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title: "Magnetismo e campos magnéticos"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 15
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos
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# Capítulo 15 — Magnetismo e campos magnéticos

Os navegadores se guiaram por agulhas imantadas durante mil anos antes que alguém soubesse por que elas apontam para o norte. A resposta chegou em 1820, quando uma corrente fez uma bússola estremecer: o magnetismo é feito por cargas em movimento. Este capítulo mapeia o [campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-bfield) — o dos [ímãs](#def-g11-magnetic-fields-magnet), o da Terra, o das correntes — e depois fecha o ciclo: o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) empurra de volta as correntes, e é assim que todo motor elétrico gira.

## 15.1 Ímãs e o campo magnético

**Definição 15.1 (Ímã e polos).**

Um *ímã* atrai o ferro e, pendurado por um fio, gira até encarar o norte. A sua ação se concentra em dois *polos magnéticos*, *norte* (a ponta que procura o norte geográfico) e *sul*: polos iguais se repelem, polos diferentes se atraem. Serrar um ímã ao meio produz dois ímãs completos — experiência alguma jamais isolou um polo.

**Definição 15.2 (Campo magnético).**

Um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) modifica o espaço à sua volta ([Capítulo 14](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#ch-g11-electric-gravitational-fields)): ele cria em toda parte um *campo magnético* $\vect B$. Uma bússola lê a direção dele (a agulha se alinha com $\vect B$, com a ponta norte à frente); uma *sonda Hall* mede o seu módulo, em *teslas* ($\mathrm{T}$).

**Definição 15.3 (Linhas de campo magnético).**

As *linhas de campo magnético* são curvas tangentes a $\vect B$, que se apertam onde o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é forte. Fora de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet), elas correm do polo norte para o sul; ao contrário das linhas de [campo elétrico](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-efield), elas não têm extremidades: cada uma se fecha através do corpo do [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet).

![Linhas de campo de um ímã em barra: saem do N, entram no S e se fecham através do corpo. Uma bússola colocada em qualquer ponto se acomoda ao longo da linha que passa por ele.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-d47fec6b5b16.svg)

*[Linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) em barra: saem do N, entram no S e se fecham através do corpo. Uma bússola colocada em qualquer ponto se acomoda ao longo da linha que passa por ele.*

## 15.2 A Terra é um ímã

**Definição 15.4 (O campo magnético da Terra).**

Correntes no núcleo de ferro fundido da Terra fazem do planeta um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) gigante: na superfície $B \approx 50\,\text{µ}\mathrm{T}$, e uma agulha livre se alinha com a componente horizontal do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — é a bússola. Os polos geomagnéticos não são os geográficos; o ângulo entre o norte da bússola e o norte verdadeiro é a *declinação*, corrigida em todo rumo.

**Exemplo 15.5 (Corrigir um rumo).**

Onde a [declinação](#def-g11-magnetic-fields-earth) é de $7{}^{\circ}$ para oeste, um navio que siga o “norte da bússola” por $5.0\,\mathrm{km}$ deriva $5000 \times \sin7{}^{\circ} \approx 6.1 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ a oeste da sua rota: para navegar rumo ao norte verdadeiro, siga $7{}^{\circ}$ a *leste* da agulha.

## 15.3 O campo magnético de uma corrente

**Observação 15.6 (Oersted, 1820).**

Durante uma aula em 1820, Hans Christian Oersted viu a agulha de uma bússola girar quando fechou um circuito ali perto: eletricidade e magnetismo eram um único assunto — *as correntes criam [campos magnéticos](#def-g11-magnetic-fields-bfield)*.

**Proposição 15.7 (Campo de um fio retilíneo).**

Um fio retilíneo longo percorrido por uma corrente $I$ cria um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) cujas linhas são círculos centrados no fio, em planos perpendiculares a ele. À distância $d$ do fio,

$$
B = \frac{\mu_0\, I}{2\pi d},
\qquad \mu_0 = 4\pi\times 10^{-7}\ \mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A} \approx 1.26 \times 10^{-6}\,\mathrm{T}\,\mathrm{m}/\mathrm{A}.
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

![Linhas de campo circulares em volta de um fio retilíneo, vistas de frente (: corrente saindo da página; : entrando nela). Agarre o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido em que B gira.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-cecc4e3b095a.svg)

![Linhas de campo circulares em volta de um fio retilíneo, vistas de frente (: corrente saindo da página; : entrando nela). Agarre o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido em que B gira.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-2596f21279c0.svg)

*[Linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) circulares em volta de um fio retilíneo, vistas de frente ($\odot$: corrente saindo da página; $\otimes$: entrando nela). Agarre o fio com a mão direita, com o polegar no sentido da corrente: os dedos se curvam no sentido em que $\vect B$ gira.*

**Exemplo 15.8 (Um fio é um ímã fraco).**

A $d = 1.0\,\mathrm{cm}$ de um fio percorrido por $I = 15\,\mathrm{A}$: $B = 2 \times 10^{-7} \times 15 / 0.010 = 0.30\,\mathrm{mT}$ — seis [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, a partir de uma corrente que já desarmaria um disjuntor doméstico. [Campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) fortes precisam de uma geometria melhor.

**Definição 15.9 (Bobina e solenoide).**

Enrolar o fio concentra o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dele. Uma *bobina chata* ($N$ espiras num disco) se comporta como um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) fino, com uma face norte e a outra sul; um *solenoide* — um enrolamento cilíndrico longo, com $n$ espiras por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) — se comporta como um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) em barra.

**Proposição 15.10 (Campo dentro de um solenoide).**

Dentro de um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) longo, longe das pontas, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é *uniforme*: paralelo ao eixo e o mesmo em todos os pontos interiores, de módulo $B = \mu_0\, n\, I$, independente da largura do tubo. Do lado de fora, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é fraco.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 15.11.**

As duas fórmulas são deduzidas com honestidade no volume do primeiro ano de graduação, a partir da lei que relaciona a circulação de um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) à corrente que ele envolve. Repare no que importa: $n$, espiras *por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit)* — enrole mais apertado, não mais comprido.

**Método 15.12 (A mão direita, duas vezes).**

- *Fio* : polegar = corrente; dedos curvados = sentido de giro das linhas.
- *[Bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)* : dedos curvados = corrente nas espiras; polegar = $\vect B$ interno, apontando para a face norte.

![Um solenoide cortado ao comprido (/: as espiras atravessando a página): por dentro, um B = _0 n I uniforme ao longo do eixo; por fora, um campo de retorno fraco e espalhado (tracejado).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-006e5fb48b1e.svg)

*Um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) cortado ao comprido ($\odot$/$\otimes$: as espiras atravessando a página): por dentro, um $B = \mu_0 n I$ uniforme ao longo do eixo; por fora, um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de retorno fraco e espalhado (tracejado).*

**Exemplo 15.13 (Números de um solenoide).**

Com $10$ espiras por centímetro ($n = 1000\,\mathrm{m}^{-1}$) e $I = 5.0\,\mathrm{A}$: $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 1000 \times 5.0 \approx 6.3\,\mathrm{mT}$ — cem [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestres, ajustáveis por um botão.

## 15.4 Eletroímãs

**Definição 15.14 (Eletroímã).**

Um *eletroímã* é um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) enrolado sobre um núcleo de ferro doce: o ferro se imanta no [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) e o multiplica, tipicamente por $100$ a $1000$. Ao contrário de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanente, ele se desliga junto com a corrente.

**Observação 15.15 (Três máquinas).**

O guindaste do ferro-velho levanta um carro com um [eletroímã](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) e — é esse o ponto — o *solta* abrindo uma chave. O pequeno [eletroímã](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de um relé puxa um contato até fechá-lo: uma corrente fraca comanda uma forte ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power)). Um aparelho de ressonância magnética mantém $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes em volta do paciente com um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) supercondutor.

[Ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom), da galáxia a uma estrela morta:

| espaço interestelar | $\sim 10^{-10}\,\mathrm{T}$ |
| --- | --- |
| [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) na superfície da Terra | $5 \times 10^{-5}\,\mathrm{T}$ |
| [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de geladeira | $\sim 5 \times 10^{-3}\,\mathrm{T}$ |
| [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de neodímio, no seu polo | $\sim 0.5\,\mathrm{T}$ |
| [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de ressonância magnética | $1.5\,\mathrm{T}$ |
| superfície de uma estrela de nêutrons | $\sim 10^{8}\,\mathrm{T}$ |

## 15.5 A força de Laplace

**Proposição 15.16 (Força de Laplace).**

Um fio retilíneo de comprimento $L$, percorrido por uma corrente $I$ num [campo uniforme](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-capacitor) $\vect B$ *perpendicular* ao fio, sente a *força de Laplace* de módulo $F = I\,L\,B$, perpendicular tanto ao fio quanto a $\vect B$: mão direita espalmada, polegar no sentido da corrente, dedos esticados no sentido de $\vect B$ — a palma empurra no sentido de $\vect F$. Um fio *paralelo* ao [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) não sente [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) alguma.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 15.17 (O trilho saltador).**

O volume do primeiro ano de graduação deduz isso da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) magnética sobre cada carga em movimento. No laboratório: uma barra de cobre repousa sobre dois trilhos horizontais entre os polos de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) ([campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entrando na página, na figura); feche a chave e a barra dispara ao longo dos trilhos. Inverta a corrente, ou vire o [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet): ela dispara para o outro lado.

![A experiência dos trilhos: corrente descendo pela barra e campo entrando na página () — a força de Laplace F = ILB empurra a barra ao longo dos trilhos.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-magnetic-fields/fig-4f0415657935.svg)

*A experiência dos trilhos: corrente descendo pela barra e [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) entrando na página ($\otimes$) — a [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) $F = ILB$ empurra a barra ao longo dos trilhos.*

**Exemplo 15.18 (Números de Laplace).**

Uma barra de comprimento $L = 5.0\,\mathrm{cm}$ percorrida por $I = 8.0\,\mathrm{A}$ num [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.50\,\mathrm{T}$: $F = 8.0 \times 0.050 \times 0.50 = 0.20\,\mathrm{N}$ — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $20\,\mathrm{g}$, sobre um fio que pesa alguns gramas.

**Observação 15.19 (O motor de corrente contínua).**

Dobre o fio numa espira dentro do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field): os dois lados perpendiculares a $\vect B$ conduzem correntes opostas, de modo que as [forças de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) sobre eles são opostas — um binário que faz a espira girar. Meia volta depois, o binário a giraria de volta, e por isso uma chave rotativa (o *comutador*) inverte a corrente a cada meia volta. Todo ventilador e toda furadeira são essa espira, multiplicada.

## 15.6 Exercícios

**Exercício 15.1 ★.**

Um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) em barra é serrado ao meio, entre os seus polos. Que polos cada pedaço carrega? Aproximados de novo, as faces recém-cortadas se atraem ou se repelem? Algum esquema de corte consegue isolar o polo norte?

**Solução de Exercício 15.1.**

Cada pedaço é um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) completo, com um polo norte e um polo sul: um polo novo aparece em cada face cortada. As faces recém-cortadas são um N e um S, de modo que se atraem — os pedaços tentam se remontar. Esquema algum isola um polo: todo corte cria um par.

**Exercício 15.2 ★.**

Verdadeiro ou falso, com uma razão para cada: (a) duas [linhas de campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-lines) se cruzam onde o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é forte; (b) fora de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet), as [linhas de campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-lines) correm do polo norte para o polo sul; (c) toda [linha de campo magnético](#def-g11-magnetic-fields-lines) é fechada; (d) uma agulha se acomoda perpendicular à linha que passa por ela.

**Solução de Exercício 15.2.**

(a) Falso: o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) tem um único sentido em cada ponto. (b) Verdadeiro. (c) Verdadeiro: cada linha se fecha através do corpo do [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet). (d) Falso: a agulha se acomoda *ao longo* da linha, tangente a ela.

**Exercício 15.3 ★.**

Calcule o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) a $2.0\,\mathrm{cm}$ de um fio retilíneo percorrido por $10\,\mathrm{A}$. Quantas vezes os $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ da Terra isso representa?

**Solução de Exercício 15.3.**

$B = 2 \times 10^{-7} \times 10 / 0.020 = 1.0 \times 10^{-4}\,\mathrm{T}$ — o dobro do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra.

**Exercício 15.4 ★.**

Um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $800$ espiras enroladas em $40\,\mathrm{cm}$ conduz $I = 1.5\,\mathrm{A}$. Calcule $n$ e depois $B$ no interior; em que $B$ se transforma se a corrente dobrar?

**Solução de Exercício 15.4.**

$n = 800/0.40 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 1.5 \approx 3.8\,\mathrm{mT}$. Como $B \propto I$, dobrar a corrente dá $7.5\,\mathrm{mT}$.

**Exercício 15.5 ★.**

Um trecho de fio de $10\,\mathrm{cm}$ conduz $5.0\,\mathrm{A}$ perpendicularmente a um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $0.20\,\mathrm{T}$. Calcule a [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace); ela é igual ao [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de que massa?

**Solução de Exercício 15.5.**

$F = ILB = 5.0 \times 0.10 \times 0.20 = 0.10\,\mathrm{N}$ — o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de $m = F/g = 0.10/9.81 \approx 10\,\mathrm{g}$.

**Exercício 15.6 ★★.**

No ponto em que uma caminhante está, a [declinação](#def-g11-magnetic-fields-earth) é de $8{}^{\circ}$ para oeste. Ela caminha $2.0\,\mathrm{km}$ “rumo ao norte pela bússola”: quanto ela deriva, e para que lado do norte verdadeiro? Que rumo a teria levado ao norte verdadeiro?

**Solução de Exercício 15.6.**

*1.* A rota dela aponta $8{}^{\circ}$ a oeste do norte verdadeiro: $2000 \times \sin8{}^{\circ} \approx 2.8 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ para oeste.

*2.* Seguir $8{}^{\circ}$ a *leste* do norte da agulha.

**Exercício 15.7 ★★.**

A que distância de um fio retilíneo percorrido por $20\,\mathrm{A}$ o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dele iguala os $50\,\text{µ}\mathrm{T}$ da Terra? O que isso diz sobre confiar numa bússola perto de cabos energizados?

**Solução de Exercício 15.7.**

$d = \mu_0 I / (2\pi B) = 2 \times 10^{-7} \times 20 / 5.0 \times 10^{-5}
= 8.0\,\mathrm{cm}$. A menos de um decímetro de um cabo desses, a bússola lê o fio, e não o planeta — mantenha-a longe de condutores energizados.

**Exercício 15.8 ★★.**

Projete um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) que produza $B = 10\,\mathrm{mT}$ com $I = 4.0\,\mathrm{A}$: calcule o $n$ necessário e depois o número de espiras para uma [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $25\,\mathrm{cm}$.

**Solução de Exercício 15.8.**

$n = B/(\mu_0 I) = 0.010 / (1.26 \times 10^{-6} \times 4.0)
\approx 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$; em $25\,\mathrm{cm}$, $N = 1989 \times 0.25 \approx 500$ espiras.

**Exercício 15.9 ★★.**

Na experiência dos trilhos, a barra (massa $20\,\mathrm{g}$, comprimento $L = 12\,\mathrm{cm}$ entre os trilhos) conduz $10\,\mathrm{A}$ num [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) perpendicular de $0.50\,\mathrm{T}$. Calcule a [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) e depois a aceleração inicial da barra; compare com $g$.

**Solução de Exercício 15.9.**

$F = 10 \times 0.12 \times 0.50 = 0.60\,\mathrm{N}$; $a = F/m = 0.60/0.020 = 30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2}$ — cerca de $3g$: a barra salta mesmo.

**Exercício 15.10 ★★.**

Um fio horizontal de massa $5.0\,\mathrm{g}$ e comprimento $20\,\mathrm{cm}$ está num [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) horizontal $B = 0.10\,\mathrm{T}$ perpendicular a ele. Que corrente faz a [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) equilibrar o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) do fio, de modo que ele levite? Para onde a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) tem de apontar?

**Solução de Exercício 15.10.**

Equilíbrio: $ILB = mg$, logo $I = 5.0 \times 10^{-3} \times 9.81 / (0.20 \times 0.10) \approx
2.5\,\mathrm{A}$. A [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) tem de apontar para cima; com $\vect B$ horizontal e perpendicular ao fio, a mão direita espalmada (palma para cima) fixa o sentido necessário da corrente.

**Exercício 15.11 ★★.**

Dê o sentido da [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) (ou diga que ela se anula): (a) corrente para a direita da página, $\vect B$ entrando na página; (b) corrente para o alto da página, $\vect B$ saindo da página; (c) corrente paralela a $\vect B$. Use a mão direita espalmada.

**Solução de Exercício 15.11.**

Mão direita espalmada: (a) para o alto da página; (b) para a direita; (c) [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) nula — o fio é paralelo ao [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field).

**Exercício 15.12 ★★★.**

Um fio horizontal corre na direção geográfica norte–sul, $3.0\,\mathrm{cm}$ acima de uma bússola; a componente horizontal do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) terrestre ali vale $20\,\text{µ}\mathrm{T}$. O fio conduz $I = 5.0\,\mathrm{A}$: calcule o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dele na bússola, dê a direção desse [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) e depois o desvio da agulha (os [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) se somam como vetores).

**Solução de Exercício 15.12.**

*1.* $B = 2 \times 10^{-7} \times 5.0 / 0.030 \approx
33\,\text{µ}\mathrm{T}$; as linhas circulam o fio, de modo que, logo abaixo dele, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é horizontal e perpendicular ao fio: leste–oeste.

*2.* A agulha segue a soma vetorial: $\tan\theta = 33/20 = 1.67$, logo $\theta \approx 59{}^{\circ}$ afastada do norte.

**Exercício 15.13 ★★★.**

O [eletroímã](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) de um ferro-velho é uma [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $400$ espiras em $20\,\mathrm{cm}$, de [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $2.0\,\Omega$, ligada a uma fonte de $12\,\mathrm{V}$; o seu núcleo de ferro multiplica por $100$ o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nua. Calcule a corrente, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nua, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) com o núcleo e a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) que a [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) dissipa ([Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power)). Por que a sucata cai no instante em que a chave se abre?

**Solução de Exercício 15.13.**

*1.* $I = U/R = 12/2.0 = 6.0\,\mathrm{A}$; $n = 400/0.20 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$; $B_0 = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 6.0 \approx 15\,\mathrm{mT}$; com o núcleo, $100 B_0 \approx 1.5\,\mathrm{T}$.

*2.* $P = UI = 12 \times 6.0 = 72\,\mathrm{W}$.

*3.* Sem corrente, sem [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) — e o ferro doce não permanece imantado: a carga se solta na hora, exatamente como se projetou.

**Exercício 15.14 ★★★.**

A espira retangular de um motor tem $N = 50$ voltas conduzindo $I = 2.0\,\mathrm{A}$; os seus dois lados de comprimento $5.0\,\mathrm{cm}$ são perpendiculares a um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) $B = 0.30\,\mathrm{T}$. Calcule a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre cada um desses lados; por que as duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) são opostas, e o que elas fazem com a espira? Por que os outros dois lados às vezes não sentem [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) alguma? Por que a corrente precisa ser invertida a cada meia volta?

**Solução de Exercício 15.14.**

*1.* $F = NILB = 50 \times 2.0 \times 0.050 \times 0.30 =
1.5\,\mathrm{N}$ sobre cada lado. A corrente corre em sentidos opostos nos dois lados, de modo que as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) são opostas: um binário que faz a espira girar.

*2.* Quando fica paralelo a $\vect B$, um fio não sente [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) alguma.

*3.* Depois de meia volta o binário se inverteria e desfaria a rotação; o [comutador](#rem-g11-magnetic-fields-motor) troca o sentido da corrente a cada meia volta, de modo que a espira continua girando sempre para o mesmo lado.

**Exercício 15.15 ★★★.**

A que distância de um cabo que conduz $100\,\mathrm{A}$ seria preciso estar para que o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) dele chegasse a $1\,\mathrm{T}$? Compare com o raio milimétrico do cabo e conclua por que [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da ordem do [tesla](#def-g11-magnetic-fields-bfield) são construídos com [solenoides](#def-g11-magnetic-fields-solenoid), e não com fios isolados. Depois: o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) de $10^{8}\,\mathrm{T}$ na superfície de uma estrela de nêutrons está quantas potências de dez acima do da Terra?

**Solução de Exercício 15.15.**

*1.* $d = 2 \times 10^{-7} \times 100 / 1 = 2.0 \times 10^{-5}\,\mathrm{m} =
20\,\text{µ}\mathrm{m}$ — bem *dentro* do cobre de um milímetro de espessura. Nenhum ponto acessível perto de um fio isolado chega a $1\,\mathrm{T}$: os [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) fortes empilham milhares de espiras (um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid)), mais ferro ou supercondutores.

*2.* $10^{8} / 5 \times 10^{-5} = 2 \times 10^{12}$: cerca de doze potências de dez.

## 15.7 Problema: a bússola, o guindaste e a ressonância magnética

**Problema 15.1.**

Problema de fim de semana — três ímãs em serviço: uma bússola cruzando um oceano, um eletroímã levantando um carro e o solenoide de uma ressonância magnética — um só campo, cobrindo dez potências de dez, fazendo três trabalhos

O mesmo vetor $\vect B$ guia um veleiro com $50\,\text{µ}\mathrm{T}$, levanta sucata de ferro com $1\,\mathrm{T}$ e forma a imagem de um joelho com $1.5\,\mathrm{T}$ — três máquinas para as três fórmulas deste capítulo.

**Parte I — A bússola.** Na posição do navio, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra tem componente horizontal de $20\,\text{µ}\mathrm{T}$ e componente vertical de $44\,\text{µ}\mathrm{T}$; a [declinação](#def-g11-magnetic-fields-earth) é de $6{}^{\circ}$ para oeste.

1. Por que a agulha de uma bússola aponta para o norte (magnético)?
2. Calcule o módulo do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) total e o seu ângulo com a horizontal.
3. Seguindo o “norte da bússola” por $30\,\mathrm{km}$ , a que distância a oeste da rota do norte verdadeiro o navio termina?
4. Uma carga de aço desvia a agulha mais $4{}^{\circ}$ para oeste: mesma pergunta.
5. Perto do polo geomagnético a bússola é inútil: que componente tem a culpa, e por quê?

**Parte II — O guindaste.** O [eletroímã](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) do ferro-velho é um [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) de $600$ espiras enroladas em $30\,\mathrm{cm}$, de [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $1.5\,\Omega$, alimentado por uma fonte de $12\,\mathrm{V}$; o seu núcleo de ferro multiplica por $50$ o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nua.

6. Calcule $n$ , a densidade de espiras.
7. Calcule a corrente na [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) ( [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power) ).
8. Calcule o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) nua, $\mu_0 n I$ .
9. Calcule o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) com o núcleo; compare com os $0.5\,\mathrm{T}$ do neodímio.
10. Calcule a [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) dissipada na [bobina](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) e depois a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de um turno de içamento de $10\,\mathrm{min}$ .
11. Existe [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanente com essa intensidade. Por que usar um [eletroímã](#def-g11-magnetic-fields-electromagnet) mesmo assim?

**Parte III — O motor do guincho.** O guincho do guindaste é um motor de corrente contínua: uma espira retangular de $N = 100$ voltas, com lados de $4.0\,\mathrm{cm}$ perpendiculares a $B = 0.25\,\mathrm{T}$, conduzindo $I = 3.0\,\mathrm{A}$.

12. Calcule a [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace) sobre cada feixe de lados perpendicular a $\vect B$ .
13. As duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) são iguais e opostas e, ainda assim, o efeito delas não se cancela. O que elas produzem, e por que precisam ser *opostas* ?
14. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) age sobre os outros dois lados, quando eles ficam paralelos a $\vect B$ ?
15. Depois de meia volta, as mesmas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) desfariam a rotação. O que o [comutador](#rem-g11-magnetic-fields-motor) faz, e quando?
16. Dê três mudanças de projeto distintas, cada uma capaz de dobrar o par de [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) .

**Parte IV — A ressonância magnética.** O [solenoide](#def-g11-magnetic-fields-solenoid) do aparelho mantém $1.5\,\mathrm{T}$ uniformes com uma corrente $I = 500\,\mathrm{A}$.

17. Quantas vezes o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra são $1.5\,\mathrm{T}$ ?
18. Calcule a densidade de espiras $n$ necessária *sem* núcleo de ferro algum.
19. Se o enrolamento tivesse [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) $0.20\,\Omega$ , que [potência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-power) ele dissiparia? Que propriedade do enrolamento real evita isso, ao preço de um frio extremo?
20. Desfecho: coloque os [campos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) do navio, do guindaste e da ressonância na escada de potências de dez que vai do espaço interestelar ( $10^{-10}\,\mathrm{T}$ ) a uma estrela de nêutrons ( $10^{8}\,\mathrm{T}$ ); o que mudou de uma máquina para a outra — a física ou os [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-current) ?

**Solução de Problema 15.1.**

**1.** A agulha é, ela mesma, um pequeno [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet); o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) da Terra a alinha, com a ponta norte ao longo da componente horizontal de $\vect B$, ou seja, em direção ao norte magnético.

**2.** $B = \sqrt{20^2 + 44^2} = \sqrt{2336} \approx
48\,\text{µ}\mathrm{T}$, inclinado $\tan^{-1}(44/20) \approx 66{}^{\circ}$ abaixo da horizontal.

**3.** A rota corre $6{}^{\circ}$ a oeste do norte verdadeiro: $30 \times \sin6{}^{\circ} \approx 3.1\,\mathrm{km}$ para oeste.

**4.** Os erros se somam: $10{}^{\circ}$, logo $30 \times \sin10{}^{\circ} \approx 5.2\,\mathrm{km}$ — cinco quilômetros para dez graus.

**5.** A componente horizontal: perto do polo o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) é quase vertical, a parte horizontal encolhe até quase zero e a agulha não tem mais com o que se alinhar.

**6.** $n = 600/0.30 = 2000\,\mathrm{m}^{-1}$.

**7.** $I = U/R = 12/1.5 = 8.0\,\mathrm{A}$.

**8.** $B_0 = \mu_0 n I = 1.26 \times 10^{-6} \times 2000 \times 8.0
\approx 20\,\mathrm{mT}$.

**9.** $50 \times 20\,\mathrm{mT} = 1.0\,\mathrm{T}$ — o dobro do [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) no polo de um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) de neodímio, sobre uma face bem maior.

**10.** $P = UI = 12 \times 8.0 = 96\,\mathrm{W}$; em $10\,\mathrm{min}$: $E = 96 \times 600 \approx 58\,\mathrm{kJ}$.

**11.** Porque ele solta: abra a chave, o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) morre e o carro cai exatamente onde se quer. Um [ímã](#def-g11-magnetic-fields-magnet) permanente agarra para sempre.

**12.** $F = NILB = 100 \times 3.0 \times 0.040 \times 0.25 =
3.0\,\mathrm{N}$.

**13.** Um binário: aplicadas em lados opostos do eixo, as duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) opostas giram a espira no mesmo sentido. [Forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) iguais e *paralelas* só empurrariam a espira de lado, sem fazê-la girar.

**14.** Nenhuma: um fio paralelo ao [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field) não sente [força de Laplace](#prop-g11-magnetic-fields-laplace).

**15.** Ele inverte a corrente na espira a cada meia volta, exatamente quando o binário mudaria de sinal — de modo que o torque sempre impulsiona a mesma rotação.

**16.** Dobrar $N$, ou dobrar $I$, ou dobrar $B$: o par de [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $F = NILB$ é proporcional a cada um deles.

**17.** $1.5 / 5.0 \times 10^{-5} = 3.0 \times 10^{4}$: trinta mil Terras.

**18.** $n = B/(\mu_0 I) = 1.5 / (1.26 \times 10^{-6} \times 500)
\approx 2.4 \times 10^{3}\,\mathrm{m}^{-1}$ — e cada uma dessas espiras conduz $500\,\mathrm{A}$.

**19.** $P = RI^2 = 0.20 \times 500^2 = 50\,\mathrm{kW}$ — o aquecimento de um bairro inteiro. O enrolamento real é supercondutor: [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) nula, dissipação nula, desde que mantido a poucos graus acima do zero absoluto.

**20.** Bússola $5 \times 10^{-5}$, guindaste $1$, ressonância $1.5$: o navio fica cinco degraus abaixo das duas máquinas, que dividem uma mesma década — entre o $10^{-10}$ interestelar e o $10^{8}$ da estrela de nêutrons. Nada mudou além dos [ampères](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-current) (e das espiras, do ferro e do supercondutor que os multiplicam): um [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field), três trabalhos.