{V}$ protegida por um [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) de $16\,\mathrm{A}$ fornece no máximo $230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$: duas chaleiras ao mesmo tempo derretem o [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) — que é, por projeto, o elo mais fino e mais fraco, e muito mais barato do que um incêndio dentro da parede.

## 12.5 Baterias reais: força eletromotriz

**Definição 12.18 (Fem e resistência interna).**

Uma bateria converte [energia química](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) em [energia elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms). A sua *força eletromotriz* (fem) $\mathcal{E}$, em [volts](#def-g11-circuits-and-power-voltage), é a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que ela entrega a cada [coulomb](#def-g11-circuits-and-power-current) que a atravessa; a sua *resistência interna* $r$ dá conta do [efeito Joule](#def-g11-circuits-and-power-joule) dentro da sua própria química. Modelo: uma fonte ideal $\mathcal{E}$ em série com $r$ (o $\mathcal{E}$ cursivo: $E$ é [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)).

**Proposição 12.19 (Tensão nos terminais).**

Uma bateria que fornece uma corrente $I$ apresenta nos seus terminais

$$
U = \mathcal{E} - r\,I .
$$

**Demonstração.** A química fornece $\mathcal{E}I$, a [resistência interna](#def-g11-circuits-and-power-emf) come $rI^2$ e o circuito recebe $UI$: a [conservação da energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#thm-g10-energy-conservation-conservation) ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation)) dá $UI = \mathcal{E}I - rI^2$. ∎

**Exemplo 12.20 (Uma bateria sob carga).**

Uma bateria ($\mathcal{E} = 9.0\,\mathrm{V}$, $r = 1.0\,\Omega$) alimenta uma lâmpada de [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $R = 8.0\,\Omega$. A malha obedece a $\mathcal{E} = rI + RI$, logo $I = \mathcal{E}/(R + r) = 1.0\,\mathrm{A}$ e $U = 9.0 - 1.0 \times 1.0 = 8.0\,\mathrm{V}$: a lâmpada recebe $8.0\,\mathrm{W}$ enquanto a bateria desperdiça $1.0\,\mathrm{W}$ se aquecendo.

![Característica de descarga da bateria do : os pontos medidos ficam sobre a reta U = E - rI, de coeficiente angular -r = -1.0\, V/ A.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-circuits-and-power/fig-a3652edc23b3.svg)

*Característica de descarga da bateria do [Exemplo 12.20](#ex-g11-circuits-and-power-discharge): os pontos medidos ficam sobre a reta $U = \mathcal{E} - rI$, de coeficiente angular $-r = -1.0\,\mathrm{V}/\mathrm{A}$.*

**Observação 12.21 (Receptores).**

Um motor ou uma bateria em carga fazem a conversão ao contrário: eles absorvem sob $U = \mathcal{E}' + r'I$, convertendo $\mathcal{E}'I$ em movimento ou em química e perdendo $r'I^2$. As fontes empurram; os receptores empurram de volta.

**Exemplo 12.22 (Rendimento de uma bateria).**

O [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) ([Definição 9.12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency)) da descarga acima: útil $UI = 8.0\,\mathrm{W}$ de $\mathcal{E}I = 9.0\,\mathrm{W}$, logo $\eta = U/\mathcal{E} = 8/9 \approx 0.89$ — e ele cai à medida que a corrente sobe: bateria que trabalha muito esquenta.

## 12.6 Exercícios

**Exercício 12.1 ★.**

A bateria de um celular carrega com uma corrente constante de $2.0\,\mathrm{A}$ por $90\,\mathrm{min}$. Que carga passa pelo cabo, em [coulombs](#def-g11-circuits-and-power-current)? Quantas cargas elementares isso representa ($e = 1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$)?

**Solução de Exercício 12.1.**

$q = It = 2.0 \times 90 \times 60 = 1.1 \times 10^{4}\,\mathrm{C}$. Número de cargas elementares: $q/e = 1.08\times10^{4}/1.6\times10^{-19} \approx 6.8 \times 10^{22}$.

**Exercício 12.2 ★.**

Um resistor de $220\,\Omega$ sob $12\,\mathrm{V}$: que corrente circula? Uma [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) de aquecimento puxa $0.50\,\mathrm{A}$ sob $230\,\mathrm{V}$: qual é a sua [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance)?

**Solução de Exercício 12.2.**

$I = U/R = 12/220 = 0.055\,\mathrm{A} = 55\,\mathrm{mA}$; $R = U/I = 230/0.50 = 460\,\Omega$.

**Exercício 12.3 ★.**

Calcule a [resistência equivalente](#prop-g11-circuits-and-power-networks) de $R_1 = 120\,\Omega$ e $R_2 = 60\,\Omega$ em série e depois em paralelo. Qual delas é menor do que as duas, e por quê?

**Solução de Exercício 12.3.**

Série: $120 + 60 = 180\,\Omega$. Paralelo: $\frac{120 \times 60}{180} = 40\,\Omega$ — menor do que as duas: mesma [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage), mas a corrente ganha um segundo caminho, de modo que a corrente total é maior e a [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance), menor.

**Exercício 12.4 ★.**

Um ferro de passar de viagem puxa $8.7\,\mathrm{A}$ sob $230\,\mathrm{V}$. Calcule a sua [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) e, em seguida, a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que ele usa em $4.0\,\mathrm{min}$, em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e em [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh).

**Solução de Exercício 12.4.**

$P = UI = 230 \times 8.7 = 2.0\,\mathrm{kW}$. Em $t = 240\,\mathrm{s}$: $E = Pt = 2000 \times 240 = 4.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 4.8\times10^{5}/3.6
\times10^{6} \approx 0.13\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

**Exercício 12.5 ★.**

O carregador de um notebook entrega $60\,\mathrm{W}$ durante $5.0\,\mathrm{h}$ por dia: qual é a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) diária em [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) e em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), e o custo a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$?

**Solução de Exercício 12.5.**

$E = 60 \times 5.0 = 300\,\mathrm{W}\,\mathrm{h} = 0.30\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 0.30 \times
3.6\times10^{6} = 1.1 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$. Custo: $0.30 \times 0.25 = 0.075$ euros por dia.

**Exercício 12.6 ★★.**

Um aquecedor elétrico tem valores nominais de $1200\,\mathrm{W}$ sob $230\,\mathrm{V}$.

1. Calcule a sua [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) e a corrente que ele puxa.
2. Ligado (com a mesma [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) ) a uma rede de $115\,\mathrm{V}$ , que [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) ele entrega? Por que não a metade?

**Solução de Exercício 12.6.**

*1.* $R = U^2/P = 230^2/1200 = 44\,\Omega$; $I = P/U = 1200/230 = 5.2\,\mathrm{A}$.

*2.* $P' = U'^2/R = 115^2/44.1 = 300\,\mathrm{W}$: um quarto, e não a metade, porque reduzir $U$ à metade também reduz $I$ à metade, e $P = UI \propto U^2$.

**Exercício 12.7 ★★.**

$R_1 = 40\,\Omega$ e $R_2 = 20\,\Omega$ em série sob $12\,\mathrm{V}$. Calcule a corrente, a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) em cada resistor e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) dissipada em cada um; confira que as [potências](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) somam $UI$.

**Solução de Exercício 12.7.**

$R_{\text{s}} = 60\,\Omega$, logo $I = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$. $U_1 = R_1 I = 8.0\,\mathrm{V}$, $U_2 = 4.0\,\mathrm{V}$ (soma $12\,\mathrm{V}$); $P_1 = U_1 I = 1.6\,\mathrm{W}$, $P_2 = 0.8\,\mathrm{W}$: total $2.4\,\mathrm{W}$ $= UI = 12 \times 0.20$, como tinha de ser.

**Exercício 12.8 ★★.**

$R_1 = 60\,\Omega$ e $R_2 = 30\,\Omega$ em paralelo sob $12\,\mathrm{V}$. Calcule a corrente de cada ramo, a corrente total e a [resistência equivalente](#prop-g11-circuits-and-power-networks) de dois modos.

**Solução de Exercício 12.8.**

$I_1 = 12/60 = 0.20\,\mathrm{A}$, $I_2 = 12/30 = 0.40\,\mathrm{A}$, total $I = 0.60\,\mathrm{A}$. Equivalente: $R = U/I = 12/0.60 = 20\,\Omega$, e de fato $\frac{60 \times 30}{60 + 30} = 20\,\Omega$.

**Exercício 12.9 ★★.**

Uma bateria fornece $U = 5.5\,\mathrm{V}$ com $I = 0.50\,\mathrm{A}$ e $U = 4.0\,\mathrm{V}$ com $I = 2.0\,\mathrm{A}$. Encontre a sua fem $\mathcal{E}$ e a sua [resistência interna](#def-g11-circuits-and-power-emf) $r$, e depois a corrente de curto-circuito $\mathcal{E}/r$.

**Solução de Exercício 12.9.**

$\mathcal{E} - 0.50\,r = 5.5$ e $\mathcal{E} - 2.0\,r = 4.0$; subtraindo, $1.5\,r = 1.5$, logo $r = 1.0\,\Omega$ e $\mathcal{E} = 6.0\,\mathrm{V}$. Curto-circuito: $\mathcal{E}/r = 6.0\,\mathrm{A}$.

**Exercício 12.10 ★★.**

Uma linha de cozinha de $230\,\mathrm{V}$ é protegida por um [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) de $16\,\mathrm{A}$. Uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ e uma torradeira de $1.0\,\mathrm{kW}$ funcionam juntas: o [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) aguenta? Alguém acrescenta um aquecedor de $1.5\,\mathrm{kW}$: mostre que ele queima.

**Solução de Exercício 12.10.**

Chaleira $2200/230 = 9.6\,\mathrm{A}$, torradeira $1000/230 = 4.3\,\mathrm{A}$: total $13.9\,\mathrm{A}$ $< 16\,\mathrm{A}$, o [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) aguenta. Aquecedor $1500/230 = 6.5\,\mathrm{A}$: total $20.4\,\mathrm{A}$ $> 16\,\mathrm{A}$, ele queima (o que dá no mesmo: $4.7\,\mathrm{kW} > 230 \times 16 \approx 3.7\,\mathrm{kW}$).

**Exercício 12.11 ★★.**

Uma oficina precisa de $10\,\mathrm{kW}$ através de um cabo de alimentação de [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$. Calcule a corrente e a perda por [efeito Joule](#def-g11-circuits-and-power-joule) se a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) for entregue a $200\,\mathrm{V}$ e depois a $4.0\,\mathrm{kV}$. Compare as duas perdas e explique a razão entre elas.

**Solução de Exercício 12.11.**

A $200\,\mathrm{V}$: $I = 10^4/200 = 50\,\mathrm{A}$, perda $RI^2 = 2.0 \times 50^2 = 5.0\,\mathrm{kW}$ — metade da entrega. A $4.0\,\mathrm{kV}$: $I = 2.5\,\mathrm{A}$, perda $2.0 \times 2.5^2 = 12.5\,\mathrm{W}$. Razão $400 = 20^2$: vinte vezes a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) significa vinte vezes menos corrente, e a perda vai com $I^2$.

**Exercício 12.12 ★★★.**

Usando os três, e sempre os três, resistores idênticos de $60\,\Omega$, liste todas as [resistências equivalentes](#prop-g11-circuits-and-power-networks) distintas (série, paralelo, mistas); calcule cada uma.

**Solução de Exercício 12.12.**

Quatro arranjos: os três em série, $3 \times 60 = 180\,\Omega$; os três em paralelo, $60/3 = 20\,\Omega$; um em série com dois em paralelo, $60 + 30 = 90\,\Omega$; um em paralelo com dois em série, $\frac{60 \times 120}{180} = 40\,\Omega$.

**Exercício 12.13 ★★★.**

Uma bateria ($\mathcal{E} = 4.5\,\mathrm{V}$, $r = 1.5\,\Omega$) alimenta um resistor $R = 6.0\,\Omega$.

1. Calcule $I$ , $U$ , a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) útil em $R$ , a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) perdida em $r$ e o [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) .
2. Mostre que a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) recebida por um $R$ variável, $P = \mathcal{E}^2 R/(R+r)^2$ , é máxima quando $R = r$ (dica: $(R+r)^2/R = (R-r)^2/R + 4r$ ), e calcule esse máximo.

**Solução de Exercício 12.13.**

*1.* $I = \mathcal{E}/(R + r) = 4.5/7.5 = 0.60\,\mathrm{A}$; $U = RI = 3.6\,\mathrm{V}$; [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) útil $P = UI = 2.2\,\mathrm{W}$; perdida $rI^2 = 1.5 \times 0.60^2 = 0.54\,\mathrm{W}$; $\eta = U/\mathcal{E} = 3.6/4.5 = 0.80$.

*2.* Pela dica, $P = \mathcal{E}^2 \big/ \big[(R - r)^2/R + 4r\big]$; o colchete é mínimo ($= 4r$) exatamente quando $R = r$, logo $P_{\max} = \mathcal{E}^2/(4r) = 4.5^2/6.0 = 3.4\,\mathrm{W}$.

**Exercício 12.14 ★★★.**

Uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ e [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0.90$ leva $1.0\,\mathrm{kg}$ de água de $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ até a fervura (aquecer água custa $4180\,\mathrm{J}$ por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e por grau). Calcule o calor necessário, a [energia elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) consumida, o tempo de aquecimento e o custo a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

**Solução de Exercício 12.14.**

Calor: $Q = 1.0 \times 4180 \times (100 - 20) = 3.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Elétrica: $E = Q/0.90 = 3.7 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Tempo: $t = E/P = 3.7\times10^{5}/2200 \approx 170\,\mathrm{s}$, menos de três minutos. Custo: $3.7\times10^{5}/3.6\times10^{6} \approx 0.10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$, cerca de $2.6$ centavos.

**Exercício 12.15 ★★★.**

Uma bateria de carro: $\mathcal{E} = 12.7\,\mathrm{V}$, $r = 0.020\,\Omega$, capacidade $60\,\mathrm{A}\,\mathrm{h}$.

1. Converta a capacidade em [coulombs](#def-g11-circuits-and-power-current) e estime a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada ( $E \approx \mathcal{E} q$ ) em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e em [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) .
2. O motor de arranque puxa $150\,\mathrm{A}$ : calcule a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) nos terminais, a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) entregue e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) perdida por dentro.
3. Explique por que os faróis enfraquecem enquanto o motor dá a partida.

**Solução de Exercício 12.15.**

*1.* $q = 60 \times 3600 = 2.2 \times 10^{5}\,\mathrm{C}$; $E \approx \mathcal{E}q = 12.7 \times 2.16\times10^{5} = 2.7 \times 10^{6}\,\mathrm{J}
\approx 0.76\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$.

*2.* $U = 12.7 - 0.020 \times 150 = 9.7\,\mathrm{V}$; entregue $UI = 1.5\,\mathrm{kW}$; perdida $rI^2 = 0.020 \times 150^2 =
450\,\mathrm{W}$.

*3.* Os faróis estão ligados aos terminais: durante a partida a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) nos terminais cai de $12.7$ para $9.7\,\mathrm{V}$, de modo que eles recebem menos [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) e enfraquecem.

## 12.7 Problema: da barragem à torradeira

**Problema 12.1.**

Problema de fim de semana — a viagem de mil quilômetros de um quilowatt-hora, da água que cai ao pão que doura, com a conta completa do trajeto

Uma barragem de montanha guarda água $200\,\mathrm{m}$ acima das suas turbinas, que engolem $50\,\mathrm{m}^{3}$ — $5.0 \times 10^{4}\,\mathrm{kg}$ — por segundo; turbina e alternador convertem com [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0.90$. Através de uma linha de [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) total $R_\ell = 32\,\Omega$ ($1000\,\mathrm{km}$ de ida e volta), a usina alimenta uma cidade onde a sua torradeira de $900\,\mathrm{W}$ espera sob $230\,\mathrm{V}$. O alternador entrega $20\,\mathrm{kV}$; transformadores ([rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) $0.99$ cada) convertem tensões à vontade. A eletricidade é vendida a $0.25$ euros por $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$; $g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$.

**Parte I — Na barragem.**

1. Quanta [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial a água em queda libera a cada segundo? Deduza a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) disponível para as turbinas.
2. Que [potência elétrica](#prop-g11-circuits-and-power-power) sai do alternador?
3. A $20\,\mathrm{kV}$ , direto do alternador, que corrente circula?
4. Calcule a perda por [efeito Joule](#def-g11-circuits-and-power-joule) $R_\ell I^2$ com essa corrente e compare-a com a saída da usina. Conclua.
5. A [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) da cidade $P = UI$ é fixada pela demanda. Qual é o único modo de encolher $I$ , e que dispositivo faz isso?

**Parte II — Na linha.**

6. Um transformador, tratado como sem perdas nesta questão, eleva os $88\,\mathrm{MW}$ a $400\,\mathrm{kV}$ : que corrente circula agora?
7. Calcule a nova perda na linha, em megawatts.
8. Que fração da saída da usina se perde na linha?
9. Mostre que a fração perdida vale $R_\ell P/U^2$ e verifique que isso explica o fator entre as questões 4 e 7.
10. Calcule a queda de [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) $R_\ell I$ ao longo da linha a $400\,\mathrm{kV}$ . Isso é coerente com a questão 8?

**Parte III — Na cozinha.**

11. Converta $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ; o que o medidor multiplica?
12. Calcule a corrente e a [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) da torradeira sob $230\,\mathrm{V}$ .
13. Três minutos de torrada: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e em [quilowatt-horas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) , e o preço dela.
14. A torradeira dissipa $RI^2$ : explique em uma frase por que a mesma fórmula é a perda na linha e o produto na cozinha.
15. A torradeira divide um [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) de $16\,\mathrm{A}$ com uma chaleira de $2.2\,\mathrm{kW}$ : o [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) aguenta? Um aquecedor de $2.0\,\mathrm{kW}$ se junta: e agora?

**Parte IV — A auditoria.**

16. A fiação da própria casa, de [resistência](#def-g11-circuits-and-power-resistance) $0.05\,\Omega$ , conduz os $13.5\,\mathrm{A}$ da questão 15: calcule a perda e a fração dela nos cerca de $3.1\,\mathrm{kW}$ entregues.
17. Encadeie os [rendimentos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) (turbina–alternador, elevação, linha, abaixamento, fiação da casa) num único [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) global da rede.
18. Quantos [quilogramas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) (e quantos [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cúbicos) de água da barragem precisam cair para que *um* [quilowatt-hora](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) chegue à sua torradeira?
19. Avalie a fração perdida $R_\ell P/U^2$ da questão 9 em $U = 20\,\mathrm{kV}$ . O que significa um valor acima de $1$ ?
20. O desfecho — *o preço da distância* : em duas frases, quanto um [quilowatt-hora](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) de torrada custa à montanha, que fração morre no caminho e qual é o único truque que torna tudo possível.

**Solução de Problema 12.1.**

**1.** A cada segundo, $E_p = mgh = 5.0\times10^{4} \times 9.81 \times 200 = 9.8 \times 10^{7}\,\mathrm{J}$: [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) disponível de $98\,\mathrm{MW}$.

**2.** $0.90 \times 98 = 88\,\mathrm{MW}$.

**3.** $I = P/U = 8.8\times10^{7}/2.0\times10^{4} =
4.4 \times 10^{3}\,\mathrm{A}$.

**4.** $R_\ell I^2 = 32 \times (4.4\times10^{3})^2 \approx
6.2 \times 10^{8}\,\mathrm{W} = 620\,\mathrm{MW}$ — sete vezes a saída da usina: transmitir a $20\,\mathrm{kV}$ é impossível.

**5.** Com $P = UI$ fixo, só elevar $U$ encolhe $I$: um transformador.

**6.** $I = 8.8\times10^{7}/4.0\times10^{5} = 220\,\mathrm{A}$.

**7.** $R_\ell I^2 = 32 \times 220^2 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$.

**8.** $1.6/88 \approx 0.018$: cerca de $1.8\%$.

**9.** Fração $= R_\ell I^2/P = R_\ell (P/U)^2/P = R_\ell P/U^2
\propto 1/U^2$: de $20\,\mathrm{kV}$ para $400\,\mathrm{kV}$ ela cai por $20^2 = 400$, e de fato $620\,\mathrm{MW}/400 \approx 1.6\,\mathrm{MW}$.

**10.** $R_\ell I = 32 \times 220 \approx 7.1\,\mathrm{kV}$: $1.8\%$ de $400\,\mathrm{kV}$, a mesma fração da questão 8, já que $R_\ell I/U = R_\ell I^2/UI$.

**11.** $1\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h} = 3.6 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$: o medidor multiplica a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) consumida pelo tempo de consumo, e soma tudo.

**12.** $I = 900/230 = 3.9\,\mathrm{A}$; $R = U^2/P = 230^2/900 \approx 59\,\Omega$.

**13.** $E = 900 \times 180 = 1.6 \times 10^{5}\,\mathrm{J} = 0.045\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$: cerca de $1.1$ centavo.

**14.** A física de $RI^2$ é idêntica; só o propósito muda — na linha o calor é indesejado; na torradeira, o calor *é* o produto.

**15.** $3.9 + 9.6 = 13.5\,\mathrm{A} < 16\,\mathrm{A}$: aguenta. Aquecedor $2000/230 = 8.7\,\mathrm{A}$: total $22.2\,\mathrm{A} > 16\,\mathrm{A}$, o [fusível](#def-g11-circuits-and-power-joule) queima.

**16.** $0.05 \times 13.5^2 = 9.1\,\mathrm{W}$: $9.1/3100 \approx 0.3\%$ da [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) entregue — desprezível em fios curtos.

**17.** $\eta = 0.90 \times 0.99 \times 0.982 \times 0.99 \times
0.997 \approx 0.86$.

**18.** Um [quilowatt-hora](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) de torrada exige $3.6\times10^{6}/0.86 \approx 4.2 \times 10^{6}\,\mathrm{J}$ lá em cima: $m = E/(gh) = 4.2\times10^{6}/(9.81 \times 200) \approx 2.1 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$, cerca de $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ de água.

**19.** $R_\ell P/U^2 = 32 \times 8.8\times10^{7}/(2.0\times
10^{4})^2 \approx 7$. Uma “fração” acima de $1$ significa que a linha dissiparia mais do que transporta: a entrega simplesmente não pode acontecer nessa [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage).

**20.** Um [quilowatt-hora](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-kwh) de torrada custa à montanha cerca de duas toneladas — $2.1\,\mathrm{m}^{3}$ — de água caindo $200\,\mathrm{m}$, e uns $14\%$ da [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) morrem no caminho, sobretudo nas turbinas e nos transformadores (menos de $2\%$ nos $1000\,\mathrm{km}$ de linha). O único truque que torna a viagem possível é o transformador: elevar a [tensão](#def-g11-circuits-and-power-voltage) a $400\,\mathrm{kV}$ divide a corrente por $20$ e a perda por [efeito Joule](#def-g11-circuits-and-power-joule) por $400$.