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title: "Ondas mecânicas"
book: "Física do ensino médio"
subject: physics
language: pt
chapter: 20
exercises: 15
source: https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/20-ondas-mecanicas
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# Capítulo 20 — Ondas mecânicas

Sábado à noite, estádio cheio: uma ondulação de espectadores que se levantam varre as arquibancadas em menos de um minuto e, ainda assim, ninguém sai do lugar. O anel de uma pedrinha atravessa o lago enquanto a rolha apenas balança. Este capítulo estuda o próprio viajante — a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) — e os quatro números que a domam: velocidade, [atraso](#def-g12-mechanical-waves-delay), [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) e [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) — o bastante para ler um terremoto numa tira de papel.

## 20.1 A perturbação viaja, o meio fica

**Definição 20.1 (Onda mecânica).**

Uma *onda mecânica* é uma perturbação que se propaga num meio material — corda, água, ar, rocha — transportando [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) *sem transportar matéria*: cada pedaço do meio oscila brevemente no lugar, passa o movimento adiante e volta a se acomodar.

**Exemplo 20.2 (Sem transporte de matéria).**

Na [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) do estádio o “meio” é a torcida: o que viaja é o ato de se levantar, enquanto cada espectador continua no seu lugar. No lago, o anel se expande, mas uma rolha flutuante apenas balança no lugar.

**Definição 20.3 (Ondas transversais e longitudinais).**

Uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) é *transversal* quando o meio se move *perpendicularmente* à propagação: uma corcova corre por uma corda sacudida enquanto cada ponto sobe e desce apenas. Ela é *longitudinal* quando o meio se move *ao longo* da propagação: uma zona de espiras comprimidas viaja por uma mola empurrada, com cada espira oscilando no lugar.

![Transversal (corda): o meio se move perpendicularmente à propagação. Longitudinal (mola): as compressões viajam e as espiras oscilam no lugar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-mechanical-waves/fig-9ae505091d90.svg)

*[Transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse) (corda): o meio se move perpendicularmente à propagação. [Longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse) (mola): as compressões viajam e as espiras oscilam no lugar.*

**Observação 20.4 (O som é longitudinal).**

O [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) é a [onda longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse) por excelência: o ar comprimido — de [pressão](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#def-g10-pressure-pressure) mais alta ([Capítulo 7](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/7-pressao-do-esporte-ao-mergulho#ch-g10-pressure)) — viaja da fonte ao tímpano; o [Capítulo 21](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/21-som-e-acustica#ch-g12-sound-acoustics) é dedicado a ele. Os terremotos enviam os dois tipos: as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P comprimem a rocha e as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S a sacodem de lado.

## 20.2 Velocidade e atraso

**Definição 20.5 (Velocidade de propagação).**

A *velocidade de propagação* de uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) é a distância percorrida pela perturbação dividida pelo tempo gasto: $v = d/t$. Ela é a velocidade da *forma* que viaja, e não a do meio.

![Um pulso numa corda fotografado duas vezes: a crista avançou 2.4\, m em 0.30\, s, logo v = 8.0\, m/ s — a forma viaja, a corda fica.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-mechanical-waves/fig-81d13f885aa8.svg)

*Um pulso numa corda fotografado duas vezes: a crista avançou $2.4\,\mathrm{m}$ em $0.30\,\mathrm{s}$, logo $v = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — a forma viaja, a corda fica.*

**Proposição 20.6 (O meio fixa a velocidade).**

Para perturbações pequenas, a [velocidade de propagação](#def-g12-mechanical-waves-speed) depende só do *meio*, e não da forma ou do tamanho da perturbação. Numa corda esticada, $v$ cresce com a tensão e diminui com a massa por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit): bem esticada e leve é rápida; frouxa e pesada é lenta.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Observação 20.7 (Onde mora a fórmula).**

A fórmula exata da velocidade na corda é deduzida no volume do primeiro ano de graduação; neste ano bastam os fatos experimentais acima.

**Exemplo 20.8 (Velocidades do som).**

O [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) viaja a $340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no ar, $1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ na água e $5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ no aço — quanto mais rígido, mais rápido. Daí o ouvido colado ao trilho dos filmes de faroeste: o aço anuncia o trem primeiro.

**Definição 20.9 (Atraso).**

Uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de velocidade $v$ alcança um ponto à distância $d$ depois do *atraso* $\tau = d/v$: dois pontos separados por uma distância $d$ repetem o mesmo movimento, com o mais distante atrasado de $\tau$ — a medida por [eco](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#rem-g10-signals-and-waves-honest) do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves), lida ao contrário.

**Proposição 20.10 (Superposição sem interação).**

Onde duas [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) se superpõem, o deslocamento do meio é, a cada instante, a *soma* dos deslocamentos que cada uma provocaria sozinha; depois de se cruzarem, cada [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) segue inalterada — o que é deduzido no volume do segundo ano de graduação a partir da linearidade das equações de movimento.

**Demonstração.** *Admitido neste nível.* ∎

**Exemplo 20.11 (Pulsos que se cruzam).**

Envie uma corcova para cima de cada ponta de uma corda: onde elas se encontram, a corda sobe por um instante até a soma das duas alturas; e depois emergem duas corcovas intactas — como duas conversas que se cruzam e chegam a quem as escuta.

## 20.3 Ondas periódicas: a dupla periodicidade

**Definição 20.12 (Onda periódica).**

Quando a fonte repete o seu movimento com [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $T$ e [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f = 1/T$ ([Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves)), ela alimenta o meio com uma *onda periódica*: cada ponto repete o seu próprio movimento com [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $T$, atrasado em relação aos vizinhos pelo [atraso](#def-g12-mechanical-waves-delay) de percurso.

**Definição 20.13 (Comprimento de onda).**

Um instantâneo de uma [onda periódica](#def-g12-mechanical-waves-periodic) mostra um padrão que se repete no espaço; o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) espacial dele — de crista a crista — é o *comprimento de onda* $\lambda$, em [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit). Uma [onda periódica](#def-g12-mechanical-waves-periodic) é *duplamente periódica*: com [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $T$ no tempo em cada ponto e [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $\lambda$ no espaço em cada instante.

**Teorema 20.14 (A relação fundamental das ondas).**

Uma [onda periódica](#def-g12-mechanical-waves-periodic) de velocidade $v$, [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $T$ e [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) $f$ tem [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $\lambda = v\,T = v/f$.

**Demonstração.** Durante um [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) o padrão desliza para a frente por $v\,T$; mas a fonte — e portanto cada ponto — está então de volta ao seu estado inicial, de modo que o padrão deslizado coincide com o original: a distância de repetição é $v\,T$. ∎

![A mesma senoide duas vezes: o instantâneo se repete a cada no espaço, e o sinal num ponto se repete a cada T no tempo; = v\,T.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-mechanical-waves/fig-f0d0f86834eb.svg)

*A mesma senoide duas vezes: o instantâneo se repete a cada $\lambda$ no espaço, e o [sinal](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-signal) num ponto se repete a cada $T$ no tempo; $\lambda = v\,T$.*

**Observação 20.15 (A frequência pertence à fonte).**

Ao passar de um meio para outro — o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) do ar para a água — uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) conserva a sua [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency), ditada pela fonte, enquanto a velocidade dela muda; por $\lambda = v/f$, o [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) muda junto.

**Exemplo 20.16 (O lá de concerto, no ar e debaixo d’água).**

O lá de concerto de $440\,\mathrm{Hz}$ do [Capítulo 8](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#ch-g10-signals-and-waves) tem [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ no ar e $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ na água: a mesma nota, esticada pelo meio mais rápido.

**Definição 20.17 (Em fase e em oposição de fase).**

Dois pontos separados por um número inteiro de [comprimentos de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength), $d = k\lambda$, se movem de forma idêntica a cada instante: eles estão *em fase*. Pontos separados por $d = (k + \tfrac12)\lambda$ se movem sempre de modo oposto — crista contra vale: eles estão em *oposição de fase*.

**Método 20.18 (Ler a dupla periodicidade).**

1. Num registro $y(t)$ feito num ponto fixo, leia $T$ de crista a crista; $f = 1/T$ .
2. Num instantâneo $y(x)$ tirado num instante fixo, leia $\lambda$ de crista a crista.
3. Deduza $v = \lambda/T = \lambda f$ ; confira contra uma cronometragem direta $v = d/\tau$ , quando houver.
4. Nunca confunda os dois gráficos: um eixo carrega segundos, o outro carrega [metros](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) .

## 20.4 Frentes de onda e atenuação

**Definição 20.19 (Frente de onda).**

Uma *frente de onda* é uma linha (ou superfície) de pontos que a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) alcança no mesmo instante — uma linha de crista no lago. A partir de uma fonte pontual as frentes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) são círculos que se expandem; longe de qualquer fonte elas são quase retas. A [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) se propaga perpendicularmente às suas frentes de [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave), com cristas sucessivas separadas por $\lambda$.

**Definição 20.20 (Atenuação).**

A diminuição da [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) de uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) à medida que ela se propaga é a sua *atenuação*. Duas causas se somam: a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) de uma [frente de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavefront) circular se reparte por uma crista cada vez mais longa, e o meio absorve um pouco durante a passagem. As frentes retas escapam da primeira causa — e é por isso que a ondulação de uma tempestade distante consegue atravessar um oceano.

![Frentes de onda circulares, separadas por um comprimento de onda, enfraquecem à medida que a energia se espalha por cristas mais longas; as frentes retas (à direita) enfraquecem devagar.](https://one-course.com/images/onecourse/chapters/physics-2/g12-mechanical-waves/fig-a1661a6a3074.svg)

*[Frentes de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavefront) circulares, separadas por um [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength), enfraquecem à medida que a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) se espalha por cristas mais longas; as frentes retas (à direita) enfraquecem devagar.*

## 20.5 Exercícios

**Exercício 20.1 ★.**

Uma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) de estádio percorre o anel de $320\,\mathrm{m}$ das arquibancadas em $40\,\mathrm{s}$. (a) Calcule a velocidade dela. (b) Algum espectador dá a volta no anel? O que dá? (c) Cada espectador se levanta $1.5\,\mathrm{s}$ depois do vizinho a $12\,\mathrm{m}$: confira a coerência.

**Solução de Exercício 20.1.**

(a) $v = 320/40 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) Espectador algum se desloca ao longo do anel: o que viaja é a perturbação (o ato de se levantar), e não a torcida. (c) $12/1.5 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ — coerente.

**Exercício 20.2 ★.**

[Transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse) ou [longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse)? (a) um pulso numa corda sacudida para cima e para baixo; (b) uma compressão enviada ao longo de uma mola; (c) o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) no ar; (d) uma ondulação num lago (a superfície balança na vertical, o anel viaja na horizontal); (e) as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) sísmicas P (que comprimem na direção do percurso) e S (que sacodem de lado).

**Solução de Exercício 20.2.**

(a) [transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse); (b) [longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse); (c) [longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse); (d) [transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse); (e) P [longitudinal](#def-g12-mechanical-waves-transverse), S [transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse).

**Exercício 20.3 ★.**

O trovão chega $4.0\,\mathrm{s}$ depois do clarão. (a) A que distância caiu o raio ($v = 340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$)? (b) Um mergulhador escuta o mesmo [atraso](#def-g12-mechanical-waves-delay) entre um clarão e um estrondo submarino ($v = 1500\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$): a que distância está essa fonte? (c) O que é preciso saber antes de transformar um [atraso](#def-g12-mechanical-waves-delay) em distância?

**Solução de Exercício 20.3.**

(a) $d = 340 \times 4.0 \approx 1.4\,\mathrm{km}$. (b) $1500 \times 4.0 = 6.0\,\mathrm{km}$. (c) A [velocidade de propagação](#def-g12-mechanical-waves-speed) no meio atravessado.

**Exercício 20.4 ★.**

Calcule o [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) de um [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) de $440\,\mathrm{Hz}$ no ar e na água. Quando o [som](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-sound) passa do ar para a água, quais entre $f$, $v$ e $\lambda$ mudam, e qual fica fixo?

**Solução de Exercício 20.4.**

$\lambda = v/f$: $340/440 = 0.77\,\mathrm{m}$ no ar e $1500/440 = 3.4\,\mathrm{m}$ na água. A [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) fica fixa (a fonte a dita); $v$ e $\lambda$ mudam os dois.

**Exercício 20.5 ★.**

Num lago, cristas vizinhas de uma ondulação estão a $12\,\mathrm{cm}$ uma da outra e os anéis avançam a $0.30\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. Encontre o [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength), o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) e a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency) da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

**Solução de Exercício 20.5.**

$\lambda = 12\,\mathrm{cm}$; $T = \lambda/v = 0.12/0.30 = 0.40\,\mathrm{s}$; $f = 1/T = 2.5\,\mathrm{Hz}$.

**Exercício 20.6 ★★.**

Um pulso numa corda longa é fotografado duas vezes, com $0.30\,\mathrm{s}$ de intervalo: a crista dele fica em $x = 1.0\,\mathrm{m}$ e depois em $3.4\,\mathrm{m}$. (a) Qual é a velocidade? (b) Quando o pulso alcança a parede em $x = 7.0\,\mathrm{m}$? (c) Uma fita amarrada em $x = 5.0\,\mathrm{m}$: qual é o movimento dela na passagem do pulso?

**Solução de Exercício 20.6.**

(a) $v = 2.4/0.30 = 8.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (b) A partir da primeira foto, a crista tem $6.0\,\mathrm{m}$ a percorrer: $t = 6.0/8.0 = 0.75\,\mathrm{s}$ depois dela. (c) A fita sobe e desce, puramente na [transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse), e continua em $x = 5.0\,\mathrm{m}$: a corda não viaja.

**Exercício 20.7 ★★.**

Dois pulsos para cima, de alturas $3.0\,\mathrm{cm}$ e $2.0\,\mathrm{cm}$, viajam um em direção ao outro a $2.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada, com as cristas a $4.0\,\mathrm{m}$ uma da outra. (a) Quando as cristas coincidem? (b) Qual é a altura máxima da corda nesse instante? (c) E se o pulso menor for para baixo? (d) Como fica a corda logo depois?

**Solução de Exercício 20.7.**

(a) Velocidade de aproximação $4.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para uma separação de $4.0\,\mathrm{m}$: $t = 1.0\,\mathrm{s}$. (b) Superposição: $3.0 + 2.0 = 5.0\,\mathrm{cm}$. (c) $3.0 - 2.0 = 1.0\,\mathrm{cm}$. (d) Dois pulsos intactos emergem e seguem inalterados, como se nunca tivessem se encontrado.

**Exercício 20.8 ★★.**

(a) Dois varais suportam a mesma tensão; envia-se um pulso por cada um. Qual é mais rápido: o fino ou o grosso? Por quê? (b) Um violonista aperta uma corda: o que acontece com a velocidade da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave)? (c) Sacudir com o dobro da [força](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/6-forcas-e-o-principio-da-inercia#def-g10-inertia-force) (um pulso mais alto) faz o pulso viajar mais rápido?

**Solução de Exercício 20.8.**

(a) O fino: menos massa por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) à mesma tensão significa [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) mais rápida. (b) Ela aumenta (tensão maior). (c) Não: a velocidade depende só do meio, e não do tamanho do pulso.

**Exercício 20.9 ★★.**

Um operário bate num trilho a $1.8\,\mathrm{km}$ de distância; você escuta com um ouvido no aço. Calcule os tempos de chegada pelo trilho ($5900\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$) e pelo ar ($340\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$), e o intervalo entre as duas batidas.

**Solução de Exercício 20.9.**

Trilho: $1800/5900 \approx 0.31\,\mathrm{s}$; ar: $1800/340 \approx 5.3\,\mathrm{s}$; intervalo $\approx 5.0\,\mathrm{s}$.

**Exercício 20.10 ★★.**

Uma corda conduz uma [onda periódica](#def-g12-mechanical-waves-periodic) de [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $24\,\mathrm{cm}$. [Em fase](#def-g12-mechanical-waves-phase), em [oposição de fase](#def-g12-mechanical-waves-phase) ou nem uma coisa nem outra, para separações de (a) $48\,\mathrm{cm}$; (b) $12\,\mathrm{cm}$; (c) $36\,\mathrm{cm}$; (d) $30\,\mathrm{cm}$; (e) $6.0\,\mathrm{cm}$?

**Solução de Exercício 20.10.**

Com $\lambda = 24\,\mathrm{cm}$: (a) $2\lambda$, [em fase](#def-g12-mechanical-waves-phase); (b) $\lambda/2$, oposição; (c) $\tfrac32\lambda$, oposição; (d) $1.25\lambda$, nem uma coisa nem outra; (e) $\lambda/4$, nem uma coisa nem outra.

**Exercício 20.11 ★★.**

Um terremoto envia [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P a $6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$ e [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S a $3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, ambas de [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) $2.0\,\mathrm{s}$. Calcule os dois [comprimentos de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength), compare-os com um edifício e explique por que um bairro inteiro sobe e desce quase junto.

**Solução de Exercício 20.11.**

$\lambda_P = 6.0 \times 2.0 = 12\,\mathrm{km}$; $\lambda_S = 3.5 \times 2.0 = 7.0\,\mathrm{km}$ — centenas de vezes o tamanho de um edifício. Pontos muito mais próximos do que $\lambda$ estão quase [em fase](#def-g12-mechanical-waves-phase), de modo que o bairro inteiro se move junto.

**Exercício 20.12 ★★★.**

Um registro da altura da água numa boia mostra cristas a cada $0.50\,\mathrm{s}$; uma foto aérea mostra cristas a $0.75\,\mathrm{m}$ uma da outra. (a) Encontre $T$ e $f$. (b) Encontre $\lambda$. (c) Deduza a velocidade. (d) A boia está sobre uma crista em $t = 0$: quando estará de novo? (e) Um ponto a $1.875\,\mathrm{m}$ está [em fase](#def-g12-mechanical-waves-phase) com a boia, em [oposição de fase](#def-g12-mechanical-waves-phase), ou nem uma coisa nem outra?

**Solução de Exercício 20.12.**

(a) $T = 0.50\,\mathrm{s}$, $f = 2.0\,\mathrm{Hz}$. (b) $\lambda = 0.75\,\mathrm{m}$. (c) $v = \lambda/T = 0.75/0.50 = 1.5\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$. (d) Em $t = T = 0.50\,\mathrm{s}$. (e) $1.875/0.75 = 2.5$ [comprimentos de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) $= (2 + \tfrac12)\lambda$: [oposição de fase](#def-g12-mechanical-waves-phase).

**Exercício 20.13 ★★★.**

Uma boia ancorada completa $10$ oscilações inteiras em $80\,\mathrm{s}$ numa ondulação regular cujas cristas estão a $120\,\mathrm{m}$ umas das outras. (a) Encontre o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) e a [frequência](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-frequency). (b) Encontre a velocidade da ondulação, em $\mathrm{m}/\mathrm{s}$ e em $\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) Quanto tempo uma crista que agora está na boia leva para chegar à praia a $900\,\mathrm{m}$? (d) A boia é levada até a praia junto com ela?

**Solução de Exercício 20.13.**

(a) $T = 80/10 = 8.0\,\mathrm{s}$, $f = 0.125\,\mathrm{Hz}$. (b) $v = \lambda/T = 120/8.0 = 15\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 54\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$. (c) $t = 900/15 = 60\,\mathrm{s}$. (d) Não: as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) não transportam matéria — a boia ancorada só balança.

**Exercício 20.14 ★★★.**

Dois pulsos idênticos, um para cima e outro para baixo, viajam um em direção ao outro a $3.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ cada, com os centros a $6.0\,\mathrm{m}$ um do outro. (a) Quando os centros deles coincidem, e como fica a corda nesse instante? (b) A corda está então em repouso? Para onde foi a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy)? (c) O que acontece em seguida? (d) Por que “momentaneamente plana” não significa “não há nada ali”?

**Solução de Exercício 20.14.**

(a) Aproximando-se a $6.0\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ ao longo de $6.0\,\mathrm{m}$: $t = 1.0\,\mathrm{s}$; os deslocamentos opostos se cancelam — a corda fica momentaneamente plana. (b) Não: os pontos dela estão em movimento (as velocidades transversais se somam, em vez de se cancelar); a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) é toda cinética. (c) Os dois pulsos reaparecem e seguem inalterados. (d) A corda plana carrega velocidade e, portanto, [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy): a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) está momentaneamente guardada no movimento, e não na forma.

**Exercício 20.15 ★★★.**

A ondulação de uma pedrinha se espalha num lago parado. (a) Calcule o comprimento da crista em $r = 0.50\,\mathrm{m}$ e em $r = 8.0\,\mathrm{m}$; qual é o fator de crescimento? (b) A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) da crista se conserva aproximadamente: o que acontece com a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) e com a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude)? (c) Por que uma ondulação de frente reta se atenua muito menos? (d) E a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) do estádio, nada?

**Solução de Exercício 20.15.**

(a) $2\pi r$: $3.1\,\mathrm{m}$ e $50\,\mathrm{m}$ — $\times 16$. (b) A [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) por [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit) cai por $16$, de modo que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) diminui (a [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) cresce com a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude)). (c) As frentes retas não se alongam: sobra apenas a absorção. (d) O meio é ativo: cada espectador se levanta com a sua própria [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) muscular, reabastecendo a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

## 20.6 Problema: ler um sismograma

**Problema 20.1.**

Problema de fim de semana — ler um sismograma: duas ondas disparam de uma falha rompida, três círculos fixam o epicentro e uma terceira onda, lenta, dá o aviso a um litoral

Turno da noite num observatório sismológico. Às 09:14:32 a agulha da estação A salta: primeiro tremidas rápidas e agudas, depois oscilações mais lentas e mais largas. Um terremoto rompeu rocha em algum lugar; duas [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) disparam pela crosta: as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P, compressões a $v_P = 6.0\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$, e as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S, um sacolejo lateral a $v_S = 3.5\,\mathrm{km}/\mathrm{s}$.

**Parte I — Duas [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave), um relógio.**

1. A partir das descrições acima, classifique as [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P e S como transversais ou longitudinais.
2. Que [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) chega primeiro a cada estação? Calcule os tempos de percurso das duas ao longo de $d = 120\,\mathrm{km}$ .
3. Mostre que o intervalo entre as chegadas P e S vale $\Delta t = d\,(1/v_S - 1/v_P)$ e calcule-o para $d = 120\,\mathrm{km}$ .
4. Deduza a regra de medida do sismólogo, $d = \dfrac{v_P\,v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t$ , e mostre que o coeficiente vale cerca de $8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.
5. Por que o intervalo cresce com a distância — e por que isso é um presente para uma estação que nunca viu o terremoto começar?

**Parte II — Círculos no mapa.**

6. A estação A mede $\Delta t_A = 25\,\mathrm{s}$ . A que distância de A está o epicentro?
7. Explique por que essa leitura sozinha coloca o epicentro sobre um círculo, e não num ponto.
8. As estações B e C medem $\Delta t_B = 15\,\mathrm{s}$ e $\Delta t_C = 32\,\mathrm{s}$ : quais são as distâncias delas até o epicentro?
9. Explique como os três círculos juntos fixam o epicentro.
10. A [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P chegou a A às 09:14:32. Calcule o tempo de percurso dela desde o epicentro e o instante de origem do terremoto.

**Parte III — A [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) que atravessa o oceano.** Os três círculos se encontram no mar: a falha rompeu sob o fundo oceânico e pôs a coluna de água em movimento. As [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) longas em água profunda viajam a uma velocidade fixada pela profundidade — cerca de $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ em mar aberto e cerca de $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ perto de uma praia (admitido aqui; a fórmula é deduzida no volume do primeiro ano de graduação). Um porto fica a $D = 600\,\mathrm{km}$ do epicentro.

11. Converta $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ para $\mathrm{km}/\mathrm{h}$ e cite um veículo de velocidade de cruzeiro comparável.
12. Quanto tempo o tsunami leva para chegar ao porto?
13. O sismômetro do próprio porto sente a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P primeiro. Depois de quanto tempo? Se o alarme tocar nesse instante, quanto tempo de aviso o litoral ganha antes do tsunami?
14. Em alto-mar o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) do tsunami é de cerca de $15\,\mathrm{min}$ . Calcule o [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) dele ali e explique por que um navio não o percebe.
15. Ao se aproximar da praia, a velocidade cai para $10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ enquanto o [período](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-period) fica fixo. Calcule o novo [comprimento de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavelength) . O que precisa acontecer com a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) enquanto ela se comprime?

**Parte IV — [Energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) e o relatório.** Um terremoto forte libera da ordem de $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$, levados embora pelas [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave).

16. Calcule o comprimento de uma [frente de onda](#def-g12-mechanical-waves-wavefront) circular a $10\,\mathrm{km}$ do epicentro e depois a $210\,\mathrm{km}$ ; por que fator ela cresceu?
17. Deduza por que o tremor enfraquece com a distância mesmo numa crosta sem perdas — e nomeie a segunda causa que uma crosta real acrescenta.
18. Um líquido não resiste ao cisalhamento. As estações do lado oposto registram a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P, mas nenhuma [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S: o que isso revela sobre o núcleo da Terra?
19. O trem de alta velocidade do capítulo de [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) do ano anterior ( [Capítulo 18](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#ch-g11-mechanical-energy) ) carrega cerca de $1.5 \times 10^{9}\,\mathrm{J}$ de [energia cinética](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/18-energia-mecanica-e-sua-conservacao#def-g11-mechanical-energy-kinetic) : a quantos trens desses correspondem $1 \times 10^{15}\,\mathrm{J}$ ?
20. O relatório, em duas frases: onde e quando foi o terremoto, e quanto tempo de aviso o porto teve? Dê os três números.

**Solução de Problema 20.1.**

**1.** As P comprimem na direção do percurso: longitudinais; as S sacodem de lado: transversais.

**2.** A P, mais rápida, chega primeiro em toda parte. $t_P = 120/6.0 = 20\,\mathrm{s}$; $t_S = 120/3.5 \approx 34\,\mathrm{s}$.

**3.** $\Delta t = d/v_S - d/v_P = d\,(1/v_S - 1/v_P)$; para $120\,\mathrm{km}$: $34.3 - 20 \approx 14\,\mathrm{s}$.

**4.** Isolando $d$: $d = \dfrac{v_P v_S}{v_P - v_S}\,\Delta t
= \dfrac{6.0 \times 3.5}{2.5}\,\Delta t = 8.4\,\mathrm{km}$ por segundo de intervalo.

**5.** $\Delta t \propto d$: o registro de uma única estação dá a distância dela até o epicentro sem que se conheça o instante de origem.

**6.** $d_A = 8.4 \times 25 = 2.1 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$.

**7.** O intervalo dá uma distância, não uma direção: o epicentro fica em algum ponto do círculo de raio $d_A$ em torno de A.

**8.** $d_B = 8.4 \times 15 = 1.3 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$; $d_C = 8.4 \times 32 \approx 2.7 \times 10^{2}\,\mathrm{km}$.

**9.** Dois círculos se encontram em dois pontos; o terceiro seleciona um deles: a interseção comum é o epicentro.

**10.** $t_P = 210/6.0 = 35\,\mathrm{s}$: o terremoto começou às $09{:}14{:}32 - 35\,\mathrm{s} = 09{:}13{:}57$.

**11.** $200\,\mathrm{m}/\mathrm{s} = 720\,\mathrm{km}/\mathrm{h}$ — um avião de passageiros em velocidade de cruzeiro.

**12.** $t = 6.0 \times 10^{5}/200 = 3.0 \times 10^{3}\,\mathrm{s} = 50\,\mathrm{min}$.

**13.** $t_P = 600/6.0 = 100\,\mathrm{s}$. Aviso: $3000 - 100 = 2.9 \times 10^{3}\,\mathrm{s} \approx 48\,\mathrm{min}$.

**14.** $\lambda = vT = 200 \times 900 = 1.8 \times 10^{5}\,\mathrm{m} =
180\,\mathrm{km}$: um [metro](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/1-ordens-de-grandeza-medir-o-universo#def-g10-orders-of-magnitude-unit), mais ou menos, de elevação espalhado por $180\,\mathrm{km}$ — o navio sobe uma rampa imperceptível ao longo de vários minutos.

**15.** $\lambda = 10 \times 900 = 9.0\,\mathrm{km}$: a [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) se comprime vinte vezes, a sua [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) se espreme num comprimento menor, e por isso a altura dela tem de crescer — o tsunami se empina na costa.

**16.** $2\pi r$: $63\,\mathrm{km}$ e depois $\approx 1.3 \times 10^{3}\,\mathrm{km}$ — $\times 21$.

**17.** A mesma [energia](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/9-energia-formas-e-conservacao#def-g10-energy-conservation-energy) se reparte por uma frente $21$ vezes mais longa, de modo que a [amplitude](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-amplitude) cai mesmo numa crosta sem perdas; uma crosta real acrescenta a absorção.

**18.** As [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S, de cisalhamento [transversal](#def-g12-mechanical-waves-transverse), não atravessam um líquido: a sombra das [ondas](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) S mostra que o [núcleo](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/13-as-interacoes-fundamentais#def-g11-fundamental-interactions-ladder) (externo) é líquido.

**19.** $1 \times 10^{15}/1.5 \times 10^{9} \approx 6.7 \times 10^{5}$: cerca de setecentos mil trens a plena velocidade.

**20.** O terremoto ocorreu às $09{:}13{:}57$, no mar, no cruzamento dos três círculos, a $210\,\mathrm{km}$ da estação A. O alarme da [onda](https://one-course.com/books/physics/2/pt/chapter/8-sinais-e-ondas#def-g10-signals-and-waves-wave) P do porto tocou $100\,\mathrm{s}$ depois da origem, cerca de $48\,\mathrm{min}$ antes da chegada do tsunami.