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title: "Campos elétrico e gravitacional"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 14
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional
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# Capítulo 14 — Campos elétrico e gravitacional

Como a Terra puxa uma maçã em que nunca toca? O próprio Newton chamou a ação a distância de “um absurdo tão grande” que se recusou a defendê-la. A resposta moderna: uma massa, ou uma carga, modifica o espaço à sua volta — ela cria um *[campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field)* — e o que quer que seja colocado ali responde ao [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) na sua própria posição. Construímos os dois grandes exemplos lado a lado, até a analogia virar uma identidade de forma.

## 14.1 Da ação a distância ao campo

**Definição 14.1 (Campo).**

Um *campo* atribui um vetor a cada ponto do espaço. Uma fonte (uma carga, uma massa) cria o seu campo em toda a sua volta, haja ou não alguma coisa ali para senti-lo; um objeto de prova sente então uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) determinada apenas pelo campo *na sua própria posição*. Essa imagem em duas etapas substitui a ação a distância.

**Observação 14.2.**

O [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) não é um truque de contabilidade: ele carrega [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy), e as mudanças na fonte se propagam para fora através dele com velocidade finita — a própria luz é um [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) assim, em propagação ([Capítulo 22](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/22-a-luz-como-onda-difracao-e-interferencia#ch-g12-light-as-wave)). Aqui estudamos [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que não variam com o tempo.

## 14.2 O campo elétrico

**Definição 14.3 (Campo elétrico).**

Se uma pequena carga de prova $q$ colocada num ponto $M$ sente uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica $\vect F$, o *campo elétrico* em $M$ é

$$
\vect E = \frac{\vect F}{q}
\qquad \text{(em $\mathrm{N}/\mathrm{C}$, também escrito $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

$\vect E$ depende só das fontes e de $M$, e não da carga de prova: dobrar $q$ dobra $\vect F$ e deixa o quociente inalterado.

**Proposição 14.4 (Força sobre uma carga).**

Uma carga $q$ colocada onde o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) vale $\vect E$ sente a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\vect F = q \vect E$: no sentido de $\vect E$ se $q > 0$, no sentido oposto se $q < 0$, de módulo $F = \abs{q}\,E$.

**Demonstração.** Basta reorganizar a definição; a regra dos sinais é a álgebra de um múltiplo negativo. ∎

**Exemplo 14.5 (Ler um campo).**

Uma carga de prova $q = 2.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ em $M$ sente uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de $6.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ apontando para leste. O [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) em $M$ vale $E = 6.0 \times 10^{-4} / 2.0 \times 10^{-8} = 3.0 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, apontando para leste; uma carga $q' = -1.0 \times 10^{-8}\,\mathrm{C}$ colocada no mesmo ponto sente $F = 1.0 \times 10^{-8} \times 3.0 \times 10^{4} = 3.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{N}$ — apontando para oeste.

**Proposição 14.6 (Campo de uma carga pontual).**

Uma carga pontual $Q$ cria, à distância $d$, um [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) ao longo da reta que une a carga ao ponto — afastando-se de $Q$ se $Q > 0$, aproximando-se dela se $Q < 0$ — de módulo

$$
E = k\,\frac{\abs{Q}}{d^2},
\qquad k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}.
$$

**Demonstração.** A lei de Coulomb ([Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#ch-g11-fundamental-interactions)) dá a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre uma carga de prova $q$ à distância $d$: módulo $k \abs{qQ} / d^2$, ao longo da reta que as une, repulsiva para sinais iguais. Divida por $q$ e aplique a [Proposição 14.4](#prop-g11-electric-gravitational-fields-force). ∎

**Exemplo 14.7 (Uma esfera carregada).**

A esfera de um gerador de Van de Graaff carrega $Q = 5.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$ (uma pequena esfera carregada age como uma carga pontual no seu centro). A $d = 0.50\,\mathrm{m}$:

$$
E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-7} / 0.50^2 \approx 1.8 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C},
$$

apontando radialmente para longe da esfera. A $1.0\,\mathrm{m}$ ele caiu para um quarto disso: o $1/d^2$ da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobrevive no [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Definição 14.8 (Linhas de campo).**

Uma *linha de campo* é uma curva tangente ao [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) em todos os seus pontos, com uma flecha dando o sentido do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field). Três regras:

- elas saem das cargas positivas e chegam às cargas negativas;
- onde as linhas se apertam o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é forte; onde se espalham, é fraco;
- duas linhas nunca se cruzam: o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tem um único sentido em cada ponto.

![Linhas de campo de uma carga pontual: radialmente para fora do + e para dentro do -; o aperto perto da carga retrata o crescimento em 1/d2 do campo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-fb95c245904e.svg)

![Linhas de campo de uma carga pontual: radialmente para fora do + e para dentro do -; o aperto perto da carga retrata o crescimento em 1/d2 do campo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-2f2b1844cddd.svg)

*[Linhas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) de uma carga pontual: radialmente para fora do $+$ e para dentro do $-$; o aperto perto da carga retrata o crescimento em $1/d^2$ do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field).*

## 14.3 O campo uniforme de um capacitor

**Definição 14.9 (Capacitor de placas paralelas).**

Duas placas metálicas paralelas, frente a frente, próximas uma da outra e com cargas opostas, formam um *capacitor*. Entre as placas o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é *uniforme*: mesmo módulo e mesmo sentido em toda parte — perpendicular às placas, da placa positiva para a negativa.

**Proposição 14.10 (Campo entre as placas).**

Se a tensão entre as placas ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power)) vale $U$ e a separação delas é $d$, o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre elas tem módulo

$$
E = \frac{U}{d} \qquad \text{(em $\mathrm{V}/\mathrm{m}$)}.
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 14.11.**

A uniformidade e $E = U/d$ são deduzidas com honestidade no volume do primeiro ano de graduação; a fórmula explica a [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) $\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Intervalos finos dão [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) fortes: $100\,\mathrm{V}$ através de um milímetro já são $10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$.

**Exemplo 14.12 (Desviar um feixe de elétrons).**

Num [osciloscópio](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope), o feixe passa entre placas com $U = 100\,\mathrm{V}$ e $d = 5.0\,\mathrm{mm}$: $E = 100 / 5.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$, e cada elétron sente $F = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{4} = 3.2 \times 10^{-15}\,\mathrm{N}$ em direção à placa positiva — $4 \times 10^{14}$ vezes o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $8.9 \times 10^{-30}\,\mathrm{N}$, de modo que o feixe se desvia visivelmente (a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) curva é assunto do [Capítulo 25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws)).

![O campo uniforme de um capacitor: linhas paralelas e igualmente espaçadas, da placa + para a placa -, com E = U/d; uma carga positiva é empurrada no sentido do campo, e uma negativa, contra ele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-aac0076074e6.svg)

*O [campo uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) de um [capacitor](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor): linhas paralelas e igualmente espaçadas, da placa $+$ para a placa $-$, com $E = U/d$; uma carga positiva é empurrada no sentido do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field), e uma negativa, contra ele.*

## 14.4 O campo gravitacional

**Definição 14.13 (Campo gravitacional).**

Se uma massa de prova $m$ colocada num ponto sente uma [força gravitacional](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-force) (um [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight)) $\vect P$, o *campo gravitacional* ali é

$$
\vect g = \frac{\vect P}{m} \qquad \text{(em $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$)},
$$

e, reciprocamente, $\vect P = m \vect g$. Um capítulo anterior introduziu o número $g$; $\vect g$ acrescenta a direção em que uma pedra solta começa a se mover.

**Proposição 14.14 (Campo da Terra).**

À distância $d$ do centro da Terra (de massa $M$), o [campo gravitacional](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) aponta para o centro e tem módulo

$$
g = G\,\frac{M}{d^2},
\qquad G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}.
$$

**Demonstração.** A [gravitação](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-four) universal ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)) dá a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre uma massa de prova $m$: módulo $G M m / d^2$, em direção ao centro; divida por $m$. Na superfície, $d = R$ e isso é o $g = GM/R^2 \approx 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ do capítulo anterior. ∎

**Exemplo 14.15 (O campo onde a Lua vive).**

À distância da Lua, $d = 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$:

$$
g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (3.84 \times 10^{8})^2
\approx 2.7 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

O [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra nunca acaba — ele apenas rarefaz como $1/d^2$; é esse [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que mantém a Lua na sua [órbita](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Observação 14.16 (Uniforme perto da superfície).**

Ao longo de um laboratório, ou mesmo de uma montanha, $d$ quase não muda em comparação com $R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, de modo que $\vect g$ é [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) com grande precisão: linhas verticais, $9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ constantes — o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra parece o do [capacitor](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), assim como a Terra redonda parece plana vista de um jardim.

![O campo gravitacional da Terra: radial, apontando para o centro, de módulo GM/d2 — o retrato exato do campo de uma carga pontual negativa.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-electric-gravitational-fields/fig-52980c1c6d91.svg)

*O [campo gravitacional](#def-g11-electric-gravitational-fields-gfield) da Terra: radial, apontando para o centro, de módulo $GM/d^2$ — o retrato exato do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de uma carga pontual negativa.*

## 14.5 Uma ideia, duas forças

Os dois [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) deste capítulo são a mesma matemática em dois trajes:

|  | **elétrico** | **gravitacional** |
| --- | --- | --- |
| fonte | carga $Q$ | massa $M$ |
| [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) | $\vect E = \vect F / q$ | $\vect g = \vect P / m$ |
| [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) | $\mathrm{N}/\mathrm{C}$ = $\mathrm{V}/\mathrm{m}$ | $\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ |
| fonte pontual | $E = k \abs{Q} / d^2$ | $g = G M / d^2$ |
| constante | $k = 8.99 \times 10^{9}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{C}^{2}$ | $G = 6.67 \times 10^{-11}\,\mathrm{N}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{kg}^{2}$ |
| [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a prova | $\vect F = q \vect E$ | $\vect P = m \vect g$ |
| [linhas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) | saem do $+$, entram no $-$ | sempre entram na massa |

Toda fórmula da esquerda vira a da direita sob o dicionário $q \leftrightarrow m$, $\vect E \leftrightarrow \vect g$, $k \leftrightarrow G$.

**Observação 14.17 (Onde a analogia se rompe).**

A carga vem em dois sinais; a massa, em um só. Por isso os [campos elétricos](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) podem ser cancelados: as cargas rearranjadas de uma caixa metálica apagam qualquer [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) externo dentro dela (uma *gaiola de Faraday* — é por isso que um elevador mata o [sinal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) do seu celular), e a matéria em bloco, com $+$ e $-$ equilibrados, é eletricamente silenciosa. A gravidade não pode ser blindada nem neutralizada: cada [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) acrescenta o seu puxão — e é por isso que a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) mais fraca por $10^{39}$ ([Exercício 14.10](#exo-g11-electric-gravitational-fields-10)) comanda o universo em grande escala.

## 14.6 Exercícios

**Exercício 14.1 ★.**

Uma carga de prova $q = 2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ num ponto $M$ sente uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de $5.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$ apontando para o norte. Dê o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) em $M$ (módulo e direção) e depois a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre $q' = -4.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ colocada em $M$.

**Solução de Exercício 14.1.**

$E = 5.0 \times 10^{-3} / 2.0 \times 10^{-6} = 2.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, apontando para o norte. Sobre $q'$: $F = 4.0 \times 10^{-6} \times 2.5 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{-2}\,\mathrm{N}$, apontando para o *sul* ($q' < 0$).

**Exercício 14.2 ★.**

Uma carga pontual $Q = 5.0\,\mathrm{nC}$ está em $O$.

1. Calcule o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a $d = 30\,\mathrm{cm}$ : módulo e direção.
2. A que distância o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tem metade dessa intensidade?

**Solução de Exercício 14.2.**

*1.* $E = 8.99 \times 10^{9} \times 5.0 \times 10^{-9} / 0.30^2
\approx 5.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, apontando para longe de $O$ ($Q > 0$).

*2.* Reduzir $k\abs{Q}/d^2$ à metade exige $d^2$ dobrado: $d' = 0.30\sqrt{2} \approx 0.42\,\mathrm{m}$.

**Exercício 14.3 ★.**

Um [capacitor](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) tem $U = 600\,\mathrm{V}$ entre placas separadas por $3.0\,\mathrm{mm}$. Calcule o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) e depois a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre um elétron ali ($e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$).

**Solução de Exercício 14.3.**

$E = 600 / 3.0 \times 10^{-3} = 2.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; $F = eE = 1.60 \times 10^{-19} \times 2.0 \times 10^{5} = 3.2 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$.

**Exercício 14.4 ★.**

Em Marte, uma sonda de $250\,\mathrm{kg}$ pesa $930\,\mathrm{N}$. Calcule o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) na superfície marciana $g_{\text{Marte}}$ e depois o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de um astronauta de $80\,\mathrm{kg}$ lá.

**Solução de Exercício 14.4.**

$g_{\text{Marte}} = P/m = 930/250 = 3.7\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$. Astronauta: $P = 80 \times 3.72 \approx 3.0 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$ (cerca de $780\,\mathrm{N}$ na Terra).

**Exercício 14.5 ★.**

Verdadeiro ou falso, com uma razão para cada: (a) duas [linhas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) podem se cruzar onde o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é forte; (b) as [linhas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) saem das cargas negativas e chegam às positivas; (c) [linhas de campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) agrupadas indicam [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) forte.

**Solução de Exercício 14.5.**

(a) Falso: o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tem um único sentido em cada ponto, de modo que as linhas nunca se cruzam. (b) Falso: elas saem do $+$ e chegam ao $-$. (c) Verdadeiro: o aperto codifica a intensidade.

**Exercício 14.6 ★★.**

A Estação Espacial Internacional orbita a uma altitude de $420\,\mathrm{km}$ ($R = 6.37 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, $M = 5.97 \times 10^{24}\,\mathrm{kg}$).

1. Calcule $g$ na estação; que fração do valor na superfície?
2. Os astronautas flutuam. Concilie isso com a sua resposta em uma frase.

**Solução de Exercício 14.6.**

*1.* $d = 6.37 \times 10^{6} + 4.2 \times 10^{5} = 6.79 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$, logo $g = 6.67 \times 10^{-11} \times 5.97 \times 10^{24} / (6.79 \times 10^{6})^2
\approx 8.6\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$ — $88\%$ do valor na superfície.

*2.* Eles flutuam porque estação e astronauta caem juntos (queda livre), e não porque a gravidade esteja ausente.

**Exercício 14.7 ★★.**

Que módulo de [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) equilibraria o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de um elétron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$)? Compare com os $2.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$ do [Exemplo 14.12](#ex-g11-electric-gravitational-fields-beam); conclua sobre o lugar da gravidade na física do elétron.

**Solução de Exercício 14.7.**

$E = m_e g / e = 9.11 \times 10^{-31} \times 9.81 / 1.60 \times 10^{-19}
\approx 5.6 \times 10^{-11}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$: uns $4 \times 10^{14}$ vezes mais fraco do que o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) do [osciloscópio](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-oscilloscope). A gravidade é absolutamente desprezível na física do elétron.

**Exercício 14.8 ★★.**

Um grão de poeira de massa $2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{kg}$ flutua em repouso entre placas horizontais separadas por $2.0\,\mathrm{cm}$ com $U = 5.0\,\mathrm{kV}$ entre elas.

1. Calcule o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) e depois o módulo da carga do grão.
2. A carga do grão é positiva: qual das placas é a positiva?
3. Quantas [cargas elementares](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-elementary) o grão carrega?

**Solução de Exercício 14.8.**

*1.* $E = 5.0 \times 10^{3} / 2.0 \times 10^{-2} = 2.5 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$; em repouso $qE = mg$, logo $q = 2.0 \times 10^{-6} \times 9.81 / 2.5 \times 10^{5} \approx 7.8 \times 10^{-11}\,\mathrm{C}$.

*2.* A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre o grão positivo tem de apontar para cima, de modo que $\vect E$ aponta para cima: a placa *de baixo* é a positiva.

*3.* $n = 7.85 \times 10^{-11} / 1.60 \times 10^{-19} \approx 4.9 \times 10^{8}$ [cargas elementares](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-elementary).

**Exercício 14.9 ★★.**

As cargas $+Q$ e $+4Q$ estão a $30\,\mathrm{cm}$ uma da outra. Em que ponto do segmento que as une o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total é nulo? Explique primeiro por que esse ponto tem de estar entre as cargas e mais perto da menor.

**Solução de Exercício 14.9.**

Fora do segmento os dois [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) apontam no mesmo sentido; entre elas, se opõem — e o equilíbrio exige o ponto mais perto da fonte mais fraca, $+Q$. Com $x$ sendo a distância até $+Q$: $kQ/x^2 = 4kQ/(0.30 - x)^2$, logo $0.30 - x = 2x$ e $x = 0.10\,\mathrm{m}$ a partir de $+Q$.

**Exercício 14.10 ★★.**

Num [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hidrogênio, o próton ($m_p = 1.67 \times 10^{-27}\,\mathrm{kg}$, carga $+e$) e o elétron ($m_e = 9.11 \times 10^{-31}\,\mathrm{kg}$, carga $-e$) estão a $d = 5.3 \times 10^{-11}\,\mathrm{m}$. Calcule as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica e gravitacional entre eles e a razão entre elas.

**Solução de Exercício 14.10.**

$F_e = ke^2/d^2 = 8.99 \times 10^{9} \times (1.60 \times 10^{-19})^2 /
(5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 8.2 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}$; $F_g = G m_p m_e / d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1.67 \times 10^{-27} \times
9.11 \times 10^{-31} / (5.3 \times 10^{-11})^2 \approx 3.6 \times 10^{-47}\,\mathrm{N}$. Razão $F_e / F_g \approx 2.3 \times 10^{39}$.

**Exercício 14.11 ★★.**

Num ponto $M$, uma fonte sozinha criaria um [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $300\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ apontando para leste; uma segunda, de $400\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$ apontando para o norte. Os [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) se somam como vetores: dê o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total em $M$ (módulo e direção) e depois a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre $q = -2.0 \times 10^{-6}\,\mathrm{C}$ colocada ali.

**Solução de Exercício 14.11.**

$E = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, a $\tan^{-1}(400/300) \approx 53{}^{\circ}$ do leste em direção ao norte. Sobre $q < 0$: $F = 2.0 \times 10^{-6} \times 500 = 1.0 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$, no sentido oposto ao do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — a $53{}^{\circ}$ do oeste em direção ao sul.

**Exercício 14.12 ★★★.**

A que altitude o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra caiu à metade do seu valor na superfície? E na altitude $h = R$, a que fração?

**Solução de Exercício 14.12.**

$GM/(R+h)^2 = \tfrac12\,GM/R^2$ dá $R + h = R\sqrt{2}$, logo $h = (\sqrt{2} - 1)R \approx 2.6 \times 10^{6}\,\mathrm{m}$ (cerca de $2600\,\mathrm{km}$). Em $h = R$, temos $d = 2R$: um quarto do valor na superfície.

**Exercício 14.13 ★★★.**

Cargas de $2.0\,\mathrm{nC}$ estão em $A$ e $B$, a $6.0\,\mathrm{cm}$ uma da outra. $M$ está na mediatriz de $[AB]$, a $4.0\,\mathrm{cm}$ do ponto médio.

1. Calcule a distância $AM$ e depois o módulo do [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) que cada carga cria em $M$ .
2. Some os dois [campos](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) como vetores (use a simetria) e dê o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total em $M$ , com módulo e direção.

**Solução de Exercício 14.13.**

*1.* $AM = \sqrt{3.0^2 + 4.0^2} = 5.0\,\mathrm{cm}$; cada carga cria $E_1 = 8.99 \times 10^{9} \times 2.0 \times 10^{-9} / 0.050^2
\approx 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$.

*2.* As componentes ao longo de $AB$ se cancelam por simetria; cada [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) contribui com $E_1 \times 4/5$ ao longo da mediatriz, afastando-se do segmento: $E = 2 \times 7.19 \times 10^{3} \times 0.80 \approx
1.2 \times 10^{4}\,\mathrm{N}/\mathrm{C}$, dirigido ao longo da mediatriz, para longe de $[AB]$.

**Exercício 14.14 ★★★.**

Explique, usando os dois sinais de carga, como as cargas livres de uma caixa metálica cancelam um [campo elétrico](#def-g11-electric-gravitational-fields-efield) externo em toda parte dentro dela — e por que arranjo algum de massas consegue fazer o mesmo com a gravidade. Que ingrediente impossível um escudo de gravidade exigiria?

**Solução de Exercício 14.14.**

As cargas livres da caixa se movem sob o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) externo: o $+$ se acumula numa face e o $-$ na outra, e essas cargas deslocadas criam um [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) interno que se opõe ao externo. Elas continuam se movendo até que o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total no interior seja exatamente nulo — e então há equilíbrio. A gravidade oferece um único sinal de fonte: toda massa *acrescenta* um [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) atrativo, e nenhuma consegue se opor a ele. Um escudo de gravidade precisaria de massa negativa, que não existe.

**Exercício 14.15 ★★★.**

Uma bolinha ($m = 0.50\,\mathrm{g}$, $q = 2.0 \times 10^{-7}\,\mathrm{C}$) pende de um fio num [campo uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) horizontal $E = 1.0 \times 10^{4}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. Em repouso, o fio faz um ângulo $\theta$ com a vertical.

1. Liste as três [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ; explique por que $\tan\theta = qE / (mg)$ .
2. Calcule $\theta$ e depois a tensão do fio.

**Solução de Exercício 14.15.**

*1.* [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $m\vect g$ (para baixo), tensão $\vect T$ (ao longo do fio) e [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica $q\vect E$ (horizontal). Em repouso, $T\sin\theta = qE$ e $T\cos\theta = mg$; dividindo: $\tan\theta = qE/(mg)$.

*2.* $\tan\theta = 2.0 \times 10^{-7} \times 1.0 \times 10^{4} /
(5.0 \times 10^{-4} \times 9.81) \approx 0.41$, logo $\theta \approx 22{}^{\circ}$; $T = mg/\cos\theta \approx 5.3 \times 10^{-3}\,\mathrm{N}$.

## 14.7 Problema: a gotícula de Millikan

**Problema 14.1.**

Problema de fim de semana — pesar a carga do elétron: uma gotícula de óleo estacionada no ar entre duas placas revela que a carga vem em degraus indivisíveis de $1.60 \times 10^{-19}$ [coulomb](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-charge)

Em 1909, Robert Millikan pulverizou gotículas de óleo entre as placas horizontais de um [capacitor](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor). Ajustando a tensão até que uma gotícula escolhida ficasse imóvel — com a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica equilibrando exatamente o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) —, ele conseguia pesar a carga dela. A nossa gotícula tem massa $m = 4.90 \times 10^{-15}\,\mathrm{kg}$ (medida a partir da sua queda lenta com o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) desligado; tomamos esse valor como dado); as placas estão a $d = 8.0\,\mathrm{mm}$ uma da outra, com a placa *de cima* positiva; a carga da gotícula é negativa.

**Parte I — O cenário.**

1. Descreva o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entre as placas; o que “ [uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) ” garante?
2. Para $U = 800\,\mathrm{V}$ , calcule $E$ .
3. Em que sentido aponta a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica sobre a gotícula? Por que a placa *de cima* tinha de ser a positiva?
4. Calcule o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) da gotícula.
5. Escreva a condição de repouso como uma igualdade entre dois módulos de [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) .

**Parte II — O equilíbrio.**

6. A partir dela, exprima $\abs{q}$ em função de $m$ , $g$ , $d$ e $U$ .
7. A gotícula fica em repouso para $U = 800\,\mathrm{V}$ : calcule $\abs{q}$ .
8. Divida por $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ . Quantos elétrons em excesso a gotícula carrega?
9. A tensão é ligeiramente elevada até $900\,\mathrm{V}$ . Em que sentido aponta agora a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resultante?
10. Mostre que a tensão de equilíbrio vale $U = mgd/\abs{q}$ : quanto maior a carga, menor a tensão.

**Parte III — Os degraus.** Um pulso de radiação pode arrancar elétrons da gotícula ou depositá-los nela; depois de cada mudança, Millikan reajusta a tensão para reequilibrá-la.

11. Depois de um pulso, o equilíbrio exige $U = 1200\,\mathrm{V}$ . Calcule o novo $\abs{q}$ . A gotícula ganhou ou perdeu um elétron?
12. Equilíbrios sucessivos são encontrados em $U = 1200$ , $800$ , $600$ , $480$ e $400\,\mathrm{V}$ . Calcule as cinco cargas.
13. Mostre que as cinco são múltiplos inteiros de uma mesma quantidade; dê o valor dela.
14. Entre equilíbrios consecutivos, de quanto a carga muda? Interprete.
15. Explique por que essa gotícula jamais consegue ficar em repouso com $U = 700\,\mathrm{V}$ , por mais paciência que se tenha no ajuste.
16. Millikan repetiu isso com centenas de gotículas: toda carga medida era múltiplo inteiro do mesmo valor. Enuncie a conclusão e nomeie a grandeza medida.

**Parte IV — Por que não existe um Millikan gravitacional.**

17. No dicionário deste capítulo, o que faz o papel de $q$ , de $E$ e de $qE$ no equilíbrio da Parte II?
18. Uma massa colocada acima poderia sustentar a gotícula? Calcule o [campo](#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de uma esfera de chumbo de $1000\,\mathrm{kg}$ a $1.0\,\mathrm{m}$ acima da gotícula, a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a gotícula e compare com o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) dela.
19. O equilíbrio precisa de um puxão para cima forte o bastante para enfrentar a Terra inteira. Por que uma placa carregada consegue fornecê-lo e arranjo algum de massas consegue?
20. A *massa* da gotícula também muda em degraus (uma [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de óleo: cerca de $5 \times 10^{-25}\,\mathrm{kg}$ ). Compare os saltos relativos em $m$ e em $\abs{q}$ quando um elétron pousa nela e conclua: por que esse equilíbrio enxerga os [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) da eletricidade, mas não as [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) do óleo? Desfecho: a carga é quantizada, e o [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) dela é $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ .

**Solução de Problema 14.1.**

**1.** [Uniforme](#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor), perpendicular às placas, apontando para baixo (da placa $+$ de cima para a $-$ de baixo); a uniformidade garante que a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a gotícula é a mesma para onde quer que ela derive. **2.** $E = U/d = 800 / 8.0 \times 10^{-3} = 1.0 \times 10^{5}\,\mathrm{V}/\mathrm{m}$. **3.** A carga é negativa, de modo que a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) é *oposta* a $\vect E$: para cima. Só com a placa $+$ em cima é que $\vect E$ aponta para baixo e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) elétrica enfrenta o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). **4.** $P = mg = 4.90 \times 10^{-15} \times 9.81 \approx
4.8 \times 10^{-14}\,\mathrm{N}$. **5.** $\abs{q}E = mg$. **6.** $\abs{q} = mg/E = mgd/U$. **7.** $\abs{q} = 4.81 \times 10^{-14} \times 8.0 \times 10^{-3} / 800
\approx 4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **8.** $n = 4.8 \times 10^{-19} / 1.60 \times 10^{-19} = 3$ elétrons em excesso. **9.** $E$ cresce, de modo que $\abs{q}E > mg$: a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) resultante aponta para cima. **10.** De $\abs{q}\,U/d = mg$ vem $U = mgd/\abs{q}$ — inversamente proporcional à carga. **11.** $\abs{q} = mgd/U = 3.85 \times 10^{-16}/1200 \approx
3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 2e$: de $3e$ para baixo, a gotícula *perdeu* um elétron. **12.** $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/U$: $3.2 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $4.8 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $6.4 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $8.0 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$, $9.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **13.** Elas são $2e, 3e, 4e, 5e, 6e$ com $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$. **14.** Cada degrau muda $\abs{q}$ em exatamente $1.6 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$: um elétron pousa de cada vez. **15.** Isso exigiria $\abs{q} = 3.85 \times 10^{-16}/700 \approx
5.5 \times 10^{-19}\,\mathrm{C} = 3.4\,e$ — que não é um número inteiro de elétrons, de modo que pulso de radiação algum consegue produzi-lo. **16.** A carga é *quantizada*: ela vem em múltiplos inteiros da [carga elementar](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-elementary) $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — a grandeza que Millikan mediu. **17.** $q \leftrightarrow m$, $E \leftrightarrow g$ e $\abs{q}E \leftrightarrow mg$: o próprio [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight). **18.** $g_{\text{esfera}} = GM/d^2 = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 /
1.0^2 = 6.7 \times 10^{-8}\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}$; [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a gotícula $4.90 \times 10^{-15} \times 6.7 \times 10^{-8} \approx 3.3 \times 10^{-22}\,\mathrm{N}$ — cerca de $1.5 \times 10^{8}$ vezes menor do que o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) dela. Sem chance. **19.** Como $G$ é minúsculo, só uma massa do tamanho de um planeta colocada acima rivalizaria com o puxão da Terra — e massa alguma repele. Já o enorme $k$ e os dois sinais de carga permitem que uma placa de bancada supere o planeta, em qualquer dos dois sentidos. **20.** Um elétron: $\Delta\abs{q}/\abs{q} = e/3e \approx 33\%$; uma [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de óleo: $\Delta m/m = 5 \times 10^{-25} / 4.90 \times 10^{-15} \approx 10^{-10}$. A escada de carga desloca a tensão de equilíbrio em centenas de [volts](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-voltage); a escada de massa é invisível em qualquer tensão. O equilíbrio, portanto, resolve o [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) da eletricidade — $e = 1.60 \times 10^{-19}\,\mathrm{C}$ — enquanto as [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de óleo se diluem num contínuo.