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title: "Energia mecânica e sua conservação"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 18
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao
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# Capítulo 18 — Energia mecânica e sua conservação

Uma montanha-russa não tem motor depois da primeira subida: cada *looping*, cada disparo de velocidade dali em diante é gasto da conta aberta na subida. Este capítulo transforma essa contabilidade em dois números — [energia cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) e [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial — e numa regra: enquanto só o [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) realizar [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work), a soma dos dois não muda. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) é a taxa; vamos aprender a lê-la nos livros.

## 18.1 Energia cinética

**Definição 18.1 (Energia cinética).**

Um corpo de massa $m$ ($\mathrm{kg}$) que se move com velocidade $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) carrega a *energia cinética*

$$
E_k = \tfrac12\, m v^2 .
$$

Conferência de [unidades](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): $\mathrm{kg}\,\mathrm{m}^{2}/\mathrm{s}^{2} = \mathrm{N}\,\mathrm{m} = \mathrm{J}$ — [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work), como toda [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation)).

**Exemplo 18.2 (Ordens de grandeza).**

- um pedestre, $70\,\mathrm{kg}$ a $1.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k = \tfrac12 \times 70 \times 1.4^2 \approx 69\,\mathrm{J}$ ;
- um carro, $1300\,\mathrm{kg}$ a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 8.5 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ ;
- um trem de alta velocidade, $m = 3.85 \times 10^{5}\,\mathrm{kg}$ , a $320\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ $= 88.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ ;
- uma bala de fuzil, $8.0\,\mathrm{g}$ a $800\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ : $E_k \approx 2.6\,\mathrm{kJ}$ .

Sete [ordens de grandeza](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-oom) separam o passeio do trem. E $E_k$ cresce com o *quadrado* da velocidade: a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ o carro carrega $4$ vezes a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que tem a $65\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — quatro vezes o que os freios dele precisam remover.

## 18.2 O teorema da energia cinética

**Teorema 18.3 (Teorema da energia cinética).**

Para um corpo de massa $m$ que se move em linha reta de $A$ até $B$, a variação da [energia cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) é igual ao [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) total ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#ch-g11-work-of-force)) recebido:

$$
\Delta E_k = E_k(B) - E_k(A) = \sum W_{AB}(\vect F),
$$

com a soma percorrendo todas as [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que agem sobre o corpo. Ele se estende a movimentos ao longo de qualquer caminho, o que também admitimos aqui.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 18.4 (Queda livre, conferida quadro a quadro).**

Uma bola de $0.200\,\mathrm{kg}$ é solta e filmada; os quadros dão:

| $t$ ($\mathrm{s}$) | 0.10 | 0.20 | 0.30 | 0.40 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| altura de queda $h$ ($\mathrm{m}$) | 0.049 | 0.196 | 0.441 | 0.785 |
| velocidade $v$ ($\mathrm{m}/\mathrm{s}$) | 0.98 | 1.96 | 2.94 | 3.92 |
| $E_k = \tfrac12 mv^2$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.384 | 0.864 | 1.54 |
| $W = mgh$ ($\mathrm{J}$) | 0.096 | 0.385 | 0.865 | 1.54 |

Partindo de $E_k = 0$, em cada quadro $E_k$ coincide com o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) $mgh$ do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight): $\Delta E_k = W(\vect P)$, ou seja, $v^2 = 2gh$ — o teorema, verificado com a precisão das leituras.

**Observação 18.5 (Onde mora a demonstração).**

O enunciado geral — válido ao longo de qualquer caminho, e não só de uma reta — decorre da segunda lei de Newton e de um pouco de cálculo, ambos mais adiante neste livro (Capítulos [25](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/25-as-leis-de-newton#ch-g12-newtons-laws) e [29](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/29-trabalho-e-energia-mecanica#ch-g12-work-and-energy)); até lá, a conferência da queda livre é a nossa garantia, e admitimos a versão para caminhos curvos e a usamos à vontade.

## 18.3 Energia potencial gravitacional

**Definição 18.6 (Energia potencial gravitacional).**

Um corpo de massa $m$ à altitude $z$, medida para cima a partir de um *nível de referência* escolhido onde $z = 0$, armazena a *energia potencial gravitacional*

$$
E_p = m g z, \qquad g = 9.81\,\mathrm{N}/\mathrm{kg}.
$$

**Observação 18.7 (Só as diferenças importam).**

Ir de $A$ até $B$ muda $E_p$ em $mg(z_B - z_A) = -W_{AB}(\vect P)$: o oposto do [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) do [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) ([Capítulo 17](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#ch-g11-work-of-force)). O [nível de referência](#def-g11-mechanical-energy-potential) é uma escolha livre — o piso, o nível do mar, o tampo da mesa — e desloca $E_p$ em toda parte por uma constante que some de toda diferença. Coloque-o onde os números ficarem mais simples, e não o mude no meio do problema.

**Exemplo 18.8 (Um livro numa prateleira).**

Um livro de $1.2\,\mathrm{kg}$ está $1.8\,\mathrm{m}$ acima do piso, que por sua vez está $9.0\,\mathrm{m}$ acima da rua. Referência no piso: $E_p = 1.2 \times 9.81 \times 1.8 \approx 21\,\mathrm{J}$; na rua: $E_p \approx 127\,\mathrm{J}$. Cair até o piso libera $21\,\mathrm{J}$ nas duas contas.

## 18.4 Energia mecânica e sua conservação

**Definição 18.9 (Energia mecânica).**

A *energia mecânica* de um corpo é

$$
E_m = E_k + E_p = \tfrac12 m v^2 + m g z .
$$

**Teorema 18.10 (Conservação da energia mecânica).**

Se a única [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) que realiza [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) sobre um corpo é o seu [peso](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/4-gravitacao-universal-e-peso#def-g10-universal-gravitation-weight) (sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory); as outras [forças](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force), como a reação de um trilho sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), perpendiculares ao movimento), $E_m$ se conserva: para quaisquer dois pontos $A$ e $B$ do movimento,

$$
\tfrac12 m v_A^2 + m g z_A = \tfrac12 m v_B^2 + m g z_B .
$$

**Demonstração.** Pelo [teorema da energia cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem), $E_k(B) - E_k(A) = W_{AB}(\vect P) = mg(z_A - z_B) = E_p(A) - E_p(B)$: o que $E_k$ ganha, $E_p$ perde. ∎

**Exemplo 18.11 (Toboágua).**

Uma criança parte do repouso no alto de um toboágua sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), de altura $h = 3.2\,\mathrm{m}$. Referência embaixo: $mgh = \tfrac12 mv^2$, logo $v = \sqrt{2gh} \approx 7.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($29\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$) — seja qual for a massa *e seja qual for o formato do escorregador*: reto, curvo ou em espiral, só o desnível entra.

**Exemplo 18.12 (Pêndulo).**

A massa de um pêndulo é puxada de lado até subir $h = 12\,\mathrm{cm}$ acima do seu ponto mais baixo e depois é solta. Nos extremos $v = 0$; no fundo, todo o $mgh$ é cinético, $v = \sqrt{2gh} \approx 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; e do outro lado a massa sobe de volta a exatamente $12\,\mathrm{cm}$.

![O pêndulo troca E_p por E_k e de volta: tudo potencial nos extremos, tudo cinético no fundo, com a mesma subida h duas vezes.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-8240e3c22564.svg)

*O pêndulo troca $E_p$ por $E_k$ e de volta: tudo potencial nos extremos, tudo cinético no fundo, com a mesma subida $h$ duas vezes.*

![Diagrama de barras de energia de uma montanha-russa sem atrito: em cada posição as barras de E_p e E_k se empilham até o mesmo total E_m (linha tracejada).](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-e1246bdcf5fd.svg)

*Diagrama de barras de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de uma montanha-russa sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory): em cada posição as barras de $E_p$ e $E_k$ se empilham até o mesmo total $E_m$ (linha tracejada).*

**Exemplo 18.13 (Velocidade de aterrissagem num salto de esqui).**

Um saltador de esqui deixa a rampa a $v_A = 25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e aterrissa $\Delta z = 40\,\mathrm{m}$ abaixo. Desprezando a resistência do ar, $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g\,\Delta z} = \sqrt{625 + 785} \approx
38\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — sem precisar conhecer a [trajetória](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/5-movimento-relativo#def-g10-relative-motion-trajectory) do voo.

![Salto de esqui: seja qual for a curva voada de A até B, só o desnível z entra no balanço de energia.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-77b4169c48e1.svg)

*Salto de esqui: seja qual for a curva voada de $A$ até $B$, só o desnível $\Delta z$ entra no balanço de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy).*

## 18.5 Dissipação pelo atrito

**Definição 18.14 (Dissipação).**

Diz-se que a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que sai da conta mecânica é *dissipada*: ela reaparece como [energia térmica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms) nas superfícies que se esfregam e no ar. A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) total se conserva ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation)); só a [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em) é que não.

**Proposição 18.15 (O déficit mede o atrito).**

Se uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) $\vect f$ também realiza [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) ao longo do movimento,

$$
\Delta E_m = E_m(B) - E_m(A) = W_{AB}(\vect f) < 0:
$$

a perda de [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em) é igual ao [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**Demonstração.** O [teorema da energia cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem) passa a dizer $\Delta E_k = W_{AB}(\vect P) + W_{AB}(\vect f) = -\Delta E_p +
W_{AB}(\vect f)$; passe $\Delta E_p$ para o outro lado. O [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) se opõe ao movimento, de modo que o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) dele é negativo. ∎

**Exemplo 18.16 (Auditoria do trenó).**

Uma criança com o trenó ($m = 40\,\mathrm{kg}$) parte do repouso, desce $h = 5.0\,\mathrm{m}$ ao longo de $12\,\mathrm{m}$ de neve e chega a $7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$, em vez dos $\sqrt{2gh} \approx 9.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory). Referência embaixo: $\Delta E_m = \tfrac12 \times 40 \times 7.0^2 - 40 \times 9.81
\times 5.0 = 980 - 1962 = -982\,\mathrm{J}$. Logo, $W(\vect f) = -982\,\mathrm{J}$ ao longo de $12\,\mathrm{m}$: uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) média $f = 982/12 \approx 82\,\mathrm{N}$ e $982\,\mathrm{J}$ de calor nos patins e na neve.

![E_m ao longo de um movimento: constante sem atrito e decrescente com ele — a queda em cada instante é o calor produzido até ali.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-mechanical-energy/fig-b9f56ad2a013.svg)

*$E_m$ ao longo de um movimento: constante sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e decrescente com ele — a queda em cada instante é o calor produzido até ali.*

**Método 18.17 (Contabilidade de energia).**

1. Escolha um [nível de referência](#def-g11-mechanical-energy-potential) e mantenha-o; nomeie $A$ (dados) e $B$ (pergunta).
2. Escreva $E_m = \tfrac12 mv^2 + mgz$ em $A$ e em $B$ .
3. Sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(A) = E_m(B)$ ; resolva — tipicamente $v_B = \sqrt{v_A^2 + 2g(z_A - z_B)}$ .
4. Com [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) : $E_m(B) - E_m(A) = -f\ell$ ( $\ell$ = comprimento do caminho); resolva para a incógnita.
5. Confira: as barras de $E_k$ e $E_p$ se empilham até $E_m$ , que fica constante a não ser que haja [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) .

## 18.6 Exercícios

**Exercício 18.1 ★.**

Calcule a [energia cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) (a) de uma motoneta com condutor, $90\,\mathrm{kg}$ a $25\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$; (b) de um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ a $130\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) Por que fator $E_k$ muda quando a velocidade dobra? E quando triplica?

**Solução de Exercício 18.1.**

(a) $v = 6.94\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 90 \times 6.94^2 \approx 2.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$. (b) $v = 36.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$: $E_k = \tfrac12 \times 1200 \times 36.1^2 \approx 7.8 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. (c) $\times 4$; $\times 9$ — o quadrado.

**Exercício 18.2 ★.**

Um alpinista de $75\,\mathrm{kg}$ ganha $850\,\mathrm{m}$ de altitude. Calcule o ganho de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) potencial. Ele depende do [nível de referência](#def-g11-mechanical-energy-potential)? E da rota?

**Solução de Exercício 18.2.**

$\Delta E_p = 75 \times 9.81 \times 850 \approx 6.3 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Não: a referência desloca os dois valores igualmente. Não: só a diferença de altura entra.

**Exercício 18.3 ★.**

Um vaso de flores cai $20\,\mathrm{m}$ de uma sacada. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade de chegada ao chão em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Para onde foi a massa?

**Solução de Exercício 18.3.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 20} = 19.8\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \approx
71\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. Em $mgh = \tfrac12 mv^2$ a massa se cancela.

**Exercício 18.4 ★.**

Um carro de $1200\,\mathrm{kg}$ freia de $25\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ até parar em $50\,\mathrm{m}$. Use o [teorema da energia cinética](#thm-g11-mechanical-energy-ketheorem) para achar o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) dos freios e depois a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média de frenagem.

**Solução de Exercício 18.4.**

$W = \Delta E_k = 0 - \tfrac12 \times 1200 \times 25^2 =
-3.75 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; $F = 3.75 \times 10^{5}/50 = 7.5 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**Exercício 18.5 ★.**

A massa de um pêndulo é solta $8.0\,\mathrm{cm}$ acima do seu ponto mais baixo. Encontre a velocidade dela no fundo e a altura alcançada do outro lado.

**Solução de Exercício 18.5.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.080} \approx 1.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; ela sobe de volta a $8.0\,\mathrm{cm}$ (conservação).

**Exercício 18.6 ★★.**

Usando o [Exemplo 18.2](#ex-g11-mechanical-energy-orders): por que fator a [energia cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) do trem supera a da bala? A que altura a própria $E_k$ dele levantaria o trem ($h = v^2/2g$)?

**Solução de Exercício 18.6.**

$1.5 \times 10^{9}/2.6 \times 10^{3} \approx 5.9 \times 10^{5}$: cerca de seiscentas mil balas. $h = 88.9^2/(2 \times 9.81) \approx 4.0 \times 10^{2}\,\mathrm{m}$ — a própria velocidade dele levantaria o trem $400$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit).

**Exercício 18.7 ★★.**

Dois escorregadores sem [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) descem da mesma plataforma de $3.0\,\mathrm{m}$, um reto e íngreme, outro longo e sinuoso. Compare as velocidades de chegada (calcule-as) e os tempos de chegada (sem contas).

**Solução de Exercício 18.7.**

Mesma velocidade $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 3.0} \approx 7.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ (só o desnível entra). O escorregador íngreme vence no tempo: ele atinge alta velocidade mais cedo e o caminho dele é mais curto.

**Exercício 18.8 ★★.**

Uma bola é lançada verticalmente para cima a $12\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Encontre a altura máxima alcançada e depois a velocidade a $4.0\,\mathrm{m}$ — na subida e na descida.

**Solução de Exercício 18.8.**

$h = v^2/2g = 144/19.62 \approx 7.3\,\mathrm{m}$. A $4.0\,\mathrm{m}$: $v = \sqrt{144 - 2 \times 9.81 \times 4.0} \approx 8.1\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a mesma nos dois sentidos: $E_m$ depende da altura, não do sentido do percurso.

**Exercício 18.9 ★★.**

Um saltador de esqui deixa a rampa a $23\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e aterrissa $35\,\mathrm{m}$ abaixo. Preveja a velocidade de aterrissagem sem resistência do ar; o valor real é maior ou menor, e por quê?

**Solução de Exercício 18.9.**

$v = \sqrt{23^2 + 2 \times 9.81 \times 35} = \sqrt{1216} \approx
35\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Menor na realidade: a resistência do ar dissipa parte de $E_m$.

**Exercício 18.10 ★★.**

Um trenó de $45\,\mathrm{kg}$ parte do repouso, desce $6.0\,\mathrm{m}$ ao longo de $15\,\mathrm{m}$ de encosta e chega a $8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Encontre a [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em) perdida e depois a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory). Para onde foi a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)?

**Solução de Exercício 18.10.**

$\Delta E_m = \tfrac12 \times 45 \times 8.0^2 - 45 \times 9.81 \times
6.0 = 1440 - 2649 \approx -1.2 \times 10^{3}\,\mathrm{J}$; $f = 1209/15 \approx 81\,\mathrm{N}$. Virou calor, nos patins e na neve.

**Exercício 18.11 ★★.**

O pino de Galileu: um pêndulo solto $15\,\mathrm{cm}$ acima do seu ponto mais baixo encontra um pino que bloqueia a metade superior do fio na vertical. Encontre a velocidade no fundo e a subida além do pino; o que o pino muda e o que não muda?

**Solução de Exercício 18.11.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 0.15} \approx 1.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; ela sobe de novo a $15\,\mathrm{cm}$. O pino muda o caminho (um círculo mais fechado), não a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy): alturas e velocidades ficam intocadas.

**Exercício 18.12 ★★★.**

Um skatista entra num half-pipe a partir de $2.5\,\mathrm{m}$; cada travessia (de um lado ao outro) dissipa $10\%$ da [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em). Encontre a velocidade no fundo da primeira descida e, em seguida — calculando as alturas sucessivas de subida —, a primeira travessia que termina abaixo de $1.0\,\mathrm{m}$.

**Solução de Exercício 18.12.**

$v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 2.5} = 7.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. As alturas de subida escalam com $E_m$, logo ficam $\times 0.9$ a cada travessia: $2.25$, $2.03$, $1.82$, $1.64$, $1.48$, $1.33$, $1.20$, $1.08$, $0.97$ — a primeira abaixo de $1.0\,\mathrm{m}$ é a $9$a travessia.

**Exercício 18.13 ★★★.**

Do alto de um penhasco de $45\,\mathrm{m}$, uma pedra é lançada a $15\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — para cima, na horizontal ou em qualquer ângulo. Mostre que a velocidade de chegada ao solo é a mesma em todos os casos e calcule-a. O que *depende* do ângulo?

**Solução de Exercício 18.13.**

A mesma $E_m$ inicial $\tfrac12 m \times 15^2 + m \times 9.81 \times 45$ seja qual for o ângulo, de modo que a velocidade no solo vale $v = \sqrt{225 + 2 \times 9.81 \times 45} = \sqrt{1108} \approx
33\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. O ângulo fixa a *direção* da velocidade de chegada, o tempo de voo e o [alcance](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-strong) — e não a velocidade de chegada.

**Exercício 18.14 ★★★.**

Um esquiador de descida de $80\,\mathrm{kg}$ parte do repouso e desce $120\,\mathrm{m}$ de desnível ao longo de uma pista de $800\,\mathrm{m}$, contra uma [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) constante de $65\,\mathrm{N}$. Encontre a velocidade de chegada e a fração de $E_m$ [dissipada](#def-g11-mechanical-energy-dissipation).

**Solução de Exercício 18.14.**

$\tfrac12 mv^2 = mgh - f\ell = 80 \times 9.81 \times 120 - 65 \times
800 = 94\,176 - 52\,000 = 4.22 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$, logo $v = \sqrt{2 \times 42\,176/80} \approx 32\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ($117\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$). Fração [dissipada](#def-g11-mechanical-energy-dissipation): $52000/94176 \approx 55\%$.

**Exercício 18.15 ★★★.**

Uma usina reversível eleva $V = 2.0 \times 10^{6}\,\mathrm{m}^{3}$ de água ($1000\,\mathrm{kg}$ por $\mathrm{m}^{3}$) por $300\,\mathrm{m}$. Calcule a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) armazenada em [joules](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) e em $\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$; turbinada de volta com $85\%$ de [rendimento](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-efficiency) ([Capítulo 9](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#ch-g10-energy-conservation)), quantas casas que consomem $10\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ por dia ela alimenta durante um dia?

**Solução de Exercício 18.15.**

$m = 2.0 \times 10^{9}\,\mathrm{kg}$: $E_p = 2.0 \times 10^{9} \times 9.81 \times 300 \approx 5.9 \times 10^{12}\,\mathrm{J}
= 5.9 \times 10^{12}/3.6 \times 10^{6} \approx 1.6 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$. Recuperada: $0.85 \times 1.64 \times 10^{6} \approx 1.4 \times 10^{6}\,\mathrm{kW}\,\mathrm{h}$ — cerca de $1.4 \times 10^{5}$ casas por um dia.

## 18.7 Problema: projetar o looping

**Problema 18.1.**

Problema de fim de semana — uma auditoria energética de uma montanha-russa: a altura de lançamento que um looping impõe, as velocidades que ela promete, o atrito confessado por dois sensores e os freios que fecham a conta — o passeio inteiro pendurado num único número

Um trem de massa $m = 2.0 \times 10^{3}\,\mathrm{kg}$ é solto do repouso de um morro de lançamento de altura $H$ e desliza, sem motor, por um *looping* circular vertical de raio $R = 8.0\,\mathrm{m}$ cujo topo fica à altura $2R$. A análise do movimento circular (no ano que vem) fornece o único dado que tomamos emprestado: no topo do *looping*, o trem só pressiona o trilho se $v_{\text{topo}}^2 \geq gR$. As Partes I e II ignoram o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory).

**Parte I — O morro que o *looping* impõe.**

1. Calcule a velocidade mínima segura no topo do *looping* .
2. Com o solo como [nível de referência](#def-g11-mechanical-energy-potential) , calcule a [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em) do trem no topo do *looping* com essa velocidade mínima.
3. Deduza $H_{\min}$ e mostre que $H_{\min} = 5R/2$ — sem massa e sem $g$ .
4. A equipe adota $H = 24\,\mathrm{m}$ : calcule a velocidade real no topo do *looping* e a razão $v_{\text{topo}}^2/(gR)$ .
5. Para onde foi o $m$ ? Por que o projeto serve igualmente a trens lotados e vazios?

**Parte II — O que a altura promete** ($H = 24\,\mathrm{m}$).

6. Qual é a velocidade no fundo do *looping* ( $z = 0$ ), em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ ?
7. Qual é a velocidade na lateral do *looping* ( $z = R$ )?
8. Calcule $E_p$ e $E_k$ no lançamento, no fundo, na lateral e no topo do *looping* ; confira que cada par soma $mgH$ .
9. Uma lombada de $12\,\mathrm{m}$ vem depois do *looping* : qual é a velocidade no alto dela?
10. Dê a fórmula geral de $v(z)$ ; onde o passeio é mais rápido e onde é mais lento?

**Parte III — A auditoria do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory).** Dois sensores à mesma altura $z = 2.0\,\mathrm{m}$, separados por $60\,\mathrm{m}$ de trilho, leem $v_1 = 20.4\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e depois $v_2 = 19.2\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

11. Calcule a variação de [energia mecânica](#def-g11-mechanical-energy-em) entre os sensores. O que torna esperta a escolha de colocá-los na mesma altura?
12. Deduza o [trabalho](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) média de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) .
13. Para onde foi a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) que falta? Nomeie a forma e os lugares.
14. Que fração da $E_m$ do trem se perde a cada $60\,\mathrm{m}$ ? Por que o $H_{\min}$ puro seria inseguro no mundo real, cheio de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) ?
15. Cerca de $90\,\mathrm{m}$ de trilho separam o lançamento do topo do *looping* : estime $E_m$ ali; a margem da questão 4 ainda salva o *looping* ?

**Parte IV — Fechar a conta.** O último sensor, na entrada do trecho horizontal reto de frenagem ($z = 0$), lê $18.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

16. Calcule a [energia cinética](#def-g11-mechanical-energy-kinetic) do trem ali.
17. Os freios precisam pará-lo em $d = 45\,\mathrm{m}$ : calcule a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) de frenagem (constante) necessária.
18. Conferência de conforto: calcule a desaceleração $a = F/m$ ; compare com $g$ .
19. Quanta [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) do trilho dissipou no passeio inteiro? Verifique que [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) $+$ freios $= mgH$ , [joule](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) a [joule](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) .
20. Desfecho, em uma frase: que único número fixou a segurança do *looping* , todas as velocidades, a conta do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dos freios — e qual foi o preço de ignorar o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) ?

**Solução de Problema 18.1.**

**1.** $v_{\text{topo}} = \sqrt{gR} = \sqrt{9.81 \times 8.0}
\approx 8.9\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**2.** $E_m = mg\,(2R) + \tfrac12 m gR = 3.14 \times 10^{5} +
7.8 \times 10^{4} \approx 3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**3.** $mgH_{\min} = E_m$ dá $H_{\min} = 20\,\mathrm{m}$; algebricamente, $H_{\min} = 2R + \frac{gR}{2g} = \frac{5R}{2}$.

**4.** $v_{\text{topo}} = \sqrt{2g(H - 2R)} =
\sqrt{2 \times 9.81 \times 8.0} \approx 12.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$; $v_{\text{topo}}^2/(gR) = 2.0$ — o dobro do mínimo.

**5.** Toda [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) é proporcional a $m$, de modo que $m$ se cancela: mesmas velocidades e mesma segurança, com o trem cheio ou vazio.

**6.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times 24} \approx 21.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}
\approx 78\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$.

**7.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 8.0)} \approx
17.7\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**8.** $mgH = 4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. $(E_p, E_k)$: lançamento $(4.71 \times 10^{5}, 0)$; fundo $(0, 4.71 \times 10^{5})$; lateral $(1.57 \times 10^{5}, 3.14 \times 10^{5})$; topo $(3.14 \times 10^{5}, 1.57 \times 10^{5})$ — cada par soma $4.71 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**9.** $v = \sqrt{2 \times 9.81 \times (24 - 12)} \approx
15.3\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$.

**10.** $v(z) = \sqrt{2g(H - z)}$: mais rápido no ponto mais baixo do trilho e mais lento no topo do *looping*.

**11.** Mesma altura, logo $\Delta E_p = 0$ e $\Delta E_m = \Delta E_k = \tfrac12 \times 2000 \times (19.2^2 -
20.4^2) \approx -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$: a escolha da posição torna o déficit puramente cinético, lido em dois velocímetros.

**12.** $W(\vect f) = -4.75 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$; $f = 4.75 \times 10^{4}/60 \approx 7.9 \times 10^{2}\,\mathrm{N}$.

**13.** [Energia térmica](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-forms), nas rodas, nos trilhos e no ar.

**14.** $E_m$ no primeiro sensor: $4.16 \times 10^{5} + 3.9 \times 10^{4} = 4.55 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$; perda $4.75 \times 10^{4}/4.55 \times 10^{5} \approx 10\%$ a cada $60\,\mathrm{m}$. Com $H_{\min}$, o topo do *looping* é alcançado *exatamente* com $\sqrt{gR}$; qualquer perda o joga abaixo da velocidade de segurança.

**15.** Perdendo $\approx 10\%$ a cada $60\,\mathrm{m}$, cerca de $15\%$ de $mgH$ ($\approx 7.1 \times 10^{4}\,\mathrm{J}$) se foram: $E_m \approx 4.00 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$, ainda acima dos $3.92 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$ necessários — seguro, com apenas $2\%$ de folga. A margem não era luxo.

**16.** $E_k = \tfrac12 \times 2000 \times 18.0^2 =
3.24 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$.

**17.** $F = 3.24 \times 10^{5}/45 = 7.2 \times 10^{3}\,\mathrm{N}$.

**18.** $a = 7200/2000 = 3.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^{2} \approx 0.37\,g$: firme, mas confortável.

**19.** [Atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) do trilho: $mgH - 3.24 \times 10^{5} = 470\,880 - 324\,000 = 1.47 \times 10^{5}\,\mathrm{J}$. Auditoria: $1.47 \times 10^{5} + 3.24 \times 10^{5} = 4.71 \times 10^{5} = mgH$ — cada [joule](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/17-trabalho-de-uma-forca#def-g11-work-of-force-work) prestado em contas.

**20.** A altura de lançamento $H = 24\,\mathrm{m}$ fixou a segurança do *looping*, todas as velocidades $\sqrt{2g(H - z)}$, a conta do [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) e a [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) dos freios; o preço de ignorar o [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory) é a margem — os $4\,\mathrm{m}$ de morro que o mundo real, cheio de [atrito](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-inventory), consome sem alarde.