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title: "Espectros luminosos e a mensagem da luz"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 2
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/2-espectros-luminosos-e-a-mensagem-da-luz
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# Capítulo 2 — Espectros luminosos e a mensagem da luz

Um feixe de luz de estrela é a única amostra de estrela que jamais teremos nas mãos, e ela se revela generosa. Espalhe o feixe no seu [espectro](#def-g10-light-spectra-white) — um prisma de vidro faz isso, uma cortina de gotas de chuva também — e a luz vira uma mensagem: um fundo contínuo de arco-íris anuncia a temperatura da estrela, e um código de barras de linhas finas soletra, elemento por elemento, de que ela é feita. Este capítulo aprende a ler as duas partes da mensagem — primeiro em lâmpadas de laboratório, depois no Sol.

## 2.1 A luz branca e o seu espectro

**Definição 2.1 (Decomposição da luz branca).**

Quando um feixe estreito de luz solar atravessa um prisma de vidro, ele sai espalhado numa faixa contínua de cores, do vermelho ao violeta. Essa faixa é o *espectro* da luz. A luz que contém todas as cores visíveis, como a luz do Sol ou a de uma lâmpada comum, chama-se *luz branca*. A luz de uma única cor pura, que prisma nenhum consegue separar mais, é *monocromática* (um feixe de laser, por exemplo); uma mistura de várias cores é *policromática*. Um instrumento que realiza a decomposição e lê a composição de uma luz é um *espectroscópio*.

![Um prisma abre em leque um feixe de luz branca no seu espectro; num anteparo, o leque pinta uma faixa contínua de arco-íris.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-light-spectra/fig-47d31b6d9030.svg)

*Um prisma abre em leque um feixe de [luz branca](#def-g10-light-spectra-white) no seu [espectro](#def-g10-light-spectra-white); num anteparo, o leque pinta uma faixa contínua de arco-íris.*

**Observação 2.2 (Prismas e gotas de chuva).**

O prisma funciona porque o vidro desvia a luz violeta um pouco mais do que a vermelha — *por que* ele faz isso pertence ao estudo da refração, no [Capítulo 3](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/3-refracao-da-luz#ch-g10-refraction); aqui apenas usamos o efeito. A água faz o mesmo serviço: cada gota de uma chuva passageira age como um prisma minúsculo, recebendo luz solar branca e devolvendo-a separada por cor. Um arco-íris é o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) do Sol, desenhado no céu.

**Definição 2.3 (Comprimento de onda, a carteira de identidade de uma radiação).**

Cada radiação [monocromática](#def-g10-light-spectra-white) é caracterizada por um único número, o seu *comprimento de onda* $\lambda$, medido em nanômetros ($1\,\mathrm{nm} = 10^{-9}\,\mathrm{m}$). O comprimento de onda é a carteira de identidade da radiação: dado $\lambda$, está dito tudo o que há a dizer sobre a cor pura. O olho responde a comprimentos de onda entre cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (violeta) e $800\,\mathrm{nm}$ (vermelho) — o *espectro visível*. Além das duas pontas a radiação continua, invisível para nós: *ultravioleta* abaixo de $400\,\mathrm{nm}$, *infravermelho* acima de $800\,\mathrm{nm}$. O que o comprimento de onda mede de fato — o comprimento de uma ondulação de uma onda luminosa — é explicado no [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves); neste capítulo, o que importa é o número em si.

**Exemplo 2.4 (Ler comprimentos de onda).**

Uma caneta laser verde emite em $532\,\mathrm{nm}$: dentro da faixa visível, no verde. Uma lâmpada germicida de mercúrio emite em $254\,\mathrm{nm}$: [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength), invisível (e perigosa para o olho justamente por ser invisível). O diodo de um controle remoto de televisão emite em $940\,\mathrm{nm}$: [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) — aponte-o para a câmera de um celular, cujo sensor enxerga um pouco além de $800\,\mathrm{nm}$, e os lampejos invisíveis aparecem na tela.

## 2.2 Espectros contínuos e temperatura

**Definição 2.5 (Espectro contínuo).**

A matéria densa e quente — o filamento de uma lâmpada, o aço fundido, a superfície de uma estrela — brilha, e a sua luz contém *todos* os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) de uma ampla faixa: uma banda de cor ininterrupta, sem nada faltando. Um [espectro](#def-g10-light-spectra-white) assim é um *espectro contínuo*. Ele não carrega vestígio algum da natureza química do corpo: uma barra de ferro em brasa branca e uma barra de cobre em brasa branca brilham igual. O que ele codifica — e por completo — é a temperatura.

**Definição 2.6 (Temperatura absoluta).**

Nas leis da radiação, a *temperatura absoluta* é contada não a partir do ponto de congelamento da água, mas a partir do estado mais frio possível, $-273{}^{\circ}\mathrm{C}$. A [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) é o *kelvin* (símbolo $\mathrm{K}$), com graus do mesmo tamanho:

$$
T \text{ (em } \mathrm{K}) = \theta \text{ (em } {}^{\circ}\mathrm{C}) + 273 .
$$

Assim, uma sala a $20{}^{\circ}\mathrm{C}$ está a $293\,\mathrm{K}$, e a superfície do Sol, perto de $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$, está perto de $5800\,\mathrm{K}$.

**Proposição 2.7 (Mais quente é mais brilhante e mais azul (lei de Wien)).**

Quando a temperatura de um corpo denso incandescente sobe,

1. ele irradia mais em *todos* os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) : o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) inteiro clareia;
2. o [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) $\lambda_{\max}$ em que ele irradia com mais intensidade desliza para o lado dos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) curtos (o azul), segundo $$\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K},$$ em que $T$ é a [temperatura absoluta](#def-g10-light-spectra-kelvin) em [kelvins](#def-g10-light-spectra-kelvin).

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 2.8 (De onde vem essa lei).**

A lei de Wien resume medidas cuidadosas feitas em fornos e filamentos no fim do século XIX. Deduzi-la exige a teoria quântica da radiação — esse [espectro](#def-g10-light-spectra-white) é, na verdade, exatamente o que a física clássica *não* conseguia explicar, e o enigma que obrigou Planck a inventar o quantum. A dedução honesta é feita no volume do terceiro ano de graduação.

![A faixa visível de um espectro contínuo em três temperaturas: quanto mais fria a fonte, mais apagada a faixa — e a ponta azul é a primeira a sumir.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-light-spectra/fig-89ac5da42419.svg)

*A faixa visível de um [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) em três temperaturas: quanto mais fria a fonte, mais apagada a faixa — e a ponta azul é a primeira a sumir.*

**Exemplo 2.9 (Medir a temperatura do Sol).**

O [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) do Sol é mais intenso perto de $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$. A lei de Wien dá a sua temperatura superficial:

$$
T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K},
$$

cerca de $5500{}^{\circ}\mathrm{C}$ — medida a $150$ milhões de quilômetros de distância, com um prisma e uma divisão.

![Intensidade em função do comprimento de onda para duas estrelas: a mais quente irradia mais em todos os comprimentos de onda, e o seu pico _ (tracejado) fica num comprimento de onda menor.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-light-spectra/fig-5fb746ac1678.svg)

*Intensidade em função do [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) para duas estrelas: a mais quente irradia mais em todos os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), e o seu pico $\lambda_{\max}$ (tracejado) fica num [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) menor.*

## 2.3 Espectros de linhas de gases excitados

**Definição 2.10 (Espectro de emissão de linhas).**

Um gás a baixa pressão, excitado por uma descarga elétrica (como num tubo de neônio ou numa lâmpada de sódio de rua), também brilha — mas, visto num [espectroscópio](#def-g10-light-spectra-white), a sua luz não tem nada de arco-íris. Só alguns [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) isolados estão presentes: linhas finas e brilhantes sobre fundo preto, chamadas *linhas espectrais*. Um [espectro](#def-g10-light-spectra-white) assim é um *espectro de emissão*.

**Exemplo 2.11 (Hidrogênio e sódio).**

O hidrogênio excitado emite exatamente quatro linhas no visível: uma linha vermelha em $656\,\mathrm{nm}$, uma linha azul-esverdeada em $486\,\mathrm{nm}$ e duas linhas violetas em $434\,\mathrm{nm}$ e $410\,\mathrm{nm}$. O sódio excitado emite essencialmente uma forte linha amarelo-alaranjada em $589\,\mathrm{nm}$ — é por isso que as antigas lâmpadas de rua banham bairros inteiros nessa cor única: a sua luz quase não contém outra coisa.

**Proposição 2.12 (A impressão digital dos elementos).**

Cada elemento químico emite o seu próprio catálogo fixo de [linhas espectrais](#def-g10-light-spectra-emission), o mesmo em todo laboratório e em toda época, e não há dois elementos com o mesmo catálogo. Um [espectro de linhas](#def-g10-light-spectra-emission) identifica, portanto, o elemento emissor, como uma impressão digital identifica uma pessoa.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 2.13 (Por que linhas?).**

Por que um átomo emite apenas certos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) — e por que esses [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) denunciam o elemento — é explicado pela teoria quântica do átomo, no último ano deste volume: cada elemento possui uma escada de níveis de energia, e cada linha marca um salto entre degraus. Por ora usamos a impressão digital como fazem os detetives: sem perguntar aos dedos como cresceram.

## 2.4 Espectros de absorção

**Definição 2.14 (Espectro de absorção).**

Envie [luz branca](#def-g10-light-spectra-white) *através* de um gás frio e a baixa pressão e disperse o que sai: o arco-íris contínuo reaparece, mas riscado por linhas escuras finas. O gás retirou certos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) da luz que passou. Um [espectro](#def-g10-light-spectra-white) assim — um fundo contínuo menos um conjunto de linhas — é um *espectro de absorção*.

**Proposição 2.15 (Linhas de emissão e de absorção coincidem).**

Um gás absorve exatamente os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) que é capaz de emitir: as linhas escuras do [espectro de absorção](#def-g10-light-spectra-absorption) de um elemento ficam nos mesmos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) das linhas brilhantes do seu [espectro de emissão](#def-g10-light-spectra-emission). A impressão digital da [Proposição 2.12](#prop-g10-light-spectra-fingerprint) pode, portanto, ser lida tanto no escuro quanto no claro.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 2.16 (Um mecanismo, dois sinais).**

A coincidência não é acaso: absorver em $\lambda$ sobe o mesmo degrau de energia que emitir em $\lambda$ desce — os capítulos de quântica no fim deste volume tornam isso preciso. Estabelecida por Kirchhoff e Bunsen em 1859, ela é a chave que destranca a seção inteira que vem a seguir.

![Os dois espectros do hidrogênio: linhas de emissão brilhantes (em cima) e linhas de absorção escuras (embaixo) exatamente nos mesmos comprimentos de onda, 410, 434, 486 e 656\, nm.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g10-light-spectra/fig-a64298337202.svg)

*Os dois [espectros](#def-g10-light-spectra-white) do hidrogênio: linhas de emissão brilhantes (em cima) e linhas de absorção escuras (embaixo) exatamente nos mesmos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), $410$, $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$.*

**Exemplo 2.17 (Um balão de vapor de sódio).**

[Luz branca](#def-g10-light-spectra-white) atravessa um balão que contém vapor de sódio frio. O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) transmitido é um arco-íris completo com uma linha escura em $589\,\mathrm{nm}$ — exatamente onde uma lâmpada de sódio brilha mais forte. Olhando o balão de lado, numa sala escura, vê-se a luz roubada sendo reemitida: um brilho tênue amarelo-alaranjado nesse mesmo [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength).

## 2.5 Análise espectral: ler uma estrela

**Definição 2.18 (Análise espectral).**

A *análise espectral* é a identificação dos elementos químicos contidos numa fonte (uma chama, uma lâmpada, uma estrela) pela comparação das linhas do seu [espectro](#def-g10-light-spectra-white) com os catálogos de laboratório dos elementos.

**Método 2.19 (Ler o espectro de uma estrela).**

Uma estrela é uma bola de matéria densa e quente (a superfície) envolvida por uma atmosfera mais rarefeita e mais fria. A sua luz chega, portanto, como um [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) riscado por linhas de absorção — e cada parte se lê separadamente:

1. Localize o pico $\lambda_{\max}$ do fundo contínuo; a lei de Wien ( [Proposição 2.7](#prop-g10-light-spectra-wien) ) dá a temperatura superficial $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / \lambda_{\max}$ .
2. Liste os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) das linhas escuras.
3. Compare-os com os catálogos: um elemento só pode ser declarado presente se *todas* as suas linhas fortes aparecerem.
4. Conclua: a absorção acontece na atmosfera da estrela, de modo que os elementos identificados são os da atmosfera.

**Exemplo 2.20 (A receita do Sol).**

O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) solar carrega milhares de linhas escuras, mapeadas por Fraunhofer em 1814. Entre as mais fortes: $410$, $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ — a impressão digital completa do hidrogênio — junto com a linha do sódio em $589\,\mathrm{nm}$ e um par do cálcio em $393$ e $397\,\mathrm{nm}$. A atmosfera do Sol contém hidrogênio acima de tudo, mais traços de elementos conhecidos das rochas da Terra. As medidas modernas refinam a manchete: o Sol é, em massa, cerca de três quartos de hidrogênio.

**Observação 2.21 (O elemento encontrado primeiro no céu).**

Durante o eclipse de 1868, uma linha brilhante em $587.6\,\mathrm{nm}$ apareceu no [espectro](#def-g10-light-spectra-white) da atmosfera do Sol — sem corresponder a elemento conhecido algum. Pela [Proposição 2.12](#prop-g10-light-spectra-fingerprint), uma impressão digital desconhecida significa um elemento desconhecido; um novo elemento foi então anunciado e batizado em homenagem ao sol grego, *helios*: o hélio. Ele só foi isolado na Terra em 1895 — o único elemento químico descoberto no espaço antes de ser encontrado em casa.

## 2.6 Exercícios

**Exercício 2.1 ★.**

Para cada radiação, diga se é [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength), visível ou infravermelha, e dê a sua cor se for visível: $254\,\mathrm{nm}$ (lâmpada de mercúrio), $480\,\mathrm{nm}$, $589\,\mathrm{nm}$, $656\,\mathrm{nm}$, $1064\,\mathrm{nm}$ (laser de corte).

**Solução de Exercício 2.1.**

$254\,\mathrm{nm} < 400\,\mathrm{nm}$: [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength). $480\,\mathrm{nm}$: visível, azul. $589\,\mathrm{nm}$: visível, amarelo-alaranjado. $656\,\mathrm{nm}$: visível, vermelho. $1064\,\mathrm{nm} > 800\,\mathrm{nm}$: [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) — o que torna um laser de corte duplamente perigoso: potente e invisível.

**Exercício 2.2 ★.**

Um feixe estreito de luz solar incide sobre um prisma de vidro.

1. Descreva o que aparece num anteparo colocado atrás do prisma.
2. Qual das pontas da faixa foi mais desviada?
3. A luz solar é substituída pelo feixe de uma caneta laser verde. O que aparece agora no anteparo, e o que isso mostra sobre a luz laser?

**Solução de Exercício 2.2.**

*1.* Uma faixa contínua de cores, do vermelho ao violeta: o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) da luz solar.

*2.* A ponta violeta — o prisma desvia mais os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) curtos.

*3.* Um único ponto verde: desviado, mas não espalhado numa faixa. A luz laser é [monocromática](#def-g10-light-spectra-white) — um só [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), de modo que não há nada a separar.

**Exercício 2.3 ★.**

Associe cada fonte ao tipo de [espectro](#def-g10-light-spectra-white) que ela produz (contínuo, emissão de linhas ou absorção): (a) o filamento de uma lâmpada incandescente; (b) um tubo de neônio de letreiro; (c) ferro fundido numa siderúrgica; (d) uma lâmpada de sódio de rua; (e) a luz do Sol recebida na Terra.

**Solução de Exercício 2.3.**

(a) Contínuo (filamento denso e quente). (b) Emissão de linhas (gás excitado a baixa pressão). (c) Contínuo (metal fundido denso). (d) Emissão de linhas (essencialmente a única linha em $589\,\mathrm{nm}$). (e) Absorção: o [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) da superfície quente, riscado pelas linhas escuras da atmosfera mais fria do Sol.

**Exercício 2.4 ★.**

Sobre arco-íris:

1. O que faz o papel do prisma?
2. Um arco-íris só se vê com o Sol atrás do observador e chuva à frente. O que cada ingrediente fornece?
3. Explique por que um arco-íris prova que a luz do Sol é [luz branca](#def-g10-light-spectra-white) .

**Solução de Exercício 2.4.**

*1.* As gotas de chuva: cada uma recebe luz solar branca, decompõe-a e devolve-a separada por cor.

*2.* O Sol fornece a [luz branca](#def-g10-light-spectra-white); a chuva fornece milhões de prismas minúsculos; a geometria só funciona para a luz devolvida pelas gotas na direção do observador, e é por isso que o Sol tem de estar às costas do observador e a chuva, à frente.

*3.* As gotas não acrescentam luz nenhuma — elas só separam o que recebem. Se a luz solar separada exibe todas as cores, então todas as cores já estavam contidas na luz solar: a luz do Sol é [luz branca](#def-g10-light-spectra-white).

**Exercício 2.5 ★.**

Um ferreiro aquece um prego de ferro: ele brilha em vermelho fosco, depois em laranja vivo, depois quase branco.

1. Ordene as três etapas por temperatura.
2. Quais dois efeitos da [Proposição 2.7](#prop-g10-light-spectra-wien) a sequência ilustra?
3. Justifique a expressão “brasa branca é mais quente do que brasa vermelha”.

**Solução de Exercício 2.5.**

*1.* Vermelho fosco $<$ laranja vivo $<$ quase branco.

*2.* Os dois: o brilho fica *mais forte* (efeito 1) e a sua cor desliza do vermelho para o lado azul (efeito 2, com o pico $\lambda_{\max}$ diminuindo), de modo que uma parte cada vez maior da faixa visível fica intensamente iluminada — e uma faixa completa se lê como branco.

*3.* Um corpo que brilha branco emite intensamente em toda a faixa visível; um corpo que brilha vermelho só dá conta da ponta de [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) longos. Pela lei de Wien, o primeiro é o mais quente.

**Exercício 2.6 ★★.**

O [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) do Sol tem pico em $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$.

1. Calcule a temperatura superficial do Sol em [kelvins](#def-g10-light-spectra-kelvin) .
2. Converta-a para graus Celsius.
3. Verifique que o pico cai dentro da faixa visível e diga a sua cor.

**Solução de Exercício 2.6.**

*1.*

$$
T = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}} = 5800\,\mathrm{K}.
$$

*2.* $\theta = 5800 - 273 = 5527{}^{\circ}\mathrm{C} \approx
5500{}^{\circ}\mathrm{C}$.

*3.* $400\,\mathrm{nm} < 500\,\mathrm{nm} < 800\,\mathrm{nm}$: o pico é visível, no verde.

**Exercício 2.7 ★★.**

A chama de uma vela brilha a cerca de $1800\,\mathrm{K}$; uma chapa elétrica regulada no “morno” fica a cerca de $500\,\mathrm{K}$.

1. Calcule $\lambda_{\max}$ para cada fonte e dê o seu domínio.
2. A chapa está claramente quente — a mão colocada acima dela sente a radiação — e ainda assim parece preta. Explique.
3. O pico da vela também está fora da faixa visível. Por que, então, conseguimos ver a chama?

**Solução de Exercício 2.7.**

*1.* Vela: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 1800\,\mathrm{K} = 1.61 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}
= 1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, no [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength). Chapa: $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 500\,\mathrm{K} = 5.8 \times 10^{-6}\,\mathrm{m}
= 5.8\,\text{µ}\mathrm{m}$, no [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) distante.

*2.* A $500\,\mathrm{K}$ praticamente toda a radiação é infravermelha: a pele a absorve e sente calor, mas o olho não recebe nada — quente e, ainda assim, preta.

*3.* Um [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) é largo: mesmo com pico em $1.6\,\text{µ}\mathrm{m}$, o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) da vela conserva uma cauda visível na ponta vermelho-amarela — fraca, mas suficiente para o olho adaptado ao escuro.

**Exercício 2.8 ★★.**

Os catálogos de laboratório dão, no visível: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$; hélio $\{447, 502, 588, 668\}\,\mathrm{nm}$. Duas lâmpadas de descarga são analisadas. A lâmpada A mostra linhas em $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$, mais uma linha violeta tênue perto do limite da visibilidade; a lâmpada B mostra uma única linha forte em $589\,\mathrm{nm}$. Identifique o gás de cada lâmpada, justificando com cuidado por que a lâmpada B não contém hélio.

**Solução de Exercício 2.8.**

Lâmpada A: as linhas $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ batem com o hidrogênio, e a tênue linha violeta completa o catálogo em $410\,\mathrm{nm}$: hidrogênio.

Lâmpada B: a linha fica em $589\,\mathrm{nm}$, a única linha visível forte do sódio. O hélio é excluído não pela linha em si (o hélio de fato possui uma linha na vizinha $588\,\mathrm{nm}$), mas pelas que *faltam*: o hélio mostraria também $447$, $502$ e $668\,\mathrm{nm}$, e nenhuma aparece. Um elemento se identifica pelo catálogo completo: a lâmpada B contém sódio.

**Exercício 2.9 ★★.**

[Luz branca](#def-g10-light-spectra-white) é enviada através de um balão de vapor de sódio frio.

1. Descreva o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) da luz transmitida.
2. Em que [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) fica a sua linha escura, e por que exatamente ali?
3. A lâmpada é desligada, a sala é escurecida e o vapor é agora excitado por uma descarga. Descreva o novo [espectro](#def-g10-light-spectra-white) .

**Solução de Exercício 2.9.**

*1.* Um arco-íris contínuo riscado por uma linha escura fina: o [espectro de absorção](#def-g10-light-spectra-absorption) do sódio.

*2.* Em $589\,\mathrm{nm}$: um gás absorve exatamente os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) que é capaz de emitir ([Proposição 2.15](#prop-g10-light-spectra-kirchhoff)), e a linha visível forte do sódio está em $589\,\mathrm{nm}$.

*3.* O [espectro de emissão](#def-g10-light-spectra-emission) do sódio: uma única linha brilhante amarelo-alaranjada em $589\,\mathrm{nm}$ sobre fundo preto — o mesmo [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), com os dois [espectros](#def-g10-light-spectra-white) trocando claro e escuro.

**Exercício 2.10 ★★.**

Um [espectro](#def-g10-light-spectra-white) do Sol de alta resolução mostra linhas escuras em $410$, $434$, $486$, $517$, $518$ e $656\,\mathrm{nm}$. Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$; magnésio $\{517, 518\}\,\mathrm{nm}$.

1. Que elementos essas linhas revelam?
2. Em que parte do Sol as linhas são produzidas, e por que são escuras em vez de brilhantes?

**Solução de Exercício 2.10.**

*1.* $410$, $434$, $486$, $656\,\mathrm{nm}$: o catálogo completo do hidrogênio. $517$ e $518\,\mathrm{nm}$: o par do magnésio. Os dois elementos estão presentes.

*2.* Na atmosfera do Sol, o gás mais frio e mais rarefeito acima da superfície incandescente. A superfície manda para cima um [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous); a atmosfera retira os seus próprios [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) da luz que passa, e as linhas aparecem como luz que falta — escuras contra o fundo brilhante.

**Exercício 2.11 ★★.**

O seu corpo tem temperatura superficial de cerca de $37{}^{\circ}\mathrm{C}$.

1. Converta para [kelvins](#def-g10-light-spectra-kelvin) e calcule o $\lambda_{\max}$ da sua própria radiação térmica.
2. Em que domínio ele cai?
3. Deduza por que ninguém brilha visivelmente numa sala escura, e como uma câmera térmica encontra pessoas mesmo assim.

**Solução de Exercício 2.11.**

*1.* $T = 37 + 273 = 310\,\mathrm{K}$, logo

$$
\lambda_{\max} = \frac{2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}}{310\,\mathrm{K}}
= 9.4 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} = 9.4\,\text{µ}\mathrm{m}.
$$

*2.* [Infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) distante — mais de dez vezes o [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) da luz vermelha.

*3.* A $310\,\mathrm{K}$ a parte visível da radiação é completamente desprezível: nenhum brilho visível, por mais escura que esteja a sala. Uma câmera térmica carrega um sensor sintonizado na radiação efetivamente emitida, em torno de $9\,\text{µ}\mathrm{m}$, e vê os corpos quentes brilharem contra um entorno mais frio.

**Exercício 2.12 ★★★.**

O filamento de tungstênio de uma lâmpada incandescente trabalha a $2700\,\mathrm{K}$.

1. Calcule $\lambda_{\max}$ e dê o seu domínio.
2. Explique por que essas lâmpadas são péssimas luminárias e ótimos aquecedorezinhos.
3. Que temperatura de filamento colocaria $\lambda_{\max}$ em $550\,\mathrm{nm}$ , no meio do visível? O tungstênio funde a $3700\,\mathrm{K}$ ; conclua por que nenhuma lâmpada de filamento consegue imitar a luz do dia, e por que a iluminação migrou para outras tecnologias.

**Solução de Exercício 2.12.**

*1.* $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2700\,\mathrm{K}
= 1.07 \times 10^{-6}\,\mathrm{m} \approx 1.1\,\text{µ}\mathrm{m}$: [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) próximo.

*2.* O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) tem pico além do visível: a maior parte da potência elétrica volta como [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) invisível — ou seja, como calor — e só uma pequena cauda visível ilumina o cômodo. Como luminária, a lâmpada desperdiça quase toda a sua potência; como aquecedor, é quase perfeita.

*3.* $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.50 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx
5300\,\mathrm{K}$ — muito acima do ponto de fusão do tungstênio, $3700\,\mathrm{K}$. Nenhum filamento sólido pode ser levado a temperaturas de luz do dia, de modo que as lâmpadas com aparência de luz natural tiveram de abandonar a incandescência de vez (tubos fluorescentes, LEDs), produzindo luz visível sem aquecer corpo algum a $5300\,\mathrm{K}$.

**Exercício 2.13 ★★★.**

O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) de uma estrela mostra um fundo contínuo com pico em $420\,\mathrm{nm}$, riscado por linhas escuras em $393$, $397$, $410$, $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$. Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$; cálcio $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$.

1. Calcule a temperatura superficial da estrela. Ela é mais quente ou mais fria do que o Sol?
2. Que elementos a sua atmosfera certamente contém?
3. O sódio é abundante nessa atmosfera? Justifique.

**Solução de Exercício 2.13.**

*1.* $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 4.20 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx
6900\,\mathrm{K}$: mais quente do que os $5800\,\mathrm{K}$ do Sol.

*2.* Hidrogênio (o conjunto completo $410$, $434$, $486$, $656\,\mathrm{nm}$ está presente) e cálcio (as duas linhas, $393$ e $397\,\mathrm{nm}$).

*3.* Não. A linha do sódio em $589\,\mathrm{nm}$ está ausente, e sódio abundante na atmosfera necessariamente a imprimiria sobre o fundo contínuo. Se houver sódio, é só em traços fracos demais para serem detectados.

**Exercício 2.14 ★★★.**

Uma lâmpada de descarga contém uma mistura de dois gases. O seu [espectro](#def-g10-light-spectra-white) mostra linhas em $410$, $434$, $447$, $486$, $502$, $588$, $656$ e $668\,\mathrm{nm}$. Usando os catálogos do [Exercício 2.8](#exo-g10-light-spectra-8):

1. Identifique os dois gases.
2. Um colega afirma que a linha de $588\,\mathrm{nm}$ prova que a lâmpada também contém sódio (linha em $589\,\mathrm{nm}$ ), já que um [espectroscópio](#def-g10-light-spectra-white) barato não separa [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) distantes $1\,\mathrm{nm}$ um do outro. Sem um instrumento melhor, por que o hélio é explicação suficiente para essa linha — e que medida resolveria de vez a questão do sódio?

**Solução de Exercício 2.14.**

*1.* O hidrogênio explica $410$, $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$; o hélio explica $447$, $502$, $588$ e $668\,\mathrm{nm}$. Toda linha observada fica explicada: a mistura é de hidrogênio e hélio.

*2.* O hélio é explicação *suficiente* porque as suas outras três linhas ($447$, $502$, $668\,\mathrm{nm}$) estão todas presentes — a linha de $588\,\mathrm{nm}$ é então esperada só do hélio, e nada no [espectro](#def-g10-light-spectra-white) *exige* sódio. Para resolver a questão é preciso resolução, não argumento: um [espectroscópio](#def-g10-light-spectra-white) mais fino separa a linha única do hélio, em $587.6\,\mathrm{nm}$, da do sódio, que é na verdade um par próximo em $589.0$ e $589.6\,\mathrm{nm}$. Ver uma linha ali absolve o sódio; ver três o condena.

**Exercício 2.15 ★★★.**

Na constelação de Órion, Betelgeuse brilha visivelmente vermelha e Rigel, branco-azulada. Os seus [espectros contínuos](#def-g10-light-spectra-continuous) têm pico em cerca de $850\,\mathrm{nm}$ e $240\,\mathrm{nm}$, respectivamente.

1. Calcule as duas temperaturas superficiais.
2. Recupere a razão entre as duas temperaturas diretamente dos dois [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) , sem recalcular nenhuma das temperaturas.
3. Explique as duas cores, sabendo que *nenhum* dos dois picos cai na faixa visível.
4. As duas estrelas são brilhantes a olho nu. Por que um pico fora da faixa visível não torna uma estrela invisível?

**Solução de Exercício 2.15.**

*1.* Betelgeuse: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 3400\,\mathrm{K}$. Rigel: $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.4 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} \approx 12\,000\,\mathrm{K}$.

*2.* Como $\lambda_{\max} \times T$ é a mesma constante para as duas, $\dfrac{T_{\text{Rigel}}}{T_{\text{Betelgeuse}}}
= \dfrac{850\,\mathrm{nm}}{240\,\mathrm{nm}} \approx 3.5$.

*3.* Betelgeuse tem pico no [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength): dentro da faixa visível, o seu [espectro](#def-g10-light-spectra-white) é mais forte na ponta vermelha, e por isso a estrela parece vermelha. Rigel tem pico no [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength): a sua faixa visível é mais forte na ponta azul, daí o branco-azulado.

*4.* Um [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) cobre uma enorme faixa de [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength). Mesmo com o pico fora da faixa visível, uma estrela despeja bastante luz *dentro* dessa faixa — o pico decide o tom, não a visibilidade.

## 2.7 Problema: ler a luz das estrelas

**Problema 2.1.**

Problema de fim de semana — ler a luz das estrelas: o filósofo que disse “nunca”, e como um prisma mede a temperatura de uma estrela e lê a sua receita química

Em 1835 o filósofo Auguste Comte precisava de um exemplo de conhecimento para sempre fora do alcance humano, e escolheu-o com cuidado: a composição química das estrelas. Ninguém jamais engarrafaria uma estrela. Em 1859 Kirchhoff e Bunsen casaram as linhas escuras do Sol com as linhas brilhantes de chamas de laboratório, e o conhecimento inalcançável chegou na volta da luz. Este problema refaz o caminho inteiro: impressões digitais de laboratório, corpos incandescentes, as linhas escuras do Sol — e, por fim, uma estrela cuja temperatura e composição você determinará da sua escrivaninha.

**Parte I — Impressões digitais arquivadas.**

1. Dê a faixa visível de [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) em nanômetros e a cor de cada extremidade. Onde fica $550\,\mathrm{nm}$ ?
2. Uma lâmpada de descarga de hidrogênio mostra linhas em $410$ , $434$ , $486$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Dê a cor de cada linha.
3. Uma lâmpada de sódio emite essencialmente uma linha em $589\,\mathrm{nm}$ . Como a lâmpada parece ao olho, e por que é inútil tentar julgar a cor de um carro estacionado sob essa luz de rua?
4. Explique por que um conjunto de [linhas espectrais](#def-g10-light-spectra-emission) identifica um elemento — e por que *todas* as linhas fortes de um elemento precisam ser encontradas antes de declará-lo presente.
5. Preveja o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) visto (a) quando [luz branca](#def-g10-light-spectra-white) atravessa um balão de vapor de sódio frio e (b) quando o mesmo vapor, sozinho numa sala escura, é excitado por uma descarga.

**Parte II — Corpos quentes e as suas cores.**

6. Enuncie os dois efeitos que a elevação da temperatura de um corpo denso incandescente produz no seu [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) .
7. Um filamento halógeno trabalha a $3400\,\mathrm{K}$ . Calcule $\lambda_{\max}$ e dê o seu domínio.
8. O [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) do Sol tem pico em $500\,\mathrm{nm}$ . Calcule a sua temperatura superficial.
9. Esse pico fica no verde — e ainda assim o Sol não parece verde. Explique.
10. Um atiçador esquecido na forja é primeiro sentido à distância sem que se veja brilho algum, depois brilha em vermelho fosco, depois em laranja esbranquiçado. Explique a sequência inteira com a questão 6.

**Parte III — As linhas escuras do Sol.**

11. O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) solar é uma faixa contínua cortada por milhares de linhas escuras finas. Que parte do Sol produz o fundo contínuo, e que parte produz as linhas?
12. Linhas solares fortes ficam em $393$ , $397$ , $410$ , $434$ , $486$ , $589$ e $656\,\mathrm{nm}$ . Catálogos: hidrogênio $\{410, 434, 486, 656\}\,\mathrm{nm}$ ; sódio $\{589\}\,\mathrm{nm}$ ; cálcio $\{393, 397\}\,\mathrm{nm}$ . Que elementos estão presentes na atmosfera do Sol?
13. As linhas do hidrogênio são de longe as mais fortes. O que isso sugere sobre a composição do Sol — e o que dizem as medidas modernas?
14. Em 1868, uma linha em $587.6\,\mathrm{nm}$ observada na atmosfera do Sol não correspondia a catálogo algum. Reconstrua o raciocínio que justificou anunciar um novo elemento e diga como a história terminou.
15. Por que as linhas solares são escuras, se os mesmos átomos numa descarga de laboratório dão linhas brilhantes? Durante um eclipse total, por alguns segundos, só a fina atmosfera do Sol permanece visível contra um céu escuro — e as mesmas linhas fulguram *brilhantes* . Explique.

**Parte IV — Uma estrela sobre a mesa.** O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) da estrela brilhante Vega é colocado à sua frente: um fundo contínuo com pico em $290\,\mathrm{nm}$, riscado por linhas escuras fortes em $410$, $434$, $486$ e $656\,\mathrm{nm}$.

16. Calcule a temperatura superficial de Vega.
17. O pico fica no [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength) . Preveja a cor aparente da estrela e concilie “pico fora do visível” com “estrela brilhante”.
18. Identifique o elemento dominante na atmosfera de Vega.
19. Compare Vega com o Sol: razão de temperaturas, cor e brilho por [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de superfície incandescente.
20. Final — preencha a ficha de identidade que Comte declarou impossível: temperatura, elemento dominante e cor aparente de Vega, tudo lido de um único feixe de luz. Quantos anos durou o “nunca”?

**Solução de Problema 2.1.**

**1.** De cerca de $400\,\mathrm{nm}$ (ponta violeta) a cerca de $800\,\mathrm{nm}$ (ponta vermelha); $550\,\mathrm{nm}$ fica perto do meio, no verde.

**2.** $410\,\mathrm{nm}$: violeta; $434\,\mathrm{nm}$: violeta-azulado; $486\,\mathrm{nm}$: azul-esverdeado; $656\,\mathrm{nm}$: vermelho.

**3.** Um brilho monocromático amarelo-alaranjado. A cor de um carro é a mistura de [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) que a sua pintura reflete; sob uma lâmpada que oferece *apenas* $589\,\mathrm{nm}$, toda pintura só pode refletir mais ou menos desse único [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) — todos os carros aparecem em tons de laranja e cinza.

**4.** Cada elemento emite um catálogo fixo de linhas, e não há dois elementos com o mesmo catálogo ([Proposição 2.12](#prop-g10-light-spectra-fingerprint)): um conjunto completo de linhas identifica, portanto, o elemento como uma impressão digital. Mas uma correspondência *parcial* prova pouco — elementos distintos podem possuir linhas isoladas quase coincidentes (hélio em $588\,\mathrm{nm}$, sódio em $589\,\mathrm{nm}$) —, de modo que afirmar a presença exige todas as linhas fortes do catálogo.

**5.** (a) Um arco-íris contínuo com uma linha escura em $589\,\mathrm{nm}$: o [espectro de absorção](#def-g10-light-spectra-absorption). (b) Uma única linha brilhante em $589\,\mathrm{nm}$ sobre o preto: o [espectro de emissão](#def-g10-light-spectra-emission) — mesmo [comprimento de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), com claro e escuro trocados ([Proposição 2.15](#prop-g10-light-spectra-kirchhoff)).

**6.** O [espectro](#def-g10-light-spectra-white) clareia em todos os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), e o seu pico $\lambda_{\max}$ se desloca para [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) menores, seguindo $\lambda_{\max} \times T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K}$ ([Proposição 2.7](#prop-g10-light-spectra-wien)).

**7.** $\lambda_{\max} = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 3400\,\mathrm{K}
= 8.5 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 850\,\mathrm{nm}$: [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength) próximo, logo além da borda do vermelho — e é por isso que a luz halógena tem tom mais quente do que a luz do dia.

**8.** $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 5.00 \times 10^{-7}\,\mathrm{m} = 5800\,\mathrm{K}$.

**9.** O pico é suave, não é um espeto: o Sol emite a faixa visível inteira com intensidades comparáveis. Uma faixa completa de cores misturadas se lê como branco — o Sol parece branco (amarelado através da nossa atmosfera), nunca verde.

**10.** Atiçador frio: pico bem no [infravermelho](#def-g10-light-spectra-wavelength), sem cauda visível — a radiação é sentida, nada é visto. Mais quente: o [espectro](#def-g10-light-spectra-white), clareando, empurra uma primeira cauda visível para além de $800\,\mathrm{nm}$ — só a ponta vermelha se acende: vermelho fosco. Mais quente ainda: a faixa visível inteira se preenche enquanto tudo clareia: laranja e depois rumo ao branco.

**11.** O fundo contínuo vem da superfície incandescente, densa e quente; as linhas escuras são impressas pela atmosfera mais fria e rarefeita acima dela, que absorve os seus próprios [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength) da luz que atravessa.

**12.** Hidrogênio ($410$, $434$, $486$, $656\,\mathrm{nm}$: completo), sódio ($589\,\mathrm{nm}$) e cálcio ($393$ e $397\,\mathrm{nm}$: as duas) — os três estão presentes na atmosfera do Sol.

**13.** Que a atmosfera é dominada pelo hidrogênio. As medidas modernas concordam e quantificam: o Sol é, em massa, cerca de três quartos de hidrogênio, sendo quase todo o restante hélio.

**14.** A linha não batia com elemento conhecido algum; como o catálogo de cada elemento é fixo e único, uma linha que não pertence a catálogo nenhum tem de pertencer a um elemento nunca visto num laboratório. Anunciou-se um novo elemento e batizou-se de hélio, em homenagem a *helios*, o Sol. Ele foi isolado na Terra em 1895 — a previsão confirmada, vinte e sete anos depois.

**15.** Vista contra o brilhantíssimo fundo contínuo, a atmosfera *retira* luz nos seus próprios [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength): linhas escuras. Durante o eclipse a Lua bloqueia o fundo; a fina atmosfera fica então sozinha contra um céu escuro e a sua luz reemitida é tudo o que há para ver: os mesmos [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength), agora brilhantes. Um gás, um catálogo — o sinal depende do que está por trás.

**16.** $T = 2.90 \times 10^{-3}\,\mathrm{m}\,\mathrm{K} / 2.90 \times 10^{-7}\,\mathrm{m}
= 10\,000\,\mathrm{K}$.

**17.** Branco-azulada: dentro da faixa visível o [espectro](#def-g10-light-spectra-white) é mais forte na ponta azul. E nada de invisibilidade: o [espectro contínuo](#def-g10-light-spectra-continuous) inunda a faixa visível inteira a caminho do pico [ultravioleta](#def-g10-light-spectra-wavelength) — o pico fixa o tom, não o brilho.

**18.** As linhas escuras $410$, $434$, $486$, $656\,\mathrm{nm}$ são a impressão digital completa do hidrogênio: o hidrogênio domina a atmosfera de Vega.

**19.** $T_{\text{Vega}} / T_{\text{Sol}} = 10000 / 5800 \approx 1.7$: Vega é mais quente, logo mais azul (pico em $290\,\mathrm{nm}$ contra $500\,\mathrm{nm}$) e, pela primeira parte da [Proposição 2.7](#prop-g10-light-spectra-wien), mais brilhante por [unidade](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) de superfície incandescente em todos os [comprimentos de onda](#def-g10-light-spectra-wavelength).

**20.** Ficha de identidade de Vega — temperatura superficial: cerca de $10\,000\,\mathrm{K}$; elemento dominante da atmosfera: hidrogênio; cor aparente: branco-azulada. Tudo isso lido de um único feixe de luz, com um prisma, um catálogo de linhas de laboratório e uma divisão. O “nunca” de Comte foi decretado em 1835 e expirou em 1859: durou vinte e quatro anos.