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title: "Forças e movimento"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 16
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento
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# Capítulo 16 — Forças e movimento

Atire uma chave inglesa girando pela sala: as pontas balançam de modo caótico e, ainda assim, um ponto dentro dela descreve uma parábola perfeita. O [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia) resolveu o que acontece quando as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) [se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate) — nada. Este capítulo pergunta o que acontece quando elas não [se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate): a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que sobra *muda a velocidade* — acelerando corpos, freando-os, virando-os — e diz de quanto, em razões, se ainda não em fórmulas.

## 16.1 O centro de massa

**Definição 16.1 (Centro de massa).**

O *centro de massa* de um corpo ou de um sistema é o seu ponto de equilíbrio — a posição média da sua massa: o centro geométrico de um corpo homogêneo e simétrico; para duas massas pontuais, o ponto do segmento que as une cujas distâncias estão na razão *inversa* das massas, $\frac{d_1}{d_2} = \frac{m_2}{m_1}$ — mais perto da mais pesada.

**Exemplo 16.2 (Um haltere desequilibrado).**

Bolas de $2.0\,\mathrm{kg}$ e $1.0\,\mathrm{kg}$ estão nas pontas de uma barra leve de $0.90\,\mathrm{m}$. O [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) a divide na razão inversa $d_1/d_2 = 1.0/2.0$: $0.30\,\mathrm{m}$ da bola pesada e $0.60\,\mathrm{m}$ da leve — equilibre a barra ali.

**Observação 16.3 (A chave inglesa arremessada).**

Filme uma chave inglesa girando no ar: cada ponto segue uma curva complicada, cheia de laços — exceto o [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com), que traça a parábola limpa de uma bola arremessada. O movimento do [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) é simples; o resto é rotação *em torno* dele — e é por isso que a mecânica pode tratar um carro, um planeta ou um ginasta como um único ponto.

![Uma chave inglesa arremessada, a intervalos de tempo iguais: ela gira, mas o seu centro de massa (os pontos) percorre uma parábola simples.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-7e5e76ff9a0b.svg)

*Uma chave inglesa arremessada, a intervalos de tempo iguais: ela gira, mas o seu [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) (os pontos) percorre uma parábola simples.*

## 16.2 Uma força resultante muda a velocidade

**Definição 16.4 (Força resultante).**

A *força resultante* sobre um corpo é a soma vetorial de todas as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que agem sobre ele, $\vect F = \vect F_1 + \vect F_2 + \dots$ (ponta com cauda, como no volume de matemática); as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) [se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate) exatamente quando $\vect F = \vect 0$.

**Teorema 16.5 (Efeito de uma força resultante — semiquantitativo).**

Uma [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$ que age sobre um corpo de massa $m$ durante uma duração curta $\Delta t$ muda a velocidade do [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) dele por um vetor $\Delta \vect v$ que tem a *direção e o sentido* de $\vect F$ e cujo módulo cresce em proporção a $F$ e a $\Delta t$ e diminui em proporção à massa:

$$
\Delta v \propto \frac{F \, \Delta t}{m} .
$$

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 16.6.**

Dobre a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ou a duração dela: o dobro de variação; dobre a massa: a metade. No ano que vem isso vira uma equação exata, e o volume do primeiro ano de graduação pergunta em que referenciais ela vale; neste ano as razões bastam — elas já comandam airbags, freios e [órbitas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

**Proposição 16.7 (Os três casos canônicos).**

Seja um corpo movendo-se com velocidade $\vect v$ sob uma [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $\vect F$.

1. $\vect F$ no sentido de $\vect v$ : ele *acelera* em linha reta;
2. $\vect F$ no sentido oposto ao de $\vect v$ : ele *freia* em linha reta;
3. $\vect F$ perpendicular a $\vect v$ : ele *vira* sem mudar de velocidade escalar.

**Demonstração.** Some $\Delta\vect v$, dirigido no sentido de $\vect F$ ([Teorema 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)), ponta com cauda em $\vect v$: no sentido de $\vect v$ as flechas se empilham (mais longa); no sentido oposto, elas se cancelam em parte (mais curta); e perpendicularmente, cada pequeno $\Delta \vect v$ inclina a flecha sem alongá-la — só a direção gira. ∎

![Os três casos canônicos: a força resultante arrasta a ponta do vetor velocidade para o seu próprio lado — alongando, encurtando ou girando.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-7f63ed33a89f.svg)

![Os três casos canônicos: a força resultante arrasta a ponta do vetor velocidade para o seu próprio lado — alongando, encurtando ou girando.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-21751ba066f0.svg)

![Os três casos canônicos: a força resultante arrasta a ponta do vetor velocidade para o seu próprio lado — alongando, encurtando ou girando.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-91c13e9cb5a8.svg)

*Os três casos canônicos: a [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) arrasta a ponta do vetor velocidade para o seu próprio lado — alongando, encurtando ou girando.*

**Exemplo 16.8 (Um golpe lateral).**

Um disco desliza para leste a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; um golpe lateral breve acrescenta $\Delta\vect v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rumo ao norte. A nova velocidade é a soma vetorial: módulo $\sqrt{6.0^2 + 8.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, direção $\tan\theta = 8.0/6.0$, ou seja, $\theta \approx 53^\circ$ do leste em direção ao norte — a velocidade antiga não é apagada; a variação é somada a ela.

## 16.3 Comparar variações: força, tempo, massa

**Método 16.9 (Raciocinar por razões).**

Para comparar duas situações, nunca resolva uma equação — forme razões: a razão das variações de velocidade é a razão de $F$, vezes a razão de $\Delta t$, dividida pela razão de $m$. Depois leia que fator mudou e de quanto.

**Exemplo 16.10 (O carrinho carregado).**

O mesmo empurrão, aplicado durante o mesmo segundo, faz um carrinho de supermercado vazio de $20\,\mathrm{kg}$ partir a $1.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Carregado até $60\,\mathrm{kg}$ — massa tripla, mesmo $F\Delta t$ —, ele parte a um terço disso, $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. A massa é a teimosia da matéria.

**Observação 16.11 (Colisões, airbags, joelhos dobrados).**

Numa colisão, $\Delta v$ e $m$ não são negociáveis — a velocidade do ocupante tem de chegar a zero —, de modo que $F\,\Delta t$ está fixado. A única liberdade que resta é o *tempo*: estique $\Delta t$ e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) encolhe na mesma razão. Uma cabeça que para num airbag em $0.08\,\mathrm{s}$, em vez de parar no volante em $0.01\,\mathrm{s}$, sente uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média oito vezes menor; as zonas de deformação programada, a espuma do capacete e os joelhos dobrados fazem o mesmo truque.

## 16.4 Atrito: a força que combate o deslizamento

**Definição 16.12 (Atrito estático e atrito cinético).**

O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) entre superfícies em contato se opõe ao *deslizamento relativo* delas. O *atrito estático* age enquanto elas não deslizam, ajustando-se até um valor máximo para cancelar o que quer que tente iniciar o deslizamento; o *atrito cinético*, uma vez começado o deslizamento, é aproximadamente constante, dirigido contra o deslizamento e em geral *mais fraco* do que o máximo estático.

**Exemplo 16.13 (Empurrar o guarda-roupa).**

Empurre um guarda-roupa de leve: ele não se move — o [atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction) cancela os seus $150\,\mathrm{N}$. Empurre com mais [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force): por volta de $400\,\mathrm{N}$ ele arranca, e depois desliza com menos esforço — o [atrito cinético](#def-g11-forces-and-motion-friction), mais fraco, assumiu.

**Observação 16.14 (Por que o freio ABS funciona).**

O ponto de contato de uma roda que gira não desliza sobre a pista: o pneu agarra por [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) *estático*. Uma roda travada derrapa e recebe apenas o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) *cinético*, mais fraco, que aponta contra a derrapagem faça a roda o que fizer — e a direção morre. O ABS solta o freio no instante em que uma roda trava: mais aderência, frenagem mais curta e um motorista que consegue esterçar.

![Distâncias de frenagem típicas a partir de 90\, km/ h: o atrito pneu–pista é a única força que freia o carro, e a água ou a neve o reduzem drasticamente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-69c28e56644e.svg)

*Distâncias de frenagem típicas a partir de $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$: o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) pneu–pista é a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que freia o carro, e a água ou a neve o reduzem drasticamente.*

## 16.5 Virar: o movimento circular precisa de uma força para dentro

**Definição 16.15 (Movimento circular uniforme).**

Um corpo está em *movimento circular uniforme* quando a sua [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) é um círculo percorrido com velocidade escalar constante. A velocidade, tangente ao círculo, muda de direção a cada instante — de modo que ela nunca é constante.

**Proposição 16.16 (A força para dentro).**

Um corpo em [movimento circular uniforme](#def-g11-forces-and-motion-ucm) está sujeito a uma [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) que nunca é nula: a cada instante ela aponta do corpo para o centro do círculo.

**Demonstração.** A velocidade escalar é constante, de modo que a [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) não tem componente ao longo de $\vect v$ (casos 1 e 2 da [Proposição 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases)): ela é perpendicular à tangente e, portanto, está ao longo do raio — e apontando para dentro, já que cada $\Delta \vect v$ curva a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) em direção ao centro. ∎

![Uma bola girada num barbante: a velocidade é tangente e o puxão aponta para o centro. Corte o barbante: a bola parte ao longo da tangente.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-forces-and-motion/fig-731e5df69a72.svg)

*Uma bola girada num barbante: a velocidade é tangente e o puxão aponta para o centro. Corte o barbante: a bola parte ao longo da tangente.*

**Exemplo 16.17 (O barbante, a curva e a Lua).**

Toda curva regular esconde uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) para dentro. A bola girada: a tensão do barbante. O carro numa curva: o [atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction) lateral da pista sobre os pneus — que some no gelo, e então o carro segue reto. A Lua: o puxão gravitacional da Terra ([Capítulo 4](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#ch-g10-universal-gravitation)), que a faz dar a volta em $27.3$ dias — ela não é sustentada *para cima*, mas puxada de lado numa curva perpétua, caindo em volta da Terra; no ano que vem isso vira a mecânica dos [satélites](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-satellite).

## 16.6 Exercícios

**Exercício 16.1 ★.**

[Força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) nula ou não nula? Justifique pela velocidade: (a) um carro seguindo em linha reta a constantes $90\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (b) freando em linha reta; (c) fazendo uma curva a constantes $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (d) um paraquedista na velocidade limite.

**Solução de Exercício 16.1.**

(a) Velocidade constante: [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) nula. (b) A velocidade escalar muda: não nula, oposta ao movimento. (c) A direção muda (a velocidade é um vetor): não nula, apontando para o interior da curva. (d) Velocidade constante: nula — [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e arrasto [se compensam](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-compensate).

**Exercício 16.2 ★.**

Bolas de $3.0\,\mathrm{kg}$ e $1.0\,\mathrm{kg}$ estão nas pontas de uma barra leve de $0.80\,\mathrm{m}$. Localize o [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com); e onde ele ficaria com massas iguais?

**Solução de Exercício 16.2.**

$d_1/d_2 = 1.0/3.0$ com $d_1 + d_2 = 0.80\,\mathrm{m}$: $d_1 = 0.20\,\mathrm{m}$ a partir da bola de $3.0\,\mathrm{kg}$. Com massas iguais: no meio, a $0.40\,\mathrm{m}$ de cada uma.

**Exercício 16.3 ★.**

O mesmo empurrão breve é dado a um carrinho de bagagem vazio de $15\,\mathrm{kg}$ e ao mesmo carrinho carregado até $45\,\mathrm{kg}$. Compare as variações de velocidade; que empurrão daria ao carrinho carregado o $\Delta v$ do vazio?

**Solução de Exercício 16.3.**

Mesmo $F\Delta t$, massa tripla: o $\Delta v$ do carrinho carregado é três vezes menor. Para igualar o $\Delta v$ do vazio, empurre com três vezes mais [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (ou por três vezes mais tempo).

**Exercício 16.4 ★.**

Um bonde que se move a $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ freia; um segundo depois ele se move a $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, no mesmo sentido. Dê $\Delta \vect v$ e o sentido da [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce). Que caso da [Proposição 16.7](#prop-g11-forces-and-motion-cases) é esse?

**Solução de Exercício 16.4.**

$\Delta \vect v$: $2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, dirigido *para trás* (de $10$ para $8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). A [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) aponta no mesmo sentido: oposta a $\vect v$ — caso 2, freando.

**Exercício 16.5 ★.**

[Atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction) ou cinético — e dirigido para onde? (a) Um engradado que resiste ao seu empurrão (suave demais); (b) o mesmo engradado depois que passa a deslizar; (c) um livro numa bandeja ligeiramente inclinada, sem deslizar.

**Solução de Exercício 16.5.**

(a) Estático, oposto ao seu empurrão (ainda não há deslizamento). (b) Cinético, oposto ao deslizamento. (c) Estático, apontando *ladeira acima* — contra o deslizamento que a gravidade tenta iniciar.

**Exercício 16.6 ★★.**

Uma [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) $F$ aplicada durante $\Delta t$ a uma massa $m$ produz $\Delta v = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Preveja $\Delta v$ para: (a) $2F, \Delta t, m$; (b) $F, \Delta t/2, m$; (c) $F, \Delta t, 2m$; (d) $3F, 2\Delta t, 6m$.

**Solução de Exercício 16.6.**

$\Delta v \propto F\Delta t/m$: (a) $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (b) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (c) $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; (d) $4.0 \times \frac{3 \times 2}{6} = 4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — as três mudanças se cancelam.

**Exercício 16.7 ★★.**

Um disco desliza para leste a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; um golpe acrescenta $\Delta \vect v = 6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ rumo ao norte. Calcule a nova velocidade escalar e a nova direção. Por que a velocidade escalar não é $8.0 + 6.0 = 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$?

**Solução de Exercício 16.7.**

$v' = \sqrt{8.0^2 + 6.0^2} = 10.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, com $\tan\theta = 6.0/8.0$, ou seja, $\theta \approx 37^\circ$ do leste em direção ao norte. As velocidades se somam como *vetores*: contribuições perpendiculares se combinam por Pitágoras, e não por soma de módulos.

**Exercício 16.8 ★★.**

Uma goleira defende o mesmo chute de dois modos: com os braços rígidos (a bola para em $0.02\,\mathrm{s}$) ou “acompanhando” a bola ($0.08\,\mathrm{s}$). Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) médias e diga que grandezas já estavam fixadas antes da escolha dela.

**Solução de Exercício 16.8.**

Já fixados de antemão: a massa da bola e o seu $\Delta v$ (da velocidade de chegada até zero), e portanto o produto $F\Delta t$. Esticar $\Delta t$ de $0.02\,\mathrm{s}$ para $0.08\,\mathrm{s}$ divide a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média por $4$.

**Exercício 16.9 ★★.**

Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) externa empurra um velocista para a frente na largada? Por que as sapatilhas com pregos ajudam — e por que ninguém consegue acelerar, nem sequer caminhar, sobre gelo perfeitamente sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory)?

**Solução de Exercício 16.9.**

O [atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction) da pista sobre a sapatilha: o pé empurra o chão para trás, e a [força de contato](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-contact) mútua empurra o velocista para a frente. Os pregos elevam o [atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction) máximo (sem escorregar em esforço total). Sobre gelo sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) não existe [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) horizontal externa alguma, de modo que a velocidade do [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) não pode mudar — nem largada, nem caminhada.

**Exercício 16.10 ★★.**

Numa frenagem de emergência, por que um carro com ABS (rodas mantidas girando) em geral para em menos espaço do que um com as rodas travadas e derrapando — e por que o carro em derrapagem não pode mais ser esterçado? Cite a [Definição 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction).

**Solução de Exercício 16.10.**

O ponto de contato de uma roda que gira não desliza: [atrito estático](#def-g11-forces-and-motion-friction), mais forte do que o [atrito cinético](#def-g11-forces-and-motion-friction) de uma derrapagem ([Definição 16.12](#def-g11-forces-and-motion-friction)) — frenagem mais curta. Já o [atrito cinético](#def-g11-forces-and-motion-friction) de um pneu que derrapa aponta no sentido oposto ao do deslizamento, seja qual for o ângulo das rodas: girar o volante não muda nada, e a direção se perde.

**Exercício 16.11 ★★.**

Um lançador de martelo gira a bola presa ao cabo. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) faz a bola virar? Esboce a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) dela depois da soltura. Por que a Lua não precisa de cabo, e em que a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) dela se transformaria sem gravidade?

**Solução de Exercício 16.11.**

A tensão do cabo, apontando para dentro, em direção ao atleta. Depois da soltura, a bola sai em linha reta ao longo da tangente, com a velocidade que tinha (inércia). O “cabo” da Lua é o puxão gravitacional da Terra; desligue a gravidade e ela parte pela tangente, reta e uniforme, para sempre.

**Exercício 16.12 ★★★.**

Uma vassoura é um cabo uniforme de $1.0\,\mathrm{kg}$ (com [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) próprio a $0.60\,\mathrm{m}$ do topo) com uma cabeça de $2.0\,\mathrm{kg}$ cujo [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) está a $1.20\,\mathrm{m}$ do topo. Tratando cada parte como massa pontual, localize o [centro de massa](#def-g11-forces-and-motion-com) da vassoura e confira a regra da razão inversa da [Definição 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com).

**Solução de Exercício 16.12.**

A partir do topo: $x = \dfrac{1.0 \times 0.60 + 2.0 \times 1.20}{3.0} = 1.00\,\mathrm{m}$. Distâncias até os centros das duas partes: $0.40\,\mathrm{m}$ (cabo) e $0.20\,\mathrm{m}$ (cabeça), na razão $2 : 1$ — o inverso da razão de massas $1.0 : 2.0$, como a [Definição 16.1](#def-g11-forces-and-motion-com) exige.

**Exercício 16.13 ★★★.**

Um carro de massa $m$ e uma van carregada de massa $2m$ freiam a partir da mesma velocidade com a mesma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de frenagem.

1. Compare os tempos necessários para parar.
2. Cada um perde velocidade de modo regular, e portanto percorre o trajeto com a mesma velocidade *média* : compare as distâncias de frenagem.
3. Agora o carro freia a partir do *dobro* da velocidade, com a mesma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) : compare tempo e distância com a sua primeira frenagem. Qual é a moral para os limites de velocidade?

**Solução de Exercício 16.13.**

*1.* Mesmos $F$ e $\Delta v$, massa dobrada: a van precisa do dobro do tempo. *2.* Mesma [velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) por um tempo dobrado: o dobro da distância. *3.* $\Delta v$ dobrado com os mesmos $F$ e $m$: o dobro do tempo; mas a [velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) também dobra, de modo que a distância fica multiplicada por $4$. Dobrar a velocidade quadruplica a distância de frenagem.

**Exercício 16.14 ★★★.**

A Lua orbita a $R \approx 3.84 \times 10^{8}\,\mathrm{m}$ em $T = 27.3$ dias.

1. Calcule a velocidade orbital dela (comprimento da circunferência dividido pelo [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) ).
2. Para onde aponta a variação da velocidade dela, e que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) a fornece?
3. Melhore, usando a [Proposição 16.16](#prop-g11-forces-and-motion-inward) , a frase: “a Lua não cai porque se move depressa o bastante”.

**Solução de Exercício 16.14.**

*1.* $T = 27.3 \times 86\,400\,\mathrm{s} \approx 2.36 \times 10^{6}\,\mathrm{s}$, logo $v = \dfrac{2\pi \times 3.84 \times 10^{8}}{2.36 \times 10^{6}} \approx
1.0 \times 10^{3}\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx 1\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$. *2.* Em direção à Terra (para dentro); o puxão gravitacional da Terra. *3.* A Lua *está* caindo: a variação da velocidade dela aponta para a Terra a cada instante. A velocidade tangencial apenas garante que ela continue errando o alvo — ela cai *em volta* da Terra, em vez de cair dentro dela.

**Exercício 16.15 ★★★.**

Um ovo de massa $50\,\mathrm{g}$ atinge o chão a $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: no piso de cerâmica ele para em cerca de $1\,\mathrm{ms}$, sobre uma espuma grossa em cerca de $50\,\mathrm{ms}$. Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) médias. Explique, com o mesmo raciocínio, por que você dobra os joelhos ao aterrissar de um salto e de que é feito o colchão de queda de um ginasta.

**Solução de Exercício 16.15.**

Mesmos $m$ e $\Delta v$, de modo que $F\Delta t$ está fixado: um $\Delta t$ cinquenta vezes maior na espuma significa uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média cinquenta vezes menor. Dobrar os joelhos estica o $\Delta t$ da aterrissagem de um solavanco para uma flexão longa; um colchão de queda é, mecanicamente falando, feito de milissegundos extras.

## 16.7 Problema: o teste de colisão

**Problema 16.1.**

Problema de fim de semana — projetar a colisão suave: como uma batida fixa a variação de velocidade, todo dispositivo de segurança de um carro é uma máquina de esticar o tempo

Um laboratório de testes de colisão lança um carro a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ contra uma parede rígida, com um boneco adulto de $70\,\mathrm{kg}$ e um boneco infantil de $20\,\mathrm{kg}$ a bordo; câmeras cronometram cada parada. A sua tarefa: descobrir onde mora a violência de uma batida e projetá-la para longe.

**Parte I — A medida de uma batida.**

1. Converta $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ para $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ .
2. Em toda parada frontal, a variação de velocidade dos ocupantes tem o mesmo módulo. Qual? Por que dispositivo algum consegue alterá-la?
3. Cite o [Teorema 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw) : com $\Delta v$ e $m$ fixos, $F\,\Delta t$ está fixado. Qual é o único botão do projetista?
4. A parede para o carro em $0.050\,\mathrm{s}$ ; uma zona de deformação programada estica isso para $0.150\,\mathrm{s}$ . Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) médias.
5. Em que sentido apontam $\Delta \vect v$ e a [força resultante](#def-g11-forces-and-motion-netforce) sobre os bonecos durante a parada?

**Parte II — A zona de deformação.**

6. Por que, em uma frase, os engenheiros projetam a frente do carro para ser destruída?
7. Num carro antigo e rígido (parada em $0.050\,\mathrm{s}$ ) o boneco é amarrado rigidamente ao banco. Compare a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre ele com a da parada moderna de $0.150\,\mathrm{s}$ .
8. A velocidade do carro que para cai de modo regular (média: metade da inicial). Que distância ele percorre em $0.150\,\mathrm{s}$ ? Compare com uma zona de deformação real.
9. Por que não uma zona de deformação de $10\,\mathrm{m}$ ? E que parte do carro *não* pode se deformar?
10. Resuma a Parte II num lema: “você não pode escolher $\Delta v$ , então tem de escolher …”.

**Parte III — O cinto, o airbag e a criança.**

11. Um boneco sem cinto conserva os seus $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ( [Capítulo 6](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#ch-g10-inertia) ) até que o para-brisa o pare em $0.005\,\mathrm{s}$ ; um boneco com cinto para junto com o carro, em $0.150\,\mathrm{s}$ . Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) médias.
12. Por que um cinto que estica um pouco é melhor do que um arreio de aço inextensível?
13. A cabeça pararia no volante em $0.010\,\mathrm{s}$ ; o airbag estica isso para $0.080\,\mathrm{s}$ . Compare as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) .
14. O adulto e a criança sofrem o mesmo $\Delta v$ no mesmo $\Delta t$ . Compare as [forças resultantes](#def-g11-forces-and-motion-netforce) que os dois cintos precisam fornecer.
15. Uma criança no colo: os braços têm de mudar a velocidade de um bebê de $10\,\mathrm{kg}$ em $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ durante $0.150\,\mathrm{s}$ , enquanto a gravidade muda uma velocidade em $9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada segundo. Quantas vezes mais depressa os braços precisam agir — e segurar que massa seria igualmente pesado? Conclua.
16. As crianças sentem [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) menores — então por que cadeirinhas? Pense em *onde* o cinto aplica a sua [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) e em $\Delta t$ .

**Parte IV — A célula de sobrevivência e o veredito.**

17. A célula dos passageiros é rígida, enquanto as duas extremidades se deformam. Por que a célula não pode se deformar, embora rigidez signifique paradas violentas?
18. Dois carros idênticos colidem de frente, cada um a $50\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ . Onde cada um para? Compare cada batida com o teste da parede.
19. Um carro pequeno encontra de frente um caminhão carregado. As [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que eles exercem um sobre o outro são iguais e opostas, mútuas como toda interação ( [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#ch-g11-fundamental-interactions) ). Qual dos dois muda mais de velocidade?
20. Liste os dispositivos de segurança deste problema e a única grandeza que todos eles esticam.
21. Final: enuncie a lei de projeto da colisão suave em uma frase, usando apenas *massa* , *variação de velocidade* , *[força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force)* e *tempo* .

**Solução de Problema 16.1.**

**1.** $50/3.6 \approx 13.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (digamos $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$). **2.** $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: o ocupante se move a $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ antes e a zero depois — as duas pontas são fixadas pela batida, de modo que dispositivo algum toca em $\Delta v$. **3.** $\Delta v \propto F\Delta t/m$ ([Teorema 16.5](#thm-g11-forces-and-motion-secondlaw)) com $\Delta v$ e $m$ fixos obriga $F\Delta t$ a ficar fixo. O único botão do projetista é $\Delta t$. **4.** $0.150/0.050 = 3$: a zona de deformação divide a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média por $3$. **5.** Para trás, no sentido oposto ao do movimento — a velocidade encolhe de $14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até zero. **6.** A frente que se amassa é uma máquina para fazer a parada durar mais: metal que se deforma compra milissegundos. **7.** Mesmos $\Delta v$ e $m$, com $\Delta t$ três vezes menor: o boneco do carro antigo recebe três vezes a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force). **8.** [Velocidade média](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-speed) $\approx 6.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; distância $\approx 6.9 \times 0.150 \approx 1.0\,\mathrm{m}$ — mais ou menos o [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de carro deformável que uma zona de deformação real oferece. **9.** Um bico de $10\,\mathrm{m}$ é impossível de dirigir e de estacionar, e a massa dele pioraria toda batida. A célula dos passageiros não pode se deformar: é ela que preserva o espaço de sobrevivência. **10.** “…então tem de escolher $\Delta t$.” **11.** $0.150/0.005 = 30$: a parada no para-brisa é trinta vezes mais violenta do que a com cinto. **12.** Um cinto que estica um pouco alonga mais ainda o $\Delta t$ do próprio ocupante (e espalha a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force)); um arreio de aço imporia ao passageiro, mais frágil, a parada mais curta da carroceria. **13.** $0.080/0.010 = 8$: o airbag divide a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre a cabeça por $8$. **14.** Mesmos $\Delta v$ e $\Delta t$: a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) escala com a massa, $70/20 = 3.5$ vezes maior para o adulto. **15.** Variação exigida: $14/0.150 \approx 93\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ a cada segundo — cerca de $9.5$ vezes o que a gravidade produz ($9.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ por segundo). Os braços precisam puxar cerca de $9.5$ vezes o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) do bebê: como segurar uma carga de $95\,\mathrm{kg}$. Braço algum consegue; o bebê é arremessado para a frente. **16.** O cinto de um adulto encaminha a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) para o quadril e o tórax; numa criança ele carregaria a barriga e o pescoço. A cadeirinha aplica a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (menor) a partes fortes do corpo, e o acolchoamento dela estica ainda mais o $\Delta t$. **17.** Se a célula se deforma, os ocupantes perdem o espaço de sobrevivência e são atingidos pela própria estrutura. Nada deve bater diretamente na célula rígida: as paradas dos ocupantes ficam a cargo do cinto e do airbag ($\Delta t$ longo), enquanto a célula ancora as extremidades que se amassam. **18.** Por simetria, os dois carros param no plano de contato: cada motorista sofre $\Delta v \approx 14\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao longo de uma parada com zona de deformação — essencialmente o teste da parede, e não “o dobro da batida”. **19.** As [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) são iguais e opostas, mas $\Delta v \propto F\Delta t/m$: o carro pequeno, de massa pequena, sofre a grande variação de velocidade. **20.** Zona de deformação, cinto que estica, airbag e acolchoamento da cadeirinha — todos eles esticam a mesma grandeza: $\Delta t$. **21.** A batida fixa a massa e a variação de velocidade e, portanto, o produto [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $\times$ tempo: uma colisão suave é uma colisão longa — estique o tempo e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) cai na mesma razão.