--- title: "O núcleo e a radioatividade" book: "Física do ensino médio" subject: physics language: pt chapter: 19 exercises: 15 source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/19-o-nucleo-e-a-radioatividade --- # Capítulo 19 — O núcleo e a radioatividade Neste exato momento, uns oito mil núcleos atômicos explodem dentro do seu corpo a cada segundo. Nada os ataca: certos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) nascem instáveis, e cada um deles, cedo ou tarde, se transforma, arremessando um fragmento a uma boa fração da velocidade da luz. Este capítulo volta ao andar dos $10^{-15}$ [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#ch-g11-fundamental-interactions) para ver que [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) são frágeis, como eles se rompem e como a impaciência regular deles data cavernas e vigia tetos. ## 19.1 Núcleos, núcleons e isótopos **Definição 19.1 (Notação nuclear).** Um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) contém $Z$ prótons (de carga $+e$ cada) e $N$ nêutrons (sem carga), num total de $A = Z + N$ [núcleons](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder); ele se escreve ${}^{A}_{Z}\mathrm{X}$, em que $\mathrm X$ é o símbolo químico, $Z$ é o *número atômico* e $A$, o *número de massa*. Uma espécie especificada por $A$ e $Z$ é um *nuclídeo*; nuclídeos de mesmo $Z$ e $A$ diferentes são *isótopos* de um mesmo elemento: mesma química (a nuvem de elétrons só enxerga $Ze$), [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) e estabilidade diferentes. **Exemplo 19.2 (Hidrogênio e carbono).** O hidrogênio tem três [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation): ${}^{1}_{1}\mathrm{H}$ (um próton solitário), ${}^{2}_{1}\mathrm{H}$ (deutério: um próton e um nêutron) e o instável ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$ (trítio: dois nêutrons). O carbono natural: quase todo ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ ($6$ prótons, $6$ nêutrons), $1.1\%$ de ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ e um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em $10^{12}$ do instável ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ ($8$ nêutrons), herói do [Exemplo 19.17](#ex-g11-nucleus-radioactivity-dating). ## 19.2 Núcleos estáveis e instáveis **Proposição 19.3 (O vale de estabilidade).** Os [nuclídeos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) estáveis ocupam uma faixa estreita do plano $(Z, N)$: $N \approx Z$ para os [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) leves e depois um excesso crescente de nêutrons, até $N \approx 1.5\,Z$. Todo [nuclídeo](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) fora da faixa — nêutrons demais, prótons demais ou tamanho demais (acima do chumbo, $Z = 82$, [nuclídeo](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) algum é verdadeiramente estável) — se transforma cedo ou tarde. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 19.4.** Localizar a faixa com exatidão é mecânica quântica — assunto dos volumes de graduação. O padrão é o balanço do [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#ch-g11-fundamental-interactions): a cola forte liga apenas vizinhos, a repulsão de Coulomb atravessa o [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) inteiro, e por isso os [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados precisam de cola extra de nêutrons; e, no entanto, um excesso de nêutrons também é instável (a [interação fraca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-weak) cuida disso). ![Os nuclídeos estáveis se agarram a N = Z e depois derivam para o lado rico em nêutrons; acima da faixa um núcleo decai por -, abaixo dela por +, e além do bismuto por .](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-4ae7a66d7505.svg) *Os [nuclídeos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) estáveis se agarram a $N = Z$ e depois derivam para o lado rico em nêutrons; acima da faixa um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) decai por $\beta^-$, abaixo dela por $\beta^+$, e além do bismuto por $\alpha$.* **Definição 19.5 (Radioatividade).** A *radioatividade* é a transformação espontânea de um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) instável em outro [nuclídeo](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), com emissão de radiação. Ela é *aleatória*: nada anuncia qual [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) decai em seguida, e [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure), temperatura ou química alguma consegue apressá-la ou atrasá-la; só populações grandes são previsíveis ([Definição 19.14](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife)). **Observação 19.6 (Becquerel e os Curie).** Em 1896, Henri Becquerel descobriu que sais de urânio velam uma chapa fotográfica através de papel preto, dentro de uma gaveta fechada, sem [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) fornecida alguma. Marie e Pierre Curie mostraram que o efeito é atômico, mediram-no e isolaram o polônio e o rádio, um milhão de vezes mais ativos. A palavra *[radioatividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-radioactivity)* é de Marie Curie; e dois prêmios Nobel também. ## 19.3 Alfa, beta, gama **Definição 19.7 (As três radiações históricas).** Três radiações, batizadas antes que alguém soubesse o que elas eram: - *alfa* ( $\alpha$ ): um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de hélio ${}^{4}_{2}\mathrm{He}$ ejetado inteiro — pesado, com carga dupla, barrado por uma folha de papel ou por centímetros de ar; - *beta* ( $\beta^-$ ): um elétron ${}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ criado no [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) e ejetado — leve, rápido, barrado por milímetros de alumínio; - *gama* ( $\gamma$ ): radiação eletromagnética, muito mais energética do que a luz — nunca barrada por completo, apenas *atenuada* : um centímetro de chumbo absorve metade. ![A morre no papel e a - em milímetros de alumínio; a é apenas afinada, mesmo pelo chumbo.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-2f6153760231.svg) *A $\alpha$ morre no papel e a $\beta^-$ em milímetros de alumínio; a $\gamma$ é apenas afinada, mesmo pelo chumbo.* **Proposição 19.8 (Conservação nas equações nucleares).** Em toda transformação nuclear, o [número de massa](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) total $A$ e a carga total — a soma dos índices inferiores, contando $-1$ para um elétron emitido — são os mesmos antes e depois. **Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎ **Observação 19.9.** A conservação da carga já governava o [Capítulo 13](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#ch-g11-fundamental-interactions); a conservação de $A$ diz que os [núcleons](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) são apenas convertidos, nunca criados nem destruídos — uma contabilidade honesta, para os volumes de graduação. **Método 19.10 (Equilibrar uma equação de decaimento).** 1. Escreva todos os atores com os dois rótulos: $\alpha = {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ , $\beta^- = {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ , $\beta^+ = {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$ ; um $\gamma$ carrega $A = Z = 0$ . 2. Iguale as somas dos $A$ e depois as dos $Z$ ( [Proposição 19.8](#prop-g11-nucleus-radioactivity-soddy) ); resolva e leia o elemento-filho pelo seu $Z$ na tabela periódica. **Exemplo 19.11 (Um decaimento alfa).** O rádio-226, o rádio dos Curie, é um emissor $\alpha$: ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{A}_{Z}\mathrm{Y} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ obriga $A = 226 - 4 = 222$ e $Z = 88 - 2 = 86$; o elemento $86$ é o radônio, logo ${}^{226}_{88}\mathrm{Ra} \to {}^{222}_{86}\mathrm{Rn} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — o gás radioativo dos porões sem ventilação. **Exemplo 19.12 (Um decaimento beta-menos).** O carbono-14 fica acima da faixa ($8$ nêutrons contra $6$ prótons): ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$. Conferindo: $14 = 14 + 0$ e $6 = 7 - 1$; um nêutron virou um próton mais o elétron ejetado — a [interação fraca](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-weak) em ação. **Observação 19.13 (Beta-mais e gama).** Abaixo da faixa, o decaimento espelhado $\beta^+$ transforma um próton em um nêutron mais um *pósitron* ${}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, a antipartícula do elétron: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$, o burro de carga dos exames PET. E, depois da maioria dos decaimentos, o núcleo-filho, que nasce trepidando, se acomoda emitindo um $\gamma$ por cima. ![Os primeiros passos da cadeia do urânio-238; mais onze decaimentos ( e -) terminam no estável 206_82 Pb.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-3099cf490378.svg) *Os primeiros passos da cadeia do urânio-238; mais onze decaimentos ($\alpha$ e $\beta^-$) terminam no estável ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$.* ## 19.4 Meia-vida e atividade **Definição 19.14 (Meia-vida).** A *meia-vida* $T_{1/2}$ de um [nuclídeo](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) é o tempo ao fim do qual metade de qualquer amostra grande já decaiu. Cada meia-vida adicional reduz o restante à metade: de $N_0$ [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), sobram $N_0/2$ em $T_{1/2}$, $N_0/4$ em $2\,T_{1/2}$, $N_0/8$ em $3\,T_{1/2}$ e $N_0/2^{\,n}$ depois de $n$ meias-vidas. **Observação 19.15.** Aleatoriedade para um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), relojoaria para $10^{23}$: uma multidão imensa de jogadores de cara ou coroa, imprevisíveis um a um, com metade eliminada a cada rodada. Interpolar *entre* meias-vidas inteiras exige a função exponencial — no ano que vem, junto com o volume de matemática. **Exemplo 19.16 (Vinte potências de dez).** | polônio-214 | $\alpha$ | $1.6 \times 10^{-4}\,\mathrm{s}$ | elo da cadeia do rádio | | --- | --- | --- | --- | | tecnécio-99m | $\gamma$ | $6.0$ horas | exames de imagem | | amerício-241 | $\alpha$ | $432$ anos | detectores de fumaça | | carbono-14 | $\beta^-$ | $5700$ anos | arqueologia | | potássio-40 | $\beta$ | $1.25 \times 10^{9}$ anos | em toda banana | | urânio-238 | $\alpha$ | $4.5 \times 10^{9}$ anos | calor interno da Terra | **Exemplo 19.17 (Datação por carbono-14).** A matéria viva troca carbono com a atmosfera e, por isso, guarda a proporção atmosférica de carbono-14; na morte a reposição para e a proporção cai à metade a cada $5700$ anos. O carvão de uma caverna pintada mostra um quarto da proporção viva: um quarto é a metade da metade, de modo que o fogo queimou duas meias-vidas atrás, ou seja, $2 \times 5700 = 11\,400$ anos. **Definição 19.18 (Atividade).** A *atividade* $\mathcal A$ de uma amostra é o seu número de decaimentos por segundo, medida em *becquerels*: $1\,\mathrm{Bq} = 1$ decaimento por segundo. Menos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sobreviventes significam menos decaimentos, de modo que a atividade também cai à metade a cada [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). ![A escada das metades: depois de n meias-vidas a atividade vale A_0/2\,n — um oitavo depois de três, um milésimo depois de dez.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g11-nucleus-radioactivity/fig-aaf8e0cfd787.svg) *A escada das metades: depois de $n$ meias-vidas a [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) vale $\mathcal A_0/2^{\,n}$ — um oitavo depois de três, um milésimo depois de dez.* **Exemplo 19.19 (Ordens de grandeza).** Tudo é ligeiramente radioativo. Uma banana: cerca de $15\,\mathrm{Bq}$ (potássio-40). Um corpo humano: cerca de $8000\,\mathrm{Bq}$ — o gancho deste capítulo, o equivalente a umas quinhentas bananas. Um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cúbico de granito: em torno de $3 \times 10^{6}\,\mathrm{Bq}$ (urânio e a cadeia dele, de onde vem o radônio dos porões). Uma injeção de tecnécio: cerca de $5 \times 10^{8}\,\mathrm{Bq}$, que desaparecem em poucos dias. ## 19.5 Serventias e perigos **Exemplo 19.20 (Três carreiras de um núcleo instável).** *Medicina*: o tecnécio-99m, emissor $\gamma$ puro com $T_{1/2} = 6$ horas, é fixado a uma [molécula](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) que o órgão-alvo absorve; uma câmera filma os $\gamma$ de fora, e no dia seguinte o marcador já praticamente sumiu — enquanto a radioterapia inverte a lógica, concentrando feixes para destruir um tumor. *Datação*: o carbono-14 para madeira, osso e tecido até uns $50\,000$ anos; o urânio-238 para rochas — e para a Terra, com $4.5 \times 10^{9}$ anos. *Detectores de fumaça*: uma pontinha de amerício-241 ioniza o ar de uma câmara pequena, deixando circular uma corrente minúscula; a fumaça sufoca a corrente e o alarme dispara — e as partículas $\alpha$ morrem em centímetros de ar. **Observação 19.21 (Dose e o sievert).** A radiação arranca elétrons de [moléculas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) e pode danificar o DNA. O dano biológico é acompanhado pela *dose*, em *sieverts* ($\mathrm{Sv}$), que pondera a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) depositada por [quilograma](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de tecido pelo quanto cada radiação é danosa. Três regras: distância, blindagem ($\alpha$: a pele basta — a não ser que o emissor seja *inalado*, o crime do radônio; $\beta$: alumínio; $\gamma$: chumbo) e tempo. A dosimetria propriamente dita é material de graduação. ## 19.6 Exercícios **Exercício 19.1 ★.** Dê o número de prótons e de nêutrons de ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$, ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$, ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$ e ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$. **Solução de Exercício 19.1.** ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$: $8$ p, $8$ n; ${}^{27}_{13}\mathrm{Al}$: $13$ p, $14$ n; ${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$: $27$ p, $33$ n; ${}^{235}_{92}\mathrm{U}$: $92$ p, $143$ n; ${}^{3}_{1}\mathrm{H}$: $1$ p, $2$ n. (Em cada caso, $N = A - Z$.) **Exercício 19.2 ★.** Entre ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$, ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{16}_{8}\mathrm{O}$, quais são [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) uns dos outros? Por que ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ *não* são [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation), apesar de terem [números de massa](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) iguais? **Solução de Exercício 19.2.** Os três carbonos ($Z = 6$) são [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation) uns dos outros. ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{14}_{7}\mathrm{N}$ compartilham $A = 14$, mas não $Z$: são elementos diferentes (nuvens de elétrons diferentes), logo não são [isótopos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation). **Exercício 19.3 ★.** O polônio-210, ${}^{210}_{84}\mathrm{Po}$, é um emissor $\alpha$. Escreva a equação de decaimento e nomeie o núcleo-filho ($Z = 81$: tálio; $82$: chumbo; $83$: bismuto). **Solução de Exercício 19.3.** $A = 210 - 4 = 206$, $Z = 84 - 2 = 82$: ${}^{210}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{206}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$ — o núcleo-filho é o chumbo-206. **Exercício 19.4 ★.** Escreva as equações de decaimento $\beta^-$ do cobalto-60 (${}^{60}_{27}\mathrm{Co}$) e do iodo-131 (${}^{131}_{53}\mathrm{I}$); filhos: $Z = 28$, níquel; $Z = 54$, xenônio. **Solução de Exercício 19.4.** ${}^{60}_{27}\mathrm{Co} \to {}^{60}_{28}\mathrm{Ni} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ e ${}^{131}_{53}\mathrm{I} \to {}^{131}_{54}\mathrm{Xe} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$: $A$ não muda e $Z$ sobe uma [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit). **Exercício 19.5 ★.** Uma fonte de iodo-131 ($T_{1/2} = 8.0$ dias) tem [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $800\,\mathrm{MBq}$ hoje. Qual é a [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dela depois de $16$ dias? E depois de $32$ dias? **Solução de Exercício 19.5.** $16$ dias $= 2\,T_{1/2}$: $800/4 = 200\,\mathrm{MBq}$. $32$ dias $= 4\,T_{1/2}$: $800/16 = 50\,\mathrm{MBq}$. **Exercício 19.6 ★★.** Quatro radiações atravessam um [campo magnético](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#def-g11-magnetic-fields-bfield) forte e depois anteparos. Identifique cada uma: (a) barrada pelo papel, mal desviada pelo [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field); (b) atravessa o papel, é barrada por $4\,\mathrm{mm}$ de alumínio, fortemente desviada; (c) atravessa os dois, só é [atenuada](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg) pelo chumbo, não é desviada; (d) como a (b), mas desviada para o outro lado. **Solução de Exercício 19.6.** (a) $\alpha$ (pesada, e por isso mal desviada); (b) $\beta^-$; (c) $\gamma$ (neutra, penetrante); (d) $\beta^+$ ([pósitron](#rem-g11-nucleus-radioactivity-betaplus): tão leve quanto a (b), com carga oposta). **Exercício 19.7 ★★.** O radônio-222 (${}^{222}_{86}\mathrm{Rn}$) abre uma cadeia rápida: um decaimento $\alpha$, depois outro $\alpha$, depois um $\beta^-$. Escreva as três equações ($Z = 82$: chumbo; $83$: bismuto; $84$: polônio). **Solução de Exercício 19.7.** ${}^{222}_{86}\mathrm{Rn} \to {}^{218}_{84}\mathrm{Po} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$; ${}^{218}_{84}\mathrm{Po} \to {}^{214}_{82}\mathrm{Pb} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$; ${}^{214}_{82}\mathrm{Pb} \to {}^{214}_{83}\mathrm{Bi} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$. **Exercício 19.8 ★★.** O flúor-18, ${}^{18}_{9}\mathrm{F}$, é o marcador dos exames PET; o flúor estável é ${}^{19}_{9}\mathrm{F}$. De que lado da faixa de estabilidade ele está? Preveja o modo de decaimento dele e escreva a equação ($Z = 8$: oxigênio). **Solução de Exercício 19.8.** O flúor-18 tem $9$ nêutrons onde o flúor-19 estável tem $10$: é pobre em nêutrons, está abaixo da faixa, logo $\beta^+$: ${}^{18}_{9}\mathrm{F} \to {}^{18}_{8}\mathrm{O} + {}^{0}_{+1}\mathrm{e}$. **Exercício 19.9 ★★.** Um paciente recebe $500\,\mathrm{MBq}$ de tecnécio-99m ($T_{1/2} = 6.0$ horas) às 08:00. Qual é a [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) às 08:00 da manhã seguinte? Depois de quantas horas ela cai pela primeira vez abaixo de $1\,\mathrm{MBq}$? **Solução de Exercício 19.9.** $24$ horas $= 4\,T_{1/2}$: $500/16 \approx 31\,\mathrm{MBq}$. Como $2^9 = 512$, nove meias-vidas levam a $500/512 < 1\,\mathrm{MBq}$: depois de $9 \times 6 = 54\,\mathrm{h}$. **Exercício 19.10 ★★.** Um osso de uma turfeira mostra uma proporção de carbono-14 igual a um oitavo da de um osso vivo ($T_{1/2} = 5700$ anos). Que idade tem o osso? E por que o carbono-14 é inútil para datar ossos de dinossauro (idade de cerca de $10^{8}$ anos)? **Solução de Exercício 19.10.** $\frac18 = \frac1{2^3}$: três meias-vidas, $3 \times 5700 = 17\,100$ anos. Um osso de dinossauro tem cerca de $17\,500$ meias-vidas de idade: resta uma fração $1/2^{17500}$ — nem um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) de carbono-14 (um grama de carbono guarda apenas cerca de $5 \times 10^{22}$ [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder)). **Exercício 19.11 ★★.** Usando o vale de estabilidade, preveja o modo de decaimento ($\alpha$, $\beta^-$ ou $\beta^+$) de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$ e ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$, justificando cada um em uma linha (carbono estável: ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$, ${}^{13}_{6}\mathrm{C}$). **Solução de Exercício 19.11.** ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$: $8$ nêutrons contra $6$ ou $7$ no carbono estável, acima da faixa, logo $\beta^-$. ${}^{11}_{6}\mathrm{C}$: $5$ nêutrons, pobre em nêutrons, logo $\beta^+$. ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$: $Z = 92 > 83$, pesado demais, logo $\alpha$. **Exercício 19.12 ★★★.** A cadeia do urânio-238 termina, muitos passos depois, no estável ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$; cada passo é um $\alpha$ ou um $\beta^-$. Usando só a conservação de $A$, encontre o número de passos $\alpha$; e depois, com a conservação de $Z$, o número de passos $\beta^-$. **Solução de Exercício 19.12.** Só o $\alpha$ muda $A$: $238 - 206 = 32 = 4x$, logo $x = 8$ decaimentos [alfa](#def-g11-nucleus-radioactivity-abg). Eles retiram $16$ de $Z$: $92 - 16 + y = 82$ dá $y = 6$ decaimentos beta-menos. **Exercício 19.13 ★★★.** A fonte de cobalto-60 de um hospital ($T_{1/2} = 5.3$ anos) tem [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) $6.4\,\mathrm{TBq}$; as normas permitem o descarte abaixo de $0.1\,\mathrm{TBq}$. Depois de quantos anos ela pode ser descartada? **Solução de Exercício 19.13.** $6.4/0.1 = 64 = 2^{6}$: seis meias-vidas, $6 \times 5.3 = 31.8 \approx 32$ anos de armazenamento blindado. **Exercício 19.14 ★★★.** A [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) do seu corpo é de cerca de $8000\,\mathrm{Bq}$. Quantos [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) seus decaem por dia? E ao longo de uma vida de $80$ anos? Uma banana acrescenta cerca de $15\,\mathrm{Bq}$ enquanto você a digere: comente, em uma frase, as manchetes que temem cada [becquerel](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity). **Solução de Exercício 19.14.** Por dia: $8000 \times 86400 \approx 6.9 \times 10^{8}$ decaimentos. Em $80$ anos: $6.9 \times 10^{8} \times 365 \times 80 \approx 2 \times 10^{13}$. A vida sempre funcionou com esse pano de fundo — um [becquerel](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) é um [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) por segundo entre os $\sim 10^{27}$ do corpo; a [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) é minúscula, e uma contagem de [becquerels](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) de aparência assustadora pode valer umas poucas bananas. **Exercício 19.15 ★★★.** Um detector de fumaça guarda $0.2\,\text{µ}\mathrm{g}$ de amerício-241 ($T_{1/2} = 432$ anos), de [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) em torno de $25\,\mathrm{kBq}$. Quantos decaimentos isso dá por dia? Depois de dez anos de serviço, o amerício decaiu bem menos do que a metade, cerca da metade, ou bem mais — e é o esgotamento da fonte que faz os detectores serem trocados? Por fim, por que essa fonte $\alpha$ é inofensiva no teto e, ainda assim, perigosa se a cápsula for triturada e o pó, inalado? **Solução de Exercício 19.15.** $25\,000 \times 86400 \approx 2.2 \times 10^{9}$ decaimentos por dia. Dez anos são $10/432 \approx 2\%$ de uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife): bem menos do que a metade decaiu, de modo que são a eletrônica e a poeira, e não a fonte, que obrigam à substituição. Do lado de fora, as partículas $\alpha$ morrem no ar da câmara e no invólucro; já o pó inalado estaciona o emissor nos pulmões, onde cada $\alpha$ despeja a sua [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) em tecido vivo — uma [dose](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose) grande (em [sieverts](#rem-g11-nucleus-radioactivity-dose)) a partir de uma [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) modesta. ## 19.7 Problema: a múmia, o reator e o detector de fumaça **Problema 19.1.** Problema de fim de semana — três carreiras de um núcleo instável: uma múmia datada por metades, a árvore genealógica do urânio equilibrada, um detector de fumaça auditado e por que as estrelas tinham de ser mortais Três [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) instáveis, três empregos: o carbono-14 carimba a data de toda planta e todo animal morto, o urânio-238 aquece um planeta por dentro e o amerício-241 vigia tetos. Dados: $T_{1/2} = 5700$ anos (C-14), $4.5 \times 10^{9}$ anos (U-238) e $432$ anos (Am-241); o carbono vivo mostra $13.6$ decaimentos por minuto por grama; [números atômicos](#def-g11-nucleus-radioactivity-notation): N $7$, O $8$, Pb $82$, Bi $83$, Po $84$, Rn $86$, Ra $88$, Th $90$, Pa $91$, U $92$, Np $93$, Am $95$. **Parte I — A múmia.** 1. Dê a composição (prótons, nêutrons) de ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$ e de ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$ . Por que a química deles é idêntica num corpo? 2. Por que a proporção de carbono-14 é constante num corpo vivo, e por que ela começa a cair na morte? 3. Escreva a equação de decaimento do carbono-14. A radiação dele escaparia através das faixas de linho da múmia? 4. Um grama de carbono do linho mostra $6.8$ decaimentos por minuto. Que fração da taxa viva é essa? Date a múmia. 5. Uma segunda “múmia”, joia de uma coleção particular, mostra $13.2$ decaimentos por minuto por grama. Veredito? 6. Estime a taxa de uma amostra com dez meias-vidas de idade e explique por que a datação por carbono se apaga além de uns $57\,000$ anos. **Parte II — O reator sob o [campo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/14-campos-eletrico-e-gravitacional#def-g11-electric-gravitational-fields-field).** 7. Dê a composição de ${}^{238}_{92}\mathrm{U}$ . Por que os [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados precisam de um excedente tão grande de nêutrons? 8. Escreva a equação do decaimento $\alpha$ dele. 9. O núcleo-filho decai então por $\beta^-$ , e o neto por $\beta^-$ de novo. Escreva as duas equações. Que elemento reaparece? 10. A cadeia termina em ${}^{206}_{82}\mathrm{Pb}$ . Conte os passos $\alpha$ dela e depois os passos $\beta^-$ . 11. A Terra se formou há $4.5 \times 10^{9}$ anos. Que fração do urânio-238 primordial dela resta hoje? E daqui a mais $5$ bilhões de anos? 12. Em uma frase: o que esse calor de decaimento enterrado alimenta na superfície? (Pense em vulcões e em continentes à deriva.) **Parte III — O detector de fumaça.** 13. Escreva a equação do decaimento $\alpha$ de ${}^{241}_{95}\mathrm{Am}$ . 14. A [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) dele é $33\,\mathrm{kBq}$ : quantos decaimentos por segundo? E por dia? 15. Explique o detector: o que as partículas $\alpha$ fazem com o ar da câmara, e o que a fumaça muda? 16. Por que um emissor $\alpha$ é a escolha certa aqui — e um emissor $\gamma$ de mesma [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) seria a pior de todas? 17. Depois de uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife) ( $432$ anos!) a [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) seria $16.5\,\mathrm{kBq}$ ; o manual pede a substituição depois de dez anos. A fonte é o elo fraco? **Parte IV — Por que as estrelas tinham de ser mortais.** 18. Estrelas moribundas forjaram e espalharam todos os elementos mais pesados do que o hélio. Que fração do urânio-238 forjado há $9 \times 10^{9}$ anos sobrevive hoje? Por que a abundância que resta na Terra torna o planeta muito mais jovem do que as estrelas mais antigas? 19. O calor interno radioativo da Terra move o vulcanismo e a tectônica de placas, e mantém o [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em agitação produzindo o escudo magnético do [Capítulo 15](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/15-magnetismo-e-campos-magneticos#ch-g11-magnetic-fields) . Como seria um planeta feito só de [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) estáveis? 20. Em uma linha, como poesia e como contabilidade: onde os seus [átomos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) foram forjados, e o que ainda aquece o chão sob os seus pés? **Solução de Problema 19.1.** **1.** ${}^{12}_{6}\mathrm{C}$: $6$ p, $6$ n; ${}^{14}_{6}\mathrm{C}$: $6$ p, $8$ n. A química só enxerga a nuvem de elétrons, fixada por $Z = 6$: comportamento idêntico. **2.** Comer e respirar renovam constantemente o carbono de um corpo vivo na proporção atmosférica; na morte a reposição para e o decaimento segue sem oposição. **3.** ${}^{14}_{6}\mathrm{C} \to {}^{14}_{7}\mathrm{N} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ ($\beta^-$). Esses $\beta$ são fracos: as camadas de linho os barram, e por isso quase nada escapa da múmia — e é por isso que se mede uma pequena amostra de carbono retirada do próprio objeto. **4.** $6.8/13.6 = \frac12$: uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife). A múmia tem cerca de $5700$ anos. **5.** $13.2/13.6 \approx 0.97$: o linho é essencialmente moderno — no máximo com alguns séculos. Uma falsificação. **6.** $13.6/2^{10} = 13.6/1024 \approx 0.013$ decaimento por minuto — uma contagem a cada $75$ minutos por grama, afogada na radiação de fundo natural. Dez meias-vidas, cerca de $57\,000$ anos, é o horizonte prático. **7.** $92$ prótons e $146$ nêutrons. A repulsão de Coulomb age entre todos os pares de prótons, de ponta a ponta do [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder), enquanto a cola forte liga só os vizinhos: os [núcleos](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) pesados só sobrevivem com um excedente de nêutrons, que é cola sem repulsão. **8.** ${}^{238}_{92}\mathrm{U} \to {}^{234}_{90}\mathrm{Th} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$. **9.** ${}^{234}_{90}\mathrm{Th} \to {}^{234}_{91}\mathrm{Pa} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$ e depois ${}^{234}_{91}\mathrm{Pa} \to {}^{234}_{92}\mathrm{U} + {}^{\;0}_{-1}\mathrm{e}$: o urânio reaparece, como urânio-234. **10.** Pelo $A$: $238 - 206 = 32$, logo $8$ passos $\alpha$; pelo $Z$: $92 - 16 + y = 82$, logo $6$ passos $\beta^-$. **11.** $4.5 \times 10^{9}$ anos são uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife): resta $\frac12$. Mais cinco bilhões de anos $\approx$ mais uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife): cerca de $\frac14$. **12.** Ele move vulcões, a tectônica de placas (continentes à deriva, terremotos) e o calor geotérmico: a geologia de superfície de um planeta aquecido por dentro. **13.** ${}^{241}_{95}\mathrm{Am} \to {}^{237}_{93}\mathrm{Np} + {}^{4}_{2}\mathrm{He}$. **14.** $3.3 \times 10^{4}$ decaimentos por segundo; $33\,000 \times 86400 \approx 2.9 \times 10^{9}$ por dia. **15.** Cada $\alpha$ ioniza o ar que atravessa; os íons conduzem uma corrente minúscula entre os eletrodos da câmara. As partículas de fumaça capturam os íons, a corrente cai e o alarme dispara. **16.** As partículas $\alpha$ gastam toda a sua [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) dentro da câmara e nenhuma escapa do invólucro: ionização máxima, vazamento nulo. Uma fonte $\gamma$ de mesma [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) quase não ionizaria o ar da câmara e, em compensação, irradiaria o cômodo inteiro. **17.** Dez anos são $10/432 \approx 2\%$ de uma [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife): a [atividade](#def-g11-nucleus-radioactivity-activity) fica essencialmente inalterada. Os elos fracos são a poeira, os insetos e a eletrônica — o [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) sobrevive ao aparelho. **18.** $9 \times 10^{9}$ anos $= 2$ meias-vidas: sobrevive $\frac14$. O urânio da Terra ainda é abundante, de modo que ele foi forjado no máximo há algumas meias-vidas — o planeta se condensou de cinzas estelares recentes, bilhões de anos depois das primeiras estrelas. **19.** Geologicamente morto: interior frio, sem vulcanismo nem tectônica de placas para reciclar ar e rocha, e sem um [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) em agitação — e, portanto, sem escudo magnético contra o vento solar. **20.** Cada [átomo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) seu além do hélio foi forjado numa estrela moribunda, e os restos instáveis daquela forja ainda aquecem o chão em que você pisa: poeira de estrelas, mantida viva pela própria [meia-vida](#def-g11-nucleus-radioactivity-halflife).