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title: "Trabalho de uma força"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 17
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca
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# Capítulo 17 — Trabalho de uma força

Empurre um guarda-roupa pela sala e você trabalhou; empurre uma parede a tarde inteira e, digam o que disserem os seus músculos, a física conta zero. O [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) é o que uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) entrega *ao longo de um movimento* — [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) em trânsito ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation)), paga em [joules](#def-g11-work-of-force-work). Este capítulo dá preço às [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) do [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#ch-g11-forces-and-motion) — puxões em ângulo, [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) — e cronometra o ritmo do pagamento: a [potência](#def-g11-work-of-force-power).

## 17.1 Trabalho de uma força constante

**Definição 17.1 (Trabalho de uma força constante).**

Uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) constante $\vect F$ aplicada a um objeto que se move ao longo de um segmento retilíneo de $A$ até $B$ realiza o *trabalho*

$$
W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta ,
$$

em que $F$ é o módulo da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (em $\mathrm{N}$), $AB$ é o comprimento do deslocamento (em $\mathrm{m}$) e $\theta$ é o ângulo entre $\vect F$ e $\vect{AB}$. O trabalho se mede em *joules* ($\mathrm{J}$): um joule é o trabalho de uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de um [newton](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ao longo de um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) na sua própria direção.

**Observação 17.2.**

$F \times AB \times \cos\theta$ é exatamente o produto escalar $\vect F \cdot \vect{AB}$ do volume de matemática deste ano. Só a componente $F\cos\theta$ *ao longo* do movimento rende alguma coisa.

![Só a projeção F da força sobre o deslocamento realiza trabalho: W_AB( F) = F × AB ×.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-cbe772a7790b.svg)

*Só a projeção $F\cos\theta$ da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) sobre o deslocamento realiza [trabalho](#def-g11-work-of-force-work): $W_{AB}(\vect F) = F \times AB \times \cos\theta$.*

**Exemplo 17.3 (Mala na correia).**

Um viajante arrasta uma mala por $300\,\mathrm{m}$ num terminal, puxando a alça com $F = 40\,\mathrm{N}$ a $\theta = 50{}^{\circ}$ do piso: $W = 40 \times 300 \times \cos50{}^{\circ} \approx 7.7\,\mathrm{kJ}$. Puxada na horizontal ($\theta = 0$), a mesma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) entregaria $12\,\mathrm{kJ}$: um terço do puxão não levanta nada.

**Definição 17.4 (Trabalho motor, resistente e nulo).**

O sinal de $\cos\theta$ classifica toda [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) em três regimes:

- $\theta < 90{}^{\circ}$ : $W > 0$ , o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) é *motor* — a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) injeta [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) no movimento;
- $\theta = 90{}^{\circ}$ : $W = 0$ , a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) não realiza [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) algum, por maior que seja;
- $\theta > 90{}^{\circ}$ : $W < 0$ , o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) é *resistente* — a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) drena [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) . O caso puro é um freio, a $180{}^{\circ}$ : $800\,\mathrm{N}$ ao longo de $45\,\mathrm{m}$ retiram $800 \times 45 \times (-1) = -36\,\mathrm{kJ}$ de um carro, e os despejam em discos quentes.

![Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-f85719ec6d36.svg)

![Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-ffa1e2cd548a.svg)

![Os três regimes — motor, nulo e resistente — pelo ângulo entre a força e o deslocamento (flecha vermelha).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-25729cb1b7cc.svg)

*Os três regimes — [motor](#def-g11-work-of-force-sign), nulo e [resistente](#def-g11-work-of-force-sign) — pelo ângulo entre a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) e o deslocamento (flecha vermelha).*

## 17.2 O trabalho do peso

**Proposição 17.5 (Trabalho do peso).**

Quando um objeto de massa $m$ vai de $A$ (altitude $z_A$) até $B$ (altitude $z_B$) por *qualquer* caminho feito de segmentos retilíneos, o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) $\vect P$ realiza o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work)

$$
W_{AB}(\vect P) = mg\,(z_A - z_B) = \pm\, mgh ,
$$

em que $h = \abs{z_A - z_B}$ é o desnível: $+mgh$ na descida e $-mgh$ na subida — só o desnível importa, e não o percurso.

**Demonstração.** Num único segmento retilíneo $AB$, o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (módulo $mg$, dirigido para baixo) faz um ângulo $\theta$ com $\vect{AB}$, e $AB\cos\theta$ é justamente a projeção do deslocamento sobre a vertical descendente: $z_A - z_B$. Logo, $W = mg \times AB\cos\theta = mg\,(z_A - z_B)$. Numa sequência de segmentos os [trabalhos](#def-g11-work-of-force-work) se somam e os desníveis se telescopam: $mg(z_A - z_C) + mg(z_C - z_B) = mg(z_A - z_B)$. ∎

**Proposição 17.6 (Qualquer caminho).**

A mesma fórmula vale ao longo de qualquer caminho curvo de $A$ até $B$.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 17.7.**

É plausível — uma curva está tão perto quanto queiramos de uma linha quebrada de muitos segmentos curtos —, mas tornar honesto esse “tão perto quanto queiramos” é cálculo, feito no [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy).

![Reto (azul) ou sinuoso (verde), todo caminho de A até B desce o mesmo h: o peso realiza +mgh nos dois.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-ff9981f7e2e4.svg)

*Reto (azul) ou sinuoso (verde), todo caminho de $A$ até $B$ desce o mesmo $h$: o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) realiza $+mgh$ nos dois.*

**Exemplo 17.8 (Caminhante).**

Um caminhante de $78\,\mathrm{kg}$ (mochila incluída) sobe $450\,\mathrm{m}$, por qualquer trilha: $W(\vect P) = -78 \times 9.81 \times 450 \approx
-344\,\mathrm{kJ}$, e exatamente $+344\,\mathrm{kJ}$ na descida, sejam quais forem os desvios.

## 17.3 O trabalho do atrito

**Proposição 17.9 (Trabalho do atrito de deslizamento).**

Uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de módulo constante $f$, a cada instante oposta ao movimento, realiza o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) $W = -fL$ ao longo de um caminho de comprimento total $L$: sempre [resistente](#def-g11-work-of-force-sign) e proporcional ao *comprimento do caminho percorrido* — e não ao deslocamento.

**Demonstração.** Em cada pedacinho retilíneo a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) está a $180{}^{\circ}$ do movimento, contribuindo com $-f \times (\text{o comprimento dele})$; os pedaços somam $-fL$. Um caminho curvo é picado em pedacinhos do mesmo jeito, com o limite admitido como no caso do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Observação 17.7](#rem-g11-work-of-force-anypath)). ∎

**Observação 17.10 (Atrito contra peso: a grande divisão).**

O [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) esquece o caminho; o do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) é um pedágio por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit). Numa ida e volta o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) fecha em zero — o que ele toma na subida devolve na descida —, enquanto o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) cobra $-fL$ em cada trecho e não devolve nada: o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) pode ser armazenado e recuperado ([energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial, [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy)), e o do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) se perde como calor.

**Exemplo 17.11 (Ida e volta).**

Um engradado desliza $5.0\,\mathrm{m}$ pelo piso e $5.0\,\mathrm{m}$ de volta, contra $f = 60\,\mathrm{N}$: o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) realiza $-60 \times 10 = -600\,\mathrm{J}$, embora o engradado termine onde começou. [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) normal, perpendiculares ao movimento: zero o tempo todo.

**Observação 17.12 (E uma mola?).**

Uma mola puxa com mais [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) quanto mais esticada estiver: a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dela não é constante e a [Definição 17.1](#def-g11-work-of-force-work) não se aplica. Calcular o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) dela significa cortar o alongamento em passos infinitesimais e somar — cálculo, entregue no [Capítulo 29](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy).

## 17.4 Potência

**Definição 17.13 (Potência).**

A *potência* de uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) é o ritmo com que ela realiza [trabalho](#def-g11-work-of-force-work), $P = W/\Delta t$, em *watts* ($\mathrm{W} = \mathrm{J}/\mathrm{s}$) — o mesmo watt do [Capítulo 12](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#ch-g11-circuits-and-power). Uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) anterior ao SI sobrevive nas placas dos [motores](#def-g11-work-of-force-sign): o *cavalo-vapor*, $1\,\mathrm{hp} = 736\,\mathrm{W}$.

**Proposição 17.14 (Potência com velocidade constante).**

Se o objeto se move com velocidade escalar constante $v$, uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) constante $\vect F$ a um ângulo $\theta$ do movimento entrega a [potência](#def-g11-work-of-force-power) $P = F v \cos\theta$ — em particular, $P = Fv$ para uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) ao longo do movimento.

**Demonstração.** Num tempo $\Delta t$ o objeto percorre $d = v\,\Delta t$, de modo que $W = F \times v\,\Delta t \times \cos\theta$; divida por $\Delta t$. ∎

**Exemplo 17.15 (Guindaste).**

Um guindaste iça um palete de $600\,\mathrm{kg}$ a constantes $0.90\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) do cabo é igual ao [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), $mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$, logo $P = Fv = 5890 \times 0.90 \approx 5.3\,\mathrm{kW} \approx 7.2\,\mathrm{hp}$ — uma parelha de sete cavalos dentro de uma caixa de aço.

**Método 17.16 (Subir com menos força: o ziguezague).**

Para elevar uma carga a uma altura $h$ com uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) limitada:

1. A conta está fixada: pela [Proposição 17.5](#prop-g11-work-of-force-weight) , qualquer rota até o topo custa o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) $mgh$ .
2. Estique o caminho: numa rampa de comprimento $L$ a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) necessária (com velocidade constante, deixando o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de lado) vale $F = mgh/L$ — dobre o comprimento e reduza a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) à metade.
3. Pague a sobretaxa: o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) cobra por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) ( [Proposição 17.9](#prop-g11-work-of-force-friction) ), acrescentando $fL$ .

As estradas de montanha ziguezagueiam pelo passo 2: mesma altura, menos [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), mesmo [trabalho](#def-g11-work-of-force-work).

![Puxar 1200\, kg até h = 300\, m: o produto F × L = mgh = 3.53\, MJ está fixado, de modo que a estrada troca comprimento por força (veja o ).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-work-of-force/fig-e1ce681d22b0.svg)

*Puxar $1200\,\mathrm{kg}$ até $h = 300\,\mathrm{m}$: o produto $F \times L = mgh = 3.53\,\mathrm{MJ}$ está fixado, de modo que a estrada troca comprimento por [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (veja o [Exercício 17.12](#exo-g11-work-of-force-12)).*

## 17.5 Exercícios

**Exercício 17.1 ★.**

Uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) constante $F = 40\,\mathrm{N}$ age ao longo de um deslocamento retilíneo de $50\,\mathrm{m}$: calcule o seu [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) para $\theta = 0{}^{\circ}$, $60{}^{\circ}$, $90{}^{\circ}$ e $120{}^{\circ}$.

**Solução de Exercício 17.1.**

$W = 40 \times 50 \times \cos\theta$: $+2000\,\mathrm{J}$; $+1000\,\mathrm{J}$; $0$; $-1000\,\mathrm{J}$.

**Exercício 17.2 ★.**

Uma caixa de ferramentas de $12\,\mathrm{kg}$ é baixada $2.5\,\mathrm{m}$ de uma van e, mais tarde, içada de volta. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) dela em cada caso?

**Solução de Exercício 17.2.**

$mgh = 12 \times 9.81 \times 2.5 = 294\,\mathrm{J}$: baixada, $+294\,\mathrm{J}$ ([peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) no sentido da descida); içada, $-294\,\mathrm{J}$.

**Exercício 17.3 ★.**

[Motor](#def-g11-work-of-force-sign), [resistente](#def-g11-work-of-force-sign) ou nulo? (a) o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma maçã em queda; (b) o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) de uma bola em ascensão; (c) a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) normal sobre uma caixa que desliza; (d) o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) sobre uma bicicleta que freia; (e) a tensão do fio sobre a massa de um pêndulo que oscila.

**Solução de Exercício 17.3.**

(a) [motor](#def-g11-work-of-force-sign); (b) [resistente](#def-g11-work-of-force-sign); (c) nulo (perpendicular); (d) [resistente](#def-g11-work-of-force-sign); (e) nulo — a tensão do fio permanece perpendicular ao movimento da massa.

**Exercício 17.4 ★.**

Um guindaste levanta $600\,\mathrm{kg}$ em $25\,\mathrm{m}$ com velocidade constante. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de içamento e o do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight)? Qual é a soma deles, e por quê?

**Solução de Exercício 17.4.**

Velocidade constante: [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de içamento $= mg = 5.89 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$, logo $W_{\text{içamento}} = 5886 \times 25 \approx +147\,\mathrm{kJ}$ e $W(\vect P) = -147\,\mathrm{kJ}$. Soma nula: com velocidade constante as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) se equilibram ([Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#ch-g11-forces-and-motion)), de modo que os [trabalhos](#def-g11-work-of-force-work) delas se cancelam.

**Exercício 17.5 ★.**

O [motor](#def-g11-work-of-force-sign) de uma escada rolante realiza $90\,\mathrm{kJ}$ de [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) a cada minuto. Qual é a [potência](#def-g11-work-of-force-power) dele em [watts](#def-g11-work-of-force-power)? E em cavalos-vapor?

**Solução de Exercício 17.5.**

$P = 9.0 \times 10^{4}/60 = 1.5\,\mathrm{kW}$; $1500/736 \approx 2.0\,\mathrm{hp}$.

**Exercício 17.6 ★★.**

Um trenó é rebocado por $200\,\mathrm{m}$ por uma corda de tensão $120\,\mathrm{N}$ a $30{}^{\circ}$ acima da neve; o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) vale $45\,\mathrm{N}$. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) de cada uma das quatro [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (corda, [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), normal) e o total?

**Solução de Exercício 17.6.**

Corda: $120 \times 200 \times \cos30{}^{\circ} \approx
+20.8\,\mathrm{kJ}$; [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $-45 \times 200 = -9.0\,\mathrm{kJ}$; [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) normal, perpendiculares: $0$. Total $+11.8\,\mathrm{kJ}$: o trenó ganha velocidade.

**Exercício 17.7 ★★.**

Um ciclista pedala a constantes $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ contra um arrasto total de $18\,\mathrm{N}$. Qual é a [potência](#def-g11-work-of-force-power) entregue? E o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) realizado em uma hora?

**Solução de Exercício 17.7.**

$v = 25/3.6 = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $P = Fv = 18 \times 6.94 \approx 125\,\mathrm{W}$. Em uma hora, $W = P\,\Delta t = 125 \times 3600 = 450\,\mathrm{kJ}$ (o que dá no mesmo: $18 \times 25\,000\,\mathrm{m}$).

**Exercício 17.8 ★★.**

Um esquiador de $65\,\mathrm{kg}$ desce $120\,\mathrm{m}$ de altura, por uma pista íngreme de $800\,\mathrm{m}$ ou por uma trilha suave de $1500\,\mathrm{m}$; o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) nos esquis é de $30\,\mathrm{N}$ nas duas. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e o do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) em cada rota? Que [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) se importa com a rota?

**Solução de Exercício 17.8.**

[Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight), nas duas rotas: $+65 \times 9.81 \times 120 \approx +76.5\,\mathrm{kJ}$ (só o desnível). [Atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $-30 \times 800 = -24\,\mathrm{kJ}$ na pista e $-30 \times 1500 = -45\,\mathrm{kJ}$ na trilha. Só o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) se importa com a rota.

**Exercício 17.9 ★★.**

Uma caixa de $20\,\mathrm{kg}$ é empurrada $4.0\,\mathrm{m}$ rampa acima, com inclinação de $25{}^{\circ}$, com velocidade constante e contra $30\,\mathrm{N}$ de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory). Calcule os [trabalhos](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e, em seguida (a partir da velocidade constante), o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) e o módulo do empurrão, paralelo à rampa.

**Solução de Exercício 17.9.**

Subida $h = 4.0\sin25{}^{\circ} = 1.69\,\mathrm{m}$: $W(\vect P) = -20 \times 9.81 \times 1.69 \approx -332\,\mathrm{J}$; $W_f = -30 \times 4.0 = -120\,\mathrm{J}$. Velocidade constante: [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) total nulo, logo $W_{\text{empurrão}} = +452\,\mathrm{J}$ e $F = 452/4.0 \approx 113\,\mathrm{N}$.

**Exercício 17.10 ★★.**

Um carro segue a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ com o [motor](#def-g11-work-of-force-sign) entregando $50\,\mathrm{kW}$ às rodas. Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) [resistente](#def-g11-work-of-force-sign) total ele enfrenta?

**Solução de Exercício 17.10.**

$v = 130/3.6 = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; velocidade constante, logo $F = P/v = 5.0 \times 10^{4}/36.1 \approx 1.4\,\mathrm{kN}$.

**Exercício 17.11 ★★.**

Um cavalo de canal reboca uma barcaça a $1.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, com a corda de tensão $800\,\mathrm{N}$ fazendo $20{}^{\circ}$ com o caminho de sirga. Calcule a [potência](#def-g11-work-of-force-power) do cavalo, em [watts](#def-g11-work-of-force-power) e em cavalos-vapor. Comente.

**Solução de Exercício 17.11.**

$P = Fv\cos\theta = 800 \times 1.0 \times \cos20{}^{\circ}
\approx 752\,\mathrm{W}$; em cavalos-vapor, $752/736 \approx 1.02$ — quase exatamente o que um cavalo forte sustenta, a comparação sobre a qual Watt construiu a sua [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Exercício 17.12 ★★★.**

Um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ sobe $h = 300\,\mathrm{m}$ até um passo, por uma trilha reta de $20\%$ de inclinação ou por uma estrada em ziguezague de $6\%$ (inclinação $= \sin\alpha$). Desprezando o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), com velocidade constante, calcule para cada rota o comprimento, a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) necessária ao longo da rampa e o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) dela. Conclua em uma frase.

**Solução de Exercício 17.12.**

Comprimentos $L = h/\text{inclinação}$: $1500\,\mathrm{m}$ e $5000\,\mathrm{m}$. [Forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) $F = mg \times \text{inclinação}$: $1200 \times 9.81 \times 0.20 \approx 2.35\,\mathrm{kN}$ e $0.71\,\mathrm{kN}$. [Trabalhos](#def-g11-work-of-force-work) $FL$: $2354 \times 1500 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ e $706 \times 5000 \approx 3.53\,\mathrm{MJ}$ — os dois iguais a $mgh$: a estrada troca [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) por comprimento, jamais por [trabalho](#def-g11-work-of-force-work).

**Exercício 17.13 ★★★.**

Um guincho ergue $250\,\mathrm{kg}$ de telhas $15\,\mathrm{m}$ por um andaime a constantes $0.40\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) do cabo, a duração, a [potência](#def-g11-work-of-force-power) mecânica (duas vezes: $W/\Delta t$ e $Fv$) e a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#prop-g11-circuits-and-power-power) consumida com $70\%$ de [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) do [motor](#def-g11-work-of-force-sign).

**Solução de Exercício 17.13.**

$F = mg = 2.45 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$; $W = 2453 \times 15 \approx 36.8\,\mathrm{kJ}$; $\Delta t = 15/0.40 = 37.5\,\mathrm{s}$; $P = 36800/37.5 \approx 981\,\mathrm{W} = 2453 \times 0.40$ ($Fv$ concorda); elétrica: $981/0.70 \approx 1.4\,\mathrm{kW}$.

**Exercício 17.14 ★★★.**

Um guarda-roupa é arrastado contra $f = 140\,\mathrm{N}$ de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de um canto da sala até o canto oposto: em linha reta pela diagonal de $6.0\,\mathrm{m}$, ou $3.6\,\mathrm{m}$ e depois $4.8\,\mathrm{m}$ ao longo das paredes. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) em cada rota, e depois numa ida e volta pela diagonal? O que o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) faz nessa ida e volta, e que diferença profunda entre as duas [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) isso expõe?

**Solução de Exercício 17.14.**

Diagonal: $-140 \times 6.0 = -840\,\mathrm{J}$; paredes: $-140 \times 8.4 \approx -1.18\,\mathrm{kJ}$; ida e volta: $-140 \times 12 = -1.68\,\mathrm{kJ}$. O [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) realiza [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) nulo na ida e volta (sem desnível líquido). O [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) depende do caminho e nunca devolve; o do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) depende só dos extremos ([Observação 17.10](#rem-g11-work-of-force-divide)).

**Exercício 17.15 ★★★.**

Um ciclista ($80\,\mathrm{kg}$ com a bicicleta) sobe um passo: $600\,\mathrm{m}$ de altura ao longo de $12\,\mathrm{km}$ de estrada, a constantes $15\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$, contra $14\,\mathrm{N}$ de arrasto e [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de rolamento. Calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) fornecido contra a gravidade, contra o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e ao todo; a duração da subida; e a [potência](#def-g11-work-of-force-power) média, em [watts](#def-g11-work-of-force-power) e em cavalos-vapor.

**Solução de Exercício 17.15.**

Gravidade: $80 \times 9.81 \times 600 \approx 471\,\mathrm{kJ}$; [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $14 \times 12000 = 168\,\mathrm{kJ}$; total $639\,\mathrm{kJ}$. $v = 4.17\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, logo $\Delta t = 12000/4.17 = 2880\,\mathrm{s} = 48\,\mathrm{min}$ e $P = 6.39 \times 10^{5}/2880 \approx 222\,\mathrm{W} \approx 0.30\,\mathrm{hp}$ — um amador forte, um terço de cavalo.

## 17.6 Problema: o dia da mudança

**Problema 17.1.**

Problema de fim de semana — a física paga por joule: um dia de arrastar, içar e subir curvas fechadas, terminando com a humilhante descoberta do que uma chaleira acha do trabalho honesto

Uma equipe de mudanças esvazia um depósito, sobe a carga até um apartamento de terceiro andar e depois leva a van até um povoado no alto de um morro. Cada tarefa tem preço em [joules](#def-g11-work-of-force-work); a chaleira da cozinha vai auditar o dia. Caixas: $30\,\mathrm{kg}$.

**Parte I — Pelo piso do depósito.** Uma caixa é empurrada com uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) horizontal $F = 110\,\mathrm{N}$ por $d = 8.0\,\mathrm{m}$; o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de deslizamento vale $f = 95\,\mathrm{N}$.

1. Calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do empurrão.
2. Calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) , o do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e o da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) normal (justifique os zeros).
3. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) total sobre a caixa e o significado do sinal dele (a caixa partiu do repouso)? Que empurrão mantém a velocidade constante ( [Capítulo 16](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#ch-g11-forces-and-motion) )?
4. O canto oposto pode ser alcançado pela diagonal de $10.0\,\mathrm{m}$ ou por duas paredes ( $6.0\,\mathrm{m}$ e depois $8.0\,\mathrm{m}$ ). Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) em cada rota?
5. Numa ida e volta pela diagonal, calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) . Que [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) devolve?

**Parte II — Até o terceiro andar ($h = 9.0\,\mathrm{m}$).**

6. Calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) numa caixa erguida até o apartamento. Que [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) a equipe precisa fornecer, no mínimo?
7. Carregada escada acima por um carregador de $70\,\mathrm{kg}$ , a gravidade cobra pelo carregador *e* pela caixa: qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) total contra a gravidade e a fração efetivamente gasta com a caixa?
8. Uma rampa para carrinho tem $30\,\mathrm{m}$ de comprimento para a mesma subida de $9.0\,\mathrm{m}$ , com $40\,\mathrm{N}$ de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) de rolamento. Com velocidade constante, calcule o empurrão necessário ao longo da rampa e o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) dele.
9. Compare a rampa com um içamento vertical direto: [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) necessária e [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) realizado. O que a rampa compra, e a que preço?
10. Um sistema de corda e roldana ergue a caixa a $0.50\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ . Qual é a duração e a [potência](#def-g11-work-of-force-power) mecânica?
11. Recupere essa [potência](#def-g11-work-of-force-power) como $P = Fv$ . O [motor](#def-g11-work-of-force-sign) do guincho tem $60\%$ de [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) : qual é a [potência elétrica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#prop-g11-circuits-and-power-power) consumida?

**Parte III — A estrada em ziguezague.** A van carregada ($3500\,\mathrm{kg}$) precisa chegar a um povoado $240\,\mathrm{m}$ acima do vale: pela ladeira reta, $1.0\,\mathrm{km}$ a $24\%$ de inclinação, ou pela estrada asfaltada, $8.0\,\mathrm{km}$ a $3.0\%$ (inclinação $= \sin\alpha$).

12. Confira que as duas rotas sobem os mesmos $240\,\mathrm{m}$ .
13. Com velocidade constante e desprezando o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) , calcule a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) motriz necessária em cada rota.
14. Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) motriz em cada rota? Compare com $mgh$ .
15. A [resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de rolamento vale $400\,\mathrm{N}$ nas duas: calcule o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) extra em cada rota. Quanto custa o conforto do ziguezague?
16. A $36\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ , calcule a [potência](#def-g11-work-of-force-power) de [motor](#def-g11-work-of-force-sign) necessária em cada rota (em $\mathrm{kW}$ e em $\mathrm{hp}$ ). Por que as estradas ziguezagueiam?

**Parte IV — O balanço do dia.**

17. A equipe arrasta $60$ caixas pelo piso (com o empurrão da questão 1) e iça as $60$ pelos $9.0\,\mathrm{m}$ (questão 6). Qual é o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) mecânico total entregue às caixas?
18. Acrescente o próprio corpo de quem sobe a escada: $20$ viagens de subida a $70\,\mathrm{kg}$ (as devoluções da descida vão para joelhos doloridos, e não para o balanço). Qual é o total do dia?
19. A equipe trabalhou $8.0$ horas: qual é a [potência](#def-g11-work-of-force-power) mecânica média? Quanto tempo a chaleira de $2.0\,\mathrm{kW}$ levaria para gastar a mesma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ?
20. Final: em duas frases, diga o que o [joule](#def-g11-work-of-force-work) paga — e o que não paga (a parede empurrada a tarde inteira, a caixa segurada imóvel) — e por que as equipes de mudança têm guinchos, rampas e estradas em ziguezague em vez de músculos maiores.

**Solução de Problema 17.1.**

**1.** $W = 110 \times 8.0 = +880\,\mathrm{J}$.

**2.** [Atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $-95 \times 8.0 = -760\,\mathrm{J}$. [Peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) e [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) normal são perpendiculares ao movimento: zero cada um.

**3.** Total $+120\,\mathrm{J}$: [trabalho motor](#def-g11-work-of-force-sign) líquido, e a caixa ganha velocidade. Um empurrão de $95\,\mathrm{N}$ equilibra o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) — [força resultante](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/16-forcas-e-movimento#def-g11-forces-and-motion-netforce) nula, velocidade constante, [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) total nulo.

**4.** Diagonal: $-95 \times 10.0 = -950\,\mathrm{J}$; paredes: $-95 \times 14.0 = -1.33\,\mathrm{kJ}$: o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) cobra por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**5.** [Atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): $-95 \times 20.0 = -1.9\,\mathrm{kJ}$; [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $0$ (sem desnível líquido). Só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) devolve.

**6.** $W(\vect P) = -30 \times 9.81 \times 9.0 = -2.65\,\mathrm{kJ}$; a equipe precisa fornecer pelo menos $+2.65\,\mathrm{kJ}$.

**7.** $(70 + 30) \times 9.81 \times 9.0 = 8.83\,\mathrm{kJ}$; a fatia da caixa é $2.65/8.83 \approx 30\%$ — carregar é, sobretudo, transportar a si mesmo.

**8.** $\sin\alpha = 9.0/30 = 0.30$: $F = mg\sin\alpha + f = 88.3 + 40 = 128\,\mathrm{N}$; $W = 128 \times 30 = 3.85\,\mathrm{kJ}$ ($= 2.65 + 1.2$).

**9.** Içamento vertical: $F = mg = 294\,\mathrm{N}$, $W = 2.65\,\mathrm{kJ}$. A rampa compra uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) menor ($128$ contra $294\,\mathrm{N}$) ao preço de mais [trabalho](#def-g11-work-of-force-work): o pedágio de $1.2\,\mathrm{kJ}$ do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**10.** $\Delta t = 9.0/0.50 = 18\,\mathrm{s}$; $P = 2649/18 \approx 147\,\mathrm{W}$.

**11.** $P = Fv = 294 \times 0.50 = 147\,\mathrm{W}$ — o mesmo. Elétrica: $147/0.60 \approx 245\,\mathrm{W}$.

**12.** $1000 \times 0.24 = 240\,\mathrm{m}$ e $8000 \times 0.030 = 240\,\mathrm{m}$: o mesmo cume.

**13.** $F = mg \times \text{inclinação}$: ladeira, $3500 \times 9.81 \times 0.24 \approx 8.2\,\mathrm{kN}$; estrada, $\approx 1.0\,\mathrm{kN}$.

**14.** $8240 \times 1000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ e $1030 \times 8000 \approx 8.24\,\mathrm{MJ}$ — os dois iguais a $mgh = 3500 \times 9.81 \times 240$.

**15.** [Resistência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/12-circuitos-eletricos-e-potencia#def-g11-circuits-and-power-resistance) de rolamento: $400 \times 1000 = 0.40\,\mathrm{MJ}$ contra $400 \times 8000 = 3.2\,\mathrm{MJ}$: o conforto da estrada suave custa $2.8\,\mathrm{MJ}$ de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) extra.

**16.** $v = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Estrada: $(1030 + 400) \times 10 = 14.3\,\mathrm{kW} \approx 19\,\mathrm{hp}$; ladeira: $(8240 + 400) \times 10 = 86.4\,\mathrm{kW} \approx 117\,\mathrm{hp}$ — fora do [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-strong) de uma van carregada. As estradas ziguezagueiam para que [motores](#def-g11-work-of-force-sign) (e pneus) modestos consigam subir: o mesmo [trabalho](#def-g11-work-of-force-work), espalhado.

**17.** Por caixa: $880 + 2649 = 3.53\,\mathrm{kJ}$; para $60$ caixas, $60 \times 3529 \approx 212\,\mathrm{kJ}$.

**18.** Escada: $20 \times 70 \times 9.81 \times 9.0 \approx
124\,\mathrm{kJ}$. Total do dia $\approx 336\,\mathrm{kJ} = 0.34\,\mathrm{MJ}$.

**19.** $P = 3.36 \times 10^{5}/28800 \approx 12\,\mathrm{W}$. A chaleira: $3.36 \times 10^{5}/2000 = 168\,\mathrm{s}$ — menos de três minutos para o [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) do dia inteiro.

**20.** O [joule](#def-g11-work-of-force-work) paga pela [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) entregue *ao longo* de um movimento — e nada pela parede empurrada ou pela caixa segurada, por mais extenuantes que sejam (os músculos queimam [energia química](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) mesmo realizando [trabalho](#def-g11-work-of-force-work) mecânico nulo). Como a [potência](#def-g11-work-of-force-power) humana é de algumas dezenas de [watts](#def-g11-work-of-force-power), as equipes de mudança deixam que as máquinas remodelem a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) — guincho, rampa, ziguezague — enquanto a conta $mgh$ nunca muda.